1半导体中热平衡载流子的统计2导带电子浓度和价带空穴浓度3本征半导体的载流子浓度
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半导体中电子和空穴的统计平衡分布
半导体中电子和空穴的统计平衡分布作者：侯博伟来源：《硅谷》2010年第08期摘要: 半导体的电导率直接依赖于导带中电子和价带中的空穴的多少。
电子在半导体中各能级上如何分布的问题是个基本的问题。
在热平衡的半导体中,电子和空穴依赖于热激发产生。
平衡时电子在各能级上的分布服从一定的统计规律,它与激发电子和空穴的具体过程无关。
讨论包括有杂质在内的平衡的半导体中电子和空穴的数目及其随温度的变化。
关键词: 半导体;统计;分布;载流子;导带电子;价带空穴中图分类号:TN3文献标识码:A文章编号:1671-7597(2010)0420037-011 费米分布波尔兹曼分布1.1 费米分布。
半导体中的电子数目是很大量的,在某一温度下,这数目众多的电子一方面做共有化运动,另一方面又做无规则的热运动。
所以,每个电子都有不同的能量状态,就对每一个电子来说其能量也是不断变化的。
因此,必须从大量电子的整体来找出其各种参数的统计规律。
费米分布函数描述了热平衡状态下,在一个费米粒子系统中能量为E的一个量子态被一个电子占据的概率。
在费米分布中,EF是一个很重要的物理参数,称为费米能级或费米能量。
EF 与温度、电子系统的性质有关,它可以由系统被所有量子态中被电子占据的量子态数应该等于系统中电子的总数N来决定,即∑f(Ei)=N晶体中作共有化运动的电子的量子能态分裂成能带,能带与能带之间隔着禁带。
通常对金属晶体而言,价电子只能部分地填满最外的异带,因而费米能级的位置在异带中。
而半导体的价电子却填满了价带,而最外的导带是空的,其费米能级的位置在禁带的范围内,而且随着掺杂浓度以及温度的不同而改变了导带和价带的电子浓度,则改变了共有化能量状态被电子占据的概率。
1.2 波尔兹曼分布。
在统计物理中波尔兹曼-麦克斯韦分布是针对非常稀薄的微粒子系统而统计得到的结果。
它与费米粒子系统的最大区别是:当粒子系统中的微粒子非常稀少时,粒子必须遵守的泡利不相容原理自动失去了意义。
第三章-半导体中载流子的统计分布
/ 在 k 空间中，电子的允许能量状态密度为V （8 ） ， 考虑电子的自旋情况，电子的允许量子态密度 / 为 V （4 3） ，每个量子态最多只能容纳一个电子。
3
nx k x 2 (nx 0, 1, 2, ） L ny k y 2 (ny 0, 1, 2, ） L nz k z 2 (nz 0, 1, 2, ） L
2 h2 k12 k2 k32 E (k ) Ec [ ] 2 mt ml
可计算得
V (2m ) ( E Ec ) g（E） 2 C 2 3
* 3/2 n
1/2
S：对称状态数
Hale Waihona Puke m mdn s n
3 2
m m
l t
1 2 3
mdn:导带底电子状态密度有效质量
Ec
Ev
价带中的量子态，被空穴占据的概率，一般满足 1-f(E)《1。 价带中的空穴分布服从空穴的玻耳兹曼他分布函 数。 E增大，1-f（E）增大，价带中绝大多数空穴集 中分布在价带顶附近。 EC
EF EV
（3-13）、（3-14）两个基本公式。 服从玻耳兹曼统计律的电子系统-----非简并性系统
3.2 费米能级EF和载流子的统计分布
3.2.1 费米分布函数和费米能级
－费米－狄喇克分布函数给出了理想电子气处于热平衡 时能量为ε的轨道被电子占据的几率：
f (E) 1 E EF 1 exp k0T （３－１０）
EF---费米能级（化学势）热 平衡系统具有统一的化学势 统一的费米能级
只要知道EF数值，在定T下，电子在各量子 态上的统计分布就完全确定。
决定EF的条件：
半导体物理_第四章
以简化为玻尔兹曼分布函数，即：
其中NC称为导带的有效态密度函数，若取mn*=m0， 则当T=300K时， NC=2.5E19cm-3，对于大多数半导 体材料来说，室温下NC确实是在1019cm-3的数量级。
其中NV称为价带的有效态密度函数，若取mp*=m0，则 当T=300K时， NV=2.5E19cm-3，对于大多数半导体 材料来说，室温下NV确实是在1019cm-3的数量级。 热平衡状态下电子和空穴的浓度直接取决于导带和 价带的有效态密度以及费米能级的位置。
为了求解热平衡状态下的载流子浓度，首先必须确 定费米能级EF的位置。对于本征半导体材料（即纯净 的半导体材料，既没有掺杂，也没有晶格缺陷）来说， 在绝对零度条件下，所有价带中的能态都已填充电子， 所有导带中的能态都是空的，费米能级EF一定位于导 带底EC和价带顶EV之间的某个位置。 当温度高于绝对零度时，价带中的部分电子将获得 足够的热运动能量，进而跃迁到导带中，产生一个导 带电子，同时也产生一个价带空穴。也就是说电子－ 空穴成对出现，因而费米能级的位置几乎不变。
参见右图所示，当 半导体材料中掺入 施主杂质后，导带 中的电子浓度将大 于价带中的空穴浓 度，半导体材料成 为N型材料，其费 米能级的位置也将 由禁带中心附近向 导带底部上移。
而当半导体材料 中掺入受主杂质 后，价带中的空 穴浓度将大于导 带中的电子浓度， 半导体材料则变 成P型材料，其费 米能级的位置也 将由禁带中心附 近向价带顶部下 移，如右图所示。
右图给出了几种常见半导体材 料的本征载流子浓度与温度之间的 变化关系。 根据上式计算出的室温下硅材 料本征载流子浓度为 ni=6.95E9cm-3，这与实测的本征 载流子浓度为ni=1.5E10cm-3有很 大偏离，原因在于：电子和空穴的 有效质量通常是在低温下利用回旋 共振实验方法测得的，室温下会有 一定的偏差；态密度函数是利用三 维无限深势阱模型得到的，这也与 实际情况有一定偏离。
其中NC称为导带的有效态密度函数，若取mn*=m0， 则当T=300K时， NC=2.5E19cm-3，对于大多数半导 体材料来说，室温下NC确实是在1019cm-3的数量级。
