平稳时间序列模型及其特征 (1)
时间序列模型的特征讲义
时间序列模型的特征讲义时间序列模型特征讲义1. 数据的趋势性特征：时间序列模型通常需要分析数据的趋势性，即数据是否存在明显的上升或下降趋势。
有三种常见的数据趋势性特征：a. 上升趋势：数据随时间逐渐增加。
b. 下降趋势：数据随时间逐渐减少。
c. 平稳趋势：数据在长期内保持相对稳定，没有明显的上升或下降趋势。
2. 数据的季节性特征：某些数据在特定的时间段内会有重复的模式出现，这种特征被称为季节性特征。
常见的季节性特征包括：a. 季节性上升：数据在特定时间段内逐渐增加。
b. 季节性下降：数据在特定时间段内逐渐减少。
c. 季节性波动：数据在特定时间段内上升和下降交替出现。
3. 数据的周期性特征：周期性特征是指数据在一定时间间隔内出现循环模式的情况。
与季节性特征不同，周期性特征在更长的时间尺度上存在。
常见的周期性特征包括：a. 周期性上升：数据在一定时间间隔内逐渐增加。
b. 周期性下降：数据在一定时间间隔内逐渐减少。
c. 周期性波动：数据在一定时间间隔内上升和下降交替出现。
4. 数据的随机性特征：除了趋势性、季节性和周期性特征外，数据可能还包含随机性特征。
随机性特征表示数据在某一时间点的取值不受前一时间点的取值影响，具有随机性。
随机性特征使得时间序列模型无法准确预测未来的取值，需要通过其他方法进行处理。
5. 数据的自相关性特征：自相关性特征描述了数据点与其过去时间点的相关性。
自相关性越高，当前数据点与其过去时间点的关系越密切，可以通过自相关函数（ACF）进行衡量。
自相关性特征在时间序列模型中通常用于选择合适的滞后阶数（lag order）。
6. 数据的季节性相关性特征：季节性相关性特征描述了数据点与其过去季节性时间点的相关性。
季节性相关性越高，当前数据点与其过去季节性时间点的关系越密切，可以通过季节性自相关函数（SACF）进行衡量。
季节性相关性特征在时间序列模型中也用于选择合适的滞后阶数。
7. 数据的外部因素特征：在时间序列模型中，还需要考虑可能影响数据变动的外部因素。
《时间序列分析》讲义 第三章 平稳时间序列分析
k
1 k1 2 k2，k
2
自相关系数
自相关系数的定义
k
k 0
平稳AR(p)模型的自相关系数递推公式
k 1k 1 2 k 2 p k p
常用AR模型自相关系数递推公式
AR(1)模型 k 1k , k 0
AR(2)模型
1,
k
1
1 2
1k1 2 k2
k 0 k 1 k2
自回归系数多项式
(B) 11B 2B2 pBp
特征方程
中心化AR(p)模型
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
可以看成p阶常系数非齐次线性差分方程
xt 1 xt1 2 xt2 p xt p t
它对应的齐次方程的特征方程为
p 1 p1 p1 p 0
1 12
协方差函数
在平稳AR(p)模型两边同乘xt-k，再求期望
E(xt xtk ) 1E(xt1xtk ) p E(xt p xtk ) E(t xtk )
根据
E( t xtk ) 0 ,k 1
得协方差函数的递推公式
k 1 k1 2 k 2 p k p
例题
例3.3 求平稳AR(1)模型的协方差
12
2 2
,
0,
k 0 k 1
k 2 k 3
偏自相关系数
滞后k偏自相关系数由Yule-Walker方程 确定
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
齐次线性差分方程
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p 0
齐次线性差分方程的解
特征方程
p a1p1 a2p2 ap 0
特征方程的根称为特征根，记作1,2,…,p
平稳时间序列的判断条件
平稳时间序列的判断条件平稳时间序列是指在时间维度上具有平稳性的序列，即其统计特性不随时间的推移而发生变化。
平稳时间序列的判断条件包括以下几个方面：1. 均值平稳：时间序列的均值不随时间的推移而发生变化。
2. 方差平稳：时间序列的方差不随时间的推移而发生变化。
3. 自相关函数平稳：时间序列的自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。
4. 偏自相关函数平稳：时间序列的偏自相关函数只与时间间隔有关，而与时间的起点无关。
如果一个时间序列满足以上四个条件，则可以认为它是平稳时间序列。
在实际应用中，可以通过计算时间序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数来判断其是否平稳。
如果一个时间序列不满足平稳条件，可以考虑以下几种处理方法：1. 差分法：对时间序列进行差分处理，即计算相邻两个时间点之间的差值。
通过多次差分，可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列。
例如，对于一个非平稳的时间序列 $X_t$，可以计算其一阶差分 $D(X_t) = X_t - X_{t-1}$，如果一阶差分仍然不平稳，可以继续计算二阶差分、三阶差分等，直到得到一个平稳的时间序列。
2. 季节性调整：如果时间序列存在季节性波动，可以使用季节性调整方法将季节性因素去除，从而使时间序列变得平稳。
季节性调整方法包括季节性指数平滑法、季节性差分法等。
3. 单位根检验：可以使用单位根检验来判断时间序列是否存在单位根。
