直线与椭圆的综合问题
2020高考冲刺数学总复习压轴解答：椭圆相关的综合问题(附答案及解析)
专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值．【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．（2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率e =且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点(22,1).（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．（2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围.5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率； (Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 .6. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值.7．（2020·河南鹤壁高中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 是椭圆短轴的一个顶点，并且12PF F ∆是面积为1的等腰直角三角形. （1）求椭圆E 的方程；（2）设直线1:1l x my =+与椭圆E 相交于,M N 两点，过M 作与y 轴垂直的直线2l ，已知点3(,0)2H ,问直线NH 与2l 的交点的横坐标是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由.8．（2020·江西高三）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>过点1)2-.（1）求椭圆C 的方程.（2）若A ，B 是椭圆C 上的两个动点（A ，B 两点不关于x 轴对称），O 为坐标原点，OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，问是否存在非零常数λ，使当12k k λ=时，AOB ∆的面积S 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.9．（2020·甘肃省岷县第一中学期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：||||AN BM ⋅为定值.10．（2020·江苏高三期末）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .（1）求1PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值.11．（2020·河南高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于M ，N 两点.（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C . （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.12．（2020·四川高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴顶点分别为,A B ,且短轴长为2,T 为椭圆上异于,A B 的任意-一点,直线,TA TB 的斜率之积为13- (1)求椭圆C 的方程;(2)设O 为坐标原点,圆223:4O x y +=的切线l 与椭圆C 相交于,P Q 两点,求POQ △面积的最大值.13．（2020·内蒙古高三）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线260x -+=相切. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线()()20y k x k =-≠与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在定点E ，使得2EA EA AB +⋅为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值；若不存在，请说明理由.14．（2020·河北高三期末）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为0)，四条直线x a =±，y b =±所围成的区域面积为（1）求C 的方程；（2）设过(0,3)D 的直线l 与C 交于不同的两点,A B ，设弦AB 的中点为M ，且1||||2OM AB =（O 为原点），求直线l 的方程.15．（2020·山东高三期末）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的短轴长和焦距相等，左、右焦点分别为1F 、2F ，点1,2Q ⎛ ⎝⎭满足：122QF QF a +=.已知直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 过点2F ，且222AF F B =，求直线l 的方程；（3）若直线l 与曲线ln y x =相切于点(),ln T t t （0t >），且AB 中点的横坐标等于23，证明：符合题意的点T 有两个，并任求出其中一个的坐标.16．（2020·安徽高三）已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>过点(1,1)M 离心率为2.（1）求Γ的方程；（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值.17．（2020·福建省福州第一中学高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为y x =截圆O ：222x y a +=与椭圆E 所得的弦长之比为2，椭圆E 与y 轴正半轴的交点分别为A .（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点()00,B x y （00y ≠且01y ≠±）为椭圆E 上一点，点B 关于x 轴的对称点为C ，直线AB ，AC分别交x 轴于点M ，N .试判断OM ON ⋅是否为定值？若是求出该定值，若不是定值，请说明理由.18．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭是椭圆上的点，,A B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当,A B 运动时，满足APQ BPQ ∠=∠，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由.19．（2020·甘肃高三期末）设椭圆2222:1y x C a b +=(0)a b >>的离心率是2，直线1x =被椭圆C 截得的弦长为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知点M 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，当MAB △的面积最大时，求直线l 的方程.20．（2020·江西高三期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，F 为椭圆C 的右焦点，2D ⎛ ⎝⎭为椭圆上一点，C 的离心率2e =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为k 的直线l 过点F 交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的中垂线交x 轴于点P ，试探究||||PF MN 是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.21．（2020·青海高三期末）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，（1）试求椭圆M 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与椭圆M 交于C 、D 两点，点3(1)2P ，为椭圆M 上一点，记直线PC 的斜率为1k ，直线PD 的斜率为2k ，试问：12k k +是否为定值？请证明你的结论22．（2020·四川高三期末）在平面直角坐标系中，已知点(2,0)A -，(2,0)B ，动点(,)P x y 满足直线AP 与BP 的斜率之积为34-.记点P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)若M ，N 是曲线C 上的动点，且直线MN 过点10,2D ⎛⎫⎪⎝⎭，问在y 轴上是否存在定点Q ，使得MQO NQO ∠=∠若存在，请求出定点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.23．（2020·山西高三期末）已知()()122,0,2,0F F -是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的两个焦点，M 是椭圆C 上一点，当112MF F F ⊥时，有213MF MF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设过椭圆右焦点2F 的动直线l 与椭圆交于,A B 两点，试问在x 铀上是否存在与2F 不重合的定点T ，使得22ATF BTF ∠=∠恒成立？若存在，求出定点T 的坐标，若不存在，请说明理由.专题三 压轴解答题第二关 椭圆相关的综合问题【名师综述】纵观近三年的高考题，解析几何题目是每年必考题型，主要体现在解析几何知识内的综合及与其它知识之间的综合，且椭圆考查的最多，，同时可能与平面向量、导数相交汇，每个题一般设置了两个问，第（1）问一般考查曲线方程的求法，主要利用定义法与待定系数法求解，而第（2）问主要涉及最值问题、定值问题、对称问题、轨迹问题、探索性问题、参数范围问题等.这类问题综合性大，解题时需根据具体问题，灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确构造不等式，体现了解析几何与其他数学知识的密切联系．【考点方向标】 方向一 中点问题典例1．（2020·山东高三期末）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，PF =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM ，求AOB ∆面积的最大值.【答案】（1）22182x y +=；（2）2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题知，点,2P c ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭，b =则有222212c a ⎛⎫⎪⎝⎭+=，2234c a ∴=，又22222a b c c =+=+，28a ∴=，26c =， 因此，椭圆C 的标准方程为22182x y +=；（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OMAB ⊥，由OM =AB12AOB S OM AB ∆=⋅=； 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222148480k x ktx t +++-=. 122814kt x x k -∴+=+，21224814t x x k-=+，从而224,1414kt t M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭已知OM =()2222214116k t k+=+.()()()22222212122284814141414kt t AB k x x x x k k k ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤=++-=+-⨯⎢⎥ ⎪⎣⎦++⎝⎭⎢⎥⎣⎦()()()222221682114k t k k -+=++. 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k=+， ()()()222222221682114114AOBk t t S k k k ∆-+=+⋅++. 将()2222214116k t k+=+代入化简得()()2222219241116AOB k k S k ∆+=+.令2116k p +=，则()()()22222211211192414116AOBp p k k S p k ∆-⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭==+211433433p ⎡⎤⎛⎫=--+≤⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2. 综上：AOB ∆的面积最大，最大值为2. 【举一反三】（2020·河南南阳中学高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线2y =的焦点重合，且椭圆C 的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，线段AB 的中点为(1,)M t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直线m 过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）2214x y +=；（2）直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭，详见解析.【解析】（1）抛物线2y =的焦点为，则c =椭圆C 的离心率c e a ==2222,1a b a c ==-=. 故椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）方法一：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，易知0t ≠，设直线l 的方程为(1)y k x t =-+， 代入椭圆方程并化简得22222(14)(88)48440k x kt k x k kt t ++-+-+-=.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则212288214kt k x x k -+=-=+，解得14k t =-. 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-.令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方法二：显然点(1,)M t 在椭圆C 内部，故t <<，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则有221114x y +=，222214x y +=，两式相减得12121212()()()()04x x x x y y y y +-++-=.由线段AB 的中点为(1,)M t ，则12122,2x x y y t +=+=， 故直线l 的斜率121214y y k x x t-==--.因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线:4(1)m y t t x -=-，即(43)y t x =-. 令430x -=，此时3,04x y ==，于是直线m 过定点3,04⎛⎫⎪⎝⎭. 当直线l 的斜率不存在时，易知0t =，此时直线:0m y =，故直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.综上所述，直线m 过定点3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭.方向二 垂直问题典例2．（2020·安徽期末）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且过点(22．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，过椭圆C 的右焦点F 作两条相互垂直的直线,AB DE 交椭圆分别于,,,A B D E ，且满足12AM AB =，12DN DE =，求MNF ∆面积的最大值． 【答案】（1）2212x y +=；（2）19.【解析】（1）根据条件有22222{13124a b a b=+=，解得222,1a b ==，所以椭圆22:12x C y +=． （2）根据12AM AB =，12CN CD =可知，,M N 分别为,AB DE 的中点， 且直线,AB DE 斜率均存在且不为0，现设点()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1x my =+，不妨设0m >， 联立椭圆C 有()222210m y my ++-=， 根据韦达定理得：12222m y y m +=-+，()12122422x x m y y m +=++=+， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，MF =，同理可得12NF m =⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 所以MNF ∆面积2112142MNFm m S MF NF m m ∆+==⎛⎫++ ⎪⎝⎭，现令12t m m =+≥， 那么21124294MNF t S t t t∆==≤++，所以当2t =，1m =时，MNF ∆的面积取得最大值19． 【举一反三】（2020·吉林东北师大附中高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左焦点为F ，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，且AB OP ，且POB ∆的面积是12，其中O 是坐标原点. （1）求椭圆C 的方程.（2）若过点F 的直线1l ，2l 互相垂直，且分别与椭圆C 交于点M ，N ，S ，T 四点，求四边形MSNT 的面积S 的最小值.【答案】（1）2212x y +=；（2）169【解析】（1）依题意画出下图可设2(,)b P c a-，(,0)A a ，(0,)B b ，则有：22221122OPAB POB b b k k ac a S bc b c a∆⎧-===⎪-⎪⎪==⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，Ⅰ椭圆C 的标准方程为2212x y +=；（2）Ⅰ当1l x ⊥，2//l x 时，22122222MSNTb S a b a===； Ⅰ当1l ，2l 斜率存在时，设1l ：1x ky =-，2l ：11x y k=-，分别联立椭圆方程2212x y +=，联立22112x ky x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222210k y ky +--=， Ⅰ12222k y y k +=+，12212y y k -=+， ⅠMN==)2212k k +=+，同理)22221111122k k ST k k⎫+⎪+⎝⎭==++， Ⅰ12S MN ST =()()()22228112221k k k +=++()()()222241221k k k +=++()2222241221()2k k k +≥+++()22224(1)169914k k +==+，当且仅当22221k k +=+即21k =即1k =±时等号成立， 故四边形MSNT 的面积S 的最小值min 169S =．方向三 面积问题典例3．（2020·安徽高三月考）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点为()1,0F -，经过点F 的直线与椭圆相交于M ，N 两点，点P 为线段MN 的中点，点O 为坐标原点.当直线MN 的斜率为1时，直线OP 的斜率为12-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点A 为椭圆的左顶点，点B 为椭圆的右顶点，过F 的动直线交该椭圆于C ，D 两点，记ACD ∆的面积为1S ，BCD ∆的面积为2S ，求21S S -的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则点1212,22x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，由条件知直线MN 的斜率为12121y y x x -=-，直线OP 的斜率为121212y y x x +=-+，而22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得，22221212220x x y y a b --+=， 所以()()()()22212121222212121212y y y y y y b a x x x x x x -+--===---+，即222a b =， 又左焦点为()1,0F -，所以22222221c a b b b b =-=-==，所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=.（2）设直线CD 的方程为1x my =-，记C ，D 过标为()11,x y ，()22,x y ，则1121212S AF y y y y =⋅-=-，2121212S BF y y y y =⋅-=-， 所以2112S S y y -=-.联立方程，22221x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()222210m y my +--=，所以12222m y y m +=+，12212y y m =-+，12y y -==，令21tm =+，则1t ≥，且()()()2222818882122122m tt mt t+==≤=+++++，当且仅当1t =时等号成立， 所以2112S S y y -=-21S S -.典例4．（2020·河南高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b ab +=>>的离心率2e =，且椭圆过点)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 与C 交于M 、N 两点，点D 在椭圆C 上，O 是坐标原点，若OM ON OD +=，判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为()20c c >，由题意可得222222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得24a =，22b =，因此，椭圆C 的标准方程为22142x y +=；（2）当直线l 的斜率不存在时，直线MN 的方程为1x =-或1x =.若直线l 的方程为1x =，联立221142x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩此时，MN =OMDN的面积为122=同理，当直线l 的方程为1x =-时，可求得四边形OMDN； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，代人到22142x y +=，得()222124240k x kmx m +++-=，122412km x x k -∴+=+，21222412m x x k -=+，()228420k m ∆=+->， ()12122221my y k x x m k∴+=++=+，12MN x x =-==，点O 到直线MN的距离d =，由OM OC OD +=，得122421D km x x x k =+=-+，122212D my y y k =+=+， 点D 在椭圆C 上，所以有222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得22122k m +=，由题意知，四边形OMDN 为平行四边形，∴平行四边形OMDN的面积为1222OMDN OMNS S MN d ∆==⨯⨯=()222121k k +====+故四边形OMDN . 【举一反三】（2020·全国高三专题练习）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b +=＞＞线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ． （i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标．【答案】（Ⅰ）2241x y +=;（Ⅰ）（Ⅰ）见解析；（Ⅰ）12S S 的最大值为94，此时点P的坐标为1,)24【解析】（Ⅰ=，解得2a b =． 因为抛物线的焦点为10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,2a b ==，所以椭圆的方程为2241x y +=．（Ⅰ）（1）设2,(0)2m m P m ⎛⎫> ⎪⎝⎭，由22x y =可得y x '=，所以直线l 的斜率为m ，其直线方程为2()2m y m x m -=-，即22my mx =-． 设()()()112200,,,,,A x y B x y D x y ，联立方程组2222m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩消去y 并整理可得()223441410m x m x m +-+-=，故由其判别式>0∆可得0m <<3122441m x x m +=+， 故312022241x x m x m +==+,代入22m y mx =-可得()202241m y m =-+， 因为0014y x m =-，所以直线OD 的方程为14y x m=-． 联立14y x m x m⎧=-⎪⎨⎪=⎩可得点的纵坐标为14y =-，即点M 在定直线14y =-上． （2）由（1）知直线l 的方程为22m y mx =-，令0x =得22m y =-，所以20,2m G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()2322212,,,0,,2241241m m m P m F D m m ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以()2111||124S GF m m m ==+，()()22202211||2841m m S PM m x m +=⋅-=+， 所以()()()221222241121m m S S m ++=+，令221t m =+，则1222(21)(1)112S t t S t t t -+==-++， 因此当112t =，即2t =时，12S S 最大，其最大值为94，此时2m =满足>0∆，所以点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，因此12S S 的最大值为94，此时点P 的坐标为1,24⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （2020·重庆高三月考）已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率2e =，且圆221x y +=经过椭圆C的上、下顶点.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 相切，且与椭圆22122:144x y C a b+=相交于M ，N 两点，证明：OMN 的面积为定值（O 为坐标原点）.【答案】（1）2214x y +=；（2）见解析.【解析】（1）解：因为圆221x y +=过椭圆C 的上、下顶点，所以1b =.又离心率2e ==，所以21314a -=，则24a =. 故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）证明：椭圆221:1164x y C +=，当直线l 的斜率不存在时，这时直线l 的方程为2x =±，联立2221164x x y =±⎧⎪⎨+=⎪⎩，得y =||MN =则12||2OMN S MN ∆=⨯⨯= 当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418410k x kmx m +++-=，由0∆=，可得2241m k =+. 联立221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()()222418440k x kmx m +++-=.设()11,,M x y ()22,N x y ，所以1228,41km x x k +=-+()21224441m x x k -=+，则||MN ==.因为原点到直线l的距离d ==1||2OMNS MN d =⋅=. 综上所述，OMN ∆的面积为定值方向四 范围与定值问题典例5．（2020·内蒙古高三期末）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率e =且圆222x y +=过椭圆C 的上，下顶点. （1）求椭圆C 的方程. （2）若直线l 的斜率为12，且直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，点P 关于点的对称点为E ，点()2,1A -是椭圆C 上一点，判断直线AE 与AQ 的斜率之和是否为定值，如果是，请求出此定值：如果不是，请说明理.【答案】（1）22182x y +=；（2）是，0. 【解析】（1）因为圆222x y +=过椭圆C的上，下顶点，所以b =又离心率2e =3a c =，于是有222b a a bc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得a =b =所以椭圆C 的方程为22182x y +=； （2）由于直线l 的斜率为12，可设直线l 的方程为12y x t =+，代入椭圆C ：2248x y +=， 可得222240x tx t ++-=.由于直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，所以()2244240t t ∆=-->， 整理解得22t -<<设点()11,P x y 、()22,Q x y ，由于点P 与点E 关于原点的对称，故点()11,E x y --，于是有122x x t +=-，21224x x t =-.若直线AE 与AQ 的斜率分别为AE k ，AQ k ，由于点()2,1A -，则21211122AE AQ y y k k x x ---+=++-+()()()()()()122121212122x y x y x x ---++=+-， 又Ⅰ1112y x t =+，2212y x t =+. 于是有()()()()12212121x y x y ---++()()2112211224y y x y x y x x =--++--()211212124x x x x tx tx x x =--+++--()12124x x t x x =-+--()()224240t t t =-----=，故直线AE 与AQ 的斜率之和为0，即0AE AQ k k +=.典例6．（2020·全国高三专题练习）已知顶点为原点的抛物线C 的焦点与椭圆2221y x a+=的上焦点重合，且过点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若抛物线上不同两点A ，B 作抛物线的切线，两切线的斜率121k k =-，若记AB 的中点的横坐标为m ，AB 的弦长()g m ，并求()g m 的取值范围.【答案】（1）2215y x +=；（2）[)8,+∞. 【解析】（1）由题意可知，设抛物线方程为：22x py =点在抛物线C 上，所以抛物线C 的方程为28x y =，所以椭圆的上焦点为(0,2)，所以椭圆的标准方程为2215y x +=；（2）设211,,8x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭222,8x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在A 点处的切线的斜率114x k =，在B 点处的切线的斜率224x k =，又1212116x xk k ⋅==-，所以 22212188ABx x k x x -=-218x x +=,4m =212x x m +=，而12|||AB x =-===所以g()m =20m ≥，所以()8g m ≥.