人教版七年级上数学余角和补角的定义和性质
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余角和补角
2
1
2
1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
4 3
4
3
4
互为补角 如果两个角的和是一个
平角，那么这两个角叫做互 为补角，其中一个角是另一 个角的补角。
东北
西
东
西南 南
东南
探究：方位角 （1）正北，正南，正西，正东，
E
西 B
F
北 D 45° 45°
O
C南
射线OD OC OB OA H（2）西北方向:_射__线__O_E___
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ） ∠的补角是（180 °—∠ ）
例1 若一个角的补角等于它的余角的
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
2
1
4 3
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
2 1
4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 )
若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义)
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
2
3
4
余角性质：
等角的余角相等
A
D
1
O
2
如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 °
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2
因为∠1+ ∠BOD = 90 °
∠2+ ∠BOD = 90 °
所以∠1 = ∠2 （等角的余角相等)
互余
数量 关系
∠1+∠2=90°
互补
∠1+∠2=180°
对
应
图
形
21
21
性
等角的余角相等 等角的补角相等．
质
注意
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。
则1 _____, 2 _____ .
解： 1与2互余
(6x 8) (4x 8) 90
x9
1=6 9+8=62
2=4 9 8=28
检测
D E
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
2. 2.O为直线AB上的一点， OD平分∠AOB，
∠COE = 90 °
则∠BOC = ∠DOE， ∠COD = ∠AOE。
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等.
如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在 一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间 的关系？并试着说明理由？
D
A
B
4
3
2 1
Cห้องสมุดไป่ตู้
E
O
200m 300m
你知道方位角吗？
北
西北
B
又∵∠2=∠4
2
3 4
1
E
O
∴∠1=∠3 （等角的余角相等）
C
巩固练习
如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °∠1与 ∠2是什么关系？
A
1
O2
D 解： ∵∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °
∴∠1+∠DOB=90° ∠2+∠DOB=90°
B
∴∠1=∠2 (同角的余角相等）
C
1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4x 8) ,
2
1
3
4
解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。
补角性质：
等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与 ∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么 ∠2与∠４相等吗？为什么？
FG
如图，E、F是直线DG上两点 ∠BEF = ∠BFE ∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
巩固应用
1.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直 线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？试着说 明理由？
解： （1）∠1=∠3
∵∠COD=∠EOD=90° D A ∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角 的余角是90 ，补角是180 ,
同一个锐角的补角比余角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
等角的余角（补角）相等。
探索研究
如图，已知AOB是一直线，OC是
∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图
中哪些角互余？哪些角互补？哪些角
若∠3 + ∠4 =90 °,
则 ∠3和∠4互余.( 互余定义)
若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与 ∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2 与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
相等？
C
D
E
1
3
4
2
A
O
B
认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？ C
∠A与∠B互余 ∠A
与∠2互余
21
∠1与∠B互余 ∠1
与∠2互余
A
DB
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？
说明它们相等的原因。
∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
A
B
C
DE
3
图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
我来试一试：
∠α
5° 32° 45° 77° 62°23′ x
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
练习
2
1
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1
互为余角 如果两个角的和是一
个直角，那么这两个角叫 做互为余角，其中一个角 是另一个角的余角。
2
1
图中给出的各角，那些互为余角？
10o
30o
50o
60o
40o
80o
4 3
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互为补角 如果两个角的和是一个
平角，那么这两个角叫做互 为补角，其中一个角是另一 个角的补角。
东北
西
东
西南 南
东南
探究：方位角 （1）正北，正南，正西，正东，
E
西 B
F
北 D 45° 45°
O
C南
射线OD OC OB OA H（2）西北方向:_射__线__O_E___
一、填空 1、70°的余角是 20° ，补角是 110 ° 。 2、 ∠ （ ∠ <90 ° ）的余角是 90°- ∠ ，它的补 角是 180°- ∠ 。
重要提醒：(如何表示一个角的余角和补角) 锐角∠的余角是（90 °—∠ ） ∠的补角是（180 °—∠ ）
例1 若一个角的补角等于它的余角的
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1
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如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
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1
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3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
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4 3
例3 如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，如果 ∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？为什么?
