《三维设计》高考数学
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮复习配套课件:26指数与指数函数
数学
首页
上一页
下一页
末页
第六节 指数与指数函数 结束
下一页
末页
第六节 指数与指数函数 结束
(2)当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a-x 为减函数, 从而 y=ax-a-x 为增函数. 所以 f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数, 从而 y=ax-a-x 为减函数. 所以 f(x)为增函数. 故当 a>0 且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.
数学
首页
上一页
下一页
末页
第六节 指数与指数函数 结束
2.方程 2x=2-x 的解的个数是________. 解析:方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图像交点的横坐标,分别作出这两个函数图 像(如图). 由图像得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1
数学
首页
上一页
下一页
末页
第六节 指数与指数函数 结束
数学
首页
上一页
下一页
末页
第六节 指数与指数函数 结束
[针对训练] 已知函数 f(x)=13ax2-4x+3. (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间;
(2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值. (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值.
解:(1)当 a=-1 时,f(x)=13-x2-4x+3,
解:(1)原式=1+14×94
1 2
-1010
1 2
=1+14×23-110=1+16-110=1165.
(2)原式=-52a
-
1 6
【三维设计】(新课标)高考数学大一轮复习 第八章 解析几何精品讲义 理(含解析)
第八章 解析几何第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程基础盘查一 直线的倾斜角与斜率 (一)循纲忆知1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素(定点、斜率、倾斜角).2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. (二)小题查验 1.判断正误(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率( ) (2)过点M (a ,b ),N (b ,a )(a ≠b )的直线的倾斜角是45°( ) (3)倾斜角越大,斜率越大( ) 答案:(1)× (2)× (3)×2.(人教A 版教材习题改编)若过两点A (-m,6),B (1,3m )的直线的斜率为12,则m =________.答案:-23.直线x cos α+3y +2=0的倾斜角的范围是________. 解析:设直线的倾斜角为θ,依题意知,k =-33cos α; ∵cos α∈[-1,1],∴k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-33,33, 即tan θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-33,33. 又θ∈[0,π),∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6,π.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6,π 基础盘查二 直线的方程 (一)循纲忆知掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.(二)小题查验1.判断正误(1)经过点P (x 0,y 0)的直线都可以用方程y -y 0=k (x -x 0)表示( )(2)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示( )(3)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离( )(4)若直线在x 轴,y 轴上的截距分别为m ,n ,则方程可记为x m +y n=1( ) 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×2.(人教A 版教材习题改编)已知三角形的三个顶点A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),则BC 边上中线所在的直线方程为____________.答案:x +13y +5=03.过点M (3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_____________. 解析:①若直线过原点,则k =-43,所以y =-43x ,即4x +3y =0.②若直线不过原点,设直线方程为x a +ya=1,即x +y =a . 则a =3+(-4)=-1, 所以直线的方程为x +y +1=0. 答案:4x +3y =0或x +y +1=0考点一 直线的倾斜角与斜率|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1.直线的倾斜角(1)定义:x 轴正向与直线向上的方向所成的角叫做直线的倾斜角. (2)范围:[0,π). 2.直线的斜率(1)定义:当直线l 的倾斜角α≠π2时,其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k 表示,即k =tan α.(2)范围:全体实数R .(3)斜率公式:经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式为kP 1P 2=y 2-y 1x 2-x 1.[提醒] (1)任意一条直线都有倾斜角,但只有与x 轴不垂直的直线才有斜率. (2)α=0时k =0;α是锐角时k >0;α是钝角时k <0.(3)已知倾斜角θ的范围,求斜率k 的范围时注意下列图象的应用:当k =tan α,α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0,π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π时的图象如图:[题组练透]1.若经过两点A (4,2y +1),B (2,-3)的直线的倾斜角为3π4,则y 等于( )A .-1B .-3C .0D .2解析:选B 由k =-3-2y -12-4=tan 3π4=-1.得-4-2y =2,∴y =-3.2.(2015·常州模拟)若ab <0,则过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-1b 与Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________.解析:k PQ =-1b -00-1a=ab <0,又倾斜角的取值范围为[0,π),故直线PQ 的倾斜角的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫π2,π.答案:⎝⎛⎭⎪⎫π2,π3.(2015·沈阳联考)已知线段PQ 两端点的坐标分别为P (-1,1)和Q (2,2),若直线l :x +my +m =0与线段PQ 有交点,则实数m 的取值范围是________.解析:如图所示,直线l :x +my +m =0过定点A (0,-1),当m ≠0时,k QA =32,k PA =-2,k l =-1m. ∴-1m ≤-2或-1m ≥32.解得0<m ≤12或-23≤m <0;当m =0时,直线l 的方程为x =0,与线段PQ 有交点. ∴实数m 的取值范围为-23≤m ≤12.答案:⎣⎢⎡⎦⎥⎤-23,12[类题通法]1.求倾斜角的取值范围的一般步骤: (1)求出斜率k =tan α的取值范围;(2)利用三角函数的单调性,借助图象或单位圆数形结合,确定倾斜角α的取值范围. 2.求倾斜角时要注意斜率是否存在.考点二 直线的方程|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1.点斜式过点(x 0,y 0),斜率为k 的直线方程为y -y 0=k (x -x 0). 局限性:不含垂直于x 轴的直线. 2.斜截式斜率为k ,纵截距为b 的直线方程为y =kx +b . 局限性:不含垂直于x 轴的直线. 3.两点式过两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)(x 1≠x 2,y 1≠y 2)的直线方程为y -y 1y 2-y 1=x -x 1x 2-x 1. 局限性:不含垂直于坐标轴的直线. 4.截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ,b (a ≠0,b ≠0)的直线方程为x a +y b=1. 局限性:不含垂直于坐标轴和过原点的直线. 5.一般式Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0).[提醒] 当直线与x 轴不垂直时,设直线的斜率为k ,则方程为y =kx +b ;当不确定直线的斜率是否存在时,可设直线的方程为ky +x +b =0.[典题例析]已知△ABC 的三个顶点分别为A (-3,0),B (2,1),C (-2,3),求: (1)BC 边所在直线的方程;(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程; (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程.解:(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (-2,3)两点,由两点式得BC 的方程为y -13-1=x -2-2-2,即x +2y -4=0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ,y ), 则x =2-22=0,y =1+32=2.BC 边的中线AD 过点A (-3,0),D (0,2)两点,由截距式得AD 所在直线方程为x -3+y2=1,即2x -3y +6=0.(3)由(1)知,直线BC 的斜率k 1=-12,则直线BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2=2. 由(2)知,点D 的坐标为(0,2).由点斜式得直线DE 的方程为y -2=2(x -0), 即2x -y +2=0.[类题通法]1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件. 2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用.[演练冲关]求直线过点(5,10)且到原点的距离为5的直线方程. 解:当斜率不存在时,所求直线方程为x -5=0,适合题意; 当斜率存在时,设斜率为k , 则所求直线方程为y -10=k (x -5), 即kx -y +(10-5k )=0. 由点到直线的距离公式,得|10-5k |k 2+1=5,解得k =34.故所求直线方程为3x -4y +25=0.综上知,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0.考点三 直线方程的综合应用|(常考常新型考点——多角探明)[多角探明]1.已知直线l 过点M (1,1),且与x 轴,y 轴的正半轴分别相交于A ,B 两点,O 为坐标原点.求:(1)当|OA |+|OB |取得最小值时,直线l 的方程; (2)当|MA |2+|MB |2取得最小值时,直线l 的方程. 解:(1)设A (a,0),B (0,b )(a >0,b >0).设直线l 的方程为x a +y b=1,则1a +1b=1,所以|OA |+|OB |=a +b =(a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a +1b=2+a b +b a≥2+2a b ·ba=4, 当且仅当“a =b =2”时取等号,此时直线l 的方程为x +y -2=0. (2)设直线l 的斜率为k ,则k <0, 直线l 的方程为y -1=k (x -1),则A ⎝⎛⎭⎪⎫1-1k,0,B (0,1-k ),所以|MA |2+|MB |2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1+1k 2+12+12+(1-1+k )2=2+k 2+1k2≥2+2k 2·1k2=4,当且仅当k 2=1k2,即k =-1时,|MA |2+|MB |2取得最小值4,此时直线l 的方程为x +y-2=0.角度二:与导数几何意义相结合的问题2.已知曲线y =1e x +1,则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________.解析:y ′=-e xx +2=-1e x+1ex +2,因为e x >0,所以e x+1e x ≥2e x·1ex =2(当且仅当e x =1e x ,即x =0时取等号),所以e x+1e x +2≥4,故y ′=-1e x+1ex +2≥-14(当且仅当x =0时取等号).所以当x =0时,曲线的切线斜率取得最小值,此时切点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,切线的方程为y -12=-14(x -0),即x +4y -2=0.该切线在x 轴上的截距为2,在y 轴上的截距为12,所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S =12×2×12=12.答案:12[类题通法]1.含有参数的直线方程可看作直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.2.求解与直线方程有关的最值问题,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.一、选择题1.直线l :x sin 30°+y cos 150°+1=0的斜率是( ) A.33B. 3C .- 3D .-33解析:选A 设直线l 的斜率为k ,则k =-sin 30°cos 150°=33.2.在等腰三角形AOB 中,AO =AB ,点O (0,0),A (1,3),点B 在x 轴的正半轴上,则直线AB 的方程为( )A .y -1=3(x -3)B .y -1=-3(x -3)C .y -3=3(x -1)D .y -3=-3(x -1)解析:选D 因为AO =AB ,所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数,所以k AB=-k OA =-3,所以直线AB 的点斜式方程为:y -3=-3(x -1).3.