高考理科数学第一轮复习测试题(1)

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江西省临川第一中学暨临川一中实验学校2023届高三一轮复习验收考试理科数学试卷

临川一中暨临川一中实验学校2023届高三一轮复习验收理科数学命题人：谭华审题人：肖婷琴本试卷共4页，23小题，满分150分，考试时间120分钟【注意事项】1.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上．2.作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效．作答选择题必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损．3.考试结束后，请将试卷和答题纸一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}21xA y y ==-，()12log 2B x y x ⎧⎫⎪⎪==-⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则A B =A.(]1,2-B.()1,2- C.(],2-∞ D.(),2-∞2.已知i5ia +=-，则正实数=a A.1B.2C.3D.23.下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y （单位：百只）的数据，通过相关理论进行分析，知可用回归模型()1eR aty a +=∈对y 与t 的关系进行拟合，则根据该回归模型，预测第6个月该物种的繁殖数量为A.3e 百只B. 3.5e 百只C.4e 百只D. 4.5e 百只4.平面向量a ，b 满足3=a b ，且4-=a b ，则a 与-a b 夹角的正弦值的最大值为A.14B.13C.12D.235.青铜器是指以青铜为基本原料加工而成的器皿、用器等．青铜器以其独特的器形，精美的纹饰，典雅的铭文向人们揭示了我国古代杰出的铸造工艺和文化水平．图中所示为觚，长身，侈口，口底均成喇叭状，外形近似双曲线的一部分绕虚轴所在直线旋转而成的曲面．已知，该曲面高15寸，上口直径为10寸，下口直径为7.5寸．最小横截面直径为6寸，则该双曲线的离心率为第t 个月123繁殖数量y1.4e 2.2e 2.4eA.53B.135C.52D.746.已知函数()2ln f x a x x =+的图象在1x =处的切线方程为30x y b -+=，则a b +=A.-2B.-1C.0D.17.在ABC △中，39A B C ==，cos cos cos cos cos cos A B B C C A ++=A.14B.14-C.13D.13-8.已知C ，D 是圆O ：229x y +=上两个不同动点，直线()()120m x y m ++-+=恒过定点P ，若以CD 为直径的圆恒过点P ，则CD 的最小值为A.42- B.42+ C.822- D.822+9.对于2()(221)T n n n =++单位时间（表示代码中一条语句执行一次的耗时）的算法A 来说，由于分析的是代码执行总时间()T n 和代码执行次数n 之间的关系，可不考虑单位时间．此外，若用()f n 来抽象表示一个算法的执行总次数，则前面提到的算法可抽象为2(1)22n f n n =++，因此我们可以记作()(())T n O f n =，其中O 表示代码的执行总时间()T n 和其执行总次数()f n 成正比．这种表示称为大O 记法，其表示算法的时间复杂度．在大O 记法中，非最高次项及各项之前的系数及对数的底数可以忽略，即上面所提的算法A 的时间复杂度可以表示为2()O n ．对于如下流程所代表的算法，其时间复杂度可以表示为A.(log )O nB.(log )O n nC.2()O nD.(1)O 10.已知正项数列{}n a 满足11a =，且11111n n n n n a a a a a ++⎛⎫-=⎪⎪⎭，100S 为{}n a 前100项和，下列说法正确的是A.1007665S <<B.1006554S << C.1005443S << D.1004332S <<11.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，12AA =，1AB BC ==，90ABC ∠=︒，三棱柱外接球的球心为O ，点E 是侧棱1BB 上的一动点．下列说法不正确的是A.直线AC 与直线1C E 是异面直线B.1A E 与1AC 不垂直C.三棱锥1E AA O -的体积为定值D.1AE EC +的最小值为2212.已知215,sin ,lg 933a b c ===，则,,a b c 的大小关系为A.a b c >>B.a c b >>C.c b a>> D.c a b>>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若2023220230122023(13)a a x a x a x +=++++…，则01234520222023a a a a a a a a +--+++--=…__________．14.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点中，随机选取4个构成一个四面体，记该四面体的体积为V ，则V 的数学期望EV =__________．15.已知()sin f x x ω=的周期2T =，将()f x 的图象向右平移23个单位长度得到()g x 的图象．记()f x 与()g x 在y 轴左侧的交点依次为12,n A A A …，在y 轴右侧的交点依次为12,n B B B …，O为坐标原点，则1122n n OA OB OA OB OA OB ⋅+⋅+++=…__________．16.已知曲线C 是抛物线[]28(1),1,3y x x =-∈的一部分，将曲线C 绕坐标原点O 逆时针旋转α，得到曲线C'．若曲线C'是函数()f x 的图象，且()f x 始终在其定义域内单调递减，则tan α的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ，且22222b c a +=．（1）若1tan 3C =，求A 的大小；（2）当A C -取得最大值时，试判断ABC △的形状，并说明理由．18.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为平行四边形，平面PAB ⊥平面PBC ，22PB PC ==，AB AP =，,M N 分别为,BP AD 的中点，且PC MN ⊥．（1）证明：PC AD ⊥；（2）若ABP △为正三角形，求直线MN 与平面PAC 所成角的余弦值．19.疫情防控期间，某学校为保障师生们的安全，建立了值日教师定点巡逻机制．已知X 老师被安排在高二年级教学楼第3层，该层共有高二9班、高二10班，高二11班3个班．假设X 老师每天早上7点开始巡逻，首先来到高二10班，此后每停留5分钟后其巡逻地点按如下方式变化：①若X 老师在高二9班，则有50%的可能前往高二11班，50%的可能前往高二10班；②若X 老师在高二10班，则有80%的可能前往高二9班，20%的可能前往高二11班；③若X 老师在高二11班，则有50%的可能前往高二9班，50%的可能前往高二10班．设X 老师在9班的可能性为i P （i 为转换地点的次数）．（1）求早上7:15时X 老师在9班的可能性2P ；（2）随着时间的推移，X 老师在哪个班结束巡逻的概率最大？请说明理由．20.已知,A B 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右顶点，12,F F 是E 的左、右焦点，5(2,3M 是椭圆上一点，且12MF F △的内心的纵坐标为23．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若P 是椭圆E 上异于,A B 的一动点，过,A B 分别作12,l PA l PB ⊥⊥，12,l l 相交于点Q ．则当点P 在椭圆E 上移动时，求1211QF QF +的取值范围．21.已知()()21ln ,2f x x x a x a a =---∈R ．（1）判断函数()f x 的单调性；（2）已知()()112g x f x a a x a ⎛⎫=+-+-⎪⎝⎭，若12,x x 是函数()g x 的两个极值点，且12x x <，求证：()()12102f x f x <-<．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为πsin 06ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）写出l 的直角坐标方程；（2）已知点()0,2P m ，若l 与C 交于A ，B 两点，且32PA PB =，求m 的值．【选修4-5：不等式选讲】23.已知()(,,)f x x a x b c a b c =-+++∈R 的最小值为3．（1+（2）证明：2222221()1112b c a ab bc ac a b c ++≥+++++。

高考数学一轮复习讲练测专题1.1集合的概念及其基本运算(讲)理(含解析)

1}，专题1.1集合的概念及其基本运算（讲）【辭析】由已知得^ = {1,4}.当口 = ＜时.A = [3],则討二〔12*卜・4厂直=0,当也=1时,J = ；L3j ; 则JU5 = {1.3r 4} p = 当a = 4时.^ = {4.3}, = （1,3.4}, -40-8={4}.当疽产1,戊戸吳。

否4时…儿丘二卩”丸好，JO^ =0,综上所述，当a = 3时—儿P = {1S4齐AClB^Qi 当应"时，血JH"4}, /仃丘二{1»当*4时,则加UE 二口34、“5={4}f 当口工1, 口产3, a 芦4时I dl-再三卜 B =0.2.【2015高考天津，理1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8 ，集合A 2,3,5,6，集合B 1,3,4,6,7则集合AI ejB （） (A )2,5( B )3,6 (C ) 2,5,6 ( D ) 2,3,5,6,8【答案】A【赭斤】^5 = （2,5,8}_所以二冷5},故选九3. 【云南省玉溪一中 2015届高三上学期第一次月考试卷】设集合B {(x, y) y 3x }，则A B 的子集的个数是( )A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】A1.【课本典型习题，P12第3题】设集合Ax(x a)(x 3) 0,a R , Bx(x 4)(x 1) 0 ,AUB , AI B .【答案】当a 3时，AU B 1,3,4 , AI B ;当a 1 时，AU B1,3,4,AI B 1 ;当 a时，贝U AU B 1,3,4 , AIB 4 ;当 a 1 ,a 3, a 4时， AU B1,3,4, a , AI B【课前小测摸底细】求4{(“)話【解析】篥會話为橢區|兰+匸=1上的昌集合卫为扌無心煎i' = 丁上的点，由于指纹函数恒过点(Q1)・16 -4* 斗由于点121在椭圆兰十二“曲内部，因此扌旨数函数与椭圆有2个交点.，的子篥的个数次F =4个，16 4故答累为扎4. 【基础经典试题】集合M ={y | y= x2—1, x R}，集合N={x|y= 9 x2, x R}，则MIN等于( )A. {t|0 t 3} B . {t|—1 t 3} C . {(- . 2,1),( .2,1) D •【答案】B【鱷析】■・」=/—in —h 二対=[—h +工)・又丫)=嗣-》匸9 - ? > 0 +/■[- 3,3]. ■- M A -V = [-l(3].5. 【改编自2012年江西卷理科】若集合A={— 1,1}, B= 0,2，则集合{z|z= x+ y, x A, y B}中的元素的非空子集个数为()A. 7 B . 6 C . 5 D . 4【答案】A【鋒析】由已知得，集台V尸K+F送用ye ^={-1.1.3}-所以其非空子集个数冷2为二7,故选【考点深度剖析】高考对集合知识的考查要求较低，均是以小题的形式进行考查，一般难度不大，要求考生熟练掌握与集合有关的基础知识•纵观近几年的高考试题，主要考查以下两个方面：一是考查具体集合的关系判断和集合的运算•解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的含义，弄清集合中元素所具有的形式以及集合中含有哪些元素•二是考查抽象集合的关系判断以及运算•【经典例题精析】考点1集合的概念K【1-1 】若a, b R，集合{1 , a b, a 0,-,b，求b a的值_____________________ .a【答案】2iy【解析】由d d+方卫｝=0—血可知“山则只能卄庄0,则有以下对应关爲CJ - b = 0.b—=c ab = 1.Jl_2【1-2】已知集合A=｛x|x+ m好4 = 0｝为空集，则实数m的取值范围是()A. ( —4, 4) B . [ —4, 4] C . ( —2, 2) D . [ —2, 2]【答案】A【解析】依题意知一元二次方程F十ww十4二0无解，^flzA A= w;_16 < 0(解得一4€楞羔4.故选A.【1-3】已知A=｛a+ 2, (a+ 1)2, a2+ 3a+ 3｝，若1€ A,则实数a构成的集合B的元素个数是()A. 0 B . 1 C . 2 D . 3【答案】B丽析】若口则1,代入集合」」得川=｛1"1｝,与集合元责的互异性若S+1F=1,帶住=0或一2,代入集合4帰/=匸切｝或去｛0二1｝,后■看与集合的互异性矛盾，故尸0 符合要求J若/+3卄3=1,则尸—诫-拿代人黑皆出得沪｛山1｝或看•戶｛轴助都与集合的互异性相矛盾, 無上可如只有口二。

最新河北省届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编10：数列

河北省 2014 届高三理科数学一轮复习考试一试题优选（1）分类汇编 10：数列一、选择题1．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 { a n } 的前n 项和为S n n2n1, b n(1) n a n (n N * ) ,则数列 {b n } 的前50项的和为（）A． 49B．50C． 99D． 100【答案】 A2．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）设 S n是等差数列{ a n}的前n项和, S53(a2a8 ) ,则a5的值为（）a31B．13D5A．3C66． 5．【答案】 D3．（河北省唐山市 2014届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且 S5=13,S 15=63,20（）则 S =A． 100B．90C． 120D． 110【答案】 B4 ．（河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学（理）试题）设S n是公差不为0 的等差数列{ a n}的前 n 项和 , 且S1, S2, S4成等比数列 , 则a2的值为（）a1A． 1 B ． 2C． 3D． 4【答案】 C5．（河北省邯郸市 2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列 a n中, a5a113, a3a134,则a12（）2A． 3 B ．31D．3或1 C．3 或3 3【答案】 C6．（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）数列 a n是首项为1,且公比q 0的等比数列 ,S n是a n的前 n1的前 5 项和为项和, 若9S3S6, 则数列（）a nA．15B ． 5C．31D．15 181616【答案】 C7．（河北省保定市八校结合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a 1+a = 16,则 a等于（）53A． 8 B ．4 C ．-4D． -8【答案】 A8．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知 { a } 为等差数列,其前 n 项和为 S ,n n 若 a36, S312 ,则公差d等于（）A．15C．2D．3 B ．3【答案】 C9 ．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知等比数列a n的公比 q 2 ,且2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 a n的前 8项和为（）A． 127B．255C． 511D． 1023【答案】 B10．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）等比数列 { a n } 中,已知对随意自然数n , a1a2a3a n2n1,则a12a22a32a n2等于（）A．(2n1) 2 B ．1(2n1)C．4n1D．1(4n1) 33【答案】 D11．（河北省邯郸市武安三中2014 届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列a n的前 n 项和为 S n,若 a2a815 a5,则 S9等于（）A． 45B．60C．36D．18【答案】 B12．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）若数列{an}知足:存在正整数T,关于任意正整数 n 都有an Tan 成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列 {a n} 满足a n1,a n，1a n 1 =10a n 1.0) ,,a1m (m a n则以下结论中错误的是（）．．A．若m4, 则a535B a3 2 ,3C．若m2 ,则数列{ an}是周期为3的数列D．m Q且m2 ,数列{ an}是周期数列【答案】 D13 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知数列为等比数列, 且 .a5 4,a964,则=（）A．8 B ．16C． 16D．8【答案】 C14．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）在首项为 57, 公差为5的等差数列a n 中, 最靠近零的是第 ( )项 .（）A． 14B．13C． 12D． 11【答案】 C15．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）设a n为等差数列, 且a3 a7 a10 2, a11 a47,则数列a n的前13项的和为S13（）A． 63B．109C． 117D． 210【答案】 C提示 : ∵a3 +a7-a 10+ a 11— a4=9, ∴a7=9, ∴S13=13 a 7=117二、填空题16．（河北省唐山市2014 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列 {a n} 知足 a1=0,a 2=1, a n23an 12a n,则{a n} 的前 n 项和 S n=_______________.【答案】 2n n117．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）在等比数列 a n中,若a7 a8a9a1015 ,a8a99, 则1111___________.88a7a8a9a10【答案】5 318．（河北省唐山一中 2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 a n 中 , a15,a n2a n 1 2n1(n N, n2),若存在实数,使得数列a n为等差数列 , 则2n =_________.【答案】119．（河北省保定市2014届高三 10 月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n是各项均为正数的等比数优选文档列, 若a 22, 2a 3 a 4 16 , 则 a n ______________.【答案】 2n 1 ; 三、解答题20．（河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等差数列a n 中 , a 2 6,S 4 20 .(1) 求数列a n的通项公式 ;(2) 设 b n2 (nN * ),T n b 1 b 2Lb n (n N * ) , 求 T n .n(12 a n )【答案】设a 1 d6a n 的公差为 d , 由题意得6d204a 1a 8解得{ d 12得: a n 8 2( n 1) 10 2n.(2) ∵ b n2 1n(12 a n )n(n 1)∵ b n1 1nn1T nb 1 b 2 b 3b n (1 1) (1 1)(11 ) n n2 2 3nn 1121．（河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数 f (x)x 3 mx 在 (0,1)上是增函数 ,( Ⅰ) 实数 m 的取值会合为 A, 当 m 取会合 A 中的最小值时 , 定义数列 { a n } 知足a 1 3, 且 a n 0, a n 13 f a nn} 的通项公式 ;9 , 求数列 {a ( Ⅱ) 若 b nna n , 数列 { b n } 的前 n 项和为 S n , 求证 : S n 3.由题意得 f ′(x)= ﹣ 3x 2+m,4【答案】解 :(1)∵ f (x)= ﹣ x 3 +mx 在 (0,1) 上是增函数 , ∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+m ≥0在(0,1) 上恒建立 , 即m ≥ 3x 2, 得 m ≥3,故所求的会合 A 为[3,+ ∞); 因此 m=3,∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+3,∵ ,an>0, ∴ ∴数列 {an} 是以 3 为首项和公比的等比数列(2) 由 (1) 得,bn=na n =n?3n,=3an, 即, 故 an=3n;=3,234n②3Sn=1?3 +2?3 +3?3 ++n?3 +1①﹣②得 , ﹣2Sn=3+32+33 ++3n ﹣n?3 n +1= ﹣n?3n+1化简得 ,Sn=>22．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n , 满足1 a n n 为偶数 , 5an 12 a 4, 若 b na2n 11(b n0) .a n为奇数21n(1) 求 a 1 ;(2) 求证 :b n 是等比数列 ;(3) 若数列 a n 的前 n 项和为 S n , 求 S 2n .51 为偶数【答案】 (1) 解: ∵, a n2 a n , na 412a n，为奇数1 n∴ a 35 13, ∴ a 23, ∴ a 122 2b na2 n 1(2) 证明 :a2n 3bn 111 a2n2 1121a2 n1,21 2故数列 { b n } 是首项为 1, 公比为 1 的等比数列2( 1 )n 1(3) 解: ∵ b na2 n 11 , ∴ a 2n 11 (a 1 1)(1 )n 12 即 a 2n1121 (11)1∴a 1a 3 La2 n 1 2n n=2－1－１n12n2又∵ a 2 a 1 1,a 4a 3 1,La2 na2 n 11 10分∴S2n2(a 1 a 3a 2n 1 )n 413n( 张军红命制 )2n 223．（河北省保定市 2014 届高三 10月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n中, a 24, a n 1an2( n N * ) , 其前 n 项和为 S n ,(1) 求数列 a n的通项公式 ;(2)1, 求数列b n的前 n 项和为 T n.令 b nS n【答案】解 : (1)由于 a n 1a n 2(n N * ) ,因此数列a n的公差d=2又a2 4因此 a n2n(2)易得 S n= n2n111因此 b n1) n n1n(n因此T n11=nn 1n124 ．（河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列 {a n} 的前 n 项和S n1n2kn (此中 k N*),且S的最大值为8.2n(1)确立常数 k, 求 a n.9 2a n的前 n 项和 T n.(2) 求数列2n【答案】 (1) 当n k N * 时,S n1n2kn取最大值,即 8 S k1k2k21k2,22225．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数 f ( x)px2qx( p 0) ,其导函数为 f (x) 6x 2 ,数列{ a n}的前n项和为S n,点 (n, S n )( n N * ) 均在函数y f (x) 的图像上.(1)求数列 { a n } 的通项公式;(2) 若c n 1(a n 2), 2b1 22 b2 23 b3 L2n b n c n,求数列{ b n}的通项公式. 3【答案】26．（河北省保定市八校结合体2014 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设 a n是公差不为零的等差数列 , S n为其前n项和 , 知足a22a32a42a52,S7 7.(1)求数列 a n的通项公式及前n项和 S n;(2)试求全部的正整数 m ,使得amam 1为数列 a n中的项. am 2【答案】 [ 分析 ]本小题主要考察等差数列的通项、乞降的相关知识, 考察运算和求解的能力. 满分 14分.( 1) 设公差为 d ,则 a22a52a42a32, 由性质得3d (a4a3 ) d (a4a3 ) ,由于 d0 ,所以a4a30,即2a15d 0,又由S77 得7a17 6d 7 ,解得2a1 5 ,d2,(2)amam 1=(2 m7)(2 m5),设2m3t ,am 22m3(方法一)则 a m a m 1= (t4)(t2)t86,因此为 8的约数a m2t t( 方法二 ) 由于amam 1(am 24)( a m 2 2)a m 268为数列a n中的项, a m 2a m 2a m 2故8为整数 , 又由 (1)知: a m 2为奇数 , 因此a m 22m31,即m 1,2 a m+2经查验 ,切合题意的正整数只有m 227 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）数列 {a n}的前n项和为n,且Sn*S=n( n+1)( n∈N).(1)求数列 { a n} 的通项公式 ;(2)若数列 {b1b2+b3++ nb nn}的通项公式; n}知足: n=+23,求数列{b a3＋1 3＋ 1 3＋ 1 3＋ 1ba b*n n(3)令 c n=4( n∈N), 求数列 { c n} 的前n项和T n.【答案】28 ．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数, 且, 设当,时,.( Ⅰ) 求证 : 数列是递减数列,数列是递加数列;(Ⅱ)求证 :;( Ⅲ) 能否存在常数使得对随意, 有, 若存在 , 求出的取值范围;若不存在,试说明原因 .【答案】( Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解: 由, 可得.若存在常数使得对随意,有,则对随意,.即对随意建立 .即对随意建立.设表示不超出的最大整数,则有.即当时 ,.与对随意建立矛盾.因此 , 不存在常数使得对随意, 有29．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）设等比数列a n的前n项和为S n,已知 a n 12S n2( n N ) .( Ⅰ) 求数列a n的通项公式;优选文档( Ⅱ) 在a n与a n 1之间插入n个数 , 使这n 2 个数构成公差为d n的等差数列,设数列1的前 n 项和d nT n,证明:T n 15. 16【答案】解 ( Ⅰ) 由an 12S n*得 a n 2S n2( n*2(n N )1N, n 2 ),两式相减得 : a n 1a n2a n,即 a n 1*, n2), 3a n (n N∵ { a n } 是等比数列,因此 a23a1,又 a2 2a1 2,则 2a1 2 3a1,∴ a1 2 ,∴ a n2g3n 1( Ⅱ) 由 (1) 知a n 12g3n , a n2g3n 1∵ a n 1 a n (n 1)d n,∴d n43n 1n ,11111令 T nd2d3,d1d n则 T n234+n1①430 4 31 4 324g3n11T n 23n n1②3 4 31 4 324g3n 14g3n①-②得2T n 2111n 134g304g314g324g3n 14g3n11 1 13(13n 1 )n 1 5 2n 51n n 24 4 388 313g gT n 152n515 1616g3n 116优选文档。