其中NV称为价带的有效态密度函数，若取mp*=m0，则 当T=300K时， NV=2.5E19cm-3，对于大多数半导体 材料来说，室温下NV确实是在1019cm-3的数量级。 热平衡状态下电子和空穴的浓度直接取决于导带和 价带的有效态密度以及费米能级的位置。
为了求解热平衡状态下的载流子浓度，首先必须确 定费米能级EF的位置。对于本征半导体材料（即纯净 的半导体材料，既没有掺杂，也没有晶格缺陷）来说， 在绝对零度条件下，所有价带中的能态都已填充电子， 所有导带中的能态都是空的，费米能级EF一定位于导 带底EC和价带顶EV之间的某个位置。 当温度高于绝对零度时，价带中的部分电子将获得 足够的热运动能量，进而跃迁到导带中，产生一个导 带电子，同时也产生一个价带空穴。也就是说电子－ 空穴成对出现，因而费米能级的位置几乎不变。
参见右图所示，当 半导体材料中掺入 施主杂质后，导带 中的电子浓度将大 于价带中的空穴浓 度，半导体材料成 为N型材料，其费 米能级的位置也将 由禁带中心附近向 导带底部上移。
而当半导体材料 中掺入受主杂质 后，价带中的空 穴浓度将大于导 带中的电子浓度， 半导体材料则变 成P型材料，其费 米能级的位置也 将由禁带中心附 近向价带顶部下 移，如右图所示。
右图给出了几种常见半导体材 料的本征载流子浓度与温度之间的 变化关系。 根据上式计算出的室温下硅材 料本征载流子浓度为 ni=6.95E9cm-3，这与实测的本征 载流子浓度为ni=1.5E10cm-3有很 大偏离，原因在于：电子和空穴的 有效质量通常是在低温下利用回旋 共振实验方法测得的，室温下会有 一定的偏差；态密度函数是利用三 维无限深势阱模型得到的，这也与 实际情况有一定偏离。
第三章 热平衡时非简并半导体载流子浓度
a
x x+L
L=a×N
在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
e ikx u ( x) e ik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e
ikx
e
ik ( x L )
e ikL e ikNa 1 cos k L 1 k L 2n (n 0,1,2 ) 2n k L 2 4 k 0, , L L
2
电子态数变化dZ(E)：
2V dV 2V 2 dZ 4k dk 3 3 (2 ) (2 )
2mn 3 / 2 1/ 2 dZ ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
*
2mn 3 / 2 dZ 1/ 2 gc (E) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
∴ 电子浓度no：
3/ 2
e
Ec E F kT
2k Tmdn no N / V 2 2 h
3/ 2
e
Ec E F kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
2k Tmdn Nc 2 2 h
3/ 2
—— 导带的有效状态密度
Ec EF kT
ky
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • •
•
• • • •
ky
小立方的体积为：
2 2 2 (2 ) L L L V
3
一个允许电子存在的状 态在 k 空间所占的体积
x x+L
L=a×N
在 x 和 x+L 处，电子的波函数分别为φ(x) 和 φ(x+L)
φ(x)=φ(x+L)
e ikx u ( x) e ik ( x L )u ( x L) u ( x) u ( x L) e
ikx
e
ik ( x L )
e ikL e ikNa 1 cos k L 1 k L 2n (n 0,1,2 ) 2n k L 2 4 k 0, , L L
2
电子态数变化dZ(E)：
2V dV 2V 2 dZ 4k dk 3 3 (2 ) (2 )
2mn 3 / 2 1/ 2 dZ ( E ) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
*
2mn 3 / 2 dZ 1/ 2 gc (E) 4V ( 2 ) E (k ) Ec dE h
∴ 电子浓度no：
3/ 2
e
Ec E F kT
2k Tmdn no N / V 2 2 h
3/ 2
e
Ec E F kT
电子占据导带底Ec 的几率
令：
2k Tmdn Nc 2 2 h
3/ 2
—— 导带的有效状态密度
Ec EF kT
ky
• • • • • • • • • • • • • •
• • • • • •
•
• • • •
ky
小立方的体积为：
2 2 2 (2 ) L L L V
3
一个允许电子存在的状 态在 k 空间所占的体积
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度03
0.21
C
0.25
Pt
0.25
Au
O
0.16 0.38 A
一般用ED表示施主
Si
0.039
能级，EA表示受主 能级。 右图是对含不同杂质 的Si及GaAs所推算 得到的电离能。单一 原子中有可能形成许 多杂质能级。
1.12
0.045
0.067
0.072
0.16
0.34 0.35 D
0.36 0.3 D
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度
2
半导体器件物理
经数学推导可得，导带中的电子浓度为
EC EF n NC exp kT
其中，NC是导带中的有效态密度。
同理，价带中的空穴浓度为
E EV p NV exp F kT
其中，NV是价带中的有效态密度。 室温下（ 300K ），对 Si 而言 NC 、 NV 的数量级为 1019cm-3 ， GaAs则为1017~1018cm-3。
Cr
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度
7
半导体器件物理
2.7.1 非简并半导体