已知直线l :ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,则a 的值是( ) A .1 B .-1 C .-2或-1D .-2或1解析:选D 由题意可知a ≠0.当x =0时,y =a +2. 当y =0时,x =a +2a. ∴a +2a=a +2, 解得a =-2或a =1.4.两条直线l 1:x a -y b =1和l 2:x b -y a=1在同一直角坐标系中的图象可以是( )解析:选A 取特殊值法或排除法,可知A 正确.5.(2015·哈尔滨模拟)函数y =a sin x -b cos x 的一条对称轴为x =π4,则直线l :ax-by +c =0的倾斜角为( )A .45°B .60°C .120°D .135°解析:选D 由函数y =f (x )=a sin x -b cos x 的一条对称轴为x =π4知,f (0)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,即-b =a ,∴直线l 的斜率为-1,∴倾斜角为135°.6.(2014·安徽高考)过点P (-3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3 解析:选D 法一:如图,过点P 作圆的切线PA ,PB ,切点为A ,B .由题意知OP =2,OA =1,则sin α=12,所以α=30°,∠BPA =60°.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3.选D.法二:设过点P 的直线方程为y =k (x +3)-1,则由直线和圆有公共点知|3k -1|1+k 2≤1,解得0≤k ≤ 3.故直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3.二、填空题7.若ab >0,且A (a,0),B (0,b ),C (-2,-2)三点共线,则ab 的最小值为________.解析:根据A (a,0),B (0,b )确定直线的方程为x a +y b=1,又C (-2,-2)在该直线上,故-2a +-2b=1,所以-2(a +b )=ab .又ab >0,故a <0,b <0.根据基本不等式ab =-2(a +b )≥4ab ,从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4,故ab ≥16,当且仅当a =b =-4时取等号.即ab 的最小值为16.答案:168.设点A (-1,0),B (1,0),直线2x +y -b =0与线段AB 相交,则b 的取值范围是________. 解析:b 为直线y =-2x +b 在y 轴上的截距,如图,当直线y =-2x +b 过点A (-1,0)和点B (1,0)时,b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[-2,2]. 答案:[-2,2]9.若直线l 的斜率为k ,倾斜角为α,而α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3,π,则k 的取值范围是________________.解析:∵k =tan α,α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3,π∴-3≤k <0或33≤k ≤1. 答案:[-3,0)∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤33,1 10.一条直线经过点A (-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1,则此直线的方程为________________________________________________________________________.解:设直线的斜率为k (k ≠0), 则直线方程为y -2=k (x +2), 由x =0知y =2k +2. 由y =0知x =-2k -2k.由12|2k +2|⎪⎪⎪⎪⎪⎪-2k -2k =1. 得k =-12或k =-2.故直线方程为x +2y -2=0或2x +y +2=0. 答案:x +2y -2=0或2x +y +2=0 三、解答题11.已知直线l 过点M (2,1),且与x 轴,y 轴的正半轴分别相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,求当MA ·MB 取得最小值时,直线l 的方程.解:设A (a,0),B (0,b ),则a >0,b >0,直线l 的方程为x a +y b=1,所以2a +1b=1.故MA ·MB =-MA ·MB =-(a -2,-1)·(-2,b -1)=2(a -2)+b -1=2a +b -5=(2a +b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a +1b -5=2b a +2a b≥4,当且仅当a =b =3时取等号, 此时直线l 的方程为x +y -3=0.12.如图,射线OA ,OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P (1,0)作直线AB 分别交OA ,OB 于A ,B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y =12x 上时,求直线AB 的方程.解:由题意可得k OA =tan 45°=1,k OB =tan(180°-30°)=-33, 所以直线l OA :y =x ,l OB :y =-33x . 设A (m ,m ),B (-3n ,n ), 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m -3n 2,m +n 2,由点C 在直线y =12x 上,且A ,P ,B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m +n 2=12·m -3n 2,m -0m -1=n -0-3n -1,解得m =3,所以A (3,3). 又P (1,0),所以k AB =k AP =33-1=3+32, 所以l AB :y =3+32(x -1),即直线AB 的方程为(3+3)x -2y -3-3=0.第二节两直线的位置关系基础盘查一两直线平行与垂直(一)循纲忆知能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.(二)小题查验1.判断正误(1)当直线l1和l2的斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2( )(2)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1( )(3)已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1,B1,C1,A2,B2,C2为常数),若直线l1⊥l2,则A1A2+B1B2=0( )答案:(1)×(2)×(3)√2.(人教B版教材习题改编)过点(1,2)与直线2x+y-10=0垂直的直线方程为____________.答案:x-2y+3=0基础盘查二两直线的交点(一)循纲忆知能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.(二)小题查验1.判断正误(1)l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,当k1≠k2时,l1与l2相交( )(2)过l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x +B2y+C2)=0(λ∈R)( )答案:(1)√(2)×2.(人教A版教材习题改编)经过两直线2x+y-8=0与x-2y+1=0的交点,且平行于直线4x-3y-7=0的直线方程为____________.答案:4x-3y-6=0基础盘查三距离公式(一)循纲忆知掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离.(二)小题查验1.判断正误(1)点P (x 0,y 0)到直线y =kx +b 的距离为|kx 0+b |1+k2( ) (2)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离( )(3)若点A ,B 关于直线l :y =kx +b (k ≠0)对称,则直线AB 的斜率等于-1k,且线段AB的中点在直线l 上( )答案:(1)× (2)√ (3)√2.(北师大版教材习题改编)两平行直线l 1,l 2分别过A (1,0),B (0,5),若l 1与l 2的距离为5,则l 1与l 2的方程分别为l 1:________________,l 2:________________.答案:y =0或5x -12y -5=0y =5或5x -12y +60=0考点一 两直线的位置关系|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1.判定两直线平行的方法(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k 1=k 2,且b 1≠b 2,则两直线平行;若斜率都不存在,还要判定是否重合.(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论: 设直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0,且B 1C 2-B 2C 1≠0.2.判定两直线垂直的方法(1)判定两直线的斜率是否存在,若存在,可先化成斜截式,若k 1·k 2=-1,则两直线垂直;若一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0,则两直线也垂直.(2)直接用以下方法,可避免对斜率是否存在进行讨论:设直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.3.求两条直线的交点对于直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0,它们的交点可由⎩⎪⎨⎪⎧A 1x +B 1y +C 1=0,A 2x +B 2y +C 2=0求解.[题组练透]1.(2015·北京海淀区期末)已知直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:mx -y =0平行,则实数m 的取值为( )A .-12B.12C .2D .-2解析:选A 因为直线l 1:x +2y -1=0与直线l 2:mx -y =0平行,所以m 1=-12≠0,解得m =-12,故选A.2.(2015·浙江名校联考)已知直线l 1:x +(a -2)y -2=0,l 2:(a -2)x +ay -1=0,则“a =-1”是“l 1⊥l 2”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 若a =-1,则l 1:x -3y -2=0,l 2:-3x -y -1=0,显然两条直线垂直;若l 1⊥l 2,则(a -2)+a (a -2)=0,∴a =-1或a =2,因此,“a =-1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件,故选A.3.(2015·浙江温州十校联考)过两直线2x -y -5=0和x +y +2=0的交点且与直线3x +y -1=0平行的直线方程为________________.解析: 联立⎩⎪⎨⎪⎧2x -y -5=0,x +y +2=0,得交点P (1,-3).设过点P 且与直线3x +y -1=0平行的直线方程为3x +y +m =0,则3×1-3+m =0,解得m =0.答案:3x +y =0[类题通法]1.充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本类题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l 1和l 2,l 1∥l 2⇔k 1=k 2,l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1.若有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意.2.两直线交点的求法求两直线交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点.3.常见的三大直线系方程(1)与直线Ax +By +C =0平行的直线系方程是Ax +By +m =0(m ∈R 且m ≠C ). (2)与直线Ax +By +C =0垂直的直线系方程是Bx -Ay +m =0(m ∈R ).(3)过直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0与l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系方程为A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0(λ∈R ),但不包括l 2.考点二 距离问题|(重点保分型考点——师生共研)[必备知识]1.两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)间的距离公式为|P 1P 2|=x 2-x 12+y 2-y 12.2.点到直线的距离公式点P 0(x 0,y 0)到直线l :Ax +By +C =0的距离d =|Ax 0+By 0+C |A 2+B 2.3.两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax +By +C 1=0与Ax +By +C 2=0间的距离为d =|C 1-C 2|A 2+B 2.[提醒] 在解题过程中,易忽略点到直线与两平行直线间的距离公式中要求直线方程必须是一般式,导致出现错解.特别是两平行直线间的距离公式中,两直线方程的一般式中的x ,y 的系数要对应相等.[典题例析]已知点P (2,-1).(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程.(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由.解:(1)过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,-1),显然,过P (2,-1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时l 的斜率不存在,其方程为x =2. 若斜率存在,设l 的方程为y +1=k (x -2), 即kx -y -2k -1=0.由已知得|-2k -1|k 2+1=2,解得k =34.