2013届高三一轮复习理科数学全能测试(一)集合集合与常用逻辑用语、函数概念与基本初等函数

2013届高三一轮复习理科数学全能测试（一）集合与常用逻辑用语、函数概念与基本初等函数本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）；锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）1、【2012 浙江理】设集合A={x|1<x<4},B={x|x 2-2x-3≤0},则A∩(C RB)= （）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)2、【2011 浙江理】若,a b 为实数，则“01m ab ＜＜”是11a b b a ＜或＞的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3、下列函数中既是奇函数，又在区间()1,1-上是增函数的为（）A ．y x= B ．sin y x = C ．x x y e e -=+ D ．3y x =-4、若函数()log (2)(0,1)a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是A ．2[,1)3 B ．2(0,]3 C ．3(1,)2 D ．3[,)2+∞ 5、奇函数()f x 在(0,)+∞上的解析式是()(1)f x x x =-，则在(,0)-∞上()f x 的函数解析式是（）A ．()(1)f x x x =--B ．()(1)f x x x =+C ．()(1)f x x x =-+D ．()(1)f x x x =-6、函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，(1)f x -是奇函数，若(0.5)f =9，则(8.5)f 等于（）A ．-9B ．9C ．-3D ．07、定义两种运算：22b a b a -=⊕，2)(b a b a -=⊗，则()()222xf x x ⊕=-⊗是（）函数．（） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇又偶函数 D ．非奇非偶函数8、已知函数()()()()f x x a xb a b =-->其中的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是（）9、若02log )1(log 2<<+a a a a ，则a 的取值范围是（）A ．（0，1）B ．（0，21）C ．（21，1）D ．（0，1）∪（1，+∞）10、设)(x f 是定义在R 上的偶函数，对R x ∈，都有)2()2(+=-x f x f ，且当]0,2[-∈x 时，1)21()(-=x x f ，若在区间]6,2(-内关于x 的方程0log )()2(=-+x a x f （a ＞1）恰有3个不同的实根，则a 的取值范围是（）A.(1,2)B.),2(+∞C.)4,1(3D.)2,4(3非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、命题“∃(12)x ∈，时，满足不等式240x mx ++≥”是假命题，则m 的取值范围 __________ 12、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________13、函数m x x f +=lg )(关于直线x=1对称，则m= 14、已知函数()()231f x mx m x =+-+的值域是[0,)+∞，则实数m 的取值范围是________________。

高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则（）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是（）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。

2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学_三角函数第四章 (1)

【答案】四
【点评】1.终边在某直线上角的求法 4 步骤： (1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线； (2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角； (3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合； (4)求并集化简集合.
2. 确定 kα，αk(k∈N*)的终边位置 3 步骤： (1)用终边相同角的形式表示出角 α 的范围；
①1°＝1π80rad；②1 rad＝1π80°
弧长公式
弧长 l＝__ |α|r __
扇形面积公式
S＝__12lr__＝__12|α|r_2_
3.任意角的三角函数
三角函数
正弦
余弦
正切
设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么
定义
__ y __叫做 α 的
正弦,记作 sin α
∴2sin α＋cos α＝－35×2＋45＝－25.
【答案】A
3. 半径为 2，圆心角为 60°的扇形面积为( )
2π
4π
A. 120 B. 240 C. 3 D. 3
π
【解析】因为扇形的圆心角为 θ＝ 3 ，半径为 2，
所以弧长 l＝θr＝2π3 ， ∴S＝12lr＝12×2π3 ×2＝2π3 .
的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角.
(2)利用终边相同的角的集合 S＝{β|β＝2kπ ＋α，k ∈Z}判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成 [0，2π )范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限.
2. 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角 α 终边上一点 P 的坐标，则可先求出点 P 到原点的距离 r，然后用三角函数的定义求解；
第四章三角函数

高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)

B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行，令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n：， + ， + + ， + + + ，，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列满足，且，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时，，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ；即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前项和．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前项和为，且是与的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为，已知．（1）求证：数列是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为，且 b = 4n nn +1，若对任意都成立，求实数的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是为首项，为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述的取值范围为．第 7 单元数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为，，（），则（）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则．．故选 B ．满足：，若数列是等比数列，则的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列的前项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足：，，成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前项和对任意的恒成立，则的最大值为（）A ．115【答案】C【解析】由，，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ，（ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪琪琪琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前项和为，且，，数列满足，（1）求数列（2）令【答案】（1），的通项公式；，求数列的前项和．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时，，即，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为，首项为的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理是偶数时是公比是，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前项和为，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。

2023届河南省中原名校高三一轮复习检测联考卷数学(理)试题(解析版)