非简并半导体：电子或空穴的浓度分别远低于导带或价带中
有效态密度，即 EF 至少比 EV 高 3kT ，或比 EC 低 3kT 。这是在 前面的数学推导中满足的假设条件。
对于Si及GaAs的浅层施主，室 温下的热能就能提供所有施主 杂质电离所需的 ED，因此可在 导带中提供与施主杂质等量的 电子数。此情形称为完全电离 ，如右图。此时电子浓度为
由 n 1 N N n D A 2 1 pp N A ND 2 ni2 pn nn 和
ND N A
2
C
0.25
Pt
0.25
Au
O
0.16 0.38 A
一般用ED表示施主
Si
0.039
能级，EA表示受主 能级。 右图是对含不同杂质 的Si及GaAs所推算 得到的电离能。单一 原子中有可能形成许 多杂质能级。
1.12
0.045
0.067
0.072
0.16
0.34 0.35 D
0.36 0.3 D
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度
2
半导体器件物理
经数学推导可得，导带中的电子浓度为
EC EF n NC exp kT
其中，NC是导带中的有效态密度。
同理，价带中的空穴浓度为
E EV p NV exp F kT
其中，NV是价带中的有效态密度。 室温下（ 300K ），对 Si 而言 NC 、 NV 的数量级为 1019cm-3 ， GaAs则为1017~1018cm-3。
Cr
第2章 热平衡时的能带和载流子浓度
7
半导体器件物理
2.7.1 非简并半导体
非简并半导体：电子或空穴的浓度分别远低于导带或价带中
有效态密度，即 EF 至少比 EV 高 3kT ，或比 EC 低 3kT 。这是在 前面的数学推导中满足的假设条件。
对于Si及GaAs的浅层施主，室 温下的热能就能提供所有施主 杂质电离所需的 ED，因此可在 导带中提供与施主杂质等量的 电子数。此情形称为完全电离 ，如右图。此时电子浓度为
由 n 1 N N n D A 2 1 pp N A ND 2 ni2 pn nn 和
ND N A
2
第3章-半导体中载流子的统计分布
3.1 状态密度
• 1、k空间量子态的分布 • 2、状态密度
1.5 载流子的运动 载流子 参与导电的电子和空穴统称为半导体的载流子。
载流子的产生 本征激发 电子从价带跃迁到导带，形成导带电子和价带空穴 杂质电离 当电子从施主能级跃迁到导带时产生导带电子；
当电子从价带激发到受主能级时产生价带空穴
载流子数目增加
(3-27)
所以，导带底附近的状态密度为:
gC
(E)
dZ dE
4V
2mn 3/ 2
h3
E EC 1/ 2
此式表明，状态密度随电子的能量呈抛物线关系。
对于等能面为椭球面的情况，仍选极值能量为
Ec,E(k)与k的关系：
E(k)
Ec
h2 2
k12
k
2 2
mt
k
2 3
ml
考虑到晶体的对称性，导带底极值附近对应椭球不止
能量为E的空穴状态密度 mp* 空穴的有效质量 EV 价带顶
有效质量
晶体中的电子除了受到外力作用外，还受到晶格原子和 其他电子的作用，为了把这些作用等效为晶体中的电子质 量，所以引入有效质量的概念。（当电子在外力作用下运 动时，它一方面受到外电场力的作用，同时还和半导体内 部原子、电子相互作用着，电子的加速度应该是半导体内 部势场和外电场作用的综合效果。但是要找出内部势场的 具体形式并且求出加速度遇到一定的困难，引进有效质量 后可使问题变得简单，直接把外力和电子的加速度联系起 来，而内部势场的作用则由有效质量加以概括。特别是有 效质量可以直接由试验测定，因而可以很方便地解决电子 的运动规律。）
对于P型半导体，随着受主杂质浓度的增加，费 米能级从禁带中线逐渐移向价带顶附近。
半导体物理分章答案第三章
（5） （6）
2、n型半导体的载流子浓度
假设只含有一种n型杂质。
在热平衡条件下，半导体是电中性的：
n0 = p0 + nD+
（7）
EC EF
而
n0 N C e k0T
EF EV
p0 N V e k0T
将上两式和（5）式一起代入（7）式中，即
ECEF
EFEV
NCe k0T NVe k0T
•电子占据施主能级ED的几率
•空穴占据受主能级EA的几率
f
D
(E)
1
1
1
ED EF
e k0T
2
（1）
•杂质能级上未电离的载流子浓度
施主能级上的电子浓度：
nD=NDfD(E)
（3）
•电离杂质的浓度
f
A(E)
1
1
1
EF EA
e k0T
2
（2）
受主能级上的空穴浓度：
pA=NAfA(E)
（4）
电离施主的浓度：nD+=ND-nD=ND[1-fD(E)] 电离受主的浓度：pA-=NA-pA=NA[1-fA(E)]
（3） （4）
可以见到：NC T3/2 和 NV T3/2
且，
E CE V
E g
n0p0N CN Ve k0T N CN Vek0T
（5）
§3.3 本征半导体的载流子浓度
Carriers Density of Intrinsic Semiconductors
本征半导体满足：n0=p0=ni 。本征载流子浓度是温 度T的函数。
（2）过渡区 特征：本征激发不能忽略，杂质全电离。 电中性条件为：n0=p0+ND
热平衡态下半导体载流子的统计分布
dN=fB(E)gc(E)dE
整个导带的电子数N为：
N
Ec EEF
e kT
Ec
4V
(
2mn* h2
)3
/
2
E(k) Ec
1/ 2 dE
引入：
x E Ec kT
利用积分公式：
x1/ 2exdx
0
2
N
2V
2k Tmn*
h2
3/ 2 EcEF e kT
∴ 电子浓度no：
no
N
f (E)
1/2
T↑ E＞EF： f(E)↑ E＜EF： f(E)↓
T=0K
T2>T1
T1 T2
1 f (E) EEF
e kT 1
EF
E
例：量子态的能量 E 比 EF 高或低 5kT
当 E－EF 5 kT 时： f (E) 0.007
当 E－EF －5 kT 时： f (E) 0.993
dZ
2V dV
(2 )3
2V
(2 )3
4k
2dk
dZ
(
E
)
4V
(
2mn* h2