【举一反三】（2020·全国高三专题练习（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍，直线l ：4430x y -+=交C 于A ，B 两点，且AB 的中点横坐标为12-． （1）求椭圆C 的方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，O 为坐标原点，且满足2234OM ON +=，求证：OM ，ON 斜率的平方之积是定值．【答案】（1）22241x y +=（2）证明见解析【解析】由椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长是离心率的两倍得22a e =，即2a c =………..Ⅰ 设1122(,),(,)A x y B x y联立22221x y a b+=和4430x y -+=整理得222222239()0216a b x a x a a b +++-=； 所以2122232ax x a b +=-+， 依题意得：22232=1aa b--+，即222a b =……..Ⅰ· 由ⅠⅠ得依题意得：2211,24a b ==，所以椭圆C 的方程为22241x y +=.（2）设3344(,),(,)M x y N x y ，由223||||4OM ON +=得2222334434x y x y +++= 因为3344(,),(,)M x y N x y 在椭圆C 上，所以22332244241,241,x y x y ⎧+=⇒⎨+=⎩223412x x +=， 22223422342222343411(12)(12)44OM ON x x y y K K x x x x -⋅-⋅===222234342234112()4)1164x x x x x x -++=（ （2020·四川石室中学高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长是短轴长的两倍，焦距(1)求椭圆C 的标准方程;(2)设不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于两点M 、N ，且直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，求ⅠOMN 面积的取值范围.【答案】(1)2214x y +=；(2) (0,1)．【解析】(1)由已知得222222{2a bc a c a b =⨯==-⇒2{1a b ==ⅠC 方程：2214x y += (2)由题意可设直线l 的方程为：y kx m =+(0,0)k m ≠≠联立2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得：222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 则Ⅰ22226416(14)(1)k m k m =-+-2216(41)0k m =-+>,此时设11(,)M x y 、22(,)N x y Ⅰ212122284(1),1414km m x x x x k k-+=-=++ 于是2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++又直线OM 、MN 、ON 的斜率依次成等比数列，Ⅰ2221211121212()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==⇒22228014k m m k-+=+ 由0m ≠得：214k =⇒12k =±.又由Ⅰ0>得：202m << 显然21m ≠（否则：120x x =，则12,x x 中至少有一个为0，直线OM 、ON 中至少有一个斜率不存在，矛盾！）设原点O 到直线l 的距离为d ,则1212OMNSMN d x ==-12== 故由m 得取值范围可得ⅠOMN 面积的取值范围为(0,1)【压轴选编】1.（2020·全国高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅰ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，M 的坐标为62,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭、62,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，最大值为．【解析】（Ⅰ）因为e =2223c a =，于是223a b .设椭圆C 上任一点，椭圆方程为，，=Ⅰ当，即时，（此时舍去；Ⅰ当即时，综上椭圆C 的方程为．（Ⅰ）圆心到直线l 的距离为221d m n=+，弦长，所以OAB ∆的面积为点,当时，由得综上所述，椭圆上存在四个点2⎫⎪⎪⎝⎭、⎛⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 2.【福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2，过点F 1的直线与椭圆C 交于M,N 两点，ΔF 2MN 的周长为8，直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A,B 是椭圆上两动点，线段AB 的中点为P ，OA,OB 的斜率分别为k 1,k 2（O 为坐标原点），且4k 1k 2=−3，求|OP |的取值范围.【解析】（1）根据题意4a =8，∴a =2. 把y =x 代入椭圆方程x 24+y 2b 2=1得，x 2=4b 24+b 2， 因为直线y =x 被椭圆C 截得的线段长为4√427， 所以2√4b 24+b 2+4b 24+b 2=4√427，解得b 2=3， 所以椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.（2）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，P (x 0,y 0)，由k 1k 2=−34，得3x 1x 2+4y 1y 2=0，当AB 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=−y 2，3x 12−4y 12=0，又3x 12+4y 12=12， ∴x 12=2，这时|OP |=√2.当AB 的斜率存在时，设直线AB:y =kx +m ，由得{3x 2+4y 2=12y =kx +m ：(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 由Δ>0得m 2<4k 2+3Ⅰx 1+x 2=−8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，结合3x 1x 2+4y 1y 2=0得2m 2=4k 2+3≥3Ⅰ 由ⅠⅠ知m ≠0且m 2≥32，x 0=x 1+x 22=−2k m ，y 0=kx 0+m =32m ，∴|OP|2=x 02+y 02=4k 2m 2+94m 2=2m 2−3m 2+94m 2=2−34m 2≥32∴√2>|OP |≥√62综上|OP |的取值范围为[√62,√2]. 3.【2019湖北省重点中学联考】已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率2e =，且经过点1,2⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆方程；（2）过点()0,2P 的直线与椭圆交于M N 、两个不同的点，求线段MN 的垂直平分线在x 轴截距的范围．【解析】（1）2212x y += （2）PM 的斜率不存在时， MN 的垂直平分线与x 轴重合，没有截距，故PM 的斜率存在. 设PM 的方程为2y kx =+，代入椭圆方程 得： ()2212860k x kx +++=PM 与椭圆有两个不同的交点()()22841260k k ∴∆=-+⨯>，即232k >，即2k >或2k <-设()()1122,,,,M x y N x y MN 的中点()0,0Q x y 则120002242,221212x x k x y kx k k +==-=+=++ MN ∴的垂直平分线的方程为222141212k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭∴在x 轴上的截距为222242121212k k kk k k -=-+++ 设()2212xf x x =-+，则()()()22222112x f x x-+'=， 232x ∴>时， ()0f x '>恒成立x ∴>()0;f x x <<<时()0f x <<MN ∴的垂直平分线在x 轴上的截距的范围是⎛⎫⎛⋃ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭4.【湖南省湘潭市2019届高三上学期第一次模拟检测】已知点F(√3,0)是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M (√3,12)在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于不同的A,B 两点，且k OA +k OB =−12（O 为坐标原点），求直线l 斜率的取值范围. 【解析】（1）由题可知，椭圆的另一个焦点为(−√3,0)，所以点M 到两焦点的距离之和为√(2√3)2+(12)2+12=4.所以a =2.又因为c =√3，所以b =1，则椭圆C 的方程为x 24+y 2=1.（2）当直线l 的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，k OA +k OB =0，不符合题意. 故设l 直线的方程为y =kx +m ，A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)， 联立{y =kx +m x 24+y 2=1，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4(m 2−1)=0.所以{x 1+x 2=−8km4k 2+1,x 1x 2=4(m 2−1)4k 2+1, 而k OA +k OB =y 1x 1+y 2x 2=(kx 1+m )x 2+(kx 2+m )x 1x 1x 2=2k +m (x 1+x 2)x 1x 2=2k +−8km 24(m 2−1)=−2km 2−1，由k OA +k OB =−12，可得m 2=4k +1.所以k ≥−14，又因为16(4k 2−m 2+1)>0，所以4k 2−4k >0.综上，k ∈[−14,0)∪(1,+∞).5.【北京市海淀区2019届高三上学期期末考试】已知点B(0,−2)和椭圆M:x 24+y 22=1. 直线l:y =kx +1与椭圆M 交于不同的两点P,Q . (Ⅰ) 求椭圆M 的离心率；(Ⅰ) 当k =12时，求ΔPBQ 的面积；（Ⅰ）设直线PB 与椭圆M 的另一个交点为C ，当C 为PB 中点时，求k 的值 . 【解析】（Ⅰ）因为a 2=4,b 2=2，所以a =2,b =√2,c =√2 所以离心率e =c a=√22（Ⅰ）设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)若k =12，则直线l 的方程为y =12x +1由{x 24+y 22=1y =12x +1 ，得3x 2+4x −4=0 解得 x 1=−2,x 2=23设A(0,1)，则 S ΔPBQ =12|AB|(|x 1|+|x 2|)=12×3×(23+2)=4（Ⅰ）法一： 设点C(x 3,y 3)，因为P(x 1,y 1)，B(0,−2)，所以{x 3=x 12y 3=−2+y 12又点P(x 1,y 1)，C(x 3,y 3)都在椭圆上，所以{x 124+y 122=1(x 12)24+(−2+y 12)22=1解得{x 1=√142y 1=−12 或{x 1=−√142y 1=−12 所以 k =−3√1414或k =3√1414法二：设C(x 3,y 3)显然直线PB 有斜率，设直线PB 的方程为y =k 1x −2 由{x 24+y 22=1y =k 1x −2， 得 (2k 12+1)x 2−8k 1x +4=0所以{Δ=16(2k 12−1)>0x 1+x 3=8k12k 12+1x 1x 3=42k 12+1又x 3=12x 1 解得{x 1=−√142k 1=−3√1414 或 {x 1=√142k 1=3√1414所以{x 1=−√142y 1=−12或 {x 1=√142y 1=−12所以k =3√1414或k =−3√14146. 【宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√32，长轴长为4，直线y =kx +m 与椭圆C 交于A,B 两点且∠AOB 为直角，O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）求AB 长度的最大值. 【解析】（I ）由2a =4，Ⅰa =2，e =√32，Ⅰc =√3，b =1所以椭圆方程为x 24+y 2=1（II ）设A(x 1,y 1) B(x 2,y 2)，把y =kx +m 代入x 24+y 2=1，得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−4=0 x 1+x 2=−8km4k 2+1，x 1x 2=4m 2−44k 2+1，∠AOB =90°，OA⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =x 1x 2+y 1y 2=0， x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=04k 2+4=5m 2，Δ=16(4k 2+1−m 2)>0 Ⅰ4k 2+1−m 2=4k 2+1−4k 2+45>0 Ⅰ16k 2+1>0，则|AB |=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=4√1+k 2√4k 2+1−m 24k 2+1=4√1+k 2√4k 2+1−4k 2+454k 2+1=45√5⋅√16k 4+17k 2+116k 4+8k 2+1。
专题47 椭圆——直线与椭圆的综合问题(课后层级训练)-2020年新高考数学一轮复习
课下层级训练(四十七) 直线与椭圆的综合问题[A 级 基础强化训练]1．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A ．x 22＋y 2＝1B ．x 23＋y 23＝1C ．x 24＋y 23＝1D ．x 25＋y 24＝1【★答案★】C [设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.]2．(2019·山东枣庄检测)过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ) A ．43 B ．53 C ．54D ．103【★答案★】B [由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，y ＝2x －2，解得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，不妨设A 点的纵坐标y A ＝－2，B 点的纵坐标y B ＝43，∴S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝12×1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53.]3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率是( ) A ．12 B ．22 C ．32D ．55【★答案★】C [设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4,1)，解得b 2a 2＝14，e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝32.]4．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A ．53 B ．23 C ．23D ．13【★答案★】A [由题意可知，∠F 1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，∴|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，∴|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a 3. 根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝c a ＝53.] 5．(2019·山东济宁模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)及点B (0，a )，过点B 与椭圆相切的直线交x 轴的负半轴于点A ，F 为椭圆的右焦点，则∠ABF ＝( ) A ．60° B ．90° C ．120°D ．150°【★答案★】B [由题意知，切线的斜率存在，设切线方程y ＝kx ＋a (k >0)，与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋a ，x 2a 2＋y2b2＝1，消去y 整理得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2ka 3x ＋a 4－a 2b 2＝0， 由Δ＝(2ka 3)2－4(b 2＋a 2k 2)(a 4－a 2b 2)＝0，得k ＝c a ，从而y ＝c a x ＋a 交x 轴于点A (－a 2c，0)，又F (c,0)，易知BA →·BF →＝0，故∠ABF ＝90°.]6．已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝____________．【★答案★】12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.]7．P 为椭圆x 29＋y 28＝1上的任意一点，AB 为圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的任一条直径，则PA →·PB →的取值范围是______________．【★答案★】[3,15] [圆心C (1,0)为椭圆的右焦点，PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝(PC →＋CA →)·(PC →－CA →)＝PC →2－CA →2＝|PC →|2－1，显然|PC →|∈[a －c ，a ＋c ]＝[2,4]，所以PA →·PB →＝|PC →|2－1∈[3,15]．]8．椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________________． 【★答案★】3－1 [直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2．在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c＝3－1.]9．(2019·山东济南模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2,0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．【★答案★】解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝22，b ＝2.∴椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1．(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0， Δ＝96－8m 2>0，∴－23<m <23．∵x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，∴y 0＝x 0＋m ＝m3． ∵点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，∴m ＝±355．10．如图，已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点，设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围．【★答案★】解 设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0．因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程有两个不等实根，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，所以AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k(x －x 0)．令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2．因为k ≠0，所以－12<x G <0，所以点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0．[B 级 能力提升训练]11．(2019·辽宁沈阳模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为43，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM →＝2MB →，求直线l 的方程．【★答案★】解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，因为c ＝2 3.e ＝c a ＝32，所以a ＝4，b ＝2， 所求椭圆方程为x 216＋y 24＝1．(2)由题得直线l 的斜率存在，设直线l 方程为y ＝kx ＋1，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 216＋y 24＝1得(1＋4k 2)x 2＋8kx －12＝0，且Δ＞0．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由若AM →＝2MB →， 得x 1＝－2x 2，又x 1＋x 2＝－8k 1＋4k 2，x 1x 2＝－121＋4k 2，所以－x 2＝－8k 1＋4k 2，－2x 22＝－121＋4k 2，消去x 2解得k 2＝320，k ＝±1510，所以直线l 的方程为y ＝±1510x ＋1． 12．(2019·山东东营月考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，－1)，离心率e ＝22．(1)求椭圆的方程；(2)已知点P (m,0)，过点(1,0)作斜率为k (k ≠0)直线l ，与椭圆交于M ，N 两点，若x 轴平分∠MPN ，求m 的值．【★答案★】解 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，过点(0，－1)，离心率e ＝22，所以b ＝1，c a ＝22， 所以由a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝2， 所以椭圆C 的标准方程是x 22＋y 2＝1，(2)因为过椭圆的右焦点F 作斜率为k 直线l ，所以直线l 的方程是y ＝k (x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1消去y ， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 显然Δ＞0，设点M (x 1，y 1)，N (x 1，y 1)， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，因为x 轴平分∠MPN ，所以∠MPO ＝∠NPO ． 所以k MP ＋k NP ＝0， 所以y 1x 1－m ＋y 2x 2－m＝0，所以y 1(x 2－m )＋y 2(x 1－m )＝0，所以k (x 1－1)(x 2－m )＋k (x 2－1)(x 1－m )＝0， 所以2kx 1x 2－(k ＋km )(x 1＋x 2)＋2km ＝0， 所以2·2k 2－21＋2k 2－(1＋m )·4k21＋2k 2＋2m ＝0所以－4＋2m1＋2k2＝0，所以－4＋2m ＝0，所以m ＝2．13．(2019·山东德州模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与C D ．当直线AB 斜率为0时，AB ＝4．(1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．【★答案★】解 (1)由题意知e ＝c a ＝12，2a ＝4.又a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，b ＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1．(2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为0时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB |＋|CD |＝7，不满足条件．②当两弦所在直线的斜率均存在且不为0时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则直线CD 的方程为y ＝－1k(x －1)．将直线AB 方程代入椭圆方程中并整理得 (3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1·x 2＝4k 2－123＋4k 2，所以|AB |＝k 2＋1|x 1－x 2|＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝12(k 2＋1)3＋4k2．同理，|CD |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋13＋4k2＝12(k 2＋1)3k 2＋4． 所以|AB |＋|CD |＝12(k 2＋1)3＋4k 2＋12(k 2＋1)3k 2＋4＝84(k 2＋1)2(3＋4k 2)(3k 2＋4)＝487， 解得k ＝±1，所以直线AB 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0．14．(2019·湖北荆州模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且椭圆C 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，直线l过椭圆C 的右焦点F 且与椭圆C 交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点P (4,0)，求证：若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．【★答案★】(1)解 设椭圆C 的焦距为2c (c ＞0)，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，1a 2＋94b 2＝1解得a ＝2，b ＝3，c ＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1．(2)证明 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，M ，N 两点关于x 轴对称，点P (4,0)在x 轴上， 所以直线PM 与直线PN 关于x 轴对称， 所以点O 到直线PM 与直线PN 的距离相等，故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，所以x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，k PM ＝y 1x 1－4＝k (x 1－1)x 1－4，k PN ＝y 2x 2－4＝k (x 2－1)x 2－4，k PM ＋k PN ＝k (x 1－1)x 1－4＋k (x 2－1)x 2－4＝k [2x 1·x 2－5(x 1＋x 2)＋8](x 1－4)(x 2－4)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－243＋4k 2－40k 23＋4k 2＋8(x 1－4)(x 2－4)＝0，所以，∠MPO ＝∠NPO ，于是点O 到直线PM 与直线的距离PN 相等， 故若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则也会与直线PN 相切；综上所述，若圆Ω：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)与直线PM 相切，则圆Ω与直线PN 也相切．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
2021年新高考地区数学名校押题精选26 椭圆(解答题)(原卷版)