此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上,可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图.由l ⊥OP ,得k l k OP =-1,所以k l =-1k OP=2.由直线方程的点斜式得y +1=2(x -2),即2x -y -5=0.所以直线2x -y -5=0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|-5|5= 5.(3)由(2)可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.[类题通法]解决与点到直线的距离有关的问题应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.[演练冲关]已知l 1,l 2是分别经过A (1,1),B (0,-1)两点的两条平行直线,当l 1,l 2间的距离最大时,则直线l 1的方程是__________________________.解析:当直线AB 与l 1,l 2垂直时,l 1,l 2间的距离最大.因为A (1,1),B (0,-1),所以k AB =-1-10-1=2,所以两平行直线的斜率为k =-12,所以直线l 1的方程是y -1=-12(x -1),即x +2y -3=0.答案:x +2y -3=0考点三 对称问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1.中心对称(1)点关于点对称:若点M (x 1,y 1)与N (x ,y )关于P (a ,b )对称,则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x =2a -x 1,y =2b -y 1,进而求解.(2)直线关于点对称问题的主要解法:在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程,或者求出一个对称点,再利用l 1∥l 2,由点斜式得到所求的直线方程.2.轴对称(1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)关于直线l :Ax +By +C =0对称,则线段P 1P 2的中点在对称轴l 上,且连接P 1P 2的直线垂直于对称轴l ,由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1+x 22+B ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1+y 22+C =0,A y 1-y 2=B x 1-x 2,可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2,y 2)(其中A ≠0,x 1≠x 2).特别地,若直线l :Ax +By +C =0满足|A |=|B |,则P 1(x 1,y 1)与P 2(x 2,y 2)坐标关系为⎩⎪⎨⎪⎧Ax 1+By 2+C =0,Ax 2+By 1+C =0.(2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决,有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行.[多角探明]对称问题是高考常考内容之一,也是考查学生转化能力的一种常见题型.归纳起来常见的命题角度有:(1)点关于点对称; (2)点关于线对称; (3)线关于线对称; (4)对称问题的应用. 角度一:点关于点的对称1.过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1:2x +y -8=0和l 2:x -3y +10=0截得的线段被点P 平分,求直线l 的方程.解:设l 1与l 的交点为A (a,8-2a ),则由题意知,点A 关于点P 的对称点B (-a,2a -6)在l 2上, 代入l 2的方程得-a -3(2a -6)+10=0, 解得a =4,即点A (4,0)在直线l 上, 所以由两点式得直线l 的方程为x +4y -4=0. 角度二:点关于线对称2.已知直线l :2x -3y +1=0,点A (-1,-2),求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标.解:设A ′(x ,y ),再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y +2x +1×23=-1,2×x -12-3×y -22+1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-3313,y =413,故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫-3313,413. 角度三:线关于线对称3.在[角度二]的条件下,求直线m :3x -2y -6=0关于直线l 的对称直线m ′的方程.解:在直线m 上取一点,如M (2,0),则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上. 设对称点M ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧2×⎝⎛⎭⎪⎫a +22-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫b +02+1=0,b -0a -2×23=-1,得M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫613,3013.设直线m 与直线l 的交点为N ,则由⎩⎪⎨⎪⎧2x -3y +1=0,3x -2y -6=0,得N (4,3).又∵m ′经过点N (4,3),∴由两点式得直线m ′的方程为9x -46y +102=0. 角度四:对称问题的应用4.已知光线从A (-4,-2)点射出,到直线y =x 上的B 点后被直线y =x 反射到y 轴上的C 点,又被y 轴反射,这时反射光线恰好过点D (-1,6),求BC 所在的直线方程.解:作出草图,如图所示,设A 关于直线y =x 的对称点为A ′,D关于y 轴的对称点为D ′,则易得A ′(-2,-4),D ′(1,6).由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y -6-4-6=x -1-2-1,即10x -3y +8=0.[类题通法]对称问题的解题策略解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称点的连线与对称轴垂直;二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.一、选择题1.与直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程为( ) A .3x +4y +5=0 B .3x +4y -5=0 C .-3x +4y -5=0D .-3x +4y +5=0解析:选A 与直线3x -4y +5=0关于x 轴对称的直线方程是3x -4(-y )+5=0,即3x +4y +5=0.2.已知平面内两点A (1,2),B (3,1)到直线l 的距离分别是2,5-2,则满足条件的直线l 的条数为( )A .1B .2C .3D .4解析:选C 由题知满足题意的直线l 在线段AB 两侧各有1条,又因为|AB |= 5,所以还有1条为过线段AB 上的一点且与AB 垂直的直线,故共3条.3.(2015·广元模拟)若直线l 1:x -2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny -3=0之间的距离是5,则m +n =( )A .0B .1C .-1D .2解析:选A ∵直线l 1:x -2y +m =0(m >0)与直线l 2:x +ny -3=0之间的距离为5,∴⎩⎪⎨⎪⎧n =-2,|m +3|5=5,∴n =-2,m =2(负值舍去). ∴m +n =0.4.(2015·济南模拟)“m =3”是“直线l 1:2(m +1)x +(m -3)y +7-5m =0与直线l 2:(m -3)x +2y -5=0垂直”的( )A. 充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 由l 1⊥l 2,得2(m +1)(m -3)+2(m -3)=0, ∴m =3或m =-2.∴m =3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.5.(2015·云南统考)已知A ,B 两点分别在两条互相垂直的直线2x -y =0和x +ay =0上,且AB 线段的中点为P ⎝⎛⎭⎪⎫0,10a ,则线段AB 的长为( )A .11B .10C .9D .8解析:选B 依题意,a =2,P (0,5),设A (x,2x ),B (-2y ,y ),故⎩⎪⎨⎪⎧x -2y =0,2x +y =10,则A (4,8),B (-4,2),∴|AB |=+2+-2=10.6.已知曲线|x |2-|y |3=1与直线y =2x +m 有两个交点,则m 的取值范围是( )A .(-∞,-4)∪(4,+∞)B .(-4,4)C .(-∞,-3)∪(3,+∞)D .(-3,3)解析:选A 曲线|x |2-|y |3=1的草图如图所示.由该曲线与直线y =2x +m 有两个交点,可得m >4或m <-4.二、填空题7.(2015·重庆检测)已知直线l 1的方程为3x +4y -7=0,直线l 2的方程为6x +8y +1=0,则直线l 1与l 2的距离为________.解析:直线l 1的方程为3x +4y -7=0,直线l 2的方程为6x +8y +1=0,即3x +4y +12=0,∴直线l 1与l 2的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪12+732+42=32.答案:328.(2015·河北秦皇岛检测)直线l 1:y =2x +3关于直线l :y =x +1对称的直线l 2的方程为________________.解析:由⎩⎪⎨⎪⎧y =2x +3,y =x +1,解得直线l 1与l 的交点坐标为(-2,-1), ∴可设直线l 2的方程为y +1=k (x +2), 即kx -y +2k -1=0. 在直线l 上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l 1,l 2的距离相等,由点到直线的距离公式得|k -2+2k -1|k 2+1=|2-2+3|22+1, 解得k =12(k =2舍去),∴直线l 2的方程为x -2y =0. 答案:x -2y =09.若在平面直角坐标系内过点P (1,3),且与原点的距离为d 的直线有两条,则d 的取值范围为________.解析:因为原点到点P 的距离为2,所以过点P 与原点的距离都不大于2,故d ∈(0,2).答案:(0,2)10.如图,已知A (-2,0),B (2,0),C (0,2),E (-1,0),F (1,0),一束光线从F 点出发射到BC 上的D 点,经BC 反射后,再经AC 反射,落到线段AE 上(不含端点),则直线FD 的斜率的取值范围为________.解析:从特殊位置考虑.如图,∵点A (-2,0)关于直线BC :x +y =2的对称点为A 1(2,4), ∴kA 1F =4.又点E (-1,0)关于直线AC :y =x +2的对称点为E 1(-2,1),点E 1(-2,1)关于直线BC :x +y =2的对称点为E 2(1,4),此时直线E 2F 的斜率不存在,∴k FD >kA 1F ,即k FD ∈(4,+∞).答案:(4,+∞) 三、解答题11.已知两条直线l 1:ax -by +4=0和l 2:(a -1)x +y +b =0,求满足下列条件的a ,b 的值:(1)l 1⊥l 2,且l 1过点(-3,-1);(2)l 1∥l 2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解:(1)由已知可得l 2的斜率存在,且k 2=1-a . 若k 2=0,则1-a =0,a =1.∵l 1⊥l 2,直线l 1的斜率k 1必不存在,即b =0.又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a +4=0,即a =43(矛盾).∴此种情况不存在,∴k 2≠0.即k 1,k 2都存在,∵k 2=1-a ,k 1=a b,l 1⊥l 2, ∴k 1k 2=-1,即a b(1-a )=-1.① 又∵l 1过点(-3,-1),∴-3a +b +4=0. ②由①②联立,解得a =2,b =2.(2)∵l 2的斜率存在,l 1∥l 2,∴直线l 1的斜率存在,k 1=k 2,即ab=1-a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等,且l 1∥l 2, ∴l 1,l 2在y 轴上的截距互为相反数,即4b=b ,④联立③④,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =-2或⎩⎪⎨⎪⎧a =23,b =2.∴a =2,b =-2或a =23,b =2.12.(2015·东营模拟)设直线l 的方程为(a +1)x +y -2-a =0(a ∈R ). (1)若直线l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程;(2)若a >-1,直线l 与x 、y 轴分别交于M 、N 两点,O 为坐标原点,求△OMN 面积取最小值时,直线l 的方程.解:(1)当直线l 经过坐标原点时,该直线在两坐标轴上的截距都为0,此时a +2=0,解得a =-2,此时直线l 的方程为-x +y =0,即x -y =0; 当直线l 不经过坐标原点,即a ≠-2且a ≠-1时, 由直线在两坐标轴上的截距相等可得2+aa +1=2+a ,解得a =0,此时直线l 的方程为x +y -2=0. 所以直线l 的方程为x -y =0或x +y -2=0. (2)由直线方程可得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2+a a +1,0,N (0,2+a ),因为a >-1,所以S △OMN =12×2+a a +1×(2+a )=12×a ++1]2a +1=12⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ++1a +1+2≥12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a +1a +1+2=2, 当且仅当a +1=1a +1,即a =0时等号成立. 此时直线l 的方程为x +y -2=0.第三节圆的方程基础盘查一 圆的定义及标准方程 (一)循纲忆知1.掌握确定圆的几何要素,掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题. (二)小题查验 1.