四省八校双教研联盟高考联考试题数学理科试题
陕西省西安市八校联考2024届高三下学期理科数学试题(含答案与解析)_3730
西安市八校2023~2024学年高三下学期联考试题数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持纸面清洁，不折叠，不破损.5.若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R ，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A. {}B.C. {1,D. {2}N =2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 的共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π34. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40Pm2mmA. 120B. 160C. 200D. 2605. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+最大值为（ ）A 18B. 14C. 10D. 30-6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.7127. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）． A. 1B.C. 2D. 49. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A 48种B. 42种C. 36种D. 30种10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.的.的.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+D. ()lg(51)g x x =+第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．14. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．16. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 通项公式；（2）设21log nn i i b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值．19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A CG B --的余弦值.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．的（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由．21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . （二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知全集U =R，集合{|M x y ==，{N =，则()U M N = ð（ ）．A{}B.C. {1,D. {2}N =【答案】B 【解析】【分析】先求集合M ，然后由集合的运算可得. 【详解】由10x -≥解得(],1M ∞=-，所以()1,U M ∞=+ð，所以{()U M N ⋂=ð. 故选：B2. i 是虚数单位，若复数6i 2i 1iz +=+，则z 共轭复数z =（ ）．A.13i 22- B.13i 22+ C. 13i 22-+ D.31i 22- 【答案】A 【解析】【分析】利用复数的乘方及复数除法运算，结合共轭复数的意义求解即得. 【详解】依题意，12i (12i)(1i)13i 13i 1i (1i)(1i)222z -+-+-+====+++-， 所以13i 22z =-. 故选：A3. 将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m （0m >）个单位，所得图象关于原点对称，则m 的值可以是（ ）． A.π3B. πC.4π3D.5π3【答案】D 【解析】【分析】先求平移后图象的解析式，然后根据正弦函数的对称性可得..的【详解】将函数π()2sin(2)3f x x =-的图象向左平移m 个单位， 得()ππ2sin 22sin 2233y x m x m ⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象， 因为π2sin 223y x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称， 所以π2π,3m k k -=∈Z ，即ππ,62k m k =+∈Z ， 当3k =时，得5π3m =，使πππ623k m =+=，πππ62k m =+=，ππ4π623k m =+=的整数k 不存在.故选：D4. 已知某随机变量X 的分布列如图表，则随机变量X 的方差()D X =（ ）X20 40P m2mmA. 120B. 160C. 200D. 260【答案】C 【解析】【分析】根据概率和为1，求得m ，再根据分布列求()E X ，再求()D X 即可. 【详解】由题可知：21m m m ++=，解得14m =，则()040408020E X m m m m =⨯++==； 故()()()()222111020202040201000100200424D X =-+-+-=++=. 故选：C.5. 已知x ，y 满足约束条件02422x y x y x ≤+≤⎧⎪-≥-⎨⎪≤⎩，则36z x y =-+的最大值为（ ）A. 18B. 14C. 10D. 30-【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，由图可以得到目标函数取最大值时的位置，求得点的坐标代入即可. 【详解】由约束条件作出可行域如图，目标函数36z x y =-+，即为1126y x z =+，作出直线12y x =， 由图可知，当直线12y x =平移至A 处时，z 取得最大值， 联立224x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得28(,)33A ，则目标函数z 的最大值为z =36148323-⨯+⨯=. 故选：B.6. 随机取实数t ，(1,8)t ∈-，则关于x 的方程22430x tx t ++-=有两个负根的概率为（ ）． A.23B.59C.79D.712【答案】D 【解析】【分析】利用韦达定理和判别式求出方程有两个负根时t 的范围，然后由区间长度比可得. 【详解】若方程22430x tx t ++-=有两个负根，则()2043044430t t t t ⎧-<⎪->⎨⎪-->⎩，解得314t <<或3t >，又(1,8)t ∈-，所以当314t <<或38t <<时，方程22430x tx t ++-=有两个负根， 故所求概率()3183741281P -+-==--. 故选：D7. 如图，网格纸上绘制的是某几何体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）．A. 15πB. 20πC. 26πD. 30π【答案】A 【解析】【分析】根据三视图还原几何体即可由圆锥体积公式得解.【详解】由三视图可知，几何体左边为底面半径为3，高为4的圆锥的一半，右边为底面半径为3，高为6的圆锥的一半构成的组合体，如图，所以221111π34π3615π2323V =⨯⋅⨯+⨯⋅⨯=， 故选：A8. 已知二次函数()2y x b a x ab =-+-+的图象与x 轴交于A 、B 两点，图象在A 、B 两点处的切线相交于点P ．若1ab =，则ABP 的面积的最小值为（ ）．A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点P 坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值. 【详解】设()1,0A x ，()2,0B x ，则1x 与2x 是方程()20x b a x ab -+-+=的两根，则12x x b a +=-，12x x ab =-，12AB x x a b =-==+，又2y x b a '=-+-，则函数()2y x b a x ab =-+-+在点()1,0A x 处的切线方程为()()112y x b a x x =-+--，同理函数()2y x b a x ab =-+-+在点()2,0B x 处切线方程为()()222y x b a x x =-+--，则()()()()112222y x b a x x y x b a x x ⎧=-+--⎪⎨=-+--⎪⎩，解得()()()12222121212224222x x b a x x x x x x x a b y +-⎧==⎪⎪⎨-++-+⎪===⎪⎩，即点()2,22a b b a P ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，则311142244ABP P S AB y a b ab =⋅=+≥⋅⋅= ，当且仅当1a b ==时等号成立，故选：C.9. 某三甲医院选定A 、B 、C 、D 、E ，5名医生到3所乡镇医院进行医疗扶持，每个医院至少一人，其中，A 与B 必须在同一医院，B 与C 一定不在同一医院.则不同的选派方案有（ ） A. 48种 B. 42种 C. 36种 D. 30种【答案】D 【解析】【分析】根据题意，分三种分堆情况进行讨论，先分类再分步，即可求得结果. 【详解】先把5人分为3堆，根据题意，则有如下三种情况：第一种：第一堆除了,A B 之外，还有一名医生，第二堆是C ，第三堆是1名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；第二种：第一堆为,A B ，第二堆是C ，第三堆是剩余两名医生， 则此时选派方案有：2323C A 6⋅=种；第三种：第一堆为,A B ，第二堆是C 以及另外一名医生，第三堆是剩余的一名医生， 则此时选派方案有：1323C A 12⋅=种；的综上所述，所有选派方案有：1261230++=种； 故选：D.10. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线经过点()3,9P -，则该双曲线的离心率为（ ）．A.B. 3C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.【详解】双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，又渐近线过点()3,9P -，即93b a-=-⨯，则3ba =，所以离心率c e a ====，故选：A.11. 已知函数()f x 为偶函数，满足()()12f x f x +=-，且20x -≤≤时，()2xf x =-，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，则a 的取值范围为（ ）． A. 1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B. [)10,3,3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦C. [)10,53,⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦D. 1,35⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性与周期性，数形结合可得函数交点情况，进而确定方程解的情况. 【详解】由已知()()12f x f x +=-，则()()12f x f x =--，则()()22f x f x +=-， 可知函数()f x 为周期函数，最小正周期4T =，又当20x -≤≤时，()2xf x =-，可知函数()f x 的图象如图所示，且()f x 的值域为[]1,1-， 关于x 的方程()()log 10a f x x -+=至少有两解，可得函数()y f x =与函数()log 1a y x =+的图象至少有两个交点， 如图所示，可知当01a <<时，()1log 411log a aa +≥-=，解得15a ≤，即10,5a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦， 当1a >时，()log 211log a a a +≤=，解得3a ≥，即[)3,a ∞∈+， 综上所述[)10,3,5a ∞⎛⎤∈⋃+ ⎥⎝⎦，故选：C.12. 已知函数()4ln 2x f x x =+-的零点为1x ，()g x 存在零点2x ，使121||2x x -<，则()g x 不能是（ ）．A. 32()3232g x x x x =--+B. 11()42x x g x ---=-C. 5π()cos(12g x x =+ D. ()lg(51)g x x =+【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理求出1x 的范围，再求出各选项中函数的零点即可判断得解. 【详解】函数()4ln 2x f x x =+-定义域为(0,)+∞，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而1211(4ln 2ln 20,(1)2022f f =+-=-<=>，因此1112x <<，对于A ，由()0g x =，得(1)(1)(32)0x x x +--=，解得=1x -或23x =或1x =， 显然121||32x -<或11|1|2x -<，A 能；对于B ，由()0g x =，得211120422x x ⋅-⋅=，解得13x =，332233(2ln 22ln 2 2.5044f =+->+-=->，即11324x <<，1115163122x <-<<，B 能；对于C ，由()0g x =，得5πcos(012x +=，则5πππ,Z 122x k k +=+∈， 解得ππ,Z 12x k k =+∈，取π110,(,1243k x ==∈，11π16122x <-<，C 能； 对于D ，函数()lg(51)g x x =+在1(,)5-+∞上单调递增，(0)0g =，而1102x ->，D 不能.故选：D【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13. 已知单位向量12e e ⊥ ，向量122a e e λ=- ，122b e e =+ ，若a b ⊥，则实数λ＝________．【答案】1 【解析】【分析】利用向量垂直的性质即可求解.【详解】因为a b ⊥，所以()()()221212112222242220a b e e e e e e e e λλλλ⋅=-⋅+=+-⋅-=-=故1λ=. 故答案为：114. 已知521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含x 项的系数为k ，()10210012101kx a a x a x a x -=++++ .则1210a a a +++= ________. 【答案】1023 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合题意求得k ，再通过赋值法先求0a ，再求目标即可.【详解】521110x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()52103155111C C 1,0,1,2,51010rrr r r r r T xx r x --+⎛⎫=-=⋅-⋅= ⎪⎝⎭ ， 令3r =，则可得含x 项的系数()3351C 1110k =⨯⨯-=-，则()101kx -()101x =+， 对()101x +，令0x =，解得01a =；对()101x +，令1x =，解得10011021024a a a +++== ，故1210a a a +++= 102411023-=. 故答案为：1023.15. 某校高三年级在一次模拟训练考试后，数学教研组为了解学生数学学习现状和后期更有效的教学，从参加考试的学生中抽取了100名学生的数学成绩，进行统计分析，制作了频率分布直方图（如图）．其中，成绩分组区间为)[[60,70),70,80),80,90),9[0,100[，100,110),110,120),120,]130),130,14[[0),14[[0,150[．用样本估计总体，这次考试数学成绩的中位数的估计值为________．【答案】114 【解析】【分析】利用频率分布直方图计算、估计数学成绩的中位数. 【详解】观察频率分布直方图，得数学成绩在区间[60,110)的频率为(0.010.0050.010.015)100.4+++⨯=，数学成绩在区间[60,120)的频率为0.40.025100.65+⨯=，因此数学成绩的中位数(110,120)m ∈，且(110)0.0250.1m -⨯=，解得114m =， 所以这次考试数学成绩的中位数的估计值为114. 故答案为：11416. 已知椭圆2221(1)x y a a+=>的上顶点为A ，B 、C 在椭圆上，△ABC 为等腰直角三角形，A 为直角，若这样的△ABC 有且只有一个，则该椭圆的离心率的取值范围为_______．【答案】⎛ ⎝【解析】【分析】设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+，求出弦长,AB AC ，根据AB AC =整理可得()()221110k k a k ⎡⎤-+-+=⎣⎦，由方程有唯一实数解可得1a <≤，然后可得离心率.