中原名校联考高三一轮复习检测理科数学一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.已知集合{}{}122|,2|-==++-==x y y B x x y x A ，则=B A （） A.{}20|≤≤x x B.{}20|≤<x x C.{}1|-≥x x D.{}1|->x x2.已知复数z 满足()()i i z 212=++，则其共轭复数z 在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令，防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城，团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.折线图展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例数量的中位数与新增疑似病例数量的中位数相同C.16天中新增确疹、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于2000D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和4.已知抛物线px y 22=的焦点为()0,1F ，准线为l ，P 为该抛物线上一点，l PA ⊥，垂足为A ，若直线AF 的倾斜角为32π，则PAF ∆的面积为（） A.32 B.34 C.8 D.385.人类对于地震的认识还十分有限，比如还无法准确预报地震，以做好地震前的人员疏散和重要设施的保护工作.科学家通过观测研究发现，地震释放的能量E （单位：焦耳）与地震时里氏震级M 之间的关系为.4.18.4lg M E +=则2011年3月11日日本东北部海域发生的里氏9.0级地震与2008年5月12日我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量的比为（）A.5.110B.1.5C.5.1lgD.5.110-6.函数x x x f cos )(+=的大致图象是（）7.已知()3112⎪⎭⎫ ⎝⎛--x mx 的展开式中的常数项为8,则实数m 的值为（） A.-3 B.3 C.-2 D.28.将曲线x x f y 2cos )(=上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得到的曲线向右平移4π个单位，得到曲线x y 2cos =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛36ππf f 的值是（） A.2 B.-2 C.32 D.32-9.已知()()αββαβαβ,53sin cos cos sin =---为第三象限的角,则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+4cos πα( )A. 1027B.1027-C.102D.102- 10.现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当按如图所示水平放置时，水面的高度正好为棱长的一半.若将正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转，则容器里水平的最大高度为（）A.1B.2C.3D.2211.设b a ,为非零向量，则命题“b a b a +=+”是命题“a 与b 共线”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉.为了纪念数学家高斯，人们把函数R x x y ∈=],[称为高斯函数，其中][x 表示不超过x 的最大整数.设{}][x x x -=，则函数{}12)(--=x x x x f 的所有零点之和为（）A.-1B.0C.1D.2二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》《好玩的数学》《故事中的数学》等书，题材广泛，妙趣横生，深受广大读者喜爱.《好玩的数学》中《五分钟内挑出埃及分数》这篇文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数31与151的和表示52等.从1011,1001,41,31,21，⋅⋅⋅这100个埃及分数中选出不同的3个，使它们的和为1,这3个分数是.(按从大到小的顺序排列）14.数列{}()2,1:2121>+===--n F F F F F F n n n n ，最初记载于意大利数学家斐波那契在1202年所著的《算盘全书》之中.若数列{}n F 的每项除以2所得的余数按原来项的顺序构成新的数列{}n a ，则数列{}n a 的前50项的和=50S .15.已知F 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的右焦点，B A ,是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，0=⋅BF AF 且线段AF 的中点在双曲线C 上，则双曲线C 的离心率=e .16.已知三棱锥ABC P -的四个顶点在球O 的表面上，⊥PA 平面4,2,32,6====BC AC AB PA ABC ，，则球O 的表面积为；若D 是BC 的中点，过D 作球的截面，则截面面积的最小值是 .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个题考生都必作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.已知向量()B a c m sin ,-=,()C A a b n sin sin ,+-=,且m ∥n .（1）求角C 的值；（2）若a b c 336=+，求A sin 的值.18.（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，AD CD AD ,⊥∥BC ， .3,2====BC CD AD PA 过点A 作四棱锥ABCD P -的截面AEFG ，分别交PB PC PD ,,于点G F E ,,.已知E PB PG ,3:2:=为PD 的中点.(1) 求证：AG ∥平面PCD ；(2) 求AF 与平面PAB 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）为了普及传染病防治知识，增强学生的健康意识和疾病防犯意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在[)80,70内的学生获三等奖，得分在[)90,80内的学生获二等奖，得分在[]100,90内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生恰有一名学生获奖的概率.（2）若该校所有参赛学生的成绩X 近似地服从正态分布()2,σμN ，其中μσ,15=为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：①若该校共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中超过79分的学生人数（结果四舍五入到整数）；②若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取3名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望.附：若随机变量X 服从正态分布()2,σμN ，则(),6827.0≈+≤<-σμσμX P (),9545.022≈+≤<-σμσμX P ().9973.033≈+≤<-σμσμX P20.（本小题满分12分）设A 为椭圆12:22=+y x L 上的一个动点，21,F F 分别为椭圆的左、右焦点，AC AB ,分别为过21,F F 的弦，且.,222111C F AF B F AF λλ==（1）求证：21λλ+为定值；（2）求AC F 1∆的面积S 的最大值.21.（本小题满分12分）设n 是正整数，().12x ne n x n x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+= （1）求证：当1≤x 时，().112x e x x ≤-- （2）求证：当n x ≤时，().n x f ≥（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在极坐标系中,已知圆C 的圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2πC ,半径.3=r （1）求圆C 的极坐标方程；（2）若⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈4,0πα，直线l 的参数方程为()为参数t t y t x ⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2，直线l 交圆于B A ,两点，求AB 的取值范围.23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()().31R a a x x f ∈-= （1）当2=a 时，解不等式()131≥+-x f x ；（2）设不等式x x f x ≤+-)(31的解集为M ，若M ⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,31，求实数a 的取值范围.中原名校联考高三一轮复习检测数学（理）参考答案一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.B【解析】由022≥++-x x ，得022≤--x x ，21≤≤-x ，即{}21|≤≤-=x x A ，由021>=-x y ，得{}0|>=x x B ，故{}20|≤<=x x B A .2. C 【解析】因为()()()i i i i i i i z +=-+-=+=+11112122，所以z =1+i ，1z i =--，其对应的点位于第三象限.3. C【解析】对于A ，从折线图可以看出，19日至20日新增确诊病例数量呈上升趋势，故A 错误；对于B ，从折线图可以看出，每日新增确诊病例数量的中位数位于500—1000之间，每天新增疑似病例数量的中位数位于1000—1500之间，所以每日新增确诊病例数量的中位数小于每日新增疑似病例数量的中位数，故B 错；对于C ，从折线图可以看出，16天中每日新增确疹病例数量最低在250以下，最高在2500以上，极差大于2000,而每日新增疑似病例数量最低在250以下，最高在2250以上，极差大于2000,每日治愈病例数量最低在1500以下，最高在3500以上，极差大于2000,故C 正确；对于D ，从折线图可以看出，20日新增治愈病例数量小于新增确诊与新增疑似病例数量之和，故D 错误.4. B【解析】由题意，知2=p ，抛物线方程为x y 42=，设准线与x 轴的交点为K （图略），则2=KF .因为直线AF 的倾斜角为32π，所以3π=∠AFK ，则4=AF .由抛物线的定义可知||||PF PA =且3π=∠PAF ，所以△PAF 是边长为4的正三角形， .34234421=⨯⨯⨯=∆PAF S 5. A 【解析】由lg 4.8 1.5E M =+，可得M E 5.18.410+=，设日本东北部海域发生的里氏9.0级地震-与我国汶川发生的里氏8.0级地震所释放出来的能量分别为21,E E ，则.1010105.185.18.495.18.421==⨯+⨯+E E6. A【解析】因为()x f 的定义域为R ，()x x x f cos +-=-，)()(x f x f ≠-且)()(x f x f -≠-，故该函数既不是奇函数又不是偶函数，排除B 、C ；又当2π=x 时，x x x =+cos ，即)(x f 的图象与直线x y =的图象的交点中有一个点的坐标为2π，排除D ，故只能选A. 7. D【解析】由二项式定理，得311⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 的通项rr r x C T ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+131，则()3112⎪⎭⎫ ⎝⎛--x mx 展开式中的常数项为()m x C mx C 32121303+=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-+⨯，所以832=+m ，解得.2=m 8. D【解析】将曲线x y 2cos =的图象向左平移4π个单位，得到曲线 x x x y 2sin 22cos 42cos -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ππ的图象，再将所得曲线上的所有点的横坐标缩短到原来的21，得到曲线x y 4sin -=.由题意，得x x f x 2cos )(4sin =-，所以 x xx x x x x f 2sin 22cos 2cos 2sin 22cos 4sin )(-=-=-=，则.3232sin 23sin 236-=--=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛ππππf f9. D【解析】由题知，()()()[]53sin sin sin cos cos sin =-=--=---αβαβββαβαβ，所以53sin -=α，又α为第三象限的角,则().102sin cos 224sin sin 4cos cos 4cos -=-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+ααπαπαπα 10. B【解析】因为正方体的面对角线的长为22，故将正方体绕下底面（底面与水平面平行）的某条棱任意旋转的最大高度是22.又因为容器里水的体积正好是容器体积的一半，所以容器时水面的最大高度是面对角线长度的一半，即容器中水面的最大高度为.2 11. Ab a b a +=+a 与b 共线且方向相同，故充分性成立；但当a 与b 共线且b a b a +≠+，故必要性不成立.因此，命题b a b a =+”是命题“a 与b 共线”的充分而不必要条件.)12. A【解析】因为{}][x x x -=，当x 为整数时，{}().1,0--==x x f x 令()01=--=x x f ，得.1-=x 当x 不为整数时，{}{}.11][][],[1][+-=+-=---=---=-x x x x x x x x 因为{}12)(--=x x x x f ，所以 (){}{}(){}1211212--=-++--=-+-⋅-=-x x x x x x x x x x f ，此时)()(x f x f =-，即)(x f 为偶函数，图象关于y 轴对称，故x 不为整数时，对称区间的零点之和为0,所以所有零点之和为 1.二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.61,31,21【解析】因和为1,故3个数中必有一个大于31，也必有一个小于31，在这个原则下验算得1613121=++，所以3个埃及分数按从大到小的顺序依次为61,31,21. 14.34【解析】斐波那契数列{}n F 为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…将数{}n F 的每一项除以2所得余数构成-的新数列{}n a 为1,1,0,1,1,0,1,1,0,…这是一个周期数列，周期为3,又216350⋅⋅⋅⋅⋅⋅=÷，故数列{}n a 的前50项的和为.3411216=++⨯ 15. 15-【解析】因为F 为双曲线()0,012222>>=-b a by a x C ：的右焦点，所以()0,c F .由题知双曲线的一条渐过线的方程为x a b y =，不妨设()0,000>⎪⎭⎫ ⎝⎛x x a b x A ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛--00,x a b x B ，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000,,,x a b x c BF x a b x c AF ，则()()020222202200=-=-+-=⋅x a c c x a b x c x c BF AF ，由此得.220a x =因此点A 的坐标为()b a A ,，线段AF 的中点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛+2,2b c a ，因为它在双曲线上，所以1222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a c a ，化简得512=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a c ，解得.15-==a c e16. 52π 4π【解析】由已知得222BC AC AB =+，则AC AB ⊥.因为⊥PA 平面ABC ，所以可将三棱锥ABC P -补成以AP AC AB ，，分别为长、宽、高的长方体，则三棱锥ABC P -的外接球直径为长方体的体对角线的长，即()13262322222222=++=++=AP AC AB R （R 为外接球的半径），所以13=R ，所以球O 的表面积为.5242ππ=R 因为D AC AB ，⊥为BC 中点，所以D 为ABC Rt ∆的外接圆圆心，且⊥OD 平面ABC ，所以过点D 作球O 的截面，面积最小的截面即为ABC ∆的外接圆面，外接圆的半径为22==BCr ，所以面积的最小值为.42ππ=r 三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个题考生都必作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一）必考题：共60分.17.（1）因为m ∥n ，所以()()()B a b C A a c sin sin sin -=+-，……………(2分)由正弦定理，得()()()b a b c a a c -=+-，化简得ab c b a =-+222，……………(4分)所以，.2122cos 222==-+=ab ab ab c b a C 又()π,0∈C ，所以.3π=C ………………………………………(6分) （2）由（1）知A B -=32π，由题设及正弦定理，得A A C sin 332sin 3sin 6=⎪⎭⎫⎝⎛-+π，整理，得0sin 21cos 2322=-+A A ，即.223sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA ……………………(8分) 因为320π<<A ，所以333πππ<-<-A ，.223cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πA …………………(10分) 故.4263sin 3cos 3cos 3sin 33sin sin +=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππππA A A A…………………………………………………………………………………………(12分)18.（1）如图所示，在PC 上取点H ，且满足3:2:=PC PH ，……………………(2分)连接HD GH ,，则GH ∥BC ，所以AD ∥GH ，且GH AD =，所以四边形ADHG 是平行四边形.则AG ∥.HD ………………………(4分)又因为⊂HD 平面AG PCD ,不在平面PCD 内，所以AG ∥平面PCD .…………………………………(6分)（2）过点A 作AM ∥CD 交BC 于点M ，易证AD AP AM ,,两两垂直，所以以M 为原点，AM 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立平面直角坐标系,xyz A -则有()()()().0,1,2,1,1,0,32,32,34,0,2,2,2,0,0-⎪⎭⎫⎝⎛-B E GC P ………………(8分) 设平面AEFG 的法向量为()z y x n ,,=，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0AE n AG n即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-,0,0323234z y z y x 令1=z ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=.1,1,1z y x 所以，()1,1,1--=n 是平面AEFG 的一个法向量.因为点F 在PC 上，所以()().22,2,21λλλλλ-=-+=AP AC AF 因为⊂AF 平面AEFG ，所以02222=-+--=⋅λλλn AF ，解得31=λ，所以.34,32,32⎪⎭⎫⎝⎛=AF ……………………………………(10分)设平面PAB 的法向量为()1111,,z y x n =，则有⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011AB n AP n 即⎩⎨⎧=-=,02,02111y x z 令11=x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===.0,2,1111z y x所以，()0,2,11=n 是平面PAB 的一个法向量，1030cos 1=n AF ，即AF 与平面PAB 所成角的正弦值为.1030………………………………(12分)19.（1）由样本频率分布直方图，得样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖.……………………………………(2分)从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，基本事件总数为.2100C 设“抽取两名学生中有一名学生获奖”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件的个数为130170C C .……(4分)因为每个基本事件出现的可能性相等，所以().33142100130170==C C C A P 即抽取的两名学生中恰有一名学生获奖的概率为.3314………………………………(6分) （2）由样本频率分布直方图得样本平均数估计值+⨯⨯=10006.035μ+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10008.08510016.07510034.06510018.05510012.045,6410006.095=⨯⨯所有参赛学生的成绩近似地服从正态分布().15,642N ……(8分)①因为79=+σμ，所以()15865.026827.0179=-≈>X P ，参赛学生中成绩超过79分的人数约为.15871000015865.0=⨯②由64=μ，得()2164=>X P ，即从所有学生中随机抽取1名学生，该生的成绩在64分以上的概率为21，所以随机变量ξ服从二项分布⎪⎭⎫⎝⎛21,3B ，随机变量ξ的可能值为0,1,2,3,且()812112103003=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛==C P ξ，()832112112113=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ， ()832112121223=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ，().812112130333=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛==C P ξ所以随机变量ξ的分布列为ξ0 1 2 3P8183 83 81……………………………(10分)随机变量ξ的数学期望().23813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ……………………(12分) 20.（1）易求得()().0,1,0,121F F -设点C B A ,,三点的坐标依次为()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,由C F AF B F AF 222111,λλ==，得()()2211,1,1y x y x +=---λ,()()3311,1,1y x y x -=--λ……………………(2分)由此得()()11,11321211-=-+=--x x x x λλ，进而得.11,11213112+-=-+-=λλx x x x…………………………………(4分)由椭圆的性质可知，22211++=x x λ，将11112-+-=λx x 代入，得3211+=x λ；同理得31222x x --=λ，将11213+-=λx x 代入，得.3212+-=x λ 因此，632321121=+-+=+x x λλ为定值.……………………(6分) （2）因为.213131211y y y y F F S AC F -=-⋅⋅=∆………………………………………(8分) 设直线AC 的方程为1+=my x ，与椭圆方程联立得().012222=-++my y m………………………………(10分)从而21111222222222231≤+++⋅=++=-m m m m y y ，当且仅当0=m 时，即直线AC 的方程为1=x 时，AC F 1∆的面积S 取到最大值.2……………(12分)21.（1）记()xe x x x g -+=1)(2,则()()xex x g -='2.易知，当()0,∞-∈x 时，()0<'x g ；当()2ln ,0∈x 时，()0>'x g ，当(]1,2ln ∈x 时，()0<'x g .……………(2分)所以，)(x g 在()0,∞-上单调递减，在()2ln ,0上单调递增，在(]1,2ln 上单调递减,进而知)(x f 的最小值()()(){}minmin 0,1 1.f x g g ⎡⎤==⎣⎦故()1≥x g ,即()112≥-+xe x x ,().112x e x x≤--…………………………………(4分)（2）由()x ne n x n x xf ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=12，得 ().121112112⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+='--n xn n x n x e x n n x n n x n e x x f当1=n 时,由(1)知()1)(≥=x g x f ,命题成立.………………………(6分)当2≥n 时，令()11n xx h x e n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()12211()1111.n n n xxx x x x x h x e e n e n n n n n ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+⋅--⋅-=⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭易知，当()1,∞-∈x 时，()0h x '>，当[]n x ,1∈时，()0h x '<.所以，在区间()1,∞-上函数()h x 单调递增，在区间[]n ,1上函数()h x 单调递减.所以，当1=x 时，()h x 取得最大值11(1)1.n h e n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭……………………………(8分)由于熟知结论n n 111ln -<⎪⎭⎫ ⎝⎛-，得nn e -⎪⎭⎫⎝⎛-<11，于是.21111111≤-=⎪⎭⎫⎝⎛-<⎪⎭⎫⎝⎛---n n n n e n …………………………(10分)因此，0121>⎪⎭⎫⎝⎛---n xn x e ，故当()0,∞-∈x 时，()0<'x f ，()x f 单调递减，当(]n x ,0∈时，()0>'x f ，()x f 单调递增，即()x f 的最小值为()n f =0.所以，n e n x n x x n≥⎪⎭⎫⎝⎛-+12，即().n x f ≥………………………………………(12分)（二）选考题：共10分.请在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.（1）因为点⎪⎭⎫⎝⎛4,2πC 的直角坐标为()1,1，所以圆C 的直角坐标方程为()()31122=-+-y x ，…………………(2分)化为极坐标方程即为().01sin cos 22=-+-θθρρ………………………………(4分)（2）将⎩⎨⎧+=+=ααsin 2cos 2t y t x 代入圆C 的直角坐标方程()()31122=-+-y x ，并化简得().01sin cos 22=-++ααt t …………………………(6分)设点B A ,对应的参数分别为21,t t ，则().1,sin cos 22121-=+-=+t t t t αα 所以，().2sin 2242122121α+=-+=-=t t t t t t AB …………………………(8分)因为⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈4,0πα，所以3222,2,02<≤⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈AB πα，即AB 的取值范围是[).32,22……………………………………(10分)23.（1）当2=a 时，原不等式化为3213≥-+-x x ，………………(2分) ①当31≤x 时，3231≥-+-x x ，解得0≤x ，所以0≤x ； ②当231<<x 时，3213≥-+-x x ，解得1≥x ，所以21<≤x ； ③当2≥x 时，3213≥-+-x x ，解得23≥x ，所以2≥x .……………………(4分)综上所述，当2=a 时，不等式的解集为{}10|≥≤x x x 或.……………………(6分)（2）不等式x x f x ≤+-)(31可化为x a x x 313≤-+-，依题意该不等式在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,31x 上恒成立.………………………………(8分)所以x a x x 313≤-+-，即1≤-a x ，即11+≤≤-a x a .故⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-,211,311a a 解得3421≤≤-a ，即实数a 的取值范围是.34,21⎥⎦⎤⎢⎣⎡-………………(10分)高三数学（理）参考答案第21页（共21页）。

2022年高考数学理科第一轮复习资料：1-1

识梳理
【例3】设集合A＝{(x，y)|y≥ 1 |x－2|}，B＝{(x， 2
《走向高
y)|y≤－|x|＋b}，A∩B≠∅.
考》
课
高
堂题型设计
(1)b的取值范围是________；
考总
(2)若(x，y)∈A∩B，且x＋2y的最大值为9，则b的值是
复习
·
________．
数学
学
规律方
{1,3,5,6,7}，∁U(A∪B)＝{2,4,8}．
法
提炼
答案：{2,4,8}
课后强化作业
2022/1/4
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13
知
识梳理
《走向
高
考
课
【例1】
(2006·江苏高考，7)若A、B、C为三个集合，
》高
堂题
A∪B＝B∩C，则一定有
型
设计
A．A⊆C
B．C⊆A
识
梳理
B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.
《走向高
考
课
解析：本题主要考查考生对集合的表示方法与意义的》高
堂
考
题型
理解、交集、并集及补集的含义．依题意得U＝
设
计 {1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}，A∪B＝
·
总复习数
高
考
课
(2)∵U＝R，B∩C＝{x|－1<x<6}，
》高
堂
考
题型设
∴∁U(B∩C)＝{x|x≤－1或x≥6}，

百师联盟2021届高三一轮复习联考(一) 理数全国卷III

百师联盟2021届高三一轮复习联考（一）全国卷理科数学试卷考试时间为120分钟，满分150分注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设231(i)2z =-,其中i 是虚数单位，则|z |＝ A. 12B.2C.1D. 22. 已知集合A ={ x | x ≥0},集合B ={ x | y =l n (x 2+x -2)},则A ⋂B =A. (1,+∞)B.(-2,1)C.[0,1)D.(-2,+∞) 3. 已知向量a =(x ,-1),b =(-2,4),若a ⊥b ，c =a +b ，则a 在c 上的投影为 A.1B. ± 1C . 2D . ± 24. 方程 x 4 十 y 4=4(x 2+y 2 )所表示曲线的大致形状为5. 命题p :“2[0,),e x x x ∀∈+∞>”的否定形式⌝p 为A. 2[0,),e x x x ∀∈+∞≤B. 0200(,0],e x x x ∃∈-∞>C. 0200[0,),e x x x ∃∈+∞>D. 0200[0,),e x x x ∃∈+∞≤6. 已知某函数的图象如图所示，则其解析式可以是A.y =cos (s i n x )B.y =s i n (s i n x ) C .y =cos (cos x ) D.y =s i n(cos x )7.设函数f (x )= e ax与g(x )=b ln x 的图象关于直线 x -y =0对称，其中a ,b ∈R 且a >0.则a ,b 满足A.a +b =2B.a =b =1 C .ab =1 D.1b a= 8.如图所示是某弹簧振子做简谐运动的部分图象，则下列判断正确的是 A. 该弹簧振子的振幅为1cm B. 该弹簧振子的振动周期为 1.6s C.该弹簧振子在0.2s 和1.0 s 时的振动速度最大D. 该弹簧振子在0.6 s 和1.4 s 时的位移不为零9. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet), 当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：1,()0,C x Qf x x Q ∈⎧=⎨∈⎩（其中Q 为有理数集，Q C 为无理数集），狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些 “人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义的狄利克雷函数可定义为： D (x )= ,,Ca x Qb x Q ∈⎧⎨∈⎩（其中a ,b ∈R 且a ≠b ,以下对 D (x )说法错误的是 A.任意非零有理数均是D (x )的周期，但任何无理数均不是D (x )的周期 B.当a >b 时，D (x )的值域为[b ,a ]; 当a <b 时，D (x )的值域为[a ,b ] C.D (x )为偶函数D.D (x )在实数集的任何区间上都不具有单调性10.设锐角三角形ABC 三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c 2-2=b (c -b ),a =2,则b +c 的取值范围为 A.( 2，22]B.( 2，22]C.( 6，22)D. ( 6，22］11.若函数f (x )=sin()(0)x ωϕω+>在[0，π]上有且仅有3个零点和2个极小值点，则ω 的取值范围为 A. 1710[,)63B. 1023[,)36C. 1710[,]63 D. 1023(,)3612. 已知函数f (x )的导函数为f '(x ),任意x ∈R 均有 f '(x )-f (x )=e x ,且f (l )=0,若函数g (x )=f (x )-t 在x ∈ [-1,+∞)上有两个零点，则实数 t 的取值范围是 A .(-1,0)B.( 21,e --) C.[-1,0) D .( 21,]e --二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年新高考数学一轮复习1-1 集合(真题测试)解析版