判断正误(1)确定圆的几何要素是圆心与半径( )(2)已知点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则以AB 为直径的圆的方程是(x -x 1)(x -x 2)+(y -y 1)(y -y 2)=0( )(3)方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是A =C ≠0,B =0,D 2+E 2-4AF >0( )答案:(1)√ (2)√ (3)√2.(人教A 版教材例题改编)已知圆心为C 的圆过点A (1,1),B (2,-2)且圆心C 在直线l :x -y +1=0上,则圆的标准方程为________________.答案:(x +3)2+(y +2)2=253. (2015·金华十校联考)已知圆C 的半径为1,圆心在第一象限,与y 轴相切,与x 轴相交于点A 、B ,且AB =3,则该圆的标准方程是____________________.解析:依题可设圆C :(x -1)2+(y -b )2=1(b >0),且⎝⎛⎭⎪⎫322+b 2=1,可解得b =12, 所以圆C 的标准方程为(x -1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=1.答案:(x -1)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=1基础盘查二 点与圆的位置关系 (一)循纲忆知了解点与圆的位置关系(点在圆上、点在圆内、点在圆外). (二)小题查验 1.判断正误(1)若点M (x 0,y 0)在圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0外,则x 20+y 20+Dx 0+Ey 0+F >0( ) (2)已知圆的方程为x 2+y 2-2y =0,过点A (1,2)作该圆的切线只有一条( ) 答案:(1)√ (2)×2.若点(1,1)在圆(x -a )2+(y +a )2=4的内部,则实数a 的取值范围是________. 解析:因为点(1,1)在圆(x -a )2+(y +a )2=4的内部,所以(1-a )2+(1+a )2<4. 即a 2<1,故-1<a <1. 答案:(-1,1)考点一 圆的方程|(基础送分型考点——自主练透)[必备知识]1.圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2,其中(a ,b )为圆心,r 为半径.2.圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.当D 2+E 2-4F >0时表示圆,其中⎝ ⎛⎭⎪⎫-D 2,-E 2为圆心,12D 2+E 2-4F 为半径.[提醒] 方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件:⎩⎪⎨⎪⎧B =0,A =C ≠0,D 2+E 2-4AF >0.[题组练透]1.(2015·潍坊一模)若圆C 经过(1,0),(3,0)两点,且与y 轴相切,则圆C 的方程为( ) A .(x -2)2+(y ±2)2=3 B .(x -2)2+(y ±3)2=3 C .(x -2)2+(y ±2)2=4D .(x -2)2+(y ±3)2=4解析:选D 因为圆C 经过(1,0),(3,0)两点,所以圆心在直线x =2上,又圆与y 轴相切,所以半径r =2,设圆心坐标为(2,b ),则(1-2)2+b 2=4,b 2=3,b =±3,选D.2.(2015·温州十校联考)已知抛物线C 1:x 2=2y 的焦点为F ,以F 为圆心的圆C 2交C 1于A ,B 两点,交C 1的准线于C ,D 两点,若四边形ABCD 是矩形,则圆C 2的方程为( )A.x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=3B .x 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y -122=4C .x 2+(y -1)2=12D .x 2+(y -1)2=16解析:选B 如图,连接AC ,BD ,由抛物线的定义与性质可知圆心坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12,而|FA |=|AD |=|FB |为圆的半径r ,于是A ⎝⎛⎭⎪⎫32r ,12+12r ,而A 在抛物线上,故⎝ ⎛⎭⎪⎫32r 2=2⎝ ⎛⎭⎪⎫12+12r ,∴r =2,故选B.3.圆C 通过不同的三点P (k,0),Q (2,0),R (0,1),已知圆C 在点P 处的切线斜率为1,则圆C 的方程为______________.解析:设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0, 则k,2为x 2+Dx +F =0的两根,∴k +2=-D,2k =F ,即D =-(k +2),F =2k , 又圆过R (0,1),故1+E +F =0. ∴E =-2k -1.故所求圆的方程为x 2+y 2-(k +2)x -(2k +1)y +2k =0, 圆心坐标为⎝⎛⎭⎪⎫k +22,2k +12.∵圆C 在点P 处的切线斜率为1, ∴k CP =-1=2k +12-k ,∴k =-3.∴D =1,E =5,F =-6.∴所求圆C 的方程为x 2+y 2+x +5y -6=0. 答案:x 2+y 2+x +5y -6=0[类题通法]解题时选择设标准方程还是一般方程的一般原则是:如果由已知条件易得圆心坐标、半径或可用圆心坐标、半径列方程,则通常选择设圆的标准方程,否则选择设圆的一般方程.考点二 与圆有关的最值、范围问题|(常考常新型考点——多角探明)[必备知识]1.与圆的几何性质有关的最值(1)记O 为圆心,圆外一点A 到圆上距离最小为|AO |-r ,最大为|AO |+r ; (2)过圆内一点的弦最长为圆的直径,最短为以该点为中点的弦;(3)记圆心到直线的距离为d ,直线与圆相离,则圆上点到直线的最大距离为d +r ,最小距离为d -r ;(4)过两定点的所有圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆. 2.与圆上点(x ,y )有关的最值 (1)形如μ=y -bx -a形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题; (2)形如t =ax +by 形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题;(3)形如(x -a )2+(y -b )2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.[多角探明]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想.归纳起来常见的命题角度有:(1)斜率型最值问题; (2)截距型最值问题; (3)距离型最值问题;(4)利用对称性求最值、范围等; (5)建立目标函数求最值问题. 角度一:斜率型最值问题1.已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求y x的最大值和最小值. 解:原方程可化为(x -2)2+y 2=3, 表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设y x=k ,即y =kx .如图所示,当直线y =kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值,此时|2k -0|k 2+1= 3,解得k =± 3. 所以y x的最大值为3,最小值为- 3. 角度二:截距型最值问题2.在[角度一]条件下求y -x 的最大值和最小值.解:y -x 可看作是直线y =x +b 在y 轴上的截距,如图所示,当直线y =x +b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时|2-0+b |2= 3,解得b =-2± 6.所以y -x 的最大值为-2+6,最小值为-2- 6. 角度三:距离型最值问题3.在[角度一]条件下求x 2+y 2的最大值和最小值.解:如图所示,x 2+y 2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为-2+-2=2,所以x 2+y 2的最大值是(2+3)2=7+43,x 2+y 2的最小值是()2-32=7-4 3. 角度四:利用对称性求范围4.(2014·新课标全国卷Ⅱ)设点M (x 0,1),若在圆 O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是( )A .[-1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,12C .[-2,2]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤-22,22 解析:选A 当点M 的坐标为(1,1)时,圆上存在点N (1,0),使得∠OMN =45°,所以x 0=1符合题意,故排除B ,D ;当点M 的坐标为(2,1)时,OM =3,过点M 作圆O 的一条切线MN ′,连接ON ′,则在Rt △OMN ′中,sin ∠OMN ′=33<22,则∠OMN ′<45°,故此时在圆O 上不存在点N ,使得∠OMN =45°,即x 0=2不符合题意,排除C ,故选A.角度五:建立目标函数求最值问题5.设圆x 2+y 2=2的切线l 与x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于点A ,B ,当|AB |取最小值时,切线l 的方程为_____________________________________________________.解析:设点A ,B 的坐标分别为A (a,0),B (0,b )(a ,b >0),则直线AB 的方程为x a +y b=1,即bx +ay -ab =0,因为直线AB 和圆相切,所以圆心到直线AB 的距离d =|-ab |a 2+b 2=2,即2(a 2+b 2)=(ab )2≥4ab ,所以ab ≥4, 当且仅当a =b 时取等号,又|AB |=a 2+b 2=ab2≥22,所以|AB |的最小值为22,此时a =b ,即a =b =2,切线l 的方程为x 2+y2=1,即x +y -2=0.答案:x +y -2=0[类题通法]求解与圆有关的最值问题的两大规律。
【三维设计】2022届(新课标)高考数学(文)大一轮复习精品讲义:第九章 概率 Word版含答案
第九章 概 率第一节随机大事的概率对应同学用书P141基础盘查一 随机大事及概率 (一)循纲忆知1.了解随机大事发生的不确定性和频率的稳定性. 2.了解概率的意义及频率与概率的区分. (二)小题查验 1.推断正误(1)“物体在只受重力的作用下会自由下落”是必定大事( ) (2)“方程x 2+2x +8=0有两个实根”是不行能大事( ) (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值( ) (4)不行能大事就是确定不能发生的大事( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)√2.(人教B 版教材习题改编)某射手在同一条件下进行射击,结果如下:射击次数 10 20 50 100 200 500 击中靶心次数8194492178455这个射手射击一次,击中靶心的概率约是________. 答案:0.903.(2021·温州十校联考)记一个两位数的个位数字与十位数字的和为A .若A 是不超过5的奇数,从这些两位数中任取一个,其个位数为1的概率为________.解析:依据题意,个位数字与十位数字之和为奇数且不超过5的两位数有:10,12,14,21,23,30,32,41,50,共9个,其中个位是1的有21,41,共2个,因此所求的概率为29.答案:29基础盘查二 大事关系与运算 (一)循纲忆知了解两个互斥大事的概率加法公式:当大事A 与B 互斥时,P (A ∪B )=P (A )+P (B ). (二)小题查验1.推断正误(1)对立大事确定是互斥大事,互斥大事不愿定是对立大事(2)一个人打靶时连续射击出两次,大事“至少有一次中靶”的互斥大事是“至多有一次中靶”( ) (3)大事A ,B 为互斥大事,则P (A )+P (B )<1( )(4)大事A ,B 同时发生的概率确定比A ,B 中恰有一个发生的概率小( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)×2.(人教A 版教材例题改编)假如从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张,那么取到红心的概率是14,取到方块的概率是14,则取到黑色牌的概率是________. 答案:12.3.(2021·赤峰模拟)先后抛掷硬币三次,则至少一次正面朝上的概率是________. 答案:78对应同学用书P141考点一 随机大事的关系(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1.互斥大事若A ∩B 为不行能大事(记作:A ∩B =∅),则称大事A 与大事B 互斥,其含义是:大事A 与大事B 在任何一次试验中不会同时发生.2.对立大事若A ∩B 为不行能大事,而A ∪B 为必定大事,则大事A 与大事B 互为对立大事,其含义是:大事A 与大事B 在任何一次试验中有且仅有一个发生.[提示] “互斥大事”与“对立大事”的区分:对立大事是互斥大事,是互斥中的特殊状况,但互斥大事不愿定是对立大事,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.[题组练透]1.从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中: (1)恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;(2)至少有一个是奇数和两个都是奇数;(3)至少有一个是奇数和两个都是偶数;(4)至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述大事中,是对立大事的是()A.(1)B.(2)(4)C.(3) D.(1)(3)解析:选C(3)中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数依据取到数的奇偶性可认为共有三个大事:“两个都是奇数”、“一奇一偶”、“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立大事.易知其余都不是对立大事.2.设条件甲:“大事A与大事B是对立大事”,结论乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:选A若大事A与大事B是对立大事,则A∪B为必定大事,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次,大事A:“至少毁灭一次正面”,大事B:“3次毁灭正面”,则P(A)=78,P(B)=18,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立大事.3.