)3/
2
E
(k
)
Ec
1/
2
dE
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
gc (E)
dZ dE
4V
(
2mn* h2
)3/
2
E(k) Ec
1/ 2
(2)价带顶
gV
(E)
4V
(
2m
* p
h2
)3/
考虑自旋，k空间的电子态密度为：2V/(2)3
整个导带的电子数N为：
N
Ec EEF
e kT
Ec
4V
(
2mn* h2
)3
/
2
E(k) Ec
1/ 2 dE
引入：
x E Ec kT
利用积分公式：
x1/ 2exdx
0
2
N
2V
2k Tmn*
h2
3/ 2 EcEF e kT
∴ 电子浓度no：
no
N
f (E)
1/2
T↑ E＞EF： f(E)↑ E＜EF： f(E)↓
T=0K
T2>T1
T1 T2
1 f (E) EEF
e kT 1
EF
E
例：量子态的能量 E 比 EF 高或低 5kT
当 E－EF 5 kT 时： f (E) 0.007
当 E－EF －5 kT 时： f (E) 0.993
dZ
2V dV
(2 )3
2V
(2 )3
4k
2dk
dZ
(
E
)
4V
(
2mn* h2
)3/
2
E
(k
)
Ec
1/
2
dE
导带底附近单位能量间隔的电子态数— 量子态（状态）密度为：
gc (E)
dZ dE
4V
(
2mn* h2
)3/
2
E(k) Ec
1/ 2
(2)价带顶
gV
(E)
4V
(
2m
* p
h2
)3/
考虑自旋，k空间的电子态密度为：2V/(2)3
第三章 费米分布及玻耳兹曼分布
20
费米分布函数 3.2.1 费米分布函数
空穴的费米分布函数： 空穴的费米分布函数
EF − E f ( E ) = 1－f (E ) = 1＋exp k T 0
V －1
fV(E)与1-f(E)是关于EF是对称的，即为电子-空穴几率对称性。
21
费米分布函数 3.2.1 费米分布函数
引入变量x＝(E-Ec)/k0T,作代换上式变为：
n0
(2m ) (k T ) exp－ E − E ∫ = 4π h kT
0 3 2 c F 0
x
'
0
x e dx
1 2 −x
式中x'=(EC'-EC)/k0T 。
31
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对于实际半导体，导带的能量间隔为 几个eV时，x’的值在几十以上，再依据 函数x1/2e-x随x变化规律(见图3-4)，积分 上限x’可用无穷大来代替。 利用积分公式
∗ (2mn ) 3 / 2 g c ( E ) = 4πV ( E − Ec )1/ 2 h3
* mn = mdn = s 2 / 3 (ml mt2 )1/ 3
mdn : 导带底电子状态密度有 效质量 。
设Ec－Ef>>K0T，采用 玻尔兹曼分布函数
E − EF f B (E ) = exp − k0T
3
3.1 状态密度
4
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
费米分布函数 3.2.1 费米分布函数
空穴的费米分布函数： 空穴的费米分布函数
EF − E f ( E ) = 1－f (E ) = 1＋exp k T 0
V －1
fV(E)与1-f(E)是关于EF是对称的，即为电子-空穴几率对称性。
21
费米分布函数 3.2.1 费米分布函数
引入变量x＝(E-Ec)/k0T,作代换上式变为：
n0
(2m ) (k T ) exp－ E − E ∫ = 4π h kT
0 3 2 c F 0
x
'
0
x e dx
1 2 −x
式中x'=(EC'-EC)/k0T 。
31
3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对于实际半导体，导带的能量间隔为 几个eV时，x’的值在几十以上，再依据 函数x1/2e-x随x变化规律(见图3-4)，积分 上限x’可用无穷大来代替。 利用积分公式
∗ (2mn ) 3 / 2 g c ( E ) = 4πV ( E − Ec )1/ 2 h3
* mn = mdn = s 2 / 3 (ml mt2 )1/ 3
mdn : 导带底电子状态密度有 效质量 。
设Ec－Ef>>K0T，采用 玻尔兹曼分布函数
E − EF f B (E ) = exp − k0T
3
3.1 状态密度
4
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
半导体物理 第三章
1/ 2
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0
/ Ec
Ec
(2m ) 4 h
* 3/ 2 n 3
e
E EF kT 0
( E Ec ) dE
1/ 2
令x ( E Ec ) /(k0T ) ( E Ec )1/ 2 (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E Ec ) (k0T )dx x' ( Ec' Ec ) /(k0T )
33
p0 4
(2m ) h
* 3/ 2 p 3
e
Ev EF kT 0
Hale Waihona Puke x'0
x1/ 2e x dx
2
(，Ev' )的空穴数 极少，忽略不计
* p 0 3
0
x e dx
Ev EF kT 0
1/ 2 x
p0 2
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： f ( Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
f B ( E ) g c ( E )dE e
E EF kT 0
( E Ec )1/ 2 dE
单位体积中的电子数即电子浓度
(2m ) dN dn 4 V h
积分后可得热平衡状态下非 简并半导体的导带电子浓度
30
导带顶能量
n0
/ Ec
Ec
