固体物理(第11课)索末菲模型

通 金kkkzxy过属 周中222LLL期电nnn性子zxy 边的nnnz界能xy条量ZZZ件是导不E致连 了续22mk波的2 矢、 2k分mh的立2L2量的n子x2，化每n2y。一 n组z2 nx、
ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。
•三维金属自由电子的能级
设一电子在边长为L的立方体金属块中运动，取势阱内 Ep (x, y, z) 0
三维定态薛定谔方程式为：
2
x2

2
y 2

2
z 2

8 2m
h2
E
(
x,
y,
z
)

0
驻波边界条件：
x 0, (x) 0; x L, (x) 0 y 0, ( y) 0; y L, ( y) 0 z 0, (z) 0; z L, (z) 0
子的薛定谔方程。
8.2.2索末菲电子气的能量状态
8.2.2.1 无限势阱 定态薛定谔方程的解
一维金属晶体中自由电子的能级
Ep (L) E0 (L) 0 Ep (L)
Ep (0) 0
2 8 2m E ( x) 0
x 2
h2
边界条件：x=0,(x)=0; x=L,(x)=0

i
t
式中Ψ Ψ(x,y, z,t)是粒子在势场V x,y,z,t中运动
的波函数。
2. 定态薛定谔方程：
在恒定势场条件下，即V x, y, z,t V x, y, z
波函数应有以下形式：( x,
y,
z,t)


i
e
E t
其空间部分ψ ψ(x, y, z)应满足如下方程：
将其代入薛定谔方程 ,并把方程两边用 (r) f (t)去除
得到
i df 1 [- 2 2 U (r) ] f dt 2m
上式左边只含 t,而右边只含 r, t和r是互相独立的变量,
所以只有两边都等于同 一常量时,等式才被满足 ,
以E表示这个常量.
由等式左边得到 i df E 即 i df Ef
PE

k
能量不连续
5.2.1 索末菲自由电子气模型
• 独立电子：电子之间无相互作用 • 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 • 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 • 引入了泡利不相容原理 • 服从费米－狄喇克统计分布 • 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由电
(0, y, z) (L, y, z); (x, 0, z) (x, L, z) (x, y, 0) (x, y, L)
有此求得波矢
kx

2 nx
L
;ky

2 ny
L
; kz

2 nz
L
自由电子定态波函数的行波解为：
(r)

(
1
3
)2
ei (kx xky y kz z )
z0 zL 0
ห้องสมุดไป่ตู้

E

(2 L)3 2sin(
L
2k 2 2m

h2 2mL2
nx
x)sin(

L
n
y
nx2

n
2 y

nz2
y)sin(

L
nz
z)
❖ 该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平 均速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电 子的输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行 波解。
V ( x, y, z) 几0率函值，数，波U对函0x为,应数 y算,归的zx符,一y粒,F0化zˆ子或的条运件本xL,：动y征,z状函态数2L称d，r为而1本此征时态U 。
Hˆ E 在金属内部有：
－ 2 2
2m

E


E

Aeikr 2k 2
2m
Ae i kx xky ykzz
2dr 1 A2dr 1 A2V A2L3 1 A 1 L3/2


V
第一采种用解分离法变：量驻法，波并解代入固定边界条件：

x0 y0
xL yL

0 0，可得到方程的解为：
ny Z k kxI kyJ kzK
nz Z

2nx
I
2ny
J
2nz
K
L
L
L
其中 L Na a为晶格常数
k
2
nx
I
2
ny
J
2
nz
K
L
L
L
k空间 波矢空间 状态空间
Kx

nx L1

Ky
算符 [- 2 2 U (r)] 称为哈密顿算符,通常以H或Hˆ 表示 2m
于是上式可写成 H E
这种方程称为本征值方 程, E称为算符H的本征值, 称为
算符H的本征函数 .
如果U(r)不含时间,自由粒子的薛定谔方程 的解
可以用分离变量法简化 考虑写成下列形式：
(r, t) (r) f (t)
E p2 U(r) 2m
上式两边同乘以波函数 (r, t),并以算符i 和 i分别 t
代替E和p,得到下列方程
i - 2 2 U (r) t 2m
或
E - 2 2 U (r) [- 2 2 U (r)]
2m
2m
上式称为薛定鄂方程