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若大事“2张全是移动卡”的概率是310,那么概率是710的大事是()A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡解析:选A至多有一张移动卡包含“一张移动卡,一张联通卡”、“两张全是联通卡”两个大事,它是“2张全是移动卡”的对立大事,故选A.[类题通法]利用集合方法推断互斥大事与对立大事1.由各个大事所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则大事互斥.2.大事A的对立大事A所含的结果组成的集合,是全集中由大事A所含的结果组成的集合的补集.考点二随机大事的概率(重点保分型考点——师生共研)[必备学问]概率与频率(1)在相同的条件S下重复n次试验,观看某一大事A是否毁灭,称n次试验中大事A毁灭的次数n A为大事A毁灭的频数,称大事A毁灭的比例f n(A)=n An为大事A毁灭的频率.(2)对于给定的随机大事A,由于大事A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率f n(A)来估量概率P(A).[典题例析](2022·陕西高考)某保险公司利用简洁随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估量赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估量在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.解析:(1)设A表示大事“赔付金额为3 000元”,B表示大事“赔付金额为4 000元”,以频率估量概率得P(A)=1501 000=0.15,P(B)=1201 000=0.12.由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.(2)设C表示大事“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100辆,而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24辆,所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100=0.24,由频率估量概率得P(C)=0.24.[类题通法]求解随机大事的概率关键是精确计算基本大事数,计算的方法有:(1)列举法;(2)列表法;(3)利用树状图法.[演练冲关]假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图:(1)估量甲品牌产品寿命小于200小时的概率;(2)这两种品牌产品中,某个产品已使用了200小时,试估量该产品是甲品牌的概率.解:(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为5+20100=14,用频率估量概率,可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为14.(2)依据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于 200小时的产品是甲品牌的频率是75145=1529.据此估量已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为1529.考点三 互斥大事与对立大事的概率(重点保分型考点——师生共研) [必备学问]1.互斥大事的概率加法公式假如大事A 与大事B 互斥,那么P (A ∪B )=P (A )+P (B ); 2.对立大事概率公式若大事B 与大事A 互为对立大事,则P (A )+P (B )=1,即P (A )=1-P (B ).A 的对立大事记为A ,当计算大事A 的概率P (A )比较困难时,可通过P (A )=1-P (A )计算.[典题例析]依据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率; (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.解:记A 表示大事:该车主购买甲种保险;B 表示大事:该车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C 表示大事:该车主至少购买甲、乙两种保险中的1种;D 表示大事:该车主甲、乙两种保险都不购买.(1)由题意得P (A )=0.5,P (B )=0.3, 又C =A ∪B ,所以P (C )=P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.5+0.3=0.8. (2)由于D 与C 是对立大事, 所以P (D )=1-P (C )=1-0.8=0.2. [类题通法]求概率的关键是分清所求大事是由哪些大事组成的,求解时通常有两种方法: (1)将所求大事转化成几个彼此互斥的大事的和大事,利用概率加法公式求解概率;(2)若将一个较简洁的大事转化为几个互斥大事的和大事时,需要分类太多,而其对立面的分类较少,可考虑利用对立大事的概率公式,即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型大事的概率.[演练冲关]现有7名数理化成果优秀者,其中A 1,A 2,A 3的数学成果优秀,B 1,B 2的物理成果优秀,C 1,C 2的化学成果优秀,从中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名,组成一个小组代表学校参与竞赛.(1)求C 1被选中的概率;(2)求A 1和B 1不全被选中的概率.解:(1)用M 表示“C 1恰被选中”这一大事.从7人中选出数学、物理、化学成果优秀者各1名,其一切可能的结果组成的12个基本大事为: (A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),(A 1,B 2,C 1),(A 1,B 2,C 2),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 1,C 2),(A 2,B 2,C 1),(A 2,B 2,C 2),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 1,C 2),(A 3,B 2,C 1),(A 3,B 2,C 2).C 1恰被选中有6个基本大事:(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 2,C 1),(A 2,B 1,C 1),(A 2,B 2,C 1),(A 3,B 1,C 1),(A 3,B 2,C 1), 因而P (M )=612=12.(2)用N 表示“A 1,B 1不全被选中”这一大事,则其对立大事N 表示“A 1,B 1全被选中”这一大事,由于N ={}(A 1,B 1,C 1),(A 1,B 1,C 2),所以大事N 由两个基本大事组成,所以P (N )=212=16, 由对立大事的概率公式得P (N )=1-P (N )=1-16=56.对应A 本课时跟踪检测(五十五)一、选择题1.在一次随机试验中,彼此互斥的大事A ,B ,C ,D 的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )A .A ∪B 与C 是互斥大事,也是对立大事 B .B ∪C 与D 是互斥大事,也是对立大事 C .A ∪C 与B ∪D 是互斥大事,但不是对立大事 D .A 与B ∪C ∪D 是互斥大事,也是对立大事解析:选D 由于A ,B ,C ,D 彼此互斥,且A ∪B ∪C ∪D 是一个必定大事,故其大事的关系可由如图所示的韦恩图表示,由图可知,任何一个大事与其余3个大事的和大事必定是对立大事,任何两个大事的和大事与其余两个大事的和大事也是对立大事.2.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为17,都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A.17 B.1235 C.1735D .1解析:选C 设“从中取出2粒都是黑子”为大事A ,“从中取出2粒都是白子”为大事B ,“任意取出2粒恰好是同一色”为大事C ,则C =A ∪B ,且大事A 与B 互斥.所以P (C )=P (A )+P (B )=17+1235=1735.即任意取出2粒恰好是同一色的概率为1735.3.从存放的号码分别为1,2,3,…,10的卡片的盒子中,有放回地取100次,每次取一张卡片并登记号码,统计结果如下:卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是( ) A .0.53 B .0.5 C .0.47D .0.37解析:选A 取到号码为奇数的卡片的次数为:13+5+6+18+11=53,则所求的频率为53100=0.53.故选A.4.从某校高二班级的全部同学中,随机抽取20人,测得他们的身高(单位:cm)分别为: 162,153,148,154,165,168,172,171,173,150, 151,152,160,165,164,179,149,158,159,175.依据样本频率分布估量总体分布的原理,在该校高二班级的全部同学中任抽一人,估量该生的身高在155.5 cm ~170.5 cm 之间的概率约为( )A.25B.12C.23D.13解析:选A 从已知数据可以看出,在随机抽取的这20位同学中,身高在155.5 cm ~170.5 cm 之间的同学有8人,频率为25,故可估量在该校高二班级的全部同学中任抽一人,其身高在155.5 cm ~170.5 cm 之间的概率约为25.5.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为12,乙胜的概率为13,则甲胜的概率和甲不输的概率分别为( )A.16,16 B.12,23 C.16,23D.23,12解析:选C “甲胜”是“和棋或乙胜”的对立大事,所以甲胜的概率为1-12-13=16.设“甲不输”为大事A ,则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥大事的和大事,所以P (A )=16+12=23.或设“甲不输”为大事A ,则A 可看作是“乙胜”的对立大事,所以P (A )=1-13=23. 6.若随机大事A ,B 互斥,A ,B 发生的概率均不等于0,且P (A )=2-a ,P (B )=4a -5,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫54,2 B.⎝⎛⎭⎫54,32 C.⎣⎡⎦⎤54,32D.⎝⎛⎦⎤54,43解析:选D由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (A )+P (B )≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<2-a <1,0<4a -5<1,3a -3≤1⇒⎩⎨⎧1<a <2,54<a <32,a ≤43⇒54<a ≤43. 二、填空题7.据统计,某食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0,1,2的概率分别为0.4,0.5,0.1,则该企业在一个月内被消费者投诉不超过1次的概率为________.解析:法一:记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为0”为大事A ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为1”为大事B ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过1次”为大事D ,由题意知大事A ,B ,C 彼此互斥,而大事D 包含大事A 与B ,所以P (D )=P (A )+P (B )=0.4+0.5=0.9.法二:记“该食品企业在一个月内被消费者投诉的次数为2”为大事C ,“该食品企业在一个月内被消费者投诉不超过一次”为大事D ,由题意知C 与D 是对立大事,所以P (D )=1-P (C )=1-0.1=0.9.答案:0.98.(2021·潍坊模拟)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6),记“两次向上的数字之和等于m ”为大事A ,则P (A )最大时,m =________.解析:m 可能取到的值有2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,对应的基本大事个数依次为1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1,∴两次向上的数字之和等于7对应的大事发生的概率最大.答案:79.某城市2022年的空气质量状况如下表所示:污染指数T 30 60 100 110 130 140 概率P1101613730215130其中污染指数T ≤50时,空气质量为优;50<T ≤100时,空气质量为良;100<T ≤150时,空气质量为略微污染,则该城市2022年空气质量达到良或优的概率为________.解析:由题意可知2022年空气质量达到良或优的概率为P =110+16+13=35.答案:3510.若A ,B 互为对立大事,其概率分别为P (A )=4x ,P (B )=1y ,且x >0,y >0,则x +y 的最小值为________.解析:由题意可知4x +1y =1,则x +y =(x +y )⎝⎛⎭⎫4x +1y =5+⎝⎛⎭⎫4y x +x y ≥9,当且仅当4y x =xy ,即x =2y 时等号成立.答案:9 三、解答题11.有编号为1,2,3的三个白球,编号为4,5,6的三个黑球,这六个球除编号和颜色外完全相同,现从中任意取出两个球.(1)求取得的两个球颜色相同的概率; (2)求取得的两个球颜色不相同的概率. 解:从六个球中取出两个球的基本大事是:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共计15个.(1)记大事A 为“取出的两个球都是白球”,则这个大事包含的基本大事是(1,2),(1,3),(2,3),共计3个,故P (A )=315=15;记“取出的两个球都是黑球”为大事B ,同理可得P (B )=15.记大事C 为“取出的两个球的颜色相同”,A ,B 互斥,依据互斥大事的概率加法公式,得P (C )=P (A ∪B )=P (A )+P (B )=25.(2)记大事D 为“取出的两个球的颜色不相同”,则大事C ,D 对立,依据对立大事概率之间的关系,得P (D )=1-P (C )=1-25=35.12.黄种人人群中各种血型的人数所占的比例见下表:血型A B AB O 该血型的人数所占的比例28%29%8%35%已知同种血型的人可以相互输血,O 型血的人可以给任一种血型的人输血,任何人的血都可以输给AB 型血的人,其他不同血型的人不能相互输血.