如果时间序列存在单位根，则说明它是非平稳的；如果不存在单位根，则说明它是平稳的。
常用的单位根检验方法包括ADF 检验、PP 检验等。
4. 模型拟合：如果时间序列不满足平稳条件，可以尝试使用非平稳时间序列模型进行拟合，如自回归求和移动平均（ARIMA）模型、广义自回归条件异方差（GARCH）模型等。
这些模型可以捕捉时间序列的非平稳特征，从而更好地描述时间序列的变化规律。
需要根据具体情况选择合适的处理方法，以便更好地分析和预测时间序列。
平稳时间序列模型
（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此
第2章 平稳时间序列分析
zt
(c1
c2t
cd t d1)1t
cd
t
1 d
1
cptp
复根场合
zt
rt (c1eit
c2eit
) c3t3
c
t
pp
非齐次线性差分方程的解
非齐次线性差分方程的特解
使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解zt
zt a1 zt1 a2 zt2 a p zt p h(t)
推导出
0
1 1 p
Green函数定义
设零均值平稳序列 {xt , t 0, 1, 2,...} 能够表示为
xt Gjt j t : WN (0, 2 ) j0
则称上式为平稳序列 {xt } 的传递形式，式中的加权系数 G j
称为Green函数，其中 G0 1 。
Green函数的含义
几个例题
0.8 0.6 0.4 0.2 0.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
2.2 2.0 1.8 1.6 1.4 1.2 1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
几个例题
(5) yt 1.6yt1 0.9yt2 (6) yt 1.6yt1 1.1yt2
有关。
2.时间序列的协方差函数与自相关函数
协方差函数：
(t, s) E( Xt t ) X s s
(x t ) y s dFt,s (x, y) 其中，Ft,s (x, y) 为 ( X t , X s )的二维联合分布。
自相关函数：
(t, s) (t, s) / (t,t) (s, s)
特征根判别
AR(p)模型平稳的充要条件是它的p个特征根都在单 位圆内
第二章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF
第⼆章平稳时间序列模型——ACF和PACF和样本ACFPACF⾃相关函数/⾃相关曲线ACFAR(1)模型的ACF：模型为：当其满⾜平稳的必要条件|a1|<1时（所以说，⾃相关系数是在平稳条件下求得的）：y(t)和y(t-s)的⽅差是有限常数，y(t)和y(t-s)的协⽅差伽马s除以伽马0，可求得ACF如下：由于{rhoi}其在平稳条件|a1|<1下求得，所以平稳0<a1<1则⾃相关系数是直接收敛到0-1<a1<0则⾃相关系数是震荡收敛到0对于AR(2)模型的ACF：（略去截距项）两边同时乘以y(t)，y(t-1)，y(t-2)......得到yule-Walker⽅程，然后结合平稳序列的⼀些性质（yule-Walker⽅程法确确实实⽤了协⽅差只与时间间隔有关的性质），得到⾃相关系数如下：rho0恒为1（⼆阶差分⽅程）令⼈惊喜的是，这个⼆阶差分⽅程的特征⽅程和AR(2)模型的是⼀致的。
所以，我们的rho本就是在序列平稳的条件下求得，所以{rhoi}序列也平稳。
当然，其收敛形式取决于a1和a2MA(1)模型的ACF:模型为：由于y(t)的表达式是由⽩噪声序列中的项组成，所以不需要什么平稳条件，就可以求得rho的形式如下：对于MA(p)模型，rho(p+1)开始，之后都为0.所以说，到了p阶之后突然阶段，变为0了。
ARMA(1,1)模型的ACF：模型为：还是使⽤yule-Walker⽅程法（⽤到了序列平稳则协⽅差只与时间间隔有关的性质）得到：所以有：ARMA(p,q)模型的ACF：ARMA(p,q)的⾃相关系数满⾜：（式1）前p个rho值（rho1，rho2...rhop）可以看做yule-Walker⽅程的初始条件，其他滞后值取决于特征⽅程。
（其实是这样的，rho1，rho2...rhop实际上能写出⼀个表达式，⽽rho(p+1)开始，就满⾜⼀个差分⽅程，⽽这个⽅程对应的特征根（即式1）⽅程和AR(p)对应的⼀模⼀样），所以，他会从之后q期开始衰减。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
平稳时间序列模型概述
平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。
平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。
平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。
ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。
SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。
ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。
SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。
