最新四川省高考模拟数学(文)试题
2024届四川省成都市高考冲刺数学(文)仿真检测模拟试题(二模)附解析
2024届四川省成都市高考冲刺数学（文）仿真模拟试题（二模）一、单选题1．若复数z 满足，则z =（ ）i iz z +=⋅A ．B ．C ．D ．12-121i 2-1i 2【正确答案】C【分析】设，则，根据复数相等运算求解．i z a b =+i z +=i i z b a ⋅=-+【详解】设，i z ab =+则()i 1i z a b +=++=()i=i i iz a b b a ⋅+=-+∵i iz z +=⋅ib a =-+可得，解得0a b =⎧=-012a b =⎧⎪⎨=-⎪⎩即1i2z =-故选：C ．2．已知集合，.若.则实数（ ）1,{}2,A m ={2,4}B ={1,2,3,4}A B ⋃=m =A ．B ．3C ．D ．43-4-【正确答案】B【分析】根据并集的定义，结合并集的结果，直接判断结果.【详解】因为集合，，且，所以.1,{}2,A m ={2,4}B ={1,2,3,4}A B ⋃=3m =故选：B3．在新冠肺炎疫情期间，各口罩企业都加大了生产力度，如图是2022年第一季度五个企业的生产量情况，则下列叙述正确的是（ ）A ．2022年第一季度生产总量的增长率由低到高排位第5的是E 企业B ．2022年第一季度生产总量和增速由高到低排位均居同一位次的企业只有一个C ．2021年同期C 企业的生产总量不超过2000万只D ．与2021年同期相比，各企业2022年第一季度的生产总量都实现了增长【正确答案】D【分析】根据统计图表提供的数据求解判断．【详解】由图可知，增长率最低的是企业，A 错；A 生产总量从低到高排列为，增速从低到高排列为，两者位居同一位次的和BDACE BEDCA B 两个，B 错；C 2021年同期C 企业的生产总量为，C 错；40474047200010.662>>+从图表知各企业2022年第一季度的生产总量的增长率均为正数，因此生产总量都实现了增长，D 正确．故选：D ．4．生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量C 会按确定的比率衰减（称为衰减率），C 与死亡年数t 之间的函数关系式为（k 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，0.5tkC =这个时间称为“半衰期”．若2022年某遗址文物出土时碳14的残余量约为原始量的85%，则可推断该文物属于（ ）参考数据：；参考时间轴：2log 0.850.23≈-A ．战国B ．汉C ．唐D ．宋【正确答案】C【分析】根据“半衰期”求得，进而解方程，求得，从而可推断出该文物k 2log 0.855730t=-t 所属朝代.【详解】解：当时，，故，解得，所以，5730t =12C =57300.50.5k =5730k =57300.5tC =由题意得，，解得，57300.50.85t=2log 0.850.235730t =-≈1318t ≈而，可推断该文物属于唐.20221318704-=故选：C ．5．抛物线的准线方程是，则（ ）2x ay =2y ==a A ．B ．8C ．D ．8-1818-【正确答案】A【分析】根据抛物线方程，求准线方程，列等式求.a 【详解】由抛物线方程，知，所以，所以，所以.2p a =24p a =24a -=8a =-故选:A6．已知向量，，则（ ）(2,2)a = (8,6)b =- tan ,a b 〈〉=A ．7B ．C ．D ．7-17-17【正确答案】A【分析】根据向量数量积的运算，先求，再根据同角三角函数基本关系是求cos ,a b.tan ,a b【详解】由已知，得，则为锐角，cos ,a b a b a b⋅===⋅,a b所以sin ,a b ==所以.sin ,tan ,7cos ,a b a b a b==故选：A.7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝，则b 35等于（ ）A ．B ．C ．D5310757【正确答案】C【分析】先由cos A 的值求出，进而求出，用正弦定理求出b 的值.4sin 5A =sin C 【详解】因为cos A ＝，所以，354sin 5A ==所以()()sin sin πsin sin cos cos sin C A B A B A B A B=-+=+=+⎡⎤⎣⎦43cos 45sin 4555=︒+︒=由正弦定理：，得.sin sin b cB C =5457b =︒=故选：C8．某几何体三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．32π332π64π364π【正确答案】C【分析】画出该几何体的直观图后，再去求该几何体外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】依据题给三视图，可得该几何体直观图如下设M 为BD 中点，则，，，平2BM MD AM ===BD AM ⊥BD CM ⊥CM =ABD ⊥面CBD由，，可知为直角三角形，2BM MD AM ===BD AM ⊥ABD △又由平面平面，可知三棱锥外接球球心位于直线上，ABD ⊥CBD -A BCD CM设三棱锥外接球半径为R ，则，解之得-A BCD ()2222222R RR =+-⇒-R =则三棱锥外接球的表面积为-A BCD 22644π4ππ3S R ==⨯=故选：C9．已知，则（ ）tan 3α=sin 2α=A ．