精选26 椭 圆（解答题）解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．1．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>和椭圆2C ：2212x y +=的离心率相同，且点)在椭圆1C 上．（1）求椭圆1C 的方程；（2）设P 为椭圆2C 上一点，过点P 作直线交椭圆1C 于A ，C 两点，且P 恰为弦AC 的中点，则当点P 变化时，试问AOC △的面积是否为常数，若是，求出此常数，若不是，请说明理由．2．已知点F 为椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线142x y+=与椭圆E 有且仅有一个交点M ． （1）求椭圆E 的方程； （2）设直线142x y+=与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若22PM PF PA PB λ⋅=⋅，求实数λ的取值范围．3．如图，设点，的坐标分别为，，直线，相交于点，且它们的斜率之积为．AB (AP BP P 23-（1）求的轨迹方程；（2）设点的轨迹为，点､是轨迹为上不同于，的两点，且满足，，求的面积．4．已知椭圆C的中点在原点，焦点在x轴上，离心率等于1 2，它的一个顶点恰好是抛物线2x=的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知点()2,3P，()2,3Q-在椭圆上，点A、B是椭圆上不同的两个动点，且满足APQ BPQ∠=∠，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．5．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且面积的最大值．PP C M N C A B//AP OM //BP ON MON△(222:12x yC aa+=>F P C PF x⊥2PF=Cl C A B AB M OOM=AOB∆6．已知椭圆：()的左右焦点分别为，焦距为2，且经过点．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与椭圆有两个不同的交点，，线段的中点为．（1）点在椭圆上，求的取值范围； （2）证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值；7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>()0,1．（1）求椭圆C 的方程．（2）直线y kx m =+与椭圆C 交于,A B 两点． ①求||AB （用实数,k m 表示）．②O 为坐标原点，若0OA AB ⋅=，且||3||2AB OA =，求OAB 的面积．8．已知椭圆的离心率为，点分别是的左､右､上､下顶点，且四边形的面积为（1）求椭圆的标准方程；（2）已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程．9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 的距离（1）求椭圆C 的标准方程 ；C 22221x y a b +=0a b >>12,F F Q12⎛- ⎝⎭，l l C A B AB M P C 12PF PF ⋅OM l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>23,,,A B D E C ADBE C F C F C ,P Q ,AP BQ T T l l（2）过点 F 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，交y 轴 于P 点，设12,PA AF PB BF λλ==，试判断12λλ+是否为定值？请说明理由．10．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴长为23，A ，B 在椭圆C 上，且220AF BF +=．1AEF △的周长为 8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 上的动点M 作C 的切线l ，过原点O 作OP l ⊥于点P ，求OMP 的面积的最大值．11．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，A 为椭圆上一动点（异于左右顶点），12AF F △面积的最大值为3． （1）求椭圆C的方程；（2）设过点1F 的直线l (l 的斜率存在且不为0）与椭圆C 相交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，试判断1||PF AB 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．12．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为1A ，2A ，左､右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点()4,0B ，2F 为线段1A B 的中点．（1）求椭圆C 的方程．（2）若过点B 且斜率不为0的直线与椭圆C 的交于M ，N 两点，已知直线1A M 与2A N 相交于点G ，试判断点G 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理由．13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的短轴长为2，且经过点(12A ，．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx t =+与椭圆C 交于两个不同点P Q 、，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，设O 为原点，若2OM ON=，求证：直线l 经过定点．14．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，离心率为12，短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设左、右顶点分别为A 、B ，点M 在椭圆上（异于点A 、B ），求MA MB k k 的值；（3）过点2F 作一条直线与椭圆C 交于,P Q 两点，过,P Q 作直线2a x c =的垂线，垂足为,S T ．试问：直线PT 与QS 是否交于定点？若是，求出该定点的坐标，否则说明理由．15．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l 经过点2F ，倾斜角为45°，与椭圆交于A 、B 两点．（1）若12F F = （2）对（1）中椭圆，求1ABF 的面积；（3）M 是椭圆上任意一点，若存在实数λ，μ，使得OM OA OB λμ=+，试确定λ，μ满足的等式关系．16．已知分别为椭圆：的上．下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且 （1）求椭圆的标准方程；（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．17．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与圆O ：相切，切点在第一象限，与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ①求证：以PQ 为直径的圆经过原点O ； ②若△OPQ 求直线l 的方程．18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点2⎛ ⎝⎭，O 为坐标原点． （1）求椭圆C 的方程； （2）圆2283x y +=的一条切线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，求： ①AOB ∠的值； ②AB 的取值范围．19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴12,F F 1C 22221(0)y x a b a b+=>>1F 2C 24x y =M 1C 2C 153MF =1C ()2211x y ++=l ()y k x t =+0kt ≠1C ,A B 1C P OA OB OP λ+=2λ22221(0)x y a b a b+=>>222x y +=的一个端点Q 构成一个等腰直角三角形，点P ⎝⎭在椭圆E 上，过点2F 作互相垂直且与x 轴不重合的两直线AB ，CD 分别交椭圆E 于A ，B ，C ，D ，且M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点． （1）求椭圆的方程．（2）求证：直线MN 过定点2,03R ⎛⎫⎪⎝⎭． （3）求2MNF 面积的最大值．20．已知中心为坐标原点的椭圆C 的一个焦点为)F ，且经过点M ⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的标准方程．（2）若不经过点F 的直线l ：()0,0y kx m k m =+<>与椭圆C 交于A ，B 两点，且与圆221x y +=相切，试探究ABF 的周长是否为定值．若是，求出定值；若不是，请说明理由．21．已知椭圆22:1126y x Γ+=，F 是Γ的下焦点，过点()0,6R 的直线l 交Γ于M 、N 两点，（1）求F 的坐标和椭圆Γ的焦距；（2）求MNF 面积的最大值，并求此时直线l 的方程；（3）在y 轴上是否存在定点S ，使得RSM RSN π∠+∠=恒成立?若存在，求出定点S 的坐标；若不存在，请说明理由．。
直线与椭圆的综合问题
第2课时直线与椭圆的综合问题考点1直线与椭圆的位置关系直线与椭圆位置关系判断的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程．(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程．(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．1.若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是()A．m＞1B．m＞0C．0＜m＜5且m≠1 D．m≥1且m≠5D[直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，则点(0,1)在椭圆x25＋y2m＝1内部或椭圆上，从而1m≤1，又m＞0，则m≥1，因为椭圆x25＋y2m＝1中，m≠5.所以m的取值范围是m≥1且m≠5，故选D.]2．过点M(－4,4)作椭圆x24＋y23＝1的切线，切点N在第一象限，设椭圆的左焦点为F，则直线NF的斜率为．34[设N(x，y)，直线MN的斜率为k.M(－4,4)，则直线MN的方程为y－4＝k(x＋4)，代入椭圆方程消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8mkx＋(4m2－12)＝0，其中m＝4k＋4，由于相切，所以Δ＝0，所以m2＝4k2＋3，所以解得k＝－136，－12，代入求得切点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，所以直线NF 的斜率为k NF ＝321＋1＝34.]3．已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．[解]将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎨⎧y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 22＝1，②将①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．T 2中求切点的横坐标时，可直接使用求根公式x 1＝x 2＝－b2a (其中a ，b 分别是一元二次方程的二次项系数和一次项系数)考点2 直线与椭圆相交的弦长问题弦长的求解方法(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y1y 2](k 为直线斜率)． (3)若直线的斜率不存在，可直接求交点坐标，再求弦长．(2018·北京高考改编)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为2 2.斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .(1)求椭圆M 的方程； (2)若k ＝1，求|AB |的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝b 2＋c 2，c a ＝63，2c ＝22，解得a ＝3，b ＝1.所以椭圆M 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，x 23＋y 2＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，由题意知Δ＝36m 2－16(3m 2－3)＞0，即－2＜m ＜2，此时x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝3m 2－34.所以|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝12－3m 22. 当m ＝0，即直线l 过原点时，|AB |最大，最大值为 6.利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有两个不同解的情况下进行的，不要忽略Δ＞0.[教师备选例题]直线经过椭圆x 216＋y 212＝1的左焦点，倾斜角为60°，与椭圆交于A ，B 两点，则弦长|AB |＝ .325[由题意知直线方程为y ＝3(x ＋2)，代入椭圆方程消元整理得5x 2＋16x ＝0，所以x ＝0，或x ＝－165，所以交点A (0,23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－165，－635， 所以|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23＋6352＝325.]1.已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．±1B ．±12 C.2 D ．±2A [由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.由题意知Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＞0，即－3＜m ＜ 3. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意，得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝433－m 2＝423，解得m ＝±1.]2．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝12，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为8.(1)求椭圆E 的方程；(2)若直线AB 的斜率为3，求△ABF 2的面积． [解] (1)由题意知，4a ＝8，所以a ＝2， 又e ＝12，所以c a ＝12，c ＝1， 所以b 2＝22－1＝3，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设直线AB 的方程为y ＝3(x ＋1)，由⎩⎨⎧y ＝3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1，得5x 2＋8x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－85， 所以y 1＝3，y 2＝－335.所以S △ABF 2＝c ·|y 1－y 2|＝1×⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋335＝835.考点3 弦中点问题处理中点弦问题常用的两种方法 (1)点差法设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．(2)根与系数的关系联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．(1)在椭圆x 216＋y 29＝1中，以点M (1,2)为中点的弦所在直线方程为 ．(2)(2019·南宁模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一条弦所在的直线方程是x －y ＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4,1)，则椭圆的离心率e ＝ .(1)9x ＋32y －73＝0 (2)32 [(1)设弦的两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9＝0，所以(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＝－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)9，即－9(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝y 1－y 2x 1－x 2，因为x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－932，故该直线方程为y －2＝－932(x －1)， 即9x ＋32y －73＝0.(2)设直线x －y ＋5＝0与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，因为AB 的中点M (－4,1)，所以x 1＋x 2＝－8，y 1＋y 2＝2.易知直线AB 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2，所以b 2a 2＝14，于是椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝32.]用点差法求参数的值(或范围)时，要检验直线与椭圆是否相交．1.已知椭圆x 29＋y 2＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为( )A ．9x ＋y －5＝0B ．9x －y －4＝0C ．x ＋9y －5＝0D ．x －9y ＋4＝0 C [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 219＋y 21＝1，x 229＋y 22＝1，两式作差得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)9＋(y 2－y 1)(y 2＋y 1)＝0，因为x 2＋x 1＝1，y 2＋y 1＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝k AB ，代入后求得k AB＝－19，所以弦所在的直线方程为y －12＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＋9y －5＝0.]2．焦点为F (0,52)，并截直线y ＝2x －1所得弦的中点的横坐标是27的椭圆的标准方程为 ．y 275＋x 225＝1 [设所求的椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，直线被椭圆所截弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意，可得弦AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，且x 1＋x 22＝27，y 1＋y 22＝－37.将A ，B 两点坐标代入椭圆方程中，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21a 2＋x 21b2＝1，y 22a 2＋x 22b2＝1.两式相减并化简，得a 2b 2＝－y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－2×－6747＝3，所以a 2＝3b 2，又c 2＝a 2－b 2＝50， 所以a 2＝75，b 2＝25，故所求椭圆的标准方程为y 275＋x 225＝1.] 考点4 椭圆与向量的综合问题解决椭圆与向量有关问题的方法(1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系． (2)利用向量关系转化成相关的等量关系．(3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题．(2019·长春模拟)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1→＝2F 1B →，求直线l 的斜率k 的值．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎨⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 23＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫3k 2＋4y 2－6k y －9＝0，则Δ＝144k 2＋144＞0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1y 2＝－9k 23＋4k 2， 又AF 1→＝2F 1B →，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2， 则3＋4k 2＝8，解得k ＝±52， 又k ＞0，所以k ＝52.解答本题应注意：(1)根据AF 1→＝2F 1B →，确定y 1与y 2的关系，从而确定直线与椭圆方程联立消去x ；(2)根据y 1＝－2y 2得到y 1＋y 2＝－y 2，(y 1＋y 2)2＝y 22，从而y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2；(3)也可以根据⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k3＋4k 2，y 1＝－2y 2求出y 1，y 2，再利用y 1y 2＝－9k 23＋4k2求解． [教师备选例题]已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，e ＝12，其中F 是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l 与椭圆C 交于点A ，B ，线段AB 的中点横坐标为14，且AF →＝λFB →(其中λ＞1)．(1)求椭圆C 的标准方程； (2)求实数λ的值．[解] (1)由椭圆的焦距为2，知c ＝1， 又e ＝12，∴a ＝2，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)由AF →＝λFB →，可知A ，B ，F 三点共线， 设点A (x 1，y 1)，点B (x 2，y 2)． 若直线AB ⊥x 轴，则x 1＝x 2＝1，不符合题意； 当AB 所在直线l 的斜率k 存在时， 设l 的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.①①的判别式Δ＝64k 4－4(4k 2＋3)(4k 2－12)＝144(k 2＋1)＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，∴x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3＝2×14＝12， ∴k 2＝14.将k 2＝14代入方程①，得4x 2－2x －11＝0，解得x ＝1±354. 又AF →＝(1－x 1，－y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，AF →＝λFB →，即1－x 1＝λ(x 2－1)，λ＝1－x 1x 2－1， 又λ＞1，∴λ＝3＋52.(2019·保定模拟)设点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32在以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过F 2作直线m 交椭圆C 于A ，B 两点，交y 轴于点M .若MA →＝λ1AF 2→，MB →＝λ2BF 2→，且λ1λ2＝1，求λ1与λ2的值．[解] (1)因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32在以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a＞b ＞0)上，所以2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋94＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋94＝210， 所以a ＝10. 又因为c ＝2，所以b ＝6，所以椭圆C 的方程为x 210＋y 26＝1.(2)设A ，B ，M 点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)．因为MA →＝λ1AF 2→，所以(x 1，y 1－y 0)＝λ1(2－x 1，－y 1)，所以x 1＝2λ11＋λ1，y 1＝y 01＋λ1，将A 点坐标代入到椭圆方程中，得110⎝ ⎛⎭⎪⎫2λ11＋λ12＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫y 01＋λ12＝1.去分母整理得18λ21＋60λ1＋30－5y 20＝0.同理，由MB →＝λ2BF 2→可得18λ22＋60λ2＋30－5y 20＝0，λ1，λ2是方程18λ2＋60λ＋30－5y 20＝0的两个根．则λ1＋λ2＝－103，又λ1λ2＝1，二者联立解得λ1＝－3，λ2＝－13，或λ1＝－13，λ2＝－3.。
高二数学椭圆试题答案及解析
高二数学椭圆试题答案及解析1.已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，抛物线的顶点在原点、焦点在轴上．小明从曲线、上各取若干个点（每条曲线上至少取两个点），并记录其坐标（．由于记录失误，使得其中恰有一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上，小明的记录如下：据此，可推断抛物线的方程为_____________．【答案】【解析】：由题意可知：点是椭圆的短轴的一个端点，或点是椭圆的长轴的一个端点．以下分两种情况讨论：①假设点是椭圆的短轴的一个端点，则可以写成经验证可得：若点在上，代入求得，即，剩下的4个点中也在此椭圆上．假设抛物线的方程为，把点代入求得p=2，∴，则只剩下一个点既不在椭圆上，也不在抛物线上满足条件．假设抛物线的方程为y2=-2px，经验证不符合题意．②假设点是椭圆的长轴的一个端点，则可以写成，经验证不满足条件，应舍去．综上可知：可推断椭圆的方程为．【考点】椭圆、抛物线的标准方程及其性质和分类讨论的思想方法是解题的关键．2.已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）是否存在斜率为，且过定点的直线，使与椭圆交于两个不同的点，且？若存在，求出直线的方程;若不存在,请说明理由．【答案】（1）（2）不存在【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式：计算一元二次方程根．第四步：写出根与系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．试题解析：（I）依题意可设椭圆方程为，则右焦点，由题设：，解得：，故所求椭圆的方程为．（II）设存在直线符合题意，直线方程为，代入椭圆方程得：，设，为弦的中点，则由韦达定理得：，，因为不符合，所以不存在直线符合题意．【考点】(1)椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题．3.椭圆的焦距是（）A．3B．6C．8D．10【答案】B【解析】由椭圆的方程知，∵a2=25，b2=16，∴c=∴的焦距2c=6．故选B．【考点】椭圆的性质．4.已知椭圆经过点，离心率为，过点的直线与椭圆交于不同的两点．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围.【答案】(1)；（2）.【解析】(1)利用题干中的两个条件，和椭圆本身的性质，得然后求解，代入即可；（2）由题干“过点的直线与椭圆交于不同的两点”．设直线的方程为，由得，设，的坐标分别为，，然后利用根与系数的关系，代换出，注意：k的范围.试题解析：（1）由题意得解得，．椭圆的方程为．（2）由题意显然直线的斜率存在，设直线的方程为，由得. 直线与椭圆交于不同的两点，，，解得.设，的坐标分别为，，则，，，．的范围为．【考点】椭圆定义，转化与化归思想，舍而不求思想的运用.5.已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为和，且||=2，离心率. （1）求椭圆的方程；（2）过的直线与椭圆相交于A，B两点，若的面积为，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）设椭圆的方程，用待定系数法求出的值；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.试题解析：（1）椭圆C的方程是 4分（2）当直线轴时，可得的面积为3，不合题意。
高中数学 同步学案 直线与椭圆的位置关系(习题课)
第二课时 直线与椭圆的位置关系(习题课)[新知初探]1．点与椭圆的位置关系点P(x 0,y 0)与椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系：点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1；点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 2b 2>1.2．直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的位置关系,判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y2b2＝1，消y 得一元二次方程．当Δ>0时,方程有两解,直线与椭圆相交； 当Δ＝0时,方程有一解,直线与椭圆相切； 当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离． 3．直线与椭圆相交的弦长公式(1)定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． (2)求弦长的方法①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立,求出两交点的坐标,然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k,被椭圆截得弦AB 两端点坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则弦长公式为： |AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2.[小试身手]1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y2n 2＝1上,则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2,－3)在椭圆内D ．点(2,－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，53B.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－132，172 答案：C3．设F 1,F 2分别是椭圆x 225＋y216＝1的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是F 1P 的中点,|OM|＝3,则P 点到椭圆左焦点的距离为________．答案：4直线与椭圆的位置关系[典例] 对不同的实数值m,讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y,得x 24＋(x ＋m)2＝1, 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0.Δ＝(8m)2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5<m<5时,Δ>0,直线与椭圆相交； 当m ＝－5或m ＝5时,Δ＝0,直线与椭圆相切； 当m<－5或m>5时,Δ<0,直线与椭圆相离．判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则Δ>0⇔直线与椭圆相交； Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离． [活学活用]若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y2m ＝1总有公共点,求m 的取值范围．解：∵直线y ＝kx ＋1过定点A(0,1)． 由题意知,点A 在椭圆x 25＋y2m ＝1内或椭圆上,∴025＋12m ≤1,∴m≥1. 又椭圆焦点在x 轴上∴m<5, 故m 的取值范围为[1,5).弦长及中点弦问题[典例] 已知点P(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y29＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l 的方程；(2)求直线l 被椭圆截得的弦长． [解] (1)[法一 根与系数关系法] 由题意可设直线l 的方程为y －2＝k(x －4), 而椭圆的方程可以化为x 2＋4y 2－36＝0. 将直线方程代入椭圆方程有(4k 2＋1)x 2－8k(4k －2)x ＋4(4k －2)2－36＝0. 所以x 1＋x 2＝8k4k －24k 2＋1＝8,解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －4),即x ＋2y －8＝0. [法二 点差法]设直线l 与椭圆的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21－36＝0，x 22＋4y 22－36＝0.两式相减,有(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝0. 又x 1＋x 2＝8,y 1＋y 2＝4,所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12, 即k ＝－12.所以直线l 的方程为x ＋2y －8＝0.(2)由题意可知直线l 的方程为x ＋2y －8＝0,联立椭圆方程得x 2－8x ＋14＝0.法一：解方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4＋2，y 1＝2－22， ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4－2，y 2＝2＋22，所以直线l 被椭圆截得的弦长为[4＋2－4－2]2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2－22－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋222 ＝10.