1抛物线(二次函数)中的等腰三角形

抛物线中的等腰三角形

基本题型：

已知AB ，抛物线()02≠++=a c bx ax y ，点P 在抛物线上（或坐标轴上，或抛物线的对称轴上），若ABP ∆为等腰三角形，求点P 坐标。

分两大类进行讨论：

（1）AB 为底时（即PA PB =）：点P 在AB 的垂直平分线上。

利用中点公式求出AB 的中点M ；

利用两点的斜率公式求出AB k ，因为两直线垂直斜率乘积为1-，进而求出AB 的垂直平分线的斜率k ；

利用中点M 与斜率k 求出AB 的垂直平分线的解析式；

将AB 的垂直平分线的解析式与抛物线（或坐标轴，或抛物线的对称轴）的解析式联立即可求出点P 坐标。

（2）AB 为腰时，分两类讨论：

①以A ∠为顶角时（即AP AB =）：点P 在以A 为圆心以AB 为半径的圆上。 ②以B ∠为顶角时（即BP BA =）：点P 在以B 为圆心以AB 为半径的圆上。

所需知识点：

一、 两点之间距离公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ， 则由勾股定理可得：()

()2

212

21y y x x PQ -+-=

。

二、 中点公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为⎪⎭⎫

⎝⎛++22

2121y y ,x x 。

三、 任意两点的斜率公式：

已知两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，则直线PQ 的斜率： 2

12

1x x y y k PQ --=。

典型例题：

例一（深圳）如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC . (1)求线段OC 的长.

(2)求该抛物线的函数关系式． (3)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.

例二 如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．

（1）求抛物线的对称轴；

（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；

（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．

例三（龙岩）：已知：如图，抛物线2y ax bx c =++经过(1,0)A 、(5,0)B 、(0,5)C 三点． （1）求抛物线的函数关系式；

（2）若过点C 的直线y kx b =+与抛物线相交于点E （4，m ），请求出△CBE 的面积S 的值； （3）在抛物线上是否还存在这样的点P 使得△ABP 为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点P ；若不存在这样的点P ，请说明理由．

例四：如图①，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(1

2)，，点B 的坐标为(31)，，二次函数2y x =的图象记为抛物线1l ．

（1）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过点A ，但不过点B ，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．

（2）平移抛物线1l ，使平移后的抛物线过A B ，两点，记为抛物线2l ，如图②，求抛物线2l 的函数表达式．

（3）设抛物线2l 的顶点为C ，K 为y 轴上一点．若ABK ABC S S =△△，求点K 的坐标． （4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线2l 上是否存在点P ，使ABP △为等腰三角形．若存在，请判断点P 共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明由．

x 图①

x 2 图②

x 图③

同步训练：

1、（08年临沂市中考题）如图，已知抛物线与x 轴交于(1,0),(3,0)A B -两点，与y 轴交于点(0,3)C

（1）求抛物线的解析式；

（2）设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得PDC ∆是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）若点M 是抛物线上一点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M 的坐标。

2、如图，已知抛物线34

9

432++-

=x x y 与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C 。

（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求直线BC 的函数解析式；

（3）点P 是直线BC 上的动点，若△POB 为等腰三角形，请写出此时点P 的坐标。

3、在直角坐标系中，把点A （－1，a ）（a 为常数）向右平移4个单位得到点A '，经过点A 、

A '的抛物线2y ax bx c =++与y 轴的交点的纵坐标为2．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）设该抛物线的顶点为点P ，点B 的坐标为)1m ，（，且3

4、（梅州市中考题）如图11所示，在梯形ABCD 中，已知AB ∥CD ， AD ⊥DB ，AD =DC =CB ，AB =4．以AB 所在直线为x 轴，过D 且垂直于AB 的直线为y 轴建立平面直角坐标系． （1）求∠DAB 的度数及A 、D 、C 三点的坐标；

（2）求过A 、D 、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴L ．

（3）若P 是抛物线的对称轴L 上的点，那么使∆PDB 为等腰三角形的点P 有几个?坐标是多少？

x

图7