B ．C ．D ．233523±35±【正确答案】B【分析】利用二倍角公式后然后除以“1”后上下同除以后代入即可得出结果.2cos αtan 3α=【详解】，2222sin cos 2tan 63sin 22sin cos sin cos tan 1915ααααααααα=====+++故选：B.10．过点，作倾斜角为的直线l ，则直线l 被圆()2,2A π322:16O x y +=-（ ）A ．B ．C ．D ．1236-【正确答案】D【分析】由题，由点斜式写出直线，由点线距离公式求出圆心到直线距离，可结合垂径定理得出所截弦长【详解】依题意，直线l的方程为，则圆心O到直)22y x-=-20y--=线l的距离.又因为圆的半径1dr=(236===-故选：D.11．过双曲线的一个焦点F作弦，则的值等于（）221169x y-=AB11||||AF BF+A．B．C．D．92894929【正确答案】B【分析】采用特例法设焦点F为右焦点、A在第一象限，求出F、A、B的坐标，利用两点间的距离公式求解即可.【详解】采用特例法即可求得结果不妨设焦点F为右焦点，则，(5,0)F令代入双曲线方程得，解得，5x=2951162y-=94y=±当轴时，不妨设A在第一象限，则，，AB x⊥95,4A⎛⎫⎪⎝⎭95,4B⎛⎫-⎪⎝⎭所以，故.9||||4AF BF==118||||9AF BF+=故选：B本题考查双曲线的几何性质，属于中档题.12．已知，，，则（）ln1.1a=2eb-=0.1c=A．B．a b c<<c<a<bC．D．c b a<<a c b<<【正确答案】D【分析】利用单调性，分别将和比较，即可得到答案.,a c0.1【详解】设函数，则，则在上单调递增，在()ln1f x x x=-+()11f xx'=-()f x()0,1上单调递减，所以，则，即.()1,+∞()()10f x f≤=ln1.1 1.110-+<ln1.10.1<又，所以.22e130.19-->=>a c b<<故选：D.二、填空题13．已知点在不等式组表示的平面区域内运动，则的最小值(),P x y 1003x y x y x +-≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩34z x y =-为______．【正确答案】3-【分析】作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图内部（含边界），作直线，由得ABC :340l x y -=34z x y =-，向上平移直线，当过点时，取得最小值．344zy x =-l l (3,3)C 34z x y =-3-故．3-本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．三、双空题14．有一组数据，，…，其平均数为3，方差为2，则新的数据，，…，1x 2x n x 11x -21x -的平均数为______，方差为______．1n x -【正确答案】 2； 2.【分析】根据平均数的公式，结合方差的公式进行求解即可.【详解】由已知得，123nx x x n +++= ，22212(3)(3)(3)2n x x x n -+-++-=所以，1212(1)(1)(1)312n n x x x x x x n nn -+-++-+++-==-= ．2222221212(12)(12)(12)(3)(3)(3)2n n x x x x x x n n --+--++---+-++-== 故2；2四、填空题15．已知函数，则不等式的解集为()e e 21x xf x x -=--+(23)()2f x f x -+>______________．【正确答案】(1,)+∞【分析】先根据函数特点构造，得到其奇偶性和单调性，再对不()()1e e 2x x g x f x x-=-=--等式变形得到，根据单调性得到，(23)()2f x f x -+>()()()23g x g x g x ->-=-23x x ->-解不等式求出答案.【详解】令，定义域为R ，()()1e e 2x x g x f x x-=-=--且，()()e e 2x x g x x g x --=-+=-所以为奇函数，()()1e e 2x x g x f x x-=-=--变形为，(23)()2f x f x -+>(23)11()f x f x -->-即，()()()23g x g x g x ->-=-其，当且仅当，即时，等号成立，()e e 220x x g x -'=+-≥=e e x x-=0x =所以在R 上单调递增，()()1e e 2x x g x f x x-=-=--所以，解得：，23x x ->-1x >所以解集为.(1,)+∞故(1,)+∞16．已知函数，则关于函数性质，下列说法正确的有________．sin 1()sin 2x f x x -=+（1）关于中心对称；（2）的最小正周期为；()f x 1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭()f x π（3）关于轴对称；（4）在上有且仅有一个极大值；()f x 2x π=-()f x (0,7)x ∈（5）是的一个极小值．2-()f x【正确答案】（3）（4）（5）【分析】根据中心对称检验可判断（1），根据最小正周期检验可判断（2），根据对称性检验可判断（3），运用导数确定单调性可判断（4）、（5）.