三角形中的边角关系之欧阳歌谷创编
解三角形难题汇编之欧阳体创编
1．在△ABC中，a，b，c辨别为内角A，B，C所对的边，b＝c，且满足sin Bsin A＝1－cos Bcos A，若点O是△ABC 外一点，∠AOB＝θ(0<θ<π)，OA＝2OB＝2，则平面四边形OACB 面积的最年夜值是()A.8＋534 B.4＋534C．3 D.4＋52A[由已知得sin(A＋B)＝sin A⇒sin C＝sin A⇒c＝a，又b ＝c，∴等边三角形ABC，∴AB2＝5－4cos θ，SOACB＝12×1×2sinθ＋34AB2＝sin θ－3cos θ＋534＝2sin⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋543≤2＋543＝8＋534选A.]2．如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E辨别是边AB，AC上的点，且DE＝2，则S四边形BCED S△ABC的最小值即是________．23[设AD＝x，AE＝y(0<x≤4，0<y≤3)，则因为DE2＝x2＋y2－2xycos 60°，所以x2＋y2－xy＝4 ，从而4≥2xy－xy＝xy，当且仅当x＝y＝2时等号成立，所以S四边形BCEDS△ABC＝1－S△ADES△ABC＝1－12xysin 60°12×3×4sin 60°＝1－xy12≥1－412＝2 3.]3．在△ABC中，角A，B，C所对的边辨别为a，b，c，若∠B＝∠C且7a2＋b2＋c2＝43，则△ABC面积的最年夜值为________．55[由∠B＝∠C得b＝c，代入7a2＋b2＋c2＝43得，7a2＋2b2＝43，即2b2＝43－7a2，由余弦定理得，cos C＝a2＋b2－c22ab＝a2b，所以sin C＝1－cos2C＝4b2－a22b＝83－15a22b，则△ABC 的面积S ＝12absin C ＝12ab×83－15a22b＝14a 83－15a2＝14a2（83－15a2）＝14×11515a2（83－15a2）≤14×115×15a2＋83－15a22 ＝14×115×43＝55，当且仅当15a2＝83－15a2取等号，此时a2＝4315，所以△ABC 的面积的最年夜值为55，4．如图，△ABC 中，sin 12∠ABC ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD ＝2DC ，BD ＝433.(1)求BC 的长；(2)求△DBC 的面积．解 (1)因为sin 12∠ABC ＝33，所以cos ∠ABC ＝1－2×13＝13.△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－4a 3①在△ABD 和△DBC 中，由余弦定理可得cos ∠ADB ＝4b2＋163－41633b， cos ∠BDC ＝b2＋163－a2833b. 因为cos ∠ADB ＝－cos ∠BDC ， 所以有4b2＋163－41633b ＝－b2＋163－a2833b， 所以3b2－a2＝－6，②由①②可得a ＝3，b ＝1，即BC ＝3.(2)由(1)得△ABC 的面积为12×2×3×223＝22，所以△DBC的面积为223.5．已知O(0,0)，A(cosα，sinα)，B(cosβ，sinβ)，C(cosγ，sinγ)，若kOA→＋(2－k)OB →＋OC →＝0(0<k<2)，则cos(α－β)的最年夜值是________．6．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边辨别为a ，b ，c.已知cosA －3cosC cosB＝3c －a b . (1)求sinC sinA 的值；(2)若B 为钝角，b ＝10，求a 的取值规模．[解析](1)由正弦定理，设a sinA ＝b sinB ＝c sinC ＝k ，则3c －a b ＝3ksinC －ksinA ksinB ＝3sinC －sinA sinB， 所以cosA －3cosC cosB ＝3sinC －sinA sinB， 即(cosA －3cosC)sinB ＝(3sinC －sinA)cosB ，化简可得sin(A ＋B)＝3sin(B ＋C)．又A ＋B ＋C ＝π，所以sinC ＝3sinA ，因此sinC sinA ＝3.(2)由sinC sinA ＝3得c ＝3a.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c>b a2＋c2<b2，又b ＝10，所以52<a<10.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边辨别为a ，b ，c ，若b2＋c2－a2＝3bc 且b ＝3a ，则△ABC 不成能是( )A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．锐角三角形[谜底]D[解析]由cosA ＝b2＋c2－a22bc ＝32，可得A ＝π6，又由b ＝3a 可得b a ＝sinB sinA ＝2sinB ＝3，可得sinB ＝32，得B ＝π3或B ＝2π3，若B ＝π3，则△ABC 为直角三角形；若B ＝2π3，C ＝π6＝A ，则△ABC为钝角三角形且为等腰三角形，由此可知△ABC 不成能为锐角三角形，故应选D.8．在△ABC 中，AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，则△ABC 面积的最年夜值为( ) A.21B.3214C.212D ．321[谜底]B[解析]设角A 、B 、C 所对的边辨别为a 、b 、c ，∵AC →·AB →＝|AC →－AB →|＝3，∴bccosA ＝a ＝3.又cosA ＝b2＋c2－a22bc≥1－92bc ＝1－3cosA 2，∴cosA≥25，∴0<sinA≤215，∴△ABC 的面积S ＝12bcsinA ＝32tanA≤32×212＝3214，故△ABC 面积的最年夜值为3214.9．已知在△ABC 中，C ＝2A ，cosA ＝34，且2BA →·CB →＝－27.(1)求cosB 的值；(2)求AC 的长度．[解析](1)∵C ＝2A ，∴cosC ＝cos2A ＝2cos2A －1＝18，∴sinC ＝378，sinA ＝74.∴cosB ＝－cos(A ＋C)＝sinAsinC －cosAcosC＝74×378－34×18＝916.(2)∵AB sinC ＝BC sinA ，∴AB ＝32BC.∵2BA →·CB →＝－27，cosB ＝916，∴|BA →||CB →|＝24，∴BC2＝16，AB ＝6，∴AC ＝BC2＋AB2－2BC·AB·cosB ＝16＋36－2×4×6×916＝5.。
S7-200PLC实现星三角降压启动之欧阳歌谷创编
星三角降压启动的继电器电路图与控制图欧阳歌谷（2021.02.01）根据工艺要求进行PLC电路图设计。
PLC电路图设计如下：根据星三角启动电路图画出流程框架图如下PLC软元件地址分配如下:I区(输入区)I0.0 启动按钮ＳＢ２I0.1 停止按钮ＳＢ１I0.2 电源断路器ＱＦQ区Q0.0 主电路接触器 KM1Q0.1 星型启动接触器 KM2Q0.2 三角形接触器 KM3T区T37 10秒定时器根据电路图，流程图和分配好的软元件地址进行编程。
程序参考图如下：控制线路星形——三角形（ Y —△）降压起动是指电动机起动时，把定子绕组接成星形，以降低起动电压，减小起动电流；待电动机起动后，再把定子绕组改接成三角形，使电动机全压运行。
Y —△起动只能用于正常运行时为△形接法的电动机。
１．按钮、接触器控制 Y —△降压起动控制线路图 2.19 （ a ）为按钮、接触器控制 Y —△降压起动控制线路。
线路的工作原理为：按下起动按钮 SB1 ， KM1 、 KM2 得电吸合， KM1 自锁，电动机星形起动，待电动机转速接近额定转速时，按下 SB2 ，KM2 断电、 KM3 得电并自锁，电动机转换成三角形全压运行。
２．时间继电器控制 Y —△降压起动控制线路图 2.19 （ b ）为时间继电器自动控制 Y —△降压起动控制线路，电路的工作原理为：按下起动按钮 SB1 ， KM1 、 KM2 得电吸合，电动机星形起动，同时 KT 也得电，经延时后时间继电器 KT 常闭触头打开，使得 KM2 断电，常开触头闭合，使得 KM3 得电闭合并自锁，电动机由星形切换成三角形正常运行。
（1）线路设计思想Y—△降压起动也称为星形—三角形降压起动，简称星三角降压起动。
这一线路的设计思想仍是按时间原则控制起动过程。
所不同的是，在起动时将电动机定子绕组接成星形，每相绕组承受的电压为电源的相电压（220V），减小了起动电流对电网的影响。
弹性力学简明教程(第四版)_课后习题解答之欧阳歌谷创编
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答欧阳歌谷（2021.02.01）徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
《勾股定理》说课稿之欧阳光明创编
《勾股定理》欧阳光明（2021.03.07）宝盖中学袁静尊敬的各位评委、各位老师：大家好！我是来自宝盖中学的袁静，我今天说课的内容是华师版九年义务教育课程标准实验教科书《数学》八年级下册第十四章第一节第一课时《勾股定理》，勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。
本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。
此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。
下面我将从教材分析、学情分析、教学方法、教学过程、教学评价等五个方面对本节课的教学设计进行说明。
一、教材分析（一）教材的地位与作用勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。
它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形取得进一步的认识和理解。
（二）教学目标基于以上分析和数学课程标准的要求，制定了本节课的教学目标。
1、知识与技能：掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示边长。
学生在经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程中，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。
2、能力目标：通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
并通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。
3、情感目标：通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣，培养合作意识和探索精神。