【详解】由椭圆2221(1)x y a a+=>可知()0,1A ，易知，直线AB 与AC 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 方程为1y kx =+，直线AC 方程为11y x k=-+， 联立22221y kx x a y a=+⎧⎨+=⎩消元得()2222120a k x a kx ++=， 解得22221B a kx a k =-+，同理，联立222211y x k x a y a⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩可解得2222C a kx a k =+， 由题知，AB AC =，222222221a k a k a k a k=++， 整理得()()221110k k ak ⎡⎤-+-+=⎣⎦，因为1k =为上述方程的根，所以，要使满足条件的△ABC 有且只有一个，方程()22110k a k +-+=没有实数解，或者有两个相等的根1k =.当()22Δ140a =--<时，解得1a <<，当()22Δ140a =--=时，解得a =()22110k a k +-+=的根为1.综上，1a <≤.所以，e ⎛= ⎝.故答案为：⎛ ⎝【点睛】求离心率的方法主要有：（1）定义法：根据题意求出a ，c ，然后由离心率公式直接求解；（2）齐次式法：根据题意或结合图形中的几何关系，求得222,,a b c 的关系式，利用222b a c =-消去2b ，然后两边同时除以2a 转化为关于e 的方程或不等式即可求解.三、解答题（共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题.第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分.17. 已知各项均为正数的等比数列{}n a ，满足132163a a +=，23642a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21log nn ii b a ==∑，数列1{}n b 的前n 项和为n T ．求证：21n T -<≤-． 【答案】（1）12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）证明见详解. 【解析】【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；（2）先根据等差数列求和公式求n b ，然后利用裂项相消法求n T 即可得证. 【小问1详解】记数列{}n a 的公比为q ，则211252611121632a a q a q a q a q⎧+=⎨⋅=⎩，解得112a q ==， 所以12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）可得，221log log 2nn a n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()2111log2nnn i i i n n b a i ==+==-=-∑∑，所以()122211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭， 所以22222222221223111n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+⋅⋅⋅+-=--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 因为*n ∈N ，所以2011n <≤+， 所以22211n -<-≤-+，即21n T -<≤-. 18. 已知△ABC 为钝角三角形，它的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且22ππsin sin sin()cos()36C B B B =+++，a c <，b c <．（1）求tan()A B +的值；（2）若△ABC的面积为，求c 的最小值． 【答案】（1（2）12【解析】【分析】（1）由三角恒等变换化简可得sin C ，再由同角三角函数的基本关系及诱导公式得解； （2）由三角形面积公式、余弦定理及重要不等式即可求解. 【小问1详解】因为222ππ1ππsin sin sin()cos()sin sin 2sin 36226C B B B B B ⎡⎤⎛⎫=+++=+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()22211113sin cos 2sin 12sin 22244B B B B ⎛⎫=++=+-+= ⎪⎝⎭，因为sin 0C >，所以sin C =由△ABC 为钝角三角形且a c <，b c <知，C 为钝角，所以1cos 2C =-，即tan C =，所以()tan()tan πtan A B C C +=-=-=【小问2详解】因为1sin 2ABC S ab C ===△， 所以48ab =，由余弦定理，222222cos 3144c a b ab C a b ab ab =+-=++≥=，当且仅当a b ==此时2c 的最小值为144，所以c 的最小值为12.19. 如图所示多面体EF ABCD -中，四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形，棱AF BD ⊥，G 为EF 的中点.（1）求证：CE ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A CG B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理证明AF ⊥平面ABCD ，再利用AF CE ∥即可证得结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求解二面角A CG B --的余弦值即可. 【小问1详解】证明： 四边形ABCD 和四边形ACEF 均为正方形.AF AC ∴⊥，又AF BD ⊥，且AC 与BD 是平面ABCD 上的两条相交直线.AF ∴⊥平面ABCD .由ACEF 为正方形，得AF CE ∥，CE ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】由题意知，直线AB 、AD 、AF 两两互相垂直.分别以直线AB 、AD 、AF 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐系A xyz -.设2AB =，则AC =，于是，有()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D，(2,2,E，(0,0,F，(1,1,G ，(1,1,BG ∴=- ，()0,2,0BC = ，()2,2,0DB =-.设平面BCG 的一个法向量为()111,,n x y z =，则11111110020y n BG x y x n BC y ⎧=⎧⋅=-++=⎪⎪⇒⎨⎨=⋅==⎪⎪⎩⎩，令11z =，得1x =所以()n =，AF DB ⊥ ，DB AC ⊥，AF AC A = ，,AF AC ⊂平面ACEF ，DB ∴⊥平面ACEF ，即DB ⊥平面ACG ()2,2,0DB ∴=-是平面ACG 的一个法向量.设二面角A CG B --的大小为α，结合图形，知α为锐角，2cos cos ,3n DB n DB n DBα⋅∴=====⋅，∴二面角A CG B --的余弦值为23. 20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)=>S x py p ，其焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线S 于A 和B 两点，16||3AB =，角60θ=︒（如图）．（1）求抛物线S 的方程；（2）在抛物线S 上是否存在关于直线l 对称的相异两点，若存在，求出该两点所在直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）24x y =；（2）不存在，理由见解析. 【解析】【分析】（1）求出直线l 的方程，与抛物线方程联立，结合抛物线定义及给定弦长求出p 即得. （2）假设存在符合要求的两点，并设出两点坐标，再利用对称思想列式求解判断即得. 【小问1详解】抛物线2:2S x py =的焦点(0,)2p F ，直线l方程为2py x =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由222py x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩消去y得：22330x p --=，则12x x p +=，12125)3y y x x p p +=++=，128||||||3AB AF BF y y p p =+=++=，于是81633p =，解得2p =，所以抛物线S 的方程为24x y =. 【小问2详解】 由（1）知直线l：1y x =+， 假设在抛物线S 上存在关于直线l 对称的相异两点，设这两点坐标为221212(,(,44x x M x N x ，于是直线MN的斜率22121212144()4MNx x k x x x x -==+=-，解得12+=-x x 线段MN的中点0()y -在直线l 上，则01y =-，而0()y -应在线段AB 上，必有00y >与01y =-矛盾，所以在抛物线S 上不存在关于直线l 对称的相异两点.【点睛】思路点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式12||AB x x p =++（或12||AB y y p =++），若不过焦点，则必须用一般弦长公式. 21. 已知函数()()()ln 1R 2kxf x x k x =++∈+. （1）若()f x 在其定义域上单调递增，求k 的取值范围； （2）证明：对n +∀∈N ，1111ln 21232n n n n++++<+++ . 【答案】（1）[)2,-+∞（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）考查已知带参函数的单调性求参数取值范围的问题，根据导数正负与函数单调递增的关系：函数()f x 单调递增()0f x '⇒≥恒成立，令导数()0f x '≥，过程中对参数k 进行分离参数得()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，再将问题转化成研究具体函数()()()()22121x h x x x +=->-+的最值问题即可.（2）由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增得()2ln 12xx x +>+，再根据所需求证不等式的特征令22x a x =+不等式变成2ln2a a a +>-，再根据所需依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ 进行研究即可得到.小问1详解】由题()f x 的定义域为()1,-+∞，()()()()()()()()2222221111212k x kx x k x x x f x x x x '+-+++=+=>-++++， ()f x ()1,-+∞上单调递增时，()0f x '≥在()1,-+∞上恒成立，得()()22210x k x +++≥在()1,-+∞恒成立，即()()2221x k x +≥-+在()1,-+∞上恒成立，设()()()()22121x h x x x +=->-+，得()()()()()()()2222212212121x x x x x h x x x ++-++'=-⨯=-++，由()0h x '=，得0x =，或2x =-（舍去），当10x -<<时，()0h x '>，()h x 在()1,0-上单调道增；当0x >时，()0h x '<，()h x 在()0,∞+上单调递增，()h x ∴在0x =处取得极大值也是最大值，即()()max 02h x h ==-⎡⎤⎣⎦， 2k ∴≥-，()f x \在其定义域上单调递增时，k 的取值范围为[)2,-+∞.【小问2详解】由（1）知，当2k =-时，()f x 在()1,-+∞上单调递增.【在∴当2k =-，0x >时，()()()2ln 1002xf x x f x =+->=+，即()2ln 12x x x +>+.① 令22x a x =+，则22a x a =-，代入①，整理得2ln2a a a+>-.② 在②中，依次令()1111,,,,1232a n n n n nN +=++∈+ . 顺次得到231ln 211n n n +>++，251ln 232n n n +>++，271ln 253n n n +>++，…，411ln 412n n n+>-. 将以上各不等式两边分别相加并整理，得1111411ln ln 2ln 212322121n n n n n n n +⎛⎫++++<=-< ⎪+++++⎝⎭.证毕. 【点睛】方法点睛：导数与单调性关系：（1）在函数定义域内，不等式'()0f x >的解即为函数()y f x =的增区间；不等式'()0f x <的解即为函数()y f x =的减区间.（2）若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递增，则'()0f x ≥对(),x a b ∈恒成立；若函数()y f x =在区间(),a b （区间端点也可闭）内单调递减，则'()0f x ≤对(),x a b ∈恒成立.（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. [选修4-4：极坐标与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求出直线l 的普通方程和曲线Γ的直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线Γ相交于A 、B 两点，求|AB |的值．【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y +-=，曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=（2）AB =【解析】【分析】（1）利用消元法可得直线l 的普通方程，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得曲线Γ的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入曲线Γ的直角坐标方程()2224x y -+=，利用韦达定理和弦长公式，即可得到结果. 【小问1详解】直线l的参数方程为1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），相加消去t ，得其普通方程为30x y +-=， 曲线Γ的极坐标方程为4cos ρθ=，根据cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，转化成直角坐标方程为()2224x y -+=.【小问2详解】设A 、B 两点对应的参数为12,t t ，把直线l的参数方程1,2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入()2224x y -+=，得到210t ++=，12121t t t t +=-=， 故12AB t t =-==.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数2()|2|2||f x x a x a=++-． （1）求()f x 的最小值；（2）若min [()]a f x =，求不等式(1)25f x x -≤+的解集． 【答案】（1）4（2）[]0,3 【解析】【分析】（1）根据绝对值不等式的性质及均值不等式求解即可； （2）分区间讨论去掉绝对值解不等式即可.【小问1详解】()244442222224f x x a x x a x x a x a a a a a a a =++-=++-≥++-=+=+≥, 当且仅当()42204x a x a a a ⎧⎛⎫+⋅-≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩时，即2a =±，11x -≤≤时等号成立，所以函数()f x 的最小值为4 【小问2详解】由（1）知，min [()]4a f x ==， 则2()24224124f x x x x x =++-=++-， 所以(1)2232f x x x -=++-25x ≤+，①当1x ≤-时，原不等式可化为：222325x x x ---+≤+， 即46x -≤，解得23x ≥-，又1x ≤-，故无解； ②当312x -<≤时，原不等式可化为：222325x x x +-+≤+， 即525x ≤+，解得0x ≥，又312x -<≤，所以302x ≤≤；③当32x <时，原不等式可化为：222325x x x ++-≤+，即26x ≤，解得3x ≤，又32x <，所以332x <≤.综上，不等式的解集为[]0,3.。
2020届四省八校高三第二次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据对数与指数幂的运算，分别得出 的大致范围，即可得出结果.
【详解】
由题意可得： ， ， ，
所以 .
故选B
【点睛】
本题主要考查指数幂与对数的比较大小，熟记指数幂与对数的运算性质即可，属于常考题型.
7．已知 ，则 （）
A． B．
C． D．
660
780
900
1020
0.1
0.2
0.16
0.54
则
从数学期望来看，每天加工17个蛋糕的利润高于每天加工16个蛋糕的利润，应加工17个.
【点睛】
本题主要考查函数模型，以及离散型随机变量的分布列，期望与方差等，熟记离散型随机变量分布列的概念，期望与方差的计算公式即可，属于常考题型.
20．已知椭圆 的左焦点为 ，且点 在椭圆 上.
5．设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据等差数列的求和公式与性质，得到 ，即可得出结果.
【详解】
因为等差数列 的前 项和为 ， ，
所以 ，
∴ ，即： .
故选B
【点睛】
本题主要考查等差数列的基本量运算，熟记等差数列的求和公式，以及等差数列的性质即可，属于基础题型.
