A逐点循环递归法求哈密顿回路

逐点循环递归法求哈密顿回路
王彦祺
(石家庄经济学院信息工程系，河北石家庄 050031)
摘要：本文给出求解任意图的所有哈密顿回路算法，即“逐点循环递归算法”，用于处理复杂的“旅行商问题”，证明一个图是否是哈密顿图等。

在算法中，给出一个“结点标号数组”，用于存储一个回路；还给出一个无向图的正向表，用于存储初始图。

关键词：哈密顿回路，算法，无向图正向表，结点标号数组, 递归。

An Algorithm of Cycle and Recursion by Every Vertex
for Getting Hamilton Cycle
Wang Yanqi
(Department of Information Engineering, Shijiazhuang University of Economics,Shijiazhuang,Hebei 050031)
Abstract: This paper gives out an algorithm of getting all Hamilton cycle from a common graph，that is "an algorithm of cycle and recursion by every vertex", which can solve complex "travelling salesman problem ",prove that a graph is Hamilton graph or not, and so on. In algorithm, I give out a "array of signed vertex ",for storing a cycle, and a "positive direction table for non-directed graph ",for storing a given graph.
Key Words: Hamilton cycle, algorithm, array of signed vertex, positive direction table for non-directed graph, recursion.
1．问题的提出
1)任给定一个无向图，如何求无向图的哈密顿图的回路，首先必须判断该图是否是哈密顿图。

如果图很复杂又有哈密顿图回路,用手工是很难找到的，该算法很容易找到任何图的所有哈密顿回路，如果一条也找不到，即证明了该图不是哈密顿图。

2) 在求解“旅行商问题”时，考虑的是带权完全无向图，“分支定界法”只是求出最小的哈密顿回路，对于任意图是不可行的。

3) 在求解“旅行商问题”时，有时只求出路径最小的哈密顿回路不一定是最佳的哈密
顿回路。

因为在旅行时，所考虑的不仅仅是费用或旅程，比如，有的路线虽短，但路线人员拥挤，如果单纯按最小的哈密顿回路旅行是不现实的，反而费用更高。

此时求出若干最小的哈密顿回路，甚至求出所有的哈密顿回路，才能正确的决策旅行路线。

4)如果按边的组合方法，则运算次数将是极大的，本文给出求解一般图的所有哈密顿回路的“按结点循环递归算法”。

5)本文约定，H代表哈密顿，hn代表图的结点数，hm代表图的边数。

2．算法的依据.
2.1 有关的定理
定理 1. H回路中的每一个结点的度数d H(v)必是2 ,反之不成立。

证明:H回路的结点度数必是2。

反之不成立，如图 1所示, 共7个结点,7个边，每个结点的度数为2,但不是H回路。

当回路的边数不到结点数，我们称为“局部回路”。

当回路的边数等于结点数hn，即为“哈密顿回路”。

v3 v4
图 1
定理2. 任何无向图的回路，如果结点号和数组下标一一对应，可采用一维数组存储，结
点标号为数组下标号，也是边的起点, 该下标的数组元素的值是边的终点标号，也是下一个
边的起点下标。

（本文称为“结点标号数组”）。

证明：(构造法)首先将无向图的结点按连续的自然数编号,使结点号和数组下标号是一一
对应；因为是回路，每一个结点号在回路中必出现两次，且保证回路中的边的第一个结点的
标号（下标）不重复及第二个结点的标号（数组元素值）不重复。

因为是简单图，下标号和
该下标的数组元素值一定是不同的，下标号为边的起点，该下标号下的数组元素值是该边的
终点，又是下一个边的起点下标。

不妨令回路的结点数为4,其中一个H 回路的边为 {(1,2),(2,4),(4,3),(3,1)}， 即1---2---4---3---1，请看表1。

结点下标数组存储H 回
路的优点是即节省空间，又便于边的连接，特别是更易于编程。

如果结点下标数组包含图的
所有结点，则该回路为哈密顿回路。

表 1
定理3. 如果图G=(V,E)有n 个结点(m>=n),有n 条不同的边的组合,且结点的度数均为
2,如果按定理2的方法存储,从数组下标1开始,,将下标1的数组元素值作为下一个下标,,
再取元素值,直至元素值为1止。

