空间向量与平行、垂直关系

第三章
空间向量与立体几何
1 1 → ∴MN· n＝ 2， 0， 2 · (1，－ 1，－ 1)＝0，


→ ∴MN⊥ n. 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
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空间向量与立体几何
1 → 1→ 1 → → → 法二：∵ MN ＝ C1N － C1M ＝ C1B1 － C1C ＝ 2 2 2 1→ → → → → (D1A1－D1D)＝ DA1，∴MN∥DA1， 2 又 MN 不在平面 A1BD 内， ∴ MN∥平面 A1BD.
则有 D(0， 0， 0)， A(2， 0，0)， C(0， 2， 0)， C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2， 2，2)， → 所以FC1 ＝ (0， 2， 1)， → → DA＝ (2，0，0)，AE＝ (0， 2， 1)．
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空间向量与立体几何
(1)设 n1＝ (x1， y1， z1)是平面 ADE 的法向量， → → 则 n1⊥DA， n1⊥AE， → n1· DA＝ 2x1＝ 0 即 ，得 → n1·AE＝ 2y1＋ z1＝0
(－3，－9，0)．
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空间向量与立体几何
解：(1)a· b＝ 1× 8＋ (－ 3)×2＋ (－ 1)× 2＝0， ∴直线 l1， l2 垂直． 1 (2)∵ u＝－ v，∴ u∥ v，即平面 α， β 平行． 3
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空间向量与立体几何
典题例证技法归纳
题型探究 求平面的法向量
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空间向量与立体几何
z3＝－2 令 x3＝ 2，∴ ，∴ n3＝ (2，－ 1，－ 2)．(10 y3＝－ 1
分) → → 若 C1P⊥平面 A1DE，∴C1P∥ n3，∴C1P＝λ n3， ∴ (1， y－ 1，－ 1)＝ λ(2，－1，－2)， 1 1 ∴ λ ＝ ， y＝ ， 2 2 ∴点 P 为 AB 中点时， C1P⊥平面 A1DE.(12 分 )
例1 已知△ABC的三个顶点的坐标分别
为A(2，1，0)，B(0，2，3)，C(1，1，3)，试
求出平面ABC的一个法向量．
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空间向量与立体几何
【解】 设平面 ABC 的法向量为 n＝ (x，y， z)． ∵ A(2， 1， 0)， B(0，2，3)， C(1， 1， 3)， → → ∴AB＝ (－2， 1， 3)，BC＝ (1，－ 1，0)． → AB＝ 0， n· － 2x＋ y＋ 3z＝ 0， 则有 即 → x－ y＝ 0. BC＝ 0， n ·


(1，1， 0)，
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空间向量与立体几何
设平面 A1BD 的法向量 n＝ (x， y， z)， → → 则 n· DA1＝ 0 且 n· DB＝ 0，
x＋ z＝ 0， 得 x＋ y＝ 0，
取 x＝1，得 y＝－ 1， z＝－ 1. ∴ n＝(1，－1，－1)．
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空间向量与立体几何
想一想
直线的方向向量和平面的法向量是惟一的
吗？ 提示：不惟一．
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空间向量与立体几何
2.空间中平行关系、垂直关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为 a，b，平面 α,β 的法向量分别为u，v，则 线线平行 线面平行 面面平行 l∥m⇔a∥b⇔a＝kb； l∥α⇔a⊥u⇔a· u＝0； α∥β ⇔u∥v⇔u＝kv；
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空间向量与立体几何
变式训练
3. 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，
AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的
中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
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空间向量与立体几何
证明：由题意得 AB ， BC ， B1B 两两垂直，
以 B 为原点 , 分别以 BA ， BC ， BB1 所在直线 为 x， y ， z轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则 A(2， 0， 0)，A1(2， 0， 1)，C(0， 2，0)，C1(0，2，1)，
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空间向量与立体几何
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而
是比例关系，设定某个坐标为常数(常数不能
为0)便可得到平面的法向量．
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空间向量与立体几何
变式训练 1.如图所示，在四棱锥 S－ ABCD 中，底面是直 角梯形，∠ ABC＝ 90°， SA⊥底面 ABCD，且 1 SA＝ AB＝ BC＝ 1， AD＝ ，建立适当的空间直 2 角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBA 的一个法向 量．
x1＝0 ，令 z1＝ 2，则 y1＝－1， z1＝－2y1
所以 n1＝ (0，－ 1，2)．
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空间向量与立体几何
→ → 因为FC1 · n1＝－ 2＋ 2＝ 0，所以FC1 ⊥n1. 又因为 FC1⊄ 平面 ADE，所以 FC1∥平面 ADE. → (2)∵C1B1＝(2， 0， 0)， 设 n2＝ (x2， y2， z2)是平面 B1C1F 的一个法向量． → → 由 n2⊥FC1 ， n2⊥C1B1，得
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空间向量与立体几何
1 → → E 0，0，2 ，则AA1 ＝ (0，0，1)，AC＝ (－2， 1 → → 2，0)，AC1 ＝ (－ 2，2，1)，AE＝ － 2， 0，2 .