(2m ) 4 h
* 3/ 2 n 3
e
E EF kT 0
( E Ec ) dE
1/ 2
令x ( E Ec ) /(k0T ) ( E Ec )1/ 2 (k0T )1/ 2 x1/ 2 d ( E Ec ) (k0T )dx x' ( Ec' Ec ) /(k0T )
33
p0 4
(2m ) h
* 3/ 2 p 3
e
Ev EF kT 0
Hale Waihona Puke x'0
x1/ 2e x dx
2
(，Ev' )的空穴数 极少，忽略不计
* p 0 3
0
x e dx
Ev EF kT 0
1/ 2 x
p0 2
其中，μ：系统的化学势；
半导体能带内所有量子 态中被电子占据的量子 态数等于电子总数
F： 系统的自由能； N：电子总数，决定费米能级的条件是： f ( Ei ) N
i
上式的意义是：当系统处于热平衡状态，也不对外界作
功的情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的变 化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米能级。
f B ( E ) g c ( E )dE e
E EF kT 0
( E Ec )1/ 2 dE
单位体积中的电子数即电子浓度
(2m ) dN dn 4 V h
半导体中载流子的统计分布
•称mdn导带电子状态密度有效质量
•同理，价带顶状态密度：
•gv(E)与gc(E)有相同的形式
•为空穴态密度有效质量 •由此可知： 状态密度gc(E)和gv(E)与能量 成正比，还 与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态 密度大。
•§3.2 费米能级和载流子统计分布
•一、载流子浓度的求解思路：
•(1)、 f(E)与体系所处的温度T直接相关
•T＞0k
•EF
电子占据
的界限
当T=0k时，
若E＜EF, f(E)=1 若E＞EF, f(E)=0
•1/2
•1 •f(E
)
若E＜EF, f(E) ＞1/2
若E＝EF, f(E) ＝1/2
若E＞EF, f(E) ＜1/2
•例子：当量子态的能量比费米能级高
•强n型
•费米能级的位置标志着电子填充水平的高低
•三、波尔兹曼（Boltzmann）分布函数
•1.电子的玻氏分布
•玻尔兹曼分布
•例如：E－EF=5kT时，
•可见，此时费米分布几率和波尔兹曼分布几 率
•基本相等。当E－EF＞＞kT时，量子态被电子 占据的概率很小，泡利不相容原理失去作用，
•对于本征 Si:
可以严格证明，杂质能级上电子占据的几率为：
半导体中载流子的统计分布
•中心问题：
•半导体中载流子浓度随温度变化的规律； •计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。
•主要内容：
•●状态密度 •●费米能级和载流子的统计分布 •●本征半导体载流子浓度的计算 •●杂质半导体载流子浓度的计算 •●简并半导体载流子浓度的计算
•§3.1 状 态 密 度
态上的统计分布就能完全确定！
•2、费米能级EF的特点：
•同理，价带顶状态密度：
•gv(E)与gc(E)有相同的形式
•为空穴态密度有效质量 •由此可知： 状态密度gc(E)和gv(E)与能量 成正比，还 与有效质量有关，有效质量大的能带中的状态 密度大。
•§3.2 费米能级和载流子统计分布
•一、载流子浓度的求解思路：
•(1)、 f(E)与体系所处的温度T直接相关
•T＞0k
•EF
电子占据
的界限
当T=0k时，
若E＜EF, f(E)=1 若E＞EF, f(E)=0
•1/2
•1 •f(E
)
若E＜EF, f(E) ＞1/2
若E＝EF, f(E) ＝1/2
若E＞EF, f(E) ＜1/2
•例子：当量子态的能量比费米能级高
•强n型
•费米能级的位置标志着电子填充水平的高低
•三、波尔兹曼（Boltzmann）分布函数
•1.电子的玻氏分布
•玻尔兹曼分布
•例如：E－EF=5kT时，
•可见，此时费米分布几率和波尔兹曼分布几 率
•基本相等。当E－EF＞＞kT时，量子态被电子 占据的概率很小，泡利不相容原理失去作用，
•对于本征 Si:
可以严格证明，杂质能级上电子占据的几率为：
半导体中载流子的统计分布
•中心问题：
•半导体中载流子浓度随温度变化的规律； •计算一定温度下半导体中热平衡载流子浓度。
•主要内容：
•●状态密度 •●费米能级和载流子的统计分布 •●本征半导体载流子浓度的计算 •●杂质半导体载流子浓度的计算 •●简并半导体载流子浓度的计算
•§3.1 状 态 密 度
态上的统计分布就能完全确定！
•2、费米能级EF的特点：
半导体物理学课件4 半导体中载流子的统计分布
到区间的电子浓度，然后再
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
由导带底至导带顶积分就得
到了导带的电子浓度。
半导体中载流子 电子空穴的平衡分布
假设电子空穴有效质量相等，则EF位于禁带中线
半导体中载流子 n0 p0的方程
热平衡时的电子浓度n0 这里假设费米能级始终位于禁带中。
n0 gc E fF E dE
积分下限：Ec；积分上限：这里设为无穷大。
电子占据施主能级E D的几率f D
E
1
1
1
gD E
ED EF
e k0T
1
空穴占据受主能级E A的几率f A
E
1
1
1
gA E
EF EA
e k0T
2
gD E和gA E分别是施主和受主基态简并度
施主浓度:ND 受主浓度: NA
（1）杂质能级上未离化的载流子浓度nD和pA ：
施主能级上的电子浓度nD NDfD E 3
因此对导带或价带中所有量子态来说，电子或 空穴都可以用玻耳兹曼统计分布描述。
由于分布几率随能量呈指数衰减，因此导带绝 大部分电子分布在导带底附近，价带绝大部分 空穴分布在价带顶附近，即起作用的载流子都 在能带极值附近。
例：四个电子处于宽度为a=10埃的一维无 限深势阱中，假设质量为自由电子质量，求 T=0K时的费米能级.
