修-习题(第一章命题逻辑)

（3）2与5都是素数。（同第4题）
（4）不但 是无理数，而且自然对数的底e也是无理数。P∧Q，T
（5）虽然2是最小的素数，但2不是最小的自然数。P∧Q，T
（6）4既不是素数，也不是偶数。
P∧Q，F
（7）小丽只能从筐里拿一个苹果或一个梨（。P∧¬ Q）∨（¬P∧Q）
（8）这学期刘晓月只能选英语或日语中的一门外语课。（同7）
(16). 中国有四大发明。
T
(17). 吸烟请到吸烟室去！
×
(18). 圆的面积等于半径的平方乘 。
(19). 只有6是偶数，3才能是2的倍数。
T T
二、将下列命题符号化，并指出真值。
（1）如果今天是1号, 则明天是2号。
(P →Q, T)
（2）如果今天是1号, 则明天是3号。
(P →Q, 不确定)
离散数学习题课（一）
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
一、判断下列语句是否是命题，若是命题，请指出是简
单命题还是复合命题，并给出其真值。
(1). 2 是无理数。
T
(2). 5能被2整除。
F
(3). 现在开会吗？
×
(4). x+5>0。
×
(5). 这朵花真好看呀！
×
(6). 2是素数当且仅当三角形有3条边。
解：
（1）不一定。当AP，BQ，CPQ时， AC BC，但AB不成立。
（2）不一定。当APQ，BP，CP时， ACBC ，但AB不成立。
（3）AB成立。
因为┐A┐B，所以┐(┐A) ┐(┐B)，即
AB成立。
八、求下列命题公式的主析取范式、主合取范式、成 真赋值、成假赋值。
（1） (P (Q ∧R)） (P∧Q∧R) 。
P Q R Q ∧R P (Q ∧R) P∧Q∧R 公式1
000 0
0
0
1(m0)
001 0
0
0
1 (m1)
010 0
0
0
1 (m2)
011 1
1
0
0 (M3)
100 0
1
0
0பைடு நூலகம்(M4)
101 0
1
0
0 (M5)
110 0
1
0
0 (M6)
111 1
1
1
1 (m7)
八、求下列命题公式的主析取范式、主合取范式、成 真赋值、成假赋值。
T
(7). 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
F
(8). 2008年十月一日天气晴好 。
T
(9). 太阳系以外的星球上有生物。
(10). 小李在宿舍里。
(11). 全体起立！
×
(12). 4是2的倍数或是3的倍数。
T
(13). 4是偶数且是奇数。
F
(14). 李明与王华是同学。
(15). 蓝色和黄色可以调配成绿色。 T
∵P∧Q 0
十、判断下面论述是否为真：” 是无理数（P）。并且
如果3是无理数（Q），则 2也是无理数（R）。另外， 只有6能被2整除（S），6才能被4整除（W）。 ”
解：命题符号化为
P∧（Q R） ∧（W S）
1∧（0 1） ∧（0 1） 1
十一、在什么情况下，下面一段论述是真的：“ 说小王不会唱歌或小李不会跳舞是正确的，而说 如果小王会唱歌，小李就会跳舞是不正确的”。 解：命题符号化为
（9）他一边吃饭，一边看电视。（类似4）
（10）除非天下大雨，否则他不乘公共汽车上班。 ¬P → ¬ Q
（11）只有6是偶数（P），3才能是2的倍数（Q）。(Q→P, T)
（12）只要2<1（P），就有3<2（Q）。 （13）如果2<1，则3≥2。 （14）只有2<1，才有3≥2。 （15）除非2<1，才有3≥2。 （16）除非2<1，否则3<2 。 （17）2<1仅当3<2 。
六、已知真值函数F，G，H，R的真值表如下所示， 分别给出用下列联结词集合中的联结词表示的与F， G，H，R等值的一个命题公式。
真值表
PQ
F
G
H
R
00
0
0
1
1
01
0
1
0
1
10
1
0
1
1
11
0
1
0
0
（1）{∧，┐}，（2） {∨，┐}， （3） {→ ，┐}
（1）{∧，┐}， F p∧┐q, G q ┐(┐q∧┐q), H ┐ q (┐q∧┐q), R ┐( p∧q)。
（4）¬P→¬Q，如果俄罗斯不位于南半球，则亚洲人口不最多。F
四、设p,q的真值为0，r,s的真值为1，求下列各命题 公式的真值。 (1) p∨(q∧r) 0∨(0∧1) 0;
(2) (p ↔r)∧(┐q∨s) (0 ↔1)∧(1∨1) 0;
(3) (p∧(q∨r))→((p∨q)∧(r∧s)) (0∧(0∨1))→((0∨0)∧(1∧1)) 1。
（2） {∨，┐}， F ┐( ┐p∨ q) , G q ┐(┐q ∨ ┐q), H ┐ q (┐q ∨ ┐q), R ┐p∨ ┐q 。
（3） {→ ，┐}，
F ┐(p→q) ，
G q ┐q → q,
H ┐q q → ┐ q, R p→ ┐q 。
七、设A，B，C为任意的命题公式。 （1）已知ACBC，问AB吗？ （2）已知ACBC，问AB吗？ （3）已知┐A┐B，问AB吗？
五、判断下命题公式的类型，方法不限。 (1) p →（p∨q∨r) ┐p∨p∨q∨r 1(永真）;
(2) (p→┐p) →┐p(┐p∨┐p) →┐pp∨┐p1(永真）;
(3) ┐(p→q)∧q ┐(┐p∨q)∧q p∧ ┐q∧q 0 (永假）;
(4) (p→q)→（┐q→ ┐p) (┐p∨q)→(q∨┐p) (p∧ ┐q)∨(q∨┐p) (p∨q∨┐p)∧(┐q∨q∨┐p) 1
（2） ┐ (P Q)∧Q∧R 。
P Q R P Q ┐ (P Q) Q∧R 公式2
000 1
0
0
0(M0)
001 1
0
0
0 (M1)
010 1
0
0
0 (M2)
011 1
0
1
0 (M3)
100 0
1
0
0 (M4)
101 0
1
0
0 (M5)
110 1
0
0
0 (M6)
111 1
0
1
0 (M7)
九、设P：王冬生于1971年，Q：王冬生于1972年 ，说明命题“王冬生于1971年或1972年”既可以 符号化为“（P∧¬Q）∨（¬ P∧Q）”，又可以 符号化为 “P∨Q” 的理由。
P →Q, T P →Q, T ¬Q→P, F ¬Q→P, F ¬P →Q, F P →Q, T
三、设P：俄罗斯位于南半球，Q：亚洲人口最多。将下面命题用
自然语言表述，并指出真值。
（1） Q→P ，如果亚洲人口最多，则俄罗斯位于南半球。F
（2） ¬P→Q，如果俄罗斯不位于南半球，则亚洲人口最多。T
（3） P→ ¬ Q，如果俄罗斯位于南半球，则亚洲人口不最多。F