趋势平稳的的时间序列
趋势平稳的的时间序列趋势平稳的时间序列是指在一段时间内，其数据呈现出相对稳定的发展趋势，即没有明显的上升或下降趋势。
在统计学中，趋势平稳的时间序列对于分析和预测具有重要意义。
趋势平稳的时间序列的特征主要有以下几个方面：1. 均值稳定性：趋势平稳的时间序列的均值在不同的时间段内保持相对稳定。
也就是说，数据的整体平均水平没有明显的增长或降低趋势。
2. 方差稳定性：趋势平稳的时间序列的方差在不同时间段内保持相对稳定。
也就是说，数据的波动性没有明显的增加或减少趋势。
3. 自相关性：趋势平稳的时间序列的不同时刻的观测值之间存在一定的自相关性。
也就是说，当前时刻的观测值与前一时刻（或者前几个时刻）的观测值相关联。
这种自相关性是由于时间序列中的某种内在规律性或者周期性导致的。
4. 缺乏季节性或周期性：趋势平稳的时间序列在一段时间内不具备明显的季节性或周期性变化。
也就是说，数据的变化主要是由整体趋势所引起的，而非季节性或周期性因素所导致。
趋势平稳的时间序列分析和预测相对比较简单，因为在其基础上可以应用一些经典的时间序列分析方法。
以下是几种常见的分析和预测方法：1. 移动平均法：移动平均法是一种通过计算相邻时间段内的数据均值来平滑时间序列的方法。
在趋势平稳的时间序列中，由于数据的整体趋势相对稳定，因此移动平均法可以有效降低数据的随机波动，提取出数据的主要趋势，从而更好地分析和预测。
2. 指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均计算当前时刻的观测值的方法，其中对不同时刻的观测值赋予不同的权重。
在趋势平稳的时间序列中，指数平滑法可以根据当前时刻的观测值和先前时刻的预测值来计算最新的预测值，从而更好地捕捉到数据的趋势性。
3. 自回归移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是一种常用的时间序列模型，可以将时间序列分解为自回归(AR)部分、差分(I)部分和滑动平均(MA)部分。
在趋势平稳的时间序列中，ARIMA模型可以通过拟合数据的自回归部分和滑动平均部分来进行预测，从而更好地反映数据的整体趋势。
第3章 平稳时间序列分析(1)
第3章平稳时间序列分析本章教学内容与要求：了解时间序列分析的方法性工具；理解并掌握ARMA 模型的性质；掌握时间序列建模的方法步骤及预测；能够利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
本章教学重点与难点：利用软件进行模型的识别、参数的估计以及序列的建模与预测。
型来息。
t x 为t x 的1阶差分： ▽1t t t x x x --=对1阶差分后的序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分，记▽2tx 为t x 的2阶差分：▽2t x =▽t x -▽1-t x以此类推，对p-1阶差分厚序列再进行一次1阶差分运算称为p 阶差分。
记▽p t x 为t x 的p 阶差分：▽p t x =▽p-1t x -▽p-11-t x （二）k 步差分kt x 为t x 的10,,1t = 10,,2 = 即2阶差分序列▽2t x ：3，22，-63，-54，-6，16，-52，-40，10,,3t = 2步差分：▽29x x x 133=-= ▽234x x x 244=-=……▽2-28x x x 81010=-=即2步差分序列：9，34，-7，-26，12，21，-16，-28 二、延迟算子（滞后算子） （一）定义延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相x因此，15-18+6=343-30+9=222.k 步差分▽k =t k t k t k t t x )B 1(x B x x x -=-=--三、线性差分方程在实践序列的时域分析中，线性差分方程是非常重要的，也是极为有效的工具，事实上，任何一个ARMA模型都是一个现象差分方程。
因此，ARMA模型的性质往往取决于差分方程的性质。
为了更好地讨论ARMA 模型的性质，先简单介绍差分方程的一般性质。
设,，方程两边同除以，得特征方程（这是一个一元p次方程，应该至少有p个非零实根，称这p个实根为特征方程（3）的特征根，不防记作.特征根的取值情况不同，齐次线性差分方程的解会有不同的表达形式。
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别时间序列是统计学中一种重要的数据形式，用于研究随时间变化的现象。
在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念。
平稳时间序列与非平稳时间序列在特征和性质上存在着显著的区别。
本文将讨论平稳时间序列与非平稳时间序列的定义、特征和分析方法。
一、平稳时间序列的定义及特征平稳时间序列是指其概率分布不随时间推移而发生改变的时间序列。
具体来说，对于平稳时间序列，它的均值、方差和自相关函数等统计特征在不同时刻保持不变。
平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值在时间上保持不变。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差在时间上保持不变。
3. 自相关性：平稳时间序列的自相关函数只依赖于时间的间隔，而不依赖于具体的时间点。
