最新四川省高考模拟数学(文)试题
2024届四川省成都市高考冲刺数学(文)仿真检测模拟试题(二模)附解析
2024届四川省成都市高考冲刺数学（文）仿真模拟试题（二模）一、单选题1．若复数z 满足，则z =（ ）i iz z +=⋅A ．B ．C ．D ．12-121i 2-1i 2【正确答案】C【分析】设，则，根据复数相等运算求解．i z a b =+i z +=i i z b a ⋅=-+【详解】设，i z ab =+则()i 1i z a b +=++=()i=i i iz a b b a ⋅+=-+∵i iz z +=⋅ib a =-+可得，解得0a b =⎧=-012a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1i2z =-故选：C ．2．已知集合，.若.则实数（ ）1,{}2,A m ={2,4}B ={1,2,3,4}A B ⋃=m =A ．B ．3C ．D ．43-4-【正确答案】B【分析】根据并集的定义，结合并集的结果，直接判断结果.【详解】因为集合，，且，所以.1,{}2,A m ={2,4}B ={1,2,3,4}A B ⋃=3m =故选：B3．在新冠肺炎疫情期间，各口罩企业都加大了生产力度，如图是2022年第一季度五个企业的生产量情况，则下列叙述正确的是（ ）A ．2022年第一季度生产总量的增长率由低到高排位第5的是E 企业B ．2022年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个C ．2021年同期C 企业的生产总量不超过2000万只D ．与2021年同期相比，各企业2022年第一季度的生产总量都实现了增长【正确答案】D【分析】根据统计图表提供的数据求解判断．【详解】由图可知，增长率最低的是企业，A 错；A 生产总量从低到高排列为，增速从低到高排列为，两者位居同一位次的和BDACE BEDCA B 两个，B 错；C 2021年同期C 企业的生产总量为，C 错；40474047200010.662>>+从图表知各企业2022年第一季度的生产总量的增长率均为正数，因此生产总量都实现了增长，D 正确．故选：D ．4．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C 会按确定的比率衰减（称为衰减率），C 与死亡年数t 之间的函数关系式为（k 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，0.5tkC =这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）参考数据：；参考时间轴：2log 0.850.23≈-A ．战国B ．汉C ．唐D ．宋【正确答案】C【分析】根据“半衰期”求得，进而解方程，求得，从而可推断出该文物k 2log 0.855730t=-t 所属朝代.【详解】解：当时，，故，解得，所以，5730t =12C =57300.50.5k =5730k =57300.5tC =由题意得，，解得，57300.50.85t=2log 0.850.235730t =-≈1318t ≈而，可推断该文物属于唐.20221318704-=故选：C ．5．抛物线的准线方程是，则（ ）2x ay =2y ==a A ．B ．8C ．D ．8-1818-【正确答案】A【分析】根据抛物线方程，求准线方程，列等式求.a 【详解】由抛物线方程，知，所以，所以，所以.2p a =24p a =24a -=8a =-故选:A6．已知向量，，则（ ）(2,2)a = (8,6)b =- tan ,a b 〈〉=A ．7B ．C ．D ．7-17-17【正确答案】A【分析】根据向量数量积的运算，先求，再根据同角三角函数基本关系是求cos ,a b.tan ,a b【详解】由已知，得，则为锐角，cos ,a b a b a b⋅===⋅,a b所以sin ,a b ==所以.sin ,tan ,7cos ,a b a b a b==故选：A.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝，则b 35等于（ ）A ．B ．C ．D5310757【正确答案】C【分析】先由cos A 的值求出，进而求出，用正弦定理求出b 的值.4sin 5A =sin C 【详解】因为cos A ＝，所以，354sin 5A ==所以()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B=-+=+=+⎡⎤⎣⎦43cos 45sin 4555=︒+︒=由正弦定理：，得.sin sin b cB C =5457b =︒=故选：C8．某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．32π332π64π364π【正确答案】C【分析】画出该几何体的直观图后，再去求该几何体外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】依据题给三视图，可得该几何体直观图如下设M 为BD 中点，则，，，平2BM MD AM ===BD AM ⊥BD CM ⊥CM =ABD ⊥面CBD由，，可知为直角三角形，2BM MD AM ===BD AM ⊥ABD △又由平面平面，可知三棱锥外接球球心位于直线上，ABD ⊥CBD -A BCD CM设三棱锥外接球半径为R ，则，解之得-A BCD ()2222222R RR =+-⇒-R =则三棱锥外接球的表面积为-A BCD 22644π4ππ3S R ==⨯=故选：C9．已知，则（ ）tan 3α=sin 2α=A ．B ．C ．D ．233523±35±【正确答案】B【分析】利用二倍角公式后然后除以“1”后上下同除以后代入即可得出结果.2cos αtan 3α=【详解】，2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα=====+++故选：B.10．过点，作倾斜角为的直线l ，则直线l 被圆()2,2A π322:16O x y +=-（ ）A ．B ．C ．D ．1236-【正确答案】D【分析】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距离，可结合垂径定理得出所截弦长【详解】依题意，直线l的方程为，则圆心O到直)22y x-=-20y--=线l的距离.又因为圆的半径1dr=(236===-故选：D.11．过双曲线的一个焦点F作弦，则的值等于（）221169x y-=AB11||||AF BF+A．B．C．D．92894929【正确答案】B【分析】采用特例法设焦点F为右焦点、A在第一象限，求出F、A、B的坐标，利用两点间的距离公式求解即可.【详解】采用特例法即可求得结果不妨设焦点F为右焦点，则，(5,0)F令代入双曲线方程得，解得，5x=2951162y-=94y=±当轴时，不妨设A在第一象限，则，，AB x⊥95,4A⎛⎫⎪⎝⎭95,4B⎛⎫-⎪⎝⎭所以，故.9||||4AF BF==118||||9AF BF+=故选：B本题考查双曲线的几何性质，属于中档题.12．已知，，，则（）ln1.1a=2eb-=0.1c=A．B．a b c<<c<a<bC．D．c b a<<a c b<<【正确答案】D【分析】利用单调性，分别将和比较，即可得到答案.,a c0.1【详解】设函数，则，则在上单调递增，在()ln1f x x x=-+()11f xx'=-()f x()0,1上单调递减，所以，则，即.()1,+∞()()10f x f≤=ln1.1 1.110-+<ln1.10.1<又，所以.22e130.19-->=>a c b<<故选：D.二、填空题13．已知点在不等式组表示的平面区域内运动，则的最小值(),P x y 1003x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩34z x y =-为______．【正确答案】3-【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得ABC :340l x y -=34z x y =-，向上平移直线，当过点时，取得最小值．344zy x =-l l (3,3)C 34z x y =-3-故．3-本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．三、双空题14．有一组数据，，…，其平均数为3，方差为2，则新的数据，，…，1x 2x n x 11x -21x -的平均数为______，方差为______．1n x -【正确答案】 2； 2.【分析】根据平均数的公式，结合方差的公式进行求解即可.【详解】由已知得，123nx x x n +++= ，22212(3)(3)(3)2n x x x n -+-++-=所以，1212(1)(1)(1)312n n x x x x x x n nn -+-++-+++-==-= ．2222221212(12)(12)(12)(3)(3)(3)2n n x x x x x x n n --+--++---+-++-== 故2；2四、填空题15．已知函数，则不等式的解集为()e e 21x xf x x -=--+(23)()2f x f x -+>______________．【正确答案】(1,)+∞【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不()()1e e 2x x g x f x x-=-=--等式变形得到，根据单调性得到，(23)()2f x f x -+>()()()23g x g x g x ->-=-23x x ->-解不等式求出答案.【详解】令，定义域为R ，()()1e e 2x x g x f x x-=-=--且，()()e e 2x x g x x g x --=-+=-所以为奇函数，()()1e e 2x x g x f x x-=-=--变形为，(23)()2f x f x -+>(23)11()f x f x -->-即，()()()23g x g x g x ->-=-其，当且仅当，即时，等号成立，()e e 220x x g x -'=+-≥=e e x x-=0x =所以在R 上单调递增，()()1e e 2x x g x f x x-=-=--所以，解得：，23x x ->-1x >所以解集为.(1,)+∞故(1,)+∞16．已知函数，则关于函数性质，下列说法正确的有________．sin 1()sin 2x f x x -=+（1）关于中心对称；（2）的最小正周期为；()f x 1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π（3）关于轴对称；（4）在上有且仅有一个极大值；()f x 2x π=-()f x (0,7)x ∈（5）是的一个极小值．2-()f x【正确答案】（3）（4）（5）【分析】根据中心对称检验可判断（1），根据最小正周期检验可判断（2），根据对称性检验可判断（3），运用导数确定单调性可判断（4）、（5）.【详解】因为，（1）错误；3122f f ππ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为不恒成立，最小正周期不是，（2）错误；()()f x f x π≠+π由诱导公式得：，故，（3）正确；sin sin()x x π=--()()f x f x π=--因为，在上，或，23cos ()(sin 2)x f x x '=+5(0,)2π()002f x x π'>⇒<<3522x ππ<<，所以在和上单调递增，在上单调递减，3()022f x x ππ'<⇒<<()f x (0,)2π35(,)22ππ3(,)22ππ，所以（4）正确；并且,所以（5）正确.5(0,7)(0,)2π⊆()()232f x f π==-极小值故（3）（4）（5）.五、解答题17．在①且，②且，③正项数列满足12a =2(2)2n n S n a =+-12a =123n n a a n ++=+{}n a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列222n n n S a a =+-的前项和为，且______?{}n a n n S (1)求数列的通项公式:{}n a (2)求证.13243546112111111512n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++<【正确答案】(1)1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）选择条件①或选择条件③，根据与的关系，得递推关系式，再求解数列n a n S 的通项公式即可；选择条件②，根据条件得是隔项等差数列，按照等差数列的通项{}n a {}n a 公式求解即可；n a （2）由（1）得，按照裂项求和之和即可证明不等式成立.211(1)(3)n n a a n n +=++【详解】（1）解：（1）选择①当时，，2n ≥2(2)2n n S n a =+- ，112(1)2n n S n a --∴=+-两式作差得：，12(2)(1)n n n a n a n a -=+-+整理得，11n n a an n -=+所以为常数列，因此，1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭1112n a an ==+所以.1n a n =+选择②得，123n na a n ++=+ 2125n n a a n ++∴+=+两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，22n n a a +-={}n a 2d =当时，，又，则，1n =215a a +=12a =2153a a =-=当为偶数时，，n 2(1)3(1)2122n n na a d n =+-=+-⨯=+当为奇数时，，n 111(1)2(1)2122n n n a a d n ++=+-=+-⨯=+综合得：；1n a n =+选择③又，得.0n a >12a =当时，，2n ≥222n n n S a a =+- 211122n n n S a a ---∴=+-两式相减得：，即.22112n n n n n a a a a a --=-+-()()1110n n n n a a a a --+--=又因为，所以，故为公差为1的等差数列，0n a >11n n a a --={}n a 得.2(1)11n a n n =+-⨯=+（2）证明：由（1）可得211111(1)(3)213n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以13243546112111111n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++11111124354657(2)(1)(3)n n n n =++++++⨯⨯⨯⨯+++ 1111111111111224354657213n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111122323n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭因为*Nn ∈所以1111122323n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭111522312⎛⎫<+= ⎪⎝⎭因此.13243546112111111512n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++<18．某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份123456不“礼让行人”333640394553(1)请利用所给的数据求不“礼让行人”人数与月份之间的经验回归方程y x ，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数()112,y b x a x x '''=+≤≤∈N （精确到整数）；(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：不“礼让行人”礼让行人驾龄不超过3年1842驾龄3年以上436依据小概率值的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满0.05α=3年有关?并说明理由．附：参考公式：，，其中．()()()121niii nii x x y y b x x ==--'=-∑∑()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++n a b c d =+++独立性检验临界值表：α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【正确答案】(1)，68人18142ˆ55yx =+(2)认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，理由见解析【分析】（1）利用表中的数据和公式直接求解即可，（2）先完成列联表，然后利用公式求解，再根据临界值()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++2χ分析判断.【详解】（1）由表中数据可知：，，123456762x +++++==333640394553416y +++++==所以，即，()()()6116222116ˆ6n iii ii i niii i x x y y x y x yb x x xx ====---==--∑∑∑∑616221692486118ˆ14759162i ii ii x y xyb xx ==--===--∑∑所以，187142ˆˆ41525ay bx =-=-⨯=所求得经验回归方程为．18142ˆ55yx =+当时，，11x =ˆ68=y所以预测该路口11月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数为68人．（2）零假设为：“礼让行人”与驾龄满3年无关，0H 由题意知列联表为22⨯不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过3年184260驾龄3年以上43640合计2278100由表中数据可得()()()()()()22210018364428005.594 3.84122786040143n ad bc a c b d a b c d χ-⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，我们推新不成立，0.05α=0H 即认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，19．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中111ABC A B C -ABC 14AB AA ==D AB 点.(1)证明：平面平面.1A CD ⊥11ABB A (2)求点到平面的距离.1B 1A CD 【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.CD ⊥11ABB A（2）求得三棱锥的体积到平面的距离为，表示出三棱11C A B D -1V =1B 1A CD d锥的体积，利用等体积法,即可求得答案.11B A CD-2V =12=V V 【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.1AA ⊥ABC因为平面，所以；CD ⊂ABC 1AA CD ⊥因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.ABC AC BC =D AB CD AB ⊥因为平面，且，所以平面.1,AB AA ⊂11ABB A 1AB AA A ⋂=CD ⊥11ABB A 因为平面，所以平面平面.CD ⊂1A CD 1A CD ⊥11ABB A （2）连接，11,B D B C由题意可得的面积.11A B D △114482S =⨯⨯=因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.ABC D AB CD =由（1）可知平面，则三棱锥的体积CD ⊥11ABB A 11C A B D -1111833V S CD =⋅=⨯⨯=因为是棱的中点，且，所以，则D AB 4AB =2AD =1A D ==由（1）可知平面,平面 ，则，CD ⊥11ABB A 1A D ⊂11ABB A 1CD A D ⊥从而的面积1A CD △212S =⨯=设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.1B 1A CD d 11B A CD -2213V S d =⋅=因为，解得12V V ==d =即点到平面1B 1A CD 20．已知的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点22:143x y C +=F F l A B AB 为，设直线与直线的斜率分别为，．M l OM 1k 2k（1）求的值；12k k （2）设直线交直线于点，证明．l 4x =Q ||||||||AF BQ BF AQ = 【正确答案】（1）．（2）见解析1234k k =-【分析】（1）设，，，，用，的坐标表示出，，再把，两点代入1(A x 1)y 2(B x 2)y A B 1k 2k A B 椭圆方程化简得出的值；12k k （2）根据题意，要证，则只需证：，即证：，||||||||AF BQ BF AQ =AF AQ BF BQ =112233y y m y y m -=-通过直线与椭圆方程，写出韦达定理，整理，证出即可.()121232y y y y m +=【详解】解：（1）设，，，，则，1(A x 1)y 2(B x 2)y 21121y y k x x -=-是线段的中点，，，故，M AB 12(2x x M +∴12)2y y +12212y y k x x +=+，2221122221y y k k x x -∴=-，都在椭圆上，A B 22143x y +=，，∴2211143x y +=2222143x y +=，∴22222121043x x y y --+=，即．∴2221222134y y x x -=--1234k k =-（2）设直线的方程为：，令，则，l 1x my =+4x =3y m =所以，联立方程，34,Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：，()2234690m y my ++-=设，且设，()()1122,,,A x y B x y 10y >则有：，12122269,3434m y y y y m m --+==++要证，||||||||AF BQ BF AQ =则只需证：，即证：，AF AQ BF BQ =112233y y m y y m -=-则证：，即证：，11212233y y y y y y m m -=-()121232y y y y m +=又因为，，()12231834y y mm -+=+12218234y y m -=+得出：成立，()121232y y y y m +=所以.||||||||AF BQ BF AQ =本题考查了椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系，运用了设而不求法以及点差法，属于中档题．21．设m 为实数，函数．()ln f x x mx =+(1)求函数的单调区间；()f x (2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；e m =2by ax =+()y f x =a b +(3)若方程有两个实数根，，证明：．()(1)2f x m x n =++-()1212,x x x x <122e x x +>【正确答案】(1)当时， 在上单调递增；0m …()f x (0,)+∞当时， 在上单调递增，在上单调递减．0m <()f x 1(0,)m -1(,)m -+∞(2).e 2ln 2-(3)证明见解析.【分析】(1)先对求导，根据m ≥0和m ＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的()f x 单调性；(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，a b +求出最小值.(3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.【详解】（1），函数定义域为，()ln f x x mx =+(0,)+∞，11()(0)mx f x m x x x +'=+=>当时，在上恒成立，函数在上单调递增；0m …()0f x '>(0,)+∞()f x (0,)+∞当时，，解得，函数在上单调递增；，解得0m <()0f x '>10x m <<-()f x 1(0,m -()0f x '<，函数在上单调递减．1x m >-()f x 1(,)m -+∞（2）当时，，e m =()ln e f x x x =+设切点为，，则切线斜率，0(x 00ln e )x x +001()e k f x x '==+切线方程为，，00001(ln e )(e)()y x x x x x -+=+-001(e)ln 1y x x x =++-，，，∴01e a x =+02ln 2b x =-0012ln e 2a b x x +=++-令，函数定义域为，，0001()2ln e 2g x x x =++-(0,)+∞00220002112()x g x x x x -'=-+=，；，01(0,)2x ∈00()g x '<01(,)2x ∈+∞0()0g x '>在上单调递减，在上单调递增，0()g x ∴1(0,21(,)2+∞，即的最小值为0min 1()()e 2ln 22g x g ==-a b +e 2ln 2-（3）证明：，即，则，()()()12R f x m x n n =++-∈ln (1)2x mx m x n +=++-ln 2x x n -=-令，函数定义域为，，()ln F x x x =-(0,)+∞l ()xF x x -'=，；，(0,1)x ∈()0F x '>(1,)x ∈+∞()0F x '<∴在上单调递增，在上单调递减，，()F x (0,1)(1,)+∞(1)1F =-，不妨设，，1n ∴<1201x x <<<11112222ln 2ln ln 2x x n xx x x x n x -=-⎧⇒=-⎨-=-⎩令，，所以，，，12x t x =22ln t tx x =-2ln 1t x t =-1ln 1t tx t =-01t <<要证，只要证，只要证，122e x x +>2ln ln e 11t t tt t +>--(21)ln e(1)t t t +<-令，，()(21)ln e(1)h t t t t =+--()01t <<1()2ln e 2h t t t '=+-+，1()=()2ln e 2t h t t tϕ'=+-+221()t t t ϕ-'=，；，1(0,2x ∈()0t ϕ'<1(,1)2x ∈()0t ϕ'>在上单调递减，在上单调递增，()h t '∴1(0,)21(,1)2，，（1），则存在，使得， 1()0e h '=e 10h '=-+<h '3e 0=->0t ∈0()0h t '=在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，()h t ∴1(0,)e 01(,)e t 0(t 1)，，12()e 20e e h =--<(1)0h =在上恒成立，()(21)ln e(1)0h t t t t ∴=+--<01t <<得证．122e x x +>导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原xOy 1C 2,x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩α点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为O x 2C .2sin 4cos 0ρθθ-=(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；1C 2C (2)设直线：(为参数)与曲线的交点为，，求弦长的值.l 2,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 2C P Q PQ 【正确答案】(1)曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为1C ()22322x y -+=2C 24y x=(2)【分析】（1）首先利用消参法得到的参数方程化为普通方程，根据得到的1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 直角坐标方程.（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.【详解】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，1C 得.()22322x y -+=曲线的极坐标方程为，有，2C 2sin 4cos 0ρθθ-=22sin 4cos 0ρθ-ρθ=由得曲线的直角坐标方程为.cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 24y x =（2）将(为参数)代入曲线的方程得，，2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 2C 242⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭即.2160t --=由于.(()2416960∆=--⨯-=>故可设，是方程的两个不同的实根，1t 2t 2160t --=所以，12t t +=1216t t =-.=23．已知，，，且.a b R c ∈2223a b c ++=(1)求证：；3a b c ++≤(2)若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.()2121x x a b c -++≥++a b c x 【正确答案】(1)证明见解析(2).(][),33,∞∞--⋃+【分析】（1）对应用基本不等式可证；2()a b c ++（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．1219x x -++≥【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca++=+++++，()222329a b c ≤+++=所以，当且仅当时等号成立3a b c ++≤a b c ==（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，()2121x x a b c -++≥++a b c 等价于，1219x x -++≥令，3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩当时，，1x ≥393x x ≥⇒≥当时，，舍去，112x -<<297x x +≥⇒≥当时，，即或.12x ≤-393x x -≥⇒≤-3x ≥3x ≤-综上所述，取值范围为.x (][),33,∞∞--⋃+。
四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题 (2)
一、单选题 1. “”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．3.如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球表面上，则球的表面积是（）A．B．C．D．4. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误错误的是（）A ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D ．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍5. 已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（ ）A．B．C ．3D ．66. 在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）A．B．C．D．7.已知，若对任意，，则一定为（ ）四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题 (2)四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题 (2)二、多选题三、填空题A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形8. 若复数，则（ ）A．B．C．D．9. 已知，，，四点在球心为，半径为5的球面上，且满足，，设，的中点分别为，，则（ ）A ．点有可能在上B．线段的长有可能为7C．四面体的体积的最大值为20D．四面体的体积的最大值为5610. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为侧面内的动点，且满足平面，则下列结论中正确的有（ ）A．动点在侧面内的轨迹长为B ．直线与侧面所成的最小角为C ．直线与侧面所成的最大角的正切值为D ．当直线与侧面所成角最小时，过点，，的平面截正方体所得的截面面积为11. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A ．这10年粮食年产量的极差为15B ．这10年粮食年产量的第65百分位数为33C ．这10年粮食年产量的中位数为29D ．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差12. 设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b13.如图，在正方体，中，E ，F ，G 分别为棱上的点（与正方体顶点不重合），过作平面，垂足为H ．设正方体的棱长为1，给出以下四个结论：①若E ，F ，G 分别是的中点，则；②若E ，F ，G分别是的中点，则用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形一定是等边三四、解答题角形；③可能为直角三角形；④．其中所有正确结论的序号是________．14. 已知和均为等差数列，若，，则的值是________.15. 分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列____________；并判断其奇偶性_____________.（选填“奇”或“偶”）16.已知数列满足，．（1）求，的值；（2）试说明数列是等比数列，并求出数列的前项和．17. 在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，，（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值.18. 已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．（i ）求的取值范围；（ii ）求证：．19. 2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：年龄（岁）频数50a 32030080（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.20. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A的大小；(2)若，，求BC边上高的长.21. 已知数列中，，，其前项和满足，令．（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：（）.。
2024届四川省成都市高三高考适应性考试数学(文)模拟试题(含解析)
