欧拉函数公式及其证明

欧拉函数：

欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作φ(n) 。

完全余数集合：

定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。显然 |Zn| ＝

φ(n) 。

有关性质：

对于素数 p ，φ(p) = p -1 。

对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足φ(n) = (p -1) * (q -1) 。

这是因为 Zn = {1, 2, 3, ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ，则φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1) ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理：

对于互质的正整数 a 和 n ，有aφ(n)≡ 1 mod n。

证明：

( 1 ) 令Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ，S= {a * x1mod n, a * x2mod n, ... , a * xφ(n)mod n} ，

则 Zn = S 。

① 因为 a 与 n 互质， x i(1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a * x i与 n 互质，所以 a * x i mod n ∈ Zn 。

② 若i ≠ j ，那么x i≠ x j，且由 a, n互质可得a * x i mod n ≠ a * x j mod n （消

去律）。

( 2 ) aφ(n) * x1 * x2 *... * xφ(n)mod n

≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n)) mod n

≡ (a * x1mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n)mod n) mod n

≡ x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n

对比等式的左右两端，因为x i(1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以aφ(n)≡ 1 mod n （消去律）。

注：

消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则ac ≡ bc mod p ? a ≡ b mod p 。

费马定理：

若正整数 a 与素数 p 互质，则有a p - 1≡ 1 mod p。

证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

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补充：欧拉函数公式

( 1 ) p k的欧拉函数

对于给定的一个素数 p ，φ(p) = p -1。则对于正整数 n = p k，

φ(n) = p k - p k -1

证明：

小于 p k的正整数个数为 p k- 1个，其中

和 p k不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (p k - 1-1)}共计p k - 1 - 1个所以φ(n) = p k- 1 - (p k - 1- 1) = p k- p k - 1。

( 2 ) p * q 的欧拉函数

假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

证明：

令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1

根据中国余数定理，有

Zn 和Zp × Zq 之间存在一一映射

（我的想法是：a ∈ Zp ， b ∈ Zq ? b * p + a * q ∈ Zn 。）

所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合Zp × Zq 的元素个数。

而后者的元素个数为φ(p) * φ(q) ，所以有

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。

( 3 ) 任意正整数的欧拉函数

任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为：

I

n = ∏ p i k i (I 为 n 的素因子的个数)

i=1

根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为：

I I

Φ(n) = ∏ p i k i-1(p i-1) = n∏(1 - 1 / p i)

i=1 i=1

对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在p i -1 是偶数。