设平面 AA1C1C 的一个法向量为 n1＝ (x， y， z)， → n · AA 1 1 ＝0 z＝ 0， 则 ⇒ → － 2x＋2y＝0. n1· AC＝ 0 令 x＝ 1，得 y＝ 1，∴ n1＝ (1， 1，0)．
名师微博 利用法向量与平面内两不共线向量垂直求法 向量是本题关键.
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空间向量与立体几何
取y2＝1，则得x2＝－2，z2＝－1，
∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2，1，－ 1)．… (7分) ∴n1· n2＝1＋0－1＝0，∴n1⊥n2， ∴平面A1B1F⊥平面C1DE.(8分)
线线垂直
线面垂直 面面垂直
l⊥m⇔a⊥b⇔a· b＝0；
l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku； α⊥β ⇔u⊥v⇔u· v＝0.
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空间向量与立体几何
做一做
根据下列各条件，判断相应的直线与直线、
平面与平面的位置关系： (1)直线l1，l2的方向向量分别是a＝(1，－3， －1)，b＝(8，2，2)； (2)平面α，β的法向量分别是u＝(1，3，0),v＝
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空间向量与立体几何
所 以 平 面 A1B1F 的 一 个 法 向 量 为 n1 ＝
－1，0，1 .(5 分) 2
设平面 C1DE 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， 1 → n · DE ＝ 0 2 2x2＋y2＝0 x2＝－2y2 则 ⇒ ，∴ ， → z2＝－ y2 n2·DC1＝0 y2＋z2＝0
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空间向量与立体几何
利用空间向量证明垂直关系
例3 (本题满分12分)如图，在正方体
ABCD－A1B1C1D1，E、F分别是BC、CC1的 中点． (1)求证：平面A1B1F⊥平面C1DE； (2)在AB上确定一点P，使C1P⊥平面A1DE.
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空间向量与立体几何【思路点拨】 Nhomakorabea栏目 导引
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空间向量与立体几何
→ n2·FC1＝2y2＋z2＝0 x2＝0 ，得 . → z2＝－2y2 n2·C1B1＝2x2＝0 令 z2＝ 2，得 y2＝－1， 所以 n2＝ (0，－ 1，2)，因为 n1＝n2， 所以平面 ADE∥平面 B1C1F.
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空间向量与立体几何
变式训练
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中， M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证： MN∥平面A1BD.
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空间向量与立体几何
证明：法一：如图，以 D 为 原点， DA、 DC、 DD1 所在直 线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建 立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 1 1 可求得 M 0，1，2 、 N 2， 1， 1 、 D(0， 0， 0)、 A1(1， 0， 1)、 B(1，1，0)， 1 → → 1 → 于是MN＝ 2， 0， 2 ，DA1＝ (1，0，1)，DB＝
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空间向量与立体几何
1 → → → － 1 ， 1 ，－ ∴A1B1＝ (0， 1，0)， A1F＝ DE＝ 2 ，


→ → 1，1， 0，DC ＝ (0 ， 1 ， 1) ， A 1 1 D ＝ (－ 1 ， 0 ， 2 － 1)． (3 分) (1)证明： 设平面 A1B1F 的一个法向量为 n1＝ (x1， y1， z1)， → y ＝ 0， n1·A1B1＝ 0 1 则 ⇒ 1 → － x ＋ y － z ＝ 0. n1·A1F＝ 0 1 1 21
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空间向量与立体几何
x＝3z， 解得 x＝ y.
令 z＝ 1，则 x＝y＝3. 故平面 ABC 的一个平面法向量为 n＝ (3，3， 1)．
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空间向量与立体几何
【名师点评】 求平面法向量的方法与步骤： (1)求平面的法向量时，要选取两相交向量，如 → → AC、AB. (2)设平面的法向量为 n＝ (x， y， z)． → AC＝ 0 n· (3)联立方程组 并解答． → AB＝ 0 n·
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空间向量与立体几何
3．2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行、垂直关系
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空间向量与立体几何
学习导航
学习目标
重点难点
重点：利用空间向量证明线线、
线面、面面垂直与平行．
难点：把线、面问题转化为向量问题．
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空间向量与立体几何
新知初探思维启动
1.法向量
方向向量a ， 如图所示 , 直线 l⊥α, 取直线 l 的 ___________ 则向量 a 叫做平面 α 的 _________ 法向量 ，给定一点 A 和一个向量a，则过点A，以a为法向量的平面 是完全确定的．


向量 .设 n＝ (x，y，z)为平面 SDC 的一个法向量，
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空间向量与立体几何
则 ， 1 → DS＝－ x＋ z＝ 0 n · 2
→ 1 n· DC＝ x＋ y＝ 0 2 1 y＝－ x 2 即 . 1 z＝ x 2 取 x＝ 2，则 y＝－ 1， z＝1， ∴平面 SDC 的一个法向量为 (2，－ 1，1)．
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空间向量与立体几何
解：以 A 点为原点建立空间直角坐标系， 1 则 A(0，0，0)，D 2， 0， 0，C(1，1，0)，S(0， 0，1)， → 1 则DC＝ 2， 1， 0，


→ 1 DS＝ －2， 0， 1.


→ 1 易知向量AD ＝ 2， 0， 0是平面 SAB 的一个法
(1) 证明面面垂直即证它们的
法向量垂直； (2) 证 C1P ⊥平面 A1DE ，只要证 C1P的方向向量和平面A1DE的法向量平行．
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空间向量与立体几何
【解】 如图，建立空间直角坐标系． 设正方体的棱长为 1， 则 A1(1， 0， 1)，B1(1，1， 1)， 1 E 2， 1， 0 ， C1(0， 1， 1)， D(0，0， 0)， 1 F 0，1，2 .(1 分 )
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空间向量与立体几何
利用空间向量证明平行关系
例2 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
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空间向量与立体几何
【 证 明】 Dxyz，
如图 所示 建 立空 间直 角 坐标 系
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空间向量与立体几何
→ (2)设 AP＝ y，则 P(1，y，0)，C1P＝ (1，y－1， － 1)． 设平面 A1DE 的一个法向量为 n3＝(x3， y3， z3)， → － x3－ z3＝ 0 n3· A1D＝ 0 则 ， 即 1 ， ∴ → x ＋ y ＝0 n3·DE＝ 0 2 3 3 z ＝－x3 3 1 . y ＝－ x3 2 3