第二章 被控过程的数学模型(学生版)
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第二章 被控过程的数学模型 自动化仪表与过程控制 教学课件2
G(s) k 或 k es
Tas
Tas
G(s) k 或 k es Tas(Ts1) Tas(Ts1)
由阶跃响应确 定一阶环节参数
直角坐标图解法：
G
(s)
K0 T0s
1
Y
(s)
K0 T0s
1
x0
t
y (t ) K 0 x 0 (1 e )T0
y (t ) |t K 0 x0
K0
G(s)
R3
e1s
(T1s1)T (2s1)
2.2.2 多容过程的建模
若将阀３改为定量泵，则
G(S) 1 • 1 T1s1 TCs1
其中，Tc=C2,则为无自衡双容过程
2.2.2 多容过程的建模
对象的滞后 ➢ 滞后是指被调量
的变化落后于扰 动的发生和变化。 ➢ 滞后= 容量滞后+纯滞后 ➢ 容量滞后由对象 储蓄容量引起。 ➢ 纯滞后由信号传 输引起。
计算法：
先令
y0 (t)
y ( t ) ( 标幺化 y( )
)
令
y0
( t )＝
1
０， t
t
e T0 ， t
选两个不同的点
t1
t
，
2
对应 y 0 ( t1 ) 和 y 0 ( t 2 )
由阶跃响应确定一阶时延环节参数
t1
y０ ( t1 ) y０ ( t 2 )
1 1
跃响应法辨识过程的数学模型。
2.3 .1 阶跃响应法
阶跃响应法是指给过程一输入为阶跃，记录 其输出。由此求出其数学模型：
有自衡能力的一阶或二阶数学模型：
G(s) k 或 k es Ts1 Ts1
第二章1_被控过程的数学模型-单容多容
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡
状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干
预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。 无自衡过程的阶跃响应图
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
a n c ( n ) (t ) a n1c ( n1) (t ) a1c(t ) a0 c(t ) bm r ( m) (t ) bm1r ( m1) (t ) b1r (t ) b0 r (t )
式中 an , an1 ,, a1 , a0 及 bm , bm1 ,, b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不 仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。 线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
【VIP专享】第02章 被控对象的数学模型
由于工业对象往往都非常复杂，物理、化学过 程的机理一般不能被完全了解，而且线性的并不多， 一般很难完全掌握系统内部的精确关系式，故机理 建模仅适用于部分相对简单的系统，而且在机理建 模过程中，往往还需要引入恰当的简化、假设、近 似、非线性的线性化处理等。
6
实验建模
实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个 输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的 物理量（输出）随时间变化的规律，得到一 系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可 以用来表示对象特性。
参量模型的微分方程的一般表达式：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmx(m) (t) b1x(t) b0x(t)
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m) 当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可实现 的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
4
2.2 对象数学模型的建立
建模的目的（略）
建模的方法： 机理建模 实验建模 混合建模
5
机理建模
机理建模——根据物料、能量平衡、传热传质 等内部机理，从理论上来推导建立数学模型。
·一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt
qi
qo
V Ah
A
6
实验建模
实验建模——在所要研究的对象上，人为的施加一个 输入作用，然后用仪表记录表征对象特性的 物理量（输出）随时间变化的规律，得到一 系列实验数据或曲线。这些数据或曲线就可 以用来表示对象特性。
参量模型的微分方程的一般表达式：
y(n) (t) an1 y(n1) (t) a1 y(t) a0 y(t) bmx(m) (t) b1x(t) b0x(t)
y(t)表示输出量，x(t)表示输入量，通常输出量的阶次不低于输入量的阶次(n≥m) 当n=m时，称对象是正则的；当n>m时，称对象是严格正则的；n<m的对象是不可实现 的。通常n=1，称该对象为一阶对象模型；n=2，称二阶对象模型。
非参量模型：采用曲线、表格等形式表示。 特点：形象、清晰，缺乏数学方程的解析性质（必要时须进行数学处 理获得参量模型）。
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2.2 对象数学模型的建立
建模的目的（略）
建模的方法： 机理建模 实验建模 混合建模
