任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳

任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
一、基础知识
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类⎩
⎪⎨⎪⎧
按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
按终边位置不同分为象限角和轴线角.
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．
终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：
有关角度与弧度的两个注意点
(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y
x (x ≠0)．
(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)一个口诀
三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广
设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝x
r ，
tan α＝y
x
(x ≠0)．
(3)象限角
(4)轴线角
考点一 象限角及终边相同的角
[典例] (1)若角α是第二象限角，则α
2是( )
A ．第一象限角
B ．第二象限角
C ．第一或第三象限角
D ．第二或第四象限角
(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π
2
＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π
2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α
2是第一象限角；
当k 为奇数时，α
2
是第三象限角．故选C.
(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π
3，
在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π
3；在[－2π，0)内满足
条件的角有两个：－
2π3，－5π
3
，故满足条件的角α构成的集合为
⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π
3
，－2π3，π3，4π3.
[答案] (1)C (2)⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫－5π
3，－2π3，π3，4π3
[题组训练]
1．集合⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪
k π≤α≤k π＋π
4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π
4的终
边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π
4
(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π
＋π
4
的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，
则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45
360(k ∈Z )，
从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°
考点二 三角函数的定义
[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1
tan α＝________.
[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－5
13，
∴cos α＝
－x x 2＋36
＝－513
，
解得x ＝52或x ＝－5
2(舍去)，
∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213
， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.
[答案] －2
3
[解题技法]
用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法
(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．
[题组训练]
1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1
cos α＝( )
A ．－1
5
B.3715
C.3720
D.1315
解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1
cos α＝－
45＋53＝13
15
. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )
A ．－45
B ．－3
5
C ．35
D ．45
解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t
5|t |
.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35
. 考点三 三角函数值符号的判定
[典例] 若sin αtan α<0，且
cos α
tan α
<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由
cos α
tan α
<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C
[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.
学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π
2
＝1>0，cos π＝－1<0.
[题组训练]
1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭
⎫－22π3>0 D ．sin 10<0
解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－
22π3＝－8π＋2π3，则－22π
3
是第二象限
角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π
2
，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选B 由题意得⎩⎨⎧
cos α<0，tan α<0⇒⎩
⎪⎨⎪⎧
cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．
[课时跟踪检测]
A 级
1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6
D ．8
解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝1
2|α|r 2
＝1
2
×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )
A ．150°
B ．135°
C ．300°
D ．60°
解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－3
2
<0，可知角α终边上一点的坐标为
⎝⎛⎭⎫12
，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以
角α为300°.
3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )
A.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪
α＝2k π－π
3，k ∈Z B.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪
α＝2k π＋2π
3，k ∈Z C.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪ α＝k π－2π
3，k ∈Z D.⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪
⎪
α＝k π－π
3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π
3
＋2k π，k ∈Z ，当
α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π
3
＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是
⎩⎨⎧⎭
⎬⎫α⎪⎪
α＝k π－π
3，k ∈Z .
4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－2,3]
B ．(－2,3)
C ．[－2,3)
D ．[－2,3]
解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，
所以有⎩⎪⎨⎪⎧
3a －9≤0，
a ＋2＞0，
解得－2＜a ≤3.
5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝
2y
4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5
解析：选C 由题意知|OP |＝
3＋y 2，则sin α＝
y 3＋y 2
＝
2y
4
，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.
6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ
|tan θ|的
值为( )
A ．1
B ．－1
C ．3
D ．－3
解析：选B 由α＝2k π－π
5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为
角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.
所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为
3π4，面积为3π
2
，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π
4
×r 2，得r ＝2.
答案：2
8．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．
解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m
1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.
答案：3
9．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°
10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．
解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，
则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)
11．已知1|sin α|＝－1
sin α，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1
sin α，得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．
(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－4
5
，
sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－4
5
.
12．已知α为第三象限角． (1)求角α
2终边所在的象限；
(2)试判断 tan α2sin α2cos α
2的符号．
解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋
3π
2
，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π
4，k ∈Z ，
当k 为偶数时，角α
2终边在第二象限；
当k 为奇数时，角α
2终边在第四象限．
故角α
2终边在第二或第四象限．
(2)当角α
2在第二象限时，
tan α2＜0，sin α2＞0, cos α
2＜0，
所以tan α2sin α2cos α
2取正号；
当角α
2在第四象限时，
tan α2＜0，sin α2＜0, cos α
2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α
2也取正号．
因此tan α2sin α2cos α
2
取正号．
B 级
1．若－3π4<α<－π
2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )
A ．sin α<tan α<cos α
B ．cos α<sin α<tan α
C ．sin α<cos α<tan α
D ．tan α<sin α<cos α
解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－
3π4 <α<－π2
，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.
2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )
A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4
B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4
C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2
D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π
解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩
⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，
tan α>0，即⎩⎨⎧
sin α>cos α，tan α>0.
由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．
又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不
包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.
3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，
所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，
当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15
； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15
. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭
⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭
⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭
⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭
⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45
＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；
当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。