工程力学第8章梁的弯曲

例 题
图示简支梁受集中荷载F作用。试作 梁的剪力图和弯矩图。
a
F C
b
A FA 解：1、求支反力
Fb FA l
B
l
FB
Fa FB l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F
b
A
x
C
M1(x)
B
FA
A FA
x
FB
FQ1(x)
AC 段
Fb FQ1 x l
Fb M1 x x l
FA
qa
qa D
q B a a
例 题
外伸梁受力的大小和方 向如图示。 试画出剪力和弯矩图 解：1．确定约束力
FA qa ， FD 2qa
a
FQ
0
FD
qa


x
0 qa
2 ．确定控制面并求 出对应的剪力和弯矩 3．建立坐标系 建立 FQ－x 和 M－x 坐 标系并标出对应的控制 面上的剪力和弯矩
左顺右逆,
弯矩为正
左上右下， 剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
8.3 剪力图与弯矩图
一、 剪力方程与弯矩方程
x
q
A B
FQ ( x ) qx,
1 2 M ( x ) qx , 2
(0 x l )
q
(0 x l )
x
M
L
FQ
1.剪力方程
反映梁的横截面上的剪力随截面位置 变化的函数式
第 8 章 弯曲
8.1 工程中的弯曲构件 一、工程实例
工厂厂房的吊车大梁：
火车的轮轴：
F
F
F
F
楼房的横梁
阳台的挑梁
二、弯曲的概念
弯曲——如果作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线， 那么杆的轴线由直线变为一条曲线。 这种变形称为弯曲变形 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条曲线。
2.简易法作内力图的步骤：
先求出约束反力； 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面；
建立 FS一x 和 M一x 坐标系，求出控制面的剪 力和弯矩并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的 坐标系中； 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图 和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。
q A
qa
M
0
qa2/2 0 qa2/2
x
4. 根据平衡微分关系 画出剪力和弯矩图
q
qa2
例 题
B 简支梁受力的大小和方 a
向如图示。 试画出剪力和弯矩图 FB 解：1．确定约束力
FA 5 qa 3
A
2a
FA
5qa/3
C
FQ
，F
B

1 qa 3

x
qa/3 25qa2/18 qa/3 4qa2/3 qa2/3 0
x MC 0 M x FA x qx 0 2
qlx qx2 M x 2 2
2
FA
x
FQ(x)
(0 x l )
二、剪力图与弯矩图
q A FA x
B l
(0 x l ) (0 x l )
FB
ql FQ x qx 2
qlx qx M x 2 2
FQ FQ+ dFQ
考察 dx 微段的受力与平衡
y
M q(x)
M+d M
C
O
FQ
x
FQ+ dFQ
ΣFy=0: FQ+q dx- FQ－d FQ=0 ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQdx-q dx · dx /2=0
ΣFy=0:
FQ+q dx- FQ－d FQ=0
ΣMC=0: -M+(M+dM)- FQdx-q dx · dx /2=0 略去高阶项，得到
F
A
C
F
D
B
a
F FQ A Fa M
C D
a
B F
A
C
D
B
纯弯曲 FQ = 0 M ≠ 0 , M=常量 如 CD 段 横力弯曲 FQ≠ 0 M≠0 如 AC , DB 段
二、纯弯曲时梁横截面上的正应力分析
1.平面假定与应变分布
观察实验
（1）中性层 根据变形的连续性可知， 梁弯曲时从其凹入一侧的纵 向线缩短区到其凸出一侧的 纵向线伸长区，中间必有一 层纵向无长度改变的过渡层。 （2）中性轴： 中间层与横截面的交线 梁的弯曲变形实际上是各截面绕各自的中性轴转动 了一个角度，等高度的一层纤维的变形完全相同。