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机理建模
机理建模——根据物料、能量平衡、传热传质 等内部机理，从理论上来推导建立数学模型。
·一阶线性对象
问题：求右图所示的对象模型（输入输出模型）。 解： 该对象的输入量为qi 被控变量为液位h
qi Ah
q0
根据物料平衡方程： 单位时间内水槽体积的改变＝输入流量 — 输出流量
dV dt
qi
qo
V Ah
A
2章 被控对象的数学模型
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第三节、 数学模型的建立 建立以微分方程式表示的数学模型时，一 般可按如下步骤进行。 （1)根据系统和各元件的工作原理及其在控 制系统中的作用，确定其输入量和输出量。 （2)根据元件工作时所遵循的物理或化学定 律，列出其相应的原始方程式。在条件许可下可 适当简化，忽略一些次要因素。这里所说的物理 或化学定律，不外乎牛顿定律、能量守恒定律、 物质守恒定律、基尔霍夫定律等等。
5
2．参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。参量模型可以用描述系统输出和 输入间关系的微分方程式、差分方程、状态方 程等形式来表示。
注：微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
第二节、数学模型的类型
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量模型；另 一类是参量模型。
1．非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，就 称为非参量模型（如下页图）。非参量模型可以通过记 录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的 特点是形象清晰，比较容易看出其定性的特征。但是， 由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它来进 行系统的分析和设计往往比较困难。 由于系统的数学模型描述的是系统在受到控制作用 或干扰作用后被控变量的变化规律，因此系统的非参量 模型可以用系统在一定形式的输入作用下的输出曲线或 数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃响应曲 4 线、脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线等。
由题意可知，贮槽对象蓄储量的变化率为单位时间 流入对象的物料量减去单位时间流出对象的物料量。设 贮槽横截面积为 A，当流入贮槽的流量 Qi等于流出贮槽 的流量 Q0时，对象处于平衡状态，对象的输出量液位 h 保持不变。 假定在很短的一段时间dt内，由于Qi发生了变化， 不再等于Q0，因而引起液位变化了，此时，流入与流出 贮槽的水量之差 ( Qi 一 Q0)dt 应该等于贮槽内增加或减少 的水量Adh，即 Qi Qo dt Adh (关键的一步) 上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学 模型。
第三节、 数学模型的建立 建立以微分方程式表示的数学模型时，一 般可按如下步骤进行。 （1)根据系统和各元件的工作原理及其在控 制系统中的作用，确定其输入量和输出量。 （2)根据元件工作时所遵循的物理或化学定 律，列出其相应的原始方程式。在条件许可下可 适当简化，忽略一些次要因素。这里所说的物理 或化学定律，不外乎牛顿定律、能量守恒定律、 物质守恒定律、基尔霍夫定律等等。
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2．参量模型
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称 为参量模型。参量模型可以用描述系统输出和 输入间关系的微分方程式、差分方程、状态方 程等形式来表示。
注：微分方程与差分方程简介
我们知道，函数是研究客观事物运动规律的重要 工具，找出函数关系，在实践中具有重要意义。可在 许多实际问题中，我们常常不能直接给出所需要的函 数关系，但我们能给出含有所求函数的导数（或微分） 或差分（即增量）的方程，这样的方程称为微分方程 或差分方程.
第二节、数学模型的类型
数学模型的表达形式主要有两大类：一类是非参量模型；另 一类是参量模型。
1．非参量模型 当数学模型是采用曲线或数据表格等来表示时，就 称为非参量模型（如下页图）。非参量模型可以通过记 录实验结果来得到，有时也可以通过计算来得到，它的 特点是形象清晰，比较容易看出其定性的特征。但是， 由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接利用它来进 行系统的分析和设计往往比较困难。 由于系统的数学模型描述的是系统在受到控制作用 或干扰作用后被控变量的变化规律，因此系统的非参量 模型可以用系统在一定形式的输入作用下的输出曲线或 数据来表示。根据输入形式的不同，主要有阶跃响应曲 4 线、脉冲响应曲线、矩形脉冲响应曲线等。
由题意可知，贮槽对象蓄储量的变化率为单位时间 流入对象的物料量减去单位时间流出对象的物料量。设 贮槽横截面积为 A，当流入贮槽的流量 Qi等于流出贮槽 的流量 Q0时，对象处于平衡状态，对象的输出量液位 h 保持不变。 假定在很短的一段时间dt内，由于Qi发生了变化， 不再等于Q0，因而引起液位变化了，此时，流入与流出 贮槽的水量之差 ( Qi 一 Q0)dt 应该等于贮槽内增加或减少 的水量Adh，即 Qi Qo dt Adh (关键的一步) 上式就是用微分方程式表征贮槽对象特性的数学 模型。