专题1.1集合（真题测试）一、单选题1．（2022·全国·高考真题（文））集合{}{}2,4,6,8,10,16M N x x ==-<<，则M N =（）A ．{2,4}B ．{2,4,6}C ．{2,4,6,8}D ．{2,4,6,8,10}2.（2021·全国高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则ST （）A ．∅B ．SC ．TD ．Z3．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设全集{}22,4,U a =，集合{}4,2A a =+，{}UA a =，则实数a 的值为（） A ．0B ．-1C ．2D ．0或24．（2021·全国·高考真题（理））设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则MN =（）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤5．（2021·全国·高考真题（理））已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T （）A ．∅B ．SC ．TD ．Z6．（2021·全国·高考真题）设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()UA B =（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}7．（2021·江苏·高考真题）已知集合{}1,3M =，{}1,3N a =-，若{}1,2,3M N =，则a 的值是（）A ．-2B ．-1C ．0D ．18．（2020·全国高考真题（文））已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（） A ．∅ B ．{–3，–2，2，3） C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}9.（2020·全国高考真题（理））已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()UA B ⋃=（）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}10．（2022·福建省德化第一中学高二阶段练习）设集合(){},A x y y x ==，(){}22,1B x y xy =+=，则A B 的子集的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．511．（2022·北京·高考真题）已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则UA （）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--12．（2022·浙江·高考真题）设集合{1,2},{2,4,6}A B ==，则A B ⋃=（） A ．{2}B ．{1,2}C ．{2,4,6}D ．{1,2,4,6}13．（2022年普通高等学校统一模拟招生考试新未来4月联考理科数学试题）已知全集R U =，集合{}|2,1x A y y x ==>，{}|24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．[2,2]-B ．(2,2)-C ．(2,2]-D ．[2,2)-14．（2022·贵州·贵阳一中高三阶段练习（理））已知集合{2,1,0,1,2}A =--，203x B x Zx ⎧⎫+=∈<⎨⎬-⎩⎭∣，则集合{},,z z xy x A y B =∈∈的元素个数为（）A ．6B ．7C ．8D ．915．（2021·全国·高考真题（文））已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=（） A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,416．（2021·北京·高考真题）已知集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =≤≤，则A B ⋃=（） A ．{}|12x x -<< B ．{}|12x x -<≤ C ．{}|01x x ≤<D ．{}|02x x ≤≤17．（2022·全国·高考真题）已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（） A ．{1,2}-B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-18．（2022·全国·高考真题）若集合{4},{31}M xN x x =<=≥∣，则M N =（）A ．{}02x x ≤<B ．123x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}316x x ≤<D ．1163x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭二、填空题19．（2022·上海·高考真题）已知(1,2)A =-，(1,3)B =，则A B =________20．（2022·安徽·高一期中）设集合12|3A x N y N x ⎧⎫=∈=∈⎨⎬+⎩⎭，则集合A 的子集个数为________ 21．（2022·北京八中高二阶段练习）给定数集M ，若对于任意a 、b M ∈，有a b M ，且a b M -∈，则称集合M 为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______： ①集合{}2,1,0,1,2M =--是闭集合； ②正整数集是闭集合；③集合{}3,Z M n n k k ==∈是闭集合； ④若集合1A 、2A 为闭集合，则12A A ⋃为闭集合．。

2023年高考数学(理科)一轮复习—— 离散型随机变量的均值与方差

P(X＝100)＝21×14×14＝312，
∴X 的分布列为
X 20 40 50 70 100
P
3 8
9 32
1 8
3 16
1 32
∴E(X)＝20×38＋40×392＋50×18＋70×136＋100×312＝1465.
索引
考点二二项分布的均值与方差
例2 (2021·东北三省三校联考)随着经济的发展，轿车已成为人们上班代步的一种重要工具.现将某人三年以来每周开车从家到公司的时间之和统计如图所示.
第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
内容索引
知识诊断基础夯实
考点突破题型剖析
分层训练巩固提升
知识诊断基础夯实
ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
话费，求 X 的分布列与数学期望.
索引
解 ①由题意知 P(ξ<μ)＝P(ξ≥μ)＝12，获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，
70，100， P(X＝20)＝12×34＝38，P(X＝40)＝21×34×34＝392，
P(X＝50)＝12×14＝18，P(X＝70)＝21×34×14＋12×14×43＝136，
索引
P(X＝4)＝1304＝1080100. 故 X 的分布列为
X0
1
2
3
4
P
2 401 10 000
1 029 2 500
1 323 5 000
189 2 500
81 10 000
故 E(X)＝0×120400010＋1×12 052090＋2×15 302030＋3×2158090＋4×1080100 ＝65或E（X）＝4×130＝65.

镇江市统一高考数学第一轮复习学案(解析答案版)：53(理科)概率分布(1)—镇江一中刘海军

第一节概率分布（理科1）一、知识梳理： 1．离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量叫做随机变量，常用字母X Y ξη，，，，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，叫做离散型随机变量． 2．离散型随机变量的概率分布及性质(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为12i n x x x x ⋯⋯，，，，，,X 取每一个值1,2()i x i n ⋯＝，，的概率()i i P X x p ＝＝，则表称为离散型随机变量X 的概率分布表． (2)离散型随机变量的概率分布的性质①01,2i p i n ≥⋯，＝，，； ②12 1.i n p p p p ⋯⋯＋＋＋＋＋＝3．常见离散型随机变量的概率分布 (1)两点分布如果随机变量X 的概率分布表为其中01p << 服从两点分布． (2)超几何分布一般地，设有N 件产品，其中有()M M N ≤ 件次品．从中任取()n n N ≤ 件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么()P X r ＝＝M r n rN MnNC C C -- 0,1,)2(r l ⋯＝，，． 4．二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则()P X k ＝＝k n-kC p (1-p)k n 0,1,)2(k n ⋯＝，，，此时称随机变量X 服从二项分布，记为()X B n p ～，，并称p 为成功概率． 5．离散型随机变量的均值与方差一般地，若离散型随机变量X 的概率分布为(1)均值称()E X ＝ 1122i i n x p x p x p x p ⋯⋯＋＋＋＋＋为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差称()V X ＝ μ＝2221122()()()n n x p x p x p μμμ⋯－＋－＋＋－＝∑ni ＝1x 2i p i －μ2为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根σ＝V (X )为随机变量X 的标准差． 6．均值与方差的性质(1)()E aX b ＋() aE X b ＝＋ .(2)()V aX b ＋()2a V X ＝.(ab ，为常数)7．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则()E X p ＝，()(1)V X p p ＝－. (2)若()X B n p ～，，则()E X np ＝，()(1)V X np p ＝－. 二、基础训练:★1.已知随机变量X 的概率分布如下：则P (答案139解析 P (X ＝10)＝1－23－…－239＝139.★2. 设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝k 15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝________.答案 15解析由12<ξ<52知ξ＝1,2.P (ξ＝1)＝115，P (ξ＝2)＝215，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<ξ<52＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝15.★3. 将一枚硬币扔三次，设X 为正面向上的次数，则P (0<X <3)＝________. 答案 0.75解析 P (0<X <3)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝3) ＝1－123－123＝0.75.★4.若随机变量X 服从两点分布，且P (X ＝0)＝0.8，P (X ＝1)＝0.2.令Y ＝3X －2，则P (Y ＝－2)＝________. 答案 0.8解析由Y ＝－2，且Y ＝3X －2，得X ＝0， ∴P (Y ＝－2)＝0.8.★5.下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是________． ①将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X ；②从7名男生3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X ； ③某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X ；④盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X 是首次摸出黑球时的总次数．答案 ②解析由超几何分布的定义可知②正确．★6. 10名同学中有a 名女生，若从中抽取2个人作为学生代表，恰抽取1名女生的概率为1645，则a ＝________. 答案 2或8解析由题意知，1645＝C 110－a C 1aC 210，解得：a ＝2或8.★7.从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出了3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是________．答案1235解析如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.★8.从只有3张中奖的10张彩票中不放回随机逐张抽取，设X 表示直至抽到中奖彩票时的次数，则P (X ＝3)等于________．答案740解析 “X ＝3”表示前2次未抽到中奖彩票，第3次抽到中奖彩票，故P (X ＝3)＝A 27C 13A 310＝7×6×310×9×8＝740.★★9. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________.答案 512解析设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5. P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.★★10.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为________．答案 0.648解析根据独立重复试验公式，得该同学通过测试的概率为C 230.62×0.4＋0.63＝0.648.★★11.设随机变量ξ服从二项分布ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (ξ≤3)＝________. 答案2132解析 P (ξ≤3)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＋P (ξ＝3)＝C 06×⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 16·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 26·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 36·⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝2132.★★12.箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫593×⎝ ⎛⎭⎪⎫49 解析由题意知前3次取出的均为黑球，第4次取得的为白球．故其概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫593×49.★★13.下列说法正确的是________．①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且X ～B (10,0.6)；②某福彩的中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且X ～B (8，p )； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12.答案 ①②解析 ①②显然满足独立重复试验的条件，而③虽然是有放回地摸球，但随机变量X 的定义是直到摸出白球为止，也就是说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布的定义．★★14.将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．答案1132解析正面出现的次数比反面出现的次数多，则正面可以出现4次，5次或6次，所求概率P ＝C 46⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 56⎝ ⎛⎭⎪⎫126＋C 66⎝ ⎛⎭⎪⎫126＝1132. ★★15.若随机变量X 服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，则E (X )的值为________．答案 43解析 E (X )＝np ＝4×13＝43.★★16.某射手射击所得环数ξ的概率分布如下表：已知E (ξ)＝8.9，则y ＝答案 0.4解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋0.1＋0.3＋y ＝1，7x ＋8×0.1＋9×0.3＋10y ＝8.9，解得：y ＝0.4，x ＝0.2.★★★17.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为________．答案 3.5解析抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为所以，E (ξ)＝1×16＋2×6＋3×6＋4×6＋5×6＋6×6＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×16＝3.5.★★★18.已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝3,6,9.则V (X )＝________.答案 6解析 E (X )＝3×13＋6×13＋9×13＝6.V (X )＝(3－6)2×13＋(6－6)2×13＋(9－6)2×13＝6.★★★19.已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，V (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5解析由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5.★★★20.有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X ，Y ，已知E (X )＝E (Y )，V (X )>V (Y )，则自动包装机________的质量较好．(填“甲”或“乙”)答案乙解析在均值相等的情况下，方差越小，说明包装的质量越稳定，所以自动包装机乙的质量较好．三、例题选讲:★例1. 随机变量的概率分布概念及性质设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ai (i ＝1,2,3,4)，求： (1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})；(2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52. 解题中所给的分布列可用表表示为由随机变量分布列的性质得a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，解得a ＝110.(1)P ({X ＝1}∪{X ＝3})＝P (X ＝1)＋P (X ＝3) ＝110＋310＝25. (2)P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. 反思与感悟 1.本例利用方程的思想求出常数a 的值． 2．利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .★例2. 求随机变量的概率分布一袋中装有6个同样大小的黑球，编号分别为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，以X 表示取出球的最大号码，求X 的概率分布．解随机变量X 的可能取值为3,4,5,6.从袋中随机地取出3个球，包含的基本事件总数为C 36，事件“X ＝3”包含的基本事件总数为C 11C 22，事件“X ＝4”包含的基本事件总数为C 11C 23，事件“X ＝5”包含的基本事件总数为C 11C 24，事件“X ＝6”包含的基本事件总数为C 11C 25，从而有P (X ＝3)＝C 11C 22C 36＝120，P (X ＝4)＝C 11C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 11C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 11C 25C 36＝12，所以随机变量X 的概率分布为反思与感悟 (1)明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义． (2)利用概率的有关知识，求出随机变量取每个值的概率． (3)按规范形式写出概率分布，并用概率分布的性质验证． ★例3. 两点分布袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红；1，两球非全红.求X 的概率分布．解由题设可知X 服从两点分布P (X ＝0)＝C 25C 215＝221；P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1921.∴X 的概率分布为反思与感悟 (1)看取值：随机变量只取两个值：0和1.(2)验概率：检验P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝1是否成立．如果一个分布满足以上两点，则该分布是两点分布，否则不是两点分布． ★例4. 随机变量的概率分布的综合应用袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数． (1)求袋中原有的白球的个数； (2)求随机变量ξ的概率分布； (3)求甲取到白球的概率．解 (1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2n C 27＝n (n －1)27×62＝n (n －1)7×6. 可得n ＝3或n ＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球． (2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P (ξ＝1)＝37；P (ξ＝2)＝4×37×6＝27； P (ξ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (ξ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (ξ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以ξ的概率分布为(3)为事件A ，则P (A )＝P (ξ＝1)＋P (ξ＝3)＋P (ξ＝5)＝2235.反思与感悟求随机变量的概率分布，首先要根据具体情况确定ξ的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出ξ取各个值的概率，即必须解决好两个问题，一是求出ξ的所有取值，二是求出ξ取每一个值时的概率． ★★例5. 超几何分布一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球． (1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布．解 (1)从袋中一次随机抽取3个球，基本事件总数n ＝C 36＝20，取出的3个球的颜色都不相同包含的基本事件的个数为C 13C 12C 11＝6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率P ＝620＝310.(2)由题意知X ＝0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 33C 36＝120，P (X ＝1)＝C 13C 23C 36＝920，P (X ＝2)＝C 23C 13C 36＝920，P (X ＝3)＝C 33C 36＝120，所以X 的概率分布为反思与感悟 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否具有明显的两部分组成，如“男生、女生”，“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型．(2)算概率：可以直接借助公式P (X ＝r )＝C r M C n －rN －MC n N求解，也可以利用排列组合及概率的知识求解，需注意借助公式求解时应理解参数M ，N ，n ，r 的含义． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来．★★例6. 概率分布的实际应用某项大型运动会即将举行，为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高(单位：cm)编成如下茎叶图：若身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有1人是“高个子”的概率是多少？(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的概率分布．解 (1)根据茎叶图，“高个子”有12人，“非高个子”有18人．用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以选中的“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．用事件A 表示“至少有1名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A 表示“没有‘高个子’被选中”，则P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 25＝1－310＝710.因此，至少有1人是“高个子”的概率是710.(2)依题意，ξ的可能取值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 38C 312＝1455，P (ξ＝1)＝C 14C 28C 312＝2855，P (ξ＝2)＝C 24C 18C 312＝1255，P (ξ＝3)＝C 34C 312＝155.因此，ξ的概率分布为反思与感悟 1.在求某些比较难计算的事件的概率时，我们可以先求随机变量取其他值时的概率，再根据概率之和为1的性质即可解决问题．2．在解决含有“至少”“至多”的问题时，利用对立事件进行求解不失为一种好方法． ★★例7. 二项分布某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用X 表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，求随机变量X 的概率分布．解可视一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，相当于做了5次独立重复试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫5，13，P (X ＝0)＝C 05⎝ ⎛⎭⎪⎫130⎝ ⎛⎭⎪⎫235＝32243. P (X ＝1)＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫131⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝80243. P (X ＝2)＝C 25⎝ ⎛⎭⎪⎫132⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝80243. P (X ＝3)＝C 35⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝40243. P (X ＝4)＝C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫134⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝10243. P (X ＝5)＝C 55⎝ ⎛⎭⎪⎫135＝1243. 所以概率分布为反思与感悟 p )中的试验次数n 与成功概率p .2．解决二项分布问题的两个关注点 (1)对于公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n 次． ★★例8. 离散型随机变量的均值公式与性质的简单应用例1 已知某一随机变量ξ的概率分布如下，且E (ξ)＝6.3.(1)求b；(2)求a；(3)若η＝2ξ－3，求E(η)．解(1)由随机变量的分布列的性质，得0．5＋0.1＋b＝1，解得：b＝0.4.(2)E(ξ)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.解得：a＝7.(3)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b得：E(η)＝E(2ε－3)＝2E(ε)－3＝2×6.3－3＝9.6.反思与感悟离散型随机变量均值的公式与性质的计算往往与分布列性质，结合起来考虑．★★★例9. 两点分布及二项分布的均值例2 某人投篮命中的概率为p＝0.4.(1)求投篮一次，命中次数X的均值；(2)求重复10次投篮时命中次数Y的均值．解(1)投篮1次，命中次数X的概率分布如下表：则E(X)＝0.4.(2)由题意知，重复10次投篮，命中次数Y服从二项分布即Y～B(10,0.4)，E(Y)＝np＝10×0.4＝4.反思与感悟 1.常见的两种分布的均值设p为一次试验中成功的概率，则(1)两点分布E(X)＝p；(2)二项分布E(X)＝np.熟练应用上述两公式可大大减少运算量，提高解题速度．2．两点分布与二项分布辨析(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．(2)不同点：①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．★★★例10. 两点分布与二项分布的方差例2 某厂一批产品的合格率是98%，(1)计算从中抽取一件产品为正品的数量的方差；(2)从中有放回地随机抽取10件产品，计算抽出的10件产品中正品数的方差及标准差．解 (1)用ξ表示抽得的正品数，则ξ＝0,1.ξ服从两点分布，且P (ξ＝0)＝0.02，P (ξ＝1)＝0.98，所以由V (ξ)＝p (1－p )＝0.98×(1－0.98)＝0.019 6.(2)用X 表示抽得的正品数，则X ～B (10,0.98)，所以V (X )＝10×0.98×0.02＝0.196，标准差V (X )≈0.44.反思与感悟解此类问题，首先要确定正确的离散型随机变量，然后确定它是否服从特殊分布，若它服从两点分布，则其方差为p (1－p )；若其服从二项分布，则其方差为np (1－p )(其中p 为成功概率)．课后总结四、当堂检测★1. 设随机变量ξ～B (2，p )，η～B (4，p )，若P (ξ≥1)＝59，则P (η≥1)＝________.答案6581解析 P (ξ≥1)＝1－P (ξ＝0)＝1－(1－p )2＝59.即(1－p )2＝49，解得p ＝13，故P (η≥1)＝1－P (η＝0)＝1－(1－p )4＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581.★2. 一次数学测验由25道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中成绩的均值与方差分别为________．答案 60,96解析设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X ，所得的分数(成绩)为Y ，则Y ＝4X .由题意知X ～B (25,0.6)，所以E (X )＝25×0.6＝15，V (X )＝25×0.6×0.4＝6，E (Y )＝E (4X )＝4E (X )＝60，V (Y )＝V (4X )＝42×V (X )＝16×6＝96，所以该学生在这次测验中成绩的均值与方差分别是60与96.★★3.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E (ξ)和V (ξ)．解 ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P (ξ＝0)＝2A 33＝13；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了．则P (ξ＝1)＝C 13C 33＝12；ξ＝3表示三位学生全坐对了，即对号入座，则P (ξ＝3)＝1A 33＝16.所以ξ的概率分布为E (ξ)＝0×13＋1×12＋3×16＝1；V (ξ)＝13(0－1)2＋12×(1－1)2＋16×(3－1)2＝1.五、课后作业★1.抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________. 答案 16解析根据题意，有P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)．抛掷两颗骰子，按所得的点数共36个基本事件，而X ＝2对应(1,1)，X ＝3对应(1,2)，(2,1)，X ＝4对应(1,3)，(3,1)，(2,2)，故P (X ＝2)＝136，P (X ＝3)＝236＝118，P (X ＝4)＝336＝112，所以P (X ≤4)＝136＋118＋112＝16.★2.一批产品分为一、二、三级，其中一级品是二级品的两倍，三级品为二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验，其级别为随机变量ξ，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝________.答案 47解析设二级品有k 个，∴一级品有2k 个，三级品有k 2个，总数为72k 个．∴概率分布为P ⎝⎛⎭⎪⎫13≤ξ≤53＝P (ξ＝1)＝47.★3. 一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，则P (X ＝2)＝________.答案512解析设10个球中有白球m 个，则C 210－m C 210＝1－79，解得：m ＝5. P (X ＝2)＝C 25C 15C 310＝512.★★4. 袋中装有5只红球和4只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得3分，取到1只黑球得1分，设得分为随机变量ξ，则ξ≥8的概率P (ξ≥8)＝________. 答案 56解析由题意知P (ξ≥8)＝1－P (ξ＝6)－P (ξ＝4)＝1－C 15C 34C 49－C 44C 49＝56.★★5.设ξ的概率分布为又设η＝2ξ＋5，则E (η答案323解析 E (ξ)＝1×16＋2×16＋3×13＋4×13＝176，E (η)＝E (2ξ＋5)＝2E (ξ)＋5＝2×176＋5＝323.★★6. 某次考试中，第一大题由12个填空题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．答案 48解析设小王选对的个数为X ，得分为Y ＝5X ，则X ～B (12,0.8)，E (X )＝np ＝12×0.8＝9.6，E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9.6＝48.★★★7. 一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)． (1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的概率分布和数学期望．解 (1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A ，则P (A )＝C 12C 35＋C 22C 25C 47＝67. 所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为67.(2)随机变量X 的所有可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 33C 47＝135，P (X ＝2)＝C 34C 47＝435，P (X ＝3)＝C 35C 47＝27，P (X ＝4)＝C 36C 47＝47.所以随机变量X 的概率分布是随机变量X 的数学期望E (X )＝1×35＋2×35＋3×7＋4×7＝5.★★★8. 为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的概率分布和均值．解 (1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0,1,2,3,4. P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415， P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215， P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115.随机变量X 的概率分布为因此，E (X )＝0×13＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3.。