导带中有效电子能态密度：
4
gc E
2mn* h3
32
E - Ec
价带中有效电子能态密度：
4
gv E
2m*p h3
32
Ev - E
3.2 统计力学
在一定温度下，半导体中的大量电子不停地 作无规则热运动，从一个电子来看，它所具 有的能量时大时小，经常变化。但是，从大 量电子的整体来看，在热平衡状态下，电子 按能量大小具有一定的统计分布规律性，即 电子在不同能量的量子态上统计分布几率是 一定的。
热平衡时的能带和载流子浓度
热平衡时的能带和载流子浓度在半导体物理学中，我们经常涉及到热平衡状态下的能带结构和载流子浓度。
热平衡指的是系统达到了一个稳定的状态，其中能量的输入和输出保持平衡。
热平衡的能带和载流子浓度对于理解半导体材料的电学特性至关重要。
能带结构能带结构描述了半导体中电子和空穴的能量分布情况。
在热平衡状态下，半导体能带结构可由两个重要的能带：价带和导带来描述。
价带价带是位于较低能量的能带，其能量由半导体的原子结构决定。
在半导体中，价带被填满着电子，电子处于能量最低的态。
价带中的电子无法自由移动，因为它们的能量较低，受到原子核的束缚。
导带导带是位于较高能量的能带，其能量介于价带和禁带之间。
禁带是价带和导带之间的能量间隔，代表了半导体中电子由价带跃迁至导带所需的最小能量。
在热平衡状态下，半导体内的导带中可能存在填充的电子，这些电子具有足够的能量来从价带跃迁至导带。
因此，热平衡时的能带结构可看作价带中填充满电子，导带中存在一定浓度的自由电子。
载流子浓度载流子是指能够在半导体中传递电荷的带电粒子，包括电子和空穴。
电子浓度在热平衡状态下，半导体中的电子浓度可以由费米-狄拉克分布来描述。
费米-狄拉克分布指明了电子在能带中处于不同能量态的概率。
电子浓度的准确计算需要考虑诸多因素，包括材料的能带结构、温度和掺杂等。
在半导体中，电子的浓度通常由以下公式给出：$n_e = N_c \\exp \\left(\\frac{-E_{c}-E_{F}}{kT}\\right)$其中，N c为有效载流子状态密度，E c为导带底的能量，E F为费米能级的能量，k为玻尔兹曼常数，T为绝对温度。
空穴浓度空穴浓度指的是热平衡时价带中待填充的状态数。
与电子浓度类似，空穴浓度也可以由费米-狄拉克分布来计算。
在热平衡状态下，空穴浓度可以用以下公式表示：$p_h = N_v \\exp \\left(\\frac{E_{F} - E_v}{kT}\\right)$其中，N v为价带顶的有效载流子状态密度，E v为价带顶的能量。
湖南大学半导体物理考试重点(全)
半导体物理第一章半导体中的电子状态单电子近似：即假设每个电子是在周期性排列且固定不动的原子核势场及其他电子的平均势场中运动。
该势场是具有与晶格同周期的周期性势场。
1.1半导体的晶格结构和结合性质1.大量的硅、锗原子组合成晶体靠的是共价键结合，他们的晶体结构与碳原子组成的一种金刚石晶格都属于金刚石型结构。
2.闪锌矿型结构（见课本8页）1.2半导体中电子的状态和能带1.Φ(r,t)=Ae i(k.r−wt) k为平面波的波数2.k=|k|=2л/λ波的传播方向为与波面法线平行3.在晶体中波函数的强度也随晶格周期性变化，所以在晶格中各点找到该电子的概率也具有周期性变化的性质。
这反映了电子不再完全局限在某一个原子上，而是可以从晶胞中某一点自由运动到其他晶胞内的对应点，因而电子可以在整个晶体中运动，这种运动称为电子在晶体内的公有化运动。
1.3半导体中的电子的运动有效质量1.导带低电子的有效能量1h2(d2Edk2)k=0=1m n∗2.引进有效质量的意义在于它概括了半导体内部势场的作用，使得在解决半导体中的电子外力作用下的运动规律时，可以不涉及半导体内部势场的作用。
3.能量带越窄二次微商越小，有效质量越大。
内层电子的能量带越窄，有效质量大；外层电子的能量带宽，有效质量小。
1.4本征半导体的到点机构空穴1.可以认为这个空状态带有正电。
2.正电荷为空状态所有，它带的电荷是+q。
3.空穴：通常把价带中空着的状态看成是带正电的粒子，称为空穴。
.空穴不仅带有正电荷+q，而且还具有正的有效质量。
4引进空穴概念后，就可以把价带中大量电子对电流的贡献用少量的空穴表达出来。
半导体中除了导电带上电子导体作用外，价带中还有空穴的导电作用，这就是本征半导体的导电机构。
1.6 硅和锗的能带结构硅和锗的禁带宽度是随温度变化的，在T=0K时，硅和锗的禁带宽度E g分别趋近于1.70eV和0.7437eV.随着温度的升高，E g按如下规律减小E g（T）=E g（0）- -aT2T+β,式中E g（T）和E g（0）分别表示温度为T和0K时的禁带宽度，a,β为温度系数。
半导体中的热平衡载流子
问题： （1）寻找半导体中载流子浓度随 温度变化规律
（2）计算热平衡下载流子的浓度
热平衡是一种动态平衡，载流子在各个 能级之间跃迁，但它们在每个能级上出 现的几率是不同的。
§3.1 能量状态密度、费米能 级和载流子分布
1、 k空间的状态密度
假设在能带中能量E与E+dE 之间的能量间 隔内有量子态dZ 个，则定义状态密度 :
当绝对温度为零时，能量比 EF 低 的量子态被电子占据的概率为100％，能 量比 EF高的量子态被电子占据的概率为 零。
2. 波尔兹曼分布函数
在半导体中，最常遇到的情况是费米能级位于禁 带内，而且与导带底或价带顶的距离远大于 k0T ，所 以，对导带中的所有量子态来说，被电子占据的几率，
一般都满足 f n (E) 1 ，故半导体电子中的电子分
• 电子和空穴也可以通过杂质电离方式产 生，当电子从施主能级跃迁到导带时产 生导带电子；当电子从价带激发到受主 能级时产生价带空穴等。与此同时，还 存在着相反的过程，即电子也可以从高 能量的量子态跃迁到低能量的量子态， 并向晶格放出一定能量，从而使导带中 的电子和价带中的空穴不断减少，这一