【答案】
【解析】先由题意，得到当 时， ，且 是周期为1的函数；作出函数图像，结合图像得到 或 ，求解，即可得出结果.
【详解】
当 时， ，又由题意，易知： 是周期为1的函数；
作出 与 图象如下：
由图像，为使直线 与 有四个不同的交点，
只需 或 ，
解得 或 ，
四省八校双教研联盟高考2019届高三联考数学(理)参考答案
四省八校双教研联盟高考2019届高三联考试题数学(理)参考答案一、选择题1.考点：几何基本运算。
由1>x得20<x<，由022>-+x x 得1x>或2-x<，所以{}12|≤≤x -x B=C R ，故选B 。
2.考点：复数的基本运算，复数的模，复数相等等概念的认识，由()y=x+yi z+i 得⎩⎨⎧==yy x y 2所以52=+=+i i y x故选D 。
3.考点：等差数列性质及化归思想应用。
由10345113=a +a a -得10323573=a a +a -得1034553=a a +a -得1053=+a a 得54=a ，故选C 。
4.考点：对图表数据的认识，选D 。
显然对业务收入量2月对1月减少。
4月对3月减少整体不具备高速增加之说。
5.考点：简易逻辑，对充分性、必要性的理解，显然选A ，当m ⊥n 时n 在平面α可得平面α外。
6.考点：排列与组合。
根据题意组队形成只有2、4型和3、3型。
2、4型又只能一男一女和二男二女，此时有1313C C 种搭配。
3,3型又只能为二男一女和一男二女，此时有1323C C 种搭配。
故最终有()362213231313=+A C C C C 种派遣方式，故选A7.考点：简单几何体和三视图。
根据三视图画出直观图为(放在长方体中更直观) 三棱锥D -ABC 为所求几何体，则322212131=⋅⋅⋅⋅=D-ABC V ，故选B8.考点：程序框图，n =2时，n =4，5114=+S=⨯，n =6,35=5+65=S ⨯，n =8,315=35+835=S ⨯故选B9.考点：简单线性规划。
做出可行域()101---=+x y xy指可行域内动点()y x ,与定点()0,1-直线的斜率由⎩⎨⎧=--=-+033042y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5657y x 计算得1=z ，由⎩⎨⎧=--=-+02042y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3832y x 计算得516=z ，故选C10.平面向量基本定理应用，向量坐标量应用等和线定理应用。
八校2020届高三下学期第二次联考数学(理)试题含解析
(3）若已知50件布娃娃中有10个布娃娃有奖品,从这堆布娃娃中任意购买5个,若抽到k个有奖品可能性最大，求k的值.（k为正整数）
， ，
,即 ,
，可得 ，
.
故选：B。
【点睛】本题考查空间几何体中的距离最值问题需要学生有较强的空间想象和思维能力，综合性较强。在解决此类最值问题时，一般采用侧面展开的形式将立体问题转化为平面问题解决。
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分；其中16题第一空3分，第二空2分。
13。在等比数列 中, ， ，则 _______________.
【答案】31
【解析】
【分析】
由已知求得公比 ，利用等比数列的求和公式计算即可。
【详解】设等比数列 公比 ，易求得 ， , 。
故答案为: 31。
【点睛】本题考查等比数列通项公式和求和公式中基本量的计算，属于基础题。
14.自湖北武汉爆发新冠肺炎疫情以来，武汉市医护人员和医疗、生活物资严重短缺，其他兄弟省市纷纷驰援武汉等地。某运输队50辆汽车载满物资急赴武汉，如图是汽车经过某地时速度的频率分布直方图，则这50辆汽车速度中位数的估计值是_______________.
【详解】（1) ，
。
；
又 ， ，
即对称中心是 .
（2) ， ，
又 为锐角三角形,
且 ,
即 ， ，
得到 ，
而在 中， ，
即 ，
，
。
【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，正弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力,难度较易.
四省八校双教研联盟高考2019届高三第一次联考答案---数 学(理)
1 四省八校2019届高三第一次联考卷·数 学（理）参考答案一、选择题1.考点：几何基本运算。
由1>x得20<x<，由022>-+x x 得1x>或2-x<，所以{}12|≤≤x -x B=C R ，故选B 。
2.考点：复数的基本运算，复数的模，复数相等等概念的认识，由()y=x+yi z+i 得⎩⎨⎧==y y x y 2所以52=+=+i i yx 故选D 。
3.考点：等差数列性质及化归思想应用。
由10345113=a +a a -得10323573=a a +a -得1034553=a a +a -得1053=+a a 得54=a ，故选C 。
4.考点：对图表数据的认识，选D 。
显然对业务收入量2月对1月减少。
4月对3月减少整体不具备高速增加之说。
5.考点：简易逻辑，对充分性、必要性的理解，显然选A ，当m ⊥n 时n 在平面α可得平面α外。
6.考点：排列与组合。
根据题意组队形成只有2、4型和3、3型。
2、4型又只能一男一女和二男二女，此时有1313C C 种搭配。
3,3型又只能为二男一女和一男二女，此时有1323C C 种搭配。
故最终有()362213231313=+A C C C C 种派遣方式，故选A 7.考点：简单几何体和三视图。
根据三视图画出直观图为(放在长方体中更直观)三棱锥D -ABC 为所求几何体，则322212131=⋅⋅⋅⋅=D-ABC V ，故选B 8.考点：程序框图，n =2时，n =4，5114=+S=⨯，n =6,35=5+65=S ⨯，n =8,315=35+835=S ⨯故选B 9.考点：简单线性规划。
做出可行域()101---=+x y x y指可行域内动点()y x ,与定点()0,1- 直线的斜率由⎩⎨⎧=--=-+033042y x y x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5657y x 计算得1=z ，yx。
八校高三联合考试数学(理)试题
江西省2022年八校 高三联合测试数学〔理〕试题本试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部,总分值150分,测试时间120分钟.第一卷〔选择题 共60分〕一、选择题〔此题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,有且只有一个是正确的〕 1．如果复数z 满足：z 2+1=0,那么iz 3〔i 为虚数单位〕的值为 〔 〕A ．±iB ．－iC ．±1D ．1 2．随机变量ξ~N 〔3,22〕,假设ξ=2η+3,那么D η= 〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．43．{a n }是正项的等差数列,如果满足,642752725=++a a a a 那么数列{a n }的前11项的和为〔 〕A ．8B ．44C ．56D ．64 4．函数]4,0[),sin (cos cos )(π∈+=x x x x x f 的值域是〔 〕A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2221,1B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2221,0C ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,2221D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2221 5．设a,b ∈R ,那么“a+b =1〞是“4ab ≤1〞的〔 〕条件 A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充分条件D ．既不充分也不必要条件6．函数2)(23+++=x ax x x f 在R 上存在极值点,那么实数a 的取值范围是 〔 〕A ．()3,3-B ．[]3,3-C ．),3[]3,(+∞⋃--∞D ．),3[]3,(+∞⋃--∞7．设m 、n 都是不大于6的自然数,那么方程12626=-y C x C n m 表示双曲线的个数是〔 〕A ．16B ．15C ．12D ．68．平面向量c b a c b a c b a ,,,3||,2||,1||,,且向量满足===两两所成的角相等,那么抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中萍乡一中 新余一中宜春中学上饶县中||c b a ++=〔 〕A ．3B ．6或2C ．6D ．6或39．双曲线12222=-by a x 的左焦点为F 1,顶点为A 1,A 2,P 是该双曲线右支上任意一点,那么分别以线段PF 1,A 1A 2为直径的两圆一定 〔 〕A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离 10．设二函数f (x )=ax 2+2x +b(a ≠0),假设方程 f (x )=x 无实数解,那么方程f [f (x )]=x 的实数根的个数为 〔 〕 A ．0 B ．2 C ．4 D ．4个以上 11．正方体的直观图如右图所示,那么其展开图是 〔 〕12．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别是10103cos ,21tan ,,,==B A c b a ,假设△ABC 最长的边为1,那么最短边的长为〔 〕A ．55B ．552 C ．553 D ．554 第二卷〔非选择题 共60分〕二、填空题〔每题4分,共16分把答案填在做题卷．．．中横线上〕 13．假设x ＞1,不等式k x x ≥-+11恒成立,那么实数k 的取值范围是 . 14．二项式nxx )1(-的展开式中含x 3的项是第4项,那么n 的值为 .15．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 中,AB=2,AA 1=AD=1,点E 、F 、G 分别是棱AA 1、C 1D 1与BC的中点,那么四面体B 1—EFG 的体积是 . 16．给出以下命题：①过一点与曲线相切的直线有用只有一条；②函数)21(121)(-≠+-=x x x x f 对称中央是〔－21,－21〕,③S n 是等差数列{a n }(n ∈N*)的前n 项和,假设S 7>S 5,那么S 9>S 3；④函数f (x )=x |x |+p x +q(x ∈R)为奇函数的充要条件是q =0；⑤a ,b,m 均是正数,且a <b,那么bam b m a >++.其中真命题的序号是 〔将所有真命题的序号都填上〕. 三、解做题〔本大题共6小题,共74分.解容许写出文字说明,证实过程或演算步骤.〕 17．〔本小题总分值12分〕在△ABC 中,设AB CA CA BC ⋅=⋅ 〔1〕求证：△ABC 为等腰三角形； 〔2〕假设BC BA B BC BA ⋅∈=+求且],32,3[,2||ππ的取值范围.18．〔此题总分值12分〕函数x ax x x f 3)(23+-=〔1〕假设f 〔x 〕在),1[+∞∈x 上是增函数,求实数a 的取值范围；〔2〕假设x=3是f 〔x 〕的极值点,求f 〔x 〕在],1[a x ∈上的最小值和最大值. 19．〔本小题总分值12分〕如图,在底面是菱形的四棱锥P —ABCD 中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=a 2,点E 在PD 上,且PE ：ED=2：1 〔1〕证实PA ⊥平面ABCD 〔2〕求以AC 为棱, EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小； 〔3〕在棱PC 上是否存在一点F,使BE//平面AEC ？证实你的结论.20．〔本小题总分值12分〕骰子是一个质量均匀的正方体,6个面上分别刻有1、2、3、4、5、6点.现在桌面上有3只骰子分别为木制、骨制、塑料制的.重复下面操作,直到桌子上没有骰子：将桌上的骰子全部掷出,然后去掉那些奇数点的骰子. 〔1〕求完成以上操作的次数是二次的概率； 〔2〕求完成以上操作的次数多于三次的概率.21．〔本小题总分值12分〕椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为F 1,F 2,右顶点为A,P 是椭圆C 1上任意一点,设该双曲线C 2：以椭圆C 1的焦点为顶点,顶点为焦点,B 是双曲线C 2在第一象限内的任意一点,且22b a c -=〔1〕设2212c PF PF 的最大值为⋅,求椭圆离心率； 〔2〕假设椭圆离心率A BF BAF e 1121∠=∠=λλ，总有时，是否存在成立.22．〔本小题总分值14分〕设数列{a n }的各项都是正数,且对任意n ∈N +,都有23333231n n S a a a a =++++ ,记S n为数列{a n }的前n 项和. 〔1〕求证：2n a =2S n －a n ； 〔2〕求数列{a n }的通项公式；〔3〕假设n an n n b 2)1(31⋅-+=-λ〔λ为非零常数,n ∈N +〕,问是否存在整数λ,使得对任意 n ∈N +,都有b n +1>b n .江西省2022年八校 高三联合测试抚州一中 赣州一中 吉安一中 九江一中萍乡一中 新余一中 宜春中学 上饶县中数学〔理〕试题参考答案一、选择题〔每题5,共60分〕13．]3,(-∞ 14．9 15．831=-EFG B V 16．③④⑤ 三、解做题17．〔1〕由于,0,0)(,=++=-⋅⋅=⋅CA BC AB AB BC CA AB CA CA BC 又所以 0,0)()(),(22=-=-⋅+-+-=BC AB AB BC BC AB BC AB CA 所以所以所以, 所以,||||22BC AB =即|AB |=|BC |,故△ABC 为等腰三角形.〔6分〕 〔2〕由于]32,3[ππ∈B ,)10(cos 12,4cos 2,4||,2||,||||],21,21[cos 22222分所以所以所以因为设所以Ba B a a a BC BA BC BA a BC AB B +==++=+=+==-∈2cos ||||a B BC BA BC BA =⋅=⋅所以 B B B B cos 122cos 1cos 2cos +-=+=]32,2[-∈〔12分〕18．解：〔I 〕),1[)(,323)(2+∞∈+-='x x f ax x x f 在要上是增函数,那么有内恒成立在即内恒成立在),1[2323,),1[03232+∞∈+≤+∞∈≥+-x xx a x ax x 又32323≥+xx 〔当且仅当x =1时取等号〕,所以a ≤3〔6分〕 〔II 〕由题意知)(x f '=3x 2－2ax +3=0的一个根为x =3,可得a =5, 所以)(x f '=3x 2－10x +3=0的根为x =3或x =31〔舍去〕,又f (1)=－1, f (3)=－9,f (5)=15,∴f (x )在x ∈[1,5]上的最小值是f (3)=－9,最大值是f (5)=1519．证实：由于底面ABCD 是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=a ,在△PAB 中, 由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2 知PA ⊥AB.同理,PA ⊥AD,所以PA ⊥平面ABCD.〔3分〕 〔II 〕解 作EG//PA 交AD 于G, 由PA ⊥平面ABCD.知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H,连结EH, 那么EH ⊥AC,∠EHG 即为二面角θ的平面角. 又PE ：ED=2：1,)7.(30,33tan .3360sin ,32,31分从而所以 =======θθGH EG a AG GH a AG a EG〔III 〕解法一 以A 为坐标原点,直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴,过A 点垂直平面PAD 的直线为x 轴,建立空间直角坐标系如图.