2022年高考数学理科第一轮复习资料：11-1

第11章第1讲时间：60分钟满分：100分一、选择题(8×5＝40分)1．(2009·广东广州1月)下列说法：①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；②做n 次随机试验，事件A 发生m 次，则事件A 发生的频率m n就是事件的概率； ③百分率是频率，但不是概率；④频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；⑤频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的是 ( )A ．①②③④B ．①④⑤C ．①②③④⑤D ．②③答案：B解析：由概率的相关定义知①④⑤正确．2．在一个口袋中装有5个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，则摸出白球的个数多于黑球个数的概率为 ( )A.38B.37C.27D.928答案：C解析：白球个数多于黑球个数，则白球取3个或2个，故概率为C 33＋C 23C 15C 38＝27，故选C. 3．福娃是2008年北京第二十九届奥运会的吉祥物，每组福娃都由“贝贝”“晶晶”“欢欢”“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成，甲、乙两人随机地从一组福娃中选取一个留作纪念，按甲先选乙再选的顺序不放回的选择，则在他俩选择的福娃中“贝贝”和“晶晶”一只也没有被选中的概率是 ( )A.110B.35C.310D.25答案：C解析：依题意知，甲、乙两人谁先选，选哪一只都是等可能的，甲先选乙后选的总方法有5×4种，而都没有选到“贝贝”和“晶晶”的方法有3×2＝6种，所以所求概率为65×4＝310. 4．(2009·河南实验中学3月)有6个座位连成一排，三人就座，恰有两人空位相邻的概率是 ( )A.15B.25C.35D.45答案：C解析：有6个座位连成一排，三人就座，共有A 36种坐法，有三个空位，在三个人的4个空隙中选两个安排1个空位和两个相邻空位，则恰有两个空位相邻的坐法有A 33A 24，故所求概率是35，故选C. 5．六个运动员站在六条跑道上准备参加比赛，其中甲不站在一、二跑道，乙站在五或六跑道的概率为 ( )A.15B.110C.115D.31240答案：A解析：这是一个等可能概率问题，乙有C 12种选择，甲有C 13种选择，其余4人有A 44种选择，而6人没有任何限制的选择有A 66种，所以概率为C 12C 13A 44A 66＝15.故选A. 6．(2009·福建，8)已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )A ．035B ．0.25C ．0.20D ．0.15答案：B解析：∵20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共有191、271、932、812、393五组，∴其概率为520＝0.25.故选B. 7．(2009·安徽，10)考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )A.175B.275C.375D.475答案：D解析：从6个点中任取两点连成直线，共有C 26＝15条，甲、乙均从中任选一条共有C 115C 115＝225种．这15条直线中相互平行的有6对，甲、乙两人选一对，各选一条有C 16×C 12＝12种，∴P ＝12225＝475，故选D. 8．(2010·四川乐山模拟)已知一组抛物线y ＝12ax 2＋bx ＋1，其中a 为2,4,6,8中任取的一个数，b 为1,3,5,7中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线x ＝1交点处的切线相互平行的概率是 ( )A.112B.760C.625D.516答案：B解析：y ′＝ax ＋b ，把x ＝1代入，得y ′|x ＝1＝a ＋b .a ＋b ＝5的有1种；a ＋b ＝7的有C 23＝3种； a ＋b ＝9的有C 24＝6种； a ＋b ＝11的有C 23＝3种；a ＋b ＝13的有C 23＝1种；共有C 216＝120种．∴P ＝1＋3＋6＋3＋1120＝760. 二、填空题(4×5＝20分)9．随意安排甲、乙、丙3人在三天节日里值班，每人值班一天，则甲排在乙之前的概率为______．答案：12解析：随意安排甲、乙、丙3人值班共有A 33种排法，其中甲排在乙之前有A 332种排法， ∴概率P ＝A 332A 33＝12. 10．8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，则这两个强队被分在一个组内的概率是________．答案：37解析：解法一：2个强队分在同一组，包括互斥的两种情况：2个强队都分在A 组和都分在B 组.2个强队都分在A 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面包括2个强队”这一事件，其概率为C 26C 48；2个强队都分在B 组，可看成“从8个队中抽取4个队，里面没有强队”这一事件，其概率为C 46C 48.因此，2个强队分在同一个组的概率为P ＝C 26C 48＋C 46C 48＝37. 解法二：“2个强队分在同一个组”这一事件的对立事件“2个组中各有一个强队”，而两个组中各有一个强队，可看成“从8个队中抽取4个队，里面恰有一个强队”这一事件，其概率为C 12C 36C 48.因此，2个强队分在同一个组的概率P ＝1－C 12C 36C 48＝1－47＝37. 11．(2009·安徽，13)从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．答案：34解析：能构成三角形的可能情况：2,3,4或2,4,5或3,4,5.∴P ＝3C 34＝34. 12．(2009·上海春考，10)一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ”的概率为________．(结果用数值表示)答案：5266 解析：设事件A ：屏幕上出现单词“monkey ”，根据古典概率公式：P (A )＝m n ＝5·2642610＝5266. 三、解答题(4×10＝40分)13．(2009·宁夏、银川一模)旅游公司为3个旅游团提供4条旅游路线，每个旅游团任选其中1条．(1)求3个旅游团选择3条不同路线的概率；(2)求恰有2条线路没有被选择的概率；(3)甲线路没有被选择的概率．解析：(1)3个旅游团选择3条不同路线的概率为P 1＝A 3443＝38. (2)恰有2条路线没有被选择的概率为P 2＝C 24·C 23·A 2243＝916. (3)甲路线没有被选择的概率为P 3＝3343＝2764. 14．9个国家乒乓球队中有3个亚洲国家队，抽签分成甲、乙、丙三组(每组3队)进行预赛，试求：(1)三个组各有一个亚洲队的概率；(2)至少有两个亚洲队分在同一组的概率．解析：9个分成甲、乙、丙三组有C 39C 36C 33种等可能的结果．(1)三个亚洲国家队分给甲、乙、丙三组，每组一个队有A 33种分法，其余6个队平分给甲、乙、丙三组有C 26C 24C 22种分法．故三个组各有一个亚洲国家队的结果有A 33·C 26·C 24·C 22种，所求概率P (A )＝A 33·C 26·C 24·C 22C 39·C 36·C 33＝928. 答：三个组各有一个亚洲国家队的概率是928. (2)∵事件“至少有两个亚洲国家队分在同一组”是事件“三个组各有一个亚洲国家队”的对立事件，∴所求概率为1－928＝1928. 答：至少有两个亚洲国家队分在同一组的概率是1928. 15．袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球，(1)从袋中任意取出两个球，求两球颜色不同的概率；(2)从袋中任意取出一个球，记住颜色后放回袋中，再任意取出一个球，求两次取出的球颜色不同的概率．解析：(1)记“从袋中任意取出两个球，两球颜色不同”为事件A ，取出两个球共有方法C 25＝10种，其中“两球一白一黑”有C 12·C 13＝6种．∴P (A )＝C 12C 13C 25＝35. (2)记“取出一球，放回后再取出一个球，两次取出的球颜色不同”为事件B ，取出一球为白球的概率为25，取出一球为黑球的概率为35，∴P (B )＝C 12×25×35＝1225. 16．(2009·四川，18)为振兴旅游业，四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡． (1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．命题意图：本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用概率知识解决实际问题的能力．解析：(1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡，；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，P (A )＝C 16C 130C 236＝27. 所以采访该团2人，恰有1人持银卡的概率是27. (2)设事件B 为“采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等”，事件A 1为“采访该团2人中，0人持金卡，0人持银卡”，事件A 2为“采访该团2人中，1人持金卡，1人持银卡”．P (B )＝P (A 1)＋P (A 2)＝C 221C 236＋C 19C 16C 236＝13＋335＝44105. 所以采访该团2人中，持金卡人数与持银卡人数相等的概率是44105.。

高考理科数学一轮复习合情推理与演绎推理专题练习题

课时作业39 合情推理与演绎推理一、选择题1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( A )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 1＝1，S n ＝n 2a n ，试归纳猜想出S n 的表达式为( A ) A ．S n ＝2nn ＋1B ．S n ＝2n －1n ＋1C ．S n ＝2n ＋1n ＋1D ．S n ＝2n n ＋2解析：S n ＝n 2a n ＝n 2(S n －S n －1)，∴S n ＝n 2n 2－1S n －1，S 1＝a 1＝1，则S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85.∴猜想得S n ＝2nn ＋1.故选A. 3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( C )A ．n (n ＋1)B ．n n －12C ．n n ＋12D ．n (n －1)解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( B )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m ＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(2019·山西孝义调研)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y＋2z ＋3＝0的距离为( B )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6．给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝( A )A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)解析：由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．7．(2019·惠州市调研考试)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是( B ) A ．33 B ．34 C ．36D ．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.二、填空题8．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为f (2n )≥n ＋22(n ∈N *)．解析：本题考查归纳推理．由归纳推理可得f (2n)≥n ＋22(n ∈N *)．9．如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是33.解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n 次操作后，三角形共有4＋3(n －1)＝3n ＋1个．当3n ＋1＝100时，解得n ＝33.10．在正项等差数列{a n }中有a 41＋a 42＋…＋a 6020＝a 1＋a 2＋…＋a 100100成立，则在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.解析：结合等差数列和等比数列的性质，类比题中的结论可得，在正项等比数列{b n }中，类似的结论为20b 41b 42b 43…b 60＝100b 1b 2b 3…b 100.11．(2019·安徽界首模拟)埃及数学中有一个独特现象：除23用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单分数和的形式．例如25＝13＋115可以这样理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，如果每人12，不够，每人13，余13，再将这13分成5份，每人得115，这样每人分得13＋115.形如2n (n ＝5,7,9,11，…)的分数的分解：25＝13＋115，27＝14＋128，29＝15＋145……按此规律，211＝16＋166；2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12(n ＝5,7,9,11，…)．解析：27＝14＋128表示两个面包分给7个人，每人13，不够，每人14，余14，再将这14分成7份，每人得128，其中4＝7＋12，28＝7×7＋12；29＝15＋145表示两个面包分给9个人，每人14，不够，每人15，余15，再将这15分成9份，每人得145，其中5＝9＋12，45＝9×9＋12，按此规律，211表示两个面包分给11个人，每人15，不够，每人16，余16，再将这16分成11份，每人得166，所以211＝16＋166，其中6＝11＋12，66＝11×11＋12.由以上规律可知，2n ＝1n ＋12＋1nn ＋12.12．(2019·潍坊市统一考试)“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、……、癸酉，甲戌、乙亥、丙子、……、癸未，甲申、乙酉、丙戌、…、癸巳，……、癸亥，60个为一周，周而复始，循环记录.2014年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2020年是“干支纪年法”中的( C )A ．己亥年B ．戊戌年C ．庚子年D ．辛丑年解析：由题意知2014年是甲午年，则2015到2020年分别为乙未年、丙申年、丁酉年、戊戌年、己亥年、庚子年．13．(2019·福建宁德一模)我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有( C )A ．58B ．59C ．60D ．61解析：小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33,25,20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8,6,5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33＋25＋20－(8＋6＋5)＋1＝60.故选C.14．(2019·安徽质量检测)某参观团根据下列约束条件从A，B，C，D，E五个镇选择参观地点：①若去A镇，也必须去B镇；②D，E两镇至少去一镇；③B，C两镇只去一镇；④C，D两镇都去或者都不去；⑤若去E镇，则A，D两镇也必须去．则该参观团至多去了( C )A．B，D两镇B．A，B两镇C．C，D两镇D．A，C两镇解析：若去A镇，根据①可知一定去B镇，根据③可知不去C镇，根据④可知不去D 镇，根据②可知去E镇，与⑤矛盾，故不能去A镇；若不去A镇，根据⑤可知也不去E镇，再根据②知去D镇，再根据④知去C镇，再根据③可知不去B镇，再检验每个条件都成立，所以该参观团至多去了C，D两镇．故选C.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·益阳、湘潭调研考试)《数书九章》中给出了“已知三角形三边长求三角形面积的求法”，填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代人具有很高的数学水平，其求法是“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积”．若把这段文字写成公式，即S＝14[c2a2－c2＋a2－b222]，现有周长为22＋5的△ABC满足sin A sin B sin C＝(2－1)5(2＋1)，用上面给出的公式求得△ABC的面积为( B )A.32B.34C.52D.54解析：由正弦定理得sin A sin B sin C＝a b c＝(2－1)5(2＋1)，可设三角形的三边分别为a＝(2－1)x，b＝5x，c＝(2＋1)x，由题意得(2－1)x＋5x＋(2＋1)x＝(22＋5)x＝22＋5，则x＝1，故由三角形的面积公式可得△ABC的面积S＝1 4[2＋122－12－3＋22＋3－22－522]＝34，故选B.16．(2019·重庆市质量调研)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为12.解析：解法1：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x，y，z ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥1，y －z ≥1，2z －x ≥1，x ，y ，z ∈N *，则该学生的素质拓展课课表中的课时数为x ＋y ＋z .设x ＋y ＋z ＝p (x －y )＋q (y －z )＋r (2z －x )＝(p －r )x ＋(－p ＋q )y ＋(－q ＋2r )z ，比较等式两边的系数，得⎩⎪⎨⎪⎧p －r ＝1，－p ＋q ＝1，－q ＋2r ＝1，解得p ＝4，q ＝5，r ＝3，则x ＋y ＋z ＝4(x －y )＋5(y－z )＋3(2z －x )≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.解法2：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为x ，y ，z ，则2z >x >y >z .由题意，知z 的最小值为3，由此易知y 的最小值为4，x 的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数x ＋y ＋z 的最小值为12.。

