高二数学竞赛模拟试题及答案

高二数学竞赛模拟试题

考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答，答案写在答卷上； ⒉不准使用计算器；

⒊考试用时120分钟，全卷满分150分．

一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1、定义集合M,N 的一种运算*，：1212*{|,,}M N x x x x x Mx N ==∈∈，若{1,2,3}M =，

N={0,1,2}，则M*N 中的所有元素的和为（ ）

(A)．9 ( B)．6 (C)．18 (D)．16

2．函数2

54()2x x f x x

-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）

(A)．0 (B)．1 (C)．2 (D)．3 3、若函数)sin(2θ+=x y 的图象按向量)2,6

(π

平移后，它的一条对称轴是4

π

=

x ，则θ的一个

可能的值是（ ） (A)125π (B)3π (C)6

π (D)12π

4.设函数()f x 对0x ≠的一切实数均有

()200823f x f x x ⎛⎫

⎪

⎝⎭

+=，则()2f 等于（ ） ﹙A ﹚2006. ﹙B ﹚2008. ﹙C ﹚2010. ﹙D ﹚2012.

5.已知,αβ分别满足100411004,10g βαα

β=⋅=⋅，则αβ⋅等于( )

﹙A

﹚ ﹙B ﹚1004. ﹙C

﹚ ﹙D ﹚2008.

6.直线20ax y a -+=与圆22

9x y +=的位置关系是（ ）

（A ）相离 （B ）相交 （C ）相切 （D ）不确定

7.已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC

＋，且A 、B 、C 三点共线（该直

线不过原点O ），则S 200＝（ ）

(A)．100 (B). 101 (C).200 (D).201

8．()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)f x -是偶函数，则下列命题中错误的是（ ）

(A)．()f x 的图像关于x ＝2对称 (B)．()f x 的图像关于点(4,0)-对称 (C)．()f x 的周期为4 (D)．()f x 的周期为8 二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，满分42分． 9．已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||，5|1,2P

x x Z x ⎧⎫

=≥∈⎨⎬+⎩⎭

，则P M 等于 10．在区间[]1,1-上随机任取两个数y x ,，则满足4

1

2

2

<+y x 的概率等于

11.已知函数()()()

()()2110,11x

a x x f x a a a x -+<⎧⎪=>≠⎨≥⎪⎩且是R 上的增函数，那么a 的取值范围

是 .

12．已知定点()2,0A ，点(),P x y 的坐标满足430,

35250,0.

x y x y x a -+≤⎧⎪

+-≤⎨⎪-≥⎩

||OA （O 为坐标原点）

的最小值是2时，实数a 的值是

13．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n = ，若

7()128381f x x =+，则a b += .

14．已知函数()2x

f x =,等差数列{}n a 的公差为2.若246810()4f a a a a a ++++=,则

212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅=

15、如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，

∠ACB ＝90︒，AC ＝6，BC ＝CC 1

P 是BC 1上一动点，

则CP ＋PA 1的最小值是___________

三、解答题：本大题共5小题，满分60分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤

C 1

B 1A

16. (本小题12分) 在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若1=∙=∙BC BA AC AB . (1)求证：A=B ； (2)求边长c 的值；

(3)6=+，求⊿ABC 的面积。

17．（本小题12分）

已知向量()1

1,,2,cos 2sin sin x x x ⎛⎫=-=

⎪

⎝⎭a b ，其中⎥⎦

⎤ ⎝⎛∈2,0πx ． （1）试判断向量a 与b 能否平行，并说明理由？

（2）求函数()f x =

a b 的最小值．

18.( 本小题12分)先后2次抛掷一枚骰子，将得到的点数分别记为a,b ． （1）求直线ax ＋by ＋5=0与圆x 2

＋y 2

=1相切的概率；

（2）将a,b,5的值分别作为三条线段的长，求这三条线段能围成等腰三角形的概率．

19. （本小题12分）已知数列)2(,122,5}{11+-∈≥-+==N ，n n a a a a n n n n 满足 （Ⅰ）若n

n n a b 2

1-=

，)(+

∈N n 为等差数列数列求证}{:n b ； （Ⅱ）设数列{}n a n S n 项和的前，求n S

20. (本小题12分) 已知二次函数f （x ）＝ax 2＋bx （a 、b 是常数且a ≠0）满足条件：f （2）＝0且方程f （x ）＝x 有等根． （1）求f （x ）的解析式；

（2）问是否存在实数m 、n （m ＜n ）使f （x ）的定义域和值域分别为［m ，n ］和［2m ，2n ］，如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．

高二数学竞赛试题参考答案与评分标准

一、选择题：。每小题6分，满分48分。

1．D 2．C 3．A 4．A 5.B 6.B 7A. 8.C

二、填空题：。每小题6分，满分42分。 9．{}1,0,1,2,3- 10．

16

π

11.

3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 12. 2

13. 5 14. －6 15. 三．解答题.满分60分

16解(1)由1=∙=∙，得bccosA=accosB,sinBcosA=sinAcosB, sin(A-B)=0,则A=B.----------（4分）

(2) 1=∙,得bccosA=1,又122

22=-+∙

bc

a c

b b

c ，则b 2+c 2-a 2=2,c 2=2,所以2=c 。-----------8分）

6=

+,得2+b 2+2=6, 2=b ,s=

2

3

.-------------------（12分） 17解：（1）若a b ，则有

02sin 1

2cos sin 1=⋅+⋅x

x x ． ∵0,

2x π⎛⎤

∈ ⎥⎝⎦

，∴sin 0x ≠．