法二：因为x 1＋x 2＝8,x 1x 2＝14. 所以直线l 被椭圆截得的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12282－4×14＝10.解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系,具体如下：已知A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)上的两个不同的点,M(x 0,y 0)是线段AB 的中点,则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②由①－②,得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0,变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0,即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22,点(2,2)在C 上．(1)求C 的方程；(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M.证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．解：(1)由题意有a 2－b 2a ＝22,4a 2＋2b 2＝1,解得a 2＝8,b 2＝4.所以C 的方程为x 28＋y24＝1.(2)证明：法一：设直线l ：y ＝kx ＋b(k≠0,b≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M )．将y ＝kx ＋b 代入x28＋y 24＝1,得(2k 2＋1)x 2＋4kbx ＋2b 2－8＝0. 故x M ＝x 1＋x 22＝－2kb 2k 2＋1,y M ＝k·x M ＋b ＝b 2k 2＋1.于是直线OM 的斜率k OM ＝y M x M ＝－12k ,即k OM ·k＝－12.所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 法二：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ),则⎩⎪⎨⎪⎧x 218＋y 214＝1， ①x 228＋y 224＝1， ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 28＋y 1＋y 2y 1－y 24＝0,∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 28y 1＋y 2＝－12·x My M.又k O M ＝y M x M ,∴k AB ·k OM ＝－12.∴直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．与椭圆有关的综合问题[典例] 在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率e ＝22,且点P(2,1)在椭圆C上．(1)求椭圆C 的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,求△AOB 面积的最大值．[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，4a 2＋1b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝6，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 26＋y23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝－x ＋m, 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋m ，x 26＋y23＝1，得3x 2－4mx ＋2m 2－6＝0,∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1＋x 2＝4m 3，x 1x 2＝2m 2－63，∴|AB|＝1＋－12|x 1－x 2|＝439－m 2,原点到直线的距离d ＝|m|2.∴S △OAB ＝12×43 9－m 2·|m|2＝239－m2m 2≤23·9－m 2＋m 22＝322.当且仅当m ＝±322时,等号成立,∴△AOB 面积的最大值为322.求与椭圆有关的最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合,挖掘几何特征,进而求解．(3)函数法：探求函数模型,转化为函数的最值问题,借助函数的单调性、基本不等式等求解,注意椭圆的范围．已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0),左、右焦点分别是F 1,F 2,若椭圆C 上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1,F 2的距离和等于4.(1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M(0,2),且与椭圆C 交于不同的两点A,B,若∠AOB 为锐角(O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)由题意得2a ＝4,得a ＝2, 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上,∴14＋34b 2＝1,解得b 2＝1. ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1,焦点F 1(－3,0),F 2(3,0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0,设l ：y ＝kx ＋2,代入x 24＋y 2＝1,整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0,Δ＝(16k)2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0,得k 2>34.①设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2,x 1x 2＝121＋4k 2.∵∠AOB 为锐角,∴cos ∠AOB>0, 则OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2>0, 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4,∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k(x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝44－k21＋4k 2>0, ∴k 2<4.② 由①②得34<k 2<4.解得－2<k<－32或32<k<2, ∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.层级一 学业水平达标1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1的位置关系为( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：选B 直线y ＝kx －k ＋1可变形为y －1＝k(x －1),故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆x 29＋y24＝1内部,所以直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y24＝1相交,故选B.2．过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是( )A.2b 2a B.2a 2bC.2c 2aD.2c 2b解析：选A 最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c,y)的坐标代入椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1,得y ＝±b 2a ,故最短弦长是2b2a.3．若直线kx －y ＋3＝0与椭圆x 216＋y24＝1有两个公共点,则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫54，－54 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞ D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，54 解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 216＋y24＝1得(4k 2＋1)x 2＋24kx ＋20＝0,当Δ＝16(16k 2－5)>0,即k>54或k<－54时,直线与椭圆有两个公共点．故选C. 4．已知椭圆C ：y 29＋x 2＝1,过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且弦AB 被点P 平分,则直线AB 的方程为( )A ．9x －y －4＝0B ．9x ＋y －5＝0C ．4x ＋2y －3＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选B 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)． ∵点A,B 在椭圆上,∴y 219＋x 21＝1,① y 229＋x 22＝1.② ①－②,得y 1＋y 2y 1－y 29＋(x 1＋x 2)·(x 1－x 2)＝0.③∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12是线段AB 的中点, ∴x 1＋x 2＝1,y 1＋y 2＝1,代入③得y 1－y 2x 1－x 2＝－9,即直线AB 的斜率为－9.故直线AB 的方程为y －12＝－9⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12, 整理得9x ＋y －5＝0.5．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F,直线l ：x ＝2,点A ∈l,线段AF 交椭圆C 于点B,若FA ―→＝3FB ―→,则|AF ―→|＝( )A. 2 B ．2 C. 3D ．3解析：选A 设点A(2,n),B(x 0,y 0)． 由椭圆C ：x 22＋y 2＝1知a 2＝2,b 2＝1,∴c 2＝1,即c ＝1.∴右焦点F(1,0)． 由FA ―→＝3FB ―→得(1,n)＝3(x 0－1,y 0)． ∴1＝3(x 0－1)且n ＝3y 0. ∴x 0＝43,y 0＝13n.将x 0,y 0代入x 22＋y 2＝1,得12×⎝ ⎛⎭⎪⎫432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 2＝1. 解得n 2＝1, ∴|AF ―→|＝2－12＋n 2＝1＋1＝ 2.6．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点F 1,与椭圆交于A,B 两点,则|AB|＝________.解析：因为直线l 经过椭圆的右焦点F 1(1,0),且斜率为2,则直线l 的方程为y ＝2(x －1),即2x －y －2＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x 25＋y24＝1得3x 2－5x ＝0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝53,x 1x 2＝0,所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋22⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫532－4×0＝553. 答案：5537．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1―→·MF 2―→＝0的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是________．解析：∵MF 1―→⊥MF 2―→,∴点M 在以F 1F 2为直径的圆上,又点M 在椭圆内部,∴c<b,∴c 2<b 2＝a 2－c 2,即2c 2<a 2,∴c 2a 2<12,即c a <22.又e>0,∴0<e<22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 8．已知动点P(x,y)在椭圆x 225＋y 216＝1上,若A 点坐标为(3,0),|AM ―→|＝1,且PM ―→·AM ―→＝0,则|PM ―→|的最小值是________．解析：易知点A(3,0)是椭圆的右焦点．∵PM ―→·AM ―→＝0, ∴AM ―→⊥PM ―→.∴|PM ―→|2＝|AP ―→|2－|AM ―→|2＝|AP ―→|2－1,∵椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小,故|AP ―→|min ＝2,∴|PM ―→|min ＝ 3. 答案： 39．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)过点(0,4),离心率为35.(1)求C 的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C 所截线段的中点坐标．解：(1)将(0,4)代入C 的方程得16b 2＝1,∴b ＝4.又e ＝c a ＝35,得a 2－b 2a 2＝925,即1－16a 2＝925,∴a ＝5,∴C 的方程为x 225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y ＝45(x －3)．设直线与C 的交点为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),将直线方程y ＝45(x －3)代入C 的方程,得x 225＋x －3225＝1,即x 2－3x －8＝0,解得x 1＋x 2＝3,∴AB 的中点坐标 x 0＝x 1＋x 22＝32,y 0＝y 1＋y 22＝25(x 1＋x 2－6)＝－65,即中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－65.10.如图,已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0),F 1,F 2分别为椭圆的左、右焦点,A 为椭圆的上顶点,直线AF 2交椭圆于另一点B.(1)若∠F 1AB ＝90°,求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2,且AF 2―→＝2F 2B ―→,求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°,则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|,即b ＝c. 所以a ＝2c,e ＝c a ＝22.(2)由题知A(0,b),F 2(1,0),设B(x,y),由AF 2―→＝2F 2B ―→,解得x ＝32,y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1,得94a 2＋b24b 2＝1,即94a 2＋14＝1,解得a 2＝3,b 2＝2,所以椭圆方程为x 23＋y22＝1.层级二 应试能力达标1．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1的交点个数为( )A ．2B ．1C ．0D ．0或1解析：选A 由题意,得4m 2＋n 2 >2,所以m 2＋n 2<4,则－2<m<2,－2<n<2,所以点P(m,n)在椭圆x 29＋y24＝1内,则过点P(m,n)的直线与椭圆x 29＋y24＝1有2个交点．故选A.2．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线y ＝1－x 交于M,N 两点,过原点与线段MN 中点所在直线的斜率为22,则mn的值是( )A.22B.233C.922D.2327解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧mx 2＋ny 2＝1，y ＝1－x消去y 得,(m ＋n)x 2－2nx ＋n －1＝0.设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),MN 中点为(x 0,y 0), 则x 1＋x 2＝2n m ＋n ,∴x 0＝n m ＋n, 代入y ＝1－x 得y 0＝mm ＋n. 由题意y 0x 0＝22,∴m n ＝22,选A.3．若点(x,y)在椭圆4x 2＋y 2＝4上,则y x －2的最小值为( )A ．1B ．－1C ．－233D ．以上都不对解析：选C 设yx －2＝k,则y ＝k(x －2)． 由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝4，y ＝k x －2消去y,整理得(k 2＋4)x 2－4k 2x 2＋4(k 2－1)＝0, Δ＝16k 4－4×4(k 2－1)(k 2＋4)＝0, 解得k ＝±233,∴k min ＝－233.选C.4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F 的直线交E 于A,B 两点．若AB 的中点坐标为(1,－1),则E 的方程为( )A.x 245＋y236＝1 B.x 236＋y227＝1 C.x 227＋y218＝1D.x 218＋y29＝1 解析：选D 因为直线AB 过点F(3,0)和点(1,－1), 所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3),代入椭圆方程x 2a 2＋y2b 2＝1消去y,得⎝ ⎛⎭⎪⎫a24＋b 2x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0,所以AB 的中点的横坐标为32a 22⎝ ⎛⎭⎪⎫a 24＋b 2＝1,即a 2＝2b 2,又a 2＝b 2＋c 2,所以b ＝c ＝3. 所以E 的方程为x 218＋y29＝1.5．过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)相交于A,B 两点,若M 是线段AB 的中点,则椭圆C 的离心率等于________．解析：设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),分别代入椭圆方程相减得x 1－x 2x 1＋x 2a2＋y 1－y 2y 1＋y 2b2＝0,根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2,y 1＋y 2＝2×1＝2,且y 1－y 2x 1－x 2＝－12,所以2a 2＋2b 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0,得a 2＝2b 2,所以a 2＝2(a 2－c 2),整理得a 2＝2c 2,所以c a ＝22,即e ＝22.答案：226．在离心率为32的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)上任取一点M,过M 作MN 垂直y 轴于点N,若MP ―→＝12MN ―→,点P 的轨迹图形的面积为π,则a 的值为________．解析：设P(x,y),M(x 0,y 0),则N(0,y 0), 由条件MP ―→＝12MN ―→可知点P 是线段MN 的中点,故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x 0，y ＝y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝y ，由离心率为c a ＝32,可得4c 2＝3a 2,即4a 2－4b 2＝3a 2,故a ＝2b. 故椭圆方程为x 24b 2＋y2b 2＝1,把点M(x 0,y 0)代入可得2x24b2＋y2b2＝1, 即x 2＋y 2＝b 2,表示半径为b 的圆,面积为πb 2＝π. 故b ＝1,a ＝2b ＝2.答案：27．在平面直角坐标系xOy 中,点P 到两点(0,－3),(0,3)的距离之和等于4,设点P 的轨迹为C. (1)求C 的方程；(2)设直线y ＝kx ＋1与C 交于A,B 两点,k 为何值时OA ―→⊥OB ―→？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P 的轨迹C 是以(0,－3),(0,3)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b ＝22－32＝1.故曲线C 的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，y 2＋4x 2＝4.消去y,并整理,得(k 2＋4)x 2＋2kx －3＝0. 由根与系数的关系得 x 1＋x 2＝－2k k 2＋4,x 1x 2＝－3k 2＋4. 若OA ―→⊥OB ―→,则x 1x 2＋y 1y 2＝0. 因为y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1) ＝k 2x 1x 2＋k(x 1＋x 2)＋1,所以x 1x 2＋y 1y 2＝－3k 2＋4－3k 2k 2＋4－2k2k 2＋4＋1＝－4k 2－1k 2＋4＝0,所以k ＝±12.当k ＝±12时,x 1＋x 2＝∓417,x 1x 2＝－1217.所以|AB|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝54×⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫±4172＋4×1217＝46517.8．在直角坐标平面内,已知点A(2,0),B(－2,0),P 是平面内一动点,直线PA,PB 斜率之积为－34.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0作直线l 与轨迹C 交于E,F 两点,线段EF 的中点为M,求直线MA 的斜率k 的取值范围． 解：(1)设P 点的坐标为(x,y), 依题意,有y x －2·y x ＋2＝－34(x≠±2),化简并整理,得x 24＋y23＝1(x≠±2)．∴动点P 的轨迹C 的方程是x 24＋y23＝1(x≠±2)．(2)依题意,直线l 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且斜率不为零,故可设其方程为x ＝my ＋12,联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋12，x 24＋y23＝1消去x,并整理得4(3m 2＋4)y 2＋12my －45＝0,∴Δ>0恒成立． 设E(x 1,y 1),F(x 2,y 2),M(x 0,y 0), 则y 1＋y 2＝－3m 3m 2＋4,∴y 0＝y 1＋y 22＝－3m23m 2＋4, ∴x 0＝my 0＋12＝23m 2＋4,∴k ＝y 0x 0－2＝m4m 2＋4.①当m ＝0时,k ＝0； ②当m≠0时,k ＝14m ＋4m.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ＝4|m|＋4|m|≥8,∴0<1⎪⎪⎪⎪⎪⎪4m ＋4m ≤18,∴0<|k|≤18,∴－18≤k≤18且k≠0. 综合①②可知直线MA 的斜率k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，18.。
直线与椭圆相交的综合问题(一题多变)区级公开课
进一步体会几何问题代数化的方法，提升学生思维容量
通过对比发现找寻几何图形的本质特征的重要性
体会向量法在几何问题代数化中的简洁性
多媒体
12
小
结
梳
理
总结几何图形的本质特征
几何条件
行四边OEFP
学生填表
并思考还能提出其他的问题吗？
方法一：表示圆的方程，然后将原点代入
方法二：
方法一：角平分线上的点到角两边距离相等
方法二:
两条直线AE，AF倾斜角互补，斜率互为相反数即
方法： 对角线互相平分
学生思考，分析几何图形特点，寻找等量关系求k
观察图形找等量关系
学生思考回答
讨论总结方法
回忆平行四边形的性质
1对角线互相平分
2对边平行且相等
通过一题多变，让学生对椭圆的这类题目有一个比较全面的认识，通过重复的变式练习体会各种几何问题代数化的方法，
体会方程（组）的思想方法在几何问题代数化中的作用题
给学生提供展示交流的平台，进一步感受一题多解和数形结合的解题思想
在实际问题中体会用代数方法（坐标法）解决几何问题的基本思路
多媒体
8
变
式
训
练
合
作
交
流
解
决
问
题
思
维
迁
移
方法一：直接从已知出发把已知条件坐标化
方法二：挖掘几何图形特点，等腰三角形的性质，三线合一
教学目标
1.教学目标：能解决简单的直线与椭圆的相交问题，体会方程（组）思想和设而不求的解题技巧在解题中的应用；
2.从学生的最近发展区入手，通过一题多变对知识进行延伸，进一步提升几何条件代数化的能力；
高二数学椭圆试题
高二数学椭圆试题1.已知椭圆过和点．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于两点，且，求直线的方程．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由已知将已知两点的坐标代入椭圆Ｇ的方程中，可得到关于的方程组，解此方程组就可求得的值，进而就可写出椭圆Ｇ的方程．（２）首先注意到由题意可得到直线的斜率存在，且．从而可用斜截式设出直线的方程，代入椭圆Ｇ的方程消元得到一个一元二次方程，则此方程一定有两个不同的解，所以，可得到的取值范围；再由，得到，结合韦达定理可用的代数式表示出线段ＭＮ的中点的坐标，然后由就可求出的值，从而求得直线的方程．试题解析：（1）因为椭圆过点和点．所以，由，得．所以椭圆的方程为 4分（2）显然直线的斜率存在，且．设直线的方程为．由消去并整理得， 5分由， 7分设，，中点为，得， 8分由，知，所以，即．化简得，满足．所以 12分因此直线的方程为 14分【考点】１．椭圆的的方程；２．直线与椭圆的位置关系．2.已知椭圆的两个焦点分别为，且，点在椭圆上，且的周长为6.（1）求椭圆的方程；（2）若点的坐标为，不过原点的直线与椭圆相交于不同两点，设线段的中点为，且三点共线．设点到直线的距离为，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）本小题中为焦点三角形，其周长为，又，两式组成方程组从而易求出，即可写出椭圆方程；（2）本小题中直线的方程可设为（其中不存在是不可能的），与椭圆方程联立消y,利用韦达定理与中点坐标公式，可得M点坐标（用k,m表示），当三点共线，则有即可解出k的值，又消y后的方程的可得m的范围，而点到直线的距离可用m表示，利用函数观点可求出的取值范围．试题解析：（1）由已知得，且，解得，又，所以椭圆的方程为.（2）当直线与轴垂直时，由椭圆的对称性可知：点在轴上，且与原点不重合，显然三点不共线，不符合题设条件．所以可设直线的方程为，由消去并整理得：①则，即，设，且，则点，因为三点共线，则，即，而，所以，此时方程①为，且因为，所以.【考点】椭圆的定义及标准方程，性质，直线与椭圆相交问题，设而不解思想，韦达定理，方程与函数思想，化归思想.3.与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】椭圆焦点为，又，则，所以，焦点在x轴上，故选C.【考点】椭圆与双曲线的标准方程与几何性质.4.若点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，设，则又因为，所以因为对称轴，而，因此当时，的最大值为.【考点】二次函数最值5.若椭圆上有个不同的点为右焦点，组成公差的等差数列，则的最大值为（）A．199B．200C．99D．100【答案】B【解析】椭圆上的点到右焦点最大距离为：a+c=3，到右焦点最小距离是a-c=1，2=（n-1）d，要使，且n最大，有d=，由此能求出n的最大值．【考点】（1）椭圆的定义；（2）等差数列.6.已知椭圆过点，且离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），椭圆的右顶点为，且满足，试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【答案】(1)；（2）.【解析】(1)本小题通过待定系数法列出两个关于的方程，通过解方程组求出椭圆的方程，包含着二次方的运算需掌握；(2)本小题是直线与椭圆的位置关系的问题，这类题目的常用思路就是联立直线方程和椭圆方程通过消元得到一个一元二次方程，确定判别式的情况，正确书写、利用韦达定理，由，两点(不是左右顶点)，椭圆的右顶点为，且满足，根据向量的数量积为零，可得到关于两个根的等式，再利用韦达定理可得关于的等式，从而就可得出相应的结论.试题解析：（1）即∴椭圆方程为 4分又点在椭圆上，解得∴椭圆的方程为 6分(2)设，由得，8分所以，又椭圆的右顶点，，解得 10分，且满足当时，，直线过定点与已知矛盾 12分当时，，直线过定点综上可知，当时，直线过定点，定点坐标为 14分.【考点】1.直线与椭圆的位置关系；2.韦达定理；3.平面向量的数量积；4.过定点的问题；5.直线与椭圆的综合问题.7.已知点分别是椭圆为：的左、右焦点，过点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，过点作直线的垂线交直线于点，若直线与双曲线的一条渐近线平行，则椭圆的离心率为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】将点代入：，得，∴，∵过点作直线的垂线交直线于点，，设，得，解得，∴．∵直线与双曲线的一条渐近线平行，∴，即，整理，得，解得，故选C．【考点】1、椭圆的几何性质；2、双曲线的性质．8.椭圆的焦距等于（）A．20B．16C．12D．8【答案】B【解析】椭圆中的关系是，，焦距是，题中，所以，所以焦距为16，故选B．【考点】椭圆的几何性质（椭圆的焦距）.9.如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|，当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程。
椭圆的简单几何性质(3) 直线与椭圆位置关系 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
知识巩固
回忆：直线与圆的位置关系
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
问题2：怎么判断它们之间的位置关系？
几何法： d>r
d=r
d<r
代数法： ∆<0
∆=0
∆>0
探究新知
点与椭圆的位置关系
·
·
·
直线与椭圆的位置关系
B
A
C
种类:
点在椭圆内
点在椭圆上
点在椭圆外
d
4 x0 5 y0 40
42 52
4 x0 5 y0 40
41
尝试遇到困难怎么办?
作出直线 l 及椭圆,
观察图形,数形结合思考.
且
x0 2
25
y0 2
9
1
l
m
m
பைடு நூலகம்
直线与椭圆的位置关系
x2 y 2
练1：已知椭圆
1，直线l：
4 x - 5 y 40 0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距
16
4
方程.
x 2y 4 0
x2 y2
10
2.椭圆
1 上的点到直线 x 2 y 2 0 最大距离是________.
16
4
3.已知椭圆的焦点 F1 ( 3, 0), F2 (3, 0) 且和直线 x y 9 0 有公共点,则其中长轴最短
的椭圆方程为______.
△0
m x 2 nx p 0(m 0)
△ =n 2 4m p
方程组有两解
两个交点
相交
新高考数学椭圆-第2课时 直线与椭圆的位置关系精品课件
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.