【详解】因为，（1）错误；3122f f ππ⎛⎫⎛⎫+≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为不恒成立，最小正周期不是，（2）错误；()()f x f x π≠+π由诱导公式得：，故，（3）正确；sin sin()x x π=--()()f x f x π=--因为，在上，或，23cos ()(sin 2)x f x x '=+5(0,)2π()002f x x π'>⇒<<3522x ππ<<，所以在和上单调递增，在上单调递减，3()022f x x ππ'<⇒<<()f x (0,)2π35(,)22ππ3(,)22ππ，所以（4）正确；并且,所以（5）正确.5(0,7)(0,)2π⊆()()232f x f π==-极小值故（3）（4）（5）.五、解答题17．在①且，②且，③正项数列满足12a =2(2)2n n S n a =+-12a =123n n a a n ++=+{}n a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题:已知数列222n n n S a a =+-的前项和为，且______?{}n a n n S (1)求数列的通项公式:{}n a (2)求证.13243546112111111512n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++<【正确答案】(1)1n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）选择条件①或选择条件③，根据与的关系，得递推关系式，再求解数列n a n S 的通项公式即可；选择条件②，根据条件得是隔项等差数列，按照等差数列的通项{}n a {}n a 公式求解即可；n a （2）由（1）得，按照裂项求和之和即可证明不等式成立.211(1)(3)n n a a n n +=++【详解】（1）解：（1）选择①当时，，2n ≥2(2)2n n S n a =+- ，112(1)2n n S n a --∴=+-两式作差得：，12(2)(1)n n n a n a n a -=+-+整理得，11n n a an n -=+所以为常数列，因此，1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭1112n a an ==+所以.1n a n =+选择②得，123n na a n ++=+ 2125n n a a n ++∴+=+两式相减得，即数列为隔项等差数列，且公差为，22n n a a +-={}n a 2d =当时，，又，则，1n =215a a +=12a =2153a a =-=当为偶数时，，n 2(1)3(1)2122n n na a d n =+-=+-⨯=+当为奇数时，，n 111(1)2(1)2122n n n a a d n ++=+-=+-⨯=+综合得：；1n a n =+选择③又，得.0n a >12a =当时，，2n ≥222n n n S a a =+- 211122n n n S a a ---∴=+-两式相减得：，即.22112n n n n n a a a a a --=-+-()()1110n n n n a a a a --+--=又因为，所以，故为公差为1的等差数列，0n a >11n n a a --={}n a 得.2(1)11n a n n =+-⨯=+（2）证明：由（1）可得211111(1)(3)213n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭所以13243546112111111n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++11111124354657(2)(1)(3)n n n n =++++++⨯⨯⨯⨯+++ 1111111111111224354657213n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111122323n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭因为*Nn ∈所以1111122323n n ⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭111522312⎛⎫<+= ⎪⎝⎭因此.13243546112111111512n n n n a a a a a a a a a a a a -++++++++<18．某市决定利用两年时间完成全国文明城市创建的准备工作，其中“礼让行人”是交警部门主扲的重点工作之一．“礼让行人”即当机动车行经人行横道时应当减速慢行，遇行人正在通过人行横道，应当停车让行．如表是该市某一主干路口电子监控设备抓拍的今年1-6月份机动车驾驶员不“礼让行人”行为的人数统计数据．月份123456不“礼让行人”333640394553(1)请利用所给的数据求不“礼让行人”人数与月份之间的经验回归方程y x ，并预测该路口今年11月份不“礼让行人”的机动车驾驶员人数()112,y b x a x x '''=+≤≤∈N （精确到整数）；(2)交警部门为调查机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满3年的关系，从这6个月内通过该路口的机动车驾驶员中随机抽查了100人，如表所示：不“礼让行人”礼让行人驾龄不超过3年1842驾龄3年以上436依据小概率值的独立性检验，能否据此判断机动车驾驶员“礼让行人”行为与驾龄满0.05α=3年有关?