2 被控过程的数学模型
第二章被控过程的数学模型¾过程建模的基本概念¾单容过程的建模¾多容过程的建模¾广义对象特性参数及其对过渡过程影响第一节过程建模的基本概念数学模型的作用设计过程控制系统，整定调节器参数 指导生产工艺及其设备的设计与操作 对被控过程进行仿真研究建立过程数学模型的方法机理建模辨识建模过程对象的特性自衡过程过程在扰动作用下，其平衡状态被破坏后，不需操作人员或仪表的干预，依靠其自身重新恢复平衡的过程。
无自衡过程过程在扰动作用下，其平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表的干预下，依靠其自身能力不能重新恢复平衡的过程。
o K 对控制品质的影响主要反映在静态，愈大，操作变量对被控变量的影响愈灵敏，对干扰的补偿能力越强，有利于克服干扰，减小余差。
o K f K 对控制品质的影响也反映在静态，反映了扰动对被控变量影响的灵敏程度，愈大，影响显著，余差也越大。
f K f K 所以，设计控制系统时应合理选择操作变量，使较大，较小，系统具有很强的抗干扰能力。
但也不能太大，否则过于灵敏，过程不易控制，难以达到稳定。
o K o K 放大系数K及其影响时间常数T及其影响定义：在阶跃输入作用下，对象的输出保持以初始速度变化而达到最终稳态值所需要的时间，反映了响应速度的快慢。
对于干扰通道，则时间常数越大，干扰对被控变量影响越迟钝，易克服干扰而获得较高的控制质量。
f T 对于控制通道，若时间常数太大，则响应速度慢，控制作用不及时，易引起较大超调，过渡过程时间长。
反之，则控制质量易保证。
但时间常数过小，也易引起振荡，使系统稳定性降低。
o Tτ纯滞后时间及其影响实际对象由于多容量的存在会使响应速度变慢，特别是初始响应大大延迟，在动态特性上可近似为纯滞后。
控制通道的存在对控制不利，要隔时间后才有作用，将使被控量超调增大，控制质量恶化，因此必须尽量减少和避免滞后的影响。
o τo τo τ的影响不同于，滞后使干扰作用被推迟了时间进入系统，对过渡过程影响不大。
被控过程数学模型,过程建模(精品PPT)
一阶微分方程式
阶跃响应曲线(即飞升曲线) ：
(4)原理框图：
u
Q1
Ku
1
h1
C 2s
1
R2
自平衡单容对象
1）单容过程
(5)响应曲线：u
阀门开度
流量
u0
Q t0
u0
t
Q1
dQ
Q2
Q 10 Q 20
t0
t
液位 h
dh h()
h0 t0
t多 容
1）单容过程
(6)特征参数： （选学）
放大系数K ∵ h(∞)＝KΔu0
Q1
1
h2
C 2s
自平衡单容对象
无平衡单容对象
（1）传递函数 积分时间越大，被调量(输出)的变化越慢，输出对输入的反应越慢
缺点：要较长时间的记录数据，进行较繁琐的计算，精度不太
第三步：建立方程求解
传递函数为: 初始条件为零、阶跃输入（扰动量为u(t)＝Δu0
调试控制系统、确定控制其参数；
H2(s)
K＝h(∞)/Δu0
物理意义：K在数值上等于对象的输出稳态值 与输入稳态值之比，
时间常数T
h ( T ) K u 0 ( 1 e 1 ) 0 . 6 3 2 K u 0 0 . 6 3 2 h ( )
当对象受到阶跃输入后，输出(被调量)达到新的稳态值的63.2% 所需的时间，就是时间常数T
h
容积数目影响的阶跃响应曲线
1 2 34
t 0
1、自平衡过程 3）多容过程
K G(s)
(T1s 1)(T2s 1) (Tns 1)
K (Ts 1)n
(T1
T2
Tn T)
滞 后
阶跃响应曲线(即飞升曲线) ：
(4)原理框图：
u
Q1
Ku
1
h1
C 2s
1
R2
自平衡单容对象
1）单容过程
(5)响应曲线：u
阀门开度
流量
u0
Q t0
u0
t
Q1
dQ
Q2
Q 10 Q 20
t0
t
液位 h
dh h()
h0 t0
t多 容
1）单容过程
(6)特征参数： （选学）
放大系数K ∵ h(∞)＝KΔu0
Q1
1
h2
C 2s
自平衡单容对象
无平衡单容对象
（1）传递函数 积分时间越大，被调量(输出)的变化越慢，输出对输入的反应越慢
缺点：要较长时间的记录数据，进行较繁琐的计算，精度不太
第三步：建立方程求解
传递函数为: 初始条件为零、阶跃输入（扰动量为u(t)＝Δu0
调试控制系统、确定控制其参数；
H2(s)
K＝h(∞)/Δu0
物理意义：K在数值上等于对象的输出稳态值 与输入稳态值之比，
时间常数T
h ( T ) K u 0 ( 1 e 1 ) 0 . 6 3 2 K u 0 0 . 6 3 2 h ( )
当对象受到阶跃输入后，输出(被调量)达到新的稳态值的63.2% 所需的时间，就是时间常数T
h
容积数目影响的阶跃响应曲线
1 2 34
t 0
1、自平衡过程 3）多容过程
K G(s)
(T1s 1)(T2s 1) (Tns 1)
K (Ts 1)n
(T1
T2
Tn T)
滞 后
第2章 被控过程特性及其数学模型
K e -s (Ts 1) n
过程的纯滞后时间
2.1 被控过程的特性
（2）无自衡的非振荡过程
无自衡：在原平衡状态出现干
扰时，当没有外加任何控制作 用时，被控过程不能重新到达 新的平衡状态
无自衡非振荡：阶跃输入信号 作用下，输出响应曲线会没有 振荡地从一个稳态一直上升或 下降，不能达到新的稳态
第二章 被控过程特性及其数学模型
主要内容
2.1 被控过程的特性 2.2被控过程的数学模型 2.3解析法建立过程的数学模型
2.4实验辨识法建立过程的数学模型
2.1 被控过程的特性
（1）自衡的非振荡过程
自衡：在原平衡状态出现干扰 时，无需外加任何控制作用，
被控过程能够自发地趋于新的 平衡状态。
自衡非振荡：阶跃输入信号作 用下，输出响应曲线能没有振 荡地从一个稳态趋向于另一个 稳态.