专题三直线与椭圆综合讲解
专题三 直线与椭圆综合1．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b b a +=>>椭圆C 的长轴长为4． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线:l y kx =C 交于A ，B 两点，是否存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．2．（本小题满分14分） 已知椭圆G 的离心率为，其短轴的两个端点分别为A （0,1）,B（0,-1）．（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）若,C D 是椭圆G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线,AC BD 与x 轴分别交于点,M N ．判断以MN 为直径的圆是否过点A ，并说明理由．3．（本小题满分12分）已知直线l ： 323-=x y 过椭圆C ：2221x a b2y ＋＝（a ＞b＞0）的右焦点，且椭圆的离心率为3（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．4．已知椭圆2222:1x y C a b+=（a>b>0）的两个焦点分别为12,F F ，离心率为12，过1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且2MNF ∆的周长为8．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点O 的两条互相垂直的射线与椭圆C 分别交于A,B 两点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值．5．已知椭圆的中心为原点，焦点在x 轴上，离心率为，且经过点(4,1)M ，直线:l y x m =+交椭圆于异于M 的不同两点,A B ．直线MA MB x 、与轴分别交于点E F 、．（1）求椭圆标准方程；（2）求m 的取值范围；（3）证明MEF ∆是等腰三角形．6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若过点(0,)P m 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且3AP PB =，求实数m 的取值范围．7．（本小题满分13分）已知点P （一1，32）是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>上一点F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O 是坐标原点，PF 1⊥x 轴．（1）求椭圆E 的方程；（2）设A ，B 是椭圆E 上两个动点，满足：(04,2)PA PB PO λλλ+=<<≠且，求直线AB 的斜率8．已知椭圆E ：()22221 0, 0x ya b a b +=>>的离心率 e =，并且经过定点1)2P （1）求椭圆 E 的方程；（2）问是否存在直线y=-x+m ，使直线与椭圆交于 A, B 两点，满足OA OB ⊥,若存在求 m 值，若不存在说明理由．9．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2A ，离心率为12，左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）当2F AB ∆的面积为7时，求直线的方程.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为2，过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ．（1）求椭圆C 的方程；（2）求BM BN ⋅的取值范围.11．（满分14分）如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1FC .（1）若点C 的坐标为41(,)33，且2BF =，求椭圆的方程； （2）若1FC AB ⊥，求椭圆离心率e 的值. 12．已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足167OM ON ⋅=（其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为e =12）， （1）求椭圆的方程；（2）设直线:(0,0)l y kx m k m =+≠>与椭圆交于P ，Q 两点，且以PQ 为对角线的菱形的一顶点为（-1，0），求：△OPQ 面积的最大值及此时直线的方程.参考答案1．（1）2214y x +=；（2）存在实数2k =±使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．【解析】试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，利用椭圆的离心率和长轴长列出方程，解出a 和c 的值，再利用222a b c =+计算b 的值，从而得到椭圆的标准方程；第二问，将直线与椭圆联立，消参，利用韦达定理，得到12x x +、12x x ，由于以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ∙=，即12120x x y y +=，代入12x x 和12y y ，解出k 的值．试题解析：（1）设椭圆的焦半距为c，则由题设，得22a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩222431b a c =-=-=， 故所求椭圆C 的方程为2214y x +=． （2）存在实数k 使得以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ．理由如下：设点11(,)A x y ，22(,)B x y ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14322x y kx y并整理，得22(4)10k x ++-=．（*）则12x x +=，12214x x k =-+． 因为以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ，所以0OA OB ⋅=，即12120x x y y +=．又2121212()3y y k x x x x =++，()()033121212=++++∴x x k x x k 于是2222163044k k k k +--+=++，解得k = 经检验知：此时（*）式的Δ＞0，符合题意．所以当2k =±时，以线段AB 为直径的圆恰好经过坐标原点O ． 考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系．2．（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）以MN 为直径的圆不过A 点． 【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞由c a =可得222,1a b ==由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设11C x y （，），且10x ≠，则11D x y -（，），由已知条件推导出202011x AM AN y -=+-⋅，()220021x y -＝，由此能求出以线段MN 为直径的圆不过点A ．试题解析：（Ⅰ）设椭圆G 的方程为：()22211y x a a +＝，＞,所以,1b =，2c a =，222a c =，∴21c =，∴222,1a b ==， ∴椭圆方程为2212x y += （Ⅱ）设00(,)C x y ，则00(,)D x y -，001AC y k x -=，001BD y k x +=-, 000011:1,:1,y y AC y x BD y x x x -+=+=-- 令0y =，则0000,,11M N x x x x y y -==-+ ∴0000(,1),(,1)11x x AM AN y y =-=---+，∴2001(1)(1)xAM ANy y-⋅=+-+=2200211x yy--+-∵2212xy+=∴22012xy-=，∴22212xAM ANx-⋅==-，∴AM与AN不垂直，∴以MN为直径的圆不过A点．考点：椭圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系3．（Ⅰ）221 62x y+=;【解析】试题分析：（Ⅰ）通过分析可知直线l与x轴的交点为(2,0)，得2c=，又cea==，得a=2222b a c=-=，可得,22=b即可求得椭圆方程为22162x y+=；（Ⅱ）可设直线AB方程为1y kx=+，设1122(,),(,)A x yB x y，故1112AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=，为此可联立221162y kxx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(31)630k x kx++-=，利用韦达定理，求出12122263,3131kx x x xk k-+==++，可得AOBS∆==令21,31tk=+则AOBS∆==1=t，即0k=时，AOBS∆试题解析：（Ⅰ）∵a b>，∴椭圆的焦点为直线l与x轴的交点，∵直线l与x轴的交点为(2,0)，∴椭圆的焦点为(2,0)，∴2c=， 1分又∵3c e a ==，∴a =2222b a c =-= 3分 ∴椭圆方程为22162x y +=． 4分 （Ⅱ） 直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 方程为1y kx =+设1122(,),(,)A x y B x y ，由221162y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(31)630k x kx ++-=， 显然0∆>，12122263,3131k x x x x k k-+==++ 6分 1212AOB AOD BODS S S OD x x∆∆∆=+=-=分====分令2,31t k =+则(]0,1t∈， AOB S ∆==1t ∴=，即0k =时，AOB S ∆分考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.4．（Ⅰ）22143x y +=；. 【解析】试题分析：（Ⅰ）由2MNF ∆的周长为8，得4a=8，由12e =得222222314a c e ab a --＝＝＝，从而可求得b ；（Ⅱ）分情况进行讨论：由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，），再由A 、B 在椭圆上可求0x ，此时易求点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，代入椭圆方程消掉y 得x 的二次方程，知0∆＞，由OA ⊥OB ，得12120x x y y +=，即12120x x kx m kx m +++=（）（），整理后代入韦达定理即可得m ，k 关系式，由点到直线的距离公式可求得点O 到直线AB 的距离，综合两种情况可得结论，注意检验0∆＞．试题解析：（Ⅰ）由题意知，4a=8，所以a=2，因为12e =，所以222222314a c e ab a --＝＝＝，23b ∴=．所以椭圆C 的方程22143x y +=； （Ⅱ）由题意，当直线AB 的斜率不存在，此时可设0000A x x B x x -（，），（，）．又A ，B 两点在椭圆C 上，222000121437x x x ∴+＝，＝所以点O 到直线AB的距离7d ＝ 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y=kx+m ．22143x y kx m y ⎧⎪⎨+=⎩+⎪＝，消去y 得2223484120k x kmx m +++-=（）． 由已知0∆＞，设1122A x y B x y （，），（，）．212122284343412km m x x x x k k -+-++＝，＝， ()()221212121212120010OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⊥∴+=∴+++=∴++++，．（）（），＝．()22222222284123431071142m k k k m k m m k -∴+++-+∴=+＝．（），满足0∆＞．所以点O 到直线AB的距离7d ＝为定值. 考点：椭圆标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系5．（1）221205x y +=；（2）(5,3)(3,5)---；（3）详见解析． 【解析】 试题分析：（1，得224a b = ，由经过点(4,1)M ，得221611a b +=，联立求,a b 即可；（2）本题考查直线和椭圆位置关系，要注意判别式的隐含条件，联立椭圆方程和直线方程，利用0∆>和直线不经过点(4,1)M ，得关于m 的不等式，解不等式得m 的取值范围；（3）由数形结合可知，要证明MEF ∆是等腰三角形，只需证明120k k +=，表示两条直线的斜率，利用韦达定理设而不求，可证明120k k +=．试题解析：（1）设椭圆的方程为22221,x y a b+=因为e =，所以224a b =， 又因为椭圆过点(4,1)M ，所以221611a b+=，解得225,20b a ==，故椭圆标准方程为 221205x y += 4分 （2）将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200,x mx m ++-= 令 2(8)m ∆=220(420)0m -->，解得 55m -<<．又由题设知直线不过M （4,1），所以41m +≠，3m ≠-，所以m 的取值范围是(5,3)(3,5)---． 8分（3）设直线,MA MB 的斜率分别为1k 和2k ，要证明MEF ∆是等腰三角形，只要证明120k k +=即可．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由（2）知1285m x x +=-，2124205m x x -=．则1212121144y y k k x x --+=+-- 122112(1)(4)(1)(4)(4)(4)y x y x x x --+--=--．1221(1)(4)(1)(4)y x y x --+-- 1221(1)(4)(1)(4)x m x x m x =+--++--=122x x +12(5)()8(1)m x x m -+--22(420)8(5)8(1)55m m m m --=--- =0， 120k k ∴+=， 所以MEF ∆是等腰三角形． 14分考点：1、椭圆标准方程；2、直线和椭圆位置关系；3、韦达定理.6．（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）3([,3)． 【解析】试题分析：（Ⅰ）椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3a c +=，且离心率为12，结合222a b c =+，求得,a b 的值，进而求椭圆方程；（Ⅱ）直线和圆锥曲线位置关系问题，往往会将直线方程和圆锥曲线方程联立，根据其位置关系注意判别式符号的隐含条件，同时要善于利用韦达定理对交点设而不求。
直线与椭圆关系试题
直线与椭圆一．选择题1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16二．解答题3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．、5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．6．过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（1）求椭圆的标准方程；（2）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（1）求椭圆E的方程；（2）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．椭圆两焦点F1、F2，过F1作直线AB与椭圆交于A、B两点，△ABF2为正三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，AB⊥F1F2，则，由此可得a，c的方程，即可求得椭圆的离心率．解答：解：由题意，AB⊥F1F2，则∵，∴∴∴∴e=故选A．点评：本题考查椭圆的几何性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2．过椭圆+y2=1的左焦点F1的直线与椭圆相交于A、B两，F2为椭圆的右焦点，则△ABF2的周长为（）A．4B．8C．12 D．16考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：首先根据椭圆方程求出椭圆的长半轴a，再根据椭圆的定义得到AF1+AF2=BF1+BF2=2a=4，最后将此式代入到三角形ABF2的周长表达式中，即可得到答案．解答：解：∵椭圆方程为：+y2=1∴椭圆的长半轴a=2由椭圆的定义可得，AF1+AF2=2a=4，且BF1+BF2=2a=4∴△ABF2的周长为AB+AF2+BF2=（AF1+BF1）+（AF2+BF2）=4a=8故选：B点评：本题以椭圆中的三角形为例，考查椭圆的定义、标准方程，以及椭圆简单性质的应用，属于基础题．二．解答题（共13小题）3．已知椭圆的中心在原点，左焦点F1（﹣2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过（﹣3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于，联立c=2及a2=b2+c2求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点A，B的纵坐标的和与积，代入向量数量积等于0求解答案．解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为．令x=﹣c，代入椭圆方程得，．所以，又a2=b2+c2，解得．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）设直线l的方程为x=my﹣3，A（x1，y1），B（x2，y2）联立直线与椭圆的方程，得（m2+3）y2﹣6my+3=0，，由题意可知AF1⊥BF1，即，∴=整理得：（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1=0．∴，解得m=．代入△=36m2﹣12（m2+3）=24×3﹣36=36＞0．所以直线l的方程为或x﹣+3=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．4．如图，椭圆的中心在坐标原点O，左右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，离心率，三角形△BF1F2的周长为16．直线y=kx（k＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点．（1）求该椭圆的标准方程．（2）求四边形AEBF面积的最大值．考点：椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程，焦距为2c．由题意可得a，c的关系，结合a2=b2+c2，可求a，b，c进而可求椭圆的方程；（2）解法一：将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程：（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），表示出四边形AEBF的面积，最后利用基本不等式求S的最大值；解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．再设y1=kx1，y2=kx2，表示出四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2，最后利用基本不等式求其最大值即可．解答：解：（1）设椭圆的方程为，焦距为2c，依题意有，解得∴椭圆的方程为，（5分）（2）解法一：由消去y，得（16+25k2）x2=400如图，设E（x1，kx1），F（x2，kx2），其中x1＜x2，∴．①（8分）∵直线AB的方程分别为即4x+5y﹣20=0，∴点E，F到AB的距离分别为，（10分）又，所以四边形AEBF的面积为====，当且仅当16=25k2即时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）解法二：由题设，|BO|=4，|AO|=5．设y1=kx1，y2=kx2，由①得x2＞0，y2=﹣y1＞0，且故四边形AEBF的面积为S=S△BEF+S△AEF=4x2+5y2（10分）===，当且仅当4x2=5y2时，上式取等号．所以S的最大值为．（14分）点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式的应用．5．已知焦点在x轴上，对称轴为坐标轴的椭圆的离心率为，且以该椭圆上的点和椭圆的两焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为6，（1）求椭圆的标准方程；（2）设过点N（1，0）斜率为k直线l与椭圆相交与A、B两点，若，求直线l斜率k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：计算题．分析：（1）直接利用离心率为，以及三角形的周长为6列出关于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得椭圆的标准方程；（2）先设直线l的方程为y=k（x﹣1），再把直线方程与椭圆的标准方程联立求出A、B两点的坐标与k之间的关系，代入，整理后即可直线l斜率k的取值范围．解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，依题有2a+2c=6，即a+c=6，又因为，所以a=2，c=1，∴b2=a2﹣c2=3，所以椭圆的标准方程为（2）设过点N（1，0）的斜率为k直线l的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1），B（x2，y2）由可得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0∴，∵=（1+k2）[x1•x2﹣（x1+x2）+1]=，∴，∴点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题．在解决直线与圆锥曲线的位置关系时，韦达定理是一个必不可少的工具，比如本题的第二问．6．（2007•汕头二模）过椭圆x2+2y2=2的左焦点引一条倾斜角为450的直线，求以此直线与椭圆的两个交点及椭圆中心为顶点的三角形的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：化椭圆的方程为标准方程，求出椭圆的左焦点坐标，写出直线l的方程，和椭圆方程联立后求出两个交点的横坐标，由此可得三角形是以半短轴为底的三角形，直接利用面积公式求面积．解答：解：由x2+2y2=2，得椭圆方程，∴a2=2，b2=c2=1，∴c=1，∴左焦点为F1（﹣1，0），∴过左焦点F1的直线为y=tan45°（x+1），即y=x+1．代入椭圆方程得3x2+4x=0，∴，∴所求三角形以半短轴为底，其面积为．点评：本题考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了方程思想方法，训练了学生的计算能力，是中档题．7．已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设n是过原点的直线，l是与n垂直相交于P点、与椭圆相交于A，B两点的直线，，是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，由，，知x1x2+y1y2=0．将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0，由韦达定理能够导出k2=﹣1，即此时直线l不存在；当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，由此能够导出此时直线l不存在．所以使成立的直线l不存在．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，由题意知所以，又a2=b2+c2，因此b=2故椭圆的标准方程为（6分）（Ⅱ）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），假设使成立的直线l存在，（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且得，即m2=k2+1∵，，∴==1+0+0﹣1=0，即x1x2+y1y2=0将y=kx+m代入椭圆方程，得（1+2k2）x2+4kmx+（2m2﹣8）=0由求根公式可得，0=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=x1x2+k2x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2因此（1+k2）（2m2﹣8）﹣4k2m2+m2（1+2k2）=0将m2=k2+1代入上式并化简得k2=﹣1，即此时直线l不存在；（10分）（ⅱ）当l垂直于x轴时，满足的直线l的方程为x=1或x=﹣1，当x=1时，A，B，P的坐标分别为，∴，∴当x=﹣1时，同理可得，矛盾，即此时直线l不存在综上可知，使成立的直线l不存在．（14分）点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，提高解题能力和解题技巧．8．已知椭圆C：的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知动直线y=k（x+1）与椭圆C相交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为，求斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为，建立方程，即可求椭圆C的方程；（Ⅱ）将y=k（x+1）代入椭圆方程，利用韦达定理，及线段AB中点的横坐标为，可求斜率k的值．解答：解：（Ⅰ）由题意，满足a2=b2+c2，，…（3分）解得，则椭圆方程为…（6分）（Ⅱ）将y=k（x+1）代入中得（1+3k2）x2+6k2x+3k2﹣5=0…（8分）△=36k4﹣4（3k2+1）（3k2﹣5）=48k2+20＞0，所以…（10分）因为AB中点的横坐标为，所以，解得…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．9．已知椭圆的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，短轴长为2．椭圆的右准线l与x轴交于E，过右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，BC∥x轴．（1）求椭圆的标准方程，并指出其离心率；（2）求证：线段EF被直线AC平分．考点：圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程．专题：计算题；综合题；分类讨论．分析：（1）先设出椭圆的标准方程，根据抛物线的方程求得其焦点坐标，进而求得椭圆的c，短半轴b求得a，则椭圆的方程和离心率可得．（2）根据（1）中的椭圆方程求得其准线l的方程，求得点E的坐标，设EF的中点为M，则M的坐标可得，先看当AB垂直于x轴，则设出点A，B，C的坐标，求得AC中点的坐标，判断出线段EF的中点与AC的中点重合；再看AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2的表达式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，进而推断出A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，最后综合证明题设．解答：解：（1）由题意，可设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）∵y2=4x的焦点为F（1，0）∴c=1，又2b=2，∴b=1，a2=b2+c2=2，所以，椭圆的标准方程为其离心率为e=（2）证明：∵椭圆的右准线1的方程为：x=2，∴点E的坐标为（2，0）设EF的中点为M，则M（，0）若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，﹣y1），C（2，﹣y1）∴AC的中点为N（，0）∴线段EF的中点与AC的中点重合，∴线段EF被直线AC平分，若AB不垂直于x轴，则可设直线AB的方程为y=k（x﹣1），k≠0，A（x1，y1），B（x2，y2）则C（2，﹣y2）把y=k（x﹣1）代入得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0则有x1+x2=，x1x2=∴k AM==，k CM=，∵k AM﹣k CM=2k\frac{（{x}_{1}﹣1）﹣（{x}_{2}﹣1）}{2{x}_{1}﹣3}2（{x}_{1}﹣3）=0=∴k AM=k CM∴A、M、C三点共线，即AC过EF的中点M，∴线段EF被直线AC平分．点评：本题主要考查了圆锥曲线的综合运用．考查了学生综合分析问题和分类讨论思想的运用．属中档题．10．已知椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2+y2=1上．（I）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线过点M（2，0），且与椭圆C相交于A，B两点．试探讨k为何值时，三角形OAB为直角三角形．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由题意可知b和c，利用隐含条件求出a，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设出直线AB的方程，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于0求出k的范围，利用根与系数关系得到A与B的横坐标的和与积，讨论O与A（或B）为直角顶点两种情况，O为直角顶点时，直接由列式求解k的值，若A（或B）为直角顶点时，由斜率之积等于﹣1求出OA的斜率，由两直线联立解出A点（或B）点坐标，代入椭圆方程求得k的值．解答：解：（Ⅰ）因为焦点与短轴的端点都在圆x2+y2=1上，∴c=1，b=1，∴a2=b2+c2=1+1=2．则椭圆方程为：；（Ⅱ）由已知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣2）．联立，得（1+k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．由△=64k4﹣4（1+k2）（8k2﹣2）＞0，得．所以k．设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．若O为直角顶点，则，即x1x2+y1y2=0．y1y2=k（x1﹣2）k（x2﹣2）．所以上式可整理得：．解得k=．满足k．若A或B为直角顶点，不妨设A为直角顶点，，则A满足，解得代入椭圆方程得k4+2k2﹣1=0．解得k=．满足k．综上，k=或k=时三角形OAB为直角三角形．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法哈数学转化思想方法，训练了平面向量在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是难题．11．已知椭圆E的右焦点F（1，0），右准线l：x=4，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；（2）设A是椭圆E的左顶点，一经过右焦点F的直线与椭圆E相交于P、Q两点（P、Q与A不重合），直线AP、AQ分别与右准线l相交于点M、N，求证：直线PN、直线QM与x轴相交于同一点．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得c=1，利用离心率公式及a2=b2+c2，即可．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1，与椭圆方程联立得到根与系数的关系．利用点斜式分别写出直线AP、AQ的方程即可得出点M，N的坐标．只要证明k BM﹣k QB为0，即可得到三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．解答：解：（1）设椭圆E的标准方程为（a＞b＞0）．由题意可得，解得．∴椭圆E的标准方程为．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），由于直线l的斜率不为0，可设直线l的方程为my=x﹣1．联立．消去x得到（3m2+4）y2+6my﹣9=0．∴，．直线AP的方程为，令x=4，得到y=，∴M．直线AQ的方程为：，令x=4，得到，∴N．∴k BM﹣k QB=﹣==，其分子=3y1（my2+1﹣2）﹣y2（my1+1+2）=2my1y2﹣3（y1+y2）==0，∴k BM﹣k QB=0，即k BM=k QB，∴三点Q，B，M共线，即直线QM与x轴相交于右顶点B．