4 倍，求这个角的度数。 解： 设这个角是x °，则它的补角是 （ 180°-x°）,余角是(90°-x°) 。
根据题意得：
（180°-x°）= 4 (90°-x°) 解得： x =60
答：这个角的度数是60 °。
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4
若∠1 + ∠2 =180 °, 则 ∠1和∠2互补.(互补定义 )
若∠1和∠2互补, 则∠1 + ∠2 =180 .°( 互补定义)
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如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
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3
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如图∠1 与∠2互余，∠３ 与∠４ 互余 ，如果∠1＝∠３，那么∠2与 ∠４相等吗？为什么？
1
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余角性质：
等角的余角相等
A
D
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O
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如图∠AOB = 90 °
B
∠COD = 90 °
则∠1与∠2是什么关系？
C
答： ∠1 = ∠2
因为∠1+ ∠BOD = 90 °
∠2+ ∠BOD = 90 °
所以∠1 = ∠2 （等角的余角相等)
互余
数量 关系
∠1+∠2=90°
互补
∠1+∠2=180°
对
应
图
形
21
21
性
等角的余角相等 等角的补角相等．
质
注意
1 互余、互补是两角之间的数量关系，只 与他们的度数和有关，与位置无关。
则1 _____, 2 _____ .
解： 1与2互余
(6x 8) (4x 8) 90
x9
1=6 9+8=62
2=4 9 8=28
检测
D E
C
A
OB
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余,则 ∠3= 30 °.
2. 2.O为直线AB上的一点， OD平分∠AOB，
∠COE = 90 °
则∠BOC = ∠DOE， ∠COD = ∠AOE。
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等.
如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在 一条直线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间 的关系？并试着说明理由？
D
A
B
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Cห้องสมุดไป่ตู้
E
O
200m 300m
你知道方位角吗？
北
西北
B
又∵∠2=∠4
2
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O
∴∠1=∠3 （等角的余角相等）
C
巩固练习
如图∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °∠1与 ∠2是什么关系？
A
1
O2
D 解： ∵∠AOB = 90 °,∠COD = 90 °
∴∠1+∠DOB=90° ∠2+∠DOB=90°
B
∴∠1=∠2 (同角的余角相等）
C
1与2互余,1=(6x 8) , 2 (4x 8) ,
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1
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解：∠2与∠4相等。 因为∠1与∠2互补；∠3与∠4互补， 所以∠2=180°-∠1；∠4=180°-∠3， 又因为∠1=∠3， 所以∠2=∠4。
这里， 我们用到 了“等量 减等量， 差相等”。
补角性质：
等角的补角相等
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互余，∠３ 与 ∠４互余 ，如果∠1＝∠３，那么 ∠2与∠４相等吗？为什么？
FG
如图，E、F是直线DG上两点 ∠BEF = ∠BFE ∠AED = ∠CFG = 90 °
找出图中相等的角并说明理由。
巩固应用
1.如图,∠AOB=90°,∠COD=∠EOD=90°,C,O,E在一条直 线上,且∠2=∠4,请说出∠1与∠3之间的关系？试着说 明理由？
解： （1）∠1=∠3
∵∠COD=∠EOD=90° D A ∴∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°
2 互余、互补概念中的角是成对出现的。
3 角 的余角是90 ，补角是180 ,
同一个锐角的补角比余角大 90 。
4 只有锐角才有余角。 5 同角的余角（补角）相等；
等角的余角（补角）相等。
探索研究
如图，已知AOB是一直线，OC是
∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角，图
中哪些角互余？哪些角互补？哪些角
若∠3 + ∠4 =90 °,
则 ∠3和∠4互余.( 互余定义)
若∠3和∠4互余, 则 ∠3 + ∠4 =90 .°( 互余定义)
探究:余角和补角的性质
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与 ∠４互补 ，如果∠1＝∠３,那么∠2 与∠４相等吗？为什么？
2
1
4
3
如图∠1 与∠2互补，∠３ 与∠４互补 ，如果∠1＝∠３, 那么∠2与∠４相等吗？为什 么？
相等？
C
D
E
1
3
4
2
A
O
B
认真观察下面的图形，回答下列问题：
（1）图中有哪几对互余的角？ C
∠A与∠B互余 ∠A
与∠2互余
21
∠1与∠B互余 ∠1
与∠2互余
A
DB
（2）图中哪几对角是相等的角(直角除外)？
说明它们相等的原因。
∠B=∠2 （同角的余角相等） ∠A=∠1 （同角的余角相等）
A
B
C
DE
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图中给出的各角，那些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
我来试一试：
∠α
5° 32° 45° 77° 62°23′ x
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ 90° x
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ 180° x
练习