由题设条件,相关各点的坐标分别为 A 〔0,0,0〕,B 〔23a ,－21a ,0〕,C 〔23a , 21a ,0〕. D 〔0,a ,0〕,P 〔0,0,a 〕,)31,32,0(a a E .).,21,23().,21,23(),,0,0().0,21,23(),31,32,0(a a a BP a a a PC a AP a a AC a a AE -=-====所以 设点F 是棱PC 上的点,10),,21,23(<<-==λλλλλ其中a a a PC PF ,那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-+=-+-=-+-=+=.22112131)1(,3221)1(21,23)1(23).1(),1(21),1(23(),21,23(),21,23(λλλλλλλλλλλλλλλa a a a a a a AE AC BF a a a a a a a a a PF BP BF 得令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+=-.311,341,12211λλλλλλλ即.2321,21.23,21,2121AE AC BF +-===-==时即λλλλ 亦即,F 是PC 的中点时,BF 、AC 、AE 共面.又BF ⊄平面AEC,所以当F 是棱PC 的中点时,BF//平面AEC.〔12分〕 解法二 当F 是棱PC 的中点时,BF//平面AEC,证实如下, 证法一 取PE 的中点M,连结FM,那么FM//CE.① 由ED PE EM ==21,知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD,设BD ∩AC=O,那么O 为BD 的中点. 所以BM//OE. ②由①、②知,平面BFM//平面AEC . 又BF ⊂平面BFM,所以BF//平面AEC. 证法二：.2123)(23)(212321)(2121AC AE AD AE AC AD AD DE CD AD DP CD AD CP BC BF -=-+-+=++=++=+=因为 所以BF 、AC 、AE 共面.又BF ⊄平面ABC,从而BF//平面AEC.20．〔1〕64193)21()21(3)21()21()21()21(323332=⨯+⨯+=P 〔4分〕〔2〕操作次数为一次的概率P 1=81)21(3= 〔6分〕操作次数为三次的概率：)10(512127)21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21()21(3232323223133323233133333分=+++++=C A C C C P所以操作三次以上的概率为5121691321=---P P P 〔12分〕 21．〔1〕设P 〔x ,y 〕,又F 1〔－c,0〕,F 2〔c,0〕∴),(1y x c PF ---=,)5(33,233,2..)1(01.),,(22222212222222222222122222222222222212分故最大值为时当得又 =∴=∴=∴=⋅=-+=-+-=⋅∴≤≤-==+-+=∴--=e a c c a c b b PF PF a x c b x ac c b x a b PF PF a x a x b b y b y a x c y x PF g PF y x c PF〔2〕由椭圆离心率c b c a e 3,2,21===得双曲线)6(13)0,0)(,()0,2(,13:220220000022222分则设 =->>=-cyc x y x y x B c A c y c x C①当AB ⊥x 轴时,x 0=2c,y 0=3c.∴tan ∠BF 1A=1, ∴∠BF 1A=45°∴∠BAF 1=2π=2∠BF 1A …………〔7分〕 ②当x ≠2c 时.10022020001220220220200001211001001tan 2)(3)()(22tan 10)(3)1(3)(12tan 1tan 22tan tan 2tan BAF cx y c x c x c x y A BF c x cx c y cx y c x y ABF A BF A BF cx y A BF c x ya x y BAF ∠=--=--++=∠∴-=-=+-+=∠-∠=∠∴+=∠--=--=∠分又2∠BF 1A 与∠BAF 1同在),2()2,0(πππ或内 2∠BF 1A=∠BAF 1总2∠BF 1A=∠BAF 1有成立.……………………………………〔12分〕. 22．解：〔1〕在式中,当n =1时,2131a a =∵a 1>0 ∴a 1=1……………………………………1分当n ≥2时,23333231n n S a a a a =++++ ① 2131333231--=++++n n S a a a a ②①－②得,)222(1213n n n n a a a a a a ++++=- …………………………3分∵a n >0 ∴2n a =2a 1+2a 2+…+2a n －1+a n , 即2n a =2S n －a n ∵a 1=1适合上式∴2n a =2S n －a n (n ∈N +)……………………5分 〔2〕由〔1〕知2n a =2S n －a n (∈N +) ③当n ≥2时, 21-n a =2S n －1－a n －1 ④③－④得2n a －21-n a =2(S n －S n －1)－a n +a n －1=2a n －a n + a n －1= a n + a n －1 ∵a n +a n －1>0 ∴a n －a n －1=1……………………8分∴数列{a n }是等差数列,首项为1,公差为1,可得a n =n ………………9分 〔3〕∵n n n a n n n n n b n a 2)1(32)1(311⋅-+=⋅-+=∴=--λλ2)1(332]2)1(3[]2)1(3[11111>⋅--⋅=⋅-+-⋅-+=-∴--+++nn n n n n n n n n n b b λλλ∴11)23()1(--<⋅-n n λ ⑤……………………11分当n =2k －1,k =1,2,3,……时,⑤式即为22)23(-<k λ ⑥依题意,⑥式对k=1,2,3……都成立,∴λ<1………………12分 当n=2k,k=1,2,3,…时,⑤式即为12)23(--<k λ ⑦依题意,⑦式对k=1,2,3,……都成立,∴23->λ……………………13分 ∴0,123≠<<-λλ又 ∴存在整数λ=－1,使得对任意n ∈N,都有b n+1>b n ………………14分。
2022年江西省八校高考数学第一次联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年江西省八校高考数学第一次联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2. 已知复数z满足，则的虚部为( )A. 1B. iC.D.3. 函数与均单调递减的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.4. 江西某中学为测试高三学生的数学水平，组织学生参加了联考，共有1000名学生参加，已知该校上次测试中，成绩满分150分服从正态分布，已知120分及以上的人数为160人，假设这次考试成绩和上次分布相同，那么通过以上信息推测这次数学成绩优异的人数为成绩140分以上者为优异( )，，A. 20B. 25C. 30D. 405. 已知实数x，y满足，求的最小值( )A. B. C. D.6. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示网格纸上小正方形的边长为，则该“阳马”最长的棱长为( )A. 5B.C.D.7. 若圆上存在两点关于直线对称，则的最小值是( )A. 3B. 4C. 5D. 88. ，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，则下列说法错误的是( )A. B. 在上单调递减C. 关于直线对称D. 的最小值为19. 设，是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使为坐标原点，且，则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.10. 在平行四边形ABCD中，，现沿着AC将平面ADC折起，E，F 分别为AC和BD的中点，那么当四棱锥的外接球球心不在锥体内部时，EF的最大值为( )A. 1B.C.D.11.设椭圆的左、右焦点分别为，，直线l过且与C交于A，B两点，则内切圆半径的最大值为( )A. B. C. D. 112. 已知函数的三个零点分别为，，，其中，则的取值范围为( )A. B. C. D.13. 若为常数的展开式中第三项为常数项，则该常数项为______.14. 已知，其中，，为的一个零点，且恒成立，则满足条件的整数取值集合为______.15. 校园某处并排连续有6个停车位，现有3辆汽车需要停放，为了方便司机上下车，规定：当有汽车相邻停放时，车头必须同向；当车没有相邻时，车头朝向不限，则不同的停车方法共有______种用数字作答16. 在中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，点P是其外接圆O上的任意一点，若，则的最大值为______.17. 已知数列满足：，，，数列的前n项和满足：求数列和的通项公式；求数列的前n项和18. 2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民以下称为“返赣人员”人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄单位：岁分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；据了解，该地区今年返赣人员占现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．参考公式：，其中参考数据：19. 在中，已知，，，D为线段AB的中点，是由绕直线AO旋转而成，记二面角的大小为当平面平面AOB时，求的值；当时，求二面角的余弦值.20. 已知A是抛物线C：上一点，是x轴上的点，以A为圆心且过点B的圆与y轴分别交于点E、F，且当圆A与x轴相切时，A到抛物线焦点的距离为求抛物线C的标准方程；设线段BE、BF长度分别为、，求的取值范围．21. 已知函数求在点处的切线方程；若方程有两个实数根，，且，证明：22. 在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线求曲线的极坐标方程；若曲线的切线交曲线于不同两点M，N，切点为T，求的取值范围．23. 已知函数当时，求不等式的解集；若，，求a的取值范围，答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，，故选：利用交集运算求解即可．本题考查了交集及其运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，，的虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，结合共轭复数和虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数和虚部的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：与均单调递减，，，函数与均单调递减的一个充分不必要条件是故选：根据函数的性质求出，是减函数的充要条件，再根据集合的包含关系判断即可．本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性问题，考查充分必要条件以及集合的包含关系，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：成绩满分150分服从正态分布，又分及以上的人数为160人，分及以下的人数也为160人，，由此可知，，即，，故140分及以上的人数为故选：根据已知条件，结合正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，考查计算能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示：因为，设，则，平移目标函数，当过点A时，z取得最小值，由，解得，所以z的最小值为，此时取得最小值为故选：画出不等式组表示的平面区域，由，求出的最小值，即可得出答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合与转化思想，是基础题．6.【答案】D【解析】解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中平面ABCD，，，，，，该几何体最长棱的棱长为：故选：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键．7.【答案】B【解析】解：圆上存在两点关于直线对称，直线经过圆心，即，即，，，当且仅当，即，时，等号成立，故最小值为故选：根据已知条件，结合圆的对称性，以及基本不等式的公式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，考查基本不等式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：因为，分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且，所以，所以，则，A正确；，，则，显然B错误；由为偶函数，图象关于对称可知的图象关于对称，C正确；由基本不等式得，，当且仅当时取等号，此时函数取得最小值1，D正确．故选：由已知结合函数奇偶性定义先求出，然后结合单调性及对称性，及基本不等式分别检验各选项即可判断．本题主要考查了利用函数奇偶性求解函数解析式，还考查了函数单调性，对称性的应用及利用基本不等式求解函数的最值，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：，，，，，中，，由双曲线的定义得，，，，，故选：利用向量的加减法可得，故有，可得，由条件可得，由求出离心率．本题考查双曲线的定义和双曲线的简单性质的应用，其中，判断是直角三角形是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：平行四边形ABCD中，，与都是边长为的正三角形，当折起平面ADC时，四棱锥的外接球球心是过的中心平面ADC的垂线与过的中心平面ABC的垂线的交点，，F分别为AC与BD的中点，由对称性可知球心在EF或其延长线上，四棱锥的处接球球心不在锥体内部，若球心与点F重合，连接BE，DE，AF，CF，根据题设可知，，，，，根据勾股定理有，，，，排除故选：由题意可知，当折起平面ADC时，四棱锥的外接球球心在EF或其延长线上，当外接球球心与点F重合时，求出EF的值，再利用排除法求解．本题考查了球的内接多面体和四棱锥的性质，是较难题．11.【答案】C【解析】解：设，，因为的面积，所以，即，所以，设直线AB的方程为，联立，得，所以，，所以，令，则，当且仅当时，等号成立，所以故选：由，结合椭圆的定义，推出，设出直线AB的方程，将其与椭圆方程联立，求出的最大值，即可．本题考查直线与椭圆的位置关系，三角形的面积与内切圆半径之间的关系，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：，显然，令，，即，令，，则，，，令，，要想除1外再有两个零点，则在上不单调，则，解得：或，当时，在恒成立，则在单调递增，不可能有两个零点，舍去；当时，设即的两根为a，b，且，则有，故，令，解得或，令，解得，所以在，上单调递增，在上单调递减，因为，所以，又因为，若，则，因为，所以，所以，因为，所以，故检验：当时，，，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，，综上，的取值范围为故选：对函数进行整理，构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案．本题考查了利用函数的零点求参数的取值范围和基本不等式的应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．13.【答案】24【解析】解：由已知得，令得，所以该常数项为故答案为：利用通项表示出展开式的第三项，令x的指数为0，求出k的值，即可获解．本题考查二项式展开式通项的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：为的一个零点，且恒成立，，①，，，②，，①+②可得，，，，或，解得或，当时，，，，，解得，，，当时，，，，，解得，，，故满足条件的整数取值集合为故答案为：结合的零点，最值列出不等式，再分类讨论，即可求解．本题主要考查正弦图象的性质，考查分类讨论的思想，属于难题．15.