同理直线PN与x轴相交于右顶点B，所以直线PN、直线QM与x轴相交于同一点B．点评：本题中考查了椭圆的方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为一元二次方程的根与系数的关系、利用斜率相等证明三点共线等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．12．椭圆C：的离心率为e=，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4．（1）求椭圆C的方程；（2）若P（m，n）（m＞0，n＞0）为椭圆C上一动点，直线L：mx+4ny﹣4=0与圆C′：x2+y2=4相交于A、B两点，求三角形OAB面积的最大值及此时直线L的方程．考点：椭圆的标准方程；直线与圆的位置关系．专题：计算题．分析：（1）依题意可求得a=2，再利用其离心率e===可求得b，从而可求得椭圆C的方程；（2）设圆心O到直线L的距离为d，可求得d=，结合n∈（0，1]，可求得d的范围；利用基本不等式可求得S△OAB最大值为2，继而可得n，m的值，从而可求得直线L的方程．解答：解：（1）由椭圆定义知2a=4，∴a=2，又e===得b=1，∴所求椭圆方程为+y2=1．（2）设圆心O到直线L的距离为d，则d=，又有+n2=1，所以d==，又n∈（0，1]，∴d∈[1，2），S△OAB=|AB|•d=•d=≤=2（当d2=4﹣d2即d=时S△OAB最大），∴S△OAB最大值为2，d=⇒=，n＞0，∴n=，m2=4﹣4n2=，又m＞0，∴m=．所以直线L的方程为x+y﹣12=0，即x+y﹣3=0．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，突出考查基本不等式的应用，考查分析、运算的能力，属于难题．13．已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B 的距离为1．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）P是椭圆C上不同于A，B的任意一点，直线AP，BP分别与直线x=3相交于点M，N，直线BM与椭圆C 相交于异于点B的另一点Q．（i）求的值；（ii）求证：A，Q，N三点共线．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），利用右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，建立方程，求出几何量，即可求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）（i）设出直线AP，BP的方程，求出M，N的坐标，利用向量的数量积公式，结合P在椭圆上，即可求的值；（ii）设出直线MB，AN的方程，求出交点坐标，验证在椭圆上，即可证明A，Q，N三点共线．解答：（I）解：设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0）∵右焦点F到其左顶点A的距离为3，到右顶点B的距离为1，∴，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）设P（x0，y0）（﹣2＜x0＜2），则直线AP：，联立直线AP与直线x=3，可得M（3，）；直线BP：，联立直线AP与直线x=3，可得N（3，），（i）解：∵F（1，0），∴∴=4+∵∴∴=4+=；（ii）证明：直线MB的方程为y=（x﹣2），直线AN的方程为y=（x﹣2）联立直线MB，NA，可得交点坐标为（，）∵∴∴直线MB，NA的交点在椭圆上，∴A，Q，N三点共线．点评：本题考查椭圆的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线的方程，考查交点坐标的求解，考查学生的计算能力，综合性强．14．已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在x轴上，短轴长与焦距相等，直线x+y﹣1=0与E相交于A，B两点，与x轴相交于C点，且．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）如果椭圆E上存在两点M，N关于直线l：y=4x+m对称，求实数m的取值范围．考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；转化思想；待定系数法．分析：（Ⅰ）根据短轴与焦距相等得到b与c相等，且a等于b，则b2=c2，a2=2c2设出椭圆的标准方程，设出已知直线与E的交点A与B的坐标，然后把直线方程代入到设出的椭圆方程中，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理得到两个之和和两根之积的关系式，同时利用求出C的坐标，和设出的A和B的坐标，由得到A与B横坐标之间的关系式，三者联立即可求出A与B的横坐标及c的值，把c的值代入所设的椭圆方程即可得到椭圆E的方程；（Ⅱ）设出椭圆E上两点M与N的坐标，把设出的两点坐标分别代入到（Ⅰ）求出的椭圆方程得到两个关系式并设出MN的中点坐标，把两个关系式相减并利用中点坐标公式化简即可得到MN中点横纵坐标之间的关系式，然后根据M与N关于直线l对称得到MN的中点在直线l上，把MN的中点坐标代入直线l的方程又得到中点横纵坐标之间的关系式，两个关系式联立即可求出横纵坐标关于m的中点坐标，然后根据中点在椭圆内部，所以把中点坐标代入椭圆方程后其值小于1，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设所求的椭圆E的方程为（c＞0），A（x1，y1）、B（x2，y2），将y=x+1代入椭圆得3x2﹣4x+2﹣2c2=0，∵，又C（1，0），∴，∴，∴所求的椭圆E的方程为；（Ⅱ）设M（x1，y1）、N（x2，y2），则，，又设MN的中点为（x0，y0），则以上两式相减得：，⇒，又点（x0，y0）在椭圆内，∴，即，化简得：9m2﹣8＜0，因式分解得：（3m+2）（3m﹣2）＜0，解得：．点评：此题考查学生会求直线与曲线的交点坐标，掌握椭圆的简单性质，会利用待定系数法求椭圆的标准方程，掌握一点在椭圆的内部所满足的条件，灵活运用中点坐标公式及对称知识解决实际问题，是一道综合题．15．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，从而可求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆方程联立，利用以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），结合根的判别式和根与系数的关系求解，即可求得结论．解答：（1）解：由题意设椭圆的标准方程为，由已知椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1，可得：a+c=3，a﹣c=1，∴a=2，c=1∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y可得（3+4k2）x2+8mkx+4（m2﹣3）=0，则又因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），∴k AD k BD=﹣1，即∴y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，∴∴7m2+16mk+4k2=0解得：，且均满足3+4k2﹣m2＞0当m1=﹣2k时，l的方程y=k（x﹣2），直线过点（2，0），与已知矛盾；当时，l的方程为，直线过定点所以，直线l过定点，定点坐标为点评：本题考查椭圆的性质及应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，综合性强，属于中档题．。
椭圆综合题中定值定点范围问题总结
椭 圆一、直线与椭圆问题的常规解题方法:1.设直线与方程；提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y=kx+b 与x=my+n 的区别2.设交点坐标；提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”3.联立方程组；4.消元韦达定理；提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单5.根据条件重转化；常有以下类型：①“以弦AB 为直径的圆过点0”提醒：需讨论K 是否存在⇔OA OB ⊥ ⇔121K K •=- ⇔0OA OB •= ⇔ 12120x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题”⇔“直角、锐角、钝角问题” ⇔“向量的数量积大于、等于、小于0问题” ⇔12120x x y y +>>0；③“等角、角平分、角互补问题” ⇔斜率关系120K K +=或12K K =； ④“共线问题”如：AQ QB λ= ⇔数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法； 如：A 、O 、B 三点共线⇔直线OA 与OB 斜率相等； ⑤“点、线对称问题” ⇔坐标与斜率关系；⑥“弦长、面积问题”⇔转化为坐标与弦长公式问题提醒：注意两个面积公式 的 合理选择； 6.化简与计算； 7.细节问题不忽略；①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0.二、基本解题思想：1、“常规求值”问题：需要找等式,“求范围”问题需要找不等式；2、“是否存在”问题：当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解；3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数无 关；⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明;4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零,求 出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明,5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数,几何法、配方法转化为二次函数的最值、 三角代换法转化为三角函数的最值、利用切线的方法、利用均值不等 式的方法等再解决；6、转化思想：有些题思路易成,但难以实施;这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是积累“转化”的经验；椭圆中的定值、定点问题一、常见基本题型：在几何问题中,有些几何量和参数无关,这就构成定值问题,解决这类问题常通过 取参数和特殊值来确定“定值”是多少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三 角式,证明该式是恒定的; 1直线恒过定点问题1、已知点00(,)P x y 是椭圆22:12x E y +=上任意一点,直线l 的方程为0012x xy y +=, 直线0l 过P 点与直线l 垂直,点M-1,0关于直线0l 的对称点为N,直线PN 恒过一定点G,求点G 的坐标;2、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点;1求P 点坐标；2求证直线AB 的斜率为定值；3、已知动直线(1)y k x =+与椭圆22:1553x y C +=相交于A 、B 两点,已知点 7(,0)3M -, 求证：MA MB ⋅为定值.4、 在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆22:13x C y +=.如图所示,斜率为(0)k k ＞且不 过原点的直线l 交椭圆C 于A ,B 两点,线段AB 的中点为E , 射线OE 交椭圆C 于点G ,交直线3x =-于点(3,)D m -.Ⅰ求22m k +的最小值；Ⅱ若2OG OD =OE ,求证：直线l 过定点；椭圆中的取值范围问题一、常见基本题型：对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式,通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解. 1从直线和二次曲线的位置关系出发,利用判别式的符号,确定参数的取值范围;5、已知直线l 与y 轴交于点(0,)P m ,与椭圆22:21C x y +=交于相异两点A 、B , 且3AP PB =,求m 的取值范围．（2）利用题中其他变量的范围,借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范 围.6、已知点(4, 0)M ,(1, 0)N ,若动点P 满足6||MN MP PN ⋅=． Ⅰ求动点P 的轨迹C 的方程；Ⅱ设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若181275NA NB -⋅-≤≤,求 直线l 的斜率的取值范围.3利用基本不等式求参数的取值范围7、已知点Q 为椭圆E ：221182x y +=上的一动点,点A 的坐标为(3,1),求AP AQ ⋅的取值范围．8.已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线220x y -+=的距 离为3.1求椭圆的方程.2设直线(0)y kx m k =+≠与椭圆相交于不同的两点,M N .当||||AM AN =时,求m 的 取值范围.9. 如图所示,已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P 在AM 上, 点N 在CM 上,且满足N AM NP AP AM 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E . I 求曲线E 的方程；II 若过定点F 0,2的直线交曲线E 于不同的两点,G H 点G 在点,F H 之间,且满足FH FG λ=, 求λ的取值范围.10、.已知椭圆E 的中心在坐标原点O ,两个焦点分别为)0,1(-A 、)0,1(B ,一个顶点为)0,2(H .1求椭圆E 的标准方程；2对于x 轴上的点)0,(t P ,椭圆E 上存在点M ,使得MH MP ⊥,求t 的取值范围.11.已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为2,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．Ⅰ求椭圆C 的方程；Ⅱ若过点M 2,0的直线与椭圆C 相交于两点,A B ,设P 为椭圆上一点,且满足OP t OB OA =+O 为坐标原点,-时,求实数t 取值范围．椭圆中的最值问题一、常见基本题型： 1利用基本不等式求最值,12、已知椭圆两焦点1F 、2F 在y 轴上,短轴长为22,离心率为22,P 是椭圆在第一 象限弧上一点,且121PF PF ⋅=,过P 作关于直线F 1P 对称的两条直线PA 、PB 分别交 椭圆于A 、B 两点,求△PAB 面积的最大值; 2利用函数求最值,13.如图,DP x ⊥轴,点M 在DP 的延长线上,且||2||DM DP =．当点P 在圆221x y +=上运动时; I 求点M 的轨迹C 的方程；Ⅱ过点22(0,)1T t y +=作圆x 的切线l 交曲线 C 于A,B 两点,求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标;14、已知椭圆22:14x G y +=.过点(,0)m 作圆221x y +=的切线l 交椭圆G 于A,B 两点. 将|AB|表示为m 的函数,并求|AB|的最大值.选做1、已知A 、B 、C 是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x m 上的三点,其中点A 的坐标为)0,32(,BC 过椭圆m 的中心,且||2||,0AC BC BC AC ==•．1求椭圆m 的方程；2过点),0(t M 的直线l 斜率存在时与椭圆m 交于两点P,Q,设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点,且||||DQ DP =.求实数t 的取值范围．2.已知圆M ：222()()x m y n r -+-=及定点(1,0)N ,点P 是圆M 上的动点,点Q 在NP上,点G 在MP 上,且满足NP ＝2NQ ,GQ ·NP ＝0． 1若1,0,4m n r =-==,求点G 的轨迹C 的方程；2若动圆M 和1中所求轨迹C 相交于不同两点,A B ,是否存在一组正实数,,m n r , 使得直线MN 垂直平分线段AB ,若存在,求出这组正实数；若不存在,说明理由．3、已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3,最小值为1．Ⅰ求椭圆C 的标准方程；Ⅱ若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ,B 两点A B ，不是左右顶点,且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点,求证：直线l 过定点,并求出该定点的坐标．4.如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的2倍且经过点M 2,1,平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为mm ≠0,l 交椭圆于A 、B 两个不同点; 1求椭圆的方程； 2求m 的取值范围；3求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.参考答案1、解：直线0l 的方程为0000()2()x y y y x x -=-,即000020y x x y x y --= 设)0,1(-M 关于直线0l 的对称点N 的坐标为(,)N m n则0000001212022x nm y x n m y x y ⎧=-⎪+⎪⎨-⎪⋅--=⎪⎩,解得320002043200002002344424482(4)x x x m x x x x x n y x ⎧+--=⎪-⎪⎨+--⎪=⎪-⎩∴ 直线PN 的斜率为4320000032000042882(34)n y x x x x k m x y x x -++--==---+ 从而直线PN 的方程为： 432000000320004288()2(34)x x x x y y x x y x x ++---=---+ 即3200043200002(34)14288y x x x y x x x x --+=+++-- 从而直线PN 恒过定点(1,0)G2、解：1设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===所以椭圆的方程为22142y x +=则122),(0,2)F F -,设0000(,)(0,0)P x y x y >>则100200(,2),(,2),PF x y PF x y =--=--221200(2)1PF PF x y ∴⋅=--=点00(,)P x y 在曲线上,则2200 1.24x y += 220042y x -∴=从而22004(2)12y y ---=,得02y =则点P 的坐标为2);2由1知1//PF x 轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数,设PB 斜率为(0)k k >,则PB 的直线方程为：2(1)y k x =-由222(1)124y k x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得222(2)2(2)(2)40k x k k x k ++-+--=设(,),B B B x y 则2222(2)222122B k k k k x k k ---=-=++同理可得222222A k k x k +-=+,则2422A B kx x k-=+ 28(1)(1)2A B A B ky y k x k x k-=----=+ 所以直线AB 的斜率2A BAB A By y k x x -==-为定值;3、 解: 将(1)y k x =+代入221553x y +=中得2222(13)6350k x k x k +++-= 4222364(31)(35)48200k k k k ∴∆=-+-=+>,2122631k x x k +=-+,21223531k x x k -=+所以112212127777(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ⋅=++=+++ 2121277()()(1)(1)33x x k x x =+++++2221212749(1)()()39k x x k x x k =++++++2222222357649(1)()()313319k k k k k k k -=+++-++++ 4222316549319k k k k ---=+++49=; 4、 解：Ⅰ由题意:设直线:(0)l y kx n n =+≠,由2213y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得:222(13)6330k x knx n +++-=, 2222364(13)3(1)∆=-+-k n k n ×2212(31)0k n =+->设A 11(,)x y 、B 22(,)x y ,AB 的中点E 00(,)x y ,则由韦达定理得:12x x +=2613kn k -+,即02313kn x k -=+,002313kny kx n k n k-=+=⨯+=+213n k +, 所以中点E 的坐标为23(,13kn k -+2)13nk+, 因为O 、E 、D 三点在同一直线上,所以OE OD k K =,即133mk -=-, 解得1m k =,所以22m k +=2212k k+≥,当且仅当1k =时取等号, 即22m k +的最小值为2. Ⅱ证明:由题意知:n>0,因为直线OD 的方程为3my x =-,所以由22313m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得交点G 的纵坐标为223G m y m =+, 又因为213E n y k=+,D y m =,且2OG OD =OE ,所以222313m n m m k =⋅++, 又由Ⅰ知: 1m k=,所以解得k n =,所以直线l 的方程为:l y kx k =+, 即有:(1)l y k x =+, 令1x =-得,y=0,与实数k 无关, 5、 解：1当直线斜率不存在时：12m =±2当直线斜率存在时：设l 与椭圆C 交点为 1122(,),(,)A x y B x y ∴2221y kx mx y =+⎧⎨+=⎩得 222(2)210k x kmx m +++-=22222(2)4(2)(1)4(22)0km k m k m ∴∆=-+-=-+>212122221,22km m x x x x k k --+==++∵3AP PB =,∴123x x -=,∴122212223x x x x x x +=-⎧⎨=-⎩. 消去2x ,得212123()40x x x x ++=, 2222213()4022km m k k --∴+=++ 整理得22224220k m m k +--=214m =时,上式不成立； 214m ≠时,2222241m k m -=-, ∴22222041m k m -=≥-,∴211-<≤-m 或121≤<m 把2222241m k m -=-代入得211-<<-m 或121<<m ∴211-<<-m 或121<<m 综上m 的取值范围为211-<≤-m 或121≤<m ; 6、解：Ⅰ设动点(, )P x y ,则(4, )MP x y =-,(3, 0)MN =-,(1, )PN x y =--.由已知得22)()1(6)4(3y x x -+-=--,化简得223412x y +=,得22143x y +=. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为13422=+y x . Ⅱ由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为(1)y k x =-, 设A ,B 两点的坐标分别为11(, )A x y ,22(, )B x y .由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(43)84120k x k x k +-+-=.因为N 在椭圆内,所以0∆>.所以212221228,34412.34k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩因为2121212(1)(1)(1)(1)(1)NA NB x x y y k x x ⋅=--+=+--]1)()[1(21212++-+=x x x x k222222243)1(943438124)1(k k k k k k k ++-=+++--+=,所以22189(1)127345k k -+--+≤≤. 解得213k ≤≤. 7、 解： (1,3)AP =,设Qx ,y ,(3,1)AQ x y =--,(3)3(1)36AP AQ x y x y ⋅=-+-=+-．∵221182x y +=,即22(3)18x y +=, 而22(3)2|||3|x y x y +⋅≥,∴－18≤6xy ≤18．则222(3)(3)6186x y x y xy xy +=++=+的取值范围是0,36．3x y +的取值范围是－6,6．∴36AP AQ x y ⋅=+-的取值范围是－12,0． 8、解：1依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,则右焦点)F3=,解得23a =,故所求椭圆的方程为22 1.3x y +=2设(,)P P P x y 、(,)M M M x y 、(,)N N N x y ,P 为弦MN 的中点,由2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(31)63(1)0k x mkx m +++-=直线与椭圆相交,22222(6)4(31)3(1)031,mk k m m k ∴∆=-+⨯->⇒<+ ①23231M N P x x mkx k +∴==-+,从而231P P m y kx m k =+=+, 21313P APP y m k k x mk +++∴==-,又||||,,AM AN AP MN =∴⊥则：23113m k mk k++-=-,即2231m k =+,②把②代入①得22m m <,解02m <<,由②得22103m k -=>,解得12m >.综上求得m 的取值范围是122m <<. 9、解：Ⅰ.0,2=⋅=AM NP AP AM∴NP 为AM 的垂直平分线,∴|NA|=|NM| 又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点C －1,0,A1,0为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a 焦距2c=2. .1,1,22===∴b c a∴曲线E 的方程为.1222=+y x Ⅱ当直线GH 斜率存在时,设直线GH 方程为,12,222=++=y x kx y 代入椭圆方程 得.230.034)21(222>>∆=+++k kx x k 得由设2212212211213,214),,(),,(k x x k k x x y x H y x G +=+-=+则 )2,()2,(,2211-=-∴=y x y x FH FG λλ 又λλλλλ2122221222122121)1(.,)1(,x x x x x x x x x x x x x ==++∴=+=+∴=∴, λλλλ222222)1()121(316,213)1()214(+=++=++-∴kk k k 整理得.331.316214.316323164,2322<<<++<∴<+<∴>λλλ解得k k .131,10<<∴<<λλ 又 又当直线GH 斜率不存在,方程为.31,31,0===λFH FG x)1,31[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴10、解：1由题意可得,1c =,2a =,∴3b =．∴所求的椭圆的标准方程为：22143x y +=． 2设),(00y x M )20±≠x （,则 2200143x y +=． ① 且),(00y x t MP --=,),2(00y x MH --=,由MH MP ⊥可得0=⋅MH MP ,即∴0)2)((2000=+--y x x t ． ②由①、②消去0y 整理得3241)2(0200-+-=-x x x t ． ∵20≠x∴23411)2(4100-=---=x x t ．∵220<<-x , ∴ 12-<<-t ．∴t 的取值范围为)1,2(--.11、 解：Ⅰ由题意知22c e a ==, 所以22222212c a b e a a -===． 即222a b =． 又因为2111b ==+,所以22a =,21b =． 故椭圆C 的方程为1222=+y x ． Ⅱ由题意知直线AB 的斜率存在.设AB ：(2)y k x =-,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)P x y ,由22(2),1.2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)8820k x k x k +-+-=. 422644(21)(82)0k k k ∆=-+->,212k <. 2122812k x x k +=+,21228212k x x k -=+.∵OP t OB OA =+,∴1212(,)(,)x x y y t x y ++=,21228(12)x x k x t t k +==+, 1212214[()4](12)y y ky k x x k t t t k +-==+-=+. ∵点P 在椭圆上,∴222222222(8)(4)22(12)(12)k k t k t k -+=++, ∴22216(12)k t k =+.∵PB PA -＜253,∴2122513k x x +-<,∴22121220(1)[()4]9k x x x x ++-<∴422222648220(1)[4](12)129k k k k k -+-<++, ∴22(41)(1413)0k k -+>,∴214k >. ∴21142k <<,∵22216(12)k t k =+,∴222216881212k t k k ==-++, ∴2623t -<<-或2623t <<, ∴实数t 取值范围为)2,362()362,2( --. 12、解、设椭圆方程为22221y x a b+=,由题意可得2,2,22a b c ===,故椭圆方程为22142y x +=设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪⎨⎧=++=142222y x m x y ,得0422422=-++m mx x , 由0)4(16)22(22>--=∆m m ,得2222<<-mP 到AB 的距离为3||m d =,则3||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅⋅-=⋅=∆2)28(81)8(8122222=+-≤+-=m m m m ;当且仅当()22,222-∈±=m 取等号, ∴三角形PAB 面积的最大值为2; 13、 解:设点M 的坐标为()y x ,,点P 的坐标为()00,y x ,则0x x =,02y y =,所以x x =0,20yy =, ① 因为()00,y x P 在圆122=+y x 上,所以12020=+y x ②将①代入②,得点M 的轨迹方程C 的方程为1422=+y x ． Ⅱ由题意知,1||≥t ．当1=t 时,切线l 的方程为1=y ,点A 、B 的坐标分别为),1,23(),1,23(-此时3||=AB ,当1-=t 时,同理可得3||=AB ； 当1>t 时,设切线l 的方程为,m kx y +=R k ∈由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x t kx y 得042)4(222=-+++t ktx x k ③ 设A 、B 两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x ,则由③得：222122144,42k t x x k kt x x +-=+-=+． 又由l 与圆122=+y x 相切,得,11||2=+k t 即.122+=k t所以212212)()(||y y x x AB -+-=]4)4(4)4(4)[1(222222kt k t k k +--++=2.3||342+=t t因为,2||3||343||34||2≤+=+=t t t t AB 且当3±=t 时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为2依题意,圆心O 到直线AB 的距离为圆122=+y x 的半径,所以AOB ∆面积1121≤⨯=AB S , 当且仅当3±=t 时,AOB ∆面积S 的最大值为1,相应的T 的坐标为()3,0-或者()3,0．14、 解：由题意知,||1m ≥.当1m =时,切线l 的方程为1x =,点A,B 的坐标分别为33(1,),(1,)22-, 此时||3AB =；当1m =-时,同理可得||3AB =； 当1m >时,设切线l 的方程为()y k x m =-.由22()14y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222(14)8440k x k mx k m +-+-=. 