2023年高考数学一轮复习新课标版理科作业题组层级快练1-10

题组层级快练(一)1．下列各组集合中表示同一集合的是( ) A ．M ＝{(3，2)}，N ＝{(2，3)} B ．M ＝{2，3}，N ＝{3，2}C ．M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝1}，N ＝{y |x ＋y ＝1}D ．M ＝{2，3}，N ＝{(2，3)} 答案 B2．集合M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}的子集个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ∵M ＝{x ∈N |x (x ＋2)≤0}＝{x ∈N |－2≤x ≤0}＝{0}，∴M 的子集个数为21＝2.故选B.3．(2021·全国高考Ⅱ卷)设集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，3，6}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{3} B ．{1，6} C ．{5，6} D ．{1，3}答案 B解析由题设可得∁U B ＝{1，5，6}，故A ∩(∁U B )＝{1，6}，故选B.4．(2022·江苏海安市摸底)若A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x 2∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ＋12∈Z ，则A ∪B 等于( ) A ．B B ．A C ．∅ D ．Z答案 D解析 A ＝{x |x ＝2n ，n ∈Z }为偶数集，B ＝{y |y ＝2n －1，n ∈Z }为奇数集，∴A ∪B ＝Z . 5．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3答案 B解析 ∵A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ， ∴m ＝3或m ＝m . ∴m ＝3或m ＝0或m ＝1.当m＝1时，与集合中元素的互异性矛盾，故选B.6．(2022·石家庄二中模拟)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝() A．[0，1] B．(0，1]C．[0，1) D．(－∞，1]答案 A解析集合M＝{0，1}，集合N＝{x|0<x≤1}，所以M∪N＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]．7．(2022·湖北八校联考)已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≤4，x∈Z}，则A∩B＝() A．(0，2) B．[0，2]C．{0，2} D．{0，1，2}答案 D解析由已知得A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{0，1，…，16}，所以A∩B＝{0，1，2}．8．(2022·广东中山一中模拟)已知i为虚数单位，集合P＝{－1，1}，Q＝{i，i2}，若P∩Q ＝{z i}，则复数z等于()A．1 B．－1C．i D．－i答案 C解析因为Q＝{i，i2}＝{i，－1}，P＝{－1，1}，所以P∩Q＝{－1}，所以z i＝－1，所以z＝i，故选C.9．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为() A．0 B．1C．2 D．4答案 D10．设集合M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}，N＝{x|y＝log2(x－1)}，则M∩N＝() A．{x|1<x≤5} B．{x|－1<x≤0}C．{x|－2≤x≤0} D．{x|1<x≤2}答案 D解析∵M＝{y|y＝2sin x，x∈[－5，5]}＝{y|－2≤y≤2}，N＝{x|y＝log2(x－1)}＝{x|x>1}，∴M∩N＝{y|－2≤y≤2}∩{x|x>1}＝{x|1<x≤2}．11．(2022·清华附中诊断性测试)已知集合A＝{x|log2(x－2)>0}，B＝{y|y＝x2－4x＋5，x∈A}，则A∪B＝()A．[3，＋∞) B．[2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)答案 C解析 ∵log 2(x －2)>0，∴x －2>1，即x >3，∴A ＝(3，＋∞)，此时y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1>2， ∴B ＝(2，＋∞)，∴A ∪B ＝(2，＋∞)．故选C.12．(2022·山东聊城模拟)已知集合M ，N ，P 为全集U 的子集，且满足M ⊆P ⊆N ，则下列结论中不正确的是( ) A ．∁U N ⊆∁U P B ．∁U P ⊆∁U M C ．(∁U P )∩M ＝∅ D ．(∁U M )∩N ＝∅答案 D解析根据已知条件画出Venn 图结合各选项知，只有D 不正确．13．(2022·西安市经开一中模拟)集合A ＝{x |x <－1或x ≥3}，B ＝{x |ax ＋1≤0}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎭⎫－13，1 B.⎣⎡⎦⎤－13，1 C ．(－∞，－1)∪[0，＋∞) D.⎣⎡⎭⎫－13，0∪(0，1) 答案 A 解析 ∵B ⊆A ，∴①当B ＝∅时，即ax ＋1≤0无解，此时a ＝0，满足题意． ②当B ≠∅时，即ax ＋1≤0有解，当a >0时，可得x ≤－1a ，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－1a <－1，解得0<a <1.当a <0时，可得x ≥－1a，要使B ⊆A ，则需要⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－1a ≥3，解得－13≤a <0，综上，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－13，1.故选A. 14．集合A ＝{0，|x |}，B ＝{1，0，－1}，若A ⊆B ，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，∁B A ＝________．答案 {0，1} {1，0，－1} {－1}解析因为A ⊆B ，所以|x |∈B ，又|x |≥0，结合集合中元素的互异性，知|x |＝1，因此A ＝{0，1}，则A ∩B ＝{0，1}，A ∪B ＝{1，0，－1}，∁B A ＝{－1}．15．设全集U ＝A ∪B ＝{x ∈N *|lg x <1}，若A ∩(∁U B )＝{m |m ＝2n ＋1，n ＝0，1，2，3，4}，则集合B ＝________．答案{2，4，6，8}解析U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，A∩(∁U B)＝{1，3，5，7，9}，∴B＝{2，4，6，8}．16．(2022·安徽省示范高中测试)已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．答案[1，＋∞)解析集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.17．已知集合A＝{x|1<x<k}，集合B＝{y|y＝2x－5，x∈A}，若A∩B＝{x|1<x<2}，则实数k 的值为()A．5 B．4.5C．2 D．3.5答案 D解析B＝(－3，2k－5)，由A∩B＝{x|1<x<2}，知k＝2或2k－5＝2，因为k＝2时，2k－5＝－1，A∩B＝∅，不合题意，所以k＝3.5.故选D.18．已知M，N为R的两个不等的非空子集，若M∩(∁R N)＝∅，则下列结论不正确的是() A．∃x0∈N，使得x0∈M B．∃x0∈N，使得x0∉MC．∀x∈M，都有x∈N D．∀x∈N，都有x∈M答案 D解析对于D，∵M∩(∁R N)＝∅，∴M是N的真子集或M，N相等，又M，N不相等且非空，∴M是N的非空真子集．∴不能保证∀x∈N，都有x∈M.【】题组层级快练(二)1．已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0”，则q是p的( )A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定答案 B解析命题p ：“正数a 的平方不等于0”可写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题． 2．有下列四个命题：①“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ②“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的逆否命题； ③“若x ≤－3，则x 2＋x －6＞0”的否命题； ④“若a b 是无理数，则ab 是无理数”的逆命题．其中真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B3．(2022·河南杞县中学月考)命题“若x 2＋3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题及其真假性为( )A ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为真命题B ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为真命题C ．“若x ≠4，则x 2＋3x －4≠0”为假命题D ．“若x ＝4，则x 2＋3x －4＝0”为假命题答案 C解析根据逆否命题的定义可以排除A 、D 两项，因为x 2＋3x －4＝0，所以x ＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．命题“若m >－1，则m >－4”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，假命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题“若m >－4，则m >－1”为假命题，故否命题也为假命题．故选B. 5．下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x >y ，则x >|y |”的逆命题 B ．命题“若x 2≤1，则x ≤1”的否命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2－x ＝0”的否命题 D ．命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆否命题答案 A解析 A 中原命题的逆命题是“若x >|y |，则x >y ”，由x >|y |≥y 可知其是真命题；B 中原命题的否命题是“若x 2>1，则x >1”，是假命题，因为x 2>1⇔x >1或x <－1；C 中原命题的否命题是“若x ≠1，则x 2－x ≠0”，是假命题；D 中原命题的逆否命题是“若1a ≥1b ，则a ≤b ”是假命题，举例：a ＝1，b ＝－1.故选A.6．(2020·天津)设a ∈R ，则“a >1”是“a 2>a ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析求解二次不等式a 2>a 可得a >1或a <0，据此可知“a >1”是“a 2>a ”的充分不必要条件．故选A. 7．(2022·苏锡常镇一模)“0<x <π4”是“0<sin x <π4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A8．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 (m －1)(a －1)>0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，而log a m >0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，所以条件具有必要性，但不具有充分性，比如m ＝0，a ＝0时，不能得出log a m >0.故选B. 9．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．必要条件 B ．充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析设p ：攻破楼兰，q ：返回家乡，由已知綈p ⇒綈q ，得q ⇒p ，故p 是q 的必要条件．10．(2022·衡水中学调研卷)如果x ，y 是实数，那么“x ≠y ”是“cos x ≠cos y ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 “x ≠y ”不能推出“cos x ≠cos y ”，但“cos x ≠cos y ”一定有“x ≠y ”． 11．设a ，b ∈R ，则“a ＞b ”是“a |a |＞b |b |”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 C解析方法一：当a >b >0时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当a >0>b 时，a >b ⇔a |a |>b |b |；当b <a <0时，a >b ⇔a |a |>b |b |，∴选C.方法二：构造函数f (x )＝x |x |，则f (x )在定义域R 上为奇函数．因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2，x ＜0，所以函数f (x )在R 上单调递增，所以a ＞b ⇔f (a )＞f (b )⇔a |a |＞b |b |.选C.12．(2021·全国甲卷)等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .设甲：q >0，乙：{S n }是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案 B解析当a 1<0，q >1时，a n ＝a 1q n －1<0，此时数列{S n }递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{S n }递增时，有S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝a 1q n >0，若a 1>0，则q n >0(n ∈N *)，即q >0；若a 1<0，则q n <0(n ∈N *)，不存在．所以甲是乙的必要条件．13．(2022·西安一模)设命题p ：“x 2 ＋x －6＜0”，命题q ：“|x |＜1”，那么p 是q 成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 p ：－3＜x ＜2；q ：－1＜x ＜1，易知选B. 14．(1)“x >y >0”是“1x <1y ”的________条件．(2)“tan θ≠1”是“θ≠π4”的________条件．(3)在△ABC 中，“A ＝B ”是“tan A ＝tan B ”的________条件．答案 (1)充分不必要 (2)充分不必要 (3)充要解析 (1)1x <1y⇒xy ·(y －x )<0，即x >y >0或y <x <0或x <0<y ，则“x ＞y ＞0”是“1x ＜1y”的充分不必要条件．(2)题目即判断θ＝π4是tan θ＝1的什么条件，显然是充分不必要条件．(3)△ABC 中，若A ＝B ，则A ，B 只能为锐角，∴tan A ＝tan B ，则充分性成立；若tan A ＝tan B ，则只能tan A ＝tan B ＞0，∴A ，B 为锐角，∴A ＝B ，必要性成立．15．(1)(2022·菏泽模拟)命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是________． (2)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)存在一个无理数，它的平方不是有理数 (2)(3，＋∞)解析 (1)全称命题的否定为特称命题，可得命题“所有无理数的平方都是有理数”的否定是：存在一个无理数，它的平方不是有理数．(2)2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．∵当x >1时，f (x )>3，∴a >3.16．(2021·贵阳模拟)下列不等式： ①x <1；②0<x <1；③－1<x <0；④－1<x <1.其中可以作为“x 2<1”的一个充分条件的所有序号为________．答案 ②③④17．(2022·潍坊一中月考)若a ，b 都是实数，试从①ab ＝0；②a ＋b ＝0；③a (a 2＋b 2)＝0；④ab ＞0中选出适合的条件，用序号填空． (1)“a ，b 都为0”的必要条件是________； (2)“a ，b 都不为0”的充分条件是________； (3)“a ，b 至少有一个为0”的充要条件是________．答案 (1)①②③ (2)④ (3)①解析 ①ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0，即a ，b 至少有一个为0；②a ＋b ＝0⇔a ，b 互为相反数，则a ，b 可能均为0，也可能为一正一负； ③a (a 2＋b 2)＝0⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0； ④ab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b <0，则a ，b 都不为0.18．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．答案 ⎣⎡⎦⎤0，12 解析2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1，由题意得⎝⎛⎭⎫12，1[a ，a ＋1]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，且等号不能同时取到，解得0≤a ≤12.【】题组层级快练(三)1．(2022·湖北宜昌一中月考)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，log 2x 0＝0 B ．∃x 0∈R ，cos x 0＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0 D ．∀x ∈R ，2x >0答案 C解析因为log 21＝0，cos 0＝1，所以A 、B 项均为真命题，因为02＝0，所以C 项为假命题，因为2x >0，所以D 项为真命题．2．命题“所有奇数的立方都是奇数”的否定是( ) A ．所有奇数的立方都不是奇数 B ．不存在一个奇数，它的立方是偶数 C ．存在一个奇数，它的立方不是奇数 D ．不存在一个奇数，它的立方是奇数答案 C解析全称命题的否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”． 3．命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0<0 B ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x≤0 C ．∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x <0 D ．∃x 0∈R ，⎝⎛⎭⎫13x 0≤0答案 D解析全称命题“∀x ∈R ，⎝⎛⎭⎫13x>0”的否定是把量词“∀”改为“∃”，并把结论进行否定，即把“>”改为“≤”．故选D.4．命题“∃x0∈∁R Q，x03∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁R Q，x03∈Q B．∃x0∈∁R Q，x03∉QC．∀x∉∁R Q，x3∈Q D．∀x∈∁R Q，x3∉Q答案 D解析该特称命题的否定为“∀x∈∁R Q，x3∉Q”．5．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是()A．①③B．①④C．②③D．②④答案 C解析若x>y，则－x<－y成立，即命题p为真命题，若x>y，则x2>y2不一定成立，即命题q为假命题，则綈p是假命题，綈q为真命题，故p∨q与p∧(綈q)是真命题，故选C. 6．(2022·河北保定模拟)命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是()A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0 B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0 D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得命题“∀x∈R，f(x)·g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.7．若命题p：x∈A∩B，则綈p：()A．x∈A且x∉B B．x∉A或x∉BC．x∉A且x∉B D．x∈A∪B答案 B8．(2022·潍坊一模)已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 A解析因为綈p为真，所以p为假，那么p∧q为假，所以“綈p为真”是“p∧q为假”的充分条件；反过来，若“p∧q为假”，则“p真q假”或“p假q真”或“p假q假”，所以由“p∧q为假”不能推出“綈p为真”．综上可知，“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．9．(2022·江南十校联考)已知命题p：复数z满足(1－i)z＝1＋i，则|z|＝1，命题q：复数z＝1－2i 在复平面内对应的点位于第二象限．则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．綈p D ．q答案 B解析由(1－i)z ＝1＋i ，得z ＝i ，从而|z |＝1，故命题p 为真命题；复数z ＝1－2i 在复平面内对应的点位于第四象限，故命题q 为假命题．故p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，綈p 为假命题．故选B.10．(2022·湖南邵阳高三大联考)若命题“∃x 0∈R ，x 02＋2mx 0＋m ＋2<0”为假命题，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1)∪[2，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C ．[－1，2] D ．(－1，2)答案 C解析命题的否定是“∀x ∈R ，x 2＋2mx ＋m ＋2≥0”，该命题为真命题，所以Δ＝4m 2－4(m ＋2)≤0，解得－1≤m ≤2.故选C.11．(2022·山东聊城期末)下列命题是真命题的是( ) A ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数 B ．∃α0，β0∈R ，使cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0C ．向量a ＝(2，1)，b ＝(－1，0)，则a 在b 的方向上的投影为2D ．“|x |≤1”是“x ≤1”的既不充分又不必要条件答案 B解析当φ＝π2时，f (x )＝cos 2x ，为偶函数，故A 为假命题；令α0＝π4，β0＝－π2，则cos(α0＋β0)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝22，cos α0＋cos β0＝22＋0＝22，cos(α0＋β0)＝cos α0＋cos β0成立，故B 为真命题；a 在b 的方向上的投影为a ·b |b |＝－2＋01＝－2，故C 为假命题；由|x |≤1，可得－1≤x ≤1，故充分性成立，若x ≤1，|x |≤1不一定成立，故“|x |≤1”是“x ≤1”的充分不必要条件，D 为假命题．12．(2019·课标全国Ⅲ，文)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题： ①p ∨q ②綈p ∨q ③p ∧綈q ④綈p ∧綈q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．①②C．②③D．③④答案 A解析方法一：作出不等式组表示的平面区域D，如图中阴影部分所示，直线2x＋y＝9和直线2x＋y＝12均穿过了平面区域D，不等式2x＋y≥9表示的区域为直线2x＋y＝9及其右上方的区域，所以命题p为真命题；不等式2x＋y≤12表示的区域为直线2x＋y＝12及其左下方的区域，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.方法二：在不等式组表示的平面区域D内取点(7，0)，点(7，0)的坐标满足不等式2x＋y≥9，所以命题p为真命题；点(7，0)的坐标不满足不等式2x＋y≤12，所以命题q为假命题．所以命题p∨q和p∧綈q为真命题．故选A.13．已知命题p：∃x0∈R，mx02＋1≤0；命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0.若p∨q为假命题，则实数m的取值范围为()A．{m|m≥2} B．{m|m≤－2}C．{m|m≤－2或m≥2} D．{m|－2≤m≤2}答案 A解析由p：∃x0∈R，mx02＋1≤0，可得m<0；由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2.因为p∨q为假命题，所以p与q都是假命题，若p是假命题，则有m≥0；若q是假命题，则有m≤－2或m≥2，故实数m的取值范围为{m|m≥2}．故选A.14．已知命题p：1x2－x－2>0，则綈p对应的x的集合为________．答案{x|－1≤x≤2}解析p：1x2－x－2>0⇔x>2或x<－1，∴綈p：－1≤x≤2.15．(1)已知命题“∀x∈R，sin x－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．答案(－∞，－1]解析由题意，对∀x∈R，a≤sin x成立．由于对∀x∈R，－1≤sin x≤1，所以a≤－1. (2)若命题“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，则实数a的取值范围为________．答案(－1，3)解析由“∃x0∈R，x02＋(a－1)x0＋1≤0”为假命题，得“∀x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”为真命题，所以Δ＝(a－1)2－4<0，解得－1<a<3，所以a的取值范围为(－1，3)．16．(2014·课标全国Ⅰ)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C解析画出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，当目标函数z ＝x ＋2y 经过可行域内的点A (2，－1)时，z 取得最小值0，故x ＋2y ≥0，因此p 1，p 2是真命题，选C.17．若f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a >0)，∀x 1∈[－1，2]，∃x 0∈[－1，2]，使g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12 解析由于函数g (x )在定义域[－1，2]内是任意取值的，且必存在x 0∈[－1，2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，因此问题等价于函数g (x )的值域是函数f (x )值域的子集．在[－1，2]上，函数f (x )的值域是[－1，3]，函数g (x )的值域是[2－a ，2＋2a ]，则有2－a ≥－1且2＋2a ≤3，即a ≤12.又a >0，故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12. 【】题组层级快练(四)1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，Q ＝{y |0≤y ≤2}，则图中能表示P 到Q 的函数的是( )答案 D解析 A 、B 中都有一个x 对应2个y 的情形，C 中1<x ≤2时，没有y 与之对应． 2．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x ＋2，x ∈R 与g (x )＝x ＋2，x ∈Z B ．f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (u )＝1＋u1－u与f (v )＝1＋v1－vD ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1) 答案 C3．函数y ＝|x |（x －1）的定义域为( ) A ．{x |x ≥1} B ．{x |x ≥1或x ＝0} C ．{x |x ≥0} D ．{x |x ＝0}答案 B解析由题意得|x |(x －1)≥0，∴x －1≥0或|x |＝0. ∴x ≥1或x ＝0.4．已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)等于( ) A ．lg 2 B ．lg 32 C ．lg132D.15lg 2 答案 D 解析令x 5＝t ，则x ＝t 15(t >0)，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ．∴f (2)＝15lg 2.故选D.5．(2021·皖南八校联考)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx答案 D解析 y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx 的定义域为{x |x >0}，y ＝x e x 的定义域为R ，y ＝sin xx的定义域为{x |x ≠0}，故选D.6．(2022·德州一中模拟)已知函数f (x )＝x [x ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.2]＝－2，[－3]＝－3，[2.1]＝2，则f (－2)的值为( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－ 2 D. 2答案 B解析 ∵[－2]＝－2，∴f (－2)＝－2×(－2)＝2 2.