2024届四川省成都市高三高考适应性考试数学（文）模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为（{}{}1,1,20A B x ax =-=+=∣B A ⊆a ）A.B.C.D.{}2-{}2{}2,2-{}2,0,2-2.复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）2i1i a z -+=-a C.-D.- B.2C.-1D.-23.已知为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（）,a b 0a b >>A. B.11a b >()()ln 1ln 1a b +>+C.33a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数的大致图象是（）()()1ln 1f x x x =+-A. B.C. D.6.在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是（）[]2,4-x 2sin x x …A. B. C. D.131223347.设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若24y x=F P Q ，则（ ）30PQF ∠= PQ =A. C. 23438.变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）,x y 22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩ (3)z x y =+-A. B. C. D.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，()0146V h S S S =+'+其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑,S S '0S h 材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围ABC ,,A B C ,,a b c 2,2c B C ==a b +为（）A.B.()2,10()2+C.D.(24++()4+11.已知菱形中，，现将菱形沿对角线折起，当时，三棱锥ABCD π3A =ABCDBD AC =的体积为，则此时三棱锥外接球的表面积为（ ）A BCD -92A BCD -A. B.D.28π7π40π12.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数,M N ()f x =图象上的动点，对任意的最小值为（ ）()()e ln x g x ax ax =-0,a MN>11-1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为__________.()()ln 2f x x =+-14.若函数的图象关于直线对称，则__________.()sin cos f x a x x=+π6x =-a =15.已知双曲线的左､右焦点分别为为左支上一点，22221(0,0)x y a b a b -=>>12,,F F P 的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则12122π,3PF F PF F ∠=I PI x Q 54__________.PI IQ=16.已知数列满足，函数在处取得最大值，若{}n a 1ln 1n n a a +=+()ln 1xf x x =+0x x =，则__________.()420ln 1a a x =+12a a +=三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，P ABCD -,AD BC PA =∥.4,5,3AD BC AC PB PC AB ======（1）设的中点为，求与所成角的余弦值；PC M BM PA （2）求三棱锥的体积.P ABC -18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.12（1）求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；（2）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.19.（本小题满分12分）已知数列满足，当时，{}n a 121,1a a ==3n (12)2,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求和，并证明当为偶数时是等比数列；4a 6a n {}1n a +（2）求.13529a a a a ++++ 20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的2:2(1)E x py p =>F ()1,1P -E 两条切线，切点分别为.,,5M N FM FN +=（1）求抛物线的方程；E （2）过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于P 12,l l 1l E ,A B 2l E 两点，连接，设的斜率分别为，问：,C D ,,,AD BC AC BD ,,AC AB BD ,,AC AB BD k k k 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.AC AB BD AB k k k k +21.（本小题满分12分）设.()()21e sin 3x f x a x =-+-（1）当的零点个数；a =()f x （2）函数，若对任意，恒有，求实数的取值()()2sin 22h x f x x x ax =--++0x …()0h x >a 范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的渐近线方程为，直线过点xOy 22:1C mx ny +=(),3,0y x D =±-l，且倾斜角为.以点为极点，以从点出发与轴正方向同方向的射线为极轴，建立()1,0B 60 D D x 极坐标系，点在曲线上.5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭C （1）写出曲线在第二象限的一个参数方程和直线的极坐标方程；C l （2）曲线与直线相交于点，线段的中点为，求的面积.C l ,M N MN Q DBQ 23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设.()22123f x x x =---（1）解不等式：；()4f x >-（2）设的最大值为，已知正数和满足，令，求()f x M a b a b M +=2222a b Z a b b a =+++的最小值.Z答案及解析1.【正确答案】D 当时，；当时，.故选D.B =∅0a =B ≠∅2a =±2.【正确答案】D 因为在复平面上对应的点位()()()()()2i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+于虚轴上，所以即.故选D.20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩2a =-3.【正确答案】B 对于A ，若，则不能推出；若，则必定有，11a b >0a b >>0a b >>11a b <所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若，则根据对数函()()ln 1ln 1a b +>+数的单调性可知，但不能推出，但是1101a b a b +>+>⇒>>-0a b >>，故B 正确.对于C ，因为等价于，所以是充分必要01a b a b >>⇒>>-330a b >>0a b>>条件，故C 错误.对于D ，则必有，所以是充分不必要条件，故>10a b >>…D 错误.故选B.4.【正确答案】B 据条件可得，符号为“”表示的二进制数为，则其表示的十进制数是.故选B.01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5.【正确答案】B 因为，所以，故排除C ，D ；当()()1ln 1f x x x =+-113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭时，恒成立，排除A.故选B.2x >()()()1ln 10f x x x =+->6.【正确答案】A 设函数，则，所以为递增函数，()2sin f x x x=-()2cos 0f x x =->'()f x 且0，所以当时，；当时，，所以不等式()0f =0x >()()00f x f >=0x …()()00f x f =…的解集为.又因为，所以不等式的解集为.由长度比的2sin x x …(],0∞-[]2,4x ∈-2sin x x …[]2,0-几何概型的概率计算可得，使恒成立的概率是.故选A.2sin x x …()()021423P --==--7.【正确答案】C 由题易知，的倾斜角为，从而.PF 1202411cos120312p PQ PF ====-+ 故选C.8.【正确答案】B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩………分别为，目标函数，即，当目标函数()()10,1,,3,2,02⎛⎫ ⎪⎝⎭33z x y x y =+-=-+3y x z =+-过点时取得最大值为5，过点时取得最小值为，所以目标函数()2,0z 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭z 12的取值范围是.故选B.3z x y =+-1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.【正确答案】B 由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积（平方米），中截面面积（平方米），下底面面积188144S =⨯=0199171S =⨯=（平方米），所以这堆建筑材料的体积2010200S =⨯='（立方米），所以这堆建筑材料约重（吨）()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=514 1.52573⨯=，需要的卡车次为，所以至少需要运52车.故选B.257551.4÷=10.【正确答案】C 在中，由及正弦定理，得ABC 2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=.又为锐角三角形，所以()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-ABC ，即，所以，则ππ0,022B A <<<<ππ02,0π322C C <<<-<ππ64C <<.故选C.(24a b +∈++11.【正确答案】A 如图1，连接交于点，不妨设菱形的边长为，则AC BD E ABCD a .将菱形沿对角线折起，如图2所示，分别为正AE CE a==ABCD BD 12,OO 的中心，过点分别作平面和平面的垂线交于点，则,ABD CBD 12,O O ABD CBD O .在等腰中，1212,O E O E AO CO ====AEC,AE CEAC ===平面，则，所以BD ⊥AEC 11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯=，即（舍去），得.在中，由余弦定理，得429360a a --=212a =23a =-a =AEC，则在直角中，，所以.设三棱锥2π3AEC ∠=1OO E 1π6O OE ∠=11OO E ==外接球的半径为，则，故外接球的表面积为.故选A.A BCD-R 222117R OO AO =+=24π28πR =12.【正确答案】B 令，即点在圆()y f x ==()22(2)10x y y -+=…M 心为，半径为1的半圆上.，当且仅当()2,0()()()ln e 1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦…时等号成立，所以曲线的一条切线为.通过数形结合可知，当()ln 0x ax +=()g x 1y x =+分别为对应切点，且.与两切线垂直时，取得最小值，即的最小值为圆心,M N MN MN MN 到直线的距离减去半径，即的最小值为.过圆心()2,01y x =+MN11=-与垂直的直线方程为，与直线平行的函数的切线方程为()2,01y x =+2y x =-+1y x =+()f x 设，所以当且仅当即2y x =-+()(),,,M M N N M x y N x y ()2,2ln 021,M M M M NN N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩时，取到最小值.综上所述，.故选B.121,223,,22e N M NM x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩MN 1MN …13.【正确答案】由题意，得且，即.[)1,2-10x +…20x ->12x -<…14.【正确答案】因为的周期且直线()()sin cosf x a x x x ϕ=+=+2πT =为对称轴，所以点为的对称中心，所以，解得π6x =-π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π1032f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.a =15.【正确答案】2 设，则，所以，又因为PIIQ λ=1212PF PF F Q F Q λ==1122PF F QPF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以在中，由余弦定理，得21122,2,PF PF a F Q F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩12PF F ，即2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，所以，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅- ⎪⎝⎭()()24242e e λλ+=+.又因为，所以.()212eλλ+=+54e =2λ=16.【正确答案】-2 因为，所以令，则()21ln (1)x xx f x x '+-=+()11ln 1ln x u x x x x x +=-=+-在上单调递减，且.由零点存在定理可知，存()u x ()0,∞+()()22312ln20,e 102e u u =->=-<在唯一的，使得，即，即①，所以()202,e x ∈()00u x =0001ln x x x +=()0000ln 11x f x x x ==+在上单调递增，在上单调递减.由，得()f x ()00,x ()0,x ∞+1ln 1n n a a +=+.又，得②.433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+()420ln 1a a x =+()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+由①②可知，，则，所以，即，()()0301f x f a x ==30a x =2301ln ln a a x +==2001ln 1a x x =-=所以，所以0，即.1201ln ln a a x +==-()()2111a a +++=122a a +=-17.解：（1）如图，设的中点为，连接.AC N ,MN BN 因为分别是的中点，,M N ,PC AC 所以，1152,,222MN PA MC PC MN ====∥PA 所以是异面直线与所成角或其补角.BMN ∠BM PA 在中，.BPC 2222224552cos 22455BC PC PB BCP BC PC ∠+-+-===⋅⋅⨯⨯在中，，BCM 22222552572cos 4242254BM BC MC BC MC BCP ∠⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭所以BM =在中，因为，所以，ABC 222AB BC AC +=AB BC ⊥所以.1522BN AC ==在中，，BMN22222575242cos 2BM MN BN BMN BM MN ∠⎛⎫+-+-====⋅⋅所以与.BM PA （2）因为，AD ∥,BC AD BC =所以四边形是平行四边形.ABCD 又由（1）知，即，AB BC ⊥90ABC ∠=所以四边形是长方形，ABCD 则.3,CD AB CD ==∥,,AB AB AD CD AD ⊥⊥因为，222AB AP BP +=所以.AB AP ⊥又因为平面，,,AD AP A AD AP ⋂=⊂PAD 所以平面.AB ⊥PAD 又因为平面，AB ⊂ABCD所以平面平面.ABCD ⊥PAD 如图，过点作，垂足为，连接.P PH AD ⊥H ,HB HC 因为平面平面，平面平面平面，ABCD ⊥PAD ABCD ⋂,PAD AD PH =⊂PAD 所以平面.PH ⊥ABCD 又因为平面，,HB HC ⊂ABCD 所以.,PH HB PH HC ⊥⊥又因为，所以.PB PC =HB HC =又因为，,,AB AD CD AD AB CD ⊥⊥=所以，AH DH =即是的中点.H AD 因为平面，CD ∥,AB AB ⊥PAD 所以平面，CD ⊥PAD 所以，CD PD ⊥所以，所以，222225316PD PC CD =-=-=4PD =所以，PA AD PD ==所以为等边三角形，PAD 所以PH =所以11134332P ABC ABC V S PH -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 即三棱锥的体积为P ABC -18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题A A 且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件.B B 记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件.C前三个问题回答的情况有8种：，,,,,,,,AAA AAA AAB AAB ABB ABB ABA ABA 其中事件只包含了1种情况，即，C ABB 所以，()()18P C P ABB ==即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为.18（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件.D 由（1）可得，.()()()()11178163232P D P AAA P AAAB P AAABB =++=++=即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为.73219.解：（1）由已知，得.4264213,217a a a a =+==+=当且为偶数时，，3n …n 221n n a a -=+即.()2121n n a a -+=+又，212a +=所以当为偶数时，数列是以2为首项，2为公比的等比数列.n {}1n a +（2）由（1）可知，当为偶数时，，即.n 12122n n a -+=⋅221n n a =-当为奇数时，设，n ()*21n k k =+∈N 则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+()121212kk a⋅-=-+-121k k +=--所以当为奇数时，，n 12122n n n a ++=-所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点，221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则以为切点的切线方程为.M ()21112x x y x x p p -=-因为切线过点，()1,1P -所以.211220x x p --=同理，，222220x x p --=所以.12122,2x x x x p +==-又因为，()2221212122522222x x x x x xp p FM FN p p pp+-+=+++=+=所以，即.2320p p -+=()()120p p --=又因为，所以，1p >2p =所以抛物线的方程为.E 24x y =（2）设直线的方程为.1l()11y k x +=-联立直线和抛物线的方程，得1l E ()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以.()24410x kx k -++=设，()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y 则.4A B x x k +=同理，4C D x x k+=-所以C AD BAC BD C A D By y y y k k x x x x --+=+--22224444C A D BC AD Bx x x x x x x x --=+--44C AD Bx x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0,=所以，()0AC AB BD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=所以等于定值0.AC AB BD AB k k k k +21.解：（1）当.a =()()e sin 3,e cos x x f x x f x x=+-=+'①当时，，则，(),0x ∞∈-()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-()0f x <所以在上无零点.()f x (),0∞-②当时，，则在上单调递增.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0f x '>()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又因为，()πln22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭所以，()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎥⎣⎦所以在上有一个零点.()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③当时，，π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()πln42e 13e 40f x >-->-=所以在上无零点.()f x π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭综上所述，当时，函数在上只有一个零点.a =()f x (),∞∞-+（2）对任意，恒有，0x …()0h x >即恒成立，()221e 210x ax ax --+->即恒成立，22211e xx ax a -+<-即恒成立.()222110e xx ax a -+--<设，()()[)22211,0,e xx ax g x a x ∞-+=--∈+则.()()()()21212221ee xxx x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==①当时，在上单调递增，在上单调递减，12a -…()g x ()0,1()1,∞+所以只需，()()2max 22()110e ag x g a -==--<即()()e e 210,a a ++->解得.()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭又因为，12a -…所以.e 2,e a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调102a -<<()g x ()0,21a +()21,1a +()1,∞+递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由，()()()2222110,020e ag a g a -=--<=-<解得，这与矛盾，舍去.)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭102a -<<③当时，在上单调递减，0a =()g x ()0,∞+所以只需，得，这与矛盾，舍去.()00g <22a >0a =④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，0a >()g x ()0,1()1,21a +()21,a ∞++所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为，且，()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=--<10a +>所以.2121e a a +->又，所以()2020,0g aa <=->a >所以，212110.4ea a +->->>>>所以满足条件.)a ∞∈+综上所述，实数的取值范围是.a )e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭22.解：（1）设曲线的方程为.C 221x y λλ-=点的直角坐标为.5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,-将点的直角坐标代入曲线的方程，得，AC 201λ=所以，27λ=-所以曲线的普通方程为，C 2212727y x -=所以曲线在第二象限的一个参数方程为参数.（参数方程不唯一）C ,x y α⎧=⎪⎨=⎪⎩π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭设在轴上方直线上任意一点的极坐标为，连接.x l E (),ρθED 在中，，由正弦定理，得，即BED 4DB =sin sin DB EDBED EBD ∠∠=，()()4sin 60sin 18060ρθ=--所以，()4sin60sin 60ρθ=-所以()sin 60ρθ-= 经验证，在轴上及轴下方直线上的点也满足上式，x x l 所以直线的极坐标方程为l ()sin 60ρθ-= （2）设直线的参数方程为（为参数）.l 11,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 联立直线的参数方程和曲线的普通方程，得.l C 22560t t --=设对应的参数为，则.，,BM BN 12,t t 1212t t +=所以.1BQ =在中，DBQ 11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 23.解：（1）因为是偶函数，所以只需针对时的情况展开讨论.()f x 0x …()f x 当时，，此时不等式化为，得，舍[)0,1x ∈()()2221235f x x x x =---=-254x ->-21x >去；当时，，此时不等式化为，，所以x ⎡∈⎣()()22212337f x xx x =---=-2374x ->-(;x ∈当时，，此时不等式化为，得)x ∞∈+()()2221235f x xx x =---=-+254x -+>-，所以.29x <)x ∈综上所述，所求不等式的解集为.()()1,33,1⋃--（2）由（1）可知，当时，的值域为；[)0,1x ∈()f x [)5,4--当的值域为；(),x f x ⎡∈⎣[)4,2-当的值域为.)(),x f x ∞∈+(],2∞-因此，当时，的值域为，x ∈R ()f x (],2∞-所以的最大值为2，则，()f x 2a b +=所以，()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…即①，当且仅当时等号成立.22211()4222a b a b b a ++=⨯=…1a b ==因为，2a b =+…1ab …所以，222()2422a b a b ab ab +=+-=-…即②，当且仅当时等号成立.222a b +…1a b ==由①+②，得，当且仅当时等号成立，22224a b a b b a +++…1a b ==所以的最小值为4.Z。
四川省南部中学2023届高考模拟检测(五)文科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知，则①；②；③；④，上述等式正确的是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④2. 已知a ，b 为实数，集合，集合，若，则实数的值是（ ）A．B ．0C．D ．13. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（）A．B．C．D．4. 已知，A．B．C．D．5. 下列函数中.既是偶函数,又在上为减函数的是A．B．C．D．6.椭圆上一动点P 到两焦点距离之和为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．不确定7. 以下结论正确的是（ ）A ．若，则B．若且，则C．的最小值是2D ．若，且．则8. 已知棱长为1的正方体，以为圆心，为半径作圆弧为圆弧的三等分点（靠近点），则下列命题正确四川省南部中学2023届高考模拟检测（五）文科数学试题(高频考点版)四川省南部中学2023届高考模拟检测（五）文科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题的是（）A．B ．四棱锥的表面积为C．三棱锥的外接球的体积为D．若为上的动点，则的最小值为9.已知向量．若，则实数的值为______．10.设函数是偶函数，且值域为，则______.（写出一个正确答案即可）11. 某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委，每个人是否当选相互独立，如果甲、乙两名同学都不当选的概率为，乙、丙两名同学都不当选的概率为，甲、丙两名同学都不当选的概率为，丁当选的概率为，则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是________．12. 已知集合，，，则实数的值为__________.13. 如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，已知BD ＝ 6.(1)判断MN 与BD 的位置关系；(2)求MN 的长.14. 如图，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有多少个？（2）写出模为的所有向量．（3）试写出的相反向量．15.在中，内角所对的边分别为，已知的面积.（1）求；（2）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，求的取值范围.锐角16. 若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示．(1)求该函数的周期；(2)求s时钟摆的高度．。
四川省绵阳南山2024届高三下学期高考仿真演练(二)数学(文)试题含答案
绵阳南山高2021级高三下期高考仿真演练（二）数学（文科）试题（答案在最后）命题：高三文科数学组将试卷放在屁股下坐一坐——一定过！将试卷亲一下——稳过！祝你考试成功！注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13,5A =,，2{Z |3}B x x =∈≤，则A B ⋃=（）A.{}1,0,1,3,5- B.{}1 C.{}3,1,3,5- D.{}1,3,5【答案】A 【解析】【分析】根据并集的定义即可求解.【详解】因为{}1,0,1B =-，所以{}1,0,1,3,5A B =- .故选：A.2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则iπe 1+=（）A.1-B.0C.1D.i【答案】B 【解析】【分析】把πθ=代入欧拉公式即可。
【详解】iπe 1cos πisin π1110+=++=-+=.故选：B3.下图是某地区2016~2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法正确的是（）A.该地区2020~2023年旅游收入逐年递增B.该地区2016~2023年旅游收入的中位数是3.50亿元C.经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平D.该地区2016~2019年旅游的平均收入约为4.11亿元【答案】C 【解析】【分析】根据中位数、平均数的定义即可判断BD ；结合图形，分析数据即可判断AC.【详解】A ：由图可知2020-2023年旅游收入不是逐年递增，故A 错误；B ：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为4.255亿元，故B 错误；C ：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C 正确；D ：2016-2019年旅游收入的平均数为3.944.575.13 5.73 2.23 2.92 2.04 4.913.933758+++++++=亿元，故D 错误.故选：C.4.已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有下列命题：p ：若//m α，n ⊂α，则//m n ；q ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥.则下列命题是真命题的是（）A.p q ∧B.q p ⌝∨C.q p ⌝∧D.()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系可以判断出命题p 和命题q 的真假性.【详解】如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行或异面，所以命题p 是假命题.若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，又因为n β⊥，则αβ⊥，所以命题q 是真命题.因为p 是假命题，q 是真命题，所以p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，因此p q ∧是假命题，A 错误；q p ⌝∨是假命题，B 错误；q p ⌝∧是假命题，C 错误；p q ⌝∨⌝是真命题，D 正确.故选D.5.一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即1csc y α=；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即1sec xα=.下列结论错误的是（）A.sin csc 1⋅=ααB.2πsec23=-C.函数()sec f x x =的定义域为{}π,x x k k ≠∈Z D.2222sec sin csc cos 5αααα+++≥【答案】C 【解析】【分析】根据定义可判断A ；利用定义转化为余弦求解可判断B ；转化为余弦表示，根据分母不为0求解可判断C ；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D .【详解】由题知，11csc ,sec sin cos αααα==，对于A ，1sin csc 1y yαα⋅=⋅=，A 正确；对于B ，2π1111sec22πππ3cos cos cos π333x =====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，函数()1sec cos f x x x ==，由cos 0x ≠得ππ,2x k k ≠+∈Z 所以()f x 的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C 错误；对于D ，22222211sec sin csc cos 1cos sin αααααα+++=++22214115sin cos sin 2ααα=+=+≥，当sin 21α=±时，等号成立，D 正确.故选：C.6.函数()2cos sin 1x x xf x x+=+的部分图象为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除A ；分别取π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3ππ,2x ∈⎛⎫⎪⎝⎭，结合函数符号排除CD.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()22cos sin cos sin 11x x x x x xf x f x xx --+----===-++-，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +>，所以()0f x >，排除D ；当3ππ,2x ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +<，所以()0f x <，排除C ．故选：B ．7.已知直线2y x m =+与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，则“m >是“AOB 为锐角三角形”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】首先分析出AOB ∠为锐角，再根据点到直线的距离公式和余弦函数的单调性得到不等式，解出m 的范围即可.【详解】由题意知AOB 是等腰三角形，因为顶角是AOB ∠，所以当且仅当AOB ∠为锐角时，该三角形是锐角三角形.所以只需π24AOB ∠<，所以O 到AB 的距离d 满足：πcoscos224AOB d ∠=>，即22d >，解得d >，又因为直线与圆有两交点，则2d <，2d <<2<<，所以m <<，所以m >是三角形为锐角三角形的既不充分也不必要条件，故选：D.8.一个几何体的三视图如图所示，S 为该几何体的外接球表面上一点，则点S 到该几何体每个面距离的最大值是（）A.24132+ B.4142C.4142D.24132-【答案】C 【解析】【分析】先给出直观图，求出外接球的半径R ，由于球心到各个面距离的最大值等于2，于是外接球表面上的点S 到各个面的最大距离等于2+R 求解.【详解】直观图如图所示，外接球的球心为PB 的中点，于是2R PB ===，球心到平面ABCD 的距离等于32，到平面PAD 与平面PCD 的距离都是2，所以球心到各个面距离的最大值等于2，于是外接球表面上的点S 到各个面的最大距离等于422R +=.故选：C.9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足AF BF ⊥，线段AB的上一点M 满足AM MB =，M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（）A.2B.12C.1D.2【答案】A【解析】【分析】如图，设AF a =，BF b =，则MN AB=，进而22221214MN ab a b AB⎡⎤=+⎢+⎣⎦，结合基本不等式计算即可求解.【详解】令A ，B 在准线上的投影分别为A '，B '，设AF a =，BF b =，则AA a '=，BB b '=.所以AB =，因为AM MB =，所以2a bMN +=.所以MN AB=，则()()()222222212111114424a b MN ab a b a b AB+⎡⎤==+≤+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当a b =时等号成立.故选：A.10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，()5,0D ，()2,B A ，BC CD ⊥，则()4f =（）A.4B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先根据,B D 的坐标求出周期，进而求出ω，然后把D 点坐标代入求出ϕ，最后根据BC CD ⊥，利用向量的数量积等于0求出A 。
四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题(含答案解析)