设A,B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y . 又由l 与圆221x y +=相切,211k =+,即2221m k k =+.所以222221212112||()()(1)[()4]AB x x y y k x x x x =-+-=++- 42222222644(44)(1)[](14)14k m k m k k k -=+-++243|3m m =+. 由于当1m =±时,||3AB 243|43||233||||m AB m m m ==≤++,当且当3m =,||2AB =.所以|AB|的最大值为2.选做1、 解1椭圆m ：141222=+y x2由条件D0,－2 ∵M0,t 1°当k=0时,显然－2<t<2 2°当k≠0时,设t kx y l +=:⎪⎩⎪⎨⎧+==+t kx y y x 141222 消y 得 01236)31(222=-+++t ktx x k由△>0 可得 22124k t +< ①设),(),,(),,(002211y x H PQ y x Q y x P 中点则22103132k kt x x x +=+=20031k tt kx y +=+= ∴)31,313(22k tk kt H ++-由kk PQ OH DQ DP DH 1||||-=⊥∴=即∴2223110313231k t k k kt kt+=-=-+-++化简得 ② ∴t>1 将①代入②得 1<t<4 ∴t 的范围是1,4综上t ∈－2,4 2、解：12,NP NQ =∴∴点Q 为PN 的中点,又0GQ NP ⋅=,GQ PN ∴⊥或G 点与Q 点重合．∴.||||GN PG =又|||||||||| 4.GM GN GM GP PM +=+== ∴点G 的轨迹是以,M N 为焦点的椭圆,且2,1a c ==,∴b G ==∴的轨迹方程是221.43x y +=2解：不存在这样一组正实数,下面证明： 由题意,若存在这样的一组正实数, 当直线MN 的斜率存在时,设之为k ,故直线MN 的方程为：(1)y k x =-,设1122(,),(,)A x y B x y ,AB 中点00(,)D x y ,则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,两式相减得： 12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=． 注意到12121y y x x k -=--,且12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ ,则00314x y k = , ② 又点D 在直线MN 上,00(1)y k x ∴=-,代入②式得：04x =． 因为弦AB 的中点D 在⑴所给椭圆C 内,故022x -<<, 这与04x =矛盾,所以所求这组正实数不存在． 当直线MN 的斜率不存在时,直线MN 的方程为1x =,则此时1212,2y y x x =+=,代入①式得120x x -=,这与,A B 是不同两点矛盾．综上,所求的这组正实数不存在．3、解：Ⅰ椭圆的标准方程为22143x y +=． Ⅱ设11()A x y ，,22()B x y ，,联立22 1.43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，, 得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=, 22222212221226416(34)(3)03408344(3).34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧⎪∆=-+->+->⎪⎪+=-⎨+⎪⎪-=⎪+⎩，即，则， 又22221212121223(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+, 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右焦点(20)D ，, 1AD BD k k ∴=-,即1212122y y x x =---,1212122()40y y x x x x ∴+-++=,2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k--∴+++=+++, 2291640m mk k ∴++=．解得：12m k =-,227k m =-,且均满足22340k m +->, 当12m k =-时,l 的方程为(2)y k x =-,直线过定点(20)，,与已知矛盾； 当227k m =-时,l 的方程为2()7y k x =-,直线过定点2(0)7，． 所以,直线l 过定点,定点坐标为2(0)7，． 4、解：1设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得 ∴椭圆方程为12822=+y x 2∵直线l 平行于OM,且在y 轴上的截距m, 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为： 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点,分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m3设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1,k 2,只需证明k 1+k 2=0即可设42,2),,(),,(221212211-=-=+m x x m x x y x B y x A 且则21,21222111--=--=x y k x y k 由可得042222=-++m mx x 42,222121-=-++m x x m x x 而)2)(2()2)(1()2()1(2121211221221121----+---=--+--=+x x x y x y x y x y k k )2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形;。
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆(教师版)知识与归纳：1..点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)在椭圆12222=+b y a x 内部的充要条件是1220220<+b y a x ；在椭圆外部的充要条件是1220220>+b y a x ；在椭圆上的充要条件是122220=+by a x .2.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+by a x ，联立l 与C ，消去某一变量(x 或y )得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为Δ，则l 与C 相离的⇔Δ<0； l 与C 相切⇔Δ=0； l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0. 3.计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)⇒|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率）形式(利用根与系数关系（推导过程：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB ====或者AB ====) 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系 解：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=1416322y x kx y 可得02024)14(22=+++kx x k )516(162-=∆∴k（1）当45450)516(162-<>>-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相交 （2）当45450)516(162-===-=∆k k k 或即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相切 （3）当45450)516(162<<-<-=∆k k 即时，直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 相离 例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围 解法一：由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15122m y x kx y 可得05510)5(22=-+++m kx x m k ，0152≥--=∆∴k m 即1152≥+≥k m 51≠≥∴m m 且解法二：直线恒过一定点)1,0(当5<m 时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长m b =，要使直线与椭圆恒有交点则1≥m 即51<≤m 当5>m 时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长5=a 可保证直线与椭圆恒有交点即5>m综述：51≠≥m m 且 解法三：直线恒过一定点)1,0(要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点)1,0(在椭圆内部115022≤+m即1≥m 51≠≥∴m m 且[评述]由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情况由判别式来决定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则（1）直线与椭圆相交0>∆⇔（2）直线与椭圆相切0=∆⇔（3）直线与椭圆相离0<∆⇔，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。
《直线与椭圆综合问题》教案
《直线与椭圆综合问题》教案一、教学目标：1.知识与技能方面1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质；2.判断直线与椭圆的位置关系主要是代数法，即通过联立直线方程和椭圆方程所得的二次方程的根的个数来进行，当直线过某一定点时，也可利用该定点与椭圆的位置关系，来判断直线与椭圆的位置关系；3.解决中点弦、弦长及最值与范围问题一般利用“设而不求”的思想，通过根与系数的关系构建方程求解参数、计算弦长；4.掌握“设点法”的计算方法、技巧。
【强调几点】1.涉及直线的斜率时，要考虑直线斜率不存在的情况是否符合题意；2.直线与椭圆有交点时，注意由直线方程和椭圆方程联立所得二次方程的Δ≥0；3.写韦达定理时，注意Δ>0；4.求某几何量的最值或范围要考虑其中变量的取值范围。
2.方法与技巧1.采用“设直线法”时一般利用“设而不求”的思想方法；2.采用“设点法”时注意应用椭圆方程带入消元，利用“消元”的思想方法。
3.情感态度与价值观培养学生勇于探索，锲而不舍的精神，激励学生的学习热情。
二、教学重难点：1.需分析题目，打通思路，预估计算量，选择方法，设直线法还是设点法；2.计算繁琐，难度大，导致错误率高。
三、教学过程：【典例1】在平面直角坐标系中，已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率为23，C为椭圆上位于第一象限内的一点。
（1）若点C 的坐标为5(2,)3，求,a b 的值； （2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且12AB OC =，求直线AB 的斜率。
【典例分析】（1）根据离心率23c e a ==，点C 坐标代入方程，结合222b a c =-，可计算得出,a b 的值； （2）方法一：“设点法”设00(,)B x y ，根据向量关系，可以得出()0022,2C x a y +，再根据点B,C 在椭圆上，代入椭圆方程，可计算得出00,x y 的值，进而计算得出直线AB 的斜率； 方法二：“设直线法”首先考虑直线AB 的斜率是否存在的问题。
直线与椭圆
§8.6 直线与椭圆考试要求 1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．知识梳理1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] 或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]，k 为直线斜率且k ≠0. 常用结论已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．(1)通径的长度为2b 2a.(2)过左焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则焦点弦|AB |＝2a ＋e (x 1＋x 2)；过右焦点弦CD ，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则焦点弦|CD |＝2a －e (x 3＋x 4)．(e 为椭圆的离心率)(3)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则2122·PA PA k b k a=-.(4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.(5)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k P A ·k PB ＝－b 2a 2.(6)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．( √ ) (2)直线y ＝x 与椭圆x 22＋y 2＝1一定相交．( √ )(3)直线y ＝x －1被椭圆x 22＋y 2＝1截得的弦长为 2.( × )(4)过椭圆上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.( × )教材改编题1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断答案 A解析 方法一 (通解)联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y 24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．方法二 (优解)直线过点(0,1)，而0＋14＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．2．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A.45B.65C.85D.135答案 C解析 由题意得，a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝3， 所以右焦点坐标为(3，0)， 则直线l 的方程为y ＝x －3， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消y 得，5x 2－83x ＋8＝0， 则x 1＋x 2＝835，x 1·x 2＝85，所以|AB |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×⎝⎛⎭⎫8352－4×85＝85.即弦AB 的长为85.3．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________． 答案 y 24＋x 2＝1解析 因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1,0)，所以b ＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1， 所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.题型一 直线与椭圆的位置关系例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y 22＝1，消去y 并整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0. Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 教师备选(多选)直线y ＝kx －2k ＋62与椭圆x 24＋y 23＝1的位置关系可能为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．有3个公共点答案 AB解析 直线y ＝kx －2k ＋62＝k (x －2)＋62恒过定点⎝⎛⎭⎫2，62，又点⎝⎛⎭⎫2，62在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切． 思维升华 判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 跟踪训练1 已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝⎛⎭⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．解 (1)由0<m <2，得2m <4，可知曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b 2＝1，把点N ⎝⎛⎭⎫3，12代入， 得34＋14b2＝1， 解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2， 解得c 2＝3， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得⎝⎛⎭⎫14＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0， 则有Δ＝4k 2－1>0，得k 2>14.所以k >12或k <－12，所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞. 题型二 弦长及中点弦问题 命题点1 弦长问题例2 (2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AB |＝5，求直线l 的方程．解(1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34， ∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b 2＝1， ∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎨⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. ∴Δ＝4m 2－8m 2＋16＞0，解得|m |＜2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝5(4－m 2)＝5，解得m ＝±3.所求直线l 的方程为y ＝12x ±3.命题点2 中点弦问题例3 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k (x －1)，x 24＋y 22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k (k －1)2k 2＋1，又∵x 1＋x 2＝2， ∴4k (k －1)2k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0， 又x 2－x 1≠0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12.经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 教师备选已知直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P (1,1)．(1)求直线l 的方程； (2)求△OAB 的面积．解 (1)由斜率公式可知k OP ＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 代入椭圆方程得到，⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1⇒x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，化简得到－34×x 1＋x 2y 1＋y 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k AB，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝－34，∴直线方程为y －1＝－34(x －1)，∴直线l 的方程为3x ＋4y －7＝0.(2)将直线方程与椭圆方程联立，可得21x 2－42x ＋1＝0， Δ＝422－4×21>0， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝121.由弦长公式得到 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋916×4－421＝54×410521＝510521， 再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB 的距离d ＝|－7|9＋16＝75， ∴△OAB 的面积S ＝12×510521×75＝1056.思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路跟踪训练2 (1)(2022·济宁模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点P ⎝⎛⎭⎫1，12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为( ) A ．3x －2y －2＝0B ．3x ＋2y －4＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x －4y －1＝0答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，由⎩⎨⎧x 214＋y 213＝1， ①x 224＋y223＝1，②①－②得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，即y 21－y 22x 21－x 22＝－34， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝12k AB ＝－34，所以k AB ＝－32，因此直线AB 的方程为y －12＝－32(x －1)，即3x ＋2y －4＝0.(2)已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AF 1，BF 2都与x 轴垂直，则|AB |＝________. 答案13解析 由题意得c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因为直线l 过原点，且交椭圆E 于A ，B 两点，所以A 与B 关于原点对称，又AF 1，BF 2都与x 轴垂直， 所以设A (－1，y 1)，B (1，－y 1)， 则|AB |＝(－1－1)2＋[y 1－(－y 1)]2＝4＋4y 21.又点A 在椭圆E 上， 所以14＋y 213＝1，得y 21＝94， 则|AB |＝4＋4×94＝13.题型三 直线与椭圆的综合问题例4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P (1,0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2b ＝2，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线的斜率不为0， 则设直线的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，整理得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝(2m )2－4(m 2＋4)×(－3)＝16m 2＋48>0， 则y 1＋y 2＝－2m m 2＋4，y 1y 2＝－3m 2＋4，故|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋42＋12m 2＋4＝4m 2＋3m 2＋4， 因为△ABO 的面积为35， 所以12|OP ||y 1－y 2|＝12×1×4m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4＝35， 设t ＝m 2＋3≥3，则2t t 2＋1＝35， 整理得(3t －1)(t －3)＝0，解得t ＝3或t ＝13(舍去)，即m ＝±6. 故直线的方程为x ＝±6y ＋1，即x ±6y －1＝0.教师备选(2020·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．解 (1)由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18，所以椭圆的方程为x 218＋y 29＝1. (2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为y ＝kx －3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y 29＝1，消去y 可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0，解得x ＝0或x ＝12k 2k 2＋1. 依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k 2k 2＋1，－32k 2＋1. 由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1. 又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1， 整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1. 所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3， 即x －2y －6＝0或x －y －3＝0.思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 跟踪训练3 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P －→⊥F 1Q －→，求直线l 的方程．解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形，所以c ＝3b ，又c ＝1，所以b ＝33， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝43， 故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1. (2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1， 当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 22＋y 2＝1， 得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2(k 2－1)2k 2＋1， F 1P －→＝(x 1＋1，y 1)，F 1Q －→＝(x 2＋1，y 2)，因为F 1P －→⊥F 1Q －→，所以F 1P －→·F 1Q －→＝0，即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1)＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1＝7k 2－12k 2＋1＝0， 解得k 2＝17，即k ＝±77， 故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.课时精练1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0，3)∪(3，＋∞)答案 B 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋2，x 2m ＋y 23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0.由Δ>0且m ≠3及m >0，得m >1且m ≠3. 2．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，过M 的右焦点F (3,0)作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为( )A.x 29＋y 26＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.x 212＋y 23＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 直线AB 的斜率k ＝1－02－3＝－1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程可得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1， 两式相减，整理得2a 2－1b 2＝0， 又c ＝3，a 2＝b 2＋c 2.联立解得a 2＝18，b 2＝9.所以椭圆M 的方程为x 218＋y 29＝1. 3．(多选)已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y 并整理， 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝－8m 2＋24>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23. 由题意， 得|AB |＝2(x 1＋x 2)2－8x 1x 2＝423， 解得m ＝±1，满足题意．4．已知直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( ) A ．2 B.433 C ．4D ．不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )，则弦长为x 2＋(y －1)2＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1 ＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋132＋163， 所以当y ＝－13时，弦长最大为433. 5．(多选)设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是( )A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点M 坐标为⎝⎛⎭⎫13，43D ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案 BD解析 对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A 项不正确；对于B 项，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 项正确；对于C 项，若直线方程为y ＝x ＋1，点M ⎝⎛⎭⎫13，43，则k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 项不正确；对于D 项，若直线方程为y ＝x ＋2，与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立， 得到2x 2＋(x ＋2)2－4＝0，整理得3x 2＋4x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝－43， 所以|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪－43－0＝423， 所以D 项正确．6．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c .直线l ：y ＝k (x ＋c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点，则下列说法中正确的有( )A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则k OM ·k ＝b 2a 2 C ．若AF 1－→·AF 2－→＝3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤55，12 D ．若|AB |的最小值为3c ，则椭圆的离心率e ＝13答案 AC解析 由直线l ：y ＝k (x ＋c )过点(－c ，0)，知弦AB 过椭圆的左焦点F 1.