故选B.7．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (2x －1)＝2x 2，若f (m )＝2，则m ＝( ) A ．1 B ．0 C ．1或－3 D ．3或－1 答案 C解析本题考查函数的概念与解析式的求解．令2x －1＝t ，t ∈R ，可得x ＝12(t ＋1)，故f (t )＝2×14×(t ＋1)2＝12(t ＋1)2，故f (m )＝12(m ＋1)2＝2，故m ＝1或m ＝－3.8．(2022·福州模拟)已知函数f (x )的定义域为(－1，1)，则函数g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x 2＋f (x －1)的定义域为( ) A ．(－2，0) B ．(－2，2) C ．(0，2) D.⎝⎛⎭⎫－12，0 答案 C9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的大致图象是( )答案 C解析函数f (x )＝|x |sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，故函数f (x )＝|x |sgn x 的图象为直线y ＝x .故选C.10．(2022·江南十校模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －3，x ≤2，log 2（x －1），x >2，则不等式f (x )>2的解集是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1)∪(5，＋∞)C ．(5，＋∞)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)答案 B解析当x ≤2时，f (x )＝x 2－4x －3>2，即x 2－4x －5>0，解得x <－1或x >5，故x <－1；当x >2时，f (x )＝log 2(x －1)>2，即log 2(x －1)>log 24，解得x >5，故x >5. 综上所述，不等式f (x )>2的解集是(－∞，－1)∪(5，＋∞)．11．(2022·烟台调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，则关于函数f (x )的说法不正确的是( )A ．定义域为RB ．值域为(－3，＋∞)C ．在R 上为增函数D ．只有一个零点答案 B解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －3，x <1，ln x ，x ≥1，∴f (x )的定义域为R ，值域为(－3，e －3)∪[0，＋∞)，且e －3<0，∴f (x )在R 上为增函数，且f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．故A 、C 、D 正确，B 不正确．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x <1，2x －1，x ≥1，若f (f (－1))＝3，则b ＝________．答案 3解析 ∵f (－1)＝b －1，∴f (b －1)＝3，当b －1≥1即b ≥2时，2b －1－1＝3，解得b ＝3，当b －1<1即b <2时，b －1＋b ＝3，解得b ＝2(舍)，综上有b ＝3. 13．已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2，则f (3)＝________．答案 11解析 ∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ∈R )，∴f (3)＝32＋2＝11. 14．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))＞g (f (x ))的x 的值是________．答案 1 215．已知f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝________，f (x )＝________．答案－1 14x 2－32x ＋54解析令2x ＋1＝3，则x ＝1，∴f (3)＝12－2×1＝－1.令t ＝2x ＋1，∴x ＝t －12，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t －122－2·t －12＝14(t 2－2t ＋1)－t ＋1＝14t 2－32t ＋54，∴f (x )＝14x 2－32x ＋54. 16．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，求c 和A 的值．答案 c ＝60，A ＝16解析因为组装第A 件产品用时15分钟，所以c A ＝15①，所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30②，联立①②解得c ＝60，A ＝16.17．(名师原创)将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如：f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916，其中正确的为________．(填序号) 答案 ①③解析对于①，∵7＝1×7，∴f (7)＝17，①正确；对于②，∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，∴f (24)＝46＝23，②不正确；对于③，∵28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f (28)＝47，③正确；对于④，∵144＝1×144＝2×72＝3×48＝4×36＝6×24＝8×18＝9×16＝12×12，∴f (144)＝1212＝1，④不正确．18.如图，在矩形ABCD 中，BA ＝3，CB ＝4，点P 在线段AD 上移动，CQ ⊥BP ，Q 为垂足．设BP ＝x ，CQ ＝y ，试求y 关于x 的函数表达式，并画出函数的图象．答案 y ＝12x (3≤x ≤5)，图象见解析解析由题意，得△CQB ∽△BAP ，所以CQ BA ＝CB BP ，即y 3＝4x .所以y ＝12x .连接BD ，因为BA ≤BP ≤BD ，而BA ＝3，CB ＝AD ＝4，所以BD ＝32＋42＝5，所以3≤x ≤5.故所求的函数表达式为y ＝12x(3≤x ≤5)．如图所示，曲线MN 就是所求的函数图象．【】专题层级快练(五)1．(2022·上海市杨浦区高三期末)下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝2xC ．y ＝2xD ．y ＝|log 2x |答案 C解析函数y ＝x 2的值域为[0，＋∞)，故排除A ；函数y ＝2x 的值域为{y |y ≠0}，故排除B ；函数y ＝2x 的值域为(0，＋∞)，故C 满足条件；函数y ＝|log 2x |的值域为[0，＋∞)，故排除D.故选C. 2．函数y ＝1－|x |1＋|x |的值域为( )A ．(－1，1)B ．[－1，1)C ．(－1，1]D ．[－1，1]答案 C解析方法一(分离常数法)： y ＝1－|x |1＋|x |＝－1＋21＋|x |， ∵|x |≥0，∴|x |＋1≥1，∴0<2|x |＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x |≤1.即函数值域为(－1，1]．方法二(反解法)：由y ＝1－|x |1＋|x |，得|x |＝1－y 1＋y .∵|x |≥0，∴1－y1＋y≥0，∴－1<y ≤1，即函数值域为(－1，1]．故选C.3．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2] D ．[－2，2]答案 C解析要使函数有意义，则有－x 2＋4x ≥0， ∴x 2－4x ≤0，∴0≤x ≤4，即x ∈[0，4]． ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴0≤－(x －2)2＋4≤4，即0≤－x 2＋4x ≤2，∴－2≤－－x 2＋4x ≤0， ∴0≤2－－x 2＋4x ≤2， ∴0≤y ≤2，即y ∈[0，2]．故选C. 4．函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－∞，32 B.⎝⎛⎦⎤－∞，32 C.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ 答案 B解析设1－2x ＝t ，则t ≥0，x ＝1－t 22，所以y ＝1＋1－t 22－t ＝12(－t 2－2t ＋3)＝－12(t ＋1)2＋2，因为t ≥0，所以y ≤32.所以函数y ＝1＋x －1－2x 的值域为⎝⎛⎦⎤－∞，32.故选B. 5．(2022·昆明第一中学摸底)函数y ＝ln x ＋1ln x 的值域为( )A ．(－∞，－2]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2，2] 答案 C解析当x >1时，y ＝ln x ＋1ln x≥2ln x ·1ln x＝2，当且仅当x ＝e 时等号成立；当0<x <1时，y ＝ln x ＋1ln x＝－⎣⎡⎦⎤（－ln x ）＋⎝⎛⎭⎫－1ln x ≤－2（－ln x ）·⎝⎛⎭⎫－1ln x ＝－2，当且仅当x ＝1e时等号成立，所以函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．故选C.6．(2022·山东菏泽模拟)已知函数f (x )＝log 2x 的值域是[1，2]，则函数φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的定义域为( ) A ．[2，2] B ．[2，4] C ．[4，8] D ．[1，2]答案 A解析 ∵f (x )的值域为[1，2]，∴1≤log 2x ≤2， ∴2≤x ≤4，∴f (x )的定义域为[2，4]， ∴φ(x )＝f (2x )＋f (x 2)的自变量x 满足⎩⎪⎨⎪⎧2≤2x ≤4，2≤x 2≤4，解得2≤x ≤2.∴φ(x )的定义域为[2，2]．故选A.7．定义运算a *b ，a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ≤b ），b （a >b ），例如1*2＝1，则函数y ＝1*2x 的值域为( )A ．(0，1)B ．(－∞，1)C ．[1，＋∞) D.(]0，1答案 D解析当1≤2x ，即x ≥0时，函数y ＝1*2x ＝1，当1＞2x ，即x ＜0时，函数y ＝1*2x ＝2x ，由图知，函数y ＝1*2x 的值域为(0，1]．故选D. 8．下列函数中，值域为[2，＋∞)的是( ) A ．y ＝x 2－x ＋94B ．y ＝x ＋1x (x ≥2)C ．y ＝e sin xD ．y ＝(x ＋1)－23答案 A解析 ∵y ＝x 2－x ＋94＝⎝⎛⎭⎫x －122＋2≥2，∴A 满足题意．∵y ＝x ＋1x ，当x ≥2时为增函数，∴y ≥52，∴排除B.∵－1≤sin x ≤1，∴y ＝e sin x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，∴排除C. ∵y ＝(x ＋1)－23＝13（x ＋1）2，值域为(0，＋∞)，∴排除D.9．若对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则不能改变函数f (x )的值域的代换是( ) A ．h (t )＝10t B ．h (t )＝t 2 C ．h (t )＝sin t D ．h (t )＝log 2t答案 D10．下列函数中，同一同的是( ) A ．y ＝x ＋1＋1 B ．y ＝|ln x | C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1答案 D解析对于A ，定义域为[－1，＋∞)，值域为[1，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)． 11．(1)函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x的值域为________．(2)(2022·广东梅州市检测)函数y ＝x 2＋41－2x 2的值域是________．答案 (1)(－∞，－1)∪(1，＋∞) (2)⎣⎡⎦⎤12，4 解析 (1)由y ＝10x ＋10－x 10x －10－x ，得x ≠0，y ＋1y －1＝102x . ∵102x >0且不为1，∴y ＋1y －1>0且不为1.∴y <－1或y >1.即函数值域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)． (2)令t ＝1－2x 2，则x 2＝1－t 22，由x 2≥0和二次根式的非负性，得0≤t ≤1，则y ＝1－t 22＋4t ＝－12t 2＋4t ＋12，易得函数的值域为⎣⎡⎦⎤12，4.12．函数y ＝x 4＋x 2＋1的值域是________；y ＝x 4－x 2＋1的值域是________．答案 [1，＋∞) ⎣⎡⎭⎫34，＋∞13．(2022·沧衡八校联盟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为________．答案 (0，＋∞) 解析当x <1时，f (x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34；当x >1时，f (x )＝1x∈(0，1)，综上可得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x <1，1x ，x >1的值域为(0，＋∞)．14．函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞) 解析方法一(判别式法)：由y ＝x 2＋x ＋1x ＋1，得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0.∵x ∈(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0.解得y ≤－3或y ≥1. 当y ＝－3时，x ＝－2；当y ＝1时，x ＝0， ∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．方法二(分离常数法)：y ＝x 2＋x ＋1x ＋1＝（x ＋1）2－（x ＋1）＋1x ＋1＝(x ＋1)＋1x ＋1－1，当x >－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≥2，当且仅当x ＝0时取等号；当x <－1时，(x ＋1)＋1x ＋1≤－2，当且仅当x ＝－2时取等号， ∴y ≥1或y ≤－3.∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．15．(2022·江西省顶级名校模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，2]解析当x ≤2时，f (x )＝6－x ≥4，当x >2时，f (x )＝3＋log a x ，当a >1时，3＋log a x >3＋log a 2≥4，解得1<a ≤2；当0<a <1时，3＋log a x <3＋log a 2<3，不合题意，故实数a 的取值范围是1<a ≤2. 16．已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．答案 (1)(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞ (2)⎣⎡⎦⎤1，53 解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >1或a <－1，a ＞53或a <－1. ∴a <－1或a >53.若a 2－1＝0，则a ＝±1，当a ＝－1时，f (x )＝0，满足题意；当a ＝1时，f (x )＝lg(2x ＋1)，不合题意． ∴a ≤－1或a >53.即a 的取值范围为(－∞，－1]∪⎝⎛⎭⎫53，＋∞. (2)当a 2－1＝0时，a ＝1或－1，检验得a ＝1满足题意．当a 2－1≠0时，若f (x )的值域为R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）≥0，解得1<a ≤53. 综上得a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，53.17．(2022·山东枣庄市三中月考)已知函数f (x )＝32x －2·3x ＋2，定义域为M ，值域为[1，2]，则下列说法中不正确的是( ) A ．M ＝[0，log 32] B ．M ⊆(－∞，log 32] C ．log 32∈M D ．0∈M答案 A解析令t ＝3x (t >0)，则原函数等价于g (t )＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1(t >0)，由g (t )＝1，得t ＝1，即3x ＝1，得x ＝0；由g (t )＝2，得t ＝0(舍)或2，即x ＝log 32.根据g (t )的图象特征，知0∈M ，log 32∈M ，M ⊆(－∞，log 32]．A 错误，故选A.18．(2022·沧州七校联考)设函数f (x )＝2x 1＋2x －12，[x ]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0} B ．{－1，0} C ．{－1，0，1}D ．{－2，0}解析 ∵f (x )＝1－12x ＋1－12＝12－12x ＋1，又2x >0，∴－12<f (x )<12.∴y ＝[f (x )]的值域为{－1，0}．【】题组层级快练(六)1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)答案 A解析 A 中，函数y ＝x ＋1在[－1，＋∞)上为增函数，所以函数在(0，＋∞)上为增函数，故正确；B 中，函数y ＝(x －1)2在(－∞，1)上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，故错误；C 中，函数y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x在R 上为减函数，故错误；D 中，函数y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上为减函数，故错误．2．若函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数，则实数b 的取值范围是( ) A ．b ≥0 B ．b ≤0 C ．b >0 D ．b <0答案 A3．函数f (x )＝x －2x －1( )A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减答案 B 解析 f (x )＝1－1x －1，∴f (x )的图象可由y ＝－1x 的图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示． 4．函数f (x )＝x |x －2|的单调递减区间是( ) A ．[1，2] B ．[－1，0] C ．[0，2]D ．[2，＋∞)解析 f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2，其图象如图，结合图象可知函数的单调递减区间是[1，2]．故选A.5．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)答案 A解析由已知易得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．6．若函数f (x )＝x 2－2x ＋m 在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m 的值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝(x －1)2＋m －1在[3，＋∞)上为增函数，且f (x )在[3，＋∞)上的最小值为1，∴f (3)＝1，即3＋m ＝1，∴m ＝－2.故选B.7．已知f (x )为R 上的减函数，则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A ．(－1，1) B ．(0，1)C ．(－1，0)∪(0，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 C解析由已知得⎪⎪⎪⎪1x >1⇒－1<x <0或0<x <1.故选C.8．(2022·广东省佛山市佛山一中月考)已知函数f (x )是定义域为[0，＋∞)的减函数，且f (2)＝－1，则满足f (2x －4)>－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(3，＋∞) B ．(－∞，3) C ．[2，3) D ．[0，3)答案 C解析 f (x )在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f (2)＝－1，∴f (2x －4)>－1可化为f (2x －4)>f (2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －4≥0，2x －4<2，解得2≤x <3. 9．(2022·昆明诊断考试)已知函数f (x )＝e x ＋e －x ，则( ) A ．f (－2)<f (e)<f (5) B ．f (e)<f (－2)<f (5) C ．f (5)<f (e)<f (－2)D ．f (－2)<f (5)<f (e)解析因为f (x )定义域为R ，且f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．又当x >0时，f ′(x )＝e x －1e x >0，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．因为2<5<e ，所以f (2)<f (5)<f (e)，又f (－2)＝f (2)，所以f (－2)<f (5)<f (e)．故选D.10．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月二氧化碳的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．以下判断正确的是( ) A ．该单位每月二氧化碳的处理量为200吨时，才能使每吨的平均处理成本最低 B ．该单位每月最低可获利20 000元 C ．该单位每月不获利，也不亏损D ．每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损答案 D解析显然x >0，所以每吨的平均处理成本y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x－200＝2×200－200＝200，当且仅当12x ＝80 000x 即x ＝400时，取等号．所以A 错误．设该单位每月获利为S 元，则S ＝100x －y ＝100x －(12x 2－200x ＋80 000)＝－12(x －300)2－35 000，因为400≤x ≤600，所以当x ＝400时，S 有最大值－40 000.所以每月需要国家至少补贴40 000元才能使该单位不亏损．D 正确．B 、C 错误． 11．在给出的下列4个条件中，①⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（－∞，0）； ②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，x ∈（0，＋∞）； ③⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（－∞，0）； ④⎩⎪⎨⎪⎧a >1，x ∈（0，＋∞）. 能使函数y ＝log a 1x 2为减函数的是________(把你认为正确的条件编号都填上)．答案 ①④解析利用复合函数的性质知①④正确．12．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．答案 14解析令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14，所以当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.13．函数f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________．答案 1 52解析因为f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (2)＝2. 即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.14．若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________．答案－6解析画图知函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a 2，＋∞，故3＝－a2，解得a ＝－6. 15．(2022·西安五校联考)若函数f (x )＝e x －e －x ，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 解析由f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－f (x )，知f (x )＝e x －e －x 为奇函数，又易证在定义域R 上，f (x )是增函数，则不等式f (2x ＋1)＋f (x －2)>0等价于f (2x ＋1)>－f (x －2)＝f (－x ＋2)，则2x ＋1>－x ＋2，即x >13，故不等式的解集为⎝⎛⎭⎫13，＋∞.16．(2021·《高考调研》原创题)若log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，则( )A ．(x －1)2>(y －1)2B ．(x －1)2<(y －1)2C ．x 2<y 2D ．x 2>y 2答案 D解析由log 5x ＋log 51y >e －x －e －y ，得log 5x －e －x >log 5y －e －y ，令f (t )＝log 5t －e －t ，∵y ＝log 5t为(0，＋∞)上的增函数，y ＝－e－t为R 上的增函数，∴f (t )为(0，＋∞)上的增函数，∴由f (x )>f (y )，得x >y >0，∴x 2>y 2.故选D.17．(2021·沧州七校联考)已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，34 B.⎣⎡⎭⎫0，34 C.⎝⎛⎦⎤0，34 D.⎣⎡⎦⎤0，34 答案 D解析当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－4（a －3）4a ≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，34.【】题组层级快练(七)1．(2022·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝|x |＋1 B ．y ＝－x 2＋1 C ．y ＝ln x 2 D ．y ＝cos x x答案 B2．(2022·唐山市高三测试)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x )，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减答案 A解析方法一：由条件可知，f (x )定义域为R ，且f (－x )＝－x (e －x ＋e x )＝－x (e x ＋e －x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x ＋e －x ＋x (e x －e －x )，当x >0时，e x >e －x ，所以x (e x －e －x )>0，又e x ＋e －x >0，所以f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增．故选A.方法二：根据题意知f (－1)＝－f (1)，所以排除B 、D.易知f (1)<f (2)，所以排除C.故选A.3．(2022·浙江宁波十校联考)已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )．若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析把f (x )＝x 3＋sin x ＋1变形为f (x )－1＝x 3＋sin x ．令g (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，x ∈R ，则g (x )为奇函数，有g (－m )＝－g (m )，所以f (－m )－1＝－[f (m )－1]，得到f (－m )＝－(2－1)＋1＝0.4．(2022·南昌市联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案 B解析因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．5．已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，那么当x <0时，f (x )＝( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x )答案 B解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )． 6．(2022·皖南八校联考)设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－14B ．－12C.14D.12答案 C解析因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 7．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (3－x )＝f (x )，则f (2 019)＝( ) A ．－3 B ．0 C ．1 D ．3答案 B解析由题意得f (x )为奇函数，f (0)＝0，由f (3－x )＝f (x )，可得f (x ＋3)＝f (－x )＝－f (x )，。