【答案】528【解析】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若三辆汽车互不相邻，有种情况，又由车头朝向不限，则有种情况，此时有种停车方法；②，若三辆汽车中有2辆相邻，种情况，车头朝向有种情况，此时有种停车方法；③，若三辆汽车全部相邻，有种情况，又由车头必须同向，有2种情况，此时有种停车方法；则一共有种停车方法；故答案为：528，根据题意，分3种情况讨论：①，若三辆汽车互不相邻，②，若三辆汽车中有2辆相邻，③，若三辆汽车全部相邻，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．16.【答案】【解析】解：以BC的中点为原点，以所在方向为x轴的正方向，所在的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，则：，，，可得外接圆的圆心为：，半径为：，所以圆O的方程为：，设，则：，，，所以：故答案为：以BC的中点为原点，以所在方向为x轴的正方向，所在的方向为y轴的正方向，建立平面直角坐标系，可求坐标，，，进而可求圆O的方程为：，设，则可求，，的坐标，进而运算即可得解．本题主要考查了平面向量的运算，把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决，属于中档题．17.【答案】解：因为，所以是等差数列，设其公差为d ，则，解得，所以，当时，，所以，当时，，所以，即，所以，所以…，…，两式相减得，…，故【解析】由等差中项的性质知，是等差数列，先求得公差d，再得其通项公式；利用，可证数列是等比数列，进而得解；根据错位相减法，即可得解．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式，利用求通项公式，错位相减法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：由频率分布直方图可知年龄在上的占比为，根据已知人数为10计算可得总人数为80，列联表如下：返赣人员本地人员合计男251540女103040合计354580，有的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关．由题意可得，X的取值可为0，1，2，3，，，，，故分布列为：X0123P故【解析】根据已知条件，结合频率与频数的关系，可补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．由题意可得，X的取值可为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得X的分布列，并结合期望公式，即可求解．本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．19.【答案】解：如图，在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，平面平面AOB，平面平面，又，平面AOB，则平面又由平面COD，，又，BH和OA相交，平面又平面AOB，从而，即；在平面BOC中，过O作，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，则，，，求得：，设平面OCD的一个法向量为，由，得，令，得，又平面OBD的一个法向量为，二面角的余弦值为【解析】在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为H，证明平面COD，可得，再由，BH和OA相交，可得平面AOB，从而证明；在平面BOC中，过O作，以O为原点建立如图所示的空间坐标系，求出平面OCD 的一个法向量，由图直接得到平面BOD的一个法向量，然后利用两平面法向量所成角的余弦值求得二面角的余弦值．本题考查的知识点是与二面角有关的立体几何问题，平面与平面垂直的性质，考查利用空间向量求二面角的平面角，属于中档题．20.【答案】解：当轴时，圆A与x轴相切，由题意可知此时点A的横坐标为1，到抛物线焦点的距离为，到抛物线准线的距离为，故准线与y轴之间的距离为，解得：，抛物线C的标准方程为；设A的坐标，由垂径定理可知，设，，，，当时，则；当时，则，，，此时综上所述，【解析】由题意圆A与x轴相切，A到抛物线焦点的距离为，得到A到抛物线准线的距离为，从而求出p及抛物线方程；设A的坐标，由垂径定理可知EF，设，，求得，，，分、讨论可得答案．本题考查了抛物线的定义及性质、分类讨论思想及利用基本不等式求最值，属于中档题．21.【答案】解：，则，由点斜式可得切线方程为；证明：由知在点处的切线方程为，设，构造函数，则，在上单调递减，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，方程的根，又，由在R上单调递减，所以，另一方面，在点处的切线方程为，设，构造函数，则，，在上单调递减，在上单调递增，又，在上单调递减，在上单调递增，，即，当且仅当时取等号，方程的根为，又，在R上单调递增，，，即得证．【解析】求导，求出切线斜率及切点，利用点斜式方程即可求得切线方程；利用切线放缩思想求证即可．本题考查导数的综合运用，考查导数的几何意义及利用导数证明不等式，考查逻辑推理能力及运算能力，综合性强，难度大．22.【答案】解：曲线的方程是，即，化为，将向上平移1个单位得到曲线：，展开为则曲线的极坐标方程为，即设，切线的参数方程为：为参数，代入的方程化为：，，，，，当时，；当或时，的取值范围是【解析】曲线的方程是，即，利用，即可化为直角坐标方程：再向上平移1个单位得到曲线：，展开利用即可得到曲线的极坐标方程．设，切线的参数方程为：为参数，代入的方程化为：，利用及其三角函数的单调性即可得出．本题考查了极坐标化为直角坐标方程的方法、直线参数方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.【答案】解：函数，当时，，不等式的解集为R；由，得，两边平方得，解得；不等式的解集为；当，时，，则，解得；当，时，，解得；当，时，；当且仅当时取等号，则，又，解得；综上，a的取值范围是【解析】根据时，求不等式的解集即可；讨论、和时，结合化简函数，求出不等式时a的取值范围．本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合题．。
“四省八校”2022届高三下学期开学考试理科数学试题(含答案解析)
“四省八校”2022 届高三下学期开学考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．若集合12xA x x ⎧⎫-=∈>⎨⎬⎩⎭R ，(){}2log 11B x x =+<，则A B =( ) A ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．10,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭2．已知R a ∈，复数3i1iz a +=+（i 为虚部单位）为纯虚数，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知α，R β∈，则“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．设函数()1ln1f x x xx+=-，则函数的图象可能为( ) A ． B ．C ．D ．5．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）A ．156种B ．168种C ．172种D ．180种6．已知()()()515313212532log log log log log log log log log 0z y x ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎡⎤⎢⎣⎦⎥⎦⎣⎦，则下列关系中成立的是 A ．x y z <<B ．y z x <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．函数()()()π2sin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭对于R x ∀∈都有()3πf x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()2π3f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭恒成立，在区间,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上()f x 无最值.将()f x 横坐标变为原来的6倍，图象左移2π3个单位，上移3个单位得到()g x ，则下列选项正确的是（ ） A ．()g x 在4π11π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．当8π3x =-时()g x 取得最小值为-1 C ．()g x 的对称中心为()π2πZ 3x k k =+∈ D ．()g x 右移m 个单位得到()h x ，当2π3m =时，()h x 为偶函数 8．在△ABC 中，且BD BC λ=，AE AC μ=，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，3B π∠=，54AB BC =，则（ ）A ．当13λ=时，1233AD AB AC =+B ．当45λ=时，8AB BD ⋅=- C ．当12μ=时，21BE =D ．当49μ=时，6ABE π∠= 9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为1DD 的中点，N 为正方形ABCD 内一动点，则下列命题正确的个数是( )△若MN =N 的轨迹长度为π.△若N 到平面11BB C C 与直线1AA 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线的一部分. △若N 在线段AC 上运动，则11D N DB ⊥.△若N 在线段AC 上运动，则1MN BD ∥. A ．1B ．2C ．3D ．410．在x 轴上方作圆与x 轴相切，切点为)D，分别从点()2,0A -､()2,0B ，作该圆的切线AM 和BM ，两切线相交于点M ，则点M 的横坐标的取值范围( )A ．((),2,-∞+∞B ．([),2,-∞+∞C ．((),3,-∞+∞D ．(),-∞⋃+∞11．已知函数()()ln 0xf e x a x a =≠，若[)3,x ∃∈+∞，()2ln f x x x a <+成立，则a 的取值范围是（ ） A ．33,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．31,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．330,e ⎛⎤⎥⎝⎦D ．330,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．设1F ，2F 分别是椭圆()2222:10x yE a b a b+=>>的左､右焦点，若椭圆E 上存在点P满足2122a PF PF ⋅=，则椭圆E 离心率的取值范围（ ）A ．12⎛ ⎝⎭B ．12⎡⎢⎣⎦ C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．若一几何体三视图如图所示，则其内接长方体体积的最大值为___________.14．已知2⎛+⎝nx 的展开式中，第4项的系数与倒数第四项的系数之比为12，则展开式中二项式系数最大的项的系数为___________. 15．在ABC 中，已知22cos cos 1B A -=，则AB BC的取值范围为___________.16．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理“三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半”，后人称这条直线为“欧拉线”，直线l 与y 轴及双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线的三个不同交点构成集合M ，且M 恰为某三角形的外心，重心，垂心所成集合，若l 的斜率为－1，则该双曲线的离心率可以是，，，△以上结论正确的是___________. 三、解答题17．已知数列{}n a 中，11a =，23a =，()1*21223n n n n a a a n N ++++-=∈.(1)设12n nn na ab +-=，求证{}n b 是等差数列； (2)求{}n a 的通项.18．如图，多面体1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，上底面1111D C B A 为直角梯形，且111111122CC B C C D A D ====，111BB CC DD ∥∥，1CC ⊥平面ABCD ，F 为棱1CC 上的一个动点，设由点1A ，A ，F 构成的平面为α.(1)当F 为1CC 的中点时，在多面体中作出平面α截正方体的截面图形，并指明与棱的交点位置；(2)求当点D 到平面α的距离取得最大值时直线AD 与平面α所成角的正弦值. 19．某校高三2班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中小学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，学校提供了：除草､翻地､播种､浇水四个项目.规定女生等可能的从中选择1个或者2个项目进行劳动学习，男生等可能的从中选择1个或者2个或者3个项目进行劳动学习，每参加1个劳动项目的学习获得10分，求：(1)在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率； (2)记该小组得分为X ，求X 的期望.20．如图，已知椭圆221:14x C y +=，曲线22:1C y x =-与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与相交于A 、B ，直线MA 、MB 分别与1C 交于点D 、E .(1)证明：以DE 为直径的圆经过点M ；(2)记MAB △、MDE 的面积分别为1S 、2S ，若12S S λ=，求λ的取值范围.21．己知函数()2ln f x x ax x =+-.(1)当1a =时，求()f x 的单调区间. (2)存在1≥x ，使得()3112f x x ≥+成立，求整数a 的最小值. 22．在平面直角坐标系中，曲线1C 经过伸缩变换32x xy y ''=⎧⎨=⎩得到曲线2C ，曲线2C 的方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点为极点建立极坐标系，曲线3C 是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形AOB ，其中2AOB π∠=.(1)请写出曲线1C 的普通方程和曲线3C 的极坐标方程.(2)已知点P 在曲线2C 上，OP AO 、BO 分别与曲线2C 交于点M 、N ，求PMN 的面积.23．已知函数()123f x x x =+-- (1)求不等式()0f x ≥的解集；(2)若()f x 的最大值为m ，且4log 5a b m =-，求4a b +的最小值.参考答案：1．C 【解析】 【分析】根据分式不等式解法解出集合A ，根据对数的运算法则计算出集合B ，再根据集合交集运算得结果. 【详解】(){}113003A x x x x x ⎧⎫=-⋅>=<<⎨⎬⎩⎭，(){}{}{}2log 1101211B x x x x x x =+<=<+<=-<<， △10,3A B ⎛⎫⎪⎝=⎭.故选：C. 2．B 【解析】 【分析】根据复数的出发运算结合纯虚数的定义求出a ，从而可求出复数z ，即可得出答案. 【详解】 解：()()()()()23i 1i 331i 3i 1i 1i 1i 1a a a z a a a a +-+--+===++-+， 因为复数3i1iz a +=+（i 为虚部单位）为纯虚数， 所以30310a a +=⎧⎨-≠⎩，解得3a =-，所以i =z ，所以i z =-， 所以z 的共轭复数的虚部为1-. 故选：B. 3．