二、非平稳时间序列的定义及特征非平稳时间序列是指其概率分布随时间推移而发生改变的时间序列。
具体来说，非平稳时间序列的均值、方差和自相关函数等统计特征会随时间发生变化。
非平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 趋势性：非平稳时间序列存在明显的增长或下降趋势。
2. 季节性：非平稳时间序列可能会呈现出周期性的变动，如一年内的季节变化。
3. 自相关性的变化：非平稳时间序列的自相关函数不仅依赖于时间的间隔，还依赖于具体的时间点。
三、分析方法的区别针对平稳时间序列和非平稳时间序列，我们在分析方法上有不同的选择。
对于平稳时间序列，我们可以使用经典的时间序列分析方法，如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。
这些方法基于平稳性的假设，能够准确地对平稳时间序列进行建模和预测。
对于非平稳时间序列，由于其不具备平稳性，我们需要采取一些转换方法来处理。
常见的方法包括一阶差分、对数转换和季节性调整等。
此外，我们还可以使用更加复杂的模型，如自回归积分移动平均模型（ARIMA）、差分自回归移动平均模型（DARIMA）和趋势-季节性分解模型等。
第三章平稳时间序列分析
t Pp t tt tt x B x x B x Bx x===---221第3章 平稳时刻序列分析一个序列通过预处理被识不为平稳非白噪声序列，那就讲明该序列是一个蕴含着相关信息的平稳序列。
3.1方法性工具 3.1.1差分运算 一、p 阶差分记t x ∇为t x 的1阶差分：1--=∇t t t x x x记t x 2∇为t x 的2阶差分：21122---+-=∇-∇=∇t t t t t t x x x x x x以此类推：记t p x ∇为t x 的p 阶差分：111---∇-∇=∇t p t p t p x x x 二、k 步差分记t k x ∇为t x 的k 步差分：k t t t k x x x --=∇3.1.2延迟算子 一、定义延迟算子相当与一个时刻指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时刻向过往拨了一个时刻。
记B 为延迟算子，有 延迟算子的性质：1.10=B 2.假设c 为任一常数，有1)()(-⋅=⋅=⋅t t t x c x B c x c B3.对任意俩个序列{t x }和{t y }，有11)(--±=±t t t t y x y x B 4.n t t n x x B -= 5.)!(!!,)1()1(0i n i n C B C B i n i i n ni i n-=-=-∑=其中二、用延迟算子表示差分运算 1、p 阶差分 2、k 步差分3.2ARMA 模型的性质 3.2.1AR 模型定义具有如下结构的模型称为p 阶自回回模型，简记为AR(p):ts Ex t s E Var E x x x x t s t s t t p tp t p t t t ∀=≠===≠+++++=---,0,0)(,)(,0)(,0222110εεεσεεφεφφφφε(3.4)AR(p)模型有三个限制条件：条件一：0≠p φ。
那个限制条件保证了模型的最高阶数为p 。
时间序列分析知识点总结(1)
一.时间序列分析的相关概念♦随机过程：若对于每一个特定的t ∈T ，X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量{X(t),t ∈T}是一个随机过程。
♦纯随机过程：随机过程X(t)(t=1,2,…)，如果是由一个不相关的随机变量序列构成的，即对于所有s ≠t ，随机变量X t 和X s 的协方差均为零，则称其为纯随机过程。
♦♦♦♦独立增量随机过程：任意两相邻时刻上的随机变量之差是相互独立的，则称其为独立增量随机过程。
二阶矩过程：若随机过程{X(t),t ∈T}，对每个t ∈T ，X(t)的均值和方差存在，则称其为二阶矩过程。
正态过程：若{X(t)}的有限维分布都是正态分布，则称{X(t)}为正态随机过程。
平稳过程(严平稳)：如果对于时间t 的任意n 个值t 1,t 2,…,t n 和任意实数 ，随机过程X(t)的n 维分布函数满足关系式F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1,t 2,…,t n ) = F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1+ε,t 2+ε,…,t n+ε)，则称X(t)为平稳过程。
即是统计特性不随时间的平移而变化的过程。
♦宽平稳：若随机过程{X(t),t ∈T}的均值和协方差存在，且满足①EX t ∈a,∀t ∈T ；②E[X t+τ-a][X t -a]=R(τ),∀t,t+τ∈T ，则称{X(t),t ∈T}为宽平稳随机过程，R(τ)为X(t)的协方差函数。
♦非平稳随机过程：不具有平稳性的过程就是非平稳过程。
即序列均值或协方差与时间有关时，就可以认为是非平稳的。
♦♦自相关：指时间序列观察资料互相之间的依存关系。
动态性(记忆性)：指系统现在的行为与其历史行为的相关性。
如果某输入对系统后继n 个时刻的行为都有影响，就说该系统具有n 阶动态性。
二.刻画时间序列统计特性的各种数字特征的定义、性质等♦均值函数其中，F t (x)为随机序列X t 的分布密度函数。