（三）教学重、难点重点：用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理难点：用拼图方法证明勾股定理二、学情分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。
部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。
八年级数学培优资料之欧阳歌谷创作
目录欧阳歌谷（2021.02.01）第1讲全等三角形的性质与判定(P211)第2讲角平分线的性质与判定(P1216)第3讲轴对称及轴对称变换(P1724)第4讲等腰三角形(P2536)第5讲等边三角形(P3742)第6讲实数(P4349)第7讲变量与函数(P5054)第8讲一次函数的图象与性质(P5563)第9讲一次函数与方程、不等式(P6468)第10讲一次函数的应用(P6980)第11讲幂的运算（P8186)第12讲整式的乘除((P8793)第13讲因式分解及其应用(P94100)第14讲分式的概念•性质与运算(P101108)第15讲分式的化简求值与证明(P109117)第16讲分式方程及其应用(P118125)第17讲反比例函数的图像与性质(P126138)第18讲反比例函数的应用(P139146)第19讲勾股定理(P147157)第20讲平行四边形(P158166)第21讲菱形矩形(P167178)第22讲正方形(P179189)第23讲梯形(P190198)第24讲数据的分析(P199209)模拟测试一模拟测试二模拟测试三第01讲全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋BACDEF转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C.【变式题组】01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等AFCEDB C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O, 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D”记为①，“∠OEF ＝∠OFE”记为②，“AB ＝DC”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题 2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB. 求证：AF ＝DE. 【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CFAB CDO FEAD在△ABE 和△DCF 中,AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C 在△ABF 和△DCE 中,AB DCB C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE 于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F. 求证：AB ＝FC.AE第1题图A BCDEBCDO第2题图【例３】如图①，△ABC ≌△DEF ，将△ABC 和△DEF 的顶点B 和顶点E 重合，把△DEF 绕点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O.⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF, ∠ABC ＝∠DEF, ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF, ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中,AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC, ∴∠FAC ＝∠CDF ∵∠AOD ＝∠FAC ＋∠AFD ＝AFECB DB（E ）OC F 图③DA∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P 处.若∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42°B ．48°C ．52°D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ） A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° C ． AC ＝DF D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上.⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG 第2题图【例４】（第21届江苏竞赛试题）已知，如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边A C 和AB 边上的高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠PAQ ＝90°，∠PAD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°,∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2. 在△APB 和△QAC 中,2AB QCBP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠∴△APB ≌△QAC ，∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ, ∴∠P ＋∠PAD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠PAD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】21ABCPQE F D01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点中点，求证：AF ⊥CD.02墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am 斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ） A ．2a b m +B ．2a bm -C ．bmD ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A/C/B/，∠BCB/＝30°，则∠ACA/的度数AECBA 75° C45°BNM第2题图第3题图D第1题图a αcca50° b72° 58°是（）A．20°B．30°C．35°D．40°03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA、OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于1CD长为半径画弧，两弧交于点P，作2射线OP，由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SASB．ASAC．AASD．SSS04．（江西）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A. CB＝CDB.∠BAC＝∠DACC. ∠BCA＝∠DCAD.∠B＝∠D＝90°05．有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE，将它们的一个锐角顶点放在一起，将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A、B、D不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（）A. △ABE≌△CBDB. ∠ABE＝∠CBDC. ∠ABC＝∠EBD＝45°D. AC∥BE06．如图，△ABC和共顶点A，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.BC交AD于M，DE交AC于N，小华说：“一定有△ABC ≌△AED.”小明说：“△ABM ≌△AEN.”那么（ ） A. 小华、小明都对B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对D.小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC, BC ＝CD,AB ＝ED,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D, BC ＝BD.AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______10．如图，BA ⊥AC, CD ∥AB. BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2,CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD, AB ∥CD. BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm/s, Q 的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC.12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，DA C.Q P.BAAEFBDCAE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D. ⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm, 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F, 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E. ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明；⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.（温馨提示：补形法）15．如图，AC ⊥BC, AD ⊥BD, AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足分别是E 、F.