D 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-时，则()cos ,2,cos cos (1)cos ,21,kk n n Z k k n n Z βαπββ=∈⎧=+-=⎨-=+∈⎩；即不能推出cos cos αβ=. (2)当cos cos αβ=时，2k αβπ=+或2k απβ=-，k Z ∈,所以对第二种情况，不存在k Z ∈时，使得()1kk απβ=+-成立，故“cos cos αβ=”是“存在k Z ∈使得()1kk απβ=+-”的既不充分不必要条件. 故选：D 4．C 【解析】 【分析】判断f (x )的奇偶性和单调性即可判断图像. 【详解】()()()101101,11xx x x x +>⇒+-<⇒∈--， ()()()1lnln 1ln 11xf x x x x x x+⎡⎤==+--⎣⎦-， ()()()()()()ln 1ln 1ln 1ln 1f x x x x x x x f x ⎡⎤⎤⎡-=--+=-+--=-⎦⎣⎣⎦，△f (x )是定义在(－1，1)上的奇函数，图像关于原点对称，据此排除BD ； 又11ln3022f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，△选C.故选：C. 5．A 【解析】 【分析】利用间接法来求得不同的安排方案的数量. 【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有166C =种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有155C =种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有222422226C C A A ⨯=种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有14C 4=种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有133C =种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种. 故选：A 6．C 【解析】 【分析】利用对数式特殊值，解对数方程，再比较x,y,z 的大小关系． 【详解】由题意知，2122log log (log )0x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，122log (log )1x ∴=，21log 2x ∴= 解得122x ==同理可解得133y ==155z ==比较x 和y ：取668x ==，669y == 66,x y x y <∴<比较x 和z ：取101032,25x z ==，1010,x z x z ∴>∴>比较y 和z ：取1515243,125y z ==，1515,y z y z ∴>∴>综上所述：z x y <<，故选C ． 【点睛】对数式特殊值有log 10,log 1a a a ==，结合对数式指数式互化，解决一些特殊的对数方程．再构造同指数幂比较大小． 7．D 【解析】 【分析】根据已知条件求得()f x 的解析式，然后根据三角函数的的单调性、最值、对称性、三角函数图象变换、三角函数的奇偶性等知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】 由题意得△πππ4366T =-=，△223ππT ω==，则3ω=. △ππ2sin 2cos 062f ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ2k ϕ=+△()2cos3f x x =，则()1π2cos 323g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1π4π10π2ππ2π2π4π4π2333k x k k x k +≤+≤+⇒+≤≤+， ()f x 在4π10π4π,4π33k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈上单调递增，当k =0时，增区间为4π10π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，A 错误； 4π4π3x k =+时，()g x 取得最小值为1，B 错误： 1ππππ,2π2323x k x k +=+=+，所以()g x 的对称中心为()2π2π,33k k ⎛⎫+∈⎪⎝⎭Z ，C 错误； ()1π2cos 3232m h x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，当()h x 为偶函数时，ππ32m k -=，2π2π3m k =-，D 正确.故选：D 8．D 【解析】 【分析】根据向量的加减法运算可判断A;根据数量积的运算法则可求得AB BD ⋅，从而判断B;先表示出1()2BE BA BC =+，再根据向量模的计算求得BE ，可判断C;根据向量的夹角公式可求得ABE ∠，判断D. 【详解】当13λ=时，13BD BC =，则1121++()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ===+-=+,故A 错误； 当45λ=时，45BD BC =， 则24428||cos ||||55325AB BD AB AB BC BC BC π⨯=-⋅=⋅=⋅）（， 由于||BC 不定，故B 错误； 当12μ=时，1()2BE BA BC =+,故2222211141461||()2||222255BE BA BC BA BC BA BC BC BC BC =+=++⋅=+=由于||BC 不定，故C 错误；当49μ=时，49AE AC =， 4454())9999BE AE AB AC AB AB BC AB AB BC =-=-=+-=-+, 故25443||()||99BE AB BC BC =-+=, 故22545424()||999945BA BE BA AB BC AB AB BC BC ⋅=⋅-+=-⋅=所以224345=||||443cos ||||BCBA BE ABE BA BE BC BC ⋅∠==⋅⨯ , 由于03π<∠<ABE ,故6ABE π∠=，故D 正确，故选：D 9．C 【解析】 【分析】△连接DN 、MN ，求出DN ，根据圆的定义可求N 的轨迹，根据圆的周长可求轨迹长度； △根据几何关系可知N 到平面11BB C C 的距离即为N 到直线BC 的距离，N 到直线1AA 的距离即为NA ，根据抛物线的定义即可判断N 的轨迹； △连接11AD CD 、，证明1DB ⊥平面1ACD 即可；△连接连接AC 和BD 交于O ，连接MO ，则1BD △MO ，由此即可判断. 【详解】 △连接DN 、MN ，△DM △平面ABCD ，△DM DN ⊥，△2DN ， △点N 的轨迹是以D 为圆心，2为半径的圆的14，△点N 轨迹长度为圆的周长的14，为1224ππ⨯⨯=，故△正确；△如图，过N 作NE △BC 与E ，连接AN ：△平面ABCD △平面11BB C C 且两平面交于BC ，△NE △平面11BB C C ，△NE 即为N 到平面11BB C C 的距离；△1AA △平面ABCD ，△1AA △AN ，△AN 就是N 到直线1AA 的距离；若N 到平面11BB C C 与直线1AA 的距离相等，即NE ＝NA ，根据抛物线的定义可知N 的轨迹是以A 为焦点，BC 为准线的抛物线的一部分，故△正确； △连接111AD CD DC 、、：11CDD C 是正方形，11DC CD ∴⊥，△11B C ⊥平面1111111111,,,CDD C B C CD DC B C C CD ∴⊥⋂=∴⊥平面1111,DB C CD DB ∴⊥， 同理可证111111,,AD DB AD CD D DB ⊥⋂=∴⊥平面111,,ACD DB D N ∴⊥∴③正确；△连接AC 和BD 交于O ，连接MO ，△ABCD 时正方形，△OB ＝OD ，又M 是1DD 的中点，△在三角形1BDD 中，1BD △MO ， △若N 在线段AC 上运动，只有当N 为AC 中点O 才满足1MN BD ∥，故△错误. △正确的命题是：△△△，正确的个数为：3. 故选：C. 10．A 【解析】 【分析】根据题意作出图像，根据几何关系研究动点M 的轨迹即可. 【详解】当M 在第一象限时，如图，设直线AM ，BM 与圆分别相切于点E ，F ，由题可知ME MF =，AE AD =，BF BD =， 又△AM AE ME =+，BM BF MF =+△()AM BM AE ME BF MF AD BD AB -=+-+=-=△根据双曲线的可知，M 在以A 、B 为焦点的双曲线的右支上(不能取顶点)，△此时M 恒坐标M x 当M 在第三象限时，如图，同理可得()()MA MB ME AE MF BF -=---ME MF BF AE BD AD =-+-=-=-△根据双曲线的定义可知，此时M 是以A 、B 为焦点的双曲线的左支上的点(不能为顶点)，△此时M 恒坐标M x <综上，M 点的横坐标的取值范围((),2,-∞+∞.故选：A. 11．D 【解析】 【分析】先将不等式()2ln f x x x a <+变形为ln ln xxae xxae ，再根据函数()ln xh x x=在[)3,+∞上为减函数即可得到x x ae >，然后分参即可求出． 【详解】因为()2ln f x x x a <+，得2ln ln xae x x x a <+，同时除以xxae 得：ln ln xxae xxae，[)3,x ∃∈+∞使该不等式成立．设()ln x h x x=，()21ln xh x x -'=，当3x ≥时，()0h x '<，所以()ln x h x x =在[)3,+∞为减函数，所以，由()()e xh x h a <得x x ae >，即maxx x a e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，因为333ln ln 3x x x x e e e e e e =≤=，所以，3max 3x x a e e ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即a 的取值范围是330,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：D. 12．B 【解析】 【分析】利用2122a PF PF ⋅=列方程，整理得422220222a a b x a c c =+-，然后根据20x 的取值范围，求得离心率的取值范围. 【详解】 设()00,P x y ，由椭圆的方程可得()1,0F c -，()2,0F c ，2122a PF PF ⋅=， 则()()20000,,2a c x y c x y ---⋅--=，即2222002a x y c +=+，由P 在椭圆上可得2200221x y a b+=，所以2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以可得22222022c a x b c a ⋅+=+，所以422220222a a b x a c c =+-，由2200,x a ⎡⎤∈⎣⎦，所以422222422222222202 2a a b a cc a a b a a c c a b c ⎧+-≥⎪⎪⎪+-≤⎨⎪=+⎪⎪⎩，整理可得：224a c ≤，222a c ≥，可得：12e ⎡∈⎢⎣⎦.故选：B 13．1627 【解析】 【分析】根据题意该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2，故底面矩形的边长为,a b ，对角线长为c ，高为x ，进而长方体的体积为()222x xV abx -=≤，02x <<，在结合导数计算()32122,022f x x x x x =-+<<的最值即可. 【详解】解：根据三视图可判断该几何体为圆锥，且圆锥的底面半径为1，高为2；其内接长方体如图，底面矩形的边长为,a b ，对角线长为c ，高为x ，根据轴截面图得出：2221cx -=，解得2c x =-，其中02x <<；因为2222a b c ab +=≥，所以()22222x c ab -≤=，当且仅当a b =时等号成立， 所以长方体的体积为()222x xV abx -=≤，02x <<，所以令()()2322122,0222x xf x x x x x -==-+<< 则()'23422f x x x =-+，令()'234202f x x x =-+=，解得23x =或2x =， 可判断20,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递增，2,23x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 单调递减，所以()f x 的最大值为22221633227⎛⎫- ⎪⎝⎭=⨯.所以该长方体的最大值为1627，当且仅当底面边长为a b ==23x =，故答案为：1627. 14．280或560 【解析】 【分析】结合二项式展开式的通项公式以及已知条件列方程，化简求得n 的值，进而求得展开式中二项式系数最大项的系数. 【详解】因为2⎛ ⎝nx 的展开式通项为()522212kkn n k k k k k n n T C x C x--+=⋅⋅=⋅⋅， 所以，展开式中第4项系数为332n C ⋅，倒数第四项系数为332n n n C --⋅，则3363321222nn n n n C C ---⋅==⋅，即6-n =-1，所以n =7. 当k =3或k =4时，二项式系数最大.所以二项式系数最大的项为13133322472280T C x x =⋅=和4444572560T C x x ==；所以二项式系数最大的项的系数为280或560. 故答案为：280或560 15．30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用二倍角公式分析得出2A B =，利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出12cos 2cos AB B BC B =-，令cos B t =，则1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()122f t t t =-，利用函数()f t 的单调性可求得AB BC的取值范围.【详解】因为22cos cos 1B A -=，所以2cos 2cos 1cos 2A B B =-=， 因为A 、()0,B π∈，故()20,2B π∈，所以2A B =或22A B π+=. 因为B A B π<+<，故22A B π+<，故2A B =. 则由正弦定理得()sin sin sin 3sin 2cos cos 2sin sin sin sin 22sin cos AB A B C B B B B BA AB B BBC ++==== ()2222sin cos 2cos 1sin 4cos 112cos 2sin cos 2cos 2cos B B B BB B B BB B+--==-，因为()30,C B ππ=-∈，所以0,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1cos ,12B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设cos B t =，则1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则122AB t BC t =-， 设()122f t t t =-，1,12t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()f t 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则()()112f f t f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即302AB BC<<. 所以ABBC 的取值范围为30,2⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为：30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.16．