四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设{}23A x x =∈-<<Z ，{}40B x x a =-≥，且{}12A B = ，，则a 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．(]0,4D ．()0,42．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(),1a ，且满足()1i 2z -⋅=，则=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是（）A ．甲的数学成绩最后3次逐渐升高B ．甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数C ．甲有5次考试成绩比乙高D ．甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差4．已知直线20l kx y k ---=：和圆222410C x x y y -++-=：，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切5．若对任意非零实数,a b ，定义a b *的运算规则如图的程序框图所示，则(3*2)*4的值是（）A ．12B ．1312C ．32D ．96．已知实数x y 、满足0x y xy +-=，且0xy >，若不等式490x y t +-≥恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．9B ．12C ．16D ．257．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =且241424S S +=，则5S =（）A ．25B ．45C ．55D ．658．若函数()()1π0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()()sin g x x ωϕ=+的单调递减区间为（）A ．()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π2ππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 9．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即2311122323V R R R R R ππ=⋅-=球.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A ．32πB ．24πC ．18πD ．16π10．已知数列{}n a 满足：138a=，23n n n a a +-≤，6913nn n a a +-≥⋅，则2023a =（）A ．20233322+B ．20233382+C ．202338D ．20233211．已知P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，，左支上的一点，双曲线的左右顶点分别为,A B ，直线BP 交双曲线的一条渐近线于点Q ，直线AP AQ 、的斜率为12k k ，，若以AB 为直径的圆经过点Q ，且1220k k +=，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．2CD．212．已知实数,,(0,1)m n p ∈，且ln 2,ln 3,ln 3223=+=+=+m n pm n p ，则（）A ．p n m <<B ．n m p <<C ．m p n<<D ．n p m<<二、填空题13．已知a = ()1c a b λλ=-+ ，若01a b a c ⋅=⋅= ，，则λ=__________14．已知实数x y ，满足约束条件6020270x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则23z x y =+的最大值为__________15．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且2π3PFQ∠=，线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则2PQd⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为_____________16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，1O、2O为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r=，有以下三个命题：①平面DEF截得球的截面面积最小值为16π5；②球的表面积是圆柱的表面积的3 4；③若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF+的取值范围为2⎡+⎣．其中所有正确的命题序号为___________.三、解答题17．某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长(单位：分钟)，相关数据如下表所示．平板电脑序号123456工作时长/分220180210220200230(1)若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率；(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长y与使用次数x之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．使用次数x /次20406080100120140工作时长/分210206202196191188186附：ˆˆˆybx a =+，()()()121ˆni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a cc -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =(1)若4a c +=，求ABC 的面积;(2)求ABC 周长l 的取值范围．19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N E F ，，分别是111AA AB C D ，，的中点，侧面11DCC D ⊥平面116048120ABCD ABB AD AB DD DAB ∠====∠=，，，，．(1)求证：//NF 平面1C CE ;(2)试求三棱锥1N C EC -体积．20．若函数()323f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上，PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D （异于点A ）两点，直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin cos ρθαα-=(α为直线l 的倾斜角)．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设()0,1P ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB PA PB⋅的最大值．23．设()11f x x x =-++．(1)求()2f x x ≤+的解集;(2)若()f x 的最小值为m ，且0022a b a b m >>+=，，，求313213a b b+++的最小值．参考答案：1．C【分析】求出集合A 和集合B ，由{}12A B = ，确定a 的取值范围即可.【详解】由已知，{}{}231,0,1,2A x x =∈-<<=-Z ，{}404a B x x a x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，∵{}12A B = ，，∴014a<≤，即04a <≤，∴a 的取值范围是(]0,4.故选：C.2．A【分析】根据复数的除法运算求得1i z =+，结合复数的几何意义可得i z a =+，由此求得答案.【详解】由()1i 2z -⋅=得22(1i)1i 1i 2z +===+-，又复数z 对应的点的坐标是(),1a ，即i 1+i,1z a a =+=∴=，故选：A 3．C【分析】根据折线图看甲最后三次的成绩变化可判断A;看甲的数学成绩在130分以上的次数以及乙的数学成绩在130分以上的次数，判断B;看甲成绩比乙高的次数可判断C;观察甲乙两人的最高成绩和最低成绩即可判断D.【详解】对于A ，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A 说法正确；对于B ，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B 说法正确；对于C,甲有7次考试成绩比乙高,故C 的说法错误；对于D ，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D 说法正确，故选：C 4．B【分析】由题意可求出直线所过定点，即为圆心，即可判断出答案.【详解】圆C 的标准方程为()()22126x y -++=，圆心()1,2C -，直线20l kx y k ---=：可化为()21y k x +=-，则直线l 过定点(1,2)-，因此直线l 经过圆心C ，所以直线l 与圆C 相交．故选：B ．5．C【分析】根据程序框图得到分段函数解析式，再由解析式计算可得结果.【详解】根据程序框图可知，1,*1,b a b aa b a a b b-⎧≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩，所以313*222+==，所以4132*422-==，即(3*2)*432=.故选：C 6．D【分析】由0x y xy +-=得到111x y+=，从而利用基本不等式“1”的妙用求出49x y +的最小值，从而得到25t ≤.【详解】因为0x y xy +-=，所以111x y+=，()11944949131325y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当94y x x y =，即5523x y ==，时，等号成立．因不等式490x y t +-≥恒成立，只需()min 49x y t +≥，因此25t ≤，故实数t 的最大值为25．故选：D 7．D【分析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列，结合等差中项根据基本量法计算可得.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d '，由241424S S +=，知331721273331S S S d d d ''==+=+=∴'=，，所以()()11113321n S S n d n n n =+-=+-⨯=-'，所以232n S n n =-，所以565S =，故选：D ．8．C【分析】由图像求出函数解析式，即求出ω，ϕ的值，再根据余弦函数的性质求出函数的单调递减区间.【详解】解：因为点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x π12122ωϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πcos 122ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图像可得6ππ12ωϕ+=-①，又()2π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则直线2π3x =为函数()f x 图像的一条对称轴，结合图像可得2ππ3ωϕ+=②，由①、②解得2ω=，π3ϕ=-，所以()23πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()3ππ3π2π22π22k x k k +≤-≤+∈Z ，得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .故选：C ．9．D【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为()03h h ≤≤时，小圆锥底面半径为r ，则32h r=，23r h ∴=，故截面面积为：2449h ππ-，把y h =代入22149x y+=，即22149x h +=，解得：x =∴橄榄球形几何体的截面面积为22449x h πππ=-，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：(2V V =圆柱V-圆锥1)24343163πππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到橄榄球形几何体的体积.10．C【分析】由23n n n a a +-≤得到6913n n n a a +≤-⋅，结合6913n n n a a +-≥⋅，得到6913nn n a a +-=⋅，从而得到23n n n a a +-=，再利用累加法得到35212113333n n a a -+=+++++ ，结合等比数列求和公式求出2023a 的值.【详解】138a =，23nn n a a +-≤，∴2423n n n a a +++-≤，4643n n n a a +++-≤，∴()()()()64426422243333331139n n n n nn n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++----=++++=++⋅≤=，又6913n n n a a +-≥⋅，故6913nn n a a +-=⋅，所以2424264333n n n n n n n n n a a a a a a +++++++-=-=-=，，，所以3315323,3,3n n n a a a a a a +-=-=⋯-=，，138a =故211212121235331n n n n n a a a a a a a a a a ++----=-+-++-+- 35213333n -=+++⋯+，则35212113333n n a a -+=+++++ ，所以3520212023333338a =++++⋯+()10112023319338198-=+=-.故选：C ．11．D【分析】()(),0,0A a B a -，，点(),P m n 在双曲线上，有22222n b m a a=-，由题意有21PB k k ⋅=-，又1220k k +=，可得22212n m a =-，可求出22b a 的值，即可计算双曲线的离心率.【详解】设点(),P m n ，则22221m n a b -=，即有22222n b m a a =-，①以AB 为直径的圆经过点Q 可知AQ PB ⊥，所以21PB k k ⋅=-，即21PB k k =-，由()(),0,,0A a B a -，则1PB n nk k m a m a==+-，，可得21PB n k m a k ==--，由1220k k +=，则1212k k -=，所以2122212k n n n k m a m a m a -=⨯==-+-，②由①和②得2212b a =，由222232c a b a =+=，得双曲线的离心率c e a==．故选：D ．12．D【分析】通过构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，由此确定正确答案.【详解】构造函数()ln (0)f x x x x =->，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，故()f x 在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由ln22mm =+，ln 2ln2m m -=-，即()()2f m f =，同理()()3f p f =，因为()32,f x >在1x >上单调递增，所以()()32f f >，故()()f p f m >，因为()f x 在01x <<上单调递减，(),0,1m p ∈，故p m <．因为ln ln23ln ln33n n n =-+>-+，故ln 3ln3n n ->-，即()()()3f n f f p >=，因为()f x 在01x <<上单调递减，(),0,1n p ∈，故n p <，从而n p m <<.故选：D【点睛】本题的求解巧妙的利用了构造函数法，通过构造函数，利用导数判断出函数的单调性后，可以将要比较大小的三个数用函数的单调性确定大小关系.13．12##0.5【分析】根据题干条件，计算出()211c a λ⋅=-=，求出λ的值.【详解】()1a c a b λλ==-+ ，且01a b a c ⋅=⋅=，，∴()()()()22111||211c a a b a a b a a λλλλλλ⎡⎤∴⋅=-+⋅=-+⋅=-=-=⎣⎦，故12λ=故答案为：1214．8【分析】根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由目标函数的几何意义求解即可.【详解】首先画出不等式组所表示的可行域，画出直线0230l x y +=：，由23z x y =+得2133y x z =-+，要使z 取得最大值，即直线2133y x z =-+在y 轴上的纵截距最大，因此平移直线0l ，当直线过点C 时纵截距最大，z 取得最大值，由2060x y x y +=⎧⎨-+=⎩得点C ()24-，，因此()max 22348z =⨯-+⨯=．故答案为：8．15．3【分析】设PF m =，QF n =，过点P 、Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '、Q '，则A 到抛物线C 的准线的距离为2m n d +=，利用余弦定理求出2PQ ，则()22141d PQ mn m n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式得到()214mn m n ≤+，从而求出2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【详解】解：设PF m =，QF n =，过点P 、Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '、Q '，则PP m '=，QQ n '=，因为点A 为线段PQ 的中点，由中位线定理可得，A 到抛物线C 的准线的距离为2PP QQ m nd '++='=，因为2π3PFQ ∠=，在PFQ △中，由余弦定理可得，222222π2cos3PQ m n mn m n mn =+-=++，所以()()()())()222222214441m n m n d PQ m n mn m n mn mn m n ⎛⎫++=== ⎪ ⎪⎡⎤⎡+++-⎝⎭⎣-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，因为()24m n mn +≥，则()214mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以21113414d PQ ⎛⎫≤=⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，即23PQ d ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为3．故答案为：316．①③【分析】过点O 在平面ABCD 内作1OG DO ⊥，垂足为点G ，分析可知当OG ⊥平面DEF 时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可判断①；利用球体和圆柱的表面积公式可判断②；P 在底面的射影为P '，设令28P F t '=-，则28P E t '=+，其中88t -≤≤，可得出PE PF +PE PF +的取值范围，可判断③.【详解】对于①，过点O 在平面ABCD 内作1OG DO ⊥，垂足为点G，如下图所示：易知12O O CD ⊥，124O O =，22O D =，由勾股定理可得1O D =则由题可得12211122O O O D OG O D ⋅=⨯=⨯，设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，因为1O D ⊂平面DEF ，当OG ⊥平面DEF 时，1d 取最大值OG，即15d OG ≤=，所以，15r ==，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为216ππ55⎛⨯= ⎝⎭，①对；对于②，因为球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，球的表面积为24πr ，圆柱的表面积为222π2π26πr r r r +⨯=，所以球与圆柱的表面积之比为224π26π3r r =，②错；对于③，由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '，则2PP '=，PE ==PF ==由勾股定理可得2216P E P F ''+=，令28P F t '=-，则28P E t '=+，其中88t -≤≤，所以，PE PF +所以，()222424PE PF ⎡⎤+==++⎣⎦，因此，2,PE PF ⎡+∈⎣，③对.故答案为：①③.17．(1)25(2)17ˆ21480yx =-+；171.5分钟.【分析】（1）使用古典概型概率公式进行求解即可；（2）使用表格中的数据，根据题目所附公式进行计算，并将200x =代入回归直线方程进行估计即可.【详解】（1）用(),x y 表示从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台的序号分别为x 和y ，则基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6共15个，将“抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟”记为事件A ，由已知，序号为1，3，4，6的平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟，∴事件A 中基本事件有()1,3，()1,4，()1,6，()3,4，()3,6，()4,6共6个，∴()62155P A ==.∴若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率为25.（2）由已知，20406080100120140807x ++++++==，2102062021961911881861977y ++++++==，()()71iii x x yy =--∑()()()()()()()60134092050120640960112380=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-，()()()()7222222221604020020406011200ii x x =-=-+-+-++++=∑，∴()()()77121ˆ238017112008iii ii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴171978021480ˆˆa y bx ⎛⎫=-=--⨯= ⎪⎝⎭，∴线性回归直线方程为17ˆ21480yx =-+，当200x =时，17200214171.580ˆy=-⨯+=，∴估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟．18．(1)任选一条件，面积皆为3(2)(【分析】（1）三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得到π3B =，再由余弦定理求得ac ，即可计算ABC 的面积.（2）π3b B ==，由正弦定理边化角再化简得π6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由2π03A <<求得a c +的取值范围，即可得周长的取值范围.【详解】（1）若选条件①，由)cos sin a b C c B -=及正弦定理，得)sin sin cos sin sin A B C C B-=即()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c bC -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由()()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B=+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 2233S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A CB +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin 4cos 4326a c A C A AA A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l的取值范围为(.19．(1)答案见解析；(2)答案见解析；【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根面面垂直的性质定理结合等体积计算即可.【详解】（1）取1CC 的中点为G ，连接11EG GF NE CD A B ，，，，．在11C D C 和1AA B 中，因为F G N E ，，，分别是1111AA CC AB C D ，，，的中点，所以11////FG D C NE A B ，，且111122FG D C NE A B ==，，又在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111//A B D C A B D C =，，所以/FG NE FG NE =，，因此四边形NEGF 为平行四边形，所以//NF EG ，又因NF ⊄平面1C CE EG ⊂，平面1C CE ，所以//NF 平面1C CE ．（2）由（1）知//NF 平面1C CE 知，点N F 、到平面1C EC 的距离相等，所以111N C EC F C EC E C FC V V V ---==，在三角形1CC F 中，11184120CC C F CC F ==∠=，，1111sin1202C FC S C F C C ∴=⋅⋅= 过点A 作AM CD ⊥于M ，因侧面11DCC D ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面11DCC D ，因//AB DC ，所以//AB 平面11C CD D ，因此点AE 、到平面1C EC 的距离相等，则AM 的长为点E 到平面1C EC 的距离，sin60AM AD =⨯=所以111111633N C EC E C FC C CF V V S AM --==⋅⋅=⨯= .20．(1)()33f x x x=-(2)()3,2m ∈--【分析】（1）根据函数的奇偶性求出0b =，0c =，由函数单调性，利用导函数求出1a =，确定函数解析式；（2）点()1,A m 不在曲线上，设切点为()00,M x y ，根据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到32002330-++=x x m ，设()32000233g x x x m =-++，通过研究其单调性，极值情况，求出m 的取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，则()()323233f x ax bx x c f x ax bx x c -=-+++=-=--+-，故0b =，0c =，又因为函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，所以()f x 在=1x -处取得极大值，因为()233f x ax '=-，所以()10f '-=，即330a -=，解得：1a =，经检验符合题意，所以()33f x x x =-．（2）2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，因为曲线方程为33y x x =-，2m ≠-，点()1,A m 不在曲线上，设切点为()00,M x y ，则点M 的坐标满足30003y x x =-，因为()()20031f x x '=-，故切线的斜率为()3200003311x x mx x ---=-，整理得：32002330-++=x x m ，因为过点()1,A m 可作曲线的三条切线，所以关于0x 的方程有三个实根．设()32000233g x x x m =-++，则()200066g x x x '=-，由()00g x '<，得001x <<，()00g x '>，得00x <或01x >，所以()0g x 在(),0∞-，()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以函数的极值点为00x =，01x =，所以关于0x 的方程有三个实根的必要条件是()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得：32m -<<-，又当01x =-时，()15340g m -=-++<-<，当02x =时，()24340g m =++>>，所以32m -<<-时，必有三个实根，故所求的实数m 的取值范围是()3,2m ∈--．【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导研究函数单调性，极值和最值情况，从而解决问题.21．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为π2【分析】（1）根据椭圆的标准方程列方程组求解即可；（2）当直线l 斜率不存在时，易得π2MFN ∠=，当直线l 斜率存在时，设直线l ：2x my =+，()11,B x y ，()22,D x y ，将直线与椭圆成联立，利用韦达定理结合向量数量积的坐标公式求解即可.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意可得22262a c a c a b c+=⎧⎪-=⎨⎪=+⎩，解得221612a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.（2）由（1）得(4,0)A -，当直线l 垂直于x 轴时，:2l x =，代入椭圆方程2211612x y+=，解得()2,3B ，()2,3D -.所以直线AB 的方程为()142y x =+，令8x =，得6y =，则()8,6M ，直线AD 的方程为1(4)2y x =-+，令8x =，得y =-6，则()8,6N -，所以1FM k =，1FN k =-，则1FM FN k k ⋅=-，即π2MFN ∠=，若MFN ∠为定值，则必为π2，当直线l 的斜率存在时，设直线:2l x my =+，()11,B x y ，()22,D x y ，联立222,1,1612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()223412360m y my ++-=，()()()222(12)4343657610m m m ∆=-+⨯-=+>，则1221234m y y m +=-+，2123634y y m =-+，直线AB 的方程为()1144y y x x =++，令8x =，得11124y y x =+，则11128,4y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，直线AD 的方程为()2244y y x x =++，令8x =，得22124y y x =+，则22128,4y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，因为()2,0F ，所以11126,4y FM x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，22126,4y FN x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()21212121212121212363644416y y y y FM FN x x x x x x ⋅=+⨯=++++++ ()212221212223614414434363636126366363434y y m m m y y m y y m m m m ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭=+++++⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2221443636363603672363364m m m ⨯-=+=-=--+⨯+⨯，故FM FN ⊥ ，即π2MFN ∠=.综上，MFN ∠为定值π2.22．(1)sin cos cos 0x y ααα-+=；()()22110x y x -+=≠；(2)2【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==与正弦的和差公式可求得直线l 的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线C 的普通方程；（2）法一：先由条件得到直线l 的参数方程，再联立直线l 与曲线C 的方程，利用参数的几何意义得到AB PA PB =⋅，从而得解；法二：利用圆的切割线定理得到2||1PA PB PO ⋅==，从而得到ABAB PA PB =⋅，由此得解.【详解】（1）由()sin cos ρθαα-=，得()sin cos cos sin cos ρθαθαα-=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的直角坐标方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，由222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，两式相除得()0y t x x =≠，所以221x y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得曲线C 的普通方程为()()22110x y x -+=≠.（2）法一：因为直线l 经过点()0,1P ，所以直线l 的参数方程为cos 1sin x m y m αα=⎧⎨=+⎩(m 为参数)，代入()2211x y -+=中，得()22sin cos 10m m αα+-+=，由()2sin c 4os 40αα=-∆->，得sin 20α<，又[)0,πα∈，故π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()12122cos sin ,1m m m m αα+=-=，所以121212AB m m PA PB m m -=⋅⋅因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，故1sin 20α-≤<，则04sin 24α<-≤，所以2AB PA PB =≤⋅，当且仅当3π4α=时，等号成立，故AB PA PB ⋅的最大值为2.法二：直线l 经过点()0,1,1P PO =，曲线C ()()22110x y x -+=≠为除()0,0点外，以()1,0C 为圆心半径为1r =的圆，易得圆心C 到直线:0PO x =的距离为1，所以直线PO 与圆C 相切，且O 为切点，所以由圆的切割线定理得2||1PA PB PO ⋅==，所以2ABAB PA PB=≤⋅，当且仅当AB 为圆C 的直径时，等号成立，故ABPA PB ⋅的最大值为2．23．(1)[]02，(2)85【分析】（1）将函数写成分段函数，再分段求解，最后取并集即可；（2）由绝对值三角不等式可得2m =，于是有1a b +=，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）2,1()112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，当()2f x x ≤+时，122x x x <-⎧⎨-≤+⎩或1122x x -≤≤⎧⎨≤+⎩或122x x x >⎧⎨≤+⎩,解得x ∈∅或01x ≤≤或12x <≤，所以02x ≤≤，故()2f x x ≤+解集为[]02，；（2）()11112f x x x x x =-++≥---=，当且仅当(1)(1)0x x -⨯+≤即11x -≤≤时，等号成立，∴2m =，∴1a b +=，∵a ，b 为正实数，∴31319132133139313a b b b b b b +=+=+++-+-+191([(93)(13)]109313b b b b=⨯+⨯-++-+19(13)931168[10[1010931310105b b b b +-=⨯++≥⨯+==-+，当且仅当9(13)939313b b b b +-=-+，即12a b ==时，等号成立．故313213a b b +++的最小值为85．。
四川省高考数学(文)模拟考试卷(附答案解析)
四川省高考数学（文）模拟考试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合{}2Z |340A x x x =∈--≤，B=[0,2]，则A B =（ ）A ．{}1,2-B ．{}1,4-C ．{}1,4D ．{}0,1,22．已知()21i 2i z +=+，则z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．i -D ．1-3．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间4．已知sincos22αα-=，则sin α=（ ） A ．35B ．45C ．35 D ．45-5．过抛物线24y x =焦点F 的直线与圆2212270x y x +-+=相切于点P ，则PF =（ ）A ．3B ．C ．4D ．6．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．关于x 方程()(log 0,1m x k m m =>≠的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（ ）（11a <<；（2）2a b <+；（3）()1log 11a bb a a a ++-<-；（4）()()1441b a a b +++<+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．将函数sin2y x =图象向左平移π12个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（ ）A ．BM DE ∥B ．//CN 平面AFBC ．ED 与NF 所成的角为60︒D ．EN BC ∥10．直线y kx k =-与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，点P 为抛物线的准线与x 轴的交点，若2PA PB =，则AB =（ ） A ．32B ．3C ．92D ．611．在菱形ABCD 中，AB=5，AC=6，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段AD ，CD 上，且13AM MD =与13CN ND =将MND 沿MN 折叠到MND '△，使GD '=D ABC '-的外接球的表面积为（ ） A ．1203π16B ．627π16C ．289π8D ．40π12．已知()e ax f x =在R 上为单调递增函数，过点(),0A a 且平行于y 轴的直线与函数()e axf x =的图象的交点为P ，函数()y f x =在点P 处的切线交x 轴于点B ，当a 变化时，ABP 的面积最小时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()12e xf x = B ．()e xf x =C ．()f x =D ．()f x =二、填空题13．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线22:14y C x -=，则其共轭双曲线离心率为__________．14．已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()()//2ma b a b -+，则m =______ 15=________. 16．甲订了一份报纸，送报人可能在早上7:008:00-之间把报纸送到甲家，而甲取报纸的时间在早上7:308:30-之间，则甲能得到报纸的概率为__.三、解答题17．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：(1)现在用分层抽样的方法在第二，三组共选取5人参加传染病知识学习，若从参加学习的5人中随机选取2人参加考试，求恰有一人来自第二组的概率；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d =+++．18．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足1122b a ==和222ab =和3311+=a b ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S ．19．在如图所示的多面体ABCDE 中，⊥AE 平面ABC ，AE//CD ，AE=2CD=2，CA=CB=3及AB =(1)证明：平面ABE ⊥平面BDE ； (2)求多面体ABCDE 的体积．20．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点12A ⎛ ⎝⎭与点()2,0B ，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交直线3x =于E ，F 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)PE QF ⋅是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 21．已知函数21()ln ()x f x a x a x-=-∈R ．(1)()f x '为函数()f x 的导函数，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，证明：21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<．22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点()1,0P ，l 与曲线C 交于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，且13PQ PA PB =+，求l 的斜率．23．已知函数()12f x x x =--- 和 ()21g x x =-． (1)求函数()f x 的值域；(2)若a >0，b >0，且221a b +=，不等式22114()22f x a b≤+恒成立，求实数x 的取值范围． 参考答案与解析1．D【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A ，即可求解. 【详解】由2340x x --≤解得14x -≤≤ 又因为Z x ∈，所以{}1,0,1,2,3,4A =- 所以A B ={}0,1,2 故选:D. 2．D【分析】根据给定条件，结合复数的乘方及除法运算求出复数z ，再求出z 的虚部作答.【详解】依题意2i 2i z ⋅=+，即2i (2i)(i)12i 1i 2i 2i (i)22z ++--====-⋅- 所以复数z 的虚部是1-. 故选：D 3．C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 4．