求证：CE ＝DF.16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明AEB FDC略）；对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A1B1C1均为锐角三角形，AB ＝A1B1，BC ＝B1C1，∠C ＝∠C1.求证：△ABC ≌△A1B1C1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论. 培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对B ．5对C ．6对D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE, 则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③ABCDA 1B 1C 1D 1F第6题图2 1ABCE N M3 21 ADEBCFADECOA E O BFCD 第1题图B第2题图第3题图AEFCDB03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3,则DE 的长等于（）A ．DCB. BCC. ABD.AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等 C. 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等 D. 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______.06．如图，EB 交AC 于点M, 交FC 于点D, AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C, AE ＝AF. 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF; ③△ACN ≌△ABM; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F,且有BF ＝AC ，FD ＝CD. ⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC”和结论“BE ⊥AC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE.ABC DEAEBD C09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC＝AD ，AB ＝AE, ∠BAE ＋∠BCE ＝90°, ∠BAC ＝∠EAD.求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F.⑴求证：AF ＋EF ＝DE;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
全等三角形判定的综合应用之欧阳音创编
授课教案一．热身训练1.如图1，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=35°，则∠BAD=______度.2.如图2，AB ∥CD ，AD ∥BC ，OE=OF,图中全等三角形共有______对.3.已知：如图3，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ，（1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为______.（2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为______.（3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为______.4.如图4，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则△_____≌△_____.5.如图5,AB=CD ，AD=BC ，O 为BD 中点，过O 点作直线与DA 、BC 延长线交于E 、F ，若︒=∠60ADB ，EO=10，则∠DBC=，FO=.二．知识梳理 1． 判定和性质判定方法：边角边（SAS ）、角边角（ASA ）角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 性 质：对应边相等，对应角相等，对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS三．典型例题例1．已知：如图AC=BD ，∠CAB=∠DBA 。
求证：∠CAD=∠DBC 。
分析：由已知，再加上一组公共边等，可以得到△ABC 与△BAD 全等，由性质得对应角相等，再由等量公理可得证。
例2． 已知，如图，HI ∥BC ，JI ∥AB 。
四年级数学《三角形》单元测试之欧阳法创编
2021.03.09四年级数学《三角形》单元知识归纳要点1、三角形的定义：由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。
2、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。
三角形只有3条高。
重点：三角形高的画法。
3、三角形的特性：稳定性。
如：自行车的三角架，电线杆上的三角架。
4、边的特性：任意两边之和大于第三边。
5、为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形ABC。
6、三角形的分类：按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。
按照边长短来分：等边三角形、等腰三角形、三条边都不相等的三角形7、三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。
8、有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
（其他两个角必定是锐角）9、有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。
（其他两个角比定是锐角）10、每个三角形都至少有两个锐角；每个三角形都至2021.03.09 欧阳法创编2021.03.09多有1个直角；每个三角形都至多有1个钝角。
11、两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
(等腰三角形的特点：两腰相等，两个底角相等)12、三条边都相等的三角形叫等边三角形(正三角形) (等边△的三边相等，每个角是60度)13、等边三角形是特殊的等腰三角形14、三角形的内角和等于180°；四边形的内角和是360°；五边形的内角和是540°15、图形的拼组：用任意2个完全一样的三角形一定能拼成一个平行四边形。
16、用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。
17、用2个相同的直角三角形可以拼成一个长方形、一个平行四边形、一个大等腰三角形。
18、用2个相同的等腰直角的三角形可以拼成一个正方形、一个平行四边形、一个大的等腰的直角的三角形。
四年级数学《三角形》单元测试卷一、填空题。
1、从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的（），这条对边叫做三角形的（）。
人教八年级数学上册同步练习题及答案之欧阳歌谷创作
欧阳歌谷创编 2021年2月1欧阳歌谷创编 2021年2月1 第十一章 全等三角形欧阳歌谷（2021.02.01）11.1全等三角形1、 已知⊿ABC ≌⊿DEF ，A 与D ，B 与E 分别是对应顶点，∠A=52°，∠B=67°，BC =15cm ，则F =，FE = .欧阳歌谷创编 2021年2月1 2、∵△ABC≌△DEF∴AB=，AC=BC=，（全等三角形的对应边）∠A=，∠B=，∠C=；（全等三角形的对应边）3、下列说法正确的是（）A：全等三角形是指形状相同的两个三角形B：全等三角形的周长和面积分别相等C：全等三角形是指面积相等的两个三角形 D：所欧阳歌谷创编 2021年2月1欧阳歌谷创编 2021年2月1 欧阳歌谷创编 2021年2月1C有的等边三角形都是全等三角形4、如图1：ΔABE ≌ΔACD ，AB=8cm ，AD=5cm ，∠A=60°，∠B=40°，则AE=_____，∠C=____。
课堂练习1、已知△ABC ≌△CDB ，AB 与CD 是对应边，那么AD=，∠A=；2、如图，已知△ABE ≌△DCE ，AE=2cm ，欧阳歌谷创编 2021年2月1 欧阳歌谷创编 2021年2月1 BE=1.5cm ，∠A=25°∠B=48°；那么DE=cm ，EC=cm ，∠C=度.3、如图，△ABC≌△DBC ，∠A=800，∠ABC=300，则DCB=度； （第1小题）（第2小题）（第3小题）（第4小题）4、如图，若△ABC ≌△ADE ，则对应角有；FE D C B A E D C B A欧阳歌谷创编 2021年2月1 欧阳歌谷创编 2021年2月1 对应边有（各写一对即可）；11.2.1全等三角形的判定（sss ）课前练习1、如图1：AB=AC ，BD=CD ，若∠B=28°则∠C=；2、如图2：△EDF ≌△BAC ，EC=6㎝，则BF=；3、如图，AB ∥EF ∥DC ，∠ABC ＝900，AB ＝DC ，那么图中有全等三角形对。
新北师大版八年级下册《三角形的证明》之欧阳法创编
