第六章-连续介质力学基础

连续介质力学基础

物质坐标和空间坐标

对于有限个质点组成的质点系统，我们可以采用给质点编号的方式区分各个质点;对于有无限个质点组成的系统，我们就采用坐标识别系统中各个质点。用于标示质点的坐标称为物质坐标132(,,)ξξξ；表示空间中几何点的坐标312(,,)x x x 则称为欧拉坐标。

两种坐标是通过连续介质的运动联系起来的：如果在时刻t 质点132(,,)ξξξ占据空间位置312(,,)x x x ，则二者之间具有函数关系：

123(,,,)k k x x t ξξξ=

由于这个函数必须是一一影射的，其反函数存在并且唯一： 123(,,,)

k k x x x t ξξ= 因此，质点的位置矢量、速度等都可以等价地用物质坐标或空间坐标描述：

(,)((),)t t =r ξr ξx

当我们采用物质坐标时，相应的基矢量：

i i ˆξ

∂=∂r

g

当我们采用空间（Euler ）坐标时，相应的基矢量：

i i x

∂=

∂r g 两者之间具有转换关系：

k k i k i k i

i x x ˆx ξξξ

∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j j

m m ˆx ξ∂=∂g g k k i k i i k

i ˆx x x ξξξ∂∂∂∂===∂∂∂∂r r g g j j

m m x ˆξ

∂=∂g g 物质导数

质点的速度：

D D k k

k k

(,t )()x (,t )v t t x t ∂∂∂==∂∂∂r r ξr x ξv g 算子D D t

称为物质导数（全导数）。它的含义是保持物质坐标不变时，张量随时间的变

化率。

Euler 坐标基底矢量的物质导数：

k k m

i i ik m k D v v Dt x

∂==Γ∂g g g i i k

k i m mk k D v v Dt x

∂==-Γ∂g g g 物质坐标（Langrange ）基底矢量的物质导数：

ˆ(,)()i i D t Dt t ξ

∂∂=∂∂g

r ξ 欧氏空间中矢量求偏导数的顺序是可以交换的，因此

ˆ(,)()i i i D t Dt t ξξ

∂∂∂==∂∂∂g r ξv

利用协变基与逆变基之间的关系，我们得到：

()

m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ

∂=⊗⋅=∇⋅∂g v g g v g ()

m i i i m ˆD ˆˆˆˆDt ξ

∂=⋅⊗=⋅∇∂g v g g g v Langrange 逆变基底矢量的物质导数可以由逆变基的定义式

j j i i ˆˆδ⋅=g

g 求得。显而易见：

ˆˆ()0i m

D Dt

⋅=g

g

因此

i m i i m m ˆˆD D ˆˆˆDt Dt ξ

∂⋅=-⋅=-⋅∂g g v g g g 该式左端是逆变基物质导数在协变基下的分量，因而

ˆˆˆˆ()ˆˆˆi i m i m m i i m D Dt ξ

ξ

∂=-⋅⊗=-⋅∇∂∂=-⊗⋅=-∇⋅∂g v

g

g g v v g

g v g

（物质坐标基底矢量的物质导数可表示为速度梯度与基矢量的点积；协变基的导数与哈密顿算子相邻；逆变基的导数与负的速度矢量相邻）

张量的物质导数

Euler 描述下，张量是空间坐标和时间的函数，所以张量i j .j i T =⊗T g g 的物质导数：

()()

k k k k

D Dt t

x t t

v t

x ∂∂+∂∂∂∂=+⊗⋅∂∂+∇⋅∂∂+∇∂==⋅∂=T T

T T T v T v T v T

T g

物质描述下，张量i j .j i

ˆˆˆT =⊗T g g 的物质导数： ()()i

j .j j m j i m i .j

.m i i .j j i i .j m i m j i .j m .m j i ˆT ˆˆD D D ˆˆˆˆˆT T Dt t Dt Dt

ˆdT

ˆˆdt ˆdT ˆˆˆT v T v dt ∂=⊗+⊗+⊗∂=⊗+∇⋅-⋅∇⎛⎫=+∇-∇⊗ ⎪ ⎪⎝⎭

T g g g g g g g g v T T v g g 由于

i

k .j j l .l i k i k .j l

j

.l k i ˆDT D DT ˆˆDt Dt Dt

ˆDT D DT ˆˆDt Dt Dt

=⊗=⊗=⊗=⊗T g g g g T g g g g

所以

i i l k .j

.l

k j ˆDT x DT Dt x Dt

ξξ∂∂=∂∂

i k

i l .j

.l k j ˆDT DT x Dt x Dt

ξξ∂∂=∂∂

可以证明度量张量的物质导数为零：

()()

D D D D D D i i i i ˆˆˆˆˆˆt t t

=⊗+⊗=∇

⋅-⋅∇=G g g g g v G G v 0 ()()D D D D D D i i k m

i k i m i i ik m mk i v v t t t

=⊗+⊗=Γ⋅⊗-Γ⊗=G g g g g g g g g 0 （()()k i m k m

i mk i ik m v v Γ⊗=Γ⊗g g g g ）