2 2m
2
x2
V x, y, z

E ,定态薛定谔方程
(x, y, z) 粒子的定态波函数
5.2.2 单电子的本征态和本征能量
1.电子气的本征态 设Fˆ为算符，U为一个函数，为常数。 设一金属为立方2若表体有示，空FˆU间其某边点U长处，为单则位L称。 体积为且元算中有符粒：F子ˆ的出本现征的
的平面波 :
i ( prEt)
Ae 这种波称为德布罗意波
i ( prEt)
对自由粒子波函数 Ae
求偏微商,得到
i E t
由上式可得 i E 即E与算符i 相当
t
t
i ( prEt)
对自由粒子波函数 Ae
进行二次偏微商,得到
ny2
nz2 )
电子的状态可以有一组正整数来确定，波函数所描 述的金属块中的电子是在势垒的反射下做来回往复的运 动，尽管电子并不是静止的，但电子的平均动量和平均 速度等于零，与实际不符。此外，对于驻波态的解，当 L趋于无穷大，得不到平面波。
人们采用波恩-卡门条件即所谓的周期边界条件让电 子波函数能够在三维相界面上周期性重现，来求得行波 解。
波矢k
E

Aeikr Ae i kx xk y ykzz
2k 2 2m

h2 2mL2
nx2

n
2 y

nz2
kx k y kz

2
L
2
L
2
L
nx ny nz
nx Z
0 nx,ny,nz N
第二 种Ae解ikr法 ：A行ei波kx x解ky ykzz
它是自由电子波函 数，是前进的平面 波，称为行波解
x L x eikxL 1 周期性边界条件： y L y eikyL 1
z L z eikzL 1
f dt
dt
由等式左边得到 - 2 2 U (r) E
2m
解出
iE t
f(t) Ce
iE t
则有 (r, t) (r)Ce
薛定谔方程简介
1. 含时薛定谔方程：

2 2m
2 ( x2

2 y 2

2 z 2
)

V
x,
y,
z, t
Acos[2 ( x t)]
如果波沿单位矢量 n的方向传播,则
Acos[2 ( r n t)]
Acos[k r t] 其中k 2 n 2
将其改写成复数形式 : Aei(krt)
将P k和E 代入上式,得到与自由粒子联系
晶面的面间距。
➢ 故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子
波长 为na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长
度L，且该平面波与晶面垂直。 ➢ 可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用
了波恩-卡门周期性边界条件。 ➢ 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩
-卡门周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求
L
补充
3. 自由粒子的能量 E,动量P,波长,频率满足以下方程： E h
P h n k

上述公式称为德布罗意 公式.由于自由粒子能量和动 量都 是常数,所以由德布罗意公式可 知,与自由粒子联系的波 ,
平面波. 它的频率和波矢 (或波长 )都不变,即它是
波长,频率 ,沿x方向传播的平面波可用 下式来表示 :
归一化条件：
V
| (x,
y, z) |2dV
1
0
采用分离变量法求解，令 (x, y, z) x (x) y ( y) z (z)
经上 解得电子的波函数的驻波解

(x,
y,
z)

(
1
)
3 2
sin
nx
x sin ny
y sin nz
z
L
L
L
L
电子的能量
E

h2 8mL2
(nx2
(r, t)
其中是劈形算符, i j k x y z
由上式可得 : - 22 p2(r, t),即p与算符 i相当.
利用能量动量关系式
E p2 2m
得到
i - 2 2 t 2m
设粒子在力场中的势能 为U(r), 则粒子能量和动量关系 式为

ny L2

Kz

nz L3

其中
n n
x y


0,1,2



nz

图2.5 K空间的状态分布
• 由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每
个能带中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很 大，一个能带中众多的能级可以近似看作是连续 的，称为准连续。 • 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反 的电子，所以每个能带可以容纳2N个电子。
波函数在X=0~L区间归一化
解得自由电子的波函数是：
(x) 2 sin n x
LL
自由电子的能量是：
E

h2
8 2m
k2

h2
8 L
n2
式中，n=1,2,3﹍这正 好表明金属丝中自由 电子的能量不是连续 的，此处的n仅代表 自由电子的可取能级。 每个能级可容纳两个 自旋方向相反的电子。
8.2 索末菲的量子自由电子论
• 前提:物理学家泡利提出了不相容原理：一切由自旋 等于半整数的粒子——费米子组成的系统中，不能有 两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。这一原 理推动了电子自旋概念的确立。
• 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计 基础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米－ 狄喇克统计分布。
同理有
2 t 2


Ap
2 x
2
e
i(
px
x

p
y

y

pz
z

Et
)


px2 2
(r, t)
2 t 2


p
2 y
2
(r, t )
2 t 2


p
2 y
2
(r, t)
将以上三式相加得
同理有
2 x 2

2 y2

2 z 2

2


p2 2
作业
• 1 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特鲁 德模型的区别.
• 2 写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态薛 定谔方程及电子的波函数,利用周期性边界条
3. 件条金属 推件中导. 能金量属E中 2电4mh子L22 的的能能级量对.应说多明少量种子量化子成态，立的
对应多少种波函数？
在k空间中：
1.
每个k点占据的体积： 2
3


8 3
L V
2.（单位体 k点积的中分含布有密的度k点数）：
L
2
3


V
8
3
3.
单位体积对应的量子态数目：2
L
2
3＝4V
3
说明
➢ 电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波
长由k确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢 量b都与晶格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族