索末菲模型

利 能 动 关 式 用 量 量 系
∂Ψ h2 2 =∇Ψ 得 到 ih ∂t 2m 设 子 力 中 势 为 (r), 则 子 量 动 关 式 粒 在 场 的 能 U 粒 能 和 量 系 为 p2 E= +U(r) 2m
∂ − 上 两 同 以 函 Ψ r,t),并 算 ih 和 ih分 式 边 乘 波 数 ( 以 符 别 ∂t 代 E p,得 下 方 替和 到 列 程 ∂Ψ h2 2 ih =∇ Ψ+U(r)Ψ ∂t 2m 2 2 h 2 h 2 或 E =Ψ ∇ Ψ+U(r)Ψ=[∇ +U(r)]Ψ 2m 2m 上 称 薛 鄂 程 式 为 定 方 h2 2 算 [符 为 密 算 , 常 H H 示 ∇ +U(r)]称 哈 顿 符通 以 或ˆ 表 2m 于 上 可 成 H =E 是 式 写 Ψ Ψ 这 方 称 本 值 程E 为 符 的 征 , Ψ 为 种 程 为 征 方 , 称 算 H 本 值 称 算 H 本 函 . 符 的 征 数
5.2.2 单电子的本征态和本征能量
1.电子气的本征态 ˆ 电子气的本征态 F 算 ，为 个 数 λ 常 。 设 为 符 U 一 函 ，为 数 设 金 为 方 有ˆU = λU 为称 为 有F的 征 一 属 立 2 体F 其 长 则 。 算 ： 本 ， 边 ， L λ 且 符ˆ 若
有 间 点， 位 λ 元 符 的现 Ψ 若 空 = λ 处 则 体为 中 子 本的 表 示 某 单 称 算粒 出 征 积
x y z
e =A
它是自由电子波函 数，是前进的平面 波，称为行波解
2 π kx = L ⋅ nx nx ∈Z π h2 2 h2k2 2 (nx +n2 +nz2) ky = = ⋅ ny ny ∈Z ⇒E = y 2 L L 2m 2m π 通过周期性边界条件导致了波矢k 的量子化。 kz = 2 ⋅ nz nz ∈Z L 金属中电子的能量是不连续的、分立的，每一组nx、
作业
1 简要说明索末菲模型的主要内容.及其与特鲁德模 型的区别. 2 写出单电子近似条件下,金属晶体中的定态薛定谔 方程及电子的波函数,利用周期性边界条件推导金属 中电子的能量.说明量子化成立的条件.
2 2 2 2 3
第一种解法：驻波解
采 分 变 法 并 入 定 界 件 用 离 量 ， 代 固 边 条 ：
ψ x=0 =ψx=L = 0 可 到 程 解 ： ψ y=0 =ψy=L = 0， 得 方 的 为 ψ z=0 =ψz=L = 0 π π π 32 ( ( ( ψ = (2 L) sin L nxx)sin L ny y)sin L nzz) h2k2 h2 2 E = (nx +n2 +nz2) = y 2 2m 2m L
i ( p⋅r−Et) Ψ= A h e
这 波 为 布 意 种 称 德 罗 波
i ( p⋅r−Et) 对 由 子 函 Ψ= A h 自 粒 波 数 e 求 微 ,得 偏 商 到
∂Ψ i =− E Ψ ∂t h ∂Ψ ∂ 由 式 得 ih 上 可 = E 即 与 符h 相 Ψ E 算 i 当 ∂t ∂t
ny、 nz确定了一个波矢k，对应两个量子态。
波矢k
= Ae = Aei(kxx+ky y+kzz) ψ h2k2 h2 2 (nx +n2 +nz2) E= = y 2m 2m 2 L π 2 0 < n x , n y , nz ≤ N kx = L ⋅ nx nx ∈Z v v v v 2 π ⋅ ny ny ∈Z ⇒k = kxI +kyJ +kzK ky = L π kz = 2 ⋅ nz nz ∈Z L π 2 nx v 2 ny v 2 nz v π π I+ = J+ K L L L 其 中 L= N a a为 格 数 晶 常
图2.5 K空间的状态分布
由于每一个k对应于一个能量状态(能级)，每个能带 中共有N个能级，因固体物理学原胞数N很大，一个能 带中众多的能级可以近似看作是连续的，称为准连续。 由于每一个能级可以容纳两个自旋方向相反的电子， 所以每个能带可以容纳2N个电子。