B【分析】将已知等式两边平方，结合同角的三角函数关系以及二倍角的正弦公式，即可求得答案.【详解】由sincos22αα-=可得，21(sin cos )225αα-=即11412sin cos ,1sin ,sin 22555αααα-=-=∴=故选：B 5．C【分析】由题可得()1,0F ，圆心为()6,0，半径为3，然后利用切线长公式即得.【详解】由题可得()1,0F ，圆2212270x y x +-+=，即()2269x y -+=，圆心为()6,0，半径为3所以4PF ==.故选：C. 6．A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->则函数()f x 的定义域为R()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项当02x π<<时，sin 0x >则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A. 7．C【分析】根据题意结合对数分析可得01a b <<<，且1b a =，对（1）：解不等式12b a a=<即可得结果；对（2）：由1a b a a+=+，根据1y x x =+的单调性分析运算即可；对（3）：()()11log 11log 1log a b a b b b b a a a a a b a +++-<-⇔+-<-，构建()log x b g x x a =-，结合()g x 的单调性分析判断；对（4）()()()()14ln 4ln 11414b a a b a b a b +++<++++⇔+<，构建()ln xh x x =，结合()h x 的单调性分析判断.【详解】由题意可得：log log m m a b k ==，则log log log 0m m m a b ab +==，故1ab = ∵a b <，故01a b <<<，且1b a=对（1）：由2b a <，即12a a <，解得a >a <∵01a <<(11,a b a<<=∈，（1）正确；对（2）：∵1a b a a +=+，且1y x x =+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减∴2a b <+<，（2）正确；对（3）：构建()11f x x x =-+，则()f x 在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()10f x f >=>⎝⎭ 可得110a a-+>，即11a b a +>=∵()()1log 11log 1log a b b b b a a b a a ++-=+-<-，等价于()1log 1log a b b b a a b a ++-<-构建()log xb g x x a =-1a b <<<，则()g x 在定义域内单调递增 ∴()()1g a g b +>，即()1log 1log a b b b a ab a ++->-，C 错误；对（4）：由（1）得(44,12,1a b ⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且41a b +>+ 由()()1441b a a b +++<+，等价于()()()()44ln n 11l a b a b +<+++，等价于()()ln 44l 11n a a b b ++<++构建()ln xh x x=，则()21ln x h x x -'=令()0h x '>，则0e x <<故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()()(ln 2ln 424124h h h ===<∴()()()24h x h h >=在(2,1上恒成立，即()()1n 4l 1h b b >++又∵()h x 在()e,+∞上单调递减，则()()44h h h x ⎛>> ⎝⎭在4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()4ln 44a h a +>+ 故()()ln 44l 11n a a b b ++<++，（4）正确.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数h (x )；（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 8．C【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案. 【详解】由题意知将函数sin2y x =图象向左平移π12个单位长度 则得到函数sin2()sin ππ)(2126y x x =+=+的图象故所得图象的函数解析式为sin(2π)6y x =+故选：C 9．A【分析】由正方体的平面展开图还原正方体ABCD EFMN -，可直接判断A 、D 的正误；根据EN BC ∥且EN BC =可证CN BE ∥，可得//CN 平面AFB ；可证DE FC ∥，在等边三角形△CFN 中分析ED 与NF 所成的角． 【详解】如图：由正方体的平面展开图还原正方体ABCD EFMN - 根据图形显然,BM DE 不平行，EN//BC ，A 不正确，D 正确； ∵EN BC ∥且EN BC =，则ENBC 为平行四边形 ∴CN BE ∥CN ⊄平面AFB ，BE ⊂平面AFB 则//CN 平面AFB ，B 正确； 连接CF∵EF CD 且EF CD =，则EFCD 为平行四边形 ∴DE FC ∥又∵NF CF CN ==，即△CFN 为等边三角形 ∴ED 与NF 所成的角为60︒，C 正确； 故选：A ．【点睛】 10．C【分析】由2PA PB =列方程求得,A B 两点的横坐标，结合抛物线的定义求得AB .11．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接D H '，证明D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C '的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC'-外接球的球心，先求出12,r r ，再求出三棱锥D ABC '-的外接球的半径R 即得解.径为1r ，在ABC 中，由()2221143r r -+=，解得1258r =，同理可得AD C '的外接圆半径21728r =，所以228GO =．设三棱锥D ABC '-的外接球半径为R ，则22212R O A GO =+6252627646464=+=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积26274π16S R π==. 故选：B ．12．D【分析】由导数的几何意义求切线方程后得B 点坐标，将ABP 的面积表示为a 的函数，由导数判断单调性后求解13【分析】本题首先可以求出双曲线C 的实轴长以及虚轴长，然后结合题意求出其共轭双曲线的实轴长以及虚轴长，最后根据离心率ce a=即可得出结果.【详解】因为双曲线C 的解析式为2214y x -=所以2a =，双曲线C 的实轴长为4，b=1，双曲线C 的虚轴长为2因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线 所以双曲线C 的共轭双曲线实轴长为2，虚轴长为4 此时1a =，b=2故c =551c ea【点睛】本题考查共轭双曲线的离心率的求法，能否结合题意得出共轭双曲线的实轴长以及虚轴长是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题. 14．12-##0.5-【分析】求出向量,2ma b a b -+的坐标，然后利用向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】由已知()()3,34,27,11ma b m m a b -=--+= 又()()//2ma b a b -+()()113734m m ∴-=-解得12m =-.故答案为12-.15．8【解析】由二倍角公式得出22cos 121cos 24︒︒-=，再将分子分母同乘以cos12︒结合商数关系化简得出.【详解】原式()sin122sin 60122sin 48cos12811cos24sin12sin 48sin 4844︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=====. 故答案为：8【点睛】本题主要考查了利用两角差的正弦公式，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题. 16．78【分析】求出全部结果所构成的区域以及甲能看到报纸构成的区域，由面积之比可得.故答案为：78.17．(1)3 5(2)填表见解析；没有【分析】（1）根据分层抽样确定抽取人数，然后列举出所有结果，由古典概型概率公式可得；（2）根据2K公式计算，然后查表可得.共10种选择，恰有一人来自第二组有6种故恰有一人来自第二组的概率为63105P==；（2）根据分层抽样方法潜伏期不超过6天的抽取人数为100200300200120 1000++⨯=潜伏期超过6天的抽取人数为20012080-=根据题意补充完整的列联表如下：则22200(65455535)252.0833.8411208010010012K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.18．(1)n a n =和2nn b =； (2)1(1)22+=-⋅+n n S n .【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式； （2）用错位相减法求数列{}n n a b 的和．【详解】（1）解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ()0q ≠与11a =和12b =联立2233211a b a b ⎧=⎨+=⎩，整理可得2221112dd q q ⎧++=⎨=⎩，解得21q d =⎧⎨=⎩ 所以n a n =，2nn b =.（2）解：由（1）知2nn n a b n =⋅则321122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，①23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，②①-②，得23122222n n n S n +-=++++-⨯1122212nn n +-=⨯-⨯-1(1)22n n +=-⨯-.所以1(1)22+=-⋅+n n S n .19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）说明四边形CFGD 为平行四边形，由线面垂直证AE CF ⊥，再由线线垂直证DG ⊥平面ABE ，最后可证平面ABE ⊥平面BDE ；（2）多面体ABCDE 的体积等于三棱锥D ABC -的体积与三棱锥D ABE -的体积之和其中说明CF ⊥平面ABE 、CD ∥平面ABE ，可得点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离CF ，并计算其值；说明CD ⊥平面ABC ，则为三棱锥D ABC -的高.【详解】（1）证明：设AB ，BE 的中点分别为F ，G ，连接CF ，FG ，DG ，则FG AE ∥，且12FG AE = 又CD AE ∥，且12CD AE =，所以FG CD ∥，且FG CD =所以四边形CFGD 为平行四边形，所以∥CF DG ．因为⊥AE 平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，所以AE CF ⊥，所以AE DG ⊥ 因为CA CB =，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，所以DG AB ⊥ 又AB ，AE ⊂平面ABE ，且ABAE A =，所以DG ⊥平面ABE又DG ⊂平面BDE ，所以平面ABE ⊥平面BDE ．（2）由（1）得CF AB ⊥，CF AE ⊥且AB ，AE ⊂平面ABE ，AB AE A =所以CF ⊥平面ABE又因为CA=CB=3，AB =F 为AB 的中点，所以2CF =． 因为CD AE ∥，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以CD ∥平面ABE所以点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离CF ． 因为⊥AE 平面ABC ，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE AC ⊥ AE BC ⊥ 又CD AE ∥，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥又AC ，BC ⊂平面ABC ，且ACBC C =，所以CD ⊥平面ABC连接AD ，多面体ABCDE 的体积V 等于三棱锥D ABC -的体积与三棱锥D ABE -的体积之和而112132D ABC V -=⨯⨯⨯=112232D ABE V -=⨯⨯⨯所以多面体ABCDE 的体积V == 20．(1)2214x y +=(2)见解析【分析】（1）设椭圆C 的方程为221mx ny +=，由,A B 两点得出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线l 与椭圆方程，由直线,BP BQ 的方程得出,E F 坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出PE QF ⋅的范围，进而得出PE QF ⋅的最值.【详解】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,mx ny m n +=>>且)m n ≠因为椭圆C过点12A ⎛ ⎝⎭与点()2,0B ，所以15141641m n m ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得141m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设直线:1l x ty =+ ()()1122,,,P x y Q x y 由22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(1)440ty y ++-= 即()224230t y ty ++-=，则12122223,44t y y y y t t +=-=-++. 直线,BP BQ 的方程分别为1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---. 令3x =，则12123,,3,22y y E F x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.则()()11111111323,2,21y x y ty PE x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()22222222323,2,21y x y ty QF x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以()()()()()()12121212222211y y ty ty PE QF ty ty ty ty --⋅=--+--()()2121212212122411y y t y y t y y t y y t y y ⎡⎤⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦-++⎣⎦2222222223344413244144t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎪++ ⎪++⎝⎭()()()2222254451651444444t t t t t +-+===-+++.因为244t +≥，所以22115150,144444t t <≤≤-<++. 即PE QF ⋅的取值范围为51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.所以PE QF ⋅存在最小值，且最小值为1.【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量12,x x 变为单变量问题，从而由25144t -+的范围，得出PE QF ⋅的取值范围. 21．(1)2a ≤ (2)证明过程见详解【分析】（1）先求()f x '，将()0f x '≤对任意的0x >恒成立问题转化为210x ax -+≥对任意的0x >恒成立问题，再分离参数，结合对勾函数的性质即可得到实数a 的取值范围；（2）结合（1）知当2a ≤时()f x 单调递减，无极值点，不满足条件；讨论当2a >时，得到1201x x <<<，满足条件，先证明sin (0)x x x >>，再将要证21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<转化为只需证212122ln ln 0x x a x a x --+<，构造函数，再通过函数的单调性即可证明结论．【详解】（1）依题意得22211()10a x ax f x x x x -+=--=-≤'对任意的0x >恒成立 即210x ax -+≥对任意的0x >恒成立 所以1(0)a x x x≤+>又12x x+≥，当且仅当1x =时取“=”，所以2a ≤． （2）由（1）知当2a ≤时()f x 单调递减，无极值点，不满足条件． 当2a >时，令22211()10a x ax f x x x x -+=--=-=' 得210x ax -+=，则240a ∆=->，所以其两根为12,x x由韦达定理得12121x x ax x +=⎧⎨⋅=⎩又∵12x x <，∴1201x x <<<，满足条件 令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥ ∴()(0)0g x g >=，∴sin (0)x x x >>要证21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<只需证212122ln ln 0x x a x a x --+<即证211221ln ln 22x x a x x x x -+<=-，即证()2121122ln ln x x x x x x -<-+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+令21(1,)x t x =∈+∞，即证22ln 1t t t -<+ 令22()ln 1t h t t t -=-+ (1,)t ∈+∞ 则()()()()222114011t h t t t t t -=-=+'>+所以()h t 在(1,)+∞单增，()(1)0h t h >= 故结论得证．【点睛】关键点点睛：先证明sin (0)x x x >>，再将要证21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<转化为只需证212122ln ln 0x x a x a x --+<，构造函数，再通过函数的单调性是解答小问（2）的关键．22．(1)22(1)(1)2x y -+-= (2)2±【分析】（1）两边同时乘以ρ，利用和差公式展开，代入公式222,sin ,cos ,x y y x ρρθρθ=+==即可求解.（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入13PQ PA PB =+即可求解.【详解】（1）由π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得22sin 2cos ρρθρθ=+22222,sin ,cos ,22x y y x x y x y ρρθρθ=+==∴+=+即22(1)(1)2x y -+-=,所以曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-= （2）易知直线l 过点(1,0)P ,设直线倾斜角为α则直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)代入22(1)(1)2x y -+-=得22sin 10t t α--=,易得24sin 40α∆=+> 设A ,B 对应的参数分别为12,t t ,则12122sin ,1t t t t α+==- 故1212121212||122||||3t t t t t t PQ PA PB t t t t +++=====++-. 解得24sin 5α=则221cos ,tan 4,tan 25ααα==∴=±l ∴的斜率为2±.23．(1)[]1,1- (2)7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分2x ≥，x ≤1，1<x<2三种情况，分类讨论求解或者绝对值不等式性质求解.（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出221122a b +的最小值2，结合（1）分情况讨论()42f x ≤，解不等式即可.【详解】（1）法一：由题得()1,123,121,2x f x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其中，当12x <<时，()()231,1f x x =-∈-，从而易得函数()f x 的值域为[]1,1-． 法二：由绝对值不等式的性质可得，()()()12121f x x x x x =---≤---= 所以()11f x -≤≤，当且仅当()()120x x --≥，即1x ≤或2x ≥时取得等号 故函数()f x 的值域为[]1,1-．（2）由基本不等式，得()2222222222111112222222b a a b a b ab a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当a b ==时取得等号，故221122a b +的最小值为2．由题得，4()2f x ≤，即1|1||2|2x x ---≤等价于1112x ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩或121232x x <<⎧⎪⎨-≤⎪⎩或2112x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩由此可解得74x ≤，故原不等式的解集为7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。
四川省高考数学模拟试卷与解析(文科)
四川省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．124．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（）A．B．C．2 D．36．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（）A．3 B．2 C．log29 D．log277．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．10 D．169．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为吨．15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是．16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：直线BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2①求证：k1•k2为定值；②求△CEF的面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．四川省高考数学模拟试卷（文科）试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}=（﹣1，3），∵B={x|x﹣1≥0}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．3．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．12【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于a 的等式解之即可．【解答】解：由题意|m|＜2的概率为，则=，解得a=6；故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，由此计算体积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，所以几何体的体积为2×2×2+=8+故选C．【点评】本题考查了组合体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算．5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（）A．B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则b=，c==2a，故双曲线的离心率e==2；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（）A．3 B．2 C．log29 D．log27【考点】分段函数的应用．【分析】由已知中f（x）=，将x=3代入可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）=f（1）=f（0）=log28=3，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意∈N*，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=2，i=0，m=48，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，…∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，∴共要循环9次，故i=9．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（m，n）的值是解题的关键．8．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．10 D．16【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性可得ω•+=kπ+，k∈Z，由此求得ω的最小值．【解答】解：根据函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，可得ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=12k+4，故ω的最小值为4，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c【考点】不等式比较大小；不等式的基本性质．【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=c x，由指数函数的性质分析可得A 错误，对于B、构造函数y=x c，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=c x，由于0＜c＜1，则函数y=c x是减函数，又由a＞b＞1，则有c a＞c b，故A错误；对于B、构造函数y=x c，由于0＜c＜1，则函数y=x c是增函数，又由a＞b＞1，则有a c＞b c，故B错误；对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；对于D、log a c﹣log b c=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有log a c﹣log b c=﹣=lgc（）＞0，即有log a c＞log b c，故D正确；故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+【考点】抛物线的简单性质．【分析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周长的最小值为11，故选B．【点评】考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标代入圆内方程求出4x﹣y范围．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=∴圆弧以点C为圆心的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，设P（m，n）则=（m，n），=（0，1），=（2，0），=（﹣1，1）若，∴（m，n）=（2x﹣y，y）∴m=2x﹣y，n=y∵P在圆内或圆上∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，设f（x）=80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，x∈[，]，则，解得2≤t≤3+，故4x﹣y的最大值为3+，故选：B【点评】本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z（1+i）=2，∴，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为59.5吨．【考点】线性回归方程．【分析】求出x，y的平均数，代入y关于x的线性回归方程，求出a，把x=80代入，能求出当产量为80吨时，预计需要生成的能耗．【解答】解：由题意，=45，=35，代入=0.7x+a，可得a=3.5，∴当产量为80吨时，预计需要生成能耗为0.7×80+3.5=59.5，故答案为：59.5．【点评】本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题．15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a范围．对于命题q：当时，利用基本不等式的性质可得：x+≥2，根据恒成立，可得a的求值范围．如果命题“p∧q”为真命题，可得实数a的取值范围．【解答】解：对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a＞1．对于命题q：当时，x+≥2，当且仅当x=1时取等号．由当时，恒成立，∴a＜2．如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 2.6日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【考点】数列的应用．【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A n=，B n=，由题意可得：=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•资阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）求出，即可求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化简得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）。
四川省成都市(新版)2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷
四川省成都市（新版）2024高考数学人教版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数的虚部为（）A．B．1C．D．第(2)题过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且，则双曲线M的离心率是（）A．B．C．D．第(3)题已知向量，则下列向量中与成的是A．B．C．D．第(4)题已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．第(5)题设集合，则A．B．C．D．第(6)题定义区间的长度均为．用表示不超过x的最大整数．记，其中．设，若用d表示不等式解集区间的长度，则当时，有A．B．C．D．第(7)题两条平行线与之间的距离为（）A．B．1C．2D．第(8)题已知抛物线的焦点在直线上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为的直线交抛物线C于A､B两点，则（）A．12B．14C．16D．18二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A．正方体的内切球的半径为B．两条异面直线和所成的角为C．直线BC与平面所成的角等于D．点D到面的距离为第(2)题已知函数，下列命题正确的是（）A．若是函数的极值点，则B．若是函数的极值点，则在上的最小值为C．若在上单调递减，则D．若在上恒成立，则第(3)题已知函数是其中一个对称中心，且的最大值是2，则（）A．的最小正周期为B．将图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称C ．在区间上单调递减D．在区间上有且仅有5个极大值点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题若为虚数单位，复数满足，则的虚部为___________.第(2)题设，，若，则的最小值为______，此时的值为______.第(3)题已知，方程的一个根为（为虚数单位），则______四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知函数在点处的切线与直线垂直.(1)求的值；(2)求的单调区间和极值.第(2)题如图所示，正方形所在的平面与等腰所在的平面互相垂直，其中顶，，为线段的中点．（1）若是线段上的中点，求证：平面；（2）若是线段上的一个动点，设直线与平面所成角的大小为，求的最大值．第(3)题中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.(1)求∠A；(2)若，满足，，四边形是凸四边形，求四边形面积的最大值．第(4)题众所周知，大型网络游戏（下面简称网游）的运行必须依托于网络的基础上，否则会出现频繁掉线的情况，进而影响游戏的销售和推广，某网游经销在甲地区5个位置对两种类型的网络（包括“电信”和“网通”）在相同条件下进行游戏掉线的测试，得到数据如下：位置A B C D E类型电信438612网通57943（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过0.15的前提下，能否说明网络状况与网络的类型有关？（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选2个作为游戏推广，求A，B两地区至少选到一个的概率．参考公式：．第(5)题已知函数．（1）讨论函数的零点个数；（2）设，是函数的两个零点，证明：．。
四川省成都市(新版)2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷
四川省成都市（新版）2024高考数学人教版模拟(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知为递增的等比数列，且满足，，则（）A．B．1C．16D．32第(2)题杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家，其著作《详解九章算法》中画了一张表示二项式展开式后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现简称为“杨辉三角”，比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年．若用表示三角形数阵中的第m行第n个数，则（）A．5050B．4851C．4950D．5000第(3)题有张奖券，其中张可以中奖，现有个人从中不放回地依次各随机抽取一张，设每张奖券被抽到的可能性相同，记事件“第个人抽中中奖券”，则下列结论正确的是（）A．事件与互斥B．C．D．第(4)题已知，则（）A．B．C．D．第(5)题现有含甲在内的5名游客来到江西旅游，分别准备从井冈山、庐山、龙虎山这3个5A级景区中随机选择1个景区游玩.在这5名游客中，甲不去井冈山，但每个景区均有人选择，则这5名游客不同的选择方案种数为（）A．52B．72C．76D．100第(6)题已知函数，若方程恰有三个不同实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．第(7)题将正整数n分解为两个正整数，的积，即，当，两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如，其中即为12的最优分解，当，是n的最优分解时，定义，则数列的前2024项的和为（）A．B．C．D．第(8)题设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（）A．B．C．D．第(2)题下列说法中正确的是（）A ．若复数，则复数在复平面内对应的点位于第一象限B．已知复数z满足，则C．是关于x的方程（m，n为实数）在复数集内的一个根，则实数n的值为26D．若复数z满足若，且，则的最小值为4第(3)题若实数，满足，则（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体，则的体积为__________; 的外接球的表面积为__________.第(2)题已知向量与共线且方向相同，则_____.第(3)题已知圆关于直线对称，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则圆心到直线的距离为______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知，其中．(1)当时，分别求和的的单调性；(2)求证：当时，有唯一实数解；(3)若对任意的，都有恒成立，求a的取值范围．第(2)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．(1)求曲线和直线的直角坐标方程；(2)已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值第(3)题如图所示，椭圆C：（）的离心率为，左、右焦点分别为，，椭圆C过点，T为直线上的动点，过点T作椭圆C的切线，，A，B为切点.（1）求证：A，，B三点共线；（2）过点作一条直线与曲线C交于P，Q两点.过P，Q作直线的垂线，垂足依次为M，N.求证：直线与交于定点.第(4)题在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)若直线与曲线只有一个公共点，求的值.第(5)题已知函数．(1)若，求曲线在x＝0处的切线方程；(2)若，求a的取值范围．。
四川省成都市2024年数学(高考)部编版模拟(预测卷)模拟试卷
