第四章随机信号分析基础习题
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(1)如果所遇的问题中，平稳过程有非零均值，这时正常 意义下的付氏变换不存在，但非零均值可用频域原点处的 δ-函数表示。该δ-函数的权重即为直流分量的功率。
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
4. 若随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，RXY(τ)绝对可积， 则互谱密度和互相关函数构成傅里叶变换对，即:
GXY ( )
R
XY
(
)e
j
d
GYX ( )
RYX
(
)e
j
d
RXY
( )
1
2
G
XY
(
)e
j
d
RYX
( )
1
2
GYX
(
)e
j
d
4.4 互谱密度及其性质 5. 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX
RN (0) mN2
N0 ( )
2
N0 (0)
2
1 0
( 0) ( 0)
上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多 么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化 极快，而过程的功率谱极宽。
与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。
4.5 功率谱估值的经典方法
1. 周期图法
(t)
1
cos0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
0,
其他
1
2 ()
( 0 ) ( 0 ) rect ( )
2a
a2 2
a2
a
( 0 )2
a2
a
( 0 )2
sin 2 ( )
2
( )2
2
4.3 功率谱密度的性质
性质1： 非负性， Gx(ω)≥0 性质2： GX(ω)是实函数
Gˆ X ()
1 N
X N ( ) 2
式中XN(ω)是xN(0≤n≤N—1)的N点DFT。
2. Blackman-Tukey(BT法)
N
Gˆ X ( ) Rˆ X (k)e jkTS k N
直接采用上面两个公式的估值方法最大的问题是这个估计量不是
功率谱密度仅表示X(t)的平均功率在频域上的分布，不包 含任何相位信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
维纳－辛钦定理
SX ( )
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
成立条件是Rx(τ)和Sx(ω)绝对可积
RX ( )d
SX ( ) d
即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成 分
Re[GXY ( )] Re[GXY ( )] Re[GYX ( )] Re[GYX ( )] Im[GXY ( )] Im[GXY ( )] Im[GYX ( )] Im[GYX ( )]
3.若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有
GXY ( ) 0
GYX ( ) 0
4.4 互谱密度及其性质
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 维纳－辛钦定理
当τ=0时
RX
(0)
E[ X
2 (t)]
1
2
SX ( )d
可知
RX (0) E[ X 2 (t)]
是平稳随机过程X(t)的平均功率。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
维纳－辛钦定理
我们借助于δ-函数，将维纳-辛钦公式推广应用到含有直流 或周期性成分的平稳过程中来。
XY ( )
GXY ( ) GX ( )GY ( ) 1/ 2
相干函数用于数据分析，系统辨识和功率谱估计
4.5 白噪声
白噪声定义
SN ( )
N0 2
利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：
RN ( )
N0 2
( )
4.5 白噪声
白噪声特性
N
(
)
CN ( N2
)
RN ( ) mN2
第四章 随机信号的功率谱密度
4.1 功率谱密度 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 4.3 功率谱密度的性质 4.4 互谱密度及其性质 4.5 白噪声与白序列 4.6 功率谱估值的经典方法
4.1 功率谱密度 确定时间函数
频谱 能量
能谱密度
S( ) s(t)e jtdt
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：
W E[W ]
1T
2
lim
E[ X (t) ]dt
T 2T T
1
2
GX ( )d
*(, )YT
2T
(,
)]
lim
T
E[
X
T
(, )YT
2T
(
,
)]
4.4 互谱密度及其性质 互谱密度性质
1. GXY () GYX () GY*X () GX*Y ()
2. Re[GXY(ω)]和Re[GYX(ω)]实部是ω的偶函数； Im[GXY(ω)]和Im[GYX(ω)]虚部是ω的奇函数。
和mY，则
GXY ( ) GYX ( ) 2mX mY ( ) RXY ( ) E[ X (t)Y (t )] E[ X (t)]E[Y (t )]
mXmY R YX ( )
6. 互谱密度的幅度平方满足
GXY () 2 GX ()GY ()
4.4 互谱密度及其性质 相干函数定义
性质3： Gx(ω)是偶函数，即 GX ( ) GX ( )
性质4： GX ' () 2GX ()
其中X '(t) dX (t) / dt
4.3 功率谱密度的性质
性质5：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密 度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理函数形式 的功率谱密度来逼近。它应具有如下形式：
E s2 (t)dt 1
2
S( ) d
2
时域内信号的能量等于频域内信号的能量
S () 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
E
Tlim
1 2T
X
T
(
,
)
2
lim 1 T 2T
GX
( )
G0
2n 2m
a 2n2 2n2
a0
b2 m2 2m2 b0
4.4 互谱密度及其性质 互谱密度
定义实过程X(t)和Y(t)的互谱密度函数为