如果此时边计数k 等于n,则该k 条边的组合，即是一条H
回路；否则，该k 条边是个“局部回路”。

证明：显然。

证明略。

请看图1。

2..2 存储结构
1） 初始图的存储结构. 首先将图的结点按度数由大到小重新编号为1,2,3…,即最小号,度数最大,采用无向图的正向表存储。

既结点i 的后继结点（终点号）只能是大于i,从而保证边的不重复。

特点是，第一个结点的后继必然大于等于2，最后一个结点的后继必然为0，而其它结点的后继必然大于等于1（如果为0，将出现割点，不可能有H 回路）。

第一个结点的度数最大是必须的，因为循环递归从第一个结点（标号为1）开始，作为第一个起始标号，必
须在终点数组中至少存在两个终点，组合构成两个边。

而其它起始标号，边的构成复杂，首
先必须逐一的按一个结点构成一条边加入HC 回路数组。

如果将结点度数大的放在中间，将
大大增加循环递归次数。

如图2 所示，是一个无向图，有6个结点，11条边，按无向图的
正向表的存储结构，请看表 2。

一个边的起点一维数组A ，下标和结点号一一对应。

每一个
下标的元素值是边的该起点的后继（第一个终点）在终点一维数组B 的地址（下标号）。

最
后一个结点的元素值是m+1;该图为12（不作为地址，只用于计算上一个结点的终点数）。

一
个边的终点一维数组B ，下标只是起地址作用，下标的元素值是边的终点标号。

表 2
1 2
6 3
5 4
图 2
2)输出H回路的存储结构：H回路数组HC[1..hn]，采用结点标号数组存储回路。

（请看定理2）。

3)结点度计数数组：结点度计数数组CT[1..hn],用于向H回路数组中加边时的度数判断，如果计数大于2，则该边不可加入。

如果HC[1..hn]中的边加到hn,且CT[1..hn]全为２，则加边结束；如果HC[1..hn]中无局部回路，则HC[1..hn]的回路是H回路。

3．算法的基本思想
按起点（结点号）与它的若干终点组成不同的边进行循环，满足向HC回路数组中加边条件，则起点加1，进行递归，HC回路数组的边数达到结点数且满足H回路条件，输出一条H回路。

递归返回时，本次边从HC回路数组中清除，对应的结点度计数数组减1。

3．1循环递归的向回路数组加边：
从起点数组A的第一个下标（边的起点）开始循环，以该下标的元素值（地址）到终点数组B中找该起点的终点构成边，由于采用无向图正向表方法，第1个起点无条件必取两个终点，构成两个边，加入到HC回路数组中。

如令终点数为k,则有C k2个组合。

其余起点，可取的终点数为0-2个，根据前面结点满足条件的情况（既结点的度数是否已为2）。

由该结点构成的边可加入HC回路数组中的条件是：（1）起点和终点，在HC回路数组，即可起点作为下标，终点作为该下标的元素值，又可终点作为下标，起点作为该下标的元素值。

两种情况是不一样的，将影响下面结点的边组合。

不论如何，当HC回路数组的该下标的元素值非0时，此边不能加入到HC回路数组中。

如果上面的元素值为0，即可加入该边。

（2）如果边可以加入到HC回路数组中，加入后，对应该边的两点值作为度计数数组下标，对度计数数组进行计数，如果出现度数大于2，则该边不满足条件，不能进行递归，取下一组边组合进行判断，如果无或满足条件，则进行下一个结点的递归。