所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ，所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22， k OM ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2， 所以k OM ·k ＝y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22， 由⎩⎨⎧ x 21a 2＋y 21b 2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b2＝0， 所以y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2， 则k OM ·k ＝y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2， 所以B 错误；AF 1－→＝(－c －x 1，－y 1)，AF 2－→＝(c －x 1，－y 1)，所以AF 1－→·AF 2－→＝x 21－c 2＋y 21＝c 2a 2x 21＋a 2－2c 2∈[a 2－2c 2，a 2－c 2]， 则a 2－2c 2≤3c 2≤a 2－c 2，可得e ＝c a ∈⎣⎡⎦⎤55，12， 所以C 正确；由过焦点的弦中通径最短，则|AB |的最小值为通径2b 2a ，则有2b 2a＝3c ， 即2a 2－3ac －2c 2＝0，解得a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12，所以D 错误． 7．已知直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C ：x 24＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，AB 中点的横坐标为12，则k ＝________.答案 ±12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，因为直线l 过椭圆内的定点(1,0)，所以Δ>0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1， 所以x 1＋x 22＝4k 24k 2＋1＝12， 即k 2＝14，所以k ＝±12. 8．与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________． 答案 55解析 因为所求椭圆与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)， 联立方程组⎩⎨⎧ x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3⇒(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)＝0，化简得a 4－6a 2＋5＝0，即a 2＝5或a 2＝1(舍)．则a ＝ 5.又c ＝1，所以e ＝c a ＝15＝55. 9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，椭圆M 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆M 的方程；(2)若过点N (1,1)的直线与该椭圆M 交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点恰为点N ，求直线PQ 的方程．解 (1)∵e ＝c a ＝1－b 2a 2＝12， 则3a 2＝4b 2，将⎝⎛⎭⎫1，32代入椭圆方程得 1a 2＋94b2＝1， 解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )，∵线段PQ 的中点恰为点N ，∴x P ＋x Q ＝2，y P ＋y Q ＝2.∵x 2P 4＋y 2P 3＝1，x 2Q 4＋y 2Q 3＝1，两式相减可得 14(x P ＋x Q )(x P －x Q )＋13(y P ＋y Q )(y P －y Q )＝0， ∴y P －y Q x P －x Q＝－34， 即直线PQ 的斜率为－34， ∴直线PQ 的方程为y －1＝－34(x －1)， 即3x ＋4y －7＝0.10．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，32，且离心率为32.F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和⊙F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)， 由题设知1a 2＋34b 2＝1，a 2－b 2a ＝32. 解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1. 因此F (3，0)，|PF |＝12，即⊙F 的半径为12. 所以⊙F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14. (2)由题设可知，A 在E 外，B 在E 内，C 在⊙F 内，D 在⊙F 外，在l 上的四点A ，B ，C ，D 满足|AC |＝|AB |－|BC |，|BD |＝|CD |－|BC |.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，将l 的方程代入E 的方程得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0，则x 1＋x 2＝83k 24k 2＋1， x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1，|CD|＝1＋k2(x1＋x2)2－4x1x2＝4k2＋44k2＋1＝1＋34k2＋1＞1，又⊙F的直径|AB|＝1，所以|BD|－|AC|＝|CD|－|AB|＝|CD|－1>0，故不存在正数k使|AC|＝|BD|.11．(2022·临沂模拟)过椭圆内定点M且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M的“好弦”．在椭圆x264＋y216＝1中，过点M(43，0)的所有“好弦”的长度之和为()A．120 B．130C．240 D．260答案 C解析由已知可得a＝8，b＝4，所以c＝43，故M为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x轴时弦长最短，所以当x＝43时，最短的弦长为2b2a ＝2×168＝4，当弦与x轴重合时，弦长最长为2a＝16，则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.12．(2022·江南十校模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与椭圆交于M，N两点，若△MNF2的周长为8，则△MF1F2面积的最大值为()A.32 B. 3C．2 3 D．3 答案 B解析 由椭圆的定义可得△MNF 2的周长为|MN |＋|MF 2|＋|NF 2|＝|MF 1|＋|NF 1|＋|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＝8，∴a ＝2，则c ＝3，则△MF 1F 2面积的最大值为12·2c ·b ＝bc ＝ 3. 13．(2022·兰州质检)已知P (2，－2)是离心率为12的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)外一点，经过点P 的光线被y 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是( )A ．－18B ．－12C ．1D.18答案 D解析 由题意可知e ＝c a ＝12， 又a 2＝b 2＋c 2，故b 2＝34a 2， 设过点P 的直线斜率为k ，则直线方程为y ＋2＝k (x －2)，即y ＝kx －2k －2，则反射后的切线方程为y ＝－kx －2k －2， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－kx －2k －2，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k (k ＋1)x ＋16k 2＋32k ＋16－3a 2＝0，∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，∴Δ＝[16k (k ＋1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2＋32k ＋16－3a 2)＝0，化简得4a 2k 2＋3a 2＝16k 2＋32k ＋16，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝16，3a 2＝32k ＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，k ＝－18. ∴此切线的斜率为18. 14．(多选)已知O 为坐标原点，椭圆T ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆T 于A ，B 两点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |的最小值为32B ．若M (异于点F )为线段AB 的中点，则直线AB 与OM 的斜率之积为－34C ．若AF →＝－2BF →，则直线AB 的斜率为±52D ．△AOB 面积的最大值为3答案 BC解析 对于A ，易知当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |取得最小值，由椭圆T 的方程知F (1,0)，当x ＝1时，y ＝±32， 所以|AB |的最小值为3，故A 错误；对于B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，x 1≠x 2，x 0≠0，因为M 为线段AB 的中点，所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22， 又点A ，B 在椭圆T 上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2 ＝－34·x 0y 0， 所以y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－34， 即直线AB 与OM 的斜率之积为－34，故B 正确；对于C ，易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆T 的方程得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 因为AF →＝－2BF →，所以y 1＝－2y 2，所以y 1＋y 2＝－y 2＝－6m 3m 2＋4， 则y 2＝6m 3m 2＋4，y 1＝－12m 3m 2＋4， 所以y 1y 2＝6m 3m 2＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 3m 2＋4＝－93m 2＋4， 解得m ＝±255， 所以直线AB 的斜率为±52，故C 正确； 对于D ，△AOB 的面积S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12|y 1－y 2| ＝12(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝6m 2＋13m 2＋4， 令m 2＋1＝t ，则t ≥1，S ＝6t 3t 2＋1＝63t ＋1t， 因为函数y ＝3t ＋1t在t ∈[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1，即m ＝0时，△AOB 的面积取得最大值，且最大值为32，故D 错误．15．(多选)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M ，N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若AF 1―→·BF 1―→＝0,3AF 2―→＝2F 2B ―→，|AF 1|＝2|AF 2|，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线BM 和直线BN 的斜率分别为k 3，k 4，则下列结论一定正确的是( )A ．e ＝55B ．k ＝±12C ．k 1·k 2＝－45D ．k 3·k 4＝45答案 AC解析 ∵AF 1―→·BF 1―→＝0，∴AF 1⊥BF 1，过点F 2作F 1B 的平行线，交AF 1于点E ，∴AF 1⊥EF 2.设|F 2A |＝2t ，|F 1A |＝4t ，又3AF 2－→＝2F 2B －→，∴|AB |＝5t ，∵AF 1⊥BF 1，∴|F 1B |＝3t ，∴12t ＝4a ，∴a ＝3t .∴|BF 1|＝|BF 2|＝3t ＝a ，∴B (0，±b )．在△EF 1F 2中，|EF 1|＝35|AF 1|＝12t 5， |EF 2|＝25|BF 1|＝6t 5， |F 1F 2|＝2c ，∵|EF 1|2＋|EF 2|2＝|F 1F 2|2，∴c ＝3t 5，b ＝a 2－c 2＝6t 5， 椭圆离心率e ＝c a ＝55，故A 正确； k ＝±b c＝±2，故B 错误；设A (x ，y )，易得M (－a ，0)，N (a ，0)，则k 1·k 2＝y x ＋a ·y x －a ＝y 2x 2－a 2＝b 2⎝⎛⎭⎫1－x 2a 2x 2－a 2＝－b 2a 2＝－45， 故C 正确；同理k 3·k 4＝－b 2a 2＝－45， 故D 错误．16．已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，|MN |2＝4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，4a ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，∴b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点P 矛盾，∴直线l 的斜率存在．设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，m ：y ＝－k (x ＋t )，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )． 将直线m 的方程代入椭圆方程得，(3＋4k 2)x 2＋8k 2tx ＋4(k 2t 2－3)＝0，∴x M ＋x N ＝－8k 2t 3＋4k 2， x M x N ＝4(k 2t 2－3)3＋4k 2，∴|MN |2＝(1＋k 2)·16(12k 2－3k 2t 2＋9)(3＋4k 2)2. 同理，|AB |＝1＋k 2·49k 2＋93＋4k 2 ＝12(1＋k 2)3＋4k 2. 由|MN |2＝4|AB |得t ＝0，此时，Δ＝64k 4t 2－16(3＋4k 2)(k 2t 2－3)＞0， ∴直线m ：y ＝－kx ，∴P ⎝⎛⎭⎫12，－12k ，即点P 在定直线x ＝12上．。
高中数学直线与椭圆的综合问题训练题
直线与椭圆的综合问题训练题A 级——保大分专练1．(2019·长春二检)椭圆4x 2＋9y 2＝144内有一点P (3,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )A ．－23B ．－32C ．－49D ．－94解析：选A 设以P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，斜率为k ，则4x 21＋9y 21＝144,4x 22＋9y 22＝144，两式相减得4(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋9(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，又x 1＋x 2＝6，y 1＋y 2＝4，y 1－y 2x 1－x 2＝k ，代入解得k ＝－23. 2．已知直线y ＝－x ＋1与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB 的长是( ) A ．223B ．423C ． 2D ．2解析：选B 由条件知c ＝1，e ＝c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 22＋y 2＝1，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫43，－13，所以|AB |＝423.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B ．455C ．4105D ．8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝x ＋t 消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝4t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．(2019·石家庄质检)倾斜角为π4的直线经过椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F ，与椭圆交于A ，B 两点，且AF ―→＝2FB ―→，则该椭圆的离心率为( )A ．32 B ．23 C ．22D ．33解析：选B 由题可知，直线的方程为y ＝x －c ，与椭圆方程联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b2＝1，y ＝x －c ，得(b 2＋a 2)y 2＋2b 2cy －b 4＝0，由于直线过椭圆的右焦点，故必与椭圆有交点，则Δ＞0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y 1＋y 2＝－2b 2c a 2＋b2，y 1y 2＝－b4a 2＋b 2，又AF ―→＝2FB ―→，∴(c －x 1，－y 1)＝2(x 2－c ，y 2)，∴－y 1＝2y 2，可得⎩⎪⎨⎪⎧－y 2＝－2b 2c a 2＋b2，－2y 22＝－b4a 2＋b2.∴12＝4c 2a 2＋b 2，∴e ＝23，故选B. 5．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点．∵O 为F 1F 2中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22<|PF 2|<4或4<|PF 2|<4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上，且c ＝1，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a＞1)，由|AB |＝3，知点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，代入椭圆方程得4a 4－17a 2＋4＝0，所以a 2＝4或a 2＝14(舍去)．故椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．解析：因为椭圆x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2a2＋y 2＝1，则y ＝±1－c 2a2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c a ＝32. 答案：328．已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k ， 弦的端点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1 ①，x 224＋y 222＝1 ②， ①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. ∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 答案：x ＋2y －3＝09．(2019·湖北武汉部分学校调研)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1，a ∈R)上，过O 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，F 为椭圆C 的左焦点．(1)若△FAB 的面积的最大值为1，求a 的值；(2)若直线MA ，MB 的斜率乘积等于－13，求椭圆C 的离心率．解：(1)因为S △FAB ＝12|OF |·|y A －y B |≤|OF |＝a 2－1＝1，所以a ＝ 2.(2)由题意可设A (x 0，y 0)，B (－x 0，－y 0)，M (x ，y )，则x 2a 2＋y 2＝1，x 20a2＋y 20＝1，k MA ·k MB ＝y －y 0x －x 0·y ＋y 0x ＋x 0＝y 2－y 20x 2－x 20＝1－x 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2x 2－x 20＝－1a 2x 2－x 20x 2－x 20＝－1a 2＝－13，所以a 2＝3，所以a ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝2， 所以椭圆C 的离心率e ＝ca＝23＝63. 10．(2019·成都一诊)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 2＋4y 2＝4消去x ，可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.B 级——创高分自选1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，点A 在椭圆C 上，|AF 1|＝2，∠F 1AF 2＝60°，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，N 为线段P Q 的中点．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，且MN ⊥P Q ，求线段MN 所在的直线方程． 解：(1)由e ＝12，得a ＝2c ，易知|AF 1|＝2，|AF 2|＝2a －2，由余弦定理，得|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|cos A ＝|F 1F 2|2， 即4＋(2a －2)2－2×2×(2a －2)×12＝a 2，解得a ＝2，则c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2k ＝－6k3＋4k2，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 23＋4k 2，－3k 3＋4k 2.又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18，则k MN ＝18＋3k3＋4k 20－4k 23＋4k2＝－24k ＋3＋4k 232k 2. ∵MN ⊥P Q ，∴k MN ＝－1k ，得k ＝12或32，则k MN ＝－2或k MN ＝－23，故直线MN 的方程为16x ＋8y －1＝0或16x ＋24y －3＝0.2．(2019·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋1x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2kk 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2.由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋y1＋y222＝1，即4k2k2＋2＋8k2＋2＝1，解得k2＝2，即k＝±2，此时直线l的方程为y＝±2x＋1.。
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因为 t＋4t ≥4，当且仅当 t＝2，即 k＝±27时等号成立， 且满足 Δ>0.
所以，当△OPQ 的面积最大时，l 的方程为 y＝ 27x－2 或 y＝－ 27x－2.
规律方法 2 在利用代数法解决最值与范围问题时常从 以下五个方面考虑：
1利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范 围；
x 2＋y2＝1， 其坐标满足 4
y＝kx＋1，
消去 y 并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，
故 x1＋x2＝－k22＋k 4，x1x2＝－k2＋3 4.
8分
若O→A⊥O→B，则 x1x2＋y1y2＝0.
而 y1y2＝k2x课1x2＋堂k互(x1动＋x讲2)＋练1，9 分
于是 x1x2＋y1y2＝－k2＋3 4－k32＋k24－k22＋k24＋1
过���������点3���=2 +(求((���F212���()���))解2���设 ���且求 设2��� +=可点与椭A1得1,圆C)Bx,消(x轴分x的11+去,垂y别方x12)y直=为程,,D整-2的(椭;x+理 62���3直,���圆2y���得���22线)的,,(x由21被左x+2F3=椭、k(23-2+1)圆���右���x23,02-���截+���6顶)2得.6得点k直2x的,+线过3线点kC2段-D6F=长的且0为方. 斜程4率3为3.为y=kk的(x+直1)线,由与方椭程圆组 交于因C为,D A两(-点3.若,0)���,B������(��� ·3���,���0������),所+ 以���������������������·������·������������=���������8,+求������k������的·���值���������.
=(x1+ 3,y1)·( 3-x2,-y2)+(x2+ 3,y2)·( 3-x1,-y1)=6-2x1x2-2y1y2 =6-2x1x2-2k2(x1+1)·(x2+1)=6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2=6+22���+���23+���1���22. 由已知得 6+22���+���23+���1���22=8,解得 k=± 2.
(1)求椭圆 C 的方程； (2)当△AMN 的面积为 310时，求 k 的值．
规律方法 直线与椭圆相交问题解题策略 当直线与椭圆相交时：涉及弦长问题，常用“根与系数 的关系”设而不求计算弦长；涉及求过定点的弦中点的轨迹 和求被定点平分的弦所在的直线方程问题，常用“点差法” 设而不求，将动点的坐标、弦所在直线的斜率、弦的中点坐 标联系起来，相互转化.其中，判别式大于零是检验所求参数 的值有意义的依据.
＝－k42k＋2＋4 1＝0，
化简得－4k2＋1＝0，所以 k＝±1. 2
10 分
当 k＝±12时，x1＋x2＝∓147，x1x2＝－1127.
→ |AB
|＝
课堂互动讲练
(x 2－x 1)2＋(y2－y1)2
＝ (1＋k2)(x2－x1)2，
而(x 2－x 1)2＝(x 2＋x 1)2－4x 1x 2
其离心率为 23，故
a2－4 a＝
23，解得
a＝4.
故椭圆 C2 的方程为1y62 ＋x42＝1.
(2)法一 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2. 将 y＝kx 代入1y62 ＋x42＝1 中，得(4＋k2)x2＝16， 所以 x2B＝4＋16k2.
法二 A，B 两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， 由O→B＝2O→A及(1)知，O，A，B 三点共线且点 A，B 不在 y 轴上，因此可设直线 AB 的方程为 y＝kx. 将 y＝kx 代入x42＋y2＝1 中，得(1＋4k2)x2＝4， 所以 x2A＝1＋44k2.
由O→B＝2O→A，得 x2B＝1＋164k2，y2B＝11＋6k42k2. 将 x2B，y2B代入1y62 ＋x42＝1 中，得14＋＋4kk22＝1，即 4＋k2＝1 ＋4k2， 解得 k＝±1.故直线 AB 的方程为 y＝x 或 y＝－x.
= 8,解得
������ = 2, ������ = 4.
又
a2=b2+c2,所以
b2=12.故椭圆
C
的方程为������2
16
+
1������22=1.
考点一 考点二 考点三 考点四
-21-
(2)假设存在符合题意的直线 l,其方程为 y=32x+t.
由
������
������2 16
= +
3 2
(2)当 l⊥x 轴时不合题意， 故设 l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)． 将 y＝kx－2 代入x42＋y2＝1 得 (1＋4k2)x2－16kx＋12＝0. 当 Δ＝16(4k2－3ห้องสมุดไป่ตู้>0 时，则 k2>34， x1＋x2＝1＋164kk2，x1x2＝1＋124k2.
∴|x1－x2|＝
答案
考点一 考点二 考点三 考点四
（弦考长点问三题：）椭例圆、的在综合平课问面堂题直角互坐动标系讲xO练y 中，点 P 到两点(0，
－ 3)，(0， 3)的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C. (1)写出 C 的方程； (2)设直线 y＝kx＋1 与 C 交于 A，B 两点，则 k 为何值时
-19-
举一反三 1 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A(2,3),且点 F(2,0)
为其右焦点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在平行于 OA 的直线 l,使得直线 l 与椭圆 C 有公共点,且直线
OA 与 l 的距离等于 4?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.
所以椭圆
C
的方程为������2
16
+
1������22 =1.
(2)同解法一.
考点一 考点二 考点三 考点四
-23-
考 【椭 而例圆点a=(方2二1】)程3设,(c有2=F圆0(1(1-���-���,������c3所2锥)2,天0+以)曲,津由������椭������22线���高���=������圆=1中考,的解3的)3方设得,知相程椭ya=为交圆=±���3���弦������236������322+bc问,+.于过���2���2������题是������=点22=12.1F36(a且b>=与b>43x03轴),的解垂得左直焦b的=点直2为线,又F为,a离2x-=c心2-=c率,b代2为,从入关33闭,
所以符合题意的直线 l 不存在.
考点一 考点二
考点三
考点四
-22-
解法二:(1)依题意,可设椭圆 C 的方程为������������22 + ������������22=1(a>b>0),
且有
4 ������2
+
9 ������2
=
1,解得
b2=12
或
b2=-3(舍去).从而
a2=16.
������2-������2 = 4.
O→A⊥O→B？此时|A→B |的值是多少？
【解】 (1课)设堂P(互x，动y)，讲由练椭圆定义可知，
点 P 的轨迹 C 是以(0，－ 3)，(0， 3)为焦 点，长半轴为 2 的椭圆，它的短半轴 b＝
22－( 3)2＝1， 故曲线 C 的方程为 x2＋y2＝1. 4 分 4
(2)设 A(x1，课y1)堂，B互(x动2，讲y2)练，
＝14722＋4×1127＝431×7213.
所以|A→B |＝4 1765.
12 分
x
������2
12
+ =
t, 得
1,
3x2+3tx+t2-12=0.
因为直线 l 与椭圆 C 有公共点, 所以 Δ=(3t)2-4×3(t2-12)≥0.
解得-4 3≤t≤4 3.
另一方面,由直线 OA 与 l 的距离 d=4 可得 |������| =4,从而 t=±2 13.
94+1
由于±2 13∉ [-4 3,4 3],
x1＋x22－4x1x2＝4
4k2－3 4k2＋1 .
从而|PQ|＝
1＋k2|x1－x2|＝4
k2＋1· 4k2－3
4k2＋1
.
又点 O 到直线 PQ 的距离 d＝ k22＋1，
所以△OPQ
的面积
S△OPQ＝21d·|PQ|＝4
4k2－3 4k2＋1 .
设 4k2－3＝t，则 t>0，S△OPQ＝t2＋4t 4＝t＋4 4t .
二、圆锥曲线的弦长
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B 两
点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_1_＋__k_2|_x2_－__x_1_| ＝ 1＋k12|y2
－y1|.
考向二 [144] 最值与范围问题 (2014·课标全国卷Ⅰ)已知点 A(0，－2)，椭圆 E：
考向三 综合应用
已知椭圆 C1：x42＋y2＝1，椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴， 且与 C1 有相同的离心率．
(1)求椭圆 C2 的方程； (2)设 O 为坐标原点，点 A，B 分别在椭圆 C1 和 C2 上，O→B ＝2O→A，求直线 AB 的方程．