小明是B 型血,若他因病需要输血,问:(1)任找一个人,其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人,其血不能输给小明的概率是多少?解:(1)任找一人,其血型为A ,B ,AB ,O 型血分别记为大事A ′,B ′,C ′,D ′,它们是互斥的.由已知,有P (A ′)=0.28,P (B ′)=0.29,P (C ′)=0.08,P (D ′)=0.35.由于B ,O 型血可以输给B 型血的人,故“任找一个人,其血可以输给小明”为大事B ′∪D ′,依据概率加法公式,得P (B ′∪D ′)=P (B ′)+P (D ′)=0.29+0.35=0.64.(2)由于A ,AB 型血不能输给B 型血的人,故“任找一个人,其血不能输给小明”为大事A ′∪C ′,且P (A ′∪C ′)=P (A ′)+P (C ′)=0.28+0.08=0.36.其次节古典概型对应同学用书P143基础盘查一 古典概型 (一)循纲忆知1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机大事所包含的基本大事数及大事发生的概率. (二)小题查验 1.推断正误(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观看它是否发芽”属于古典概型,其基本大事是“发芽与不发芽”( )(2)掷一枚硬币两次,毁灭“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能大事( ) (3)在古典概型中,假如大事A 中基本大事构成集合A ,全部的基本大事构成集合I ,则大事A 的概率为card (A )card (I )( )答案:(1)× (2)× (3)√2.(北师大版教材例题改编)小明的自行车用的是密码锁,密码锁的四位数码由4个数字2,4,6,8按确定挨次构成,小明不当心遗忘了密码中4个数字的挨次,随机地输入由2,4,6,8组成的一个四位数,不能打开锁的概率是________.答案:23243.(2021·南京模拟)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动,则甲被选中的概率为________. 解析:从甲、乙、丙3人中随机选派2人参与某项活动,有甲、乙,甲、丙,乙、丙三种可能,则甲被选中的概率为23.答案:234.(2021·昆明模拟)投掷两颗相同的正方体骰子(骰子质地均匀,且各个面上依次标有点数1,2,3,4,5,6)一次,则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为________.解析:抛掷两颗相同的正方体骰子共有36种等可能的结果:(1,1),(1,2),(1,3),…,(6,6).点数积等于12的结果有:(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),共4种,故所求大事的概率为436=19.答案:19对应同学用书P144考点一 古典概型(基础送分型考点——自主练透) [必备学问] 1.基本大事的特点(1)任何两个基本大事是互斥的.(2)任何大事(除不行能大事)都可以表示成基本大事的和. 2.古典概型 (1)特点:①试验中全部可能毁灭的基本大事只有有限个,即有限性. ②每个基本大事发生的可能性相等,即等可能性. (2)概率公式:P (A )=A 包含的基本大事的个数基本大事的总数.[提示](1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性; (2)古典概型的概率计算结果与模型的选择无关. [题组练透]1.(2021·浙江模拟)从1,2,3,4这四个数字中依次取(不放回)两个数a ,b ,使得a 2≥4b 的概率是( ) A.13 B.512 C.12D.712解析:选C 基本大事为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1)(2,3),(2,4),…,(4,3),共12个,符合条件的有(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),共6个,因此使得a 2≥4b 的概率是12.2.(2021·广州二模)有两张卡片,一张的正反面分别写着数字0与1,另一张的正反面分别写着数字2与3,将两张卡片排在一起组成一个两位数,则所组成的两位数为奇数的概率是( )A.16B.13C.12D.38解析:选C 能组成的两位数有12,13,20,30,21,31,共6个,其中的奇数有13,21,31,共3个,因此所组。
《三维设计》高考数学
解答題増分TT系列讲座〔六〕QJJ I EDATI ZENC I FEN XILIE IIANCIZUO“概率与统计〞类题目的审题技巧与解题标准[审题技巧]宙图表’明目标[技法概述]在高考的实际综合应用问题中,题目中的图表、数据包含着问题的根本信息,也往往暗示着解决问题的目标和方向,在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,为问题解决提供有助的方法.[适用题型]在高考中以下几种题型常用到此审题方法:(1) 概率与统计局部;(2) 回归分析与统计案例;(3) 算法与程序框图•[解题标准][典例](2021湖•南高考)(此题总分值12分)某人在如下图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物•根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近〞作物株数X之间的关系如下表所示:X1234Y51484542这里,两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近〞的概率;⑵从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.[解题步步标准1[解题流程]第一步由图表确定总株 数及内部株数, 边界株数. 第二步 计算事件根本数 及所求事件数.第三步解:1所种作物总株数N = 1 + 2+ 3 ? +4 + 5= 15,其中三角形地块内部的作 物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别 随机选取一株的不同结果有c 3C i2 = 36种, ?选取的两株作物恰好“相近〞的不同结 果有3 + 3 + 2 = 8种.[失分警示] ——结合图形准 确计算“相近〞 的结果易无视某 一类导致结果计 算出错求円戶51)数晨m1的值h^J期卑第2问求概率.第四步故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株 作物,它们恰好“相近〞的概率为36=9.2先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量丫的分布列.因为 P Y = 51 = P X = 1 , P Y = 48 = PP Y = 45 = P X = 3 , P Y = 42 = P•转化变量间关系如 P Y = 51 = PX = 1 是关键.对Y 的每个取值相对 应的概率求法易失误量Y 取值:所以只需求出PX = k k = 1 , 2, 3, 4即可. 记九为其“相近〞作物恰有k 株的作物株数 k = 1, 2, 3, 4,那么 n 1 = 2,匕=4,出=6,加=3.得 PX = 1 = £4 6 2 31PX =2 = 15,PX = 3 = 15= 5,PX =4 = 15= 5. 9分的概率.■故所求的分布列为1 34+ 64+9°+ 化 46. 12分第五步井析泊FI 峙踪 论,佛紀所求-4#. M 相.程两•嗽值诵宜隧机戏啟用 所样町噩収慎・ 值的 戦抓条门弋KM : 査醱.朮肾"bi 町能〔M 对川的W 〔卓话哉如辿韦I乏 H 伯廿斎列.利用 井布网豹性朋世订 检验是杳准射1. 〔2021武昌模拟〕某市准备从7名报名者〔其中男4人,女3人〕中选3人参加三个副局 长职务竞选.为女副局长的概率.解:〔1〕依题意,X 可取0,1,2,3 ,故X 的分布列为3X 5 1⑵记D = “A 局是男副局长〞,E = “B 局是女副局长〞,贝U P 〔E|D 〕 = 6X5 = 2-第五步写出Y 的分布列.?第六步 求期望.〔7分〕所求的数学期望为E Y = 51 X 15 + 48 X 15 + 45 X | +42 15 15 5•计算期望 法由于不细 心、易算错, 导致丢2分模板形成[解答题观范专练] 概率与统计 第二加利用匚他和H<瓷进点、闔钿点〔1〕设所选3人中女副局长人数为 X , 求X 的分布列;〔2〕假设选派三个副局长依次到 A , B , C 三个局上任,求 A 局是男副局长的情况下,P (X =0)=C 7= 35, P (X = 1)=曲_ 18 C 7= 35,C® 12P (x =2) = CCT = 32, C 3丄 P (x =3)=C 7= 35,2•某单位举行一次全体职工的象棋比赛〔实行三局两胜制〕,甲、乙两人进入决赛.甲、乙两人平时进行过屡次对弈,其中记录了30局的对弈结果如右表:根据表中的信息,预测在以下条件下的比赛结果:〔1〕在比赛时由掷硬币的方式决定谁先,试求甲在第一局获胜的概率;⑵假设第一局由乙先,以后每局由负者先.①求甲以二比一获胜的概率;②假设胜一局得2分,负一局得0分,用E表示甲在这场比赛中所得的分数,试求布列与数学期望E〔8.解:根据题中表格的信息可知,假设甲先,那么甲获胜的概率是2 12,乙获胜的概率是1假设乙3 2先,那么甲获胜的概率是?乙获胜的概率是~.5 51 2 1 3 19〔1〕甲在第一局获胜的概率是P1 =尹3 +寸5 =五.⑵①假设甲以二比一获胜,那么甲胜第一局和第三局,或甲胜第二局和第三局.所以,甲以二比一获胜的概率是P2= 3x 2x 2+ 2x 2x 3=色P2 5 5 3^ 5 3 5 25.②由题意知,E的所有可能取值为0,2,4,那么2「2 P(E=0)=5X1= 15;P(三=2) = 2x 打-x-P(' 2) 5 5 3十5 3x5=玮;P&4) = 3X 3+血=立P(' 4) 5 5 25 25.所以E的分布列为2 14 17 232E(8=0 x-+2X 74+4x27=石.3 . 〔2021成都模拟〕某校高三〔1〕班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见局部如下:试根据图表中的信息解答以下问题:〔1〕求全班的学生人数及分数在[70,80〕之间的频数;〔2〕为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于[70,80〕,[80,90〕和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析,再从中任选3人进行交流,求交流的学生中成绩位于[70,80〕分数段的人数X的分布列和数学期望.解:〔1〕由茎叶图可知,分数在[50,60〕上的频数为4,频率为0.008X 10= 0.08,故全班的4学生人数为0-4〕8= 50.分数在[70,80〕之间的频数等于50 —〔4 + 14+ 8 + 4〕= 20.〔2〕按分层抽样原理,三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.又[70,80〕, [80,90〕和[90,100]分数段人数之比等于5 :2 :1,由此可得抽出的样本中分数在[70,80〕之间的有5人,分数在[80,90〕之间的有2人,分数在[90,100]之间的有1人.从中任取3人,共有C8= 56种不同的结果.被抽中的成绩位于[70,80〕分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.它们的概率分别是:C3 1 C s C3 15 c5c3 30 15 C3 10 5 P〔x =0〕=56= 56, P〔x=1〕=w=56,P〔x=2〕=石=辰=28, P〔X=3〕=56=56=云•••X的分布列为X0123P1r 1515:5 56562828卑叶=<3668~013334J5077889了L334454T1 15 15 5 105 15 •••x 的数学期望为E〔x〕= o x 56+仆15+2X云+3X28=105= 8。
2020年高考数学《三维设计》第八章 立体几何第三节 空间点、线、面之间的位置关系
三点不一定能确定一个平面). 推论 1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 不重合的平面有一个公共点,那么它们有且 只有一条过该点的公共直线.
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α;
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b.
返回
5.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面 把空间分成_____7___部分. 解析:通过举例说明,如三棱柱三个侧面所在平面满足两两 相交,且三条交线互相平行,这三个平面将空间分成 7 部分.
返回
考点——在细解中明规律
返回
2.空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系 (1)两条异面直线不能确定一 个平面.
共面直线平相行交
(2) 不 能 把 异 面 直 线 误 解 为 分 别在不同平面内的两条直线.
异面直线:不同在任何一个平面内
(2)异面直线所成的角
①定义:设 a,b 是两条异面直线,经过空间任一点 O 作
题目千变总有根,梳干理枝究其本
返回
考点一 平面的基本性质及应用 [师生共研过关]
[典例精析]
返回
如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分
别是 AB 和 AA1 的中点.求证:
(1)E,C,D1,F 四点共面;
(2)CE,D1F,DA 三线共点.
[证明] (1)如图,连接 EF,CD1,A1B. ∵E,F 分别是 AB,AA1 的中点,∴EF∥BA1. 又 A1B∥D1C,∴EF∥CD1, ∴E,C,D1,F 四点共面. (2)∵EF∥CD1,EF<CD1,∴CE 与 D1F 必 相交,设交点为 P,如图所示.则由 P∈CE, CE⊂平面 ABCD,得 P∈平面 ABCD. 同理 P∈平面 ADD1A1.又平面 ABCD∩平面 ADD1A1=DA, ∴P∈直线 DA,∴CE,D1F,DA 三线共点.
2020年高考数学《三维设计》第十一章 算法、复数、统计、统计案例第一节 算法初步
返回
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”,错的打“×”) (1)算法的每一步都有确定的意义,且可以无限地运算.( × )
(2)一个程序框图一定包含顺序结构,也包含条件结构和循环
结构.
(×)
(3)一个循环结构一定包含条件结构.
(√ )
(4)当型循环是给定条件不成立时,执行循环体,反复进行,
直到条件成立为止.
返回
[名师微点] 顺序结构和条件结构的运算方法 (1)顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框 与框之间是按从上到下的顺序进行的.解决此类问题,只需分 清运算步骤,赋值量及其范围进行逐步运算即可.