过程称为载流子的复合。
•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2917 :59:371 7:59Oc t-2029- Oct-20
•
加强交通建设管理，确保工程建设质 量。17:59:3717 :59:371 7:59Th ursday , October 29, 2020
•
安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2920.1 0.2917:59:3717 :59:37 October 29, 2020
上式表示：热平衡系统中，增加一个电子 引起系统自由能的变化，等于系统的化 学势，也就等于系统费米能级。
3.3 本征半导体的载流子浓度(雨课堂课件)
A
gc ( E) f B E
B
gc ( E) f B E dE
C
Ec
Ec
Ec
D
Ec
gc ( E )dE
gc ( E) f B E dE
提交
单选题
1分
价带顶附近的状态密度为gv(E)，电子占据能级E 的几
率为fB(E) ，则价带空穴数为（ ）。
A
B
1 −
4
m
m
3
Eg
p n
15
2
讨论：ni 4.82 10
T exp
(3.33)
2
m
2k0T
0
dE g
, 代入（3.33）
设 E g E g (0) T ,
dT
m m
15
ni 4.82 10
m2
0
p
1分
本征半导体中的电子浓度（ ）空穴浓度。
A
大于
B
等于
C
小于
D
无关于
提交
单选题
1分
热平衡状态下，半导体中的载流子浓度乘积n0p0 = ni2
仅仅适用于（ ）。
A
n型半导体
B
p型半导体
C
本征半导体
D
非简并半导体
提交
单选题
1分
导带底附近的状态密度为gc(E)，电子占据能级E
的几率为fB(E) ，则导带电子数为（ ）。
即，只要知道本征载流子浓度和温度的关系，就可以根据这
一理论公式得出0 K时的带隙宽度。本征载流子浓度和温度
gc ( E) f B E
B
gc ( E) f B E dE
C
Ec
Ec
Ec
D
Ec
gc ( E )dE
gc ( E) f B E dE
提交
单选题
1分
价带顶附近的状态密度为gv(E)，电子占据能级E 的几
率为fB(E) ，则价带空穴数为（ ）。
A
B
1 −
4
m
m
3
Eg
p n
15
2
讨论：ni 4.82 10
T exp
(3.33)
2
m
2k0T
0
dE g
, 代入（3.33）
设 E g E g (0) T ,
dT
m m
15
ni 4.82 10
m2
0
p
1分
本征半导体中的电子浓度（ ）空穴浓度。
A
大于
B
等于
C
小于
D
无关于
提交
单选题
1分
热平衡状态下，半导体中的载流子浓度乘积n0p0 = ni2
仅仅适用于（ ）。
A
n型半导体
B
p型半导体
C
本征半导体
D
非简并半导体
提交
单选题
1分
导带底附近的状态密度为gc(E)，电子占据能级E
的几率为fB(E) ，则导带电子数为（ ）。
即，只要知道本征载流子浓度和温度的关系，就可以根据这
一理论公式得出0 K时的带隙宽度。本征载流子浓度和温度
第三章半导体 重点知识
价带顶态密度
1 V （ 2m ） gV ( E ) = （ EV E） 2 2 2π
3 * 2 p 3
结论：导带底和价带顶附近， 结论：导带底和价带顶附近，单位能量间隔内的量子 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大， 态数目，随载流子的能量增加按抛物线关系增大，即 能量越大，状态密度越大。 能量越大，状态密度越大。
3.2 费米能级和载流子的统计分布
费米分布函数f(E) 费米分布函数f(E) 热平衡状态下，电子按能量大小具有一定的统 计分布规律性 根据量子力学，电子为费米子，服从费米分布
f (E) =
1 1+ e
E EF k 0T
f(E)表示能量为E f(E)表示能量为E的一个量子态被一个电子占据 的概率。E 的概率。EF表示平衡状态的参数称为费米能级
2 2 C * n
得到K的表达式，并求导，得到KdK关于dE的表达式 5. 代入步骤3的结果，得到dZ与dE关系式
* dZ V ( 2mn )3 / 2 6. 根据定义 g ( E ) = = ( E EC )1/ 2 dE 2π 2 3
结论
3.1状态密度 3.1状态密度
3 * 2 n 3
1 V （2m ） 2 （E EC） 导带底态密度 g c ( E ) = 2 2π
1 f (E) = e
EF E k 0T
3.2 费米能级和载流子的统计分布
3。简并半导体和非简并半导体 。
简并半导体：掺杂浓度高，对于 型半导体 其费米能级E 型半导体， 简并半导体：掺杂浓度高，对于n型半导体，其费米能级 F 接近导带或进入导带中； 型半导体， 接近导带或进入导带中；对于 p型半导体，其费米能级 F 型半导体 其费米能级E 接近价带或进入价带中的半导体 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级EF在禁带中的 非简并半导体：掺杂浓度较低，其费米能级 半导体 n型半导体 型半导体 非简并 弱简并 简 并
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T
：系统化学势，F：系统自由能，N：电子总数
上式表示：热平衡系统中，增加一个电子 引起系统自由能的变化，等于系统的化 学势，也就等于系统费米能级。
• 费米能级的物理意义：
当温度高于绝对零度时，如果量子 态的能量比费米能级低，则该量子态被 电子占据的概率大于百分之五十；