实验辨识法
实验辨识法-------根据过程输入、输出的实验测试数据， 通过过程辨识和参数估计得出数学模型。 过程辨识-----根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程 阶次及时滞等）。
参数估计-----在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定 模型的参数。
混合法
（1）对被控过程中机理比较清楚的部分采用机理演绎
单容自衡过程可以采用一阶惯性环节加以描述。
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
单容过程传递函数的结构方框图
水箱的输入量/输出量之 间的动态平衡关系 Q1 (s)
1 cs
Q2 (s)
H(s)
1 R2
阀2的静压力关系
2.3 解析法建立过程数学模型—单容过程
推广1：考虑输入液体体积流量为Q0 当进水阀1的开度产生变化后，需流经长度为l 的管道才能
第二章被控对象的数学模型
第二章被控对象的数学模型第二章被控对象的数学模型1(什么是被控对象特性?什么是被控对象的数学模型?研究被控对象特性有什么重要意义?答:被控对象持性是指被控对象输入与输出之间的关系。
即当被控对象的输入量发生变化时，对象的输出且是如何变化、变化的快慢程度以及最终变化的数值等。
对象的输入量有控制作用和扰动作用，输出量是被控变量。
因此，讨论对象特性就要分别讨论控制作用通过控制通道对被控变量的影响，和扰动作用通过扰动通道对被控变量的影响。
定量地表达对象输入输出关系的数学表达式、称为该对象的数学模型。
在生产过程中，存在着各种各样的被控对象。
这些对象的持性各不相同。
有的较易操作，工艺变量能够控制得比较平稳，有的却很难操作，工艺变量容易产生大幅度波动，只要稍不谨慎就会越出工艺允许的范围，轻则影响生产，重则造成事故。
只有充分了解和熟悉对象特性，才能使工艺生产在最佳状态下运行。
因此，在控制系统设计时、首先必须充分了解被控对象的特性，掌握它们的内在规律，才能选择合适的被控变量、操纵变量，合适的测量元件和控制器(选择合理的控制器参数，设计合乎工艺要求的控制系统。
特别在设计新型的控制系统时。
例如前馈控制、解偶控制、自适应控制、计算机最优控制等，更需要考虑被控对象特性。
2(简述建立对象的数学模型的两种主要方法。
答:一是机理分析法。
机理分析法是通过对对象内部运动机理的分析，根据对象中物理或化学变化的规律(比如三大守恒定律等)、在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后推导出的对象特性方程。
通过这种方法得到的数学模型称之为机理模型，它们的表现形式往往是微分方程或代数方程。
二是实验测取法。
实验测取法是在所要研究的对象上，人为施加一定的输入作用，然后，用仪器测取并记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，即得到一系列实验数据或实验曲线。
然后对这些数据或曲线进行必要的数据处理，求取对象的特性参数，进而得到对象的数学模型。
3(描述简单对象特性的参数有哪些?各有何物理意义?答:描述对象特性的参数分别是放大系数K、时间常数T、滞后时间τ。
过程控制第2章被控过程的数学模型
第一段：t=0～a，
y1 t y t
第二段：t=a～2a，
y1 2a y 2a y1 a
2.3.3 由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
1.一阶无时延过程 2.二阶无时延过程
K0 W0 ( s) T0s+1
K0 W 0 ( s) T1s 1T2 s 1
t
⑴合理选择阶跃信号值。 ⑵在输入信号前，被控对象必须处于相对稳定的运行 状态。 ⑶实验时应在相同试验条件重复做几次测试，需获得 两次以上比较接近的测试数据，以减少扰动的影响。 ⑷在实验时应在阶跃信号作正、反方向变化时分别测 取其响应曲线，以求取过程的真实特性。 特点：简单、易实现，测试精度不高，对生产有影响。
当对象受到阶跃输入作用 后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳 定值所需的时间。
h
h′
h
t
t
K 0 Q1 d h dt t 0 T
K 0 Q1 h t t T
'
实验求取T：当t=T，
h t K 0 Q1 1 e 1 0.632 K 0 Q1 0.632h
0
t 浓度
0
t
2.容量时延C
H 2( s ) K0 W 0( s ) e cs Q1(s) T 0 s 1
由于物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。
K0 Y ( s) W0 ( s) e s X ( s) T0 s 1
意义： ①表示对象的惰性； ②大时控制困难。 ③是一动态特性参数。
K0 T1 ( s) R W0 ( s) Q1 (s) RCs 1 T0s+1
例2—3 自衡特性： 当输入量发生变化破坏了被控过程的平衡而引起输 出量变化时，在没有人为干预的情况下，被控过程 自身能重新恢复平衡的特性，叫做自衡特性。 具有自衡特性的被控过程称为自衡被控过程， 无自衡特性的被控过程称为无自衡被控过程。
y1 t y t
第二段：t=a～2a，
y1 2a y 2a y1 a
2.3.3 由阶跃响应曲线确定过程的数学模型
1.一阶无时延过程 2.二阶无时延过程
K0 W0 ( s) T0s+1