并说明理由．附：参考公式：，，其中．()()()121niii nii x x y y b x x ==--'=-∑∑()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++n a b c d =+++独立性检验临界值表：α0.100.050.0100.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.828【正确答案】(1)，68人18142ˆ55yx =+(2)认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，理由见解析【分析】（1）利用表中的数据和公式直接求解即可，（2）先完成列联表，然后利用公式求解，再根据临界值()()()()()22n ad bc a c b d a b c d χ-=++++2χ分析判断.【详解】（1）由表中数据可知：，，123456762x +++++==333640394553416y +++++==所以，即，()()()6116222116ˆ6n iii ii i niii i x x y y x y x yb x x xx ====---==--∑∑∑∑616221692486118ˆ14759162i ii ii x y xyb xx ==--===--∑∑所以，187142ˆˆ41525ay bx =-=-⨯=所求得经验回归方程为．18142ˆ55yx =+当时，，11x =ˆ68=y所以预测该路口11月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数为68人．（2）零假设为：“礼让行人”与驾龄满3年无关，0H 由题意知列联表为22⨯不礼让行人礼让行人合计驾龄不超过3年184260驾龄3年以上43640合计2278100由表中数据可得()()()()()()22210018364428005.594 3.84122786040143n ad bc a c b d a b c d χ-⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯根据小概率值的独立性检验，我们推新不成立，0.05α=0H 即认为“礼让行人”与驾龄满3年有关，且推断犯错误的概率不超过0.05，19．如图，在直三棱柱中，是等边三角形，,是棱的中111ABC A B C -ABC 14AB AA ==D AB 点.(1)证明：平面平面.1A CD ⊥11ABB A (2)求点到平面的距离.1B 1A CD 【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论.CD ⊥11ABB A（2）求得三棱锥的体积到平面的距离为，表示出三棱11C A B D -1V =1B 1A CD d锥的体积，利用等体积法,即可求得答案.11B A CD-2V =12=V V 【详解】（1）证明：由直三棱柱的定义可知平面.1AA ⊥ABC因为平面，所以；CD ⊂ABC 1AA CD ⊥因为是等边三角形，，且是棱的中点，所以.ABC AC BC =D AB CD AB ⊥因为平面，且，所以平面.1,AB AA ⊂11ABB A 1AB AA A ⋂=CD ⊥11ABB A 因为平面，所以平面平面.CD ⊂1A CD 1A CD ⊥11ABB A （2）连接，11,B D B C由题意可得的面积.11A B D △114482S =⨯⨯=因为是边长为4的等边三角形，且是棱的中点，所以.ABC D AB CD =由（1）可知平面，则三棱锥的体积CD ⊥11ABB A 11C A B D -1111833V S CD =⋅=⨯⨯=因为是棱的中点，且，所以，则D AB 4AB =2AD =1A D ==由（1）可知平面,平面 ，则，CD ⊥11ABB A 1A D ⊂11ABB A 1CD A D ⊥从而的面积1A CD △212S =⨯=设点到平面的距离为，则三棱锥的体积.1B 1A CD d 11B A CD -2213V S d =⋅=因为，解得12V V ==d =即点到平面1B 1A CD 20．已知的右焦点为，过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点22:143x y C +=F F l A B AB 为，设直线与直线的斜率分别为，．M l OM 1k 2k（1）求的值；12k k （2）设直线交直线于点，证明．l 4x =Q ||||||||AF BQ BF AQ = 【正确答案】（1）．（2）见解析1234k k =-【分析】（1）设，，，，用，的坐标表示出，，再把，两点代入1(A x 1)y 2(B x 2)y A B 1k 2k A B 椭圆方程化简得出的值；12k k （2）根据题意，要证，则只需证：，即证：，||||||||AF BQ BF AQ =AF AQ BF BQ =112233y y m y y m -=-通过直线与椭圆方程，写出韦达定理，整理，证出即可.()121232y y y y m +=【详解】解：（1）设，，，，则，1(A x 1)y 2(B x 2)y 21121y y k x x -=-是线段的中点，，，故，M AB 12(2x x M +∴12)2y y +12212y y k x x +=+，2221122221y y k k x x -∴=-，都在椭圆上，A B 22143x y +=，，∴2211143x y +=2222143x y +=，∴22222121043x x y y --+=，即．