四川省成都市2024年数学（高考）部编版模拟(预测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知函数的部分图象如下：则的解析式可能为（）.A．B．C．D．第(2)题已知双曲线：（，）的右焦点为，、两点在双曲线的左、右两支上，且，，，且点在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．第(3)题某校为了解学生每个月在图书馆借阅书籍的数量，图书管理员甲抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；图书管理员乙也抽取了一个容量为100的样本，并算得样本的平均数为7，方差为16.若将两个样本合在一起组成一个容量为200的新样本，则新样本数据的（）A．平均数为7B．平均数为6.5C．方差为12.5D．方差为13.5第(4)题青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）A．1.5B．1.2C．0.8D．0.6第(5)题已知函数的部分图象如图所示，则（）A．1B．C．2D．第(6)题已知，且，则（）A．B．C．D．无法确定，的大小第(7)题设集合，则（）A．B．C．D．第(8)题已知命题，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知点为双曲线上的任意一点，过点作渐近线的垂线，垂足分别为，则（）A．B．C．D．的最大值为第(2)题若实数m，，满足，以下选项中正确的有（）A．mn的最大值为B．的最小值为C．的最小值为D．最小值为第(3)题2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．x12345y2110a15a90109根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（）A．样本相关系数在内B．当时，残差为-2C．点一定在经验回归直线上D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
2023-2024学年四川省高考适应性考试数学(文)模拟试题(一模)含答案
2023-2024学年四川省高考适应性考试数学（文）模拟试题（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出四个选项中，只有一项符合题目要求.1．设},21|{},,2|{Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈==，则（）A．NM ⊆B．M N ⊆C．NM =D．=N M Ø2．已知在一次射击预选赛中，甲、乙两人各射击10次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下列四个选项中判断正确的是（）A．甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差B．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差C．甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数D．甲的成绩的中位数小于乙的成绩的中位数3．在等比数列{}n a 中，若24a =，532a =-，则公比q 应为（）A．12±B．2±C．12D．－24．要得到函数2112x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象，只需将指数函数14xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象（）A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位5．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点()4,0B ，若AF BF =，则AB 的中点到y 轴的距离是（）A．2B．C．3D．6.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知3,4)5,12)A B (--(-，，则cos AOB ∠=（）A．3365B．3365-C．10D．107．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，13a =，123a a a -=，则n S 的最大值为（）A．7B．6C．5D．48.直线01:=+-+m y mx l 被圆16)1()1(:22=-++y x C 所截得弦长的最小值为（）A.24 B.23 C.22 D.29.形如413或314的数称为“波浪数”，即十位数字比两边的数字都小.已知由1，2，3，4构成的无重复数字的三位数共24个，则从中任取一数恰为“波浪数”的概率为（）A.61B.31 C.125 D.8510.若函数x x a x f cos sin )(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππ为单调函数，则实数a 的取值范围是（）A.(][)+∞-∞-,11,B.(]1,-∞-C.[)+∞,1 D.[]1,1-11．《忠经·广至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在实际生活中，新时代的青年不仅要有自己“不私”的觉悟，也要有识破“诈公”的智慧.某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（）A．大于10gB．小于10gC．等于10gD．以上都有可能12.设函数()f x ，()g x 在R 上的导函数存在，且()()f x g x ''<，则当(),x a b ∈时（）A.()()f x g x <B.()()f xg x >C.()()()()f xg a g x f a +<+ D.()()()()f xg b g x f b +<+二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知复数z 满足(1i)2i z +=，则z z ⋅=_________．14.=-+-+213log8113413ln e15．如图，圆台12O O 中，125O O =，其外接球的球心O 在线段12O O 上，上下底面的半径分别为11r =，23r =，则圆台外接球的表面积为________.16.已知定义在R 上的函数)(x f 满足2)()(),()3(-=-=+x f x g x f x f为奇函数，则=)198(f 三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．（本小题12分）某学生兴趣小组随机调查了某市200天中每天的空气质量等级和当天到江滨公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：空气质量等级等级空气质量等级锻炼人次[]0,200(]200,400(]400,6001（优）1220442（良）1519303（轻度污染）1616144（中度污染）752(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；并求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；(2)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99.9％的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次400≤人次400>空气质量好空气质量不好附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．▲18．（本小题12分）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,,E F 分别为1,AD CC 的中点.(1)已知点G 满足14DD DG =，求证,,,B E G F 四点共面；(2)求点1C 到平面BEF 的距离.▲19.（本小题12分）设函数x x x x f ωωωcos sin 32sin 2)(2+=的图像关于直线π=x 对称，其中ω为常数且)1,21(∈ω（1）求函数)(x f 的解析式；（2）ABC ∆中，已知C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若3)(=A f ，且C B 2=，求角CB A ,,的大小并求abc b a c a 222-+-的值▲20．（本小题12分）已知函数)0(112643)(2234≥+-+-=x x m mx mx x x f ，其中0>m ．（1）当1m =时，求()f x 的单调区间；（2）若对任意x ∈，都有1)(≤x f ，求实数m 的取值范围．▲21.（本小题12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>过点A ，且焦距为10．（1）求C 的方程；（2）已知点3),B D -，E 为线段AB 上一点，且直线DE 交C 于G ，H 两点．证明：||||||||GD HD GE HE =．▲选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答。
2023-2024学年四川省高考热身考试数学(文)模拟试题(一模)含解析
2023-2024学年四川省高考热身考试数学（文）模拟试题（一模）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}20,1,A a =，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则=a （）A.1或2-B.2-C.1-或2D.2【正确答案】B【分析】分析可知A B ⊆，利用集合的包含关系可出关于a 的等式，结合集合元素满足互异性可得出实数a 的值.【详解】因为{}20,1,A a=，{}0,2B a =-，A B A ⋃=，则B A ⊆，所以，21a -=或22a a =-，若21a -=，则1a =，此时，21a =，集合A 中的元素不满足互异性，故1a ≠；若22a a =-，可得220a a +-=，因为1a ≠，则2a =-，此时，24a =，合乎题意.因此，2a =-.故选：B.2.已知12i z a =+，22i z b =+，(),a b ∈R ，若()()1122i 413i z z z z ++=+，则（）A.2a =，3b =B.2a =-，3b =-C.2a =，3b =±D.2a =-，3b =±【正确答案】C【分析】由已知可得112z z a +=，2224z z b =+，代入根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得出答案.【详解】由已知可得，112i 2i 2z z a a a +=++-=，2222224z z b b =+=+，所以()()()21122i 24i 413i z z z z a b ++=++=+，所以有224413a b =⎧⎨+=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩或23a b =⎧⎨=-⎩.故选：C.3.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，则下列说法中不正确的是（）A.支出最高值与支出最低值的比是6：1B.利润最高的月份是2月份C.第三季度平均收入为50万元D.1～2月份的支出的变化率与10～11月份的支出的变化率相同【正确答案】B【分析】由统计图中数据，对选项中的统计结论进行判断.【详解】支出最高值为60万元，支出最低值为10万元，支出最高值与支出最低值的比是6:1，A选项正确；2月份利润为20万元，3月份和10月份利润为30万元，利润最高的月份是3月份和10月份，B选项错误；7，8，9月份收入分别为40万元，50万元，60万元，则第三季度平均收入为50万元，C 选项正确；1～2月份的支出变化率为60303021-=-，10～11月份的支出变化率为5020301110-=-，故变化率相同，故选项D正确.故选：B4.已知πsin sin22θθ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，则tanθ=（）A.2- B.1- C.1 D.2【正确答案】B【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的平方关系可得出关于sinθ、cosθ的方程组，求出这两个量的值，即可求得tanθ的值.【详解】因为πsin sin sin cos22θθθθ⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭，由题意可得22sin cos sin cos 1θθθθ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩2sin 22cos 2θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此，sin tan 1cos θθθ==-.故选：B.5.函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的部分图像大致为（）A.B.C.D.【正确答案】A【分析】先判断函数()f x 的奇偶性排除选项C 、D ；再由ππln 022f ⎛⎫=>⎪⎝⎭，即可求解.【详解】函数()()cos sin ln ||f x x x x x =+的定义域为{}|0x x ≠，且()()()()()cos sin ln cos sin ln f x x x x x x x x x f x -=--+--=--=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 是奇函数，其函数图像关于()0,0对称，所以选项C 、D 错误；又ππππππcos sin ln ln 0222222f ⎛⎫=-+⋅=>⎪⎝⎭，所以选项B 错误；故选：A.6.过()0,1A 、()0,3B 两点，且与直线1y x =-相切的圆的方程可以是（）A.()()22122x y ++-= B.()()22225x y -+-=C.()()22122x y -+-= D.()()22225x y ++-=【正确答案】C【分析】分析可知，圆心在直线2y =上，设圆心为(),2C t ，根据圆与直线1y x =-相切以及圆过点A 可得出关于t 的等式，解出t 的值，即可得出所求圆的方程.【详解】因为()0,1A 、()0,3B ，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为2y =，设圆心为(),2C t ，则圆C 的半径为r ==，又因为r AC ====整理可得2670t t +-=，解得1t =或7t =-，当1t =时，r AC ==()()22122x y -+-=；当7t =-时，r AC ==，此时圆的方程为()()227250x y ++-=.综上所述，满足条件的圆的方程为()()22122x y -+-=或()()227250x y ++-=.故选：C.7.已知a ，b 是不同的两条直线，α，β是不同的两个平面，现有以下四个命题：①//a a b b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；②//a a ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭；③//b a a b αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；④//b a b a αα⊥⎫⇒⊥⎬⎭．其中，正确的个数有（）A.1B.2C.3D.4【正确答案】C【分析】根据空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一判断即可.【详解】若a b αα⊥⊥，，则//a b ，故①正确；若a a αβ⊥⊥，，则//αβ，故②正确；若b a b α⊥⊥，，则//a α或a α⊂，故③错误；若//a α，则在平面α内存在直线c ，使得//a c .又,b c αα⊥∈，所以b c ⊥，所以a b ⊥r r，故④正确.所以正确的个数有3个.故选:C.8.已知数列{}n a 的通项公式为2217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取最小值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.9【正确答案】C【分析】由已知可推得当38n ≤≤时，0n a <.又90a >，即可得出答案.【详解】解20217n n a n -=≥-可得，2n ≤或172n >()*n ∈N ，即2n ≤或9n ≥.所以，当38n ≤≤时，0n a <.又992702917a -==>⨯-，所以，当8n =时，n S 取最小值.故选：C.9.已知34a =，1b =-，3ln 2c =，则（）A.c b a<< B.a c b<< C.b<c<aD.c<a<b【正确答案】A【分析】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，利用导数分析函数()f x 的单调性，可得出1<-，然后利用不等式的基本性质、对数函数的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】构造函数()ln 1f x x x =--，其中1x >，则()1110x f x x x-'=-=>，所以，函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以，()110f f =->=，即1<-，因为9e 4<，则32<，所以，3ln ln 12c b =<=，又因为2749e416⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则74>314a b =>=，故c b a <<.故选：A.10.已知双曲线C ：22221x y a b-（a >0，b >0）左，右焦点分别为12F F ，，2F 关于C 的一条渐近线的对称点为P .若12=PF ，则12PF F △的面积为（）A.2B.C.3D.4【正确答案】D【分析】设2PF 与渐近线交于M ，由对称性知1//OM PF 且112OM PF ＝，在直角2OMF △中可求得,a b ，再由1224PF F OMF SS=求得12PF F △的面积.【详解】设2PF 与渐近线b y x a =交于M ，则2F M OM ⊥，2tan b MOF a ∠=，2sin b MOF c∠=，所以222sin F M OF MOF b =⋅∠=，OM a ==，由,O M 分别是12F F 与2PF 的中点，知1//OM PF 且1112OM PF ＝＝，即1a =，由e =得2c b ==，所以1221442142PF F OMF SS==⨯⨯⨯=，故选：D11.如图，在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，则山高h =（）A.cos sin()sin()a αγαγβ-- B.sin sin()sin()a αγαγβ--C.cos sin()sin()a αγβγα-- D.sin sin()sin()a αγβγα--【正确答案】D【分析】在PAB 中，根据正弦定理求得sin()sin()a PB αβγα-=-，结合PQ PC CQ =+，即可求解.【详解】在PAB 中，ππ,()()22PAB BPA αβαγγα∠=-∠=---=-，由正弦定理得sin()sin()PB a αβγα=--，可得sin()sin()a PB αβγα-=-，过点B 作BD AQ ⊥，可得sin CQ BD a β==所以sin sin()sin sin sin()a PQ PC CQ PB a αγβγβγα-=+=⋅+=-.故选：D.12.若函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，则实数a 的取值范围为（）A.()0,∞+B.()0,eC.()()0,11,+∞ D.()()0,11,e 【正确答案】C【分析】设()ln f x x x =，求导数确定函数的单调性与取值情况，即可作出()y f x =的大致图象，将函数()g x 的零点个数转化为函数函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象交点个数，分析函数与直线情况，即可得实数a 的取值范围.【详解】令()ln f x x x =，()0,x ∈+∞，则()ln 1f x x ='+，当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，当1x =时，()0f x =，当x 趋向正无穷时，()f x 趋向正无穷，故作出()y f x =的大致图象，如图所示．由题知函数()()ln 1g x x x a x =--恰有2个零点，即函数()y f x =的图象与直线()1y a x =-的图象恰有2个交点，易知点()1,0为()y f x =与直线()1y a x =-的公共点，又曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为1y x =-，所以当01a <<，直线()1y a x =-与与曲线()y f x =有2个交点；当1a >时，直线()1y a x =-与曲线()y f x =有2个交点．综上所述，实数a 的取值范围为()()0,11,+∞ ．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.已知()1,a λ= ，()2,1b =，若()2//a b b + ，则λ=________．【正确答案】12##0.5【分析】求出向量2a b +的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数λ的值.【详解】因为()1,a λ= ，()2,1b =，则()()()21,22,15,2a b λλ+=+=+ ，因为()2//a b b + ，则()225λ+=，解得12λ=.故答案为.1214.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若314a a =，则84S S =__________.【正确答案】17【分析】由314a a =可得24q =，再由求和公式求比值即可.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，由314a a =，可得23114a a a q ==，即24q =，所以()()84844112111141711q S q q S q a a q--=+=+==--.故17.15.如图，ABCD 是边长为2的正方形，其对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD沿对角线BD 折叠，使点A 所对应点为'A ，'2A OC π∠=.设三棱锥'A BCD -的外接球的体积为V ，三棱锥'A BCD -的体积为'V ，则'VV =__________．【正确答案】4π【分析】由题知球心为O,求得球的体积，再求锥的体积，则比值可求【详解】由题 OA OB OD OC ='==,易知三棱锥A'BCD -的外接球的球心为O ，∴R =，∴82πV 3=，A'到底面BCD ，∴1V 23=⨯⨯=，∴V4πV'=.故答案为4π本题考查球与三棱锥的体积，外接球问题，明确球心位置是突破点，准确计算是关键，是基础题16.过抛物线2y x =上且在第一象限内的一点2(,)M m m 作倾斜角互补的两条直线，分别与抛物线另外交于A ，B 两点，若直线AB 的斜率为k ，则k m -的最大值为__________．【正确答案】【详解】由题意，设22(,),(,)A a a B b b ，则220m a m b m a m b --+=--，即110m a m b+=++，所以2a b m +=-，又221a b k a b a b-==-+，所以12k m m m -=--≤-=．点睛：本题考查了抛物线的性质，直线的斜率公式和基本不等式求最值的应用，着重考查了推理与运算能力，其中正确推算k m -的表达式和运用基本不等式是解答的关键．三、解答题：第17至21题每题12分，第22、23题为选考题，各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某学习APP 的注册用户分散在A 、B 、C 三个不同的学习群里，分别有24000人、24000人、36000人，该APP 设置了一个名为“七人赛”的积分游戏，规则要求每局游戏从A 、B 、C 三个学习群以分层抽样的方式，在线随机匹配学员共计7人参与游戏．（1）每局“七人赛”游戏中，应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配多少人？（2）设匹配的7名学员分别用：1m 、2m 、3m 、4m 、5m 、6m 、7m 表示，现从中随机抽取出2名学员参与新的游戏．（ⅰ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ⅱ）设M 为事件“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”，求事件M 发生的概率．【正确答案】（1）应从A 、B 、C 三个学习群分别匹配2人、2人、3人（2）（ⅰ）答案见解析（ⅱ）1621【分析】（1）利用分层抽样可求得A 、B 、C 三个学习群分别匹配的人数；（2）（i ）利用截距法可列举出所有的可能抽取的结果；（ii ）确定事件M 所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得事件M 发生的概率.【小问1详解】解：三个学习群人数比例为24000:24000:360002:2:3=，因此，应从A 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从B 学习群匹配的人数为2727⨯=人，应从C 学习群匹配的人数为3737⨯=人.【小问2详解】解：（ⅰ）所有可能的结果为：()12,m m 、()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()34,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m 、()56,m m 、()57,m m 、()67,m m ，共21种；（ii ）“抽取的2名学员不是来自同一个学习群”抽取的2名学员不是来自同一个学习群”包含的基本事件有：()13,m m 、()14,m m 、()15,m m 、()16,m m 、()17,m m 、()23,m m 、()24,m m 、()25,m m 、()26,m m 、()27,m m 、()35,m m 、()36,m m 、()37,m m 、()45,m m 、()46,m m 、()47,m m ，共16种，所以其概率为()1621P M =.18.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，π2A ≠，且cos sin 0a C C b -+=．（1）求A ；（2）若22b a ac =+，求证：△ABC 是直角三角形．【正确答案】（1）π6（2）证明见解析【分析】（1）由正弦定理边化角可得sin cos sin sin 0A C A C B C -+=，然后根据两角和的公式以及辅助角公式，即可推得πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.根据A 的取值范围，即可得出答案；（2）由余弦定理结合已知可推得0c a -+=.正弦定理边化角可得1sin 02C B -+=.又5π6C B =-，代入化简可得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.然后根据B 的范围，即可得出π3B =，进而得出π2A B +=，即可得出证明.【小问1详解】由已知及正弦定理得sin cos sin sin 0A C A C B C --+=.因为()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，sin cos sin C A C A C =+.因为sin 0C ≠cos A A +=，整理有πsin 62A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.又因为0πA <<，所以ππ7π666A <+<，所以ππ63A +=或π2π63A +=，所以，π6A =或π2A =.因为π2A ≠，所以π6A =.【小问2详解】由余弦定理可得222222cos a b c bc A b c =+-=+.又因为22b a ac =+，所以20c ac +=，整理可得0c a +=.因为1sin 2A =，由正弦定理得1sin sin 02C B -+=.因为π5ππ66B C +=-=，所以5π6C B =-，所以5π1sin 062B B ⎛⎫-+=⎪⎝⎭，整理得π1sin 62B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.因为0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以ππ66B -=，所以π3B =，所以π2A B +=，即ABC 是直角三角形.19.如图甲，已知四边形ABCD 是直角梯形，E ，F 分别为线段AD ，BC 上的点，且满足AB CD EF ∥∥，244AB EF CD ===，AB BC ⊥，45A ∠=︒．将四边形CDEF 沿EF翻折，使得C ，D 分别到1C ，1D 的位置，并且1BC =（1）求证：11ED BC ⊥；（2）求点E 到平面11ABC D 的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）1【分析】（1）在图甲中AB ⊥BC ，在图乙中1EF FC ⊥，EF BF ⊥，从而有EF ⊥平面1BC F ，则1EF BC ⊥，再分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，通过22211C F BC BF +=，得到11BC C F ⊥，从而证得1BC ⊥平面11C D EF 即可．（2）过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，易得1C Q ⊥平面BEF ，从而有113sin 602C Q C F =⋅︒=，再由11E ABC C ABE V V --=求解.【小问1详解】证明：∵在图甲中，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝2EF ＝4CD ＝4，AB ⊥BC ，∴在图乙中有，1EF FC ⊥，EF BF ⊥，又1FC 与BF 是平面1BC F 内的交线，∴EF ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，∴1EF BC ⊥，如图，分别过1D ，E 作1D M EF ⊥，EN AB ⊥，垂足分别是M ，N ，易知111MF C D ==，∴1EM =，又145FED BAE ∠∠==︒，∴111C F D M EM ===，同理2BF EN AN ===，又1BC =∴22211C F BC BF +=，则11BC C F ⊥，又EF 与1C F 是平面11C D EF 内的交线，∴1BC ⊥平面11C D EF ，ED 1在面C 1D 1EF 内，∴11BC ED ⊥．【小问2详解】由（1）知EF ⊥平面1BC F ，AB ∥EF ，所以知AB ⊥平面1BC F ，BC 1在面BC 1F 内，所以1AB BC ⊥，则1112ABC SAB BC =⨯⋅=，11sin 4544222ABESAB AE =⨯⋅⋅︒=⨯⨯=，过点1C 作1C Q BF ⊥，垂足为Q ，由（1）知EF ⊥平面1BC F ，且EF ⊂平面ABFE ，所以平面1BC F ⊥平面ABFE ，又平面1BC F平面ABFE BF =，C 1Q 在面BC 1F 内，所以1C Q ⊥平面ABFE ，又EF ⊂平面ABFE ，所以1C Q EF ⊥，又BF 与EF 是平面ABF 内的交线，∴1C Q ⊥平面BEF ，113sin 602C Q C F =⋅︒=，由11E ABC C ABE V V --=，得111133ABC ABES h S C Q ⋅=⋅，23431332h h =⨯⇒=，∴点E 到平面11ABC D 的距离为1．20.已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>与椭圆2C ：2212xy +=的离心率相等，1C 的焦距是．（1）求1C 的标准方程；（2）P 为直线l ：4x =上任意一点，是否在x 轴上存在定点T ，使得直线PT 与曲线1C 的交点A ，B 满足PA AT PBTB=？若存在，求出点T 的坐标．若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）22142x y +=（2）存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA ATPB TB=【分析】（1）由已知求出2C 的离心率为2，又c =，即可得出4a =.根据,,a b c 的关系，即可得出答案；（2）设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y ，先求出直线AB 与x 轴重合时，满足条件的T 点坐标；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+.根据已知可推得0PA TB PB AT ⋅-⋅=，代入坐标整理可得()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与1C 的方程可得()()2222240m y mty t +++-=，根据韦达定理得出坐标关系，代入（*）式，整理化简可得()()2110t m -+=，求出1t =，检验即可得出答案.【小问1详解】因为椭圆222:12x C y +=2=，又椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与椭圆222:12x C y +=的离心率相等，1C 的焦距是，所以2c =，c =所以，222c a a ==，所以2a =，2222b a c =-=，所以，1C 的标准方程为22142x y+=.【小问2详解】设(),0T t ，()4,P s ，()11,A x y ，()22,B x y .当直线AB 与x 轴重合时，设()2,0A ，()2,0B-，()4,0P ，则2PA =，6PB =，2AT t =-，2TB t =+，由已知PA ATPBTB =，可得221263t t -==+，解得1t =或4t =（舍去），所以，()1,0T ；当直线AB 与x 轴不重合时，设直线AB 方程为x my t =+，则有4ms t =-.,,,P A B T 四点共线，由PA AT PBTB=结合图象可知，0PA TB PB AT ⋅-⋅=，于是有，()()()()()()()()1212212140400x x t y s y x x t y s y --+--+--+--=，化简得：()()()1212121222480x x y y t x x s y y t +-++-++=，变形得：()()()212122240m y y mt m s y y ++--+=（*）.联立直线与椭圆的方程22142x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得，()()2222240m y mty t +++-=，当()()222244240m t m t ∆=-+->时，由韦达定理可得12221222242mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，将上式与4ms t =-共同代入（*），化简得：()()2110t m -+=，即1t =，且此时0∆>成立，故存在x 轴上定点()1,0T ，使得PA AT PBTB=．方法点睛：设直线AB 方程为x my t =+，联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理得出坐标之间的关系.然后根据已知，化简可得出()()2110t m -+=.因为m 的任意性，所以必有1t =，即可得出答案.21.已知函数()()()2ln ,11f x x g x a x ==--.（1）当14a =时，求函数()()()F x f x g x =-的最大值；（2）当14a =-时，求曲线()y f x =与()y g x =的公切线方程.【正确答案】（1）3ln 24+（2）1y x =-【分析】（1）代入14a =，然后求出()F x '，进而可得单调性求出最值；（2）代入14a =-，设出切点，求出切线方程，利用方程为同一直线，列方程组求解即可.【小问1详解】当14a =时,()()()()22ln 11l 11134424n F x f x g x x x x x x ⎡⎤=-=---=-⎢⎥⎣++⎦，()()()22111222221x x x x x x xF x x '∴+=---+-++==，令()0F x '>，得02x <<，令()0F x '<，得2x >，∴求函数()F x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减，()()max 32ln 21134244ln 242F x F ⨯∴==-+⨯+=+；【小问2详解】当14a =-时，()()221115114424g x x x x =---=-+-，设函数()ln f x x =上一点为()11,ln x x ，又()1f x x'=，()111f x x '∴=，∴函数()ln f x x =上过点()11,ln x x 的切线方程为：()1111ln y x x x x =-+，即111ln 1y x x x =+-，设函数()g x 上一点为2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭，又()1122g x x '=-+，()221122g x x '∴=-+∴过点2222115,424x x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的切线方程为：()222221111522424y x x x x x ⎛⎫=-- ++⎪--⎝⎭，即22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= ，若111ln 1y x x x =+-与22211524124y x x x ⎫-+⎛+⎪⎝⎭-= 为同一直线，则212211112215ln 144x x x x ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得1211x x =⎧⎨=-⎩,∴公切线的方程为.1y x =-请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为88x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），点()4,0P ．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρθ=，射线l 的极坐标方程为()π06θρ=≥．（1）写出曲线1C 的极坐标方程；（2）若l 与1C ，2C 分别交于A ，B （异于原点）两点，求△PAB 的面积．【正确答案】（1）2cos232ρθ=（2）5【分析】（1）由参数方程可得2226416x t t =++，2226416y t t =+-，进而即可推得2232x y -=，根据公式即可得出曲线1C 的极坐标方程；（2）将π6θ=分别代入1C ，2C 的极坐标方程得出8A ρ=，3B ρ=，进而得出弦长5AB =.然后求出点()4,0P 到射线的距离d ，即可得出答案.【小问1详解】由1C 的参数方程得2226416x t t =++，2226416y t t=+-，所以2232x y -=.又cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2cos232ρθ=，所以1C 的极坐标方程为2cos232ρθ=.【小问2详解】将π6θ=代入曲线1C 的极坐标方程2cos232ρθ=可得8A ρ=，将π6θ=代入曲线1C的极坐标方程ρθ=可得3B ρ=，所以5A B AB ρρ=-=.又射线l的直角坐标方程为3y x =30y -=，所以点()4,0P 到射线的距离为2d ==，所以1125522PAB S d AB =⋅⋅=⨯⨯=△.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()R f x x a x a a =++-∈，．（1）若1a =，求函数()f x 的最小值；（2）若不等式()5f x ≤的解集为A ，且2A ∉，求a 的取值范围．【正确答案】（1）2（2）55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，即可求函数()f x 的最小值；（2）因为2A ∉，所以f ()25>，即225a a ++->，分类讨论，即可求a 的取值范围．【小问1详解】因为1a =，所以()11112f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤时，即11x -≤≤时，()f x 的最小值为2．【小问2详解】因为2A ∉，所以()2f 5>，即225a a ++->，当2a <-时，不等式可化为225a a ---+>，解得52a <-，所以52a <-；当22a -≤≤时，不等式可化为225a a +-+>，此时无解；当2a >时，不等式可化为225a a ++->，解得52a >，所以52a >；综上，a 的取值范围为55,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．。