第二章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性
第⼆章平稳时间序列模型——AR（p）,MA（q）,ARMA（p,q）模型及其平稳性1⽩噪声过程:零均值，同⽅差，⽆⾃相关（协⽅差为0）以后我们遇到的efshow如果不特殊说明，就是⽩噪声过程。
对于正态分布⽽⾔，不相关即可推出独⽴，所以如果该⽩噪声如果服从正态分布，则其还将互相独⽴。
2各种和模型p阶移动平均过程：q阶⾃回归过程：⾃回归移动平均模型：如果ARMA(p,q)模型的表达式的特征根⾄少有⼀个⼤于等于1，则{y(t)}为积分过程，此时该模型称为⾃回归秋季移动平均模型（ARIMA）时间序列啊，不就是求个通项公式，然后求出⼀个⾮递推形式的表达式吗？（这个公式和⾃变量t有关，然后以后只要知道t就能得到对应的y的预测值）3弱平稳/协⽅差平稳：均值和⽅差为常数（即同⽅差），协⽅差仅与时间间隔有关4⾃相关系数：5AR(1)模型（带⽩噪声的⼀阶差分⽅程）的平稳性：（1）如果初始条件为y0：则其解为（我们通过其解来判断其是否平稳）此时{y(t)}是不平稳的。
· 但是如果|a1|<1，其t⾜够⼤，则{y(t)}是平稳的。
均值：⽅差：等于协⽅差：等于所以有结论：（2）初始条件未知：则其通解为：{y(t)}平稳的条件为：1 |a1|<12 且齐次解A(a1)^t为0：序列从很久前开始（即t很⼤，且结合1，则为0），或该过程始终平稳（A=0）所以说，解的稳定性和序列的平稳性是不⼀样的。
这两条对所有的ARMA(p,q)模型都适⽤。
（对于任意的ARMA(p,q)模型，齐次解为0是平稳性必要条件）（ARMA(p,q)模型的齐次解为或）6对于ARMA(2,1)模型的平稳性：模型表达式为：（2.16）（截距项不影响平稳性，略去）设其挑战解为：（⽤待定系数法）则系数应当满⾜⽅程：（2.17）序列{阿尔法i}收敛的条件是⽅程（2.16）对于的齐次⽅程的特征根都在单位圆之内（因为2.17中的差分⽅程对于的特征⽅程和⽅程2.16对于的特征⽅程是⼀模⼀样的）我们之所以只考虑特解，是因为我们让齐次解为0.此时该挑战解/特解：均值为：⽅差为：（t很⼤时⽤级数求和）协⽅差为：等于所以其平稳性条件为（t很⼤）：1模型对应的齐次⽅程的特征⽅程的特征根在单位圆内2齐次解为0。
时间序列分析--第三章平稳时间序列分析
2019/9/23
课件
25
Green函数递推公式
原理 xt( BG )x(tB )tt (B)G(B)t t
方法
待定系数法
递推公式
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G G0j 1k j1kGjk， j1,2, ,其中 k 0k ,k ,kpp
非齐次线性差分方程的通解
齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的
特解之和 z t
zt ztzt
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10
3.2 ARMA模型的性质
AR模型（Auto Regression Model） MA模型（Moving Average Model） ARMA模型（Auto Regression Moving
2019/9/23
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38
例3.5:— (4 )x t x t 1 0 .5 x t 2t
自相关系数不规则衰减
2019/9/23
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39
偏自相关系数
定义
对于平稳AR(p)序列，所谓滞后k偏自相关系数就 是指在给定中间k-1个随机变量 的 xt1,xt2, ,xtk1 条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变 量的干扰之后， x 对 tk x影t 响的相关度量。用数 学语言描述就是
2019/9/23
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29
例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差
递推公式
k 1k11k0
平稳AR(1)模型的方差为
0
2
1 12
协方差函数的递推公式为
k
1k
2 112
,k1
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第三章 线性平稳时间序列分析
λ + α1λ
p 1
+ + α p = 0
特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 为互不相同的实根 这时齐次线性差分方程的解为 t zt = c1λ1t + + c p λ p 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有相同实根 这时齐次线性差分方程的解为 特征根 λ1 , λ2 ,… , λ p 中有复根 这时齐次线性差分方程的解为
j
j k
根据 Cauchy 不等式,我们可以得到
G j G j k ≤ ∑ G 2 ∑ G 2k ∑ j j j =∞ j =∞ j =∞
∞ ∞ ∞
12
<∞
所以级数
j =∞
∑GG
j∞Leabharlann j k收敛,故 { X t } 为平稳序列.