(2)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能, 然后根据“是”的分支成立的条件进行判断.
(3)对于条件结构,无论判断框中的条件是否成立,都只 能执行两个分支中的一个,不能同时执行两个分支.
示意图
返回
相应语句
DO 循环体
LOOP UN
1.三种基本逻辑结构的适用情境
返回
(1)顺序结构:解决的问题不需分类讨论. (2)条件结构:解决的问题需分类讨论.
(3)循环结构:解决的问题要进行许多重复的步骤,且这
些步骤之间有相同的规律. 2.理解赋值语句的三点注意
(1)赋值语句中的“=”称为赋值号,与等号的意义不同.
(2)赋值语句的左边只能是变量的名字,而不能是表达式.
(3)对于同一个变量可以多次赋值,变量的值始终等于最 近一次赋给它的值,先前的值将会被替换.
3.注意选择结构与循环结构的联系 循环结构有重复性,选择结构具有选择性没有重复性,并且 循环结构中必定包含一个选择结构,用于确定何时终止循环体.
第十一章 算法、复数、统计、统计案例
【三维设计】2022届(新课标)高考数学(理)5年高考真题备考试题库:第9章--第2节--排列与组合
2010~2022年高考真题备选题库第9章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第2节 排列与组合1.(2022辽宁,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( ) A .144 B .120 C .72D .24解析:选D 剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座, 因此任何两人不相邻的坐法种数为A 34=4×3×2=24.答案:D2.(2022四川,5分)六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )A .192种B .216种C .240种D .288种解析: 当最左端排甲时,不同的排法共有A 55种;当最左端排乙时,甲只能排在中间四个位置之一,则不同的排法共有C 14A 44种.故不同的排法共有A 55+C 14A 44=9×24=216种.答案:B3.(2022重庆,5分)某次联欢会要支配3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出挨次,则同类节目不相邻的排法种数是( )A .72B .120C .144D .168解析:选B 依题意,先仅考虑3个歌舞类节目互不相邻的排法种数为A 33A 34=144,其中3个歌舞类节目互不相邻但2个小品类节目相邻的排法种数为A 22A 22A 33=24,因此满足题意的排法种数为144-24=120,选B.答案:B4.(2022广东,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________.解析:十个数中任取七个不同的数共有C 710种状况,七个数的中位数为6,那么6只有处在中间位置,有C 36种状况,于是所求概率P =C 36C 710=16.答案:165.(2022浙江,5分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券支配给4个人,每人2张,不同的获奖状况有________种(用数字作答).解析:分状况:一种状况将有奖的奖券按2张、1张分给4个人中的2个人,种数为C 23C 11A 24=36;另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人,种数为A 34=24,则获奖状况总共有36+24=60(种).答案:606.(2022北京,5分)把5件不同产品摆成一排,若产品A 与产品B 相邻,且产品A 与产品C 不相邻,则不同的摆法有________种.解析:将A ,B 捆绑在一起,有A 22种摆法,再将它们与其他3件产品全排列,有A 44种摆法,共有A 22A 44=48种摆法,而A ,B ,C 3件在一起,且A ,B 相邻,A ,C 相邻有CAB ,BAC 两种状况,将这3件与剩下2件全排列,有2×A 33=12种摆法,故A ,B 相邻,A ,C 不相邻的摆法有48-12=36种.答案:367.(2022江西,5分)10件产品中有7件正品,3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.解析:从10件产品中任取4件共有C 410=210种不同的取法,由于10件产品中有7件正品、3件次品,所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C 13C 37=105种不同的取法,故所求的概率为P =105210=12. 答案:128.(2021新课标全国Ⅱ,5分)从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.解析:本题考查排列组合、古典概型等基本学问,意在考查考生的基本运算力气与规律分析力气. 试验基本大事总个数为C 2n ,而和为5的取法有1,4与2,3两种取法,由古典概型概率计算公式得P =2C 2n=114,解得n =8. 答案:89.(2021浙江,4分)将A ,B ,C ,D ,E ,F 六个字母排成一排,且A ,B 均在C 的同侧,则不同的排法共有________种(用数字作答).解析:本题考查对排列、组合概念的理解,排列数、组合数公式的运用,考查运算求解力气以及利用所学学问解决问题的力气.“小集团”处理,特殊元素优先,C 36C 12A 22A 33=480. 答案:48010.(2021北京,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,假如分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是________.解析:本题考查排列组合中的分组支配问题,意在考查考生分析问题、解决问题的力气.依据要求要把序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券分成4组,然后再支配给4人,连号的状况是1和2,2和3,3和4,4和5,故其方法数是4A 44=96.答案:9611.(2021重庆,5分)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是________(用数字作答).解析:本题考查排列组合问题,意在考查考生的思维力气.直接法分类,3名骨科,内科、脑外科各1名;3名脑外科,骨科、内科各1名;3名内科,骨科、脑外科各1名;内科、脑外科各2名,骨科1名;骨科、内科各2名,脑外科1名;骨科、脑外科各2名,内科1名.所以选派种数为C 33·C 14·C 15+C 34·C 13·C 15+C 35·C 13·C 14+C 24·C 25·C 13+C 23·C 25·C 14+C 23·C 24·C 15=590.答案:59012.(2022新课标全国,5分)将2名老师,4名同学分成2个小组,分别支配到甲、乙两地参与社会实践活动,每个小组由1名老师和2名同学组成,不同的支配方案共有( )A .12种B .10种C .9种D .8种解析:先支配1名老师和2名同学到甲地,再将剩下的1名老师和2名同学支配到乙地,共有C 12C 24=12种支配方案.答案:A13.(2022广东,5分)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是( ) A.49 B.13 C.29D.19解析:由个位数与十位数之和为奇数,则个位数与十位数分别为一奇一偶.若个位数为奇数时,这样的两位数共有C 15C 14=20个;若个位数为偶数时,这样的两位数共有C 15C 15=25个;于是,个位数与十位数之和为奇数的两位数共有20+25=45个.其中,个位数是0的有C 15×1=5个.于是,所求概率为545=19. 答案:D14.(2011浙江,5分)有5本不同的书,其中语文书2本,数学书2本,物理书1本.若将其随机地并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15 B.25 C.35D.45解析:基本大事共有A 55=120种,同一科目的书都不相邻的状况可用间接法求解,即A 55-A 22A 22A 23×2-A 22A 22A 33=48,因此同一科目的书都不相邻的概率是25. 答案:B15.(2010广东,5分)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的挨次不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.假如要实现全部不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )A .1 205秒B .1 200秒C .1 195秒D .1 190秒解析:共有A 55=120个闪烁,119个间隔,每个闪烁需用时5秒,每个间隔需用时5秒,故共需要至少120×(5+5)-5=1 195秒.答案:C16.(2010北京,5分)8名同学和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为( )A .A 88A 29 B .A 88C 29 C .A 88A 27D .A 88C 27解析:本题接受插空法.8名同学的排列方法有A 88种,隔开了9个空位,在9个空位中排列2位老师,方法数为A 29,依据分步乘法计数原理,总的排法种数是A 88A 29.答案:A。
《三维设计》高三数学湘教(文)一轮复习配套课件71空间几何体的结构特征及三视图与直观图
公共顶点
的三角形
(3)棱台 棱锥被平行于棱锥 底面 的平面所截, 截面与
底面 之间的部分.
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图
2.旋转体的形成
几何体 圆柱 圆锥 圆台
球
旋转图形 矩形
直角三角形 直角梯形
半圆
旋转轴 任一边 所在的直线 一条直角边 所在的直线 垂直于底边的腰 所在的直线 直径 所在的直线
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图
1.由三视图还原几何体的方法 定底面 根据俯视图确定
定棱及侧面
根据正视图确定几何体的侧棱与侧面 特征,调整实线、虚线对应棱的位置
定形状 确定几何体的形状
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图
3.直观图 (1)画法:常用 斜二测画法 . (2)规则: ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中,x′ 轴、y′轴的夹角为 45°(或135°) ,z′轴与 x′轴和 y′ 轴所在平面 垂直 . ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍 平行于 坐标轴 .平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ,平行于 y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
形,因此其侧视图的面积为 2 3,选 B .
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
《三维设计》高考数学(苏教,理科)大一轮复习配套课件:83圆的方程
答案:(x-2)2+y-12=1
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
第三节 圆的方程
3.(2014·无锡期末)已知圆C1:(x+1)2+(y-1)2=1,圆C2与圆 C1关于直线x-y-1=0对称,则圆C2的方程为________. 解析:由题意得C1(-1,1),圆心C2与C1关于直线x-y-1 =0对称,且半径相等,则C2(2,-2),所以圆C2的方程 为(x-2)2+(y+2)2=1. 答案:(x-2)2+(y+2)2=1
方程为(x-2)2+y2=2. 答案:(x-2)2+y2=2
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
第三节 圆的方程
2.经过点(1,0),且圆心是两直线 x=1 与 x+y=2 的交点的圆 的方程为________. 解析:由xx=+1y=,2 得xy==11,, 即所求圆的圆心坐标为(1,1),又由该圆过点(1,0),得其半 径为 1,故圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1. 答案:(x-1)2+(y-1)2=1
数学
首页
上一页
下一页
末页
结束
第三节 圆的方程
得 5k2-16k+16>0, 此时,所求圆的半径 r= k+12+14k-42-1+4k =12 5k2-16k+16. 显然,当 k=--1016,即 k=85时,5k2-16k+16 有最小值156, 此时,圆的半径最小,从而面积最小.故所求的圆的方程为 x2 +y2+256x-152y+357=0. 答案:x2+y2+256x-152y+357=0
2 3. (1)求圆心P的轨迹方程; (2)若P点到直线y=x的距离为 22,求圆P的方程. [解] (1)设P(x,y),圆P的半径为r.
【三维设计】高考数学 第七章第四节直线、平面平行的判定及性质课件 新人教A版
理行
符号语言
α∥β
α∩γ=a β∩γ=b
⇒a∥b
1.(教材习题改编)下列条件中,能判断两个平面平行
的是
()
A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面
B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面
C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面
D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面
解析:由面面平行的定义可知选D. 答案: D
第四
第 七
节
章
直线、
平面
立
平行
体 几
的判
何
定及
性质
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
[备考方向要明了] 考什么
以立体几何的定义、公理和定理为出发点,认识和 理解空间中线面平行的有关性质与判定.
怎么考
1.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点. 2.着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用.题型多
(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时,可使CE∥ 平面SAB.(8分)
取SD上靠近D的三等分点为E,取SA上靠近点A的三等分 点为F,连接CE,EF,BF,
则EF綊23AD,BC綊23AD,
∴BC綊EF.