K0 W 0 ( s) T1s 1T2 s 1
t
⑴合理选择阶跃信号值。 ⑵在输入信号前，被控对象必须处于相对稳定的运行 状态。 ⑶实验时应在相同试验条件重复做几次测试，需获得 两次以上比较接近的测试数据，以减少扰动的影响。 ⑷在实验时应在阶跃信号作正、反方向变化时分别测 取其响应曲线，以求取过程的真实特性。 特点：简单、易实现，测试精度不高，对生产有影响。
当对象受到阶跃输入作用 后，被控参数如果保持初 始速度变化，达到新的稳 定值所需的时间。
h
h′
h
t
t
K 0 Q1 d h dt t 0 T
K 0 Q1 h t t T
'
实验求取T：当t=T，
h t K 0 Q1 1 e 1 0.632 K 0 Q1 0.632h
0
t 浓度
0
t
2.容量时延C
H 2( s ) K0 W 0( s ) e cs Q1(s) T 0 s 1
由于物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。
K0 Y ( s) W0 ( s) e s X ( s) T0 s 1
意义： ①表示对象的惰性； ②大时控制困难。 ③是一动态特性参数。
K0 T1 ( s) R W0 ( s) Q1 (s) RCs 1 T0s+1
例2—3 自衡特性： 当输入量发生变化破坏了被控过程的平衡而引起输 出量变化时，在没有人为干预的情况下，被控过程 自身能重新恢复平衡的特性，叫做自衡特性。 具有自衡特性的被控过程称为自衡被控过程， 无自衡特性的被控过程称为无自衡被控过程。
第二章 被控过程的数学模型
曲线能形 直观、 象、直观、 完全描述 被控过程 的动态特 性。
图2-8 响应曲线
第33页 页
过程控制仪表及装置
实验测试注意事项： 实验测试注意事项： 合理选择阶跃信号值。 合理选择阶跃信号值 。 一般取阶跃信 号值为正常输入信号的5 15％左右； 号值为正常输入信号的5～15％左右； 在输入阶跃信号前， 在输入阶跃信号前 ， 被控过程必须处 于相对稳定的工作状态； 于相对稳定的工作状态； 相同的测试条件下重复做几次， 相同的测试条件下重复做几次 ，减少 干扰的影响； 干扰的影响； 由于过程的非线性， 由于过程的非线性 ， 应在阶跃信号作 正 、 反方向变化时分别测取其响应曲 以求取过程的真实特性。 线，以求取过程的真实特性。
d 2∆h2 d∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = R3∆Q1 2 dt dt
第24页 页
过程控制仪表及装置
进行拉氏变换，并分解因式， 进行拉氏变换，并分解因式，得： 双容过程的数学模型为： 双容过程的数学模型为：
K R3 H 2 (s ) W (s ) = = = Q1 (s ) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
对上式进行拉氏变换， 对上式进行拉氏变换，传递函数形式为
1 1 W0 (s) = = Cs Ta s
具有纯时延 τ 0 时，其传递函数为
1 −τ 0 s Wo ( s ) = e Ta s
第20页 页
过程控制仪表及装置
2.2.2 多容过程的建模 多容过程------ 被控过程往往是由多个 多容过程 ------被控过程往往是由多个 -----容积和阻力件构成。 容积和阻力件构成 。 可分为有自平衡能 力和无自平衡能力两类。 力和无自平衡能力两类。
图2-8 响应曲线
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过程控制仪表及装置
实验测试注意事项： 实验测试注意事项： 合理选择阶跃信号值。 合理选择阶跃信号值 。 一般取阶跃信 号值为正常输入信号的5 15％左右； 号值为正常输入信号的5～15％左右； 在输入阶跃信号前， 在输入阶跃信号前 ， 被控过程必须处 于相对稳定的工作状态； 于相对稳定的工作状态； 相同的测试条件下重复做几次， 相同的测试条件下重复做几次 ，减少 干扰的影响； 干扰的影响； 由于过程的非线性， 由于过程的非线性 ， 应在阶跃信号作 正 、 反方向变化时分别测取其响应曲 以求取过程的真实特性。 线，以求取过程的真实特性。
d 2∆h2 d∆h2 T1T2 + (T1 + T2 ) + ∆h2 = R3∆Q1 2 dt dt
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过程控制仪表及装置
进行拉氏变换，并分解因式， 进行拉氏变换，并分解因式，得： 双容过程的数学模型为： 双容过程的数学模型为：
K R3 H 2 (s ) W (s ) = = = Q1 (s ) (T1 s + 1)(T2 s + 1) (T1 s + 1)(T2 s + 1)
对上式进行拉氏变换， 对上式进行拉氏变换，传递函数形式为
1 1 W0 (s) = = Cs Ta s
具有纯时延 τ 0 时，其传递函数为
1 −τ 0 s Wo ( s ) = e Ta s
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过程控制仪表及装置
2.2.2 多容过程的建模 多容过程------ 被控过程往往是由多个 多容过程 ------被控过程往往是由多个 -----容积和阻力件构成。 容积和阻力件构成 。 可分为有自平衡能 力和无自平衡能力两类。 力和无自平衡能力两类。
第二章 被控过程的数学模型
后才反应出来。 要经过路程 l 后才反应出来。