上海财经大学 统计与管理学院
10
,
3.1.2 线性过程的因果性和可逆性
1 j =1
(3.8)
其中
1 G 1 ( B ) = I ( B) = 1 ∑ I j B j j =1 ∞
(3.9)
称将 X t 变换为 ε t 的线性算子:
I ( B ) = ∑ I j B j , I 0 = 1
j =0
∞
为逆函数 逆函数,称(3.8)为 X t 的逆转形式 逆转形式,也称为无穷阶自回归. 逆函数 逆转形式
j =0 ∞
便于使用的条件是: 便于使用的条件是:
∑ Gj < ∞
∞
j =0
(3.7)
上海财经大学 统计与管理学院 13
在理论研究和实际问题的处理时, 通常还需要用 t 时刻及 t 时刻以前的 X t j ( j = 0,1, ) 来表示白噪声 ε t ,即
第二章 线性平稳时间序列模型.ppt
m tm
44
若时间序列是非平稳的，则可先
对序列进行差分运算，然后再建立
ARMA模型，即求和自回归移动平均
模型(Auto Regressive Integrated
Moving Average modek)简称
ARiMA模型
AR, MA
at
Biblioteka ARMA
X
t
ARIMA
xt：0 0 1 0 0
这种状况可用模型概括为：xt 1at1
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（3）如果当天的反应是疼痛 0 ，第二天 出现了红肿 1 ，那么：
时间 输入 输出
t ：1 2 at: 0 1 xt：0 0
3 45 0 00 1 0 0
这种状况可用模型概括为：xt 0at 1at1
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返回例题
17
例3 北京市最高气温自相关图
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返回例题
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二、纯随机性检验
（一）纯随机序列的定 义
（二）纯随机性的性质 （三）纯随机性检验
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（一）纯随机序列的定义
纯随机序列也称为白噪声序列，它满足 如下两条性质
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ˆ k
~
N (0, 1) n
,k 0
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2.假设条件
原假设：延迟期数小于或等于m 期的序列 值之间相互独立
H 0：1 2 m 0,m 1
H1：至少存在某个 k 0,m 1，k m
备择假设：延迟期数小于或等于m 期的 序列值之间有相关性
数学建模 时间序列模型
数学建模时间序列模型1. 引言1.1 概述时间序列模型是一种数学建模方法，用于分析和预测随时间变化而变化的数据。
在各个领域，例如经济学、金融学、气象学等，时间序列模型都被广泛应用于数据分析和预测中。
时间序列模型的核心思想是利用过去的观测数据来预测未来的值。
通过对历史数据的分析，可以揭示出其中的规律和趋势，并基于这些规律和趋势来进行预测。
这使得时间序列模型成为了许多领域中非常有用的工具。
时间序列模型有许多不同的方法和技术，每种方法都有其适用的场景和特点。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归积分移动平均模型（ARIMA）以及季节性自回归积分移动平均模型（SARIMA）等。
这些模型都基于不同的假设和方程，用于解释和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列模型的基本原理和方法，并探讨在数学建模中的应用。
首先，我们将介绍时间序列模型的基本概念和定义，包括时间序列、平稳性和自相关性等。
然后，我们将深入研究数学建模的基础原理，包括数据预处理、模型选择和参数估计等。
通过学习这些基础原理，读者将能够更好地理解时间序列模型，并能够在实际问题中应用它们进行数据分析和预测。
本文将通过实例和案例分析来说明时间序列模型的应用。
我们将使用真实的数据集，并结合相关的数学模型和算法，在实际问题中进行分析和预测。
通过这种方式，读者将能够更好地理解时间序列模型的实际应用，并能够应用这些方法解决自己遇到的问题。
最后，在结论部分，我们将对本文的内容进行总结，并展望时间序列模型的未来发展方向。
时间序列模型作为一种强大的分析工具，在大数据时代将发挥越来越重要的作用。
随着数据量的增加和计算能力的提升，时间序列模型将更加精确和高效，为各行各业的决策和预测提供更准确的支持。
1.2 文章结构本文按照以下结构组织：1. 引言：在这一部分，我们将提供一个概述性的介绍，包括对时间序列模型和数学建模的定义和背景的讨论。
我们将介绍本文的目的，并列出本文的主要内容。
时间序列分析第三章平稳时间序列分析
时间序列分析第三章平稳时间序列分析轴表示序列取值。
时序图可以直观地帮助我们掌握时间序列的一些基本分布特征。
根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界的特点。
如果观察序列的时序图，显示出该序列有明显的趋势性或周期性，那它通常不是平稳序列。
从图上可以看出，数值围绕在0附近随机波动，没有明显或周期，其本可以视为平稳序列，时序图显示该序列波动平稳。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8;run;图一图二样本自相关图图三样本逆自相关图2图四样本偏自相关图图五纯随机检验图实验结果分析：（1）由图一我们可以知道序列样本的序列均值为-0.06595，标准差为1.561613，观察值个数为84个。
（2）根据图二序列样本的自相关图我们可以知道该图横轴表示自相关系数，综轴表示延迟时期数，用水平方向的垂线表示自相关系数的大小。
我们发现样本自相关图延迟3阶之后，自相关系数都落入2倍标准差范围以内，而且自相关系数向0.03衰减的速度非常快，延迟5阶之后自相关系数即在0.03值附近波动。
这是一个短期相关的样本自相关图。