GYX
(
)
lim
T
E[YT
*
(
, ) XT
2T
(Baidu Nhomakorabea
,
)]
lim
T
E[YT
(, )
2T
X
T
(,
)]
GXY
(
)
lim
T
E[
XT
(2)当平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成 分就在频域的相应频率上产生δ-函数。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 典型的傅氏变换
4. 若随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，RXY(τ)绝对可积， 则互谱密度和互相关函数构成傅里叶变换对，即:
GXY ( )
R
XY
(
)e
j
d
GYX ( )
RYX
(
)e
j
d
RXY
( )
1
2
G
XY
(
)e
j
d
RYX
( )
1
2
GYX
(
)e
j
d
4.4 互谱密度及其性质 5. 若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX
RN (0) mN2
N0 ( )
2
N0 (0)
2
1 0
( 0) ( 0)
上式表明；白噪声在任何两个相邻时刻(不管这两个时刻多 么邻近)的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏变化 极快，而过程的功率谱极宽。
与连续的白噪声过程相对应的随机序列则是白序列。
4.5 功率谱估值的经典方法
1. 周期图法
(t)
1
cos0t
sin(t / 2)
2 t / 2
ea
ea cos0
1 , 1
0,
其他
1
2 ()
( 0 ) ( 0 ) rect ( )
2a
a2 2
a2
a
( 0 )2
a2
a
( 0 )2
sin 2 ( )
2
( )2
2
4.3 功率谱密度的性质
性质1： 非负性， Gx(ω)≥0 性质2： GX(ω)是实函数
Gˆ X ()
1 N
X N ( ) 2
式中XN(ω)是xN(0≤n≤N—1)的N点DFT。
2. Blackman-Tukey(BT法)
N
Gˆ X ( ) Rˆ X (k)e jkTS k N
直接采用上面两个公式的估值方法最大的问题是这个估计量不是
功率谱密度仅表示X(t)的平均功率在频域上的分布，不包 含任何相位信息。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
维纳－辛钦定理
SX ( )
RX
(
)e
j
d
RX
(
)
1
2
S
X
(
)e
j
d
成立条件是Rx(τ)和Sx(ω)绝对可积
RX ( )d
SX ( ) d
即随机过程平均功率有限，应不能含有直流成分或周期性成 分
Re[GXY ( )] Re[GXY ( )] Re[GYX ( )] Re[GYX ( )] Im[GXY ( )] Im[GXY ( )] Im[GYX ( )] Im[GYX ( )]
3.若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有
GXY ( ) 0
GYX ( ) 0
4.4 互谱密度及其性质
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 维纳－辛钦定理
当τ=0时
RX
(0)
E[ X
2 (t)]
1
2
SX ( )d
可知
RX (0) E[ X 2 (t)]
是平稳随机过程X(t)的平均功率。
4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系
维纳－辛钦定理
我们借助于δ-函数，将维纳-辛钦公式推广应用到含有直流 或周期性成分的平稳过程中来。
XY ( )
GXY ( ) GX ( )GY ( ) 1/ 2
相干函数用于数据分析，系统辨识和功率谱估计
4.5 白噪声
白噪声定义
SN ( )
N0 2
利用傅立叶反变换可求得白噪声的自相关函数为：
RN ( )
N0 2
( )
4.5 白噪声
白噪声特性
N
(
)
CN ( N2
)
RN ( ) mN2
第四章 随机信号的功率谱密度
4.1 功率谱密度 4.2 功率谱密度与自相关函数之间的关系 4.3 功率谱密度的性质 4.4 互谱密度及其性质 4.5 白噪声与白序列 4.6 功率谱估值的经典方法
4.1 功率谱密度 确定时间函数
频谱 能量
能谱密度
S( ) s(t)e jtdt
E
XT (, ) 2
Gx(ω)被称为随机过程X(t)的功率谱密度函数，功率谱密 度是从频率角度描述随机过程X(t)的统计特性的最主要的 数字特征。
4.1 功率谱密度 随机过程
随机过程X(t)的平均功率为：
W E[W ]
1T
2
lim
E[ X (t) ]dt
T 2T T
1
2
GX ( )d
*(, )YT
2T
(,
)]
lim
T
E[
X
T
(, )YT
2T
(
,
)]
4.4 互谱密度及其性质 互谱密度性质
1. GXY () GYX () GY*X () GX*Y ()
2. Re[GXY(ω)]和Re[GYX(ω)]实部是ω的偶函数； Im[GXY(ω)]和Im[GYX(ω)]虚部是ω的奇函数。
和mY，则
GXY ( ) GYX ( ) 2mX mY ( ) RXY ( ) E[ X (t)Y (t )] E[ X (t)]E[Y (t )]
mXmY R YX ( )
6. 互谱密度的幅度平方满足
GXY () 2 GX ()GY ()
4.4 互谱密度及其性质 相干函数定义
性质3： Gx(ω)是偶函数，即 GX ( ) GX ( )
性质4： GX ' () 2GX ()
其中X '(t) dX (t) / dt
4.3 功率谱密度的性质
性质5：有理谱密度是实际应用中最常见的一类功率谱密 度，自然界和工程实际的有色噪声常常可用有理函数形式 的功率谱密度来逼近。它应具有如下形式：
E s2 (t)dt 1
2
S( ) d
2
时域内信号的能量等于频域内信号的能量
S () 2
4.1 功率谱密度 随机过程
随机信号的能量一般是无限的，但是其平均功率是有限的。 因此可推广频谱分析法，引入功率谱的概念。
GX () E[GX (, )]
E
Tlim
1 2T
X
T
(
,
)
2
lim 1 T 2T
GX
( )
G0
2n 2m
a 2n2 2n2
a0
b2 m2 2m2 b0
4.4 互谱密度及其性质 互谱密度
定义实过程X(t)和Y(t)的互谱密度函数为
GYX
(
)
lim
T
E[YT
*
(
, ) XT
2T
(Baidu Nhomakorabea
,
)]
lim
T
E[YT
(, )
2T
X
T
(,
)]
GXY
(
)
lim
T
E[
XT