℃
0 t
τ
0
纯滞后时间
l τ0 = v
℃
v ——水的流速； 水的流速；
0 有些对象容量滞后与 纯滞后同时存在，很难严格 纯滞后同时存在， Δh2 （∞） 区分。常把两者合起来， 区分。常把两者合起来，统 称为滞后时间τ 0
τ0
t
τ=τ
o
+τc
τ0 τc
单回路控制系统框图
过程通道： 过程通道：
被控过程输入量与输出量之间的信号联系
控制通道： 控制通道：
控制作用与被控量之间的信号联系
扰动通道： 扰动通道：
扰动作用与被控量之间的信号联系
建立过程数学模型的基本方法： 建立过程数学模型的基本方法：
解析法： 解析法： 又称为机理演绎法 ，根据过程的内在机理，运用已知 根据过程的内在机理， 的静态和动态物料（能量）平衡关系， 的静态和动态物料（能量）平衡关系，用数学推理的方法建 立过程的数学模型。 立过程的数学模型。 实验辨识法： 实验辨识法： 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、 又称为系统辨识与参数估计法。该法是根据过程输入、输 出的实验测试数据， 出的实验测试数据，通过过程辨识和参数估计建立过程的数学 模型。 模型。 混合法: 混合法: 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。 即用上述两种方法的结合建立过程的数学模型。首先通 过机理分析确定过程模型的结构形式， 过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小
其中： 其中：
T = R 2 C 为被控过程的时间常数
K = R2
为被控过程的放大系数
Hs +1 1 2
过程控制技术-第二章 过程控制系统的数学模型
2 过程控制系统的数学模型
③比例环节 微分方程式： y（ｔ）＝Ｋx（ｔ） 传递函数： Ｇ（ｓ）＝Ｋ 比例环节又称无惯性环节或放大环节。 ④ 积分环节 微分方程式： T dy(t ) Kx(t )
i
dt
传递函数：
K G (s) Ti s
2 过程控制系统的数学模型
⑤微分环节（理想微分）
2 过程控制系统的数学模型
可见，环节并联后总的传递函数等于各环节传递 函数的代数和。
Y ( s) Y1 ( s) Y2 ( s) Y3 ( s ) G(S ) G1 ( s) G2 ( s) G3 ( s) X ( s) X ( s)
2 过程控制系统的数学模型
（3）反馈连接 如图２-5所示，输出Ｙ（ｓ）经过一个反馈环节 Ｈ（ｓ）后，反馈信号Ｚ（ｓ）与输入Ｘ（ｓ） 相加减，再作用到传递函数为Ｇ（ｓ）的环节。
2 过程控制系统的数学模型
2 过程控制系统的数学模型
（1） 建立原始方程式：
dL1 A1 F1 F2 dt
dL2 A2 F2 F3 dt
L1 F2 R1
L2 F3 R2
2 过程控制系统的数学模型
（2）若输入变量Ｆ1 ，输出变量Ｌ2 。 （3）消去中间变量得数学模型：联立式（２14）、式（２-15）、式（２-16）和式（２-17） 四个方程式并整理得：
2 过程控制系统的数学模型
一阶被控对象的数学模型
2 过程控制系统的数学模型
图２-１所示的蒸汽直接加热器是一个简单传热 对象，（a）图是由蒸汽直接加热器构成的温 度控制系统，（b）图是控制系统中的被控对 象方块图。工艺要求热流体温度（即容器内温 度）保持恒定值，温度控制器根据被测温度信 号与设定值的偏差，经计算后去控制控制阀， 以控制加热蒸汽的流量，使被控温度达到工艺 要求。蒸汽是通过喷嘴与冷流体直接接触的热 交换过程，故必符合热量平衡关系。
第2章被控过程的数学模型
29
d ∆H 1 = (∆Qi − ∆Qo ) dt F
把其在平衡点处展开，取其线性部分：
Qo = Qo 0 + k 2 Ho (H − Ho ) +⋯= Qo 0 +
∆Qo = Qo - Qo0 ≈ = 1 ∆H R ∆H ∆Qo
k 2 Ho
∆H +⋯
则
k ∆H 2 Ho
(2-10)
即： = R
图2-5 单容水槽
27
假设在起始稳定平衡工况下，满足静态平衡条件
H = H0 Qi0 = Qo0
进水阀开度发生阶跃变化 ∆µ 时，若进水流量和出水流 量的变化量分别为 ∆Qi , ∆Qo 液位的变化 ∆H，动态平衡方程：
(Qi −Qo )dt = dv = Fd∆H [(Qi − Qi0 ) − (Qo −Qo0 )]dt = Fd∆H
23
机理法建模条件：
（1）过程的机理清楚，可以用数学式子来描述； （2）过程模型较简单，且可以做适当的假设； （3）适宜不能进行测试法建模的场合。
24
2．测试法建模 ． 将被研究过程对象看作一个黑匣子，通过施加 不同的输入信号完全从外特性上测试和描述它的动态性 质，因此不需要深入掌握其内部机理。 测试法建模适用： （1）复杂对象； （2）优先采用测试法。
21过程模型概述22机理法建模23测试法建模24利用matlab建立过程模型本章小结21被控过程数学模型211被控过程的特性在过程控制中被控过程简称过程是工业生产过程中的各种装置和设备例如换热器工业窑炉蒸汽锅炉精馏塔反应器等等
第2章 被控过程的数学模型 章
目 录
2.1 过程模型概述 2.2 机理法建模 2.3 测试法建模 2.4 利用MATLAB建立过程模型 本章小结
第2章 被控过程特性及其数学模型
3）常见的数学模型结构