如果量子态的能量比费米能级高， 则该量子态被电子占据的概率小于百分 之五十。
乘积 n0 p0 也将不同。
这个关系式不论是本征半导体还是杂质
半导体，只要是热平衡状态下的非简并半导体，
都普遍适用，在讨论许多许多实际问题时常常
引用。
对一定的半导体材料，在一定的温度下，乘积n0 p0
是一定的。换言之，当半导体处于热平衡状态时，载
流子浓度的乘积保持恒定，如果电子浓度增加，空穴
浓度就要减小；反之亦然。 n0 式和 p0 式是热平衡载
流子浓度的普遍表示式。只要确定了费米能级EF ，在
一定温度T时，半导体导带中电子浓度、价带中空穴浓 度就可以计算出来。
3 本征半导体的载流子浓度
1、 本征半导体费米能级 在热平衡状态下，由于电子和空穴成
对产生，导带中的电子浓度应等于价带
中的空穴浓度 n0 ＝ p0，其负电荷与正
电荷相等，半导体是电中性的
2 导带电子浓度和价带空穴浓度
和计算状态密度是一样，认为能带中的能级是连续分 布的，将能带分成一个个很小的能量间隔来处理。
对导带分为无限多的无限小的能量间隔，则在能 量E到E+dE之间有dZ个量子态，而电子占据能量为E的 量子态的几率是f(E)，则在能量E到E+dE间有f(E)dZ个 被电子占据的量子态，因为每个被占据的量子态上有 一个电子，所以在E到E+dE间有f(E)dZ个电子。然后把 所有能量区间中的电子数相加，实际上是从导带底到 导带顶对f(E)dZ进行积分，就得到了能带中底电子总 数，再除以半导体体积就得到了导带中的电子浓度。
• 电子和空穴也可以通过杂质电离方式产 生，当电子从施主能级跃迁到导带时产 生导带电子；当电子从价带激发到受主 能级时产生价带空穴等。与此同时，还 存在着相反的过程，即电子也可以从高 能量的量子态跃迁到低能量的量子态， 并向晶格放出一定能量，从而使导带中 的电子和价带中的空穴不断减少，这一
过程称为载流子的复合。
问题： （1）寻找半导体中载流子浓度随 温度变化规律
（2）计算热平衡下载流子的浓度
热平衡是一种动态平衡，载流子在各个 能级之间跃迁，但它们在每个能级上出 现的几率是不同的。
§3.1 能量状态密度、费米能 级和载流子分布
1、 k空间的状态密度
假设在能带中能量E与E+dE 之间的能量间 隔内有量子态dZ 个，则定义状态密度 :
k空间状态分布图
kx
nx L
ky
ny L
kz
nz L
( nx、n y 、nz＝0，1，2，
)
L3 =V 为为晶体体积，L为晶体的线度
在k空间中，体积为1／V立方体中由一个代 表点，即k空间中电子的允许能量密度是V，每 一个点实际代表自旋方向相反的两个量子状态， 电子的允许量子态密度是2V，每一个量子状态
只能容纳一个电子。
•1
3.2、费米(Fermi)能级和载流子分布
1、费米分布函数：它是描写热平衡状态下电子
在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函
数 。它表示能量为E的量子态被一个电子占据
的几率
• 半导体中大量电子可以看成一个热力学 系统，费米能级是系统的化学势：
EF
F N
当绝对温度为零时，能量比 EF 低 的量子态被电子占据的概率为100％，能 量比 EF高的量子态被电子占据的概率为 零。
2. 波尔兹曼分布函数
在半导体中，最常遇到的情况是费米能级位于禁 带内，而且与导带底或价带顶的距离远大于 k0T ，所 以，对导带中的所有量子态来说，被电子占据的几率， 一般都满足 fn (E) 1 ，故半导体电子中的电子分 布可以用电子的波耳兹曼分布函数描写。由于随着能 量E的增大， f（E）迅速减小，所以导带中绝大多数 电子分布在导带底附近。
• 在一定温度下，这两个相反的过程之间
将建立起动态的平衡，称为热平衡状态。
这时，半导体中的导电电子浓度和空穴 浓度都保持一个稳定的数值，这种处于
热平衡状态下的导电电子和空穴称为热 平衡载流子。当温度改变时，破坏了原
来的平衡状态，又重新建立起新的平衡 状态，热平衡载流子的浓度也将发生变 化，达到另一稳定数值。
半导体中热平衡载流子的统计 分布
• 引言：
• 热平衡和热平衡载流子：在一定温度下， 如果没有其它外界作用半导体中的导电 电子和空穴是依靠电子的热激发作用而 产生的，电子从不断热震动的晶格中获 得一定的能量，就可能从低能量的量子 态跃迁到高能量的量子态，例如，电子 从价带跃迁到导带（这就是本征激发）， 形成导电电子和价带空穴。
由于费米能级一般在禁带中，导带中的能级远高
于费米能级，即 E EF kT 当时，计算导带电子
浓度可用玻耳兹曼分布函数。
由上式可知：电子浓度和空穴浓度的乘积
n0
p0 与费米能级无关。
对一定的半导体材料，乘积
n0
p0只决定
于温度，与所含杂质无关。而在一定温度下，
对不同的半导体材料，因禁带宽度 Eg 不同，
2、 本征半导体的载流子浓度
本征载流子浓度与温度和价带宽度有关。 温度升高时，本征载流子浓度迅速增加；不同 的半导体材料，在同一温度下，禁带宽度 Eg
越大，本征载流子浓度 ni 越小。
ni
n0ຫໍສະໝຸດ p01(NcNv ) 2
exp(
Eg 2k0T
)
——本征载流子浓度 Eg ：为禁带宽度
可见：
●●温对度同一一定 材时料，，Enig
g(E)= dZ dE
可以通过下述步骤计算状态密度： 首先算出单位k空间中的量子态数，即k空
间中的状态密度；
然后算出k空间中与能量E到E＋dE间所对 应的k空间体积，并和k空间中的状态密度相乘， 从而求得在能量E到E＋dE间的量子态数dE；最 后，根据前式，求得状态密度g（E）
允许的能量状态（即能级） 用波矢k标志，每个允许的能量 状态在k空间中与由整数组 （nx，ny，nz）决定的一个代表 点（ kx，ky，kZ ）相对应