∴2221222134y y x x -=--1234k k =-（2）设直线的方程为：，令，则，l 1x my =+4x =3y m =所以，联立方程，34,Q m ⎛⎫ ⎪⎝⎭221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：，()2234690m y my ++-=设，且设，()()1122,,,A x y B x y 10y >则有：，12122269,3434m y y y y m m --+==++要证，||||||||AF BQ BF AQ =则只需证：，即证：，AF AQ BF BQ =112233y y m y y m -=-则证：，即证：，11212233y y y y y y m m -=-()121232y y y y m +=又因为，，()12231834y y mm -+=+12218234y y m -=+得出：成立，()121232y y y y m +=所以.||||||||AF BQ BF AQ =本题考查了椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系，运用了设而不求法以及点差法，属于中档题．21．设m 为实数，函数．()ln f x x mx =+(1)求函数的单调区间；()f x (2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；e m =2by ax =+()y f x =a b +(3)若方程有两个实数根，，证明：．()(1)2f x m x n =++-()1212,x x x x <122e x x +>【正确答案】(1)当时， 在上单调递增；0m …()f x (0,)+∞当时， 在上单调递增，在上单调递减．0m <()f x 1(0,)m -1(,)m -+∞(2).e 2ln 2-(3)证明见解析.【分析】(1)先对求导，根据m ≥0和m ＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的()f x 单调性；(2)利用求切线斜率，得到切线方程，可得的表达式，命成新函数，利用导数研究单调性，a b +求出最小值.(3).方程化简，命成新函数，通过导数研究单调性判断两根的范围，利用两根的关系引入新变量表示两根，要证明的不等式用新变量表示，再通过命成新函数借助导数研究单调性找出极值得到不等式成立的充分条件.【详解】（1），函数定义域为，()ln f x x mx =+(0,)+∞，11()(0)mx f x m x x x +'=+=>当时，在上恒成立，函数在上单调递增；0m …()0f x '>(0,)+∞()f x (0,)+∞当时，，解得，函数在上单调递增；，解得0m <()0f x '>10x m <<-()f x 1(0,m -()0f x '<，函数在上单调递减．1x m >-()f x 1(,)m -+∞（2）当时，，e m =()ln e f x x x =+设切点为，，则切线斜率，0(x 00ln e )x x +001()e k f x x '==+切线方程为，，00001(ln e )(e)()y x x x x x -+=+-001(e)ln 1y x x x =++-，，，∴01e a x =+02ln 2b x =-0012ln e 2a b x x +=++-令，函数定义域为，，0001()2ln e 2g x x x =++-(0,)+∞00220002112()x g x x x x -'=-+=，；，01(0,)2x ∈00()g x '<01(,)2x ∈+∞0()0g x '>在上单调递减，在上单调递增，0()g x ∴1(0,21(,)2+∞，即的最小值为0min 1()()e 2ln 22g x g ==-a b +e 2ln 2-（3）证明：，即，则，()()()12R f x m x n n =++-∈ln (1)2x mx m x n +=++-ln 2x x n -=-令，函数定义域为，，()ln F x x x =-(0,)+∞l ()xF x x -'=，；，(0,1)x ∈()0F x '>(1,)x ∈+∞()0F x '<∴在上单调递增，在上单调递减，，()F x (0,1)(1,)+∞(1)1F =-，不妨设，，1n ∴<1201x x <<<11112222ln 2ln ln 2x x n xx x x x n x -=-⎧⇒=-⎨-=-⎩令，，所以，，，12x t x =22ln t tx x =-2ln 1t x t =-1ln 1t tx t =-01t <<要证，只要证，只要证，122e x x +>2ln ln e 11t t tt t +>--(21)ln e(1)t t t +<-令，，()(21)ln e(1)h t t t t =+--()01t <<1()2ln e 2h t t t '=+-+，1()=()2ln e 2t h t t tϕ'=+-+221()t t t ϕ-'=，；，1(0,2x ∈()0t ϕ'<1(,1)2x ∈()0t ϕ'>在上单调递减，在上单调递增，()h t '∴1(0,)21(,1)2，，（1），则存在，使得， 1()0e h '=e 10h '=-+<h '3e 0=->0t ∈0()0h t '=在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，()h t ∴1(0,)e 01(,)e t 0(t 1)，，12()e 20e e h =--<(1)0h =在上恒成立，()(21)ln e(1)0h t t t t ∴=+--<01t <<得证．