信号采样与重建

1.软件介绍

MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。它将数值分析、矩形计算、视化以线性动态线性系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多领域一面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。

MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。

MTLAB的语言特点：

(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。

(2)运算符丰富。

(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。

(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。

(5)MATLAB的图形功能强大。

(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。

2.课程设计的方案

2.1课程设计的原理

2.1.1连续信号的采样定理

模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其

频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。时域采样定理从采样信号

恢复原信号必需满足两个条件:

(1)

必须是带限信号，其频谱函数在

＞

各处为零；（对信号的要求，

即只有带限信号才能适用采样定理。） (2) 取样频率不能过低，必须

＞2

（或 ＞2

）。（对取样频率的要求，

即取样频率要足够大，采得的样值要足够多，才能恢复原信号。）如果采样频率

大于或等于

，即

（

为连续信号

的有限频谱），

则采样离散信号能无失真地恢复到原来的连续信号 。一个频谱在区间

（-

，

）以外为零的频带有限信号

，可唯一地由其在均匀间隔

上

的样点值所确定。根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推

出频域采样定理。一个时间受限信号()t f ，它集中在（m m ωω+-,）的时间范围内，则该信号的频谱()ωj F 在频域中以间隔为1ω的冲激序列进行采样，采样后的频谱)(1ωj F 可以惟一表示原信号的条件为重复周期m t T 21≥。采样信号 的

频谱是原信号频谱

的周期性重复，它每隔 重复出现一次。当s ω＞2

时，不会出现混叠现象，原信号的频谱的形状不会发生变化，从而能从采样信号

中恢复原信号

。（注：s ω＞2

的含义是：采样频率大于等于

信号最高频率的2倍；这里的“不混叠”意味着信号频谱没有被破坏，也就为后面恢复原信号提供了可能！）

(a)

(b)

(c)

图* 抽样定理

a) 等抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） b) 高抽样频率时的抽样信号及频谱（不混叠） c) 低抽样频率时的抽样信号及频谱（混叠）

2.1.2信号采样

如图1所示，给出了信号采样原理图

信号采样原理图（a ）

由图1可见，)()()(t t f t f s T s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t s T δ的表达式

为：∑∞

-∞

=-=

n s T nT t t s )()(δδ 其傅立叶变换为∑∞

-∞

=-n s s n )(ωωδω，其中s

s

T π

ω2=

。设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定

理，可得∑∑∞

-∞

=∞

-∞

=-=-=n s

s n s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ω

ωωωδωωπω

若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω， )(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s T 1倍）。因此，当m s ωω2≥时，频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时，频谱发生混叠。

一个理想采样器可以看成是一个载波为理想单位脉冲序列)(t T δ的幅值调制器，即理想采样器的输出信号)(*t e ，是连续输入信号)(t e 调制在载波)(t T δ上的结果，如图2所示。

图2 信号的采样

用数学表达式描述上述调制过程，则有

)()()(*t t e t e T δ=

理想单位脉冲序列)(t T δ可以表示为

∑∞

=-=0

)()(n T nT t t δδ

其中)(nT t -δ是出现在时刻nT t =，强度为1的单位脉冲。由于)(t e 的 数值仅在采样瞬时才有意义，同时，假设

00

)(<∀=t t e

所以)(*

t e 又可表示为：*

()()()n e t e nT t nT δ∞

==-∑