所以根据样本自相关图的相关性质，可以认为该序列平稳。
（3）根据图五的检验结果我们知道，在各阶延迟下LB检验统计量的P值都非常小（<0.0001），所以我们可以以很大的把握（置信水平>99.999%）断定该序列样本属于非白噪声序列。
procarimadata=e某ample3_1;identifyvar=某nlag=8minicp=(0:5)q=(0:5);run;IDENTIFY命令输出的最小信息量结果3某个观察值序列通过序列预处理，可以判定为平稳非白噪声序列，就可以利用ARMA模型对该序列建模。
建模的基本步骤如下：A：求出该观察值序列的样本自相关系数（ACF）和样本偏自相关系数（PACF）的值。
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第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。
最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。
用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：X t=φX t-1+εt（常记作AR(1)。
其中｛X t｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为X t对X t－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。
如果X t 与过去时期直到X t-p的取值相关，则需要使用包含X t－X t-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。
P阶自回归模型的一1 ，……般形式为：X t=φ1 X t－1+φ2 X t－2+…+φp X t－p+εt（为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。
设B为滞后算子，即BX t=X t-1, 则B(B k-1X t)=B k X t=X t-k B(C)=C(C为常数)。
利用这些记号，（X t=φ1BX t+φ2B2X t+φ3B3X t+……+φp B p X t+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-……-φp B p）X t=εt记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-……-φp B P）,则模型可以表示成φ（B）X t=εt ( 例如，二阶自回归模型X t=0.7X t-1+0.3X t-2+0.3X t-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）X t=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列X t的记忆是关于过去外部冲击值的记忆，在这种情况下，X t可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即X t=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q ( 此模型常称为序列X t的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2…θq为参滑动平均的权数。
相应的序列X t称为滑动平均序列。
使用滞后算子记号，（X t=（1-θ1B-θ2B2-……- θq B q）q t=θ(B)εt ( 三、自回归滑动平均模型如果序列｛X t｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动平均模型，其一般结构为：X t=φ1X t-1+φ2X t-2+……+φp X t-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-……-θqεt-q( 简记为ARMA(p, q)。
利用滞后算子，此模型可写为φ（B）X t=θ(B)εt（第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。
① 序列的传递形式：设｛Y t ｝为随机序列，｛εt ｝为白噪声，若｛Y t ｝可表示为：Y t =εt +G 1εt-1+G 2εt-2+……+G k εt-k +……=G(B) εt且∞<∑∞1k G ，则称｛Y t ｝具有传递形式，此时｛Y t ｝是平稳的。
系数｛G k ｝称为格林函数。
它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。
② 序列的逆转形式：若｛Y t ｝可表示为：εt = Y t -π1 Y t-1-π2 Y t-2-……-πk Y t-k -……=π(B) Y t 且∞<∑∞1k π，则称｛Y t ｝具有逆转形式（或可逆形式）。
一、 MA 模型1. MA 模型本身就是传递形式。
2. MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA （∞）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。
3. MA(q)模型的可逆性条件。
先以MA （1）(Y t =εt -θ1εt-1)为例进行分析。
MA(1)的可逆性条件为：11<θ。
如果引入滞后算子表示MA(1)，则Y t =（1-θ1B ）εt ，可逆条件11<θ等价于θ(B)=1-θ1B=0的根全在单位圆外。
对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有： Y t =（1-θ1B-θ2B 2-……- θq B q ）εt = θ(B)εt其可逆的充要条件是：θ(B) =0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins ，P79）。
在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR 模型：θ-1(B)Y t =εtMA(q)的可逆域：使θ(B) =0的根全在单位圆之外的系数向量（θ1，θ2，……，θq ）所形成的集合。