三角形的证明时间：2021.03.09 创作：欧阳法1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（）A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等2．下列说法中，正确的是（）A．两腰对应相等的两个等腰三角形全等B．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等C．两锐角对应相等的两个直角三角形全等D．面积相等的两个三角形全等3．如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．25°4．已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR 的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.1．下列说法正确的是（）A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等2．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC 上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°3．如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是（）A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙5．如图4－10，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过顶点C，过A、B两点分别作l 的垂线AE、BF，E、F为垂足．（1）当直线l 不与底边AB相交时，求证：EF＝AE＋BF．（2）如图4－11，将直线l绕点C顺时针旋转，使l与底边AB交于点D，请你探究直线l在如下位置时，EF、AE、BF之间的关系．①AD＞BD；②AD＝BD；③AD＜BD．1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12 B．15C．12或15 D．18 2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（）A．0＜x＜3 B．x＞3C．3＜x＜6D．x＞64．如图，∠MON=43°，点A在射线OM上，动点P在射线ON上滑动，要使△AOP为等腰三角形，那么满足条件的点P共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC的长为5cm，求△ABC的周长．6、如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC 的平分线于点D，求证：MD=MA.1．如图，已知直线AB∥CD，∠DCF=110°且AE=AF，则∠A等于（）A．30°B．40°C．50°D．70°2．下列说法错误的是（）A．顶角和腰对应相等的两个等腰三角形全等B．顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等C．斜边对应相等的两个等腰直角三角形全等D．两个等边三角形全等3．如图，是一个5×5的正方形网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．点A和点B在小正方形的顶点上．点C也在小正方形的顶点上．若△ABC为等腰三角形，满足条件的C点的个数为（）A．6B．7 C．8D．94．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（）A．6B．7 C．D．9 5．如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF=EF，BD=CE，过D作DG∥AC交BC于G．求证：（1）△GDF≌△CEF；（2）△ABC是等腰三角形．1．下列说法中不正确的是（）A．有一腰长相等的两个等腰三角形全等B．有一边对应相等的两个等边三角形全等C．斜边相等、一条直角边也相等的两个直角三角形全等D．斜边相等的两个等腰直角三角形全等2．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°3、如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.1．下列命题：①两个全等三角形拼在一起是一个轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是底边上的中线所在直线；③等边三角形一边上的高所在直线就是这边的垂直平分线；④一条线段可以看作是以它的垂直平分线为对称轴的轴对称图形．其中错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．如图，AC=CD=DA=BC=DE．则∠BAE是∠BAC的（）A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍3．如图，等边△ABC的周长是9，D是AC边上的中点，E在BC的延长线上．若DE=DB，则CE的长为．4．如图，等边△ABC中，点D、E分别为BC、CA上的两点，且BD=CE，连接AD、BE交于F点，则∠FAE+∠AEF的度数是（）A．60°B．110°C．120°D．135°5．如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A6B6A7的边长为（）A．6B．12 C．32D．646.如图①，M、N点分别在等边三角形的BC、CA边上，且BM=CN，AM、BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；（2）如图②，如果点M、N分别移动到BC、CA的延长线上，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由．7．如图，C为线段BD上一点（不与点B，D重合），在BD同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于一点F，AD与CE交于点H，BE与AC交于点G．（1）求证：BE=AD；（2）求∠AFG的度数；（3）求证：CG=CH．1、否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（）A．a、b、c都是奇数B．a、b、c或都是奇数或至少有两个偶数C．a、b、c都是偶数D．a、b、c中至少有两个偶数2、用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反证假设正确的是（）A．假设三内角都不大于60°B．假设三内角都大于60°C．假设三内角至多有一个大于60°D．假设三内角至多有两个大于60°3、证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角．1、说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：（1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果ab=0，那么a=0，b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等2．使两个直角三角形全等的条件是（）A．一个锐角对应相等B．两个锐角对应相等C．一条边对应相等D．两条边对应相等3．等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为（）A．7 B．6 C．5D．44．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（）A．1 B．43C．32D．25．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A．6 B．4C．3D．26．如图，在4×4正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于3，则点A到边BC的距离为（）A．3B．22C．4D．37．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，A，C，D三点在同一直线上，连接BD，AE，并延长AE交BD于F．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）直线AE与BD互相垂直吗? 请证明你的结论．8．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中有一个△ABC，△ABC的三个顶点均与小正方形的顶点重合．（1）在图中画△BCD，使△BCD的面积=△ABC的面积（点D在小正方形的顶点上）．（2）请直接写出以A、B、C、D为顶点的四边形的周长．9．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B 落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．1．利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（）A．已知斜边和一锐角B．已知一直角边和一锐角C．已知斜边和一直角边D．已知两个锐角2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．365B．1225C．94D．333．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．4．已知Rt△ABC中，∠C=90°，且BC=12AB，则∠A等于（）A．30°B．45°C．60°D．不能确定5．已知：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，M、D分别为AB、MB的中点．求证：CD⊥AB．6．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1，∠BCD是不是直角? 请说明理由．7．正方形网格中的每个小正方形边长都是1．每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：（1）在图1中，画△ABC，使△ABC的三边长分别为3、22、5；（2）在图2中，画△DEF，使△DEF为钝角三角形且面积为2．【提高练习】1．如图．矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3．则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为（ ）A ．4B ．6C ．16D ．553．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）请你分别观察a ，b ，c 与n 之间的关系，并用含自然数n （n ＞1）的代数式表示：a =，b =，c =；（2）猜想：以a ，b ，c 为边的三角形是否为直角三角形并证明你的猜想．4．如图，AC =BC =10cm ，∠B =15°，AD ⊥BC 于点D ，则AD 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm n 2 3 4 5 … a 22－1 32－1 42－1 52－1 … b 4 6 8 10 … c 22+1 32+1 42+1 52+1 …5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于D，BD=8，则AC=．6．图1、图2分别是10×8的网格，网格中每个小正方形的边长均为1，A、B两点在小正方形的顶点上，请在图1、图2中各取一点C（点C必须在小正方形的顶点上），使以A、B、C为顶点的三角形分别满足以下要求：（1）在图1中画一个△ABC，使△ABC为面积为5的直角三角形；（2）在图2中画一个△ABC，使△ABC为钝角等腰三角形．7．已知，如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD、BE相交于点P．