v 在空 中 k 间 ：
3 v 2 8 3 π π 1. 每 k点 据 体 ： 个 占 的 积 = V L v 3 k点 分 密 的 布 度 V L v 2. ： = 3 π π （ 位 积 含 的 点 ） 2 8 单 体 中 有 k 数
λ
如 波 单 矢 n的 向 播则 果 沿 位 量 方 传 ,
π Ψ= Acos[2 (
来自百度文库
r⋅ n
λ
−νt)]
= Acos[k ⋅ r −ω ] t 将 改 成 数 式: 其 写 复 形 Ψ= A i(k⋅r−ωt) e
π 其 k =2 中
n
λ
ω = 2π ν
将 = hk和 = hω 入 式得 与 由 子 系 代 上 , 到 自 粒 联 P E 的 面 : 平 波
vv ik⋅r
v 2 ⋅ nx v 2 ⋅ ny v 2 ⋅ nz v π π π I+ K k= J+ L L L
v k空 间 矢 间 波 空 状 空 态 间
nx Kx = L1 ny Ky = L2 nz Kz = L3
其中
nx n y = 0, 1, 2 ⋅ ⋅ ⋅ ± ± nz
λ
上 公 称 德 罗 公 . 于 由 子 量 动量 述 式 为 布 意 式 由 自 粒 能 和 都 是 数 所 由 布 意 式 知与 由 子 系 波, 常 , 以 德 罗 公 可 , 自 粒 联 的 它 频 和 矢或 长 都 变即 是 的 率 波 ( 波 ) 不 , 它
平 波 面 .
波 λ,频 ν,沿 方 传 的 面 可 下 来 示: 长 率 x 向 播 平 波 用 式 表 x Ψ= Acos[2 ( −νt)] π
如 U 不 时 ,自 粒 的 定 方 的 果 (r) 含 间 由 子 薛 谔 程 解 可 用 离 量 简 考 写 下 形 ： 以 分 变 法 化 虑 成 列 式 Ψ t) =ψ(r) f (t) (r, 将 代 薛 谔 程并 方 两 用ψ(r) f (t)去 其 入 定 方 , 把 程 边 除 ih df 1 h2 2 得 到 = [∇ ψ +U(r) ] ψ f dt ψ 2m 上 左 只 t,而 边 含 ,t和 是 相 立 变 , 式 边 含 右 只 r r 互 独 的 量 所 只 两 都 于 一 量 ,等 才 满 , 以 有 边 等 同 常 时 式 被 足 以表 这 常 . E 示 个 量
平均势能为能量零点，电子处于无限深度的势阱内， 需作功才能逸出,电子的运动满足薛定谔方程。
设 金 为 方 ， 边 为 且 ： 一 属 立 体 其 长 L。 有 0 V(x, y, z) = ∞ 0 < x,y,z < L x,y,z ≤ 0或 x,y,z ≥ L
L=N×a
补充
3. 自 粒 的 量E,动 P,波 λ,频 ν满 以 方 ： 由 子 能 量 长 率 足 下 程 E = hν h P = n = hk
i ( p⋅r−Et) 对 由 子 函 Ψ= A h 自 粒 波 数 e 进 二 偏 商得 行 次 微 , 到
同 有 理
h 2 px = − 2 Ψ r,t) ( h 2 p2 ∂Ψ y = − 2 Ψ r,t) ( 2 ∂t h
∂ ∂t
2
Ψ Ax p2 =− 2 2
i ( px⋅x+py⋅y+pz⋅z−Et) h e
0 值 U < x,y,z的L征 数 而 时 ，0 算 F <本 函2 ， 此 U 为 符ˆ V(x, y, z) = 率 波 数 一 条 ： Ψ dr =1 几 ， 函 归 化 件 或 动 称 函 对 的 子x,y,z ≥ L 本 态 应 粒 状 ∞ 数 x,y,z ≤ 0 运 Ω 态 为 征 。
在 定 场 件 ， V( x, y, z,t) =V( x, y, z) 恒 势 条 下 即 波 数 有 下 式 Ψ x, y, z,t) =ψ ⋅ e 函 应 以 形 ： (
E −i ⋅t h
2. 定 薛 谔 程 态 定 方 ：