k0 k 0 e 0 s k0 G ( s) ; G ( s) ; G ( s) T0 s 1 T0 s 1 (T1 s 1)(T2 s 1) k 0 e 0 s G ( s) (T1 s 1)(T2 s 1) 1 e 0 s 1 G ( s) ; G ( s) ; G( s) T0 s T0 s T1 s(T2 s 1) 1 G ( s) e 0 s T1 s(T2 s 1)
（2）在相同的条件下，应重复做几次试验；
（3）分别作阶跃输入信号为正反方向两种变化情况下的测试试 验；
（二） 实验测试法建模
（4）一次试验后，应使被控过程恢复到原来工况并稳定一定时间，
再作第二次试验； （5）输入阶跃变化既不能太大，也不能太小，一般取正常输入信号
最大幅值的5～15％。
（二） 实验测试法建模
③系统总的传递函数 Go (s) K 2
s
二 、被控过程的数学模型
被控过程的数学模型是指被控过程的输出变量 与输入变量之间的数学描述或指被控过程的状态变 量与输入变量、输出变量之间的数学描述。 输入变量： 控制作用、 干扰作用 输出变量： 被控变量 控制作用到输出变量的信号联系为控制通道 干扰作用到输出变量的信号联系为干扰通道
（一） 机理演绎法建模
自平衡的概念及其实质
所谓有自平衡能力的过程是指被控过程在干扰作用下，原有 的平衡状态被打破后，在没有人或控制装置的干预下，自身可 以恢复到新的平衡状态，这种过程称为有自平衡能力的过程（ 如例1），否则称为无自平衡能力的过程（如例2）。 具有自平衡能力的过程其输出和输入之间有负反馈，如例1的 方块图
3．自衡的振荡过程
c(t) c(∞)
k0 k 0 e 0 s k0 G ( s) ; G ( s) ; G ( s) T0 s 1 T0 s 1 (T1 s 1)(T2 s 1) k 0 e 0 s G ( s) (T1 s 1)(T2 s 1) 1 e 0 s 1 G ( s) ; G ( s) ; G( s) T0 s T0 s T1 s(T2 s 1) 1 G ( s) e 0 s T1 s(T2 s 1)
（2）在相同的条件下，应重复做几次试验；
（3）分别作阶跃输入信号为正反方向两种变化情况下的测试试 验；
（二） 实验测试法建模
（4）一次试验后，应使被控过程恢复到原来工况并稳定一定时间，
再作第二次试验； （5）输入阶跃变化既不能太大，也不能太小，一般取正常输入信号
最大幅值的5～15％。
（二） 实验测试法建模
③系统总的传递函数 Go (s) K 2
s
二 、被控过程的数学模型
被控过程的数学模型是指被控过程的输出变量 与输入变量之间的数学描述或指被控过程的状态变 量与输入变量、输出变量之间的数学描述。 输入变量： 控制作用、 干扰作用 输出变量： 被控变量 控制作用到输出变量的信号联系为控制通道 干扰作用到输出变量的信号联系为干扰通道
（一） 机理演绎法建模
自平衡的概念及其实质
所谓有自平衡能力的过程是指被控过程在干扰作用下，原有 的平衡状态被打破后，在没有人或控制装置的干预下，自身可 以恢复到新的平衡状态，这种过程称为有自平衡能力的过程（ 如例1），否则称为无自平衡能力的过程（如例2）。 具有自平衡能力的过程其输出和输入之间有负反馈，如例1的 方块图
3．自衡的振荡过程
c(t) c(∞)
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1
PID控制——传递函数式模型
2
最优控制——状态空间表达式
3
自适应控制——脉冲传递函数
4
过程控制系统
预测控制——阶跃响应或脉冲响应
8
§2-1 概述
5、数学模型的利用方式与要求
利用方式： (1)、离线式：设计、整定
(2)、在线式：计算机控制系统
要求：抓主要矛盾，提高闭环系统的鲁棒性 robustness
1/C1s
1/R1
1/C2s
1/R2
1/C3s
1/R3
Qin Q1 C1sH1 ( s) H1 ( s ) Q1 R1
过程控制系统
Q1 Q2 C2 sH 2 ( s) H 2 ( s) Q2 R2
图2-6
Q2 Q3 C3 sH 3 ( s ) H 3 (s) Q3 R3
23
过程控制系统
§2-2 机理分析法建模
双容过程的状态空间表达式为：
1 A R 1 1 1 h 1 h2 A2 R1
0 1 h1 A1 Qi 1 h2 0 A2 R2
h1 1 h 2
24
Y 0
过程控制系统
§2-2 机理分析法建模
系统的方框图如下：
Qi ( s)
1 A1s
H1 ( s)
1 R1
Q1 ( s )
1 A2 s
H 2 ( s)
Q1 ( s ) Q2 ( s )
1 R2
令 T1 A1 R1
T2 A2 R2
系统的传递函数为：
H 2 ( s) R2 G2 s Qi ( s ) T1T2 s 2 T1 T2 A1 R2 s 1
H1、H2均为二阶特性
过程控制系统
相互影响因 子
30
§2-2 机理分析法建模
由传递函数得两个闭环极点
p1, 2 (T1 T2 A1 R2 ) (T1 T2 A1 R2 ) 2 4T1T2 2T1T2
(2)、阻力
概念：凡是物质或能量的转移，都要克服阻力， 阻力的大小决定于不同的势头和流率。
种类：电阻、热阻、气阻、流(液)阻。 相似系统：
ui i.R uc
duc iC dt
过程控制系统
Ui
Uo
21
§2-2 机理分析法建模
(二)、多容过程的数学模型
多容过程是工业生产中常见的，如下两图。
Qin
通道:
输入量与输出量间的信号联系
控制通道--控制作用与被控量间的信号联系； 扰动通道--扰动作用与被控量间的信号联系。
过程控制系统
3
§2-1 概述
2、过程控制中被控对象的特点
(1)、系统平衡——流入量=流出量 (2)、流体为能量的载体——能量守恒