△△△ 【解析】 【分析】设直线方程()0y x t t =-+>，可求出三个交点，结合条件列出等式进而可得a ,b 的关系式，【详解】设直线l 的方程为()0y x t t =-+>，令x =0，可得y =t ，设直线l 与y 轴的交点()0,A t ， 双曲线的渐近线方程为by x a=±， 与直线y =x +t 联立，可得,atbt B a b a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，,at bt C a b a b ⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 由三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，当A ，B ，C 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12AB BC =，即为12at at at a b a b a b ⎛⎫=- ⎪+-+⎝⎭，化为a =2b ，c e a = 当A ，C ，B 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上， 可得12AC CB =，即为12at at at a b a b a b ⎛⎫=- ⎪-+-⎝⎭，化为a =－2b 不成立； 当B ，A ，C 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12BA AC =，即为102at at a b a b ⎛⎫-=- ⎪+-⎝⎭，化为b =3a ，c e a =； 当C ，A ，B 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上， 可得12CA AB =，即为102at at a b a b ⎛⎫-=- ⎪-+⎝⎭，化为b =－3a 不成立； 当C ，B ，A 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12CB BA =，即为12at at at a b a b a b -=-+-+，化为a =5b ，c e a == 当B ，C ，A 依次为三角形的外心､重心､垂心，且它们依次位于同一条直线上，可得12BC CA =，即为12at at at a b a b a b-=--+-，化为a =－5b 不成立.故答案为：△△△. 17．(1)证明见解析(2)()223nn a n =-⋅+【解析】（1）式子变形后2111122n n n n n n a a a a ++++---=，可知{}n b 是首项211112a a b -==，公差为1的等差数列.（2）利用累加法和错位相减法即可得出结论. (1)解：由已知可得：()121122n n n n n a a a a ++++-=-+即2111122n n n nn na a a a ++++---= 即11n nb b +-=， 所以{}n b 是首项211112a a b -==，公差为1的等差数列. (2)由（1）知()11112n nn na ab n n +-==+-⋅= 则12nn n a a n +-=⋅()()()()12121321122212n n n a a a a a a n ---+-++-=⋅+⋅++-⋅得到()1211122212n n a a n --=⋅+⋅++-⋅△，()()2312122212n n a a n -=⋅+⋅++-⋅△-①②，得()223nn a n =-⋅+.18．(1)答案见解析【解析】 【分析】（1）取BC 的中点E ，取CE 的中点N ，连接1C E ，FN ，连接AN 并延长交DC 延长线于M ，连接MF 并延长交11C D 于Q ，连接1A Q ，从而可求出截面图形，（2）如图，以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设CF =a ，（0≤a ≤2），求出平面α的一个法向量m ，然后表示出点D 到平面α的距离为d ，由其最大值可求出a ，再利用向量的夹角公式可求得结果 (1)取BC 的中点E ，取CE 的中点N ，则14CN CB =，连接1C E ，FN ， 由题意可得1C E △1AA ，因为F 为1CC 的中点，所以1C E △FN ， 所以FN △1AA ， 所以N α∈，连接AN 并延长交DC 延长线于M ， 连接MF 并延长交11C D 于Q ，连接1A Q ，则平面α截正方体的截面为五边形1AAQFN ，如图所示.因14CN CB =，所以14CM DM =， 所以13CM DC =，因为CMF △1C QF ， 所以1C Q CM =，因为11CD C D =，所以1113C Q CD = (2)如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长1AA 与z 轴交于P 点，设CF =a ，（0≤a ≤2），则()2,0,0A ，()11,0,2A ，()0,2,F x △()11,0,2AA =-，()2,2,AF a =-，()2,0,0DA =， 设平面α的一个法向量为(),,m x y z =，则120220m AA x z m AF x y az ⎧⋅=-+=⎨⋅=-++=⎩，令2z =，则()4,4,2m a =-， 设点D 到平面α的距离为d ，则()28d =a =2时，max d =此时()4,2,2m =，设直线AD 与平面α所成角为θ，则sin cos ,2m DA m DA m DAθ⋅====所以直线AD 与平面α19．(1)89(2)1103【解析】【分析】（1）设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A ，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B . 根据超几何分布原理分别求得()P AB ，()P A ，直接利用条件概率的计算公式即可求得； （2）设恰有Y 人女生参加劳动学习，则男生2-Y 人参加劳动学习，求出Y 的分布列和数学期望，由405X Y =-即可求出()E X . (1)设“至少有一名女生参加劳动学习”为事件A ，“恰有一名女生参加劳动学习”为事件B . 根据超几何分布原理得：()114226C C P AB C =，()11242226C C C P A C += 有条件概率的计算公式得：()()()11421124228|9P AB C C P B A P A C C C ===+ 所以，在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率为89； (2)根据题意女生参加劳动学习可获得：1110201522⨯+⨯=（分）； 男生参加劳动学习可获得：11110203020333⨯+⨯+⨯=（分）. 设恰有Y 人女生参加劳动学习，则男生2-Y 人参加劳动学习，则()2426205C P Y C ===；()1124268115C C P Y C ⋅===；()22261215C P Y C ===. 所以Y 的分布列为：则有：()2812012515153E Y =⨯+⨯+⨯=.又()15202405X Y Y Y =+-=-， △()211040533E X =-⨯=. 20．(1)证明见解析(2)25,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）分析可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与曲线2C 的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理计算得出1MA MB k k =-，可得出MA MB ⊥，即可证得结论成立；（2）设MA 的斜率为()110k k >，则MA 的方程为11y k x =-，将直线MA 的方程分别与曲线2C 、1C 的方程联立，可求得点A 、D 的坐标，同理可得出点B 、E 的坐标，可求得1S 、2S ，进而可得出λ的表达式，利用基本不等式可求得λ的取值范围.(1)证明：若直线l 的斜率不存在，则该直线与y 轴重合，此时直线l 与曲线2C 只有一个交点，不合乎题意.所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =.由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， 设()11,A x y 、()22,B x y ，则1x 、2x 是上述方程的两个实根， 于是12x x k +=，121x x =-. 又因为点()0,1M -，所以()()()22212121212121212121111111MA MBkx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x x x +++++++-++=⋅====-，所以MA MB ⊥，即90DME ∠=，所以DE 为直径的圆经过点M . (2)解：由已知，设MA 的斜率为()110k k >，则MA 的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎨=-⎩解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎨=-⎩，则点A 的坐标为()211,1k k -，又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为21111,1k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.所以21111111122k S MA MB k k k +=⋅=-=，由1221440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得()22111480k x k x +-=，解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩， 则点D 的坐标为2112211841,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标211221184,44k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，于是()()()211112222211113218812144144k k k k S MD ME k k k k +=⋅==++++，因此()()221121122211144141254171764646464k k S k S k k ++⎛⎫⎛⎫==++≥⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当212144k k =时，即当11k =时，等号成立， 所以2564λ≥，所以λ的取值范围为25,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.21．(1)增区间为()0,∞+，无单减区间 (2)2【解析】 【分析】（1）利用导数与函数的单调性之间的关系可求得结果； （2）由题意可知，存在1≥x ，使得2111ln 2x a x x x -≥++，构造函数()211ln 12x g x x x x+=+-，其中1≥x ，利用导数分析函数()g x 的单调性，求出()min g x 的取值范围，可求得整数a 的最小值. (1)解：当1a =时，()2ln f x x x x =+-，该函数的定义域为()0,∞+，则()121110f x x x '=+-≥=>，当且仅当x = 故函数()f x 的增区间为()0,∞+，无单减区间. (2)解：存在1≥x ，使得231ln 12x ax x x +-≥+成立，即2111ln 2x a x x x -≥++， 令()211ln 12x g x x x x +=+-，其中1≥x ，则()min a g x ≥， ()323312ln 3112ln 322x x x x g x x x x -+--'=-+=，令()312ln 32h x x x x =-+-，则()3232324122x x h x x x x-+'=-+=，令()3324m x x x =-+，()2920m x x '=->对任意的1≥x 恒成立，故函数()m x 在[)1,+∞上为增函数，则()()15m x m ≥=， 即()0h x '>对任意的1≥x 恒成立，则函数()h x 为增函数. 因为34532ln 02162h ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，()22ln 210h =->，所以存在3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()()312ln 302h t g t t t t '==-+-=，当()1,x t ∈时，()0g x '<，此时函数()g x 单调递减， 当(),x t ∞∈+时，()0g x '>，此时函数()g x 单调递增，所以，()()3333222min111131ln 1322224224t t t t t t t t t g x g t t t t +-++++--+-====，3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 设()2311422t t t t ϕ=+-，则()3233311324424t t t t t t ϕ-+'=-+=，令()3324p t t t =-+，则()2920p t t '=->对任意的3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，故函数()p t 在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，则()302p t p ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，即()0t ϕ'>对任意的3,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，故函数()t ϕ在3,22⎛⎫⎪⎝⎭为增函数，故()()322t ϕϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()8913728t ϕ<<，即()min 8913728g x <<，因为a 为整数，所以整数a 的最小值为2. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥. 22．(1)()221:3141C x y -+=，()33:04C πθρ=≥和()504πθρ=≥ (2)12【解析】 【分析】（1）求出曲线2C 的普通方程，然后由变换1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩可得出曲线1C 的普通方程，求出xOA ∠，可得出曲线3C 的极坐标方程；（2）求出点M 、N 、P 的坐标，可求得MN ，直线MN 的方程，求出点P 到直线MN 的距离，利用三角形的面积公式可求得PMN 的面积. (1)解：将曲线2C 的参数方程化为普通方程可得()2211x y -+=，将曲线2C 经过变换1312x x y y ⎧=⎪⎪⎨=''⎪⎪⎩可得到曲线1C ，则()()223121x y ''-+=，因此，曲线1C 的普通方程为()223141x y -+=.曲线3C 是由过极点且关于极轴对称的两条射线组成的图形AOB ，其中2AOB π∠=.则23224xOA xOB πππ-∠=∠==，故曲线3C 的极坐标方程为()304πθρ=≥和()504πθρ=≥. (2)解：直线AO 的方程为y x =-，联立()2211y x x y =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=-⎩，即点()1,1M -，同理可得点()1,1N ，则2MN =，且直线MN 的方程为1x =，设点(),P a b，则()2211OP a b ⎧==⎪⎨-+=⎪⎩32a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点3,2P ⎛ ⎝⎭， 所以，点P 到直线MN 的距离为12d =， 因此，1122PMN S MN d =⋅=△. 23．(1)2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)3 【解析】 【分析】（1）由已知可得123x x +-≥，在不等式的两边同时平方可得出231480x x -+≤，解此不等式即可得解；（2）分析函数()f x 的单调性，可得出52m =，可得出21b a=，利用三元基本不等式可求得4a b +的最小值. (1)解：由()1230f x x x +=-≥-可得123x x +-≥，两边平方得22214129x x x x ++-+≥，整理得231480x x -+≤，解得243x ≤≤， 所以，不等式()0f x ≥的解集为2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.(2)解：当1x ≤-时，()1234f x x x x =--+-=-，此时函数()f x 单调递增； 当312x -<<时，()12332f x x x x =++-=-，此时函数()f x 单调递增； 当32x ≥时，()()1234f x x x x =+--=-+，此时函数()f x 单调递减. 所以，()max 3522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故52m =，所以，4log 25a b m =-=-，因为0a >且1a ≠，则21b a=，由三元基本不等式可得22444322a a a b a a a +=+=++=≥， 当且仅当242a a =，即2a =时取到等号，故4ab +的最小值为3.。