2024届四川省成都市高三下册高考数学(文)模拟测试卷(附答案)
2024届四川省成都市高三下册高考数学（文）模拟测试卷本试卷分选择题和非选择题两部分．1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）3至4页，共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2．答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号.3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5．考试结束后，只将答题卡交回.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，集合，则（）U =R {}24A x x =<≤A. B. C.D.1A∈2A∈3A∉R ð4A∈R ð2. 函数的最小正周期为（ ）()3cos cos 2f x x x π⎛⎫⎪⎭+ ⎝=+A. B. C. D. π2π2π4π3.执行如图所示的程序框图，输出的n 的值为（）A. 40B. 41C. 119D. 1224. 若实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）10300x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩yx A. 0B. C. D. 213125. 设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>P C 点，若，，则双曲线的离心率为（）12π2F PF ∠=22PF a =C B. 2D. 6. 某同学计划2023年高考结束后，在A ，B ，C ，D ，E 五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（ ）A A. B. C. D. 152535457. 已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面p q ，，，若，，，则．则下列命题为真命题的是（αβγαγ⊥βγ⊥l αβ= l γ⊥）A. B. C. D. p q∧p q∧⌝p q∨⌝p q⌝∧8. 已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A ，B 两点，则2:8x C y =F π3l C （ ）||AB =A. 32B. C. D. 83232839. 若函数满足，且当时，，则（()f x (2)()f x f x +=-[0,1]x ∈()42xf x x =-(23)f =）A. －1B. C. 0D. 12-1210.若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径-PABC AB =为（ ）C.D. 311. 已知，，，则（ ）12023a =2024ln 2023b =52024log 2023c =A. B. c b a <<c<a<b C. D. b<c<a a b c<<12.在中，已知，，，则ABC 2AD DC =33AC BC ==sin 3sin BDC BAC ∠=∠的面积为（ ）ABC A. B.1613第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 复数（为虚数单位），则|z|的值为______．232i i i z =++i 14. 已知，则__．tan 2α=cos 2=α15. 函数的极大值为______．321()13f x x x =-+16. 若直线与相交于点，过点作圆1:20l x my +-=2:20()l mx y m -+=∈R P P 的切线，切点为，则|PM |的最大值为______．22:(2)(2)1C x y +++=M 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 某中学为了丰富学生的课余生活,欲利用每周一下午的自主活动时间,面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课,由学生自主申报,每人只能报一门,也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班）,据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课,报名情况统计如下:厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162（1）若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”,把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据,完成下面的2×2列联表:课程报名班型“劳育课程”“美育课程”合计文科班理科班合计（2）根据（1）列联表中所填数据,判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．附:．()()()()()22 n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.500.400.250.150.100.050.0250.01000.005k 0.4550.7081.3232.072 2.7063.841 5.0246.63577.87918. 已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列．{}n a 1a 23a +36a -（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．{}n na n nT19.如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且111ABC A B C -111A B C △11AB C △．1AA =（1）证明：平面平面；11AB C ⊥111A B C （2）求四棱锥的体积．11A BB C C -20.已知中心为坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过，OC P两点．Q （1）求椭圆的方程；C （2）设过点的直线与椭圆相交于A ，B 两点，，，且()0,1l C 23OD OB = OE OD OA =+点在椭圆上，求直线的方程．E C l 21. 已知函数，其中，．e ()x af x x =0x >0a >（1）当时，求函数的单调区间；1a =()f x （2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．()ln e f x x a x =-a 请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4－4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，C 233x t y t⎧=⎨=⎩t O 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．x l 2sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；l C （2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A ，B 两点，求P (3,-l C的值．||||PA PB +选修4－5：不等式选讲23. 已知函数．()|1|2|2|f x x x =++-（1）画出的图象；()y f x =（2）求不等式的解集．(2)()f x f x +>数学（文科）答案解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设全集，集合，则（）U =R {}24A x x =<≤A. B. C.D.1A ∈2A∈3A∉R ð4A∈R ð【正确答案】C2. 函数的最小正周期为（ ）()3cos cos 2f x x x π⎛⎫⎪⎭+ ⎝=+A. B. C. D. π2π2π4π【正确答案】C3. 执行如图所示的程序框图，输出的n 的值为（ ）A. 40B. 41C. 119D. 122【正确答案】B4. 若实数x ，y 满足约束条件，则的最大值为（ ）10300x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩yx A. 0B. C. D. 21312【正确答案】C5. 设，分别是双曲线的左、右焦点．为双曲线右支上一1F 2F 2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>P C 点，若，，则双曲线的离心率为（）12π2F PF ∠=22PF a =C B. 2D. 【正确答案】A6. 某同学计划2023年高考结束后，在A ，B ，C ，D ，E 五所大学中随机选两所去参观，则大学恰好被选中的概率为（ ）A A. B. C. D. 15253545【正确答案】B7. 已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面p q，，，若，，，则．则下列命题为真命题的是（αβγαγ⊥βγ⊥l αβ= l γ⊥）A. B. C. D. p q ∧p q∧⌝p q∨⌝p q⌝∧【正确答案】D8. 已知过抛物线的焦点，且倾斜角为的直线交抛物线于A ，B 两点，则2:8x C y =F π3l C （ ）||AB =A. 32B. C. D. 8323283【正确答案】A9. 若函数满足，且当时，，则（()f x (2)()f x f x +=-[0,1]x ∈()42xf x x =-(23)f =）A. －1B.C. 0D. 12-12【正确答案】B 10.若正三棱锥的高为2，，其各顶点都在同一球面上，则该球的半径-PABC AB =为（ ）C. D. 3【正确答案】D11. 已知，，，则（ ）12023a =2024ln 2023b =52024log 2023c =A. B. c b a <<c<a<b C. D. b<c<a a b c<<【正确答案】A 12.在中，已知，，，则ABC 2AD DC =33AC BC ==sin 3sin BDC BAC ∠=∠的面积为（ ）ABCA. B.1613【正确答案】D第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13. 复数（为虚数单位），则|z|的值为______．232i i i z =++i 14. 已知，则__．tan 2α=cos 2=α【正确答案】35-15. 函数的极大值为______．321()13f x x x =-+【正确答案】116. 若直线与相交于点，过点作圆1:20l x my +-=2:20()l mx y m -+=∈R P P 的切线，切点为，则|PM |的最大值为______．22:(2)(2)1C x y +++=M 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 某中学为了丰富学生的课余生活,欲利用每周一下午的自主活动时间,面向本校高二学生开设“厨艺探秘”“盆景栽培”“家庭摄影”“名画鉴赏”四门选修课,由学生自主申报,每人只能报一门,也可以不报．该校高二有两种班型－文科班和理科班（各有2个班）,据调查这4个班中有100人报名参加了此次选修课,报名情况统计如下:厨艺探秘盆景栽培家庭摄影名画鉴赏文科1班115146文科2班127114理科1班3193理科2班5162（1）若把“厨艺探秘”“盆景栽培”统称为“劳育课程”,把“家庭摄影”“名画鉴赏”统称为“美育课程”．请根据所给数据,完成下面的2×2列联表:课程报名班型“劳育课程”“美育课程”合计文科班理科班合计（2）根据（1）列联表中所填数据,判断是否有99%的把握认为课程的选择与班型有关．附:．()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.500.400.250.150.100.050.0250.01000.005k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63577.879【正确答案】（1）列联表见解析（2）没有99%的把握认为“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科有关．【分析】补全列联表,再算出的值与6.635进行比较即可得出结论.2K 【小问1详解】由题意,列联表如下:课程报名班型“劳育课程”“美育课程”合计文科班353570理科班102030合计4555100【小问2详解】假设:“劳育课程”“美育课程”的选择与文理科无关.0H∵,22100(35203510)700 2.357 6.63545557030297K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴根据小概率值的独立性检验,可以推断不成立,即没有99%的把握认为“劳育课0.01α=0H 程”“美育课程”的选择与文理科有关．18. 已知等比数列的公比为3，且，，成等差数列．{}n a 1a 23a +36a -（1）求数列的通项公式；{}n a （2）求数列的前项和．{}n na n nT【正确答案】（1）3nn a =（2）()121334n nn T +-+=【分析】（1）根据等比数列的通项公式，结合等差数列的性质进行求解即可；（2）利用错位相减法进行求解即可.【小问1详解】设数列的公比为．{}n a q ∵，，成等差数列，1a 23a +36a -∴．()213236a a a +=+-∴2111266a q a a q +=+-∵，∴解得．∴；3q =13a =3nn a =【小问2详解】设，则．n n b na =3nn b n =⋅∴①23323333n n T n =+⨯+⨯++⨯ ∴②23413323333n n T n +=+⨯+⨯++⨯ 由①－②得，231233333n n n T n +-=++++-⋅∴()13132313nn n T n +⨯--=-⋅-∴．()121334n nn T +-+=19. 如图，三棱柱中，与均是边长为2的正三角形，且111ABC A B C -111A B C △11AB C △．1AA =（1）证明：平面平面；11AB C ⊥111A B C （2）求四棱锥的体积．11A BB C C -【正确答案】（1）证明见解析 （2）2【分析】（1）取的中点，连接，，利用勾股定理证明，易得11B C O AO 1AO 1A O AO ⊥平面，再根据面面垂直判定定理即可证明；1A O ⊥111A B C （2）由（1）可证明为三棱柱的高，利用同底等高的椎体与柱体的关系，通过割补法即AO 可求解.【小问1详解】取的中点，连接，．11B C O AO 1AO ∵与均是边长为2的正三角形，111A B C △11AB C △∴，，．11AO B C ⊥111A O B C⊥1A O AO ==∴为二面角的平面角．1AOA ∠111A B C A --∵，∴，∴．1AA =22211A O AO A A +=1A O AO ⊥因为，，，平面1A O AO ⊥111A O B C ⊥11O AO B C ⋂=11,AO B C ⊂11AB C 所以平面，又平面，1A O ⊥111A B C 1A O ⊂111A B C ∴平面平面．11AB C ⊥111A B C 【小问2详解】111111111112A BB C C ABC A B C A A B C A A B C V V V V ----=-=由（1）知，，．1A O AO ⊥11AO B C ⊥∵，平面，平面，111A O B C O ⋂=11B C ⊂111A B C 1A O ⊂111A B C ∴平面．AO ⊥111A B C ∴为三棱锥的高．AO 111A A B C -∴．111111114133A A B C A B C V S AO -=⨯⨯== ∴四棱锥的体积为2．11A BB C C -20.已知中心为坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过，OC P两点．Q （1）求椭圆的方程；C （2）设过点的直线与椭圆相交于A ，B 两点，，，且()0,1l C 23OD OB = OE OD OA =+点在椭圆上，求直线的方程．E C l 【正确答案】（1）22194x y +=（2）213y x =±+【分析】（1）根据题意设椭圆的方程，代入点列式运算，求解即可得结果；C 221mx ny +=（2）设，，根据题意整理可得，结合直线方程()11,A x y ()22,B x y 121249270x x y y ++=以及韦达定理运算求解，注意讨论直线的斜率是否存在.l 【小问1详解】由题意可设椭圆的方程，C 221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠∵椭圆经过，两点，C PQ 则，即，解得，222211m n m n ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎪⎩83134613n m n m ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1914m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴椭圆的方程为．C 22194x y +=【小问2详解】设，，则，，()11,A x y ()22,B x y 2233,22x y D ⎛⎫ ⎪⎝⎭221133,22x y E x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∵点A 、B 均在椭圆上，则，，C 2211194x y +=2222194x y +=且点E 在椭圆上，则C ，2222112222111212223339221949434494x y x y x y x x y y x y ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭+=+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，可得.121239111344x x y y ⎛⎫+++⨯= ⎪⎝⎭121249270x x y y ++=当直线斜率存在时，设直线的方程为，l l 1y kx =+联立方程，消去得，221,194y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩y ()229418270k x kx ++-=则，，()()()()222Δ1849427432310k k k =-⨯+⨯-=+>1221894kx x k +=-+，1222794x x k =-+∵()()()()21212121212124927491127499360x x y y x x kx kx k x x k x x ++=++++=++++=，则，()22227184993609494k k k k k ⎛⎫⎛⎫+⨯-+⨯-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴，解得，294k =23k =±故所求直线的方程为；l 213y x =±+当直线斜率不存在时，则直线的方程为，即，l l 0x =12120,x x y y ===-可得，该方程组无解，不合题意；()2222222201944009279270y y y y y ⎧+==⎪⎨⎪⨯+-+=-+=⎩综上所述：所求直线的方程为．l 213y x =±+方法点睛：与相交有关的向量问题的解决方法在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．21. 已知函数，其中，．e ()xaf x x =0x >0a >（1）当时，求函数的单调区间；1a =()f x（2）若方程恰有两个不相等的实数根，求的取值范围．()ln e f x x a x =-a 【正确答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为()0,1()1,+∞（2）()()0,11,+∞ 【分析】（1）直接通过求导判断单调区间即可；（2）先对原方程进行同构变形，将换元后的方程通过构造函数求导判断其有唯一零点，从而将原方程简化为方程有两个不相等的实数解，最后对取对变换化简后的方程再构造e e xax =函数，根据零点个数求参数的取值范围.【小问1详解】当时，．∴．1a =()e xf x x =()()2e 1x x f x x -'=∵，∴当时，；当时，．0x >01x <<()0f x '<1x >()0f x ¢>∴函数单调递减区间为，单调递增区间为．()f x ()0,1()1,+∞【小问2详解】∵，，，0x >0a >e e lne ln ln e x x x aaa x x x =-=令，则．e 0x a t x =>ln e tt =令，则．()ln e t h t t =-()11e h t t ='-∴当时，；当时，．0e t <<()0h t '>t e >()0h t '<∴函数在上单调递增，在上单调递减．()h t ()0,e ()e,+∞∵，∴方程有唯一解．()e 0h =ln e tt =e t =∴方程有两个不等的实数解等价于方程有两个不相等的实数解．e ln e x a x a x x =-e e xa x =等价于方程有两个不相等的实数解．ln 1a x x =-构造函数，则．()ln 1k x a x x =-+()1a k x x '=-∵，∴当时，；当时，．0a >0x a <<()0k x '>x a >()0k x '<∴函数在上单调递增，在上单调递减．()k x ()0,a (),a +∞∵，；，．0x +→()k x →-∞x →+∞()k x →-∞∴只需要，即．()ln 10k a a a a =-+>1ln 10a a +->构造函数，则．()1ln 1m a a a =+-()211m a a a -'=∴当时，；当时，．01a <<()0m a '<1a >()0m a '>∴函数在上单调递减，在上单调递增．()m a ()0,1()1,+∞∵，∴当时，恒成立．()10m =1a ≠1ln 10a a +->∴的取值范围为．a ()()0,11,+∞ 当原方程或不等式较为复杂，但同时含有指数式和对数式时，可以尝试对原方程或不等式进行同构变形并换元，再对其进行构造函数求导研究，可以将过程简化.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑选修4－4：坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xOy 中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，C 233x t y t⎧=⎨=⎩t O 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．x l 2sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程；l C （2）已知点的直角坐标为，直线与曲线相交于A ，B 两点，求P (3,-l C 的值．||||PA PB +【正确答案】（1），30x -=23y x =（2）【分析】（1）对于曲线消参数即可得出普通方程；对于直线利用和差公式展开C t l ，代入，即可求解；2sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos x ρθ=sin y ρθ=（2）利用参数方程的几何意义即可求解.【小问1详解】依题意，∵曲线的参数方程为（为参数），C 233x t y t⎧=⎨=⎩t ∴曲线的普通方程为．C 23y x =∵直线的极坐标方程为，l 2sin 36πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭．sin cos 3θρθ+=∵，．cos x ρθ=sin y ρθ=∴直线的直角坐标方程为．l 30x +-=【小问2详解】由（1）知，点在直线上，P l ∴直线的参数方程为（为参数），l 312x y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m 代入得，．23yx =2840m ++=设，是上述方程的两根，1m 2m ∴，，．Δ0>12m m +=-12840m m =>∴．1212+=+=+=PA PB m m m m选修4－5：不等式选讲23. 已知函数．()|1|2|2|f x x x =++-（1）画出的图象；()y f x =（2）求不等式的解集．(2)()f x f x +>【正确答案】（1）图象见解析（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对分类讨论，去掉绝对值号即可求解；x （2）由函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，从图象()y f x =(2)y f x =+即可得出不等式的解集.(2)()f x f x +>【小问1详解】由题得，．()331122512332x x f x x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-+-<<⎨⎪-≥⎩，，，函数的图象为：()y f x =【小问2详解】函数的图象向左平移2个单位长度后得到函数的图象，的图()y f x =(2)y f x =+()y f x =象与的图象如图所示．(2)y f x =+当时，由解得，．由图象可知不等式的解集(0,2)x ∈(2)()f x f x +=12x =(2)()f x f x +>为．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。
2023-2024学年四川省三联考高考仿真测试数学(文)模拟试题(一模)含答案
2023-2024学年四川省三校联考高考仿真测试数学（文）模拟试题（一模）一、单选题1．20232i 1i=-（）A ．1B CD ．2【正确答案】B【分析】先根据复数得除法运算求出复数，再根据复数的模的计算公式即可得解.【详解】由()101120232i i i i =⋅=-，得()()()20232i 1i 2i 2i1i 1i 1i 1i 1i -+-===-=---+故选：B.2．已知集合A x y ⎧⎪==⎨⎪⎩∣，{}2230B xx x =+-≤∣，则()A B =R I ð（）A ．[)3,∞-+B ．(],1-∞C ．[]3,1--D ．[]3,1-【正确答案】C【分析】先化简集合,A B ,再利用补集和交集运算求解.【详解】集合(){1}1,A xx =>-=-+∞∣，{}[]313,1B x x =-≤≤=-∣，故(]R ,1A =-∞-ð，所以()[]3,1A B ⋂=--R ð.故选：C.3．已知向量()4,2a =- ，()1,2b x =- ，若a b ⊥，则a b -=r r （）A ．B ．C ．3D ．5【正确答案】D【分析】依题意可得0a b ⋅=，即可求出x 的值，在求出a b - 的坐标，从而求出其模.【详解】因为()4,2a =- ，()1,2b x =- ，且a b ⊥，所以()41220a b x ⋅=--⨯= ，所以2x =，所以()1,2b = ，()()4,21,2(3,4)a b -=--=- ，所以5a b -= .故选：D.4．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为(),4,F A n 为C 上一点，若5AF =，则n =（）A ．4±B ．4C．D【正确答案】A【分析】根据()4,A n 为抛物线上一点，且5AF =，利用抛物线的定义，由4AF =+52p=得到p 即可.【详解】解：抛物线()2:20C y px p =>的准线为2p x =-，因为()4,A n 为C 上一点，且5AF =，所以4AF =+52p=，解得2p =，所以抛物线2:4C y x =，所以244n =⨯，所以4n =±.故选：A.5．已知角α的顶点为原点，始边为x 轴的非负半轴，若其终边经过点(P -，则2sin2cos 1αα=+（）A．2-B．13-C．4-D．7-【正确答案】B【分析】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【详解】由题意知tan 2α=-，则原式2222sin cos 2tan 2cos sin 2tan 24αααααα===+++故选：B.6．执行如图所示的程序框图，则输出的S =（）A ．20242023B ．20212022C ．20222023D ．20232024【正确答案】C【分析】根据程序框图的循环结构和数列的裂项相消求和即可求解.【详解】该算法的功能是计算111112233420222023S =++++⨯⨯⨯⨯ 21113111223202202=-+-++-112023=-20222023=，所以输出的20222023S =.故选：C.7．2021年9月24日，继上世纪60年代在世界上首次完成人工合成结晶牛胰岛素之后，中国科学家又在人工合成淀粉方面取得颠覆性､原创性突破——国际上首次在实验室实现二氧化碳到淀粉的从头合成.网友戏称这一技术让“喝西北风”活着成为可能.从能量来源看，该技术涉及“光能一电能一化学能”等多种能量形式的转化，从技术流程上，该工艺分为四个模块：第一步是利用光伏发电将光能转变为电能，通过光伏电水解产生氢气，然后通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原成甲醇，将电能转化为甲醇中储存的化学能；第二步是将甲醇转化为三碳；第三步利用三碳合成六碳；最后一步是将六碳聚合成淀粉.在这个过程中的能量转化效率超过10%，远超光合作用的能量利用效率.经过实验测试，已知通过催化剂利用氢气将二氧化碳还原生成甲醇的浓度()t ϕ与其催化时间t （小时）满足的函数关系式为()(0tt ma a ϕ=>，且1)a ≠.若催化后20小时，生成甲醇的浓度为20%，催化后30小时，生成甲醇的浓度为40%.若生成甲醇的浓度为50%，则需要催化时间约为（）（参考数据：lg20.301≈）A ．23.5小时B ．33.2小时C ．50.2小时D ．56小时【正确答案】B【分析】根据题意列方程组求得a 和m 的值，从而求出()t ϕ的表达式，令()0.5t ϕ=解方程即可求解.【详解】由题意得()()2030200.2,300.4,ma ma ϕϕ⎧==⎪⎨==⎪⎩解得1102,0.05a m ==，所以()100.052t t ϕ=⨯，令()100.0520.5t t ϕ=⨯=，所以10210t =，所以lg2lg1010t=，故lg10101033.2lg20.301t =⋅=≈小时.故选：B.8．某圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为π的扇形，则该圆锥的内切球的体积为（）A ．3B C ．4πD ．6π【正确答案】A【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，进而利用相似即可求解内切球半径.【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则2ππr =⨯所以r h ==设该圆锥内切球的半径为R=，所以R ，所以34π4π333R V ⨯==.故选：A.9．已知点()1,5A -，()2,2B --，()5,5C ，若点P 是ABC 的外接圆上一点，则点P 到直线l ：33744y x =-+的距离的最大值为（）A ．25B ．275C ．525D ．14【正确答案】C【分析】设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据ABC 的三个顶点分别为()1,5A -，()2,2B --，()5,5C ，代入求得方程，再判断直线与圆的位置关系，然后转化为点与圆的位置关系求解.【详解】解：设所求圆的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，因为ABC 的三个顶点分别为()1,5A -，()2,2B --，()5,5C ，则5260,2280,55500,D E F D E F D E F -+++=⎧⎪--++=⎨⎪+++=⎩，解得4,2,20D E F =-=-=-，所以ABC 外接圆的一般方程为2242200x y x y +---=，其圆心为()2,1M ，半径为5，因为直线337:44l y x =-+，即:34370l x y +-=，所以点M 到直线l 的距离为643727555d +-==>，所以直线l 与ABC 的外接圆相离，所以点P 到直线l 的距离的最大值为2752555+=.故选.C10．在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==E 为11B D 的中点，则异面直线1AD 与BE 所成角的余弦值为（）A．10B．5C．10D．10【正确答案】D【分析】根据棱台体积公式，异面角的求法和余弦定理即可求解.【详解】设正四棱台1111ABCD A B C D -的高为h ，连接BD ，作1D F BE ∥交BD 于点F ，作1D G BD ⊥交BD 于点G ，连接,AG AF ，则1AD F ∠为异面直线1AD 与BE 所成角或其补角.因为1124AB A B ==，且正四棱台AB -1111CD A B C D -的体积为3，即(14163h +=，所以h ，即1D G =易求DG BF ==BG =1D F AF AG ===1AD =所以1cos AD F ∠=10=.故选：D.11．已知函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线π6x =对称B ．()g x 是奇函数C ．()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．()g x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称【正确答案】D【分析】先根据函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，由2122ππϕ⎛⎫⨯-+=+ ⎪⎝⎭π,Z k k ∈，求得π3ϕ=-，从而得到()f x ，然后再逐项判断.【详解】解：因为函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象关于直线π12x =-对称，所以2122ππϕ⎛⎫⨯-+=+ ⎪⎝⎭π,Z k k ∈，所以2ππ,Z 3k k ϕ=+∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以π06f ⎛⎫= ⎪⎝⎭2≠±，所以()f x 的图象不关于直线π6x =对称，故A 错误；将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度得到函数()π2sin 23⎛⎫=+ ⎪⎝⎭g x x 的图象，所以()()g x g x -≠-，所以()g x 不是奇函数，故B 错误；令π2-+222,32k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得5ππππ,Z 1212k x k k -+≤≤∈，当1k =时，得函数()g x 在7π13π,1212⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，所以函数()g x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调递增，故C 错误；令π2π,Z 3x k k +=∈，得ππ,Z 62k x k =-+∈，当0k =时，可得函数()g x 的图象关于点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：D.12．已知函数()f x 为R 上的奇函数，且在(],0-∞上单调递减，若34ln3351,,ln 81e322a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b<c<aD ．c<a<b【正确答案】C【分析】构造函数()ln x g x x =，求导得函数的单调性，进而可判断33lne ln32ln810e 3281>>>，结合()f x 的奇偶性和单调性即可求解.【详解】由题意知，33ln81lne 51ln32,,ln 81e 32232a f b f c f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令()ln xg x x=，则()21ln x g x x -'=，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 在()e,+∞上单调递减，又354e e 23<<<，所以()()()354e 23g g g >>，即33lne ln32ln810e 3281>>>，又()f x 为奇函数且在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递减，所以33lne ln32ln81e3281f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即b<c<a .故选：C.二、填空题13．若实数,x y 满足约束条件1,30,x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则3z x y =+的最大值为___________.【正确答案】5【分析】根据不等式组作出可行域，利用最优解求解即可.【详解】画出可行域（如图阴影部分），将直线30x y z +-=平行移动，当直线30x y z +-=过点A 时，z 取得最大值，联立1030x y x y --=⎧⎨+-=⎩得(2,1)A ，故max 2315z =+⨯=.故514．已知函数()log 2e a f x x x a =++-，若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线310x y -+=平行，则=a __________.【正确答案】e【分析】根据求导公式和导数的几何意义即可求解.【详解】由题意知()12ln f x x a=+'，所以曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线斜率()1123ln k f a'==+=，所以12=3ln a+，解得e a =，故答案为.e15．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若225cos 4cos cos 4sin sin sin A B C B C A +=-，且a =2bc +=，则ABC 的面积为___________.【分析】先由条件求出角A ，再由余弦定理求出bc ，然后由三角形面积公式即可求解.【详解】因为()225cos 4cos sin 0A B C A +++=，所以24cos 4cos 10A A -+=，所以()22cos 10A -=，解得cos A 12=，因为()0,πA ∈，所以π3A =.在ABC 中，π3A =，a =2b c +=，所以由余弦定理得22222()2431cos 12222b c a b c bc a A bc bc bc +-+---===-=，所以13bc =，所以△ABC 的面积为111sin 223212bc A ⨯=⨯.