精反比例函数综合复习讲义

反比例函数

知识整理

1、反比例函数的概念 一般地，函数x

k

y =

（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以写成1

-=kx y 的形式。自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。

2、反比例函数的图像

反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图像与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 3、反比例函数的性质

当k>0时，函数图像的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。

当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，随x 的增大而增大。 4、反比例函数解析式的确定

确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数x

k

y =

中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 5、反比例函数中反比例系数的几何意义 如下图，过反比例函数)0(≠=

k x

k

y 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。

k S k xy x

k

y ==∴=

,,Θ。

考点一、反比例函数的性质 【例1】已知反比例函数10

y x

=

，当110 【举一反三】

1、已知y 是x 的反比例函数，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式

2、已知一次函数y 1=kx +b （k

x

m

(m ≠O )的图象相交于A 、B 两点，其横坐标分别是－1和3，当y 1>y 2时，实数x 的取值范围是( )

A ．x <－l 或O

B ．一1

C ．一13

D ．O

n

y =，其中m ≠0，n ≠0，那么它们在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D 考点典例二、反比例函数图象上点的坐标特征

【例2】（2015自贡）若点（1x ，1y ），（2x ，2y ），（3x ，3y ），都是反比例函数x

y 1

-

=

图象上的点，并且1230y y y <<<，则下列各式中正确的是（ ）

A ．123x x x <<

B ．132x x x <<

C ．213x x x <<

D ．231x x x << 【举一反三】

1、若点A （1，y 1）和点B （2，y 2）在反比例函数1

y x

=图象上，则y 1与y 2的大小关系是： y 1 y 2（填“＞”、“＜”或“=”）．

2、如图，过点C （1,2）分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y =－x +6于A 、B 两点，若反比例函数k y x

=（x ＞0）的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是（ ）

A ．2≤k ≤9

B . 2≤k ≤8

C . 2≤k ≤5

D . 5≤k ≤8

3、如图，P 是函数x y 21=(x >0)的图象上的一点，直线1+-=x y 分别交x 轴、y

轴于点A 、B ，过点P 分别作PM ⊥x 轴于点M ，交AB 于点E ，作PN ⊥y 轴于点

N ，交AB 于点F ，则AF ·BE 的值为 。

考点典例三、反比例函数图象上点的坐标与方程的关系 【例3】已知函数1

y x

=

的图象在第一象限的一支曲线上有一点A （a ，c ），点B （b ，c ＋1）在该函数图象的另外一支上，则关于一元二次方程ax 2＋bx ＋c = 0的两根x 1，x 2判断正确的是【 】 A ．x 1 ＋ x 2 >1，x 1·x 2 > 0 B ．x 1 ＋ x 2 < 0，x 1·x 2 > 0

C ．0 < x 1 ＋ x 2 < 1，x 1·x 2 > 0

D ．x 1 ＋ x 2与x 1·x 2 的符号都不确定

【举一反三】

1、（2015·湖南常德）已知A （13AC 经过点A 及坐标原点且与反比例函数图象的另一支交于点C ，求C 的坐标及反比例函数的解析式。

y

x

A

B

C O

2、如图，若双曲线

x

k

y=与边长为5的等边△AOB的边

OA，AB分别相交于C，D两点，且OC=3BD，则实数k的值为．

3、如图，直线6

y x

=-交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数4(0)

y x

x

=>图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y 轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则AF BE

⋅=( )

A．8 B．6 C．4 D．62

第3题图第4题图第5题图

4、如上图中，正比例函数x

y3

=的图象与反比例函数)0

(>

=k

x

k

y的图象交于点B，若k

取1，2，3，…，20，对应的Rt△AOB的面积分别为

1

S，

2

S，…，

20

S，则

1

S＋

2

S＋…

＋

20

S= ；

5、两个反比例函数k

y

x

=和

1

y

x

=在第一象限内的图象如图所示，点P在

k

y

x

=的图象上，PC⊥x轴于点C，交1

y

x

=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交

1

y

x

=的图象于点B，当点P在k

y

x

=的图象上运动时，以下结论：

①△ODB与△OCA的面积相等；②四边形PAOB的面积不会发生变化；

③PA与PB始终相等；④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．

其中一定正确的是。