全国四省八校教研联盟2019届高三第一次联考数学(理)试题(扫描版) 扫描版答案
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四省八校 2019 届高三第一次联考卷·数 学（理）
参考答案
一、选择题
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A
A
B
B
C
C
B
C
1. 考 点 ： 几 何 基 本 运 算 。 由
CR B=x | -2 x 1，故选 B。
a3+4a5 3a5=10 得 a3+a5=10 得 a4 5 ，故选 C。
4.考点：对图表数据的认识，选 D。显然对业务收入量 2 月对 1 月减少。4 月对 3 月减少整体 不具备高速增加之说。 简易逻辑， 对充分性、 必要性的理解， 显然选 A， 当 m⊥n 时 n 在平面 可得平面 外。 5.考点： 6.考点：排列与组合。根据题意组队形成只有 2、4 型和 3、3 型。2、4 型又只能一男一女和二 男二女，此时有 C3C3 种搭配。3,3 型又只能为二男一女和一男二女，此时有 C3 C3 种搭配。故最终 有 C3C3 C3 C3 A2 36 种派遣方式，故选 A 7.考点：简单几何体和三视图。 根据三视图画出直观图为(放在长方体中更直观) 三棱锥 D-ABC 为所求几何体，
3 4 6
1 2 3 3
1 2 3 3
220 。 729
2 r 6 2 r r 4 14. 解 析 ： x 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 ， Tr 1 C6 2 x ，故 x 的系数为： x
1 2 132 。 2 C62 2 （ 1） C6 2 1
ˆ 107.41 a
（3）
103 1.14 ，中度焦虑，需进行心里疏导。……………………………………12 分 89.74
【全国卷】名校教研联盟2023届高三联考(三)理科数学试卷及参考答案
绝密食启用前〈全国卷〉理科数学试卷注意事项：1.答Ai-前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，这出每小题答案后，用铅笔j巳辛辛题卡上对应的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再这涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答是巨卡上。
写在本试卷土元效。
3.考试结束后，将本试卷和毛在通卡一并交回。
一、选择题z本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．I.已知z+i＝刀，则lz-il=A豆豆 B.J22 2C.I2. 己知集合M= {xllx -II< 2} , N = {xl2x < 8｝，则MnN=A.｛斗－3＜工＜I}B.{xl-2<x<2}C.{xi-i<x<3}3.己灿，b为单位向景，若la-2bl＝刃，则。
·(a.-2b) =A.0B. -IC.I4.(x－三－1)5的展开式中x的系数为A.-35B.-15 c.5/(1) +f (2) +· · +f(I 0) s.定义域为R的函数f(x）满足f(x)= 2/(x+ I)< 0，则/(11) + /(12）÷…＋ /(30)220A. －－－：－：：－一－B.一一－－－＝－c.2102’υ＋ I 1-2，。
6.已知直线a,b, c两两异丽，且al.c,bl.c P下列说法正确的是A.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，c IIβ，α土βB.存在平面α，β，使a cα，b cβ，且ellα，C IIβ，α／／βc.存在l啦一的平面y，使c c y，且α，b与y所成角相等D.存在平面y，使ally,blly, .llcl.y 。
..!.D.｛斗－I＜工＜2} D.2D.25D.-2107.我国“复兴号”高铁列车是世界上运营速度最快的轮轨列车．在平直的铁轨上停着－辆“复兴号”高铁列车，列车与铁轨上表而接触的车轮半径为R，且某个车轮上的点P刚好与铁轨的上表而接触，若该列车行驶了距离’s，贝I］此时P到铁轨上表丽的距离为A.R sin二RB.2R sin !_RC.R(l－咛）理科数学试题（全国卷）第l页（共4页〉D.R(l+cos言）8.已知x 2+ y 2=2x ，则2-=-的最大值为x＋」己A..!_2B..!_3卢布7卢布了D9.记s，，为等差数列｛。
四省八校(南宁二中、遵义四中、南充高中、昆明八中等)2020届高三第二次联考理科数学试题
四省八校(南宁二中、遵义四中、南充高中、昆明八中等)2020届高三第二次联考数学(理科)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
1.若全集U ＝R ，集合A ＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)，B ＝{x||x|≤2}，则如图阴影部分所表示的集合为A.{x|－2≤x<4}B.{x|x ≤2或x ≥4}C.{x|－2≤x ≤－1}D.{x|－1≤x ≤2}2.已知(1＋i)(1－ai)>0(i 为虚数单位)，则实数a 等于A.－1B.0C.1D.23.平面内到两定点A ，B 的距离之比等于常数λ(λ>0且λ≠1)的动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆。
已知A(0，0)，B(3，0)，|PA|＝12|PB|，则点P 的轨迹围成的平面图形的面积为 A.2π B.4π C.94π D.32π 4.a r ，b r 是单位向量，“(a r ＋b r )2<2”是“a r ，b r 的夹角为钝角”的 A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件5.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 11＝55，则a 6＝A.6B.5C.4D.36.已知131311log ,5,644b a c ===，则 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.b>c>a7.已知4sin()45πα+=，则sin2α＝ A.－725 B.－15 C.15 D.7258.已知a r ＝(1，x)，b r ＝(y ，1)(x>0，y>0)。
上海市2020〖苏科版〗高三数学复习试卷四校联考试题数学理科
创作人：百里第次 创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂进行创作单位： 明德智语学校高三数学复习试卷四校联考试题数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合2{|23},{|24}P x x x Q x x =-≥=<<，则P Q =（ ） A ．[3,4)B ．(2,3]C ．(1,2)-D ．(1,3]-2、下列命题中，是真命题的是（ ） A ．00,0x x R e ∃∈≤B ．2,2x x R x ∀∈>C ．已知,a b 为实数，则0a b +=的充要条件是1a b=- D ．已知,a b 为实数，则1,1a b >>是1ab >的充要条件 3、以下四个命题中：①在回归分析中，可用相关系数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好；②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1；③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,,2n x x x x 的方差为2； ④对分类变量x 与y 的随机变量2k 的观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．44、已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±5、已知2222123111,,xS xdx S e dx S x dx ===⎰⎰⎰，则123,,S S S 的大小关系为（ ）A ．123S S S <<B ．132S S S <<C ．321S S S <<D ．231S S S <<6、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ， 若,AC a BD b ==，则AF =（ ）A ．1142a b +B ．1124a b +C ．2133a b +D ．1223a b +7、将函数cos 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数()cos y f x x =的图象，则()f x 的表达四可以是（ ） A ．()2sin f x x =-B ．()2sin f x x =C ．()2f x x =D ．()2cos 2)f x x x =+ 8、某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次为：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，若程序运行中输出的一个数组是(,10)x -，则数组中的x =（ ） A ．32B ．24C ．18D ．169、在直角坐标系中，P 点坐标为34(,),55Q 是第三象限内一点，1OQ =，且34POQ π∠=，则Q 点的横坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） ABD11、现定义cos sin i e i θθθ=+，其中i 为虚数单位，e 为自然数第底，R θ∈，且实数指数幂的运算性质对i e θ都使用，若0523214555cos cos sin cos sin a C C C θθθθθ=++，1432355cos sin cos sin b C C θθθθ=- 555sin C θ+，那么复数a bi +等于（ ）A ．cos5sin5i θθ+B ．cos5sin5i θθ-C ．sin5cos5i θθ+D ．sin5cos5i θθ- 12、已知函数()ln f x x x x =+，若k Z ∈且()(2)k x f x -<对任意的2x >恒成立，则k 的最大值为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
高三年级八校联考 理科数学 试卷(.4)
高三年级八校联考 理科数学 试卷（2016.4）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷(选择题 共40分)一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡上） 1．复数(32i)i z =-的共轭复数z 等于（ ） A ．23i -- B ．23i -+ C ．23i - D ．23i +2． 若,x y ∈R ，且1,230,0,x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≥，则2z x y =-的最小值等于（ ）A ．0B ．3C ．1D ．－13.给出如图所示的程序框图，那么输出的数是A ．7203B ．7500C ．7800D ．74064．设,a b ∈R ，则“4a b +>”是“2a >且2b >”的（A ．.充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件5． 532⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中的常数项为（ ） A ．40- B ． 40 C ．80 D ． 80-6．下列函数中，在区间()∞+,0上为增函数的是（ ）A ．1+=x yB ．()21-=x yC ．x y -=2D ．()1log 5.0+=x y7．在等差数列}{n a 中，01>a ，且7853a a =，则前n 项和n S 中最大的是（ ） A ．5SB ．6SC ．7SD ．8S8．双曲线22221y x a b-=与抛物线218y x =有一个公共焦点F ，双曲线上过点F 且垂直于实轴的则双曲线的离心率等于 A ．2 BCD ．PC第Ⅱ卷（非选择性试题共110分）二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9．设集合{||1|2}A x x =-<，{|2,[0,2]}xB y y x ==∈，则A B =I 10．已知直线PA 切⊙O 于点A ，PBM 是⊙O示有P BAC ∠=∠，若9PA BM ==，5,BC = 则_________.AB =11．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c . 若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是12．直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 13．已知棱长为2的正四面体的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为14．在边长为1的等边ABC ∆中，E 为AC 上一点，且4AC AE =u u u r u u u r，P 为BE 上一点， 且满足(0,0)AP mAB nAC m n =+>>u u u r u u u r u u u r ，则11m n+取最小值时，||AP =u u u r ________．三．解答题（本大题共6小题，共80分。
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四省八校双教研联盟高考联考试卷
理科数学
一、选择题（本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合）
1、集合
2
1
A x
x
⎧⎫
=>
⎨⎬
⎩⎭
， B {}
220
x x x
=+->，则
U
A C
B =（）
A、(0, 2)
B、(0, 1]
C、(0, 1)
D、[0, 2]
2、已知（2 +i）y =x +yi，x, y ∈R ，则x
i
y
+=（）
A2B3C、2 D5
3、在公差不为0 的等差数列{a n }中满足4a3 +a11 -3a5 =10 ，则1
5
a4 =（）
A、-1
B、0
C、1
D、2
4、如图（1）为某省2016 年快递业务量统计表，图（2）某省2016 年快递业务收入统计表，对统计图下列理解错误的是（）
A、2016 年1~4 月业务量最高3 月最低2 月，差值接近2000 万件
B、2016 年1~4 月业务量同比增长率均超过50％，在3 月最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有
关
C、从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一致
D、从1~4 月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长
5、m，n 是两不同直线，α是平面，n ⊥α，则m //α是m⊥n 的（）
A、充分不必要条件
B、必要不充分条件
C、充分必要条件
D、既不充分有不必要条件
6、现有3 名男医生3 名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能
全在同一组，则不同的派遣方法有（）
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