（1）求证：△AEB≌△CDA；（2）求∠BPQ的度数；（3）若BQ⊥AD于Q，PQ=6，PE=2，求BE的长．【典型例题】1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°．AB的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）A ．AE =BEB ．AC =BEC ．CE =DED ．∠CAE =∠B2．如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于21AB的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB =7，则△ABC 的周长为（ ）A ．7B ．14C ．17D ．203．三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（ ）A ．三条中线的交点B ．三边垂直平分线的交点C ．三条高的交点D ．三条角平分线的交点4．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处5．如图，AD为∠BAC的角平分，线段AD的垂直平分线交AB于M，交AC于N，试说明MD∥AC．6．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．7．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC边上的中点，CE⊥AD于点E，BF∥AC交CE的延长线于点F，求证：AB 垂直平分DF．【变式练习】1．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC 的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°2．如图，在△ABC中，已知AC=29，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．△BCE的周长等于50，求BC的长为多少？3．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，FG垂直平分AC，BC=13cm，则△AEG的周长为多少？4．已知：如图，△ABC的∠A＞∠ABC，边BC 的垂直平分线DE分别交AC，BC于D，E，则AD+BD与BC的关系是（）A．大于B．小于C．等于D．不能确定5．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 你能画图说明吗? 6．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB的中点，且DE⊥AB，△BCE的周长为8cm，且AC －BC=2cm，求AB、BC的长．1．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于D、E点．MN垂直平分AC，分别交AC、BC于M、N点．（1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度数；（2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度数；（3）若∠BAC=α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．2．如图2，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A=35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°3．如图3，在△ABC中，AB=a，AC=b，BC边上的垂直平分线DE交BC、BA分别于点D、E，则△AEC的周长等于（）A．a+bB．a－bC．2a+bD．a+2b4．如图有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°，两直角边AC=4，BC=8，线段DE垂直平分斜边AB，则CD等于（）A．2B．2.5C．3D．3.55．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线交AD于E，连接EC；则∠AEC等于（）A．100°B．105°C．115°D．120°1．如图，∠POA=∠POB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，OP=13，OD=12，PD=5，则PE=（）A．13B．12C．5D．12．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的（）A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线的交点3．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于D，若CD=3cm，则点D到AB的距离DE是（）A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm4．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）A．PA=PBB．PO平分∠APBC．OA=OBD．AB 垂直平分OP5．如图，直线a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可以供选择的地址有（）A．一处B．四处C．七处D．无数处6．求作一点P，使PC=PD，且点P到AC，AB 的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）7．（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图所示）．设计了如下方案：（Ⅰ）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（Ⅱ）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB 上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行? 若可行，请证明；若不可行，请说明理由；（2）在方案（Ⅰ）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥OB．此方案是否可行? 请说明理由．8．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF交AD于点G、试判断线段AD与EF的位置关系，并证明你的结论．9．如图，△ABC中，O是BC的中点，D是∠BAC平分线上的一点，且DO⊥BC，过点D 分别作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：BM=CN．【变式练习】1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）A．1B．2C．3D．42．如图所示，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D，若OE=4，∠AOB=60°，求DE的长3．如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到直线l1，l2的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）4．已知：如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD 是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC 上，BD=DF．求证：CF=EB．5．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）若连接AM，则AM 是否平分∠BAD? 请你证明你的结论；（2）线段DM与AM有怎样的位置关系? 请说明理由．【提高练习】1．如图，∠AOB=30°，OP平分∠AOB，PC∥OB，PD⊥OB，如果PC =6，求PD 等于 2．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于21MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是∠BAC 的平分线；②∠ADC =60°；③点D 在AB 的中垂线上；④S △DAC ：S △ABC =1：3．A ．1B ．2C ．3D ．44．如下图左，在矩形ABCD 中，点P 在AB 上，且PC 平分∠ACB ．若PB =3，AC =10，则△PAC 的面积为．5．已知：如上图右，AB ∥CD ，O 为∠BAC 、∠ACD 的平分线的交点，OE ⊥AC 于点E ，若两平行线间的距离为6，求OE 的长6．2011年4月21日是重庆一中80周年校庆日，学校准备进一步美化校园，在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树如图，要求银杏树的位置点P到边AB、BC的距离相等，并且P到点A、D的距离也相等．请用尺规作图作出银杏树的位置点P（不写作法，保留作图痕迹）．。
勾股定理基础训练题之欧阳歌谷创作
勾股定理基础题欧阳歌谷（2021.02.01）1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm 2,则斜边长为（ ）.（A ）80cm(B)30cm(C)90cm(D120cm.2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36和64，那么以斜边为边长的正方形的面积是（ ）A.54B.100C.72D.1203、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米.A.4 B.5 C.3 D.414、直角三角形两条直角边的长分别为8和6，则斜边上的高为（ ）（A ）2.4 （B ）4.8 （C ）1.2 （D ）105、直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）A 、321S S S >+B 、321S S S <+C 、321S S S =+D 、无法判断6、如图字母A 所代表的正方形的面积是 ( )A.、20B. 24 C 、30 D. 747、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,S 3S 2S 1要爬行的最短路程( 取3)是( )A.20cmB.10cmC.14cmD.无法确定.8、一个等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则底边上的高为________cm．9、现有一长5米的梯子，架靠在建筑物的墙上,它们的底部在地面的水平距离是3米,则梯子可以到达建筑物的高度是___________米。