三、截面法确定指定截面上的剪力和弯矩
需求内力的截面处，假想地将梁切开，并选切 开后的任一段为研究对象； 画出所选梁段的受力图，图中，剪力FQ与弯矩M 可假设为正； 由平衡方程∑Fy =0 计算剪力 FQ; 由平衡方程∑Mc=0 计算弯矩 M ，式中，C为所切 横截面的形心。
例 题
二、剪力与弯矩的正负号规则 1. 剪力的正负号
FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
FQ
左上右下，剪力为正 左下右上，剪力为负 顺时针为正 逆时针为负
2. 弯矩的正负号
M M
M
上凹下凸
M
表示方法
引起的变形
使梁上压下拉的弯矩为正。
左顺右逆 ,弯矩为正
上凸下凹
M M M
表示方法
引起的变形
使梁上拉下压的弯矩为负。 左逆右顺, 弯矩为负
FQ FQ ( x )
2.弯矩方程
反映梁的横截面上的弯矩随截面位置 变化的函数式
M M ( x)
注意
不能用一个函数表达的要分段列出剪力和弯矩方程
确定分段点的原则：
分段点为：集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。
例 题
图示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试求出 梁的剪力方程和弯矩方程。
2
q A FQ ql 2 l/2
ql FQ x qx 2
B l
qlx qx2 M x 2 2
FQ ,max
x
M max
ql 2
ql 2 8
ql2 8
M
x
1.剪力图：表示剪力随截面位置的变化规律的图形称 为剪力图。 2.弯矩图：表示弯矩随截面位置的变化规律的图形称 为弯矩图。 3.用剪力方程和弯矩方程作剪力图与弯矩图的步骤 先求出约束反力； 确定分段点； 分段列出剪力方程和弯矩方程； 根据剪力方程和弯矩方程画出剪力图 和弯矩图；
q
A FA 解：1.确定约束力 2.确定分段点
l
FA FB ql 2
B FB
q
x
A
FA
x 3.建立 A-x 坐标轴 4.列剪力方程和弯矩方程
q A
l
B FB
M(x)
Fy 0 FQ x FA qx 0 ql FQ x qx ( 0 x l )
2.画出剪力图
M
3.画出弯矩图
0
x
MA
ql2 q C l
ql
q
例 题
B 悬臂梁受力的大小和方
向如图示。 试画出剪力和弯矩图 解：1．确定约束力 x F 0， M 0
A A
B
FA
FQ
0
l
ql 2/2
0
M
0 0
x
ql 2/2
2.画出剪力图
3.画出弯矩图
8.5
平面弯曲梁截面上的正应力强度
纯弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上只有弯矩，那么这 种弯曲就称为横力弯曲。 横向弯曲：如果一个梁弯曲时，横截面上既有弯矩，又有 剪力，那么这种弯曲就称为横力弯曲。
重要结论：
(1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上 外力的代数和。 左侧梁段：向上的外力为正，向下的外力为负。 右侧梁段：向下的外力为正，向上的外力为负
左上右下， 剪力为正
(2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段 上外力对该截面形心的力矩之代数和。 左侧梁段：顺时针的力矩为正，逆时针的力矩为负。 右侧梁段：逆时针的力矩为正，顺时针力矩为负。
B FB M2(x) B
x
M1(x)
x
l
FQ(x)
Me x l
弯矩方程——两段：
FQ(x)
FB
AC 段：
CB 段：
M 1 x FA x
0 x a
Me l x M2 x l
a x l
a
Me C
b
3.作剪力图和弯矩图
Me B FQ x l Me M1 x x 0 x a l M M 2 x e l x l a x l
C
B FB
l
解: 1、求支反力
M 0
Me FA l 0
Me FA l
Me FB l
2、 列剪力方程和弯矩方程
a
Me
C
b
A FA
x
B FB
l
剪力方程无需分段：
Me FQ x FA l
0 x l
a
Me C
b
A FA A FA
x
Fb l
C
l
Fb FQ1 x l Fa B FQ2 x l Fb M1 x x l Fa l x M 2 ( x) l x
* 集中力作用处剪力 图有突变，突变值的 大小等于集中力的大 小。弯矩图有折角。