故1216．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ，离心率为2，焦点到渐近线过2F 作直线l 交双曲线C 的右支于,A B 两点，若,H G 分别为12AF F △与12BF F △的内心，则HG 的取值范围为___________.【正确答案】3⎡⎪⎢⎪⎣⎭【分析】根据双曲线的标准方程和几何关系即可求解.【详解】设半焦距为c ，由题意知b ，2c e a ===，所以22a =，所以c =，双曲线22:126x y C -=.记12AF F △的内切圆与边1AF ，2AF ，12F F 分别相切于点,,M N E ，则,H E 横坐标相等，则AM AN =，11F M F E =，22F N F E =，由122AF AF a -=，即()122AM MF AN NF a +-+=，得1MF 22NF a -=，即122F E F E a -=，记H 的横坐标为0x ，则()0,0E x ，于是()002x c c x a +--=，得0x a =，同理内心G 的横坐标也为a ，则HG x ⊥轴.设直线AB 的倾斜角为θ，则22OF G θ∠=，2902HF O θ∠=- 在2HF G △中，()tan tan 9022HG c a θθ⎡⎤⎛⎫=-⋅+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ()sin cos 22cos sin 22c a θθθθ⎛⎫ ⎪=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin sin c a θθ=-⋅=，由于直线l 与C 的右支有2个交点，且一条渐近线的斜率为b a=60 ，可得60120θ︒<<︒，sin 1θ<≤，可得HG的范围是⎡⎢⎣⎭.故答案为.3⎡⎪⎢⎪⎣⎭关键点点睛：本题的关键是根据双曲线的定义结合三角形内切圆的性质得到HG 的表达式，然后结合三角函数的性质即得.三、解答题17．据相关机构调查研究表明我国中小学生身体健康状况不容忽视，多项身体指标（如肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等）自2000年起呈下降趋势，并且下降趋势明显，在国家的积极干预下，这种状况得到遏制，并向好的方向发展，到2019年中小学生在肺活量､柔韧度､力量､速度､耐力等多项指标出现好转，但肥胖､近视等问题依然严重，体育事业任重道远.某初中学校为提高学生身体素质，日常组织学生参加中短跑锻炼，学校在一次百米短跑测试中，抽取200名女生作为样本，统计她们的成绩（单位：秒），整理得到如图所示的频率分布直方图（每组区间包含左端点，不包含右端点）.(1)估计样本中女生短跑成绩的平均数；（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）(2)在样本中从[)10,12和[)20,22的学生中采用分层抽样的方法抽取5人，从所抽5人中任选2人，求2人成绩均在[)20,22内的概率.【正确答案】(1)16.16(2)310【分析】（1）根据平均数的计算公式即可求解，（2）根据分层抽样即可求解每层所抽取的人数，利用列举法即可由古典概型的计算公式求解.【详解】（1）估计样本中女生短跑成绩的平均数为：110.04130.12150.36170.28190.12210.06230.0216.16⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）样本中测试成绩在[)10,12的人数为0.042008⨯=，样本中测试成绩在[)20,22的人数为0.0620012⨯=，采用分层抽样的方法从[]10,12中抽取人数为582128⨯=+（人），记作,A B ；从[20,22）中抽取人数为12⨯53128=+（人），记作,,a b c ，从所抽5人中抽取2人含有的基本事件有：,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共10个，其中2人均在[)20,22内的事件有：,,ab ac bc ，共3个，故所求概率310P =.18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a +=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设212log 1n n n b a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，求数列{}n b 的前n 项和n T .【正确答案】(1)12n na =(2)2332n n n T +=-【分析】（1）由n a 与n S 的关系即可求解；（2）求出数列{}n b 的通项公式后用错位相减法求解.【详解】（1）因为1n n S a +=，所以当2n ≥时，()1111n n n n n a S S a a --=-=---，所以12n n a a -=，又当1n =时，121a =，解得112a =，所以0n a ≠，所以112n n a a -=，所以{}n a 是首项为12､公比为12的等比数列，所以{}n a 的通项公式为12n na =.（2）由（1）知21212log 12n n n n nb a a ⎛⎫-=⋅-= ⎪⎝⎭，所以231135232122222n n n n n T ---=+++++L ，所以231113232122222n n n n n T +--=++++ ，两式相减，得121111111111211213234222122222222212n n n n n n n n n T -+++⎛⎫- ⎪--+⎛⎫⎝⎭=+++-=+⨯-=- ⎪⎝⎭- ，所以2332n nn T +=-.19．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，E 为棱AB 的中点，DE 与AC 交于点,F G 为PBC 的重心.(1)求证：FG ∥平面PAB ；(2)已知4AB =，4=AD ，若CG 与平面ABCD 55，求G 到平面ABCD 的距离.【正确答案】(1)证明见解析(2)43【分析】（1）利用相似证明线线平行，再利用线面平行判定定理证明线面平行；（2）利用线面角的正切值求出HE ，利用已知条件求出d 与HE 的关系，即可求解.【详解】（1）证明：延长CG 交PB 于点H ，连接AH ，则H 为PB 的中点，因为E 为AB 的中点，所以2AB CD AE ==，又AE CD ∥，所以AEF △与CDF 相似，所以2CF CD FA AE==，因为G 为PBC 的重心，所以2CG GH =，所以CF CG FA GH=，所以CGF △与CHA V 相似，所以CGF CHA ∠=∠，所以FG AH ∥，又AH ⊂平面PAB ，FG ⊄平面PAB ，所以//FG 平面PAB .（2）解：连接HE ，则HE PA ∥，因为PA ⊥平面ABCD ，且AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，所以HE AD ⊥，HE AB ⊥;又AD AB A ⋂=，AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以HE ⊥平面ABCD .连接CE ，则HCE ∠为CG 与平面ABCD 所成的角，且HE CE ⊥，因为4AB =，4=AD ，四边形ABCD 是矩形，易求CE =又CG 与平面ABCD因为tan HE HCE CE ∠=，所以5HE CE =,所以2HE ==，设G 到平面ABCD 的距离为d ，则d CG HE CH =,由条件知23CG CH =，所以23d CG HE CH ==，所以43d =，即点G 到平面ABCD 的距离为43.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为,F A 为C 上的一点，AF 的最大值与最小值的差为F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线():0l y kx m k =+≠与椭圆C 交于,M N 两点，记C 的右顶点为P ，直线PM 与直线PN 的斜率分别为12,k k ，若12120k k =，求PMN 面积的取值范围.【正确答案】(1)2214x y +=(2)50,3⎛⎤ ⎝⎦【分析】（1）利用椭圆方程的性质可列出方程组，得到,a b ，即可得到椭圆方程.（2）根据题意，联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得到()222148440k x mkx m +++-=，利用韦达定理结合已知化简得2260m km k --=，即2m k =-或3m k =，讨论分析直线l 经过定点()3,0Q -，即可表示出PMN 面积，求出结果.【详解】（1）设C 的半焦距为c ，由题意知()()222221a c a c b a a b c ⎧+--=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由题意知()2,0P ，设()()1122,,,M x y N x y ，由2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222148440k x mkx m +++-=，所以()()2222Δ64414440m k k m =-+->，即22410k m -+>，且2121222844,1414mk m x x x x k k -+=-=++.因为12120k k =，所以121212220y y x x ⋅=--，又1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()()12122022kx m kx m x x ++=--，①因为()()()()2222121484414k x mkx m k x x x x +++-=+--，所以令2x =，得()()22122161642214k mk m x x k ++--=+，②令m x k =-，得()()2222122144414m m m k m k x x k k k ⎛⎫⎛⎫+⋅--=+---- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22122414m k kx m kx m k -++=+，所以()()2212220802014m k kx m kx m k-++=+，③把②③代①，得2222161642080k mk m m k ++=-，化简得2260m km k --=，所以2m k =-或3m k =.所以当2m k =-时，直线l 的方程为()2y k x =-，直线过点()2,0P ，不合题意，舍去；当3m k =时，直线l 的方程为()3y k x =+，所以直线l 经过定点()3,0Q -，所以12121522PMN RQM RQN S S S PQ y y k x x =-=⋅-=-52==因为22410k m -+>且3m k =，所以2150k ->，所以2105k <<，设29411,5t k ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以50,3PMN S ⎛⎤= ⎥⎝⎦ ，即PMN 面积的取值范围为50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.21．已知函数()()21e 202x f x x a x a =-+>的导函数为()f x '.(1)当1a =时，求函数()f x 的极值点的个数；(2)若函数()()212h x f x x x =--有两个零点12,x x ，求证.122x x +>【正确答案】(1)极值点的个数为2(2)证明见解析【分析】（1）由题意，代入1a =，对函数进行二次求导，根据分析求导后的单调性，去判断()0f x '=的情况.（2）由题意()h x 有两个零点，可利用分离参数法，将两个根转化为关于t 的函数，再证明结论即可.【详解】（1）当1a =时，()21e 22x f x x x =-+，定义域为R ，()e 2x f x x =-+'，令()e 2x g x x =-+，则()1e x g x '=-.所以当0x <时，()0g x '>，当0x >时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，即()f x '在(),0∞-上单调递增，在()0,∞+上单调递减，所以()()min 010f x f '==>'，又()22e 0f --=-<'，()224e 0f =-<'，所以()()200f f ''-⋅<，()()020f f ''⋅<，所以存在唯一的(2,0)m ∈-，(0,2)n ∈，使得()()0f m f n ''==，所以当(,)∈-∞x m 时()0f x '<，(,)x m n ∈时，()0f x '>，(,)x n ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在m 处取得极小值，在n 处取得极大值，所以函数()f x 的极值点的个数为2.（2）21()()e 2x h x f x x x a x =--=-+.因为函数()h x 有两个零点12,x x ，不妨设12x x >，所以11e x x a =，22e x x a =，所以1212e e x x x x a a -=-，()1212e e x x x x a +=+，解得1212e e x x x x a -=-.要证明122x x +>，即证明()121212e 2e e e x x x x x x -⨯+>-，分式上下分别除以2e x ，即证明()121212121e e x x x x x x ---⨯+>-，令120t x x =->，即证明()e 12e 1t t t +>-，即证明(2)e 20t t t -++>.令()(2)e 2t u t t t =-++，[0,)t ∈+∞，(0)0u =，则()(1)e 1t u t t '=-+，令()(1)e 1t v t t =-+，[0,)t ∈+∞，(0)0v =，则()e 0t v t t =≥'，所以()v t 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0v t v >=，所以()u t 在[0,)+∞上单调递增，所以对0t ∀>，()(0)0u t u >=，所以0t ∀>，(2)e 20t t t -++>，所以122x x +>成立.关键点睛：本题考查导数的综合应用，考查学生的综合能力，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线12,C C 的极坐标方程分别为22cos 2ρρθ=+，π3cos 32ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求曲线12,C C 的直角坐标方程；(2)若曲线2C 与x 轴交于点P ，曲线1C 和曲线2C 的交点为,A B ，求PA PB PB PA+的值.【正确答案】(1)()2213x y -+=，30x --=(2)10【分析】（1）根据公式法，即可得出曲线1C ，2C 的直角坐标方程.（2）由题得()3,0P ，利用曲线2C 的直角坐标方程得出参数方程代入曲线1C 的直角坐标方程，可得210t ++=，根据韦达定理得出,A B 对应参数的关系，然后根据弦长公式，即可得出答案.【详解】（1）因为曲线1C 的极坐标方程为22cos 2ρρθ=+，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以2222x y x +=+，所以曲线1C 的直角坐标方程为()2213x y -+=.因为曲线2C 的极坐标方程为π3cos 32ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以cos sin 3ρθθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为30x -=.（2）由题意知()3,0P ，故直线2C的一个参数方程为312x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.把2C 的参数方程代入()2213x y -+=，得210t ++=，所以(24180∆=-⨯=>，设,A B 所对应的参数分别为12,t t ，则211210t t t t +=-=>，所以12,t t 同号，所以()22212121212122t t t t t t PA PB PB PA t t t t +-++==⋅∣∣∣∣()(22121222101t t t t -+=-=-=.23．已知函数()1f x x x =-+.(1)解不等式()8f x <；(2)若()f x 的最小值为m ，且()2,a b m a b +=∈R ，求33+a b 的最小值.【正确答案】(1)79,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)2【分析】（1）分类讨论去绝对值符号即可求解不等式；（2）由绝对值不等式的性质可求出()f x 的最小值为m ，用立方和公式把33+a b 展开，再用基本不等式可求33+a b 的最小值.【详解】（1）()12,0,1,01,21,1,x x f x x x x -<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩不等式()8f x <等价于128,0x x -<⎧⎨<⎩或18,01x <⎧⎨≤≤⎩或218,1,x x -<⎧⎨>⎩解得7922x -<<，故不等式()8f x <的解集为79,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）因为()111f x x x x x =-+≥--=，当且仅当01x ≤≤时等号成立，所以1m =，所以2a b +=，所以()()()()233222222386a b a b a ab b a ab b a b ab ab ⎡⎤+=+-+=-+=+-=-⎣⎦.因为212a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当1a b ==等号成立，所以862ab -≥，当且仅当1a b ==时等号成立，故33+a b 的最小值为2.。
四川省高三模拟训练(一)数学(文)试题(解析版)
一、单选题1．复数在复平面内对应的点为，则（ ） z ()2,1-2i1z =-A ． B ．C ．D ．1i +1i -1i -+1i --【答案】C【分析】根据复数的几何意义表示出，再根据复数代数形式的除法运算法则计算可得. z 【详解】复数在复平面内对应的点为，则，z ()2,1-2i z =-所以. ()()()()()()2i 1i 2i 1i 2i 2i 2ii 1i 1i 12i 11i 1i 1i 2z ++=====+=-+-----+故选：C ．2．已知全集，集合，则集合{}2|560U x x x =∈--≤Z (){}|30A x x x =∈-≥Z {}1,2,4B ={1,5,6}-等于（ ） A ． B ． ()U A B ⋂ð()U A B ðC ． D ．()U A B ∩ð()U A B ⋂ð【答案】B【分析】先表示出集合与集合的等价条件，然后根据交集，并集和补集的定义进行分析求解即U A 可．【详解】由题意知，， {}|16{1,0,1,2,3,4,5,6}U x x =∈-≤≤=-Z {}|03{0,1,2,3}A x x =∈≤≤=Z 所以，， {0,1,2,3,4}A B ⋃={}()1,5,6U A B ∴-= ð故选：B ．3．某公司对2022年的营收额进行了统计，并绘制成如图所示的扇形统计图.在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约2156万元.则下列说法错误的是（ ）A ．该公司2022年营收总额约为30800万元B ．该公司在华南地区的营收额比河南省营收额的3倍还多C ．该公司在华东地区的营收额比西南地区、东北地区及湖北省的营收额之和还多D ．该公司在湖南省的营收额在华中地区的营收额的占比约为35.6% 【答案】D【分析】根据题意给的数据，结合选项依次计算即可求解. 【详解】A ：湖南省的营收额约为2156万元，占比7.00%， 所以2022年营收额约为万元，故A 正确； 2156308007.00%=B ：华南地区的营收额占比为19.34%，河南省的营收额占比为6.19%， 有，所以华南地区的营收额比河南省的3倍还多，故B 正确；19.34%3.126.19%=C ：华东地区的营收额占比为35.17%，西南地区的营收额占比为13.41%， 东北地区的营收额占比为11.60%，湖北的营收额占比为7.29%， 有13.41%+11.60%+7.29%=32.3%<35.17%，故C 正确；D ：湖南的营收额占比为7.00%，华中地区的营收额占比为20.48%， 有，故D 错误.7.00%34.2%20.48%=故选：D.4．如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）A ．14B ．7C ．D ．14373【答案】C【分析】由三视图还原出原几何体为三棱台以及各边的关系，先证明平面，得出棱台的1CC ⊥ABC 高.然后求出上下底面的面积，根据棱台的体积公式，即可得出答案.【详解】如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台， 且有，，，. 1CC CA ⊥1CC CB ⊥AC BC ⊥1111A C B C ⊥因为平面，平面，， CA ⊂ABC CB ⊂ABC CA CB C ⋂=所以平面.1CC ⊥ABC 又，所以，三棱台的高即为.12CC =12h CC ==又，，，，，，2AC =4BC =111A C =112B C =AC BC ⊥1111A C B C ⊥所以，，11124422ABC S S AC BC ==⨯⨯=⨯⨯= 111211111112122A B C S S A C B C ==⨯⨯=⨯⨯=所以，由棱台的体积公式. (1213V S S h =+()114142233=⨯++⨯=故选：C.5．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和不小于9的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．13234959【答案】D【分析】根据题意，由列举法分别得到三个数之积为偶数的情况数与三个数之和不小于9的情况，即可得到结果.【详解】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为，()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,510种情况，若这三个数之积为偶数有，9种情况，()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5它们之和不小于9共有 ，5种情况， ()()()()()1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为．59P =故选:D ．6．函数的图象大致为（ ） ()21ln 11x x x f x x x -+⎛⎫= ⎪--⎝⎭A ． B．C ．D ．【答案】A【分析】先求得的定义域并化简其解析式，再利用函数奇偶性排除选项CD ，最后利用特值法()f x 排除选项B ，进而得到正确选项A. 【详解】由，可得，则定义域为， 101xx+>-11x -<<()f x ()1,1-则， ()22111ln ln ln 11111x x x x x x x f x x x x x x x -+-++⎛⎫⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()111ln ln ln 111x x x f x x x x f x x x x --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--==-= ⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭则为偶函数，其图像关于y 轴对称，排除选项CD ；()f x 又，则排除选项B ，正确选项为A. 111112ln ln 30122212f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫=-=-< ⎪⎪⎝⎭⎪-⎝⎭故选：A7．将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再将图象向右平移()cos f x x π=2个单位长度，得到的图象，则（ ） 13()g x ()2021g =A ．B ．C ． D12-12【答案】C【分析】由图像伸缩平移变换知，，将代入即可求得结()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-2021x =果.【详解】由图像伸缩平移变换知，，()1cos[()]cos()2326g x x x πππ=-=-则 ()202112021cos()262g ππ=-=故选：C8．已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于点，交轴于点，若F :C 24y x =F C P y Q ，则点的坐标为2FQ FP =PA ．B ．C ．D ．1()2(2,1)±(1,2)±1(,2【答案】D【解析】根据可知，点为的中点，利用中点公式可得点的横坐标，将其代入到2FQ FP =P FQ P 可得其纵坐标.24y x =【详解】因为，所以为的中点，2FQ FP =P FQ 因为，所以，所以， 2p =12p=(1,0)F因为的横坐标为0，所以的横坐标为，将其代入到可得点的纵坐标为 Q P 1224y x =P故点的坐标为. P 1(,2故选：D【点睛】本题考查了向量的线性运算，考查了中点坐标公式，考查了抛物线的几何性质，属于基础题.9．数列中，，定义：使为整数的数叫做期盼{}n a 1log (2)(N )n n a n n *+=+∈12k a a a ⋅⋅⋅ k (N )k *∈数，则区间内的所有期盼数的和等于（ ） [1,2023]A ． B ．C ．D ．2023202420252026【答案】D【分析】利用换底公式与累乘法把化为，然后根据为整123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅2log (2)k +123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅数，可得，最后由等比数列前项和公式求解．22n k =-n【详解】解：，，()()+1lg 2log (2)lg 1n n n a n n +=+=+ *()N n ∈， ()()1232lg 2lg 3lg 4lg 5log (2)lg 2lg 3lg 4lg 1k k a a a a k k +∴⋅⋅⋅⋯⋅=⋅⋅⋅⋅=++ 又为整数，123k a a a a ⋅⋅⋅⋯⋅ 必须是2的次幂，即．2k ∴+n *()N n ∈22n k =-内所有的“幸运数”的和：[1,2023]k ∈()()()()2341022222222S =-+-+-+⋯+-，102(12)20202612-=-=-故选：D ．10．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上存在一点，使xOy C 2240x y y +-=1y kx =-P 过点所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的值不可能是（ ） P kA ．B ．C ．D 1-14-12【答案】B【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标，依题意、及两切点构成正方形且P C的取值范围，即可判PC =k 断.【详解】由，得，则圆心，半径，2240x y y +-=22(2)4x y +-=()0,2C 2r =因为过点所作的圆的两条切线相互垂直，所以、及两切点构成边长为的正方形，且对角线P P C 2PC =又在直线上，则圆心到直线的距离P 1y kx =-d k ≥k ≤即，根据选项，满足条件的为B ． ,k ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭故选：B ．11．如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，分别是1111ABCD A B C D -ABCD ,,,E M N P 的中点，以下说法错误的是（ ）111,,,BC BB A D AAA ．若，1BC =1AA =1DP BC ^B ． //MN CD C ．平面//MN 1C DE D ．若，则平面平面 AB BC =11AA C C ⊥1A BD 【答案】B【分析】利用正切值相等可说明，由此可得，结合平行关系可知A 正11AD A APD ∠=∠1AD DP ⊥确；由，可知B 错误；通过证明四边形为平行四边形可得//CD MP MP MN M ⋂=DEMN //MN DE ，由线面平行判定可知C 正确；根据，，由线面垂直和面面垂直的判定可知D BD AC ⊥1BD AA ⊥正确.【详解】对于A ，连接，1AD，111111tan AA AA AD A A D BC∠=== 1tan 12AD BCAPD AP AA ∠===，又，，即； 11AD A APD ∴∠=∠1111π2AD A D AA ∠+∠=11π2APD D AA ∴∠+∠=1AD DP ⊥，，四边形为平行四边形，，11////C D CD AB 11C D A C D B ==∴11ABC D 11//BC AD ∴，A 正确；1DP BC ∴⊥对于B ，连接，,MP CM分别为中点，，又，，,M P 11,BB AA MP//AB ∴//AB CD //MP CD ∴，与不平行，B 错误； MN MP M ⋂= MN ∴CD 对于C ，连接，1,EM B C分别为中点，，； ,M E 1,BB BC 1//EM B C ∴112EM B C =，，四边形为平行四边形，，，11//A B CD 11A B CD =∴11A B CD 11//A D B C ∴11A D B C =为中点，，，， N Q 1A D 112ND A D ∴=//ND EM ∴ND EM =四边形为平行四边形，，∴DEMN //DE MN ∴又平面，平面，平面，C 正确； DE ⊂1C DE MN ⊄1C DE //MN ∴1C DE 对于D ，连接，1A B，四边形为平行四边形，四边形为菱形，；AB BC = ABCD ∴ABCD BD AC ∴⊥平面，平面，，1AA ⊥ ABCD BD ⊂ABCD 1AA BD ∴⊥又，平面，平面， 1AA AC A = 1,AA AC ⊂11AAC C BD ∴⊥11AAC C 平面，平面平面，D 正确.BD ⊂Q 1A BD ∴11AA C C ⊥1A BD 故选：B.12．已知关于的方程有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ） x 2x e ax =a A ．B ．1,2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．D ．(),e +∞()2,e +∞【答案】B【解析】参变分离后可根据直线与函数的图象有3个不同的交点可得实数y a =()()20xe f x x x =≠a的取值范围.【详解】问题等价于又三个不等的实数根，2xe a x =令，， ()()20xe f x x x =≠()()32x e x f x x-'=当时，，当时，， (),0x ∈-∞()0f x ¢>()2,+x ∈∞()0f x ¢>当时，，()0,2x ∈()0f x '<所以在和上为增函数，在上为减函数，()f x (),0∞-()2,∞+()0,2又，且极小值为，的图象如图所示：()0f x >()224e f =()f x因此与的图象有三个不同的交点时，.y a =()f x 24e a >故选：B.【点睛】方法点睛：对于导数背景下的函数零点问题，我们可以针对不同的题型采取不同的策略：（1）填空题或选择题类：可以采用参变分离的方法把参数的范围问题归结为动直线与不含参数的函数的图象的交点问题，后者可以利用导数来刻画图象；（2）解题类：一般不可以利用参变分离的方法来处理，因为函数的图象可能有渐近线，一般地利用导数研究函数的单调性，并结合零点存在定理来判断.二、填空题13．函数的图象在点处的切线方程为_______． x y xe =(0,(0))f 【答案】0x y -=【分析】利用导数的几何意义求函数图象在某一点处的切线方程.【详解】因为，所以.()x f x xe =()()'11x x xf x e xe x e =⋅+=+有，，()00f =()'01f =所以函数的图象在点处的切线方程为()xf x xe =(0,0)，即. ()010y x -=⋅-0x y -=故答案为：.0x y -=14．已知向量，满足，，的夹角为150°，则与的夹角为______.a b 1a = b = a b2a b + a 【答案】60︒【分析】根据向量数量积的定义，求得的值，利用平面向量的几何意义和数量积的运算律求得a b ⋅、，结合夹角公式计算即可求解.|2|1a b +=1()22a ab +⋅= 【详解】因为与的夹角为，1,a b == a b150︒所以，3cos1502a b a b ︒⋅==- 所以， ()222222|2|2444||||41a b a b a b a b a b a b +=+=+=⋅=+⋅++ 得，又，|2|1a b +=21()222a a a b a b ⋅=++⋅= 所以，22()1cos ,22a b a a a ba ab ++⋅==+又因为，所以. ,002,18a a b ︒⎡⎤∈⎣⎦+ ,602a a b ︒+= 故答案为：.60︒15．写出一个具有下列性质①②的数列的通项公式______．①；②数列{}n a n a =122n n n a a a ++=+的前n 项和存在最小值．{}n a n S 【答案】(答案不唯一)26n -【分析】根据判断数列是等差数列，根据存在最小值可知等差数列首项为负122n n n a a a ++=+{}n a n S 数，公差为正数，从而可写出满足条件的等差数列．【详解】∵，∴数列是等差数列，122n n n a a a ++=+{}n a ∵数列的前n 项和存在最小值，{}n a n S ∴等差数列的公差，，{}n a 0d >10a <显然满足题意．26n a n =-故答案为：．26n -16．已知双曲线的左､右焦点分别为，点是的一条渐近线上的2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>12,F F ,M N C 两点，且（为坐标原点），．若为的左顶点，且，则2MN MO =O 12MN F F =P C 135MPN ∠= 双曲线的离心率为_____C 【分析】根据，可得关于原点对称，从而可得四边形为平行四边形，再根2MN MO = ,M N 12MF NF 据，可得四边形为矩形，再求出的坐标，求出，再利用余弦定12MN F F =12MF NF ,M N ,PM PN 理构造齐次式即可得解.【详解】设双曲线的焦距为，因为，所以，所以关于原点对2(0)c c >2MN MO = ON MO = ,M N 称，又，所以四边形为平行四边形，12OF OF =12MF NF 又，所以四边形为矩形，因为以为直径的圆的方程为， 12MN F F =12MF NF 12F F 222x y c +=不妨设所在的渐近线方程为，则， ,M N ()00,,b y x M x y a=()00,N x y --由，解得或，不妨设， 222b y x a x y c⎧=⎪⎨⎪+=⎩,x a y b =⎧⎨=⎩x a y b =-⎧⎨=-⎩()(),,,M a b N a b --因为为双曲线的左顶点，所以，P (),0P a -，b =又，由余弦定理得，2,135MN c MPN ∠== 222||||||2||||cos135MN MP NP MP NP =+-⋅即，22224()c a a b b =+++2b a =所以离心率． c e a ===【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组或不等式组，求得、的值或不等式，根据离心率的定义a c 求解离心率的值或取值范围；e （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程或不等式，然后转化为关于的方程或不等a c e 式求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值构建方程或不等式，求得离心率的值或取值范围.三、解答题17．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，． ABC sin cos 2sin cos sin A B A A B =-(1)求的值； sin sin C A(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面3b =ABC ABC 积．条件①：；条件②：；条件③：的周长为9． 11cos 16B =sin C =ABC 【答案】(1)2【分析】（1）根据三角恒等变换分析运算即可；（2）由（1）可得，若选条件①：利用余弦定理可求得，进而面积公式分析运算；若选2c a =,a c 条件②：分为锐角和为钝角两种情况讨论，利用余弦定理可求，结合题意分析判断；若选C C ,a c 条件③：根据题意可求得，利用余弦定理结合面积公式运算求解.,a c 【详解】（1）∵，则， sin cos 2sin cos sin A B A A B =-()2sin sin cos cos sin sin sin A A B A B A B C =+=+=∴. sin 2sin C A=（2）由（1）可得，由正弦定理可得，sin 2sin C A =2c a =若选条件①：由余弦定理，即， 222cos 2a c b B ac+-=2224911416a a a +-=注意到，解得，则，0a >2a =4c =由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，ABC ∵，则， 11cos 016B =>π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得 sin B ==∴的面积. ABC 11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△若选条件②：∵，可得，则有：c a >C A >若为锐角，则， C 1cos 4C ==由余弦定理，即， 222cos 2a b c C ab +-=2219446a a a+-=整理得：，且，解得，则； 2260a a +-=0a >32a =3c =若为钝角，则， C 1cos 4C ==-由余弦定理，即， 222cos 2a b c C ab +-=2219446a a a+--=整理得：，且，解得，则；2260a a --=0a >2a =4c =综上所述：此时存在但不唯一确定，不合题意.ABC 若条件③：由题意可得：，即，9a b c ++=329a a ++=解得，则，2a =4c =由三角形的性质可知此时存在且唯一确定，ABC由余弦定理可得， 222416911cos 0222416a cb B ac +-+-===>⨯⨯则，可得π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sinB ==∴的面积. ABC 11sin 2422ABC S ac B ==⨯⨯=△18．一企业生产某种产品，通过加大技术创新投入降低了每件产品成本，为了调查年技术创新投入（单位：千万元）对每件产品成本（单位：元）的影响，对近年的年技术创新投入和每件x y 10i x 产品成本的数据进行分析，得到如下散点图，并计算得：，，()1,2,3,,10i y i = 6.8x =70y =，，. 10113i i x ==∑10211 1.6i i x ==∑101350i i i y x ==∑(1)根据散点图可知，可用函数模型拟合与的关系，试建立关于的回归方程；b y a x=+y x y x (2)已知该产品的年销售额（单位：千万元）与每件产品成本的关系为m y .