高考理科数学一轮复习精选提分练(含最新2018模拟题)专题2函数与基本初等函数1第9练

训练目标 (1)二次函数的概念；(2)二次函数的性质；(3)幂函数的定义及简单应用. 解题策略(1)二次函数解析式的三种形式要灵活运用；(2)结合二次函数的图象讨论性质；(3)二次函数的最值问题的关键是理清对称轴与区间的关系.一、选择题1．已知函数f (x )＝－x 2－x ＋2，则函数y ＝f (－x )的图象为( )2．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－14，＋∞ C.⎣⎡⎭⎫－14，0 D.⎣⎡⎦⎤－14，0 3．函数()9245(1)1m f x m m x m ＝－－－－是幂函数，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( ) A ．恒大于0 B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 4．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－2,2]C ．(－2,2]D ．(－∞，－2)5．若关于x 的不等式x 2＋ax －a －2>0和2x 2＋2(2a ＋1)x ＋4a 2＋1>0的解集依次为A 和B ，那么使得A ＝R 和B ＝R 至少有一个成立的实数a ( )A ．可以是R 中任何一个数B ．有有限个C ．有无穷多个，但不是R 中任何一个数都满足D ．不存在6．设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)满足f (m )<0，则( )A ．f (m ＋1)≥0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<07．函数f (x )＝－x 2＋2mx (m >0)在x ∈[0,2]上的最大值为9，则m 的值为( )A ．1或3B ．3或134C ．3 D.1348．已知函数f (x )与函数g (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称，若存在a ∈R ，当x ∈[1，m ](m >1)时，使得f (x ＋a )≤4x 成立，则m 的最大值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12二、填空题9．设函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝________.10．对于定义在R 上的函数f (x )，若实数x 0满足f (x 0)＝x 0，则称x 0是函数f (x )的一个不动点．若二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋1没有不动点，则实数a 的取值范围是________．11．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．12．已知函数f (x )的自变量的取值区间为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．函数f (x )＝x 2的形如[n ，＋∞)(n ∈(0，＋∞))的保值区间是________．答案精析1．D 2.D3．A [函数()9245(1)1m f x m m x m ＝－－－－是幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x 2 015；当m ＝－1时，f (x )＝x －4.又因为对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数f (x )是增函数，所以函数的解析式为f (x )＝x 2 015，函数f (x )＝x 2 015是奇函数且是增函数．若a ，b ∈R 且a ＋b >0，ab <0，则a ，b 异号且正数的绝对值较大，所以f (a )＋f (b )恒大于0，故选A.]4．C [当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，恒成立．当a －2≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ<0，解得－2<a <2. 所以a 的取值范围是(－2,2]．故选C.]5．C 6.C7．D [由题意知，函数f (x )＝－x 2＋2mx ，开口向下，对称轴为x ＝m ，当m ≥2时，此时当x ＝2时，函数取得最大值，f (x )max ＝f (2)＝－22＋4m ＝9，解得m ＝134；当0<m <2时，此时当x ＝m 时，函数取得最大值，f (x )max ＝f (m )＝－m 2＋2m 2＝9，即m 2＝9(舍去)，故选D.]8．C [由于函数f (x )与函数g (x )＝(x －1)2的图象关于y 轴对称，因此f (x )＝(x ＋1)2. 设h (x )＝f (x ＋a )－4x ＝x 2＋2(a －1)x ＋(1＋a )2，由题意知f (x ＋a )－4x ≤0成立，即h (1)≤0且h (m )≤0，分别解得a ∈[－4,0]，m 2＋2(a －1)m ＋(1＋a )2≤0. 当a ＝0时，得m 2－2m ＋1≤0，解得m ＝1；当a ＝－4时，得m 2－10m ＋9≤0，解得1≤m ≤9. 因此m 的最大值为9.]9．6 10.(－1,3)11.⎝⎛⎭⎫－22，0 解析因为f (x )＝x 2＋mx －1的图象开口向上，所以函数的最大值只能在区间端点处取到，所以对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )<0，f (m ＋1)<0，解得⎩⎨⎧ －22<m <22，－32<m <0，即m ∈⎝⎛⎭⎫－22，0. 12．[1，＋∞)解析当f (x )＝x 2的定义域为[1，＋∞)时，值域也是[1，＋∞)，故函数f (x )＝x 2的保值区间是[1，＋∞)．。

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 1 )-集合与函数

2014届高三数学理科第一轮复习单元过关( 1 )考查单元:集合与函数时间：80分钟一、选择题：(本大题共8小题，每小题7分，共56分,在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.)1. 设B A f →:是集合A 到B 的映射，下列说法正确的是( )A.A 中每一个元素在B 中必有象B. B 中每一个元素在A 中必有原象C.B 中每一个元素在A 中的原象是唯一的D. B 是A 中所在元素的象的集合2. 命题“若,x y 都是偶数，则x y +也是偶数”的逆否命题是( )A ．若x y +是偶数,则x 与y 不都是偶数B ．若x y +是偶数,则x 与y 都不是偶数 C. 若x y +不是偶数,则x 与y 不都是偶数 D ．若x y +不是偶数,则x 与y 都不是偶数3.下列各组函数中，表示同一函数的是（） A ．1y =与0x y = B．y =42-=x yC ．y x =与33t y = D ．y x =与2)(x y =4. “14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的（） A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C ．必要非充分条件 D.非充分必要条件5. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()22(xf x x b b =++为常数），则(1)f -=（）A ．-3B ．-1C ．1D ．36、设偶函数f(x)的定义域为R ，当x [0,)∈+∞时f(x)是增函数，则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是（）（A ）f(π)>f(-3)>f(-2) (B ）f(π)>f(-2)>f(-3) （C ）f(π)<f(-3)<f(-2) （D ）f(π)<f(-2)<f(-3)7. 设集合A p a a x a x A ∈><<--=1:},0,2|{命题，命题.2:A q ∈ 若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则a 的取值范围是（）A.210><<a a 或B.210≥<<a a 或C.21≤<aD.21≤≤a8. 设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（） A.(10)(1)-+∞ ，， B.(1)(01)-∞- ，， C.(1)(1)-∞-+∞ ，， D.(10)(01)- ，，二、填空题: (本大题共6小题,每小题7分,共42分,把答案填在答题卷中．．．．相应横线上)9 . 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.10．已知x x x f 2)12(2-=+，则)5(f = .11. 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是 .12. 函数422--=x x y 的定义域为。

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届高考理科数学第一轮复习测试题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2013高考数学第一轮复习测试十二(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是( )．解析该五角星对角上的两盏花灯依次按逆时针方向亮一盏，故下一个呈现出来的图形是A.答案 A2．“三角函数是周期函数，y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是三角函数，所以y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2是周期函数．”在以上演绎推理中，下列说法正确的是( )．A ．推理完全正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．推理形式不正确解析 y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2只是三角函数的一部分，并不能代表一般的三角函数，所以小前提错误，导致整个推理结论错误．答案 C3．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )．A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )解析由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．答案 D4．(2012·皖南八校联考(三))为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a 0a 1a 2，a i ∈{0,1}(i ＝0,1,2)，信息为h 0a 0a 1a 2h 1，其中h 0＝a 0⊕a 1，h 1＝h 0⊕a 2，⊕运算规则为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是( )．A ．11010B ．01100C ．10111D ．00011解析对于选项C ，传输信息是10111，对应的原信息是011，由题目中运算规则知h 0＝0⊕1＝1，而h 1＝h 0⊕a 2＝1⊕1＝0，故传输信息应是10110.答案 C5．观察下图：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10……则第________行的各数之和等于2 0112( )．A ．2 010B ．2 009C ．1 006D ．1 005解析由题图知，第一行各数和为1；第二行各数和为9＝32；第三行各数和为25＝52；第四行各数和为49＝72；…；故第n 行各数和为(2n －1)2，令2n －1＝2 011，解得n ＝1 006. 答案 C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012·温州模拟)已知等差数列{a n }中，有a 11＋a 12＋…＋a 2010＝a 1＋a 2＋…＋a 3030，则在等比数列{b n }中，会有类似的结论________．解析由等比数列的性质可知，b 1b 30＝b 2b 29＝…＝b 11b 20，∴10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30. 答案 10b 11b 12…b 20＝30b 1b 2…b 30 7．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8. 答案 1∶88．已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AO OM ＝________. 解析由题知，O 为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h ，由等体积法可求内切球半径为14h ，外接球半径为34h ，所以AO OM＝3. 答案 3三、解答题(共23分)9．(11分)平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S ＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V ＝13×底面积×高； (3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14. 10．(12分)如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．解 (1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提)所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥F A 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论)上面的证明可简略地写成： ⎭⎪⎬⎪⎫∠BFD ＝∠A ⇒DF ∥EA DE ∥F A ⇒ 四边形AFDE 是平行四边形⇒ED ＝AF .B 级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2012·江西)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )．A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，… ∴5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 011)＝f (501×4＋7)＝f (7)∴52 011与57的末四位数字相同，均为8 125.故选D.答案 D2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )．A ．289B ．1 024C ．1 225D ．1 378解析观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n －1)＋(1＋2＋3＋…＋n )⇒a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{b n }，则b n ＝n 2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n 都为正整数的只有1 225.答案 C二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2012·南昌调研)已知m ＞0，不等式x ＋1x ≥2，x ＋4x 2≥3，x ＋27x 3≥4，可推广为x ＋m xn ≥n ＋1，则m 的值为________．解析 x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x 3＋27x3，易得其展开后各项之积为定值1，所以可猜想出x ＋m x n ＝x n ＋x n ＋…＋x n ＋m xn ，也满足各项乘积为定值1，于是m ＝n n . 答案 n n4．(★)在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 外接圆半径r ＝a 2＋b 22.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a ，b ，c ，则其外接球的半径R ＝________.解析 (构造法)通过类比可得R ＝a 2＋b 2＋c 22.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a ，b ，c 的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是a 2＋b 2＋c 2，故这个长方体的外接球的半径是a 2＋b 2＋c 22，这也是所求的三棱锥的外接球的半径．答案 a 2＋b 2＋c 22【点评】本题构造长方体.解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体三、解答题(共22分)5．(10分)定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，(1)求a 18的值；(2)求该数列的前n 项和S n .解 (1)由等和数列的定义，数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，易知a 2n －1＝2，a 2n ＝3(n ＝1,2，…)，故a 18＝3.(2)当n 为偶数时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a n ) ＝2＋2＋…＋2n 2个2＋3＋3＋…＋3n 2个3＝52n ；当n 为奇数时，S n ＝S n －1＋a n ＝52(n －1)＋2＝52n －12. 综上所述：S n ＝⎩⎨⎧ 52n n 为偶数，52n －12 n 为奇数.6．(12分)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求出f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1的值．解 (1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，……由上式规律，所以得出f (n ＋1)－f (n )＝4n .因为f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝…＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f n －1＝12n n －1＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n . ∴1f 1＋1f 2－1＋1f 3－1＋…＋1f n －1＝1＋12× ⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n ＝1＋12⎝⎛⎭⎫1－1n ＝32－12n .。