10．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（）A. 第三边一定为10B. 三角形的周长为25C. 三角形的面积为48D. 第三边可能为1011．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（）A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm12．若△ABC的三边a、b、c满足(a-b)(a2+b2-c2)=0，则△ABC是( )A.等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形13．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是（）A 直角三角形B 锐角三角形C 钝角三角形D 不能14、等腰三角形的周长是20c m,底边长是6c m,则底边上的高是____________15.下列说法正确的是（ ）A 、若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B 、若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C 、若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D 、若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．16.△ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+17．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．18．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．19.等腰三角形ABC 的面积为12㎝2，底上的高AD ＝3㎝，则它的周长为。
初二数学三角形基础训练之欧阳术创编
§3.1.1《认识三角形》1.知道三角形内角和定理； 三角形的三个内角的和；2.了解三角形按角的大小如何分类；3.三角形按角可分为：，，；4.直角三角形ABC 用符号可表示为：。
（1）如图1三角形可表示为； （2）请在图中用小写字母标出各边； 图1（3）图2中有个三角形，并用符号表示 。
5.如图所示，撕下的∠1那两条直线平行，为什么？你能根据图形说明三角形内角和等于180°的理由吗？3（1）按三角形内角的大小三角形可分为；（2）如图，直角三角形ABC 可表示为其中直角是，锐角是，两锐角具有怎样的关系？AA BC D 4.观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的横线上： 锐角三角形直角三角形钝角三角形三、巩固练习、拓展提高1．已知∠A ，∠B ，∠C 是△ABC 的三个内角，∠A ＝70°，∠C ＝30 °，∠B ＝；2．直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角度．3．在△ABC 中，∠A=80°，∠B=∠C ，则∠C=4．如果△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C=2∶3∶5，此三角形按角分类应为．5..有三个三角形,它们的两个内角的度数分别如下：①30°和50°;②70°和20°;③82°和23°,其中属于锐角三角形的是________.6.如图7所示，图中有n 个三角形，分别指出来，并选出三个指出它们的边和角.6.【拓展延伸】1.在△ABC 中，∠C=90°，∠A=40°，则∠B=________.2．在△ABC 中，若∠C=21∠B=31∠A ，则△ABC 是________⑦⑥⑤④③②①三角形(按角分类).3.如图2所示，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，则图中属于直角三角形的有________个.4.在一个三角形的三个内角中，说法正确的是A 至少有一个直角B 至少有一个钝角C 至多有两个锐角D 至少有两个锐角5.锐角三角形中，任意两个内角之和必大于A 120°B 100°C 90°D 60°6.给定下列条件，不能判定三角形是直角三角形的是A.∠A ∶∠B ∶∠C=1：2：3B.∠A+∠B=∠CC.∠A=21∠B=31∠C D.∠A=2∠B=3∠C§3.1.2《认识三角形》1.三角形按边长的关系可分为；2. 三角形三边关系； 三角形任意△ABC ；3. 知道三角形三边关系；三角形任意；4.三角形按边分类及概念。
三角函数公式大全(表格分类)之欧阳学文创编
sin cos tan cot αααα---sin cos tan cot ααααtan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=-⋅半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式1cos sin()221cos cos()221cos 1cos sin tan()21cos sin 1cos ααααααααααα-=±+=±--=±==++221cos 2sin 21cos 2cos 2αααα-=+=二倍角的正弦、余弦和正切公式 三倍角的正弦、余弦和正切公式sin 22sin cos cos 2cos 2sin 22cos 2112sin 2αααααααα==-=-=-2tan tan 21tan 2ααα=-- sin 33sin 4sin 3cos34cos33cos .3tan tan 3tan 313tan 2αααααααααα=-=--=--三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin 22cos cos 2cos cos 22cos cos 2sin sin 22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=⋅+--=⋅+-+=⋅+--=-⋅[][][][]1sin cos sin()sin()21cos sin sin()sin()21cos cos cos()cos()21sin sin cos()cos()2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ⋅=++-⋅=+--⋅=++-⋅=-+--化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式（辅助角的三角函数的公式）22sin cos sin()a x b x a b x φ±=+±其中φ角所在的象限由a 、b 的符号确定，φ角的值由tan baφ=确定 六边形记忆法：图形结构“上弦中切下割，左正右余中间1”；记忆方法“对角线上两个函数的积为1；阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方；任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积。
三角形中的边角关系之欧阳语创编
三角形基础知识说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。
1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．4．三角形的“线”与“心”：（1）高线、垂心．（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心．（4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理．（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．5．三角形的分类：（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。
（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）8．三角形元素之间的关系：（1）角与角的关系：①内角和定理、②外角定理③角的性质：范围、关系．④最大角、最小角．⑤锐角三角形中任两角的和（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，反之也真．②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该三角形外接圆的直径．③余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．④射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边．（4）直角三角形的性质：①勾股定理②两个锐角的关系③锐角的三角函数（边与角的联系）．④含30º角的直角三角形的性质⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．10．三角形面积公式：（1）ABC S ∆111222a b c ah bh ch ====4abcR =pr =． （2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==，则ABC S ∆1212||x x y y =-．（3）若,AB AC ==c b ，则ABC S∆=． 1．正弦定理：(2sin sin sin R C c B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）。
《三角形边的关系》教学反思之欧阳歌谷创编
《三角形边的关系》教学反思欧阳歌谷（2021.02.01）三角形边的关系是在认识了三角形的“分类”和“内角和”的基础上进行教学的。
教学重点主要是探讨：任意三根小棒能否围成三角形？怎样的三根小棒不能围成三角形？怎样的三根小棒能围成三角形？在实践操作中研究“三角形边的关系”得出“任意两边之和大于第三边”。
本节课中我主要是让学生经历一个探究解决问题的过程，提出质疑，“是不是三条线段就一定能围成三角形？”“不是的，那怎样的三条线段不能围成三角形？怎样的三条线段能围成三角形？”让学生在思维导航的指导下，进行实践操作，探索发现，得出结论。
学生在动手操作中，发现有的能围成，有的不能围成，再次由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？通过量一量每条边的长度，比一比两边之和与第三边的关系，通过观察、验证，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。
这样教学符合学生的认知特点，既增加了兴趣，又增强学生的动手能力。
我这样设计主要体现了以下三点：1.创设问题情景，以疑激思。
