专题3.2利用导数研究函数的单调性-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)

第三篇导数及其应用

专题 3.02 利用导数研究函数的单调性

【考试要求】

1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间；

2.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；

3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值；体会导数与单调性、极值、最大(小 )值的关系 .

【知识梳理】

1.函数的单调性与导数的关系

函数 y＝ f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若 f′x()>0，则 f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若 f′x()<0，则 f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若 f′x()＝0，则 f(x)在这个区间内是常数函数 .

2.函数的极值与导数

3.函数的最值与导数

(1)函数 f(x)在［a，b］上有最值的条件

如果在区间［a，b］上函数 y＝ f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求 y＝f(x)在［a， b］上的最大 (小)值的步骤

①求函数 y＝f(x)在 (a， b)内的极值；

②将函数 y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小

的一个是最小值.

【微点提示】

1.函数 f( x)在区间 (a，b)上递增，则 f′x() ≥0，“f′x()>0 在(a，b)上成立”是“f( x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件 .

2.对于可导函数 f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数 f(x)在 x＝x0 处有极值”的必要不充分条件 .

3.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值 .

4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误 (在括号内打“√或”“×”)

(1)若函数 f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有 f′x()>0.( )

(2)如果函数 f(x)在某个区间内恒有 f′x()＝0，则 f(x)在此区间内没有单调性 .( )

(3)函数的极大值一定大于其极小值 .( )

(4)对可导函数 f(x)，f′x(0)＝0 是 x0 为极值点的充要条件 .( )

(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( )

教材衍化】

2.(选修 2－ 2P32A4 改编 )如图是 f(x)的导函数 f′x()的图象，则 f(x)的极小值点的个数为 (

A.1

B.2

C.3

D.4

3.(选修 2－ 2P32A5(4)改编)函数 f(x)＝2x－xln x的极值是 ( )

1 2 2

A. B. C.e D.e2

ee

真题体验】

4.(2019 青·岛月考 )函数 f(x)＝cos x－x 在(0，π上)的单调性是 ( )

A. 先增后减

B.先减后增

C.单调递增

D. 单调递减

5.(2017 浙·江卷 )函数 y＝ f(x)的导函数 y＝ f′x()的图象如图所示，则函数 y＝ f( x)的图象可能是 ( )

6.(2019 豫·南九校考评 )若函数 f (x)＝ x(x－ c)2在 x

＝2处有极小值，则常数 c的值为 ( ) A.4 B.2 或 6

C.2

D.6

【考点聚焦】

考点一求函数的单调区间

【例 1】已知函数 f(x)＝ax3＋x2(a∈R)在 x＝－34处取得极值 .

3

(1)确定 a 的值；

(2) 若 g( x)＝ f(x)e x，求函数 g(x)的单调减区间 .

规律方法】 1.求函数单调区间的步骤：

(1) 确定函数 f(x)的定义域； (2)求 f′x()；(3)在定义域内解不等式

(4) 在定义域内解f′x()>0，得单调递增区间；不等式 f′x()<0 ，得单调递减区间 .

2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接 .

【训练 1】 (1)已知函数 f(x)＝xln x，则 f(x)( )

A.在(0，＋∞)上递增

B.在(0，＋∞)上递减

11

C.在 0，上递增

D. 在 0，上递减

ee

(2)已知定义在区间 (－π，π上)的函数 f( x)＝ xsin x＋cos x，则 f(x)的单调递增区间为

_______________________________________________________________________

【例 2】 (2017·全国Ⅰ卷改编 )已知函数 f(x)＝e x(e x－a)－a2x，其中参数 a≤ 0.

(1) 讨论 f(x)的单调性；

(2)若 f(x) ≥0，求 a 的取值范围 .

规律方法】 1.(1) 研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论 (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0 的点和函数的间断点 . 2. 个别导数为 0 的点不影响所在区间的单调性，如

f(x)＝ x 3， f ′x()＝ 3x 2≥ 0f(′x()＝ 0 在 x ＝0

时取到)，f(x)在 R 上是增函数 .

训练 2】 已知 f(x)＝x 2 －aln x ，a ∈R ，求 f(x)的单调区间

考点三 函数单调性的简单应用 角度 1 比较大小或解不等式

π

【例 3－ 1】 (1)已知函数 y ＝ f(x)对于任意的 x ∈ 0，2 满足 f ′x()cos x ＋ f(x)sin x ＝1＋ln x ，其中 f ′x()是函数 f(x) 的导函数，则下列不等式成立的是 ( ) π π π π

A. 2f 3

B. 2f 3 >f 4

f ( x) (2) 已知函数 f ′x()是函数 f(x)的导函数， f(1)＝e 1

，对任意实数都有 f(x)

1

F(x)

2的解集为 ( )

e

A. －∞， 1） C.（1 ， e ）