∴CE∥BF. 又∵BF⊂平面SAB,CE⊄平面SAB, ∴CE∥平面SAB.(12分)
答案: C
2.(2012·金华模拟)已知m、n、l1、l2表示直线,α、β
表示平面.若m⊂α,n⊂α,l1⊂β,l2⊂β,l1∩l2
=M,则α∥β的一个充分条件是
()
A.m∥β且l1∥α C.m∥β且n∥l2
B.m∥β且n∥β D.m∥l1且n∥l2
解析:由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与 另一个平面平行,那么这两个平面平行”可得,由选项D 可推知α∥β.
数学三维设计答案及解析-20210826002907
数学三维设计答案及解析20210826002907数学三维设计,作为数学领域中的一个新兴分支,将数学知识与三维空间设计相结合,旨在培养学生的空间思维能力、逻辑推理能力和创新设计能力。
本文档将针对2021年8月26日的一份数学三维设计试题进行答案解析,帮助学生更好地理解题目要求和解题思路。
题目解析1. 题目要求:请根据给定的数学公式和几何图形,设计一个三维模型,并计算其表面积和体积。
解题思路1. 理解题目要求:我们需要仔细阅读题目要求,确保理解题目的核心内容。
题目要求我们根据给定的数学公式和几何图形,设计一个三维模型,并计算其表面积和体积。
这意味着我们需要先根据数学公式确定模型的形状,然后利用几何知识计算其表面积和体积。
3. 设计三维模型:在确定了模型的形状和尺寸后,我们可以开始设计三维模型。
这可以通过手工绘图、计算机辅助设计软件等方式实现。
在设计过程中,我们需要确保模型的尺寸和比例与题目要求相符。
4. 计算表面积和体积:我们需要根据模型的形状和尺寸,计算其表面积和体积。
这可以通过应用相关的数学公式和几何知识来完成。
例如,如果模型是一个球体,我们可以使用球体的表面积和体积公式来计算;如果模型是一个正方体,我们可以使用正方体的表面积和体积公式来计算。
答案解析在本题中,我们假设数学公式描述了一个球体,几何图形是一个正方形。
根据这些信息,我们设计了一个球体模型,其底面直径与正方形的边长相等。
然后,我们使用球体的表面积和体积公式计算了模型的表面积和体积。
具体计算过程如下:表面积计算:球体的表面积公式为4πr²,其中 r 为球体半径。
由于球体底面直径与正方形的边长相等,我们可以通过正方形的边长计算出球体半径,然后代入公式计算表面积。
体积计算:球体的体积公式为(4/3)πr³,其中 r 为球体半径。
同样地,我们可以通过正方形的边长计算出球体半径,然后代入公式计算体积。
通过本题的解答过程,我们可以看到数学三维设计不仅需要数学知识,还需要空间想象力和创造力。
高考数学三维设计课件(人教A版 )第二章 第一节 函数及其表示
数f(x)和它对应
的元素y与之对应
函数
映射
名称
称 f:A→B 为从集合 称对应 f:A→B 为从集 A到集合B的一个函数 y=f(x),x∈A 合A到集合B的一个映射 对应f:A→B是一个映射
记法
二、函数的有关概念 1.函数的定义域、值域 在函数y=f(x),x∈A中,x叫做自变量, x的取值范围A 叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值, 函数值的集合{f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.显然,值 域是集合B的子集. 值域 和 对应关系 . 2.函数的三要素: 定义域 、
难点.
3.题型以选择题和填空题为主,与其他知识点交汇则以 解答题的形式出现.
一、函数与映射的概念 函数 两集合 映射
A、B
设A、B是两个非空数集 设A、B是两个 非空集合 如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对
对应关 应关系f,使对于集合A 应关系f,使对于集合A 系f: 中的 任意 一个数x,在 中的 任意 一个元素x, 唯一确定 A→B 集合B中有唯一确定 的 在集合B中有
-2
[答案] -2
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题,分分必保!)
1.(2011· 宁波一模)已知 f:x→sin x 是集合 A(A⊆[0,2π])到集合 1 B={0,2}的一个映射,则集合 A 中的元素个数最多有( A.4 个 C.6 个 B.5 个 D.7 个 )
解析:∵A⊆[0,2π], 由sin x=0,得x=0,π,2π; 1 π 5π 由sin x=2,得x=6, 6 , 所以A中最多有5个元素.
x,x≥0, -x,x<0,
若f(a)+ ( )
f(-1)=2,则a= A.-3 C.-1 B. ± 3 D. ± 1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
“概率与统计”类题目的审题技巧与解题规范
[技法概述]
在高考的实际综合应用问题中,题目中的图表、数据包含着问题的基本信息,也往往暗示着解决问题的目标和方向,在审题时,要认真观察分析图表、数据的特征和规律,为问题解决提供有助的方法.
[适用题型]
在高考中以下几种题型常用到此审题方法:
(1)概率与统计部分;
(2)回归分析与统计案例;
(3)算法与程序框图.
[典例](2013·湖南高考)(本题满分12分)某人在如图所示的直角边
长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形
的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该
种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系
如下表所示:
X 123 4
Y 51484542
米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率;
(2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.
[解题流程] [失分警示]
第一步
由图表确定总株数及内部株数,边界株数.
⎣⎢⎢
⎡
解:(1)所种作物总株数N =1+2+3
+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.
⇐ 第二步
计算事件基本数及所求事件数. ⎣⎢
⎢⎢
⎢⎡
从三角形地块的内部和边界上分别
随机选取一株的不同结果有C 13C 112=36种,
选取的两株作物恰好“相近”的不同结
果有3+3+2=8种. (3分)
⇐ 结合图形准确计算“相近”的结果易忽视某一类导致结果计算出错
第三步 求概率.
⎣
⎢⎢⎡
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29.(5分)
⇐ 第四步 求年收获量Y 取值的概率. ⎣
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢
⎢⎢⎢
⎢⎡
(2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收
获量Y 的分布列.因为P (Y =51)=P (X =1),P (Y =48)=P (X =2), (6分)P (Y =45)=P (X =3),P (Y =42)=P
(X =4), (7分)所以只需求出P (X =k )(k =1,2,3,4)即可.记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数
(k =1,2,3,4),则n 1=2,n 2=4,n 3=6,n 4=3. 由P (X =k )=n k N 得P (X =1)=215
,
P (X =2)=415,P (X =3)=615=25,P (X =4)=315=15.(9分)
转化变量间关系如P (Y =51)=P (X =1)是关
键.对Y 的每个取值相对应的概率求法易失误
⇐
概率与统计
1.(2014·武昌模拟)某市准备从7名报名者(其中男4人,女3人)中选3人参加三个副局长职务竞选.
(1)设所选3人中女副局长人数为X ,求X 的分布列;
(2)若选派三个副局长依次到A ,B ,C 三个局上任,求A 局是男副局长的情况下,B 局为女副局长的概率.
解:(1)依题意,X 可取0,1,2,3,
P (X =0)=C 34C 37=435,P (X =1)=C 13C 2
4
C 37=1835,
P (X =2)=C 23C 14C 37=1235,P (X =3)=C 33
C 37=135
,
故X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
4
35
1835
1235
135
(2)记D =“A 局是男副局长”,E =“B 局是女副局长”,则P (E |D )=3×56×5=1
2.
甲先 乙先
第五步
写出Y 的分布列. 故所求的分布列为
(7分)
2
15
415
25
15
P 42
45 48 51 Y ⇐
第六步 求期望.
⎣⎢⎢
⎢⎢⎡
所求的数学期望为E (Y )=51×215+48×415+45×25+42×15=34+64+90+425=46.(12分) ⇐
计算期望法由于不细心、易算错,导致丢2分
2.某单位举行一次全体职工的象棋比赛(实行三局两胜制),甲、乙两人进入决赛.
已知甲、乙两人平时进行过多次对弈,其中记录了30局的对弈结果如右表:
根据表中的信息,预测在下列条件下的比赛结果:
(1)在比赛时由掷硬币的方式决定谁先,试求甲在第一局获胜的概率; (2)若第一局由乙先,以后每局由负者先. ①求甲以二比一获胜的概率;
②若胜一局得2分,负一局得0分,用ξ表示甲在这场比赛中所得的分数,试求ξ的分布列与数学期望E (ξ).
解:根据题中表格的信息可知,若甲先,则甲获胜的概率是23,乙获胜的概率是1
3;若乙
先,则甲获胜的概率是35,乙获胜的概率是2
5
.
(1)甲在第一局获胜的概率是P 1=12×23+12×35=19
30
.
(2)①若甲以二比一获胜,则甲胜第一局和第三局,或甲胜第二局和第三局. 所以,甲以二比一获胜的概率是 P 2=35×25×23+25×23×35=825
.
②由题意知,ξ的所有可能取值为0,2,4,则 P (ξ=0)=25×13=2
15
;
P (ξ=2)=35×25×13+25×23×25=14
75;
P (ξ=4)=35×35+825=17
25.
所以ξ的分布列为
E (ξ)=0×215+2×1475+4×
1725=232
75
.
3.(2013·成都模拟)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,可见部分如下:
试根据图表中的信息解答下列问题:
(1)求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数;
(2)为快速了解学生的答题情况,老师按分层抽样的方法从位于[70,80),[80,90)和[90,100]分数段的试卷中抽取8份进行分析,再从中任选3人进行交流,求交流的学生中成绩位于[70,80)分数段的人数X 的分布列和数学期望.
解:(1)由茎叶图可知,分数在[50,60)上的频数为4,频率为0.008×10=0.08,故全班的学生人数为40.08
=50.
分数在[70,80)之间的频数等于50-(4+14+8+4)=20.
(2)按分层抽样原理,三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.
又[70,80),[80,90)和[90,100]分数段人数之比等于5∶2∶1,由此可得抽出的样本中分数在[70,80)之间的有5人,分数在[80,90)之间的有2人,分数在[90,100]之间的有1人.
从中任取3人,共有C 38=56种不同的结果.
被抽中的成绩位于[70,80)分数段的学生人数X 的所有取值为0,1,2,3. 它们的概率分别是:
P (X =0)=C 3356=156,P (X =1)=C 15C 2356=1556,P (X =2)=C 25C 1
356=3056=1528,P (X =3)=C 3556=10
56=528
.
∴X 的分布列为
X 0 1 2 3 P
1
56
1556
1528
528
∴X 的数学期望为E (X )=0×156+1×1556+2×1528+3×528=10556=158
.。