M
Fa l Fab l
x
例 题
图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力 偶作用。试作梁的剪力图和弯矩图。 b Me a A FA
5. FQ = 0 的截面，必有 Mmax 或 Mmin
三、简易法作内力图 1.控制面的概念
控制面：在一段梁上，各个横截面上的内力按相同 的规律变化，这一段梁的两个端截面称为控制面。
据此，下列截面均可为控制面：
集中力作用点的两侧截面； 集中力偶作用点的两侧截面； 分布载荷起点和终点处的截面。
q
A B
已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN· m， 求梁的1-1截面内力。
M0
F
1 x
解：1）求约束反力：
Fy=FAy+FE-F-4q=0 FE MA(F )=12FE+M0-8F-4q×2=0 FAy=49kN；FE=32kN
FAy FAy
A
4m 7m
C E 1D 2m 2m 4m
q
1. q = 0
FQ﹥0
d2 M q 2 dx
dM FQ dx
q=0
FQ = 0 FQ﹤0 M FQ x
FQ图
M图
x
2. q =
dFQ 剪力图为一条斜直线； 常数 q dx 弯矩图为一条二次抛物线。
q﹥ 0
q ﹤0
d2 M q 2 dx
dM FQ dx
FQ图
FQ x
M图
抛物线
M
x
0 x a
0 x a
a
F
b
A
FA
CB段
x
C
M2(x) B FB
B
FB
FQ2(x)
Fa FQ2 x FB l
百度文库
a x l
a x l
Fa l x M 2 x FB ( l x ) l
3、作剪力图和弯矩图 F b a A FQ
dFQ dx q
dM FQ dx
d M q 2 dx
2
上述方程描述了平面载荷作用下弯矩、剪力与载荷集 度之间微分关系，称为平衡微分方程。 根据上述微分方程，由载荷变化规律，即可推 知内力FQ 、M 的变化规律。
二、FQ ,M 图的若干规律 剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。
dFQ dx
3. 集中力F 的影响 剪力图突变，突变值等于集中力 的大小；左右两侧控制面弯矩相等。
F F
F FQ 图
｛
F
｛
突变F FQ x M
M图
折角
x
4. 集中力偶 Me的影响 左右两侧控制面剪力相等， 弯矩图有突变，突变值等于集中力偶矩的大小。
Me
Me
无影响
FQ x M
FQ图
M图
突变Me
x
dM FQ dx
q
M0
B C
M1
FQ1
2) 截面法求内力
FQ1 FAy （ 4q） 13KN
F
y
FAy 4q FQ1 0
M
1c
FAy 7m 4q 5m M0 M1 0
M1 FAy 7m （ 4q 5m） （ M0） 115KN m
A FQ
l
Me l
x
M
M ea l M eb l
x
b>a时
M max
M eb l
* 集中力偶作用 点处剪力图无影 响，弯矩图有突 变，突变值的大 小等于集中力偶 矩的大小。
8.4
剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系
y
一、 剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系
O x
q(x)
x dx
M
M+d M
考察 dx 微段的受力与平衡
P
q
M
FA
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
FB
三、梁的约束与类型
1.支座形式与支反力
（1）活动支座
FR FRx
FRy
（2）固定铰支座 （3）固定端
FRx FRy M
2. 静定梁的基本形式
基本形式
悬臂梁
简支梁
外伸梁
8.2 梁的内力—剪力与弯矩 一、计算梁内力的方法 计算内力仍采用截面法 ： 在截面m-m处假想地把梁切为两段 取左端为研究对象，由于左端作 用着外力FRA则在截面上必有与FRA 大小相等,方向相反的力FQ, 由 于该内力切于截面, 因此称为剪 力。又由于FRA 与FQ形成一个力偶, 因此在截面处必存在一个内力偶M 与之平衡, 该内力偶称为弯矩。 FQ = FRA M = FRA ·x 截面的剪力等于截面任一侧的外力的代数和（主矢）；截面 的弯矩等于截面任一侧的外力对截面形心的力矩的代数和（主 矩）。