学生的积极思维往往是由问题开始，又在解决问题中得到发展。
因此，课堂一开始，让学生拿出课前准备好的四组小棒，让学生动手摆一摆并提出“是否任意三条线段就一定能围成三角形呢？”设置悬念，引起学生的积极思考，让学生对三角形三边的关系产生好奇，引发学生探究欲望，让学生围绕问题主动地进行观察、实验、猜测、验证等数学探究活动，初步感悟到：“当任意两边的和大于第三边时，能围成三角形”的规律。
整节课教学过程的推进是随着课堂上师生之间的交流与对话、学生思维发展的轨迹来进行的，知识的可信度与学生的情感体验有机地结合在一起，使探究过程显得真实而自然。
2、动手操作后的反思是提升学生数学思维水平的重要途径。
对于操作活动本身而言，数学课更加重视操作活动后的反思和交流。
在教学中，我有意设置一些动手操作，共同探讨的活动，尽可能多些时间给学生创造展示自己思维的空间和时间，千方百计地让学生参与到知识形成的全过程，从而实现数学知识的“再创造”，提升学生数学思维水平。
八年级三角形边角关系 经典例题之欧阳术创编
欧阳术创编 2021.02.02 欧阳美创编 2021.02.021、如图,BE 是∠ABD 的平分线,CF 是∠ACD 的平分线,BE 、CF 相交于点G,∠BDC=140°,∠BGC=110°。
求∠A 的度数.2、如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP,PB,PC求证:（1）PA+PB+PC > 21(AB+AC+BC)（2）PA+PB+PC < AB+AC+BC3、如图1,△ABC 中,点P 是∠ABC 与∠ACB 平分线的交点． （1）求∠P 与∠A 有怎样的大小关系？（2）如图2,点P 是∠CBD 与∠BCE 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系.（3）如图3,点P 是∠ABC 与∠ACF 平分线的交点,求∠P 与∠A 的关系.4、如图1,在△ABC 中,AD ⊥BC,AE 是角平分线, （1）求∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系;（2）如图2,AE 是∠BAC 的角平分线,FD 垂直于BC 于D,求∠DFE 与∠B 、∠C 之间的关系.（3）如图3，当点F 在AE 延长线上时，FD 仍垂直于BC 于D ，继续探讨∠DFE 与∠B 、∠C 的关系EGBDCF5、如图△ABC 中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°,∠ACB=62°,求∠DFE 的大小.6、△ABC 中,AD 、BE 、CF 是角平分线,交点是点G,GH ⊥BC求证：∠BGD=∠CGH.7、如图,∠xOy ＝90°,点A 、B 分别在坐标轴Ox 、Oy 上移动,BF 是∠ABP 的平分线,BF 的反向延长线与∠OAB 的平分线交于点C,求证∠ACB 的度数是定值.8、在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点A 在第一象限，点B 是x 正半轴上一点。
过点O 做OD ∥AB ，∠BAO的平分线与∠MOD 的平分线相交于点Q ，求AQOAON ∠∠的值9、直角坐标系中，OP 平分∠XOY ， B 为 Y 轴正半轴上一点，D 为第四象限内一点，BD 交 x 轴于 C ， 过 D 作 DE ∥OP 交 x 轴于点 E ，CA 平分∠BCE 交 OP 于 A ，∠BDE 的平分线交OP 于G ，交直线AC 于M ，如图EDCBAFGABCEFMDBA QN yxO 图1 图2求证2OGD OEDOAC∠-∠∠为定值。
三角函数与解三角形之欧阳歌谷创编
课程标题 三角函数与解三角形欧阳歌谷（2021.02.01）（一） 主要知识： 三角函数的定义域、值域及周期如下（二）主要方法：1.求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；2.求三角函数的值域的常用方法：1、化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域；sin cos y a x b x c =++，引入辅助角(cos ϕϕϕ==，化为)y x c ϕ++求解方法同类型。
2、化为关于sin x （或cos x ）的二次函数式；2sin sin y a x b x c=++，设sin t x =，化为二次函数2y at bt c =++在[1,1]t ∈-上的最值求之；周期问题一般将函数式化为()y Af x ωϕ=+（其中()f x 为三角函数，0ω>①y=sinx 图象的对称中心(k π,0), 对称轴x=k π+2π; y=cosx呢?(自己给出）②y=tanx 图象的对称中心(2k π,0)（二）主要方法：1、函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的单调增区间可由2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+解出，单调减区间可由32222k x k πππωϕπ+≤+≤+解出； 周期2T Wπ=2、函数cos()y A x ωϕ=+(0,0)A ω<>的单调减区间可由22k x k πωϕππ≤+≤+解出，单调增区间呢。
（自己导出） 周期2T W π=3、函数tan()y A x ωϕ=+(0,0)A ω<>的单调增区间可由22k x k πππωϕπ-≤+≤+解出。
（无增区间，重点掌握） 周期T W π=课堂练习：1.已知函数()b a x x a x a x f ++--=2cos sin 322cos 的定义域为0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，值域为[]5,1-，求常数,a b 的值 （化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域）．2、函数3sin(2)3y x π=-的单调递减区间是3、函数()tan 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调增区间为 2、函数()2cos (sin cos )1f x x x x =-+，x R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值和最大值．（化为求sin()y A x B ωϕ=++的值域）．3、函数22()cos 2cos 2xf x x =-的一个单调增区间是4、若函数21()sin 2f x x =-()x R ∈，则()f x 是.A 最小正周期为π2的奇函数 .B 最小正周期为π的奇函数.C 最小正周期为2π的偶函数 .D 最小正周期为π的偶函数5、函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值6、当函数213sin cos 22y x a x a =+--的最大值为1时,求a 的值. 7、函数()1cos cos 22f x x x=-的最大值是8、已知函数2π()2sin 24f x x x⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，．（1）求()f x 的最大值和最小值；（2）f （x ）的最小正周期。
北师大版八年级勾股定理练习题(含答案)之欧阳歌谷创编
北师大版八年级数学上欧阳歌谷（2021.02.01）勾股定理练习题一、基础达标:1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2；D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2. Rt △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+3． 如果Rt △的两直角边长分别为k 2－1，2k （k >1），那么它的斜边长是（ ）A 、2kB 、k+1C 、k 2－1D 、k 2+14. 已知a ，b ，c 为△ABC 三边，且满足(a 2－b 2)(a 2+b 2－c 2)＝0，则它的形状为（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形5． 直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）A ．121B ．120C ．90D ．不能确定6． △ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）A ．42B ．32C ．42 或 32D ．37 或 337.※直角三角形的面积为S ，斜边上的中线长为d ，则这个三角形周长为（ ）（A 2d （B d -（C ）2d （D ）d +8、在平面直角坐标系中，已知点P 的坐标是(3,4)，则OP 的长为（ ）A ：3 B ：4 C ：5 D ：7 9．若△ABC 中，AB=25cm ，AC=26cm 高AD=24,则BC 的长为（ ）A ．17 B.3 C.17或3 D.以上都不对10．已知a 、2(6)100a c --=则三角形的形状是（ ）A ：底与边不相等的等腰三角形B ：等边三角形C ：钝角三角形D ：直角三角形11．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是．12. 等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则顶角的平分线为＿＿.13. 一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为 14．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是三角形．15. 一个三角形的三边之比为5∶12∶13，它的周长为60，则它的面积是＿＿＿.16. 在Rt △ABC 中，斜边AB=4，则AB 2＋BC 2＋AC 2=_____． 17．若三角形的三个内角的比是3:2:1，最短边长为cm 1，最长边长为cm 2，则这个三角形三个角度数分别是，另外一边的平方是．18．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是．19． 一长方形的一边长为cm 3，面积为212cm ，那么它的一条对角线长是． 二、综合发展:1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．2、有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且AC B与AE 重合，你能求出CD 的长吗？3.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？4．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？15．