例：求MA(2)的可逆域。
解：由2211----=t t t t Y εθεθε，其特征方程为： 该方程的两个根为：由二次方程根与系数的关系，有当MA （2）平稳时，根的模21λλ与都必须大于1，因此必有： 由根与系数的关系，可以推出如下式子：由于21θθ、是实数，21λλ与必同为实数或共轭复数。
又因为1>i λ，因此故反之，如果12<θ，且112<±θθ。
那么从11212<=λλθ可以推出至少有一个1>i λ，例如，假设11>λ，则根据1)11)(11(121<-λλ可推出0)11)(11(21>λλ，由0111>λ可以推出0112>λ，从而12>λ。
因此，01)(221=--=B B B θθθ的根在单位圆之外。
（平稳域为一三角形）。
二、 AR 模型1. AR(P)模型本身就是一种逆转形式。
2. 平稳性。
先以AR(1)(Y t =ϕ1Y t-1+εt ),进行分析。
AR(1)平稳的条件为11<ϕ，它等价于ϕ(B)=1-ϕ1B=0的根在单位圆外。
3、在平稳的情况下，AR(1)有传递形式： （1-ϕ1B ）Y t =εt j t j j t t BY -∞=∑=-=εϕεϕ01111一般地，对于AR(P)模型：ϕ(B) Y t =εt ，序列｛Y t ｝平稳的充要条件是：ϕ(B)=0的根全在单位圆外。
此时，Y t 有传递形式：Y t =ϕ-1(B) εtAR(P)的平稳域：使ϕ(B)=0的根全在单位圆外的AR 系数向量（ϕ1，ϕ2，……，ϕp ，）的全体形成的集合。
练习：求AR(1)与AR(2)的平稳域。
三、ARMA （p,q ）模型 1、平稳性与传递形式首先考察ARMA(1，1)的平稳性: Y t –φ1Y t-1=εt –θ1εt-1 Y t 平稳 ︱φ1︱＜1 （与AR （1）的平稳域相同）此结论表明，ARMA （1,1）序列的平稳性仅与自回归系数有关，而与滑动平均系数无关。
而且平稳条件与AR （1）的平稳条件相同。
在平稳的条件下，Y t 有上述形式的传递形式。
一般地，服从ARMA （p,q ）模型的序列Y t 平稳的充要条件是：φ（B ）=0的根全在单位圆外。
在平稳的条件下，Y t 有传递形式 Y t =φ-1（B ）θ（B ）εt 2、可逆性对于ARMA （1,1），假定可逆形式为εt =π（B ）Y t =（1–π1B –π2B 2–…–πk B k –…）Y t代入ARMA （1,1）的滞后算子表示形式，采用类似前面的方法，比较同次冥系数可得εt = Y t –（φ1–θ1）Y t-1–θ1（φ1–θ1）Y t-2–…–θ1 k-1（φ1–θ1）Y t-k –… 根据前面的定义（可逆性定义），应有︱φ1︱＜1。
因此，ARMA （1,1）可逆的条件是︱φ1︱＜1，它仅与滑动系数有关，而与自回归系数无关。
而且可逆条件与MA （1）的可逆条件相同。
一般地，服从ARMA （p,q ）模型的序列Y t ，其具有可逆性的条件是： θ（B ）=0的根全在单位圆外。
在可逆的条件下，Y t 的逆转形式为 εt =θ-1（B ）φ（B ）Y t 3、传递性与可逆性的重要意义第三节 线性时间序列模型的自相关函数与偏自相关函数 一、 自相关函数 1、MA （q ）模型的自相关函数 设｛Y t ｝服从:Y t =θ（B ）εt =εt –θ1εt-1–…–θq εt-q = –∑=qj 0θj εt-j ,θ0=–1则｛Y t ｝的s 阶自协方差函数为：γs =∑=qj 0θj θs+j σ2= σ2(θ0θs +θ1θs+1+…+θq-s θq ) (s ≤q)（θ0= -1 ） 0 (s>q) 由上式，有γ0=σ2（1+θ12+…+θq 2） 故｛Y t ｝的自相关函数（ACF ）为： ρs =γs ／γ0=qs q s s q q s q s s >≤≤=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++--+10,,,01122111θθθθθθθ 上式表明，MA （q ）模型的记忆仅有q 个时段，Y t 的自协方差函数或自相关函数（ACF ）q 步截尾。
这是MA （q ）模型的典型特征。
MA （q ）的典型特征：ρs 在q 步截尾。
2、 AR （p ）模型的自相关函数首先考察AR （1） (Y t =φ1Y t-1+εt )的自相关函数的特征。
Y t 的自协方差函数为：γs =Cov(Y t , Y t+s )=φ1γs-1从而 γs =φ1γs-1=φ12υs-2=…=φ1s γ0 自相关函数（ACF ）为： ρs =γs ／γ0=φ1s当︱φ1︱＜1，ρs —>0,即自相关函数ρs 随s 的增大而衰减至零。
这种现象称为拖尾性。
对于一般的AR （p ），序列的自相关函数的特征分析如下：设Y t=φ1Y t-1+φ2Y t-2+…+φp Y t-p+εt=φ(B) Y t+εt则自协方差函数：γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p这是一个关于｛｝的线性差分方程。
s上式两边同除γ0，得关于自相关函数（ACF）的线性差分方程。
ρs=φ1ρs-1+φ2ρs-2+…+φpρs-p在AR（p）平稳的条件下，φ（B）=0有p个在单位圆外的根а1、а2，…，аp。
根据线性差分方程解的有关理论，自相关函数（ACF）服从的线性差分方程φ(B)ρs=0的通解为：ρs=c1а1-s+ c2а2-s +…+ c pаp-s由于︱аj︱＞1，因此ρs将按指数衰减（实根情形）或正弦振荡衰减（复根情形）。
这种特性称为AR（p）的拖尾性。
AR（p）的典型特征是：ρs拖尾（衰减）3、ARMA（p,q）的自相关函数设ARMA（p,q）的形式为：Y t=φ1Y t-1+φ2Y t-2+…+φp Y t-p+εt–θ1εt-1–…–θqεt-q则Y t的s阶自协方差函数为：γs=φ1γs-1+φ2γs-2+…+φpγs-p+E(Y tεt+S)–θ1E(Y tεt+S-1) –…–θE(Y tεt+S-q)q①当0≤s≤q时，εt+S，εt+S-1，…，εt+S-q中有一部分位于t 时刻以前（t+ s-i≤t s-i≤0），Y t与这一部分外部冲击有关，从而γs除了受自回归系数的影响外，还受一部分滑动平均系数的影响。