该企业的年投入成本除了年技术创新投入，还要投入其他成本千万222001005002510y y m y =-+++-10元，根据（1）的结果回答：当年技术创新投入为何值时，年利润的预报值最大？x （注：年利润=年销售额一年投入成本）参考公式：对于一组数据、、、，其回归直线的斜率和截距的最()11,u v ()22,u v L (),n n u v v u αβ=+小乘估计分别为：，. 1221n i i i n i i u v nuv unu β==-=-∑∑ ˆv u αβ=-【答案】(1) 20010y x=+(2)当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值20【分析】（1）令，可得出关于的线性回归方程为，利用最小二乘法可求出1u x=y u y u αβ=+ β、的值，即可得出关于的回归方程； αy x（2）由可得，可计算出年利润关于的函数关系式，结合二次函数的基20010y x=+20010x y =-M y 本性质可求得的最小值及其对应的值.M x 【详解】（1）解：令，则关于的线性回归方程为， 1u x=y u y u αβ=+由题意可得， 1221103502102001.60.910n i n i i i i u y u y u uβ==--===--∑∑，则， 702000.310y x αβ=-=-⨯=10200y u =+所以，关于的回归方程为. y x 20010y x=+（2）解：由可得， 20010y x =+20010x y =-年利润 222002001010010500251010y y M m x y y =--=-+++----， ()212090.8500y =--+当时，年利润取得最大值，此时， 20y =M 20020020102010x y ===--所以，当年技术创新投入为千万元时，年利润的预报值取最大值.2019．如图，已知正方体的棱长为分别为的中点.1111ABCD A B C D -2,,E F 1,AD CC(1)已知点满足，求证四点共面；G 14DD DG = ,,,B E G F (2)求点到平面的距离.1C BEF 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）作中点，连接，根据是平行四边形和为中位线，得到1DD H ,AH HF ABFH EG 证明； ∥EG BF（2）设到平面的距离为和到平面的距离为，利用求解.1C BEF h E 1BC 2AB =11C BEF E BC F V V --=【详解】（1）证明：如图，作中点，连接，1DD H ,AH HF 因为是平行四边形，ABFH 所以，BF AH ∥在中，为中位线，故，AHD EG EG AH ∥所以，故四点共面．∥EG BF ,,,B E G F （2）设到平面的距离为，点到平面的距离为，1C BEF h E 1BC 2AB =在中，BEF △BE BF EF ===故的面积 BEF △BEF S = 同理，由三棱锥的体积，11BC F S = 1C BEF -11C BEF E BC F V V --=所以，得 111233BEF BC F S h S ⋅=⋅ h =故到平面 1C BEF 20．已知椭圆的长轴长为4，A ，B 是其左、右顶点，M 是椭圆上异于A ，2222:1(0)x y C a b a b+=>>B 的动点，且． 34MA MB k k ⋅=-(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为直线上一点，PA ，PB 分别与椭圆交于C ，D 两点． 4x =①证明：直线CD 过椭圆右焦点；2F ②椭圆的左焦点为，求的周长是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．1F 1CF D 【答案】(1) 22143x y +=(2)①证明见解析；②定值为8.【分析】（1）由题意可得，，，设，可得2a =()2,0A -()2,0B ()()000,2M x y x ≠±22220044b x y b+=，进而根据题意即可求解；（2）①设，联立直线和椭圆方程，求得，，进(4,)(0)P t t ≠22254218,2727t t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭222266,33t t D t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭而得到，，再根据向量共线的定义即可得证；②根据椭圆的定义即可求解.2F C 2F D 【详解】（1）由已知得：，，，2a =()2,0A -()2,0B 设，因为M 在椭圆上，所以①()()000,2M x y x ≠±22220044b x y b +=因为， 2000200032244MA MB y y y k k x x x ⋅=⋅==-+--将①式代入，得，得，2222004123b b x x -=-23b =所以椭圆． 22:143x y C +=（2）①证明：设，则，， (4,)(0)P t t ≠6PA t k =6:2PA l x y t =-同理可得，， 2PB t k =2:2PB l x y t=+联立方程，得，， 2262143x y t x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩21827C t y t =+2254227C t x t -=+则． 22254218,2727t t C t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭同理联立方程，可得，， 2222143x y t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩263D t y t -=+22263D t x t -=+则. 222266,33t t D t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭又椭圆的右焦点为，()21,0F 所以，， 222227318,2727t t F C t t ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭ 222296,33t t F D t t ⎛⎫--= ⎪++⎝⎭因为， 22222227361890273273t t t t t t t t ---⨯-⨯=++++说明C ，D ，三点共线， 即直线CD 恒过点．1F 1F ②周长为定值．因为直线CD 恒过点，1F 根据椭圆的定义，所以的周长为．1CF D 48a =21．已知函数，为常数，且. ()2ln 22x f x x ax =+-a 0a >(1)判断的单调性；()f x (2)当时，如果存在两个不同的正实数，且，证明：.01a <<m n ()()14f m f n a +=-2m n +>【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）运用导数，分类讨论与时的单调性.01a <≤1a >()f x （2）计算的值，结合已知可得，运用的单调性进而可设(1)f ()()()21f m f n f +=()f x 01m n <<<，运用的单调性及已知条件等量代换将问题转化为求证（()f x ()()214f m f m a +-<-01m <<），构造函数，运用导数研究其单调性即可求证.()()()2F x f x f x =+-()0,1x ∈【详解】（1）∵， ()2ln 22x f x x ax =+-∴，， ()21212x ax f x x a x x-+'=+-=()0,x ∈+∞记，()221g x x ax =-+①当，即时，恒成立，2440a ∆=-≤01a <≤()2210g x x ax =-+≥所以在上恒成立，()0f x '≥()0,∞+所以在上单调递增.()f x ()0,∞+②当，即时，2440a ∆=->1a >方程有两个不等实根，且，，10x a ==>20x a ==>∴，，，单调递增， (0,x a ∀∈2210x ax -+>()0f x ¢>()f x，，，单调递减， (x a a ∀∈2210x ax -+<()0f x '<()f x，，，单调递增， ()x a ∀∈+∞2210x ax -+>()0f x ¢>()f x 综上所述：①当时，在上单调递增，01a <≤()f x ()0,∞+②当时，在和上单调递增，在上1a >()f x (0,a ()a +∞(a a 单调递减.（2）∵，∴， ()1122f a =-()()()1421f m f n a f +=-=由（1）可知时，在上单调递增，01a <<()f x ()0,∞+故不妨设，01m n <<<要证：，即证：，2m n +>21n m >->又∵当时，在上单调递增，∴只需证，01a <<()f x ()0,∞+()()2f n f m >-又∵，∴只需证：，()()14f m f n a +=-()()142a f m f m -->-即证：，（），()()214f m f m a +-<-01m <<记，，()()()2F x f x f x =+-()0,1x ∈， ()()()()()()32111222222x F x f x f x x a x a x x x x -'''=--=+----+=---∴当时，恒成立，单调递增，()0,1x ∈()0F x '>()F x ∴，()()()12114F x F f a <==-∴原命题得证.即.2m n +>【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．22．杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022），简称“杭州2022年亚运会”，将在中国浙江杭州举行，原定于2022年9月10日至25日举办；2022年7月19日亚洲奥林匹克理事会宣布将于2023年9月23日至10月8日举办，赛事名称和标识保持不变。
四川省成都市2024年数学(高考)部编版模拟(自测卷)模拟试卷
四川省成都市2024年数学（高考）部编版模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知点，椭圆的右焦点为，点为椭圆上的动点，若周长的最大值为14，则的标准方程为（）A．B．C．D．第(2)题集合，，且，实数的值为（）A．B．C．或D．或或第(3)题已知平面向量，，且，则（）A．B．C．D．1第(4)题已知分别是椭圆的左、右焦点，在上，在轴上，，以为直径的圆过，且的面积为，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．第(5)题已知，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(7)题为庆祝党的二十大胜利召开，某校从高三年级一、二、三班分别抽取一些学生组成合唱团，一、二、三班的人数之比为，男生占比分别为，现随机抽出一名学生，若该学生是一名男生，则该男生来自二班的概率为（）A．B．C．D．第(8)题抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以点为圆心，以为半径的圆与交于点，，与轴交于点，，若，则（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（）A．C的渐近线方程为B．过点作，垂足为H，则C．点N的坐标为D．四边形面积的最小值为第(2)题函数的部分图象如图所示，则（）A．，B ．不等式的解集为，C ．为的一个零点D．若A，B，C为内角，且，则或第(3)题已知，且，则（）A．B．C．D．三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。
四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知某超市年个月的收入与支出数据的折线图如图：根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）A ．该超市年的个月中月份的收益最高B ．该超市年的个月中月份的收益最低C ．该超市年至月份的总收益比年至月份的总收益增长了万元D ．该超市年至月份的总收益低于超市年至月份的总收益2. 命题“”的否定是（ ）A．B．C．D．3. 若集合，则A．B．C．D．4. 函数（且）的反函数是A．B．C．D．5. 今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛，胜者可获得24000元奖金.比赛规定下满五局，五局中获胜局数多者赢得比赛，比赛无平局，若比赛已进行三局，甲两胜一负，由于突发因素无法进行后面比赛，如何分配奖金最合理？（ ）A ．甲12000元，乙12000元B ．甲16000元，乙8000元C ．甲20000元，乙4000元D ．甲18000元，乙6000元6.已知递增等比数列的前n 项和为，，且，则与的关系是（ ）A．B．C．D．7.已知函数，则的图象（ ）A ．关于直线对称B ．关于点对称C ．关于直线对称D ．关于原点对称8. 已知点在双曲线的一条渐近线上，则A ．3B ．2C．D．9. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐.早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸货后，在落潮时返回海洋.一艘货船的吃水深度（船底到水面的距离）为4m.安全条例规定至少要有2.25m 的安全间隙（船底到海底的距离），下表给出了某港口在某季节每天几个时刻的水深.时刻水深/m时刻水深/m时刻水深/m四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题(2)四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题(2)三、填空题四、解答题0：00 5.09：00 2.518：00 5.03：007.512：00 5.021：00 2.56：005.015：007.524：005.0若选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，则下列说法中正确的有（ ）A．B．C ．该货船在2：00至4：00期间可以进港D ．该货船在13：00至17：00期间可以进港10. 已知函数以下结论正确的是（ ）A ．在区间上是增函数B．C ．若函数在上有6个零点，则D ．若方程恰有3个实根，则11.已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法不正确的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若两两相交，则交线互相平行12. 小兰是一名记者．某天，同事小南有重要文件需要当面交给小兰，小南了解到今天小兰有90%的可能性外出采访，她出门后只有3种选择，去某社区采访民生新闻，去某学校采访教育新闻，或者去某公司采访财经新闻，这3种选择的可能性均相同．但是他联系不到小兰，他只好按照社区、学校、公司、单位的顺序依次去寻找小兰，则下列说法正确的有（ ）A ．小兰去社区采访民生新闻的概率为0.3B ．小南至多去两个地方就找到小兰的概率是0.6C ．如果小南在社区、学校和公司均没有找到小兰，那么小南在单位找到小兰的概率是0.1D ．如果小南在社区和学校均没有找到小兰，那么小南在公司找到小兰的概率是0.7513.如图，已知直三棱柱，，，M 为上一点，四棱锥的体积与该直三棱柱的体积之比为，则异面直线与所成角的余弦值为________.14. 某新能源汽车公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2021年全年投入研发资金100万元，在此基础上，以后每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 1000万元的年份是_______年.（参考数据：lg1.12≈0.049）15.已知函数及其导函数定义域均为R ，且，，则关于x的不等式的解集为______．16. 的内角的对边分别为的面积边上的中线长为.(1)求；(2)求外接圆面积的最小值.17. 记数列{}的前n项和为.已知，___________.从①；②；③中选出一个能确定{}的条件，补充到上面横线处，并解答下面的问题.(1)求{}的通项公式：(2)求数列{}的前20项和.18. 在中，内角所对的边分别为a,b,c，已知.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求sinC的值.19. 如图，在多面体中，四边形与都是直角梯形，且，，．（1）证明：平面；（2）若平面平面，且，求二面角的余弦值．20.如图1，在梯形中，，，垂足为，，.将△沿翻折到△，如图2所示.为线段的中点，且.(1)求证：；(2)设为线段上任意一点，当平面与平面所成锐二面角最小时，求的长.21. 如图，四棱锥中，，，．(1)证明：；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．。
四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题
一、单选题二、多选题1. 甲，乙，丙三个车间生产的某种产品的件数分别为120，80，60.现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，若从乙车间生产的产品中抽取4件，则（ ）A ．10B ．12C ．13D ．142. 已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上所有的点（ ）A ．向左平移个单位长度B ．向右平移个单位长度C ．向左平移个单位长度D ．向右平移个单位长度4. 已知直线l 过圆的圆心，且与直线2x ＋y －3＝0垂直，则l 的方程为（ ）A ．x －2y ＋1＝0B ．x ＋2y －1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x －2y －1＝05.是棱长为2的正方体，分别为的中点，过的平面截正方体的截面面积为（ ）A．B．C．D．6. 不等式的解集为A．B．C．D．7. 命题：“，的否定是（ ）A ．，B．C ．，D ．，8.集合，，则（ ）A．B．C．D．9. 第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉宝”备受人们欢迎．某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满1000元可参加抽奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”．抽奖结果分为五个等级，等级与获得“蓉宝”的个数的关系式为，已知三等奖比四等奖获得的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”数是五等奖的2倍，则（ ）A．B．C．D ．二等奖获得的“蓉宝”数为1010. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）A ．若，则的值为B．若则的值为C ．若，则与的夹角为锐角D ．若，则11.已知函数，，则下列结论正确的是（ ）A ．对任意的，存在，使得B ．若是的极值点，则在上单调递减四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题三、填空题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题C．函数的最大值为D．若有两个零点，则12. 已知向量，则使得∥且最大时的的值为__________．13.已知圆锥的侧面积为，高为，设圆锥的顶点为，点，B 在底面圆周上，则面积的最大值为______．14. 已知向量，，点为坐标原点，在轴上找一个点，使得取最小值，则点的坐标是___________.15.在中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知．则角________，若点D 是AB的中点，且，则ab 的最大值是________．16. 阅读下面题目及其解答过程．．）求证：函数是偶函数；）求函数的单调递增区间．）因为函数的定义域是，都有又因为是偶函数．时，，在区间上单调递减．时， 时，在区间⑤ 上单调递增．的单调递增区间是．以上题目的解答过程中，设置了①～⑤五个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个正确，请选出正确的选项，并填写在相应的横线上（只需填写“A”或“B”）．空格序号选项①（A ）（B ）②（A ）（B ）③（A ）2（B ）④（A ）（B ）⑤（A ）（B ）17. 直线与轴交于点，交圆于，两点，过点作圆的切线，轴上方的切点为，则__________；的面积为__________．18. 化简：．19. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如表:八、解答题九、解答题十、解答题零件的个数x (个)2345 加工的时间y (小时)2.5344.5（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图.（2）求出y 关于x的线性回归方程，试预测加工10个零件需要多少小时?（注：，）20. 如图，在四棱锥中，底面，为直角，，，、分别为、的中点．(1)证明：平面；(2)设，若平面与平面的夹角大于，求的取值范围．21. 为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了、两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料.已知蛋糕的成本为元/个，蛋糕的成本为元/个，两种蛋糕的售价均为元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理.为更好了解市场的需求情况，、两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月（天）的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到如下统计表.蛋糕的销售量（个）天数蛋糕的销售量（个）天数(1)以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于个的概率；(2)若每日生产、两种蛋糕各个，根据以上数据计算，试问当与时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？22. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，若．（1）求的值；（2）是否存在角，（），满足?若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由．。
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2016年高考模拟试题（四川卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ={x ∈N |0≤x ≤6}，集合A ={1，3，5}，B ={2，4，6}，则 （ ）A ．0∈AB B ．0∈(UA )BC ．0∈(A )(UB )D ．0∈(UA )(UB )2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．103B ．4C ．143D ．63．要得到函数y =sin(2x +4π)的图象，只需将函数y =cos2x 的图象 （ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度4．设M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA +OB +OC +OD =（ ）A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM5．函数y =cos 2xx cos x (x ∈[0,π])为增函数的区间是 （ ）A ．[0,3π] B ．[12π,3π] C ．[3π,65π] D ．[65π,π]俯视图6．如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，则梯形面积y 和腰长x 间的函数的大致图象是 （ ）A ．B ．7．曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形的面积是 （ ）A ．π+2B ．π+1C ．2π+2 D ．2π+1 8．函数f (x ) = (12)x +log 12x ，g (x ) =(12)x +log 2x ，h (x ) = 2x +log 2x 的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b9．运行如下程序框图，如果输入的x ∈[7,11]，则输出y 属于 （ ）A ．(-20,12]B ．(-20,16]C ．[-20,12]D ．[-20,16]10.已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤当3≤s ≤5时， 目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是 （ A ．[6,15] B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]x x xD CBAC 1D 1A 1B 1QP第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．11.双曲线221916y x -=的焦点到其渐近线的距离是 ． 12.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500,3000)（元）内应抽出 人. 13.把复数z 1在复平面内的对应点P 绕原点逆时针旋转90°得复数z 2在复平面内的对应点Q ，z 1=2+i ，则z 1z 2= ．14.已知x ＞0，y ＞0，且4xy -x -2y =4，则xy 的最小值为 ．15.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是线段AC ，B 1D 1上的动点．现有如下命题： （1）∃P ，Q ，使得AQ ∥C 1P ； （2）∃P ，Q ，使得AQ ⊥C 1P ； （3）∃P ，Q ，使得AQ ∥BP ； （4）∃P ，Q ，使得AQ ⊥BP ．其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组 乙组 99 0 X 8 9 111(Ⅰ)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354，求X 及乙组同学投篮命中次数的方差； (Ⅱ)如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的投篮命中次数之和为19的概率．1A 117.（本小题满分12分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列． (Ⅰ)求证：a 2，a 8，a 5成等差数列； (Ⅱ)若a 1-a 4=3，求a 1+a 4+a 7+…+a 31．18.（本小题满分12分）（文科）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点． (Ⅰ)求证：BC 1⊥平面AB 1C ； (Ⅱ)求证：BC 1∥平面A 1CD ．19.（本小题满分12分）已知AD 是△ABC 的角平分线，且△ABD 的面积与△ACD 的面积比为3:2．(Ⅰ)求sin sin BC 的值；(Ⅱ)若AD =C =2∠B ，求BC 的长．20.（本小题满分13分）如图，椭圆C :22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点P (2,3)，离心率e =12，直线l 的方程为y =4．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过(0,3)的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得11k +21k =3k λ？若存在，求λ的值．21.（本小题满分14分）直线x =b 与函数f (x )=x -ln x 的图象交于两个不同的点A ，B ，其横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2．(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间和最小值； (Ⅱ)证明：x 1x 22＜2．2016年高考模拟试题（四川卷）数学（文科）一、选择题． 1.D因为0∉A ，0∉B ，所以0∈(UA )(UB )。
2.A由三视图可知该几何体上方是一个底面为边长2的正方形，高为1的正四棱锥；下方是一个底面为边长1的正方形，高为2的正四棱柱。
所以体积为13×22×1+12×2=103。
3.B y =cos2x =sin(2x +2π)=sin2[(x +8π)+4π)，故只需将y =cos2x 的图象向右平移8π个单位长度就得到y =sin(2x +4π)的图象。
4. D由平面向量加法的几何意义知道，OA +OB +OC +OD =(OA +OC )+(OB +OD )=2OM +2OM =4OM 。
5.Cy =cos 2x x cos x =1cos22x+sin2x =sin 6πcos 2x - cos 6πsin2x +12 =-sin(2x -6π)+12。
当x ∈[0,π]时，2x -6π∈[-6π,611π]，要使y =cos 2x x cos x 为增函数， 则需y =sin(2x -6π)为减函数。
所以2x -6π∈[2π,23π]，解得x ∈[3π,65π]。
6.A由图可知，腰AD 的长的范围是(0)，故排除D 。
再考虑特殊位置，当AD =1即x =1时，此时∠DAB =60°，面积y ＞1。
故选A 。
7.A曲线x 2+y 2=|x |+|y |关于x 轴、y 轴对称，图形如图所示。
即四个半圆和一个正方形构成，所以面积为4×12×π×)2+)2 =π+2。
8.B(12)x+log 12x =0可变成log12x =-(12)x ，(12)x +log 2x =0可变成log 2x =-(12)x ，2x+log 2x =0可变成log 2x =-2x ，在同一坐标系中做出这些函数的图象如图所示。
因此f (x )、g (x )、h (x )的零点分别为图中A 、B 、C 点的横坐标。
因此c ＜b ＜a 。
9.B因为x ∈[7,11]，所以第一次循环之后，x ∈[3,7]，n =1。
当x =3时，计算出y =21×(4×3-32)=6当x ∈(3,7]，进行第二次循环，运行后x ∈(-1,3]，n =2，计算出y =22×(4x -x 2)。
当x ∈(-1,3]时，-5＜4x -x 2≤4，此时y ∈(-20,16]。
综上，y ∈(-20,16]。
10.D0,0,,2 4.x y x y s y x ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤当3≤s ≤4时，区域如图所示， z =3x +2y 在两直线x +y =s 和2x +y =4的交点处(4-s ,-4+2s )取得最大值。
此时z =3(4-s )+2(-4+2s )=4+s ，此时z 的最大值变化范围是[7,8]。
当s ＞4时，区域如图所示， z =3x +2y 在点(0,4)取得最大值。
此时z =8，综上，z 的最大值变化范围是[7,8]。
二、填空题． 11.4双曲线221916y x -=的焦点是(0,±5)，其渐近线为y =±34x ，即3x ±4y =0。
=4。
12.25各组的频率/组距分别为0.0002，0.0004，0.0005，0.0005，0.0003，0.0001。
组距为500， 所以频率为0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05。
故月收入在[2500,3000)（元）的频率为0.25， 因此应抽出0.25×100=25（人）。
13.-4+3iz 1=2+i ，z 2=-1+2i ，z 1z 2=(2+i )(-1+2i )=-4+3i 。
14.2因为x +2y≥，又4xy -x -2y =4，所以4xy-≥4，1A所以xy的最小值为2。
15.①④当Q为B1D1中点，P为AC中点时，此时AQ∥C1P，故①正确；此时AQ⊥BP，故④正确；因为Q∉平面ABC，所以A，B，P，Q四点不共面，因此不存在P，Q，使得AQ∥BP，故③错误。
以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为坐标轴建立坐标系。
则P(a,a,0)，Q(b,1-b,1)，C1(1,1,0)所以AQ=(b,1-b,1)，1C P=(a-1, a-1, -1)，所以cos<AQ,1C P>=11||||AQ C PAQ C P⋅⋅=1(1)(1)(1)1||||b a b aAQ C P-+---⋅=12||||a bAQ C P--⋅，因为a，b∈[0,1]，所以a-b-2不可能为0，所以不存在P，Q，使得AQ⊥C1P，故②错误。
三、解答题．16. 解:(Ⅰ)当平均数为354时，由茎叶图可知，乙组同学的投篮命中次数是X，8，9，10，所以x=89104X+++=354，所以X=8．方差s2=14[(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116．(Ⅱ)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们投篮命中次数依次为9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A1, B4)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)，(A2, B4)，(A3, B1)，(A3, B2)，(A3, B3)，(A3, B4)，(A4, B1)，(A4, B2)，(A4, B3)，(A4, B4)，用C表示：“选出的两名同学的投篮命中次数和为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1, B4)，(A2, B4)，(A3, B2)，(A4, B2)．故所求概率为P(C)=416=14．17.解:(Ⅰ)当q=1时，显然不满足条件S3，S9，S6成等差数列，因此q≠1．所以S3=31(1)1a qq--，S9=91(1)1a qq--，S6=61(1)1a qq--，由S3，S9，S6成等差数列，知291(1)1a qq--=31(1)1a qq--+61(1)1a qq--，显然a1≠0，化简得2q9=q3+q6，①所以2q7=q+q4，又a2=a1q，a8=a1q7，a5=a1q4，所以2a8=a2+a5，所以a2，a8，a5成等差数列．(Ⅱ)由①解得q3=-12，由a1-a4=3，可得a1-a1q3=3，解得a1=2．所以a1+a4+…+a31=2+(-1)+12+…+(12)-9=1112[1()]211()2----=683 512．18. 解:(Ⅰ)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，又AC⊥BC，CC 1BC=C，所以AC⊥平面B1C1CB，因为BC1⊂平面B1C1CB，所以BC1⊥AC．又因为BC=BB1，所以B1C1CB是正方形，所以BC1⊥B1C，又B1C AC=C，所以BC1⊥平面AB1C．(Ⅱ)在正方形A1C1CA中，设AC 1A1C=G，则G为AC1中点，D为AB的中点，连结DG，在△ABC1中，BC1∥DG，因为DG⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．19.解:(Ⅰ)由S△ABD:S△ADC =3:2，得1 2AB⋅AD⋅sin∠BAD:12AC⋅AD⋅sin∠CAD=3:2，因为∠BAD=∠CAD，所以AB:AC=3:2，所以sinsinBC=ACAB=23．(Ⅱ)由∠C=2∠B得sin C=sin2B=2sin B cos B，由(Ⅰ)知sinsinBC=23，所以cos B=sin2sinC=3，sin B，所以cos C=cos2B=2cos2B-1=18，sin C，设BD=3m，AB=3n，则CD=2m，AC=2n．在△ABD中，由余弦定理有AB2+BD2-2AB⋅BD⋅cos B=AD2，即9m2+9n2-272mn=18，①同理，在△ACD中，有4m2+4n2-mn=18，②所以9m 2+9n 2-272mn =4m 2+4n 2-mn ， 所以m =2n （由AB +AC ＞BC 知n ＞m ，故舍去），或n =2m ． 代入②得，m =1． 所以BC =5m =5．20.解:(Ⅰ)由已知得22222491,1,2a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩， 解得a =4，bc =2．所以椭圆C 的方程为216x +212y =1．(Ⅱ)当直线AB 不存在斜率时，A (0,，B (0,，M (0,4)， 此时k 1，k 2，k 3=4302--=-12， 11k +21k =-4，可得λ=2． 当直线AB 存在斜率时，可设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y =kx +3． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得 221,16123,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，化简整理得，(4k 2+3)x 2+24kx -12=0， 所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=21243k -+，而11k +21k =1123x y --+2223x y --=112x kx -+222x kx -=12121222()x x x x kx x -+ =24k k-．又M 点坐标为(1k ,4)，所以31k =1243k --=12kk-．故可得λ=2．因此，存在常数λ=2，使得11k +21k =3k λ恒成立． 21.解:(Ⅰ)由题可得f ′(x )= 1-1x， 所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 所以f (x )的最大值为f (1)=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知0＜x 1＜1，x 2＞1，g (x 1)= g (x 2)=0．g (x 1)-g (222x )=(x 1-ln x 1)-(222x -ln 222x )=(x 2-ln x 2)-(222x -ln 222x )=x 2-222x -3ln x 2+ln2．令h (t )=t -22t -3ln t +ln2，则h ′(t )=1+34t -3t=32334t t t -+=23(2)(1)t t t -+．当t ≥2时，h ′(t )≥0，h (t )是增函数，所以h (t )≥h (2)=32-2ln2=32ln 3e 16＞0．所以当x 2≥2时，g (x 1)-g (222x )＞0，即g (x 1)＞g (222x )因为0＜x 1，222x ＜1，g (x )在(0,1)上单调递减，所以x 1＜222x ，故x 1x 22＜2．当1＜x 2＜2时，只需证明x 1x 2＜1．g (x 1)-g (21x )=(x 1-ln x 1)-(21x -ln 21x )=(x 2-ln x 2)-(21x -ln 21x )=x 2-21x -2ln x 2．令ϕ(t )=t -1t -2ln t ，则ϕ′(t )=1+21t -2t = 2221t t t -+=22(1)t t -≥0，当t ＞1时，ϕ′(t )＞0，ϕ(t )是增函数，所以ϕ(t )＞ϕ(1)= 0．所以当1＜x 2＜2时，g (x 1)-g (21x )＞0，即g (x 1)＞g (21x )．因为0＜x 1，21x ＜1，g (x )在(0,1)上单调递减，所以x 1＜21x ，故x 1x 2＜1．又1＜x 2＜2，所以x 1x 22＜2．《信息技术环境下学生自主学习能力训练之得失》 摘要：《课程标准》中明确指出：“学生是学习和发展的主体。