递归返回，必须将该次循环的边从HC回路数组中删除，且将对应的度计数数组CT计数减1。

如何加入边有4种情况：
（１）如果起点和终点的度数有一个为2，则由该起点构成的边不能加入到HC回路数组。

不进行下一个起点的递归
（2）将起点和每一个终点构成一条边，如果满足条件，将该边加入到HC回路数组，进行下一个起点的递归。

（3）将起点和每两个终点（终点数大于1）构成两条边，如果两个边均满足条件，将该边加入到HC回路数组，进行下一个起点的递归。

（4）不加入任何边，进行下一个起点的递归。

（空递归）
3．2 H回路检测条件：
在循环递归中，当HC回路数组加入的边数达到hn个，检测HC回路数组是否有局部回路，如果无，则找到一条H回路，输出到屏幕，文件或打印。

因为HC回路数组是结点下标数组，检测是否有局部回路，是很简单的。

方法是：从下标1开始，取下标的元素值，作为下标，计数加1，如果元素值不为1，则继续，再取下标的元素值，作为下标，计数加1;如果元素值为1，则该回路结束；如果结点计数为结点数hn，该回路是H回路，如果计数小于结点数hn，该回路是局部回路。

注意：（1）每构成一条边，它的起点和终点作为CT的下标计数到CT度计数数组中，用于控制加边的条件。

（2）递归前将满足条件的边加入到HC回路数组中，递归后将满足条件的边从HC数组中清除掉（即数组元素值为0，同时将对应的结点度计数数组CT的元素值减1，为下一次循环递归作准备。

4．算法描述 (只给出关键函数，循环递归函数逻辑图)
4．1初始化：（定义数组）（均为整型，int）
（１）起点数组A[1..hn]和终点数组数组B[1..hm]按实际图赋值。

（２）H回路数组HC[1..hn]和结点度计数数组CT[1..hn] 全部清0
4．2 主要函数
（１）H回路判别函数 int hcp()。

当回路数组边计数达到hn时，调用该函数。

如果不是局部回路，即为H回路，返回1；否则，不是，返回０。

（２）HC回路数组输出函数 pt()。

当构成一条H回路，调该函数，最好使用文件存储。

（３）HC回路数组加边的循环递归函数 search( int n)。

当结点数hn>2时，调该函数，
n=1 ; search( int n)
４．３循环递归函数search( int n)逻辑图
只给出一个起点和一个终点的循环递归逻辑图，逻辑图如图3。

图 3
４．４实例（图２）的运算结果
共有四个H回路。

no= 1，［１,２］［２,３］［3,4］ [4,6] [5,1] [6,5]
no= 2，［１,２］［２,３］［3,4］ [4,5] [5,6] [6,1]
no= 3，［１,3 ］［２,4 ］［3,2］ [4,6] [5,1] [6,5]
no= 4，［１,3 ］［２,4 ］［3,2］ [4,5] [5,6] [6,1]
当no= 1时HC回路数组的值为{2,3,4,6,1,5},其他类似。

４．５算法的复杂度
该算法复杂度比较难于估计,只对一个起点的情况进行估计，令一个起点的对应终点数为k,则有C k2+ C k1+1个组合。

复杂度最坏为O(C k2+ C k1+1)。

5．结语：
此求解一般图的所有哈密顿回路算法，适合于任何边数的图，但随着边数的增加，循环的次数增加很大。

但边数少的图，是非常快的，非常有效的。

如果，将边加上权，将HC 回路数组加上一维，用于存放权值，将无向图正向表，加入权值，加入求解最大值或排序算法，即可解决任何图的“旅行商问题”。

参考文献：[1] 戴一奇，胡冠章，陈卫“图论与代数结构”，清华大学出版社,1995
[2] [美] J.A.Bondy and U.S.R.Murty “图论及其应用”，科技出版社,1984
[3] 尹宝林，何自强等著，“离散数学”，高等教育出版社,1998
[4]李盘林，李丽双等著，“离散数学”，高等教育出版社,1999。