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？答案:一、基础达标1. 解析:利用勾股定理正确书写三角形三边关系的关键是看清谁是直角．答案: D.2. 解析：本题考察三角形的三边关系和勾股定理.答案：B.3．解析：设另一条直角边为x ，则斜边为（x+1）利用勾股定理可得方程，可以求出x ．然后再求它的周长.答案：C ． A 小汽车 小汽车B C 观测点4．解析：解决本题关键是要画出图形来，作图时应注意高AD 是在三角形的内部还是在三角形的外部，有两种情况，分别求解.答案：C.5． 解析: 勾股定理得到：22215817=-，另一条直角边是15， 所求直角三角形面积为21158602cm ⨯⨯=．答案:260cm ．6． 解析：本题目主要是强调直角三角形中直角对的边是最长边,反过来也是成立．答案:222c b a =+，c ，直角，斜，直角．7． 解析:本题由边长之比是6:8:10可知满足勾股定理，即是直角三角形．答案：直角．8． 解析：由三角形的内角和定理知三个角的度数,断定是直角三角形．答案：︒30、︒60、︒90，3．9．解析：由勾股定理知道：22222291215=-=-=AC AB BC ，所以以直角边9=BC 为直径的半圆面积为10.125π．答案：10.125π．10． 解析:长方形面积长×宽，即12长×3，长4=，所以一条对角线长为5．答案：cm 5．二、综合发展11．解析：木条长的平方=门高长的平方+门宽长的平方．答案：5m ．12解析：因为222252015=+，所以这三角形是直角三角形，设最长边（斜边）上的高为xcm ，由直角三角形面积关系，可得1115202522x ⨯⨯=⨯⋅，∴12=x ．答案：12cm 13．解析：透阳光最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.答案：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m,所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100(m2) ．14．解析：本题的关键是构造直角三角形，利用勾股定理求斜边的值是13m，也就是两树树梢之间的距离是13m，两再利用时间关系式求解.答案：6.5s．15．解析：本题和14题相似，可以求出BC的值，再利用速度等于路程除以时间后比较.BC=40米，时间是2s，可得速度是20m/s=72km/h＞70km/h．答案：这辆小汽车超速了．。
平抛运动与斜面相结合训练题大全之欧阳歌谷创编
平抛运动与斜面相结合专题训练卷欧阳歌谷（2021.02.01）一、选择题（题型注释）1．小球以水平初速v 0抛出，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为θ的斜面上，则可知小球的飞行时间是（ ） A ．θcot 0gv B ．θtan 0gv C ．θsin 0g v D ．θcos 0gv【答案】A【解析】速度方向垂直斜面，则竖直方向的分速度与速度的夹角为θ，再利用三角函数求解2．从倾角为θ的足够长的斜面上的M 点，以初速度v 0水平抛出一小球，不计空气阻力，落到斜面上的N 点，此时速度方向水平方向的夹角为α，经历时间为t 。
下列各图中，能正确反映t 及tanα与v 0的关系的图象是（ ） 【答案】D【解析】设此过程经历时间为t ，竖直位移y=221gt ，水平位移x=v 0t tanθ=xy 联立得t=gv θtan 20，得t ∝v 0，故图象AB 均错。
tanα=θtan 20==v gtv v x Y ，得tanα与v 0无关，为一恒量，故C 错，D正确。
3．（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a 、b 、c 、d 四个点，ab =bc =cd 。
从a 点正上方的O 点以速度v 0水平抛出一个小球，它落在斜面上b 点。
若小球从O 点以速度2v 0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（）A ．b 与c 之间某一点B ．c 点C ．c 与d 之间某一点D ．d 点 【答案】A【解析】当水平速度变为2v 0时，如果作过b 点的直线be，小球将落在c 的正下方的直线上一点，连接O 点和e 点的曲线，和斜面相交于bc 间的一点，故A 对。
4．如图所示，A 、B 两质点以相同水平速度在坐标原点O 沿x 轴正方向抛出，A 在竖直平面内运动，落地点为P 1，B 紧贴光滑的斜面运动，落地点为P 2，P 1和P 2对应的x 轴坐标分别为x 1和x 2,不计空气阻力，下列说法正确的是（ ） A.x 1=x 2 B.x 1>x 2C.x 1<x 2D.无法判断 【答案】C【解析】二者水平初速度v 0相同，且x 方向分运动为速度为v 0的匀速运动，x 位移大小取决于运动时间，因沿斜面滑行的加速度（a=gsinθ）小于g 且分位移比竖直高度大，所以落地用时间长，故x 2>x 1,应选C.5．如图，以s m /8.9的初速度水平抛出的物体，飞行一段时间后，垂直地撞在倾角θ为︒30的斜面上，可知物体完成这段飞行的时间为（ ） A.s 33 B.s 332 C.s 3D.s 2 【答案】C【解析】根据本题所给的信息，显然无法利用位移求解，但我们可以从速度入手，将物体撞击在斜面上的速度分解，如图所示，由几何关系可得：竖直方向做自由落体运动，由gt v y=可得6．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上的A 点处，以初速度v 1水平抛出一个小物体a ，同时小物体b 以初速度v 2沿斜面下滑，两物体同时到达斜面上的B 点．则二者的初速度v 1和v 2大小之比为[]A ．1：1B ．1：cos θC ．cos θ：1D ．1：cos 2θ【答案】B 【解析】小物体b 沿光滑斜面下滑，初速度大小为v 2，加速度大小为gsin θ．小物体a 作平抛运动，把这个运动沿斜面方向和垂直斜面方向进行分解，沿斜面方向的初速度大小为v 1cos θ，加速度大小为gsin θ．它与小物体b 的加速度相同，要相能在斜面上某点相遇，必须二者的初速度大小相等，即v 1cos θ=v 2，因此v 1：v 2=1：cos θ．B 选项正确．7．如图，斜面与水平面之间的夹角为45°，在斜面底端A 点正上方高度为6 m 处的O 点，以1 m/s 的速度水平抛出一个小球，飞行一段时间后撞在斜面上，这段飞行所用的时间为（g =10 m/s 2）A ．0.1 sB ．1 sC ．1.2 sD ．2 s【答案】A【解析】当小球垂直撞在斜面上有：tan45°=0y v gt v v.则t=v g=0.1s 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
欧阳歌谷创编 2021年2月1
三角形基础知识
欧阳歌谷（2021.02.01）
说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC 表示面积。
1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角
平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．
3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．
4．三角形的“线”与“心”：
（1）高线、垂心．
（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．
（3）中垂线、外接圆、外心．
（4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理．
（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．
（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．5．三角形的分类：
（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。
（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角
形、钝角三角形。
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一
7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）
8．三角形元素之间的关系：
（1）角与角的关系：
①内角和定理、
②外角定理
③角的性质：范围、关系．
④最大角、最小角．
⑤锐角三角形中任两角的和
（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）
（3）边与角的关系：（“三胞胎”）
①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，反之也真．
②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该三角形外接圆的直径．
③余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．
④射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边．
（4）直角三角形的性质：
①勾股定理
②两个锐角的关系
③锐角的三角函数（边与角的联系）．
④含30º角的直角三角形的性质
⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．
9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．
10．三角形面积公式：
（1）ABC S ∆111222a b c ah bh ch ===
=4abc
R =pr =． （2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==，则ABC S ∆1212||x x y y =-．
（3）若,AB AC ==c b ，则ABC S ∆=．
1．正弦定理：(2sin sin sin R C c B b A a ===R 为△ABC 外接圆
半径）。
2．余弦定理：A
bc c b a cos 2222-+=；B ac c a b cos 2222-+=；
3．射影定理：B c C b a cos cos +=；A c C a b cos cos +=； A b B a c cos cos +=。
3．三角形中三角函数的关系：由π=++C B A ，可得。
（1）C B A sin )sin(=+，…… ；C B A cos )cos(-=+，…… ； C B A tan )tan(-=+…… ；
（2）
2cos )2sin(C B A =+…… ；2sin )2cos(C B A =+…… ； 2tan )2tan(C B A -=+……。