1抛物线(二次函数)中的等腰三角形
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抛物线中的等腰三角形
基本题型:
已知AB ,抛物线()02≠++=a c bx ax y ,点P 在抛物线上(或坐标轴上,或抛物线的对称轴上),若ABP ∆为等腰三角形,求点P 坐标。
分两大类进行讨论:
(1)AB 为底时(即PA PB =):点P 在AB 的垂直平分线上。
利用中点公式求出AB 的中点M ;
利用两点的斜率公式求出AB k ,因为两直线垂直斜率乘积为1-,进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ;
利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式;
将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线(或坐标轴,或抛物线的对称轴)的解析式联立即可求出点P 坐标。
(2)AB 为腰时,分两类讨论:
①以A ∠为顶角时(即AP AB =):点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时(即BP BA =):点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。
所需知识点:
一、 两点之间距离公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P , 则由勾股定理可得:()
()2
212
21y y x x PQ -+-=
。
二、 中点公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫
⎝⎛++22
2121y y ,x x 。
三、 任意两点的斜率公式:
已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ,则直线PQ 的斜率: 2
12
1x x y y k PQ --=。
典型例题:
例一(深圳)如图9,抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧),抛物线上另有一点C 在第一象限,满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)求线段OC 的长.
(2)求该抛物线的函数关系式. (3)在x 轴上是否存在点P ,使△BCP 为等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的P 点的坐标;若不存在,请说明理由.
例二 如图,抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点,已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC BC =.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)写出A B C ,,三点的坐标并求抛物线的解析式;
(3)探究:若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点,是否存在PAB △是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由.
例三(龙岩):已知:如图,抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点. (1)求抛物线的函数关系式;
(2)若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E (4,m ),请求出△CBE 的面积S 的值; (3)在抛物线上是否还存在这样的点P 使得△ABP 为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P ;若不存在这样的点P ,请说明理由.
例四:如图①,在平面直角坐标系中,点A 的坐标为(1
2),,点B 的坐标为(31),,二次函数2y x =的图象记为抛物线1l .
(1)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过点A ,但不过点B ,写出平移后的一个抛物线的函数表达式: (任写一个即可).
(2)平移抛物线1l ,使平移后的抛物线过A B ,两点,记为抛物线2l ,如图②,求抛物线2l 的函数表达式.
(3)设抛物线2l 的顶点为C ,K 为y 轴上一点.若ABK ABC S S =△△,求点K 的坐标. (4)请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ,使ABP △为等腰三角形.若存在,请判断点P 共有几个可能的位置(保留作图痕迹);若不存在,请说明由.
x 图①
x 2 图②
x 图③
同步训练:
1、(08年临沂市中考题)如图,已知抛物线与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点,与y 轴交于点(0,3)C
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的顶点为D ,在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ,使得PDC ∆是等腰三角形?若存在,求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由。
(3)若点M 是抛物线上一点,以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形,试求出点M 的坐标。
2、如图,已知抛物线34
9
432++-
=x x y 与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 的左侧),与y 轴交于点C 。
(1)求A 、B 、C 三点的坐标; (2)求直线BC 的函数解析式;
(3)点P 是直线BC 上的动点,若△POB 为等腰三角形,请写出此时点P 的坐标。
3、在直角坐标系中,把点A (-1,a )(a 为常数)向右平移4个单位得到点A ',经过点A 、
A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为点P ,点B 的坐标为)1m ,(,且3 4、(梅州市中考题)如图11所示,在梯形ABCD 中,已知AB ∥CD , AD ⊥DB ,AD =DC =CB ,AB =4.以AB 所在直线为x 轴,过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系. (1)求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标; (2)求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L . (3)若P 是抛物线的对称轴L 上的点,那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?坐标是多少? x 图7