(完整word版)初一数学组拓展性课程案例.docx

分类讨论思想运用与数学拓展课课例的实践研究

东林中学——初一年级组关键词：运用数学方法分类讨论思想

实践研究的反思教科研成果的引成

数学思想方法是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是人脑思维加

工的产物，是人们对现实世界空间形式和数量关系的本质的认识，是数学概念、法则、公式、公理、定理等知识的提升。数学思想方法反映了这些知识的共同本质，具有更高的概括性和

抽象性，因而更深刻、更本质。而数学思想方法的应用对数学教学具有更高的实践意义和

价值。

《新课程标准》中明确指出“不仅要关注学生对数学知识、技能、思想方法的掌握，

关注其数学能力的发展，而且要有助于学生体验数学的思维方式和方法，形成良好的数学思

维品质，促使学生的数学素质得到全面提高” 。对数学思想方法也有了明确的要求，知道数学

思想方法在进行数学思考和解决问题中的作用，逐步体会字母表示数的思想、化归思想、

方程思想、函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、分解与组合思想等基本数学思想。基

于上述标准，可见中学阶段对学生在数学基本知识、基本技能基础上，对学生进行数学思想方

法教育的重要地位。而“渗透” 、“介绍”、“运用”数学思想方法必须要靠教师有意识的去

“挖掘”、“体现”、“拓展”和“提升” 。

数学方法的要点：关注过程性变式与数学课例的研究

著名数学家奥苏贝尔指出，“合理的联系”就是要寻找可以关联新旧知识的“知识固着点”，就是要找到合适的铺垫。而关注过程性变式正是让学生学会运用数学思想方法的关键。

“合理的联系”实践可表示为：

课程目标

一、根据学生解题的认知局限，培养学生分类讨论的意识。

二、遵循学生的认知规律，让学生掌握分类讨论的正确方法。

三、进行专题性、系统性训练，提升学生分类讨论的能力。

课程实施

第 1 讲分类讨论方法在绝对值中的应用

当一个数学问题涉及多种情况，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，

然后对每一种情况分别进行讨论，这种分析、分类、讨论、归纳的解题方法就是分类讨论的方法。

分类讨论要根据引发讨论的原因，确定讨论的对象及分类的方法，分类讨论时要做到不

遗漏、不重复。同时，分类讨论还要善于观察分析，善于根据事物的特征和规律，把握分

类的标准，做到正确分类。其中的关键是确定分类的标准。

例 1、化简

a a （ a 为实数）。

分析：对于 a 应分三种情况讨论：

a ， a 0 a

0 ， a 0

a ，

a

a

a

2a ，（ a

0）

解：原式

0 0 0，（ a 0） a a 0，（ a 0）

例 2、化简

2 a

（ a 为实数）。

解：分类：令 2

a 0 ，则 a

2 ,

a

2，（ a 2）

原式

0，（ a

2）

(2 a)

2 a ，（ a

2）

例 3、化简： x

2

x 1 。

分析：先求界点。

由 x 2 0

，得x

2

； 由 x 1 0

，得 x 1

。

借助数轴分类：

x

2 x 1 1，（ x

2）

解：原式

(x 2)

x 1 3，（

1 x 2） (x 2) ( x 1)

，（ x ）

2x 1 1 例 4、解关于 x 的方程

1

1

。

x

2

x

8a

分析：由 x 2

x

1 ， 显然 a 1 为界点。

8a 得 a

4

1

4

解：（ 1）当 a

x

2 的一切实数；

时，原方程的解为

4

（ 2 ）当 a

1 x

2

( x

8a) ，

时，原方程化为

4

1

由 x

2 x 8a 得 a

，矛盾，舍去；

由 x 2

( x 8a) 得 x

4a 1 ，

4

1

综上可见： a 时，原方程的解为

x

2 的一切实数；

4

1 a

时，原方程的解为 x 4a 1。

4

反思 ：分类讨论方法是一种重要的数学方法，

也是一种重要的解题策略， 许多数学问题

很难从整体上去解决， 但只要将其划分为所包含的各个局部问题， 就可以逐个解决， 分类讨

论的思想实质上就是各个击破的策略。其思维过程是：

分析题意

确定分类 逐个解决 归纳总结

作业：

1

a 2a

。

、 a 为实数，化简

2

2 x x 5

。

、 x 为实数，化简

3

x 1

1

（ a 为实数）。

的方程

x 6

x 2a

答案：

a ，（ a 0） 1、 原式

0，（ a

0）

3a ，（ a 0）

2 、 界点： x

5 ， x

2 。

当 x 2 时，原式 x 2 x 5 2x 3 ；当 5 x 2 时，原式

2 x x 5 7 ；

当 x 5 时，原式 2 x (x

5) 2x 3 。

3 、 由 x

2a

x 6 得 a 3 ， 显然 a 3 为界点。

当

a

3

x

6

的一切实数；

时，原方程的解为

当 a 3时，原方程转化为x 2a ( x 6) ，