其 间 分 =ψ , y, z)应 足 下 程 空 部 ψ (x 满 如 方 ： h2 ∂2 ψ ψ ψ 态 定 方 − +V( x, y, z) = E ,定 薛 谔 程 2 2m ∂x ψ =ψ(x, y, z) 粒 的 态 函 子 定 波 数
L V 3. 单 体 对 的 子 数 ： × ＝ 3 位 积 应 量 态 目 2 π π 2 4
3
说 明
电子以平面简谐波形式存在于金属晶体中，其波长由k 确定，而k又取决于倒易矢量b，每个倒易矢量b都与晶 格点阵中的一族晶面垂直，且代表这族晶面的面间距。 故k的取值为l×b/n，即l×2π/na时，意味着电子波长 为 na/l，即L/l， na代表了某方向的晶体的长度L，且该平面 波与晶面垂直。 可见金属晶体边长L是电子波长的l倍，这里采用了波恩 -卡门周期性边界条件。 驻波一定要求格波在边界处为0，相比之下，波恩-卡门 周期性边界条件是一种行波，比驻波的要求更加宽松。
5.2 索末菲自由电子论
前提:1925年1月，物理学家泡利提出了不相容原理：一 切由自旋等于半整数的粒子——费米子组成的系统中， 不能有两个或两个以上的粒子处于完全相同的状态。 这一原理解释了原子的电子壳层结构和元素周期律，推 动了电子自旋概念的确立。 费米和狄拉克分别在泡利不相容原理及玻尔兹曼统计基 础上,提出电子服从某一统计规律,后来称为费米－狄喇 克统计分布。电子、质子、中子（全同粒子）
ih df df 由 式 边 到 等 左 得 = E 即 ih = Ef f dt dt h 2 由 式 边 到等 左 得 ∇ ψ +U(r) = Eψ ψ 2m 解 出 则 有
iE − t f(t) =C h e iE − t Ψ r,t) =ψ(r)C h ( e 2
薛定谔方程简介
1. 含 薛 谔 程 时 定 方 ： h2 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ ∂Ψ − ( 2 + 2 + 2 ) +V( x, y, z,t)Ψ= ih 2m ∂x ∂y ∂z ∂t 式 Ψ =Ψ , z,t)是 子 势 V( x,y,z,t) 运 中 (x,y 粒 在 场 中 动 的 函 。 波 数
fFD(E,T) =
1 1+e
(E−EF ) kBT
E = hω v 能 不 续 量 连 v P = hk
5.2.1 索末菲自由电子气模型
独立电子：电子之间无相互作用 自由电子：近似于自由电子,即单电子近似。 忽略离子作用，不考虑碰撞，忽略晶格周期场。 引入了泡利不相容原理 服从费米－狄喇克统计分布 根据量子力学的波动现象，电子的波函数满足自由 电子的薛定谔方程。
∫
= Ae = Aei(kxx+ky y+kzz) ψ 2 h 2 2 2 － ∇ψ = Eψ ⇒ hk 2m E = 2m
vv ik⋅r
ˆψ H = E ⇒在 属 部 ： ψ 金 内 有
1 − ψ dr =1⇒ A dr =1⇒ V = A L =1⇒A= A = L 3/ 2 ∫Ω ∫Ω V
∂Ψ = − 2 Ψ r,t) ( 2 ∂t h
2
p2 y
将 上 式 加 以 三 相 得 ∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ p2 + 2 + 2 = ∇2Ψ= − 2 Ψ r,t) 同 有 理 ( 2 ∂x ∂y ∂z h ∂ ∂ ∂ 其 ∇ 劈 算 , ∇= i + j +k 中 是 形 符 ∂x ∂y ∂z 由 式 得: 上 可 - h2∇2Ψ= p2Ψ r,t),即 与 符−ih相 . ( p 算 当 p2 E= 2m
该解称为驻波解，表示晶体内电子的平均动量和平均 速度为0，和实际不符，不利于处理金属内部电子的 输运问题。所以选用周期性边界条件，获得行波解。
第二种解法：行波解 vv i(kx x+ky y+kzz) ik⋅r
ψ = Ae
ψ(x + L) =ψ(x) eik L =1 ik L 周 性 界 件 ( y + L) =ψ( y) ⇒e =1⇒ 期 边 条 ：ψ (z + L) =ψ(z) eik L =1 ψ