(1)、储蓄容积 (2)、流入、流出量≠输入、输出量
1 dh2 1 1 h1 h2 dt A2 R1 A2 R1 A2 R2
过程控制系统
27
§2-2 机理分析法建模
x1 h1
1 A R 1 1 1 x x 1 2 A2 R1
Y 0
x2 h2
只有一个储蓄容量的过程。如下页图所示。 过程演示
过程控制系统
16
§2-2 机理分析法建模
2、参量关系分析
讨论：(1)、静态时，q1=q2，dh/dt=0 ; (2)、当q1变化时h变化 q2变化。 经线性化处理，有
dh q1 q2 A .....................(2 5) dt q q dV A dh .....(2 6) 1 2 dt dt
（2-3）
用Q0代替△Q0
数学模型
dh h A Qi Q0 Qi dt R
过程控制系统
13
§2-1 概述
令T AR
H
H(t)
H ( s) K Gs Qi ( s) Ts 1
（2-4）
一阶惯性环节,阶跃响应曲线如图
t 对象受到干扰作用后，平衡状态被破坏 ，无须外加任何控制 作用，依靠对象本身自动平衡的倾向，逐渐地达到新的平衡状态 的性质，称为平衡能力。
Qin
h1 h2
Qo a)双容对象
过程控制系统
h1 h2
b)响应曲线
t
t
t
22
§2-2 机理分析法建模
1、双容过程
(1)没有互相影响的串联储罐
Qi
dh Qi Q1 A1 1 dt
dh Q1 Q2 A2 2 dt
Q1 h1 R1
Q2
h1
Q1 Q2
h2 R2
h2
dh1 1 1 h1 Qi dt A1 R1 A1 dh2 1 1 h1 h2 dt A2 R1 A2 R2
§2-2 机理分析法建模
有互相影响的串联储罐的方框图
Qi ( s )
1 A1 s
H1 ( s)
1 R1
Q1 ( s )
1 A2 s
H 系统
29
§2-2 机理分析法建模
有互相影响的串联储罐系统的传递函数
H1 ( s) T2 R1 s R1 R2 G1 s 2 Qi ( s ) T1T2 s T1 T2 A1 R2 s 1
Qi Q0
1 (Qi - Q )dt 0 A
时ｈ恒定
Qi Q0
ｈ＝k t
h = 0 h = ∞
抽干(k-) 满溢(k+)
系统不能达到自动平衡，对这一过程一般加入液位控制回路。
过程控制系统
11
§2-1 概述
（2）有自衡
上图中， 将计量泵改为手动阀。
Qi
LC
h Q0
Q0 h
过程控制系统
19
§2-2 机理分析法建模
4、容量和阻力的概念
(1)、容量C
含义：生产设备和传输管路都具有一定的储蓄物质或 能量的能力。被控对象储存能力的大小，称为容量或 容量系数，其意义是：引起单位被控量变化时，被控 过程储存量变化量。 种类：有电容、热容、气容、液容等等。
过程控制系统
20
§2-2 机理分析法建模
过程控制系统
26
§2-2 机理分析法建模
(2)有互相影响的串联储罐 Qi为输入、h2输出
Qi h1 Q1 h2
Q2
dh1 Qi Q1 A1 dt dh Q1 Q2 A2 2 dt
1 h1 h2 Q1 R1
Q2 1 h2 R2
dh1 1 1 h1 h2 Qi dt A1R1 A1
过程控制系统
14
§2-2 机理分析法建模
一、自衡过程的数学模型
自衡的定义：对象受到干扰作用后，平衡状态被破 坏 ，无须外加任何控制作用，依靠对象本身自动 平衡的倾向，逐渐地达到新的平衡状态的性质， 称为平衡能力。
(一)、单容过程的数学模型
过程控制系统
15
§2-2 机理分析法建模
1、单容过程的定义
1 1 A1 R1 x1 A u1 1 1 x2 1 0 AR AR 2 2 2 1
x1 1 x2
Y h2
令
过程控制系统
T1 A1R1
T2 A2 R2
28
5
最优控制
6
故障诊断
6
过程控制系统
§2-1 概述
4、单输入-单输出过程的常见模型
按系统的 连续性：
(1)、线性时间连续模型 (2)、线性时间离散模型
按系统的 结构分：
(1)、输入输出模型 (2)、状态空间模型
按系统的域 分：
过程控制系统
(1)、时域模型 (2)、频域模型
7
§2-1 概述
控制系统设计中：控制算法决定数学模型的形式
过程控制系统
北京工商大学计算机与信息工程学院
过程控制系统
第二章 被控过程的数学模型
1 1
§2-1 概述
§2-1 概述
2 §2-2 机理分析法建模
3 §2-3试验法建模---过程辨识
2
过程控制系统
§2-1 概述
1、数学模型的有关概念
数学模型:指过程在各输入量的作用下，其相应输出量变化 的函数关系数学表达式。 干扰:内干扰---调节器的输出量u(t)； 外干扰---其余非控制的输入量。
33
q1 q 2 C 2 h2 q2 R2
d h2 dt
d h3 q2 q3 C 3 dt h3 q3 R3 （2-10）
过程控制系统
§2-2 机理分析法建模
三容过程的方框图
• 由式(2-10)的拉氏变换，可得图2-6 。
Qin(s) H1(s) Q1(s) H2(s) Q2(s) H3(s)
因为
(T1 T2 A1 R2 ) 2 4T1T2 0
p1、p2为两个不同的实根,过程是过阻尼的
一阶过程
两个有相互关系的罐的h1(t)
两个有相互关系的罐的h2(t)
过程控制系统
31
§2-2 机理分析法建模
2、三容过程
R Qin R1 h1
Q1
Qin
C1 h2
R2
Q2
H1,2
t
C2
h3 C3
过程控制系统
35
§2-2 机理分析法建模
3、多容过程
由N个一阶环节串联而成
kN k1 k2 Gs T1s 1 T2 s 1 TN s 1