122e x x +>导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，也是求曲线的切线必备的知识点1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．2.研究函数的最值则要注意区分函数最值与极值的区别.3.导数的几何意义是:导函数在切点处的函数值就是切线的斜率.4.证明不等式时,根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧，有着非凡的功效.22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以坐标原xOy 1C 2,x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩α点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为O x 2C .2sin 4cos 0ρθθ-=(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；1C 2C (2)设直线：(为参数)与曲线的交点为，，求弦长的值.l 2,x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 2C P Q PQ 【正确答案】(1)曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为1C ()22322x y -+=2C 24y x=(2)【分析】（1）首先利用消参法得到的参数方程化为普通方程，根据得到的1C cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 直角坐标方程.（2）根据直线参数方程的几何意义求解即可.【详解】（1）将曲线的参数方程化为普通方程，1C 得.()22322x y -+=曲线的极坐标方程为，有，2C 2sin 4cos 0ρθθ-=22sin 4cos 0ρθ-ρθ=由得曲线的直角坐标方程为.cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩2C 24y x =（2）将(为参数)代入曲线的方程得，，2,x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 2C 242⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭即.2160t --=由于.(()2416960∆=--⨯-=>故可设，是方程的两个不同的实根，1t 2t 2160t --=所以，12t t +=1216t t =-.=23．已知，，，且.a b R c ∈2223a b c ++=(1)求证：；3a b c ++≤(2)若不等式对一切实数，，恒成立，求的取值范围.()2121x x a b c -++≥++a b c x 【正确答案】(1)证明见解析(2).(][),33,∞∞--⋃+【分析】（1）对应用基本不等式可证；2()a b c ++（2）由（1）只要解不等式，根据绝对值的定义分类讨论求解．1219x x -++≥【详解】（1）2222()222a b c a b c ab bc ca++=+++++，()222329a b c ≤+++=所以，当且仅当时等号成立3a b c ++≤a b c ==（2）由（1）可知对一切实数，，恒成立，()2121x x a b c -++≥++a b c 等价于，1219x x -++≥令，3,11()1212,1223,2x x g x x x x x x x ⎧⎪≥⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪-≤-⎪⎩当时，，1x ≥393x x ≥⇒≥当时，，舍去，112x -<<297x x +≥⇒≥当时，，即或.12x ≤-393x x -≥⇒≤-3x ≥3x ≤-综上所述，取值范围为.x (][),33,∞∞--⋃+。
四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题 (2)
一、单选题 1. “”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 双曲线（，）的焦距为，已知点，，点到直线的距离为，点到直线的距离为，且，则双曲线离心率的取值范围为（ ）A．B．C．D．3.如图，网格上小正方形的边长为，粗线画出的是某个多面体的三视图，若该多面体的所有顶点都在球表面上，则球的表面积是（）A．B．C．D．4. 南丁格尔玫瑰图是由近代护理学和护士教育创始人南丁格尔设计的，图中每个扇形圆心角都是相等的，半径长短表示数量大小．某机构统计了近几年中国知识付费用户数量（单位：亿人次），并绘制成南丁格尔玫瑰图（如图所示），根据此图，以下说法错误错误的是（）A ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加B ．2015年至2022年，知识付费用户数量逐年增加量2018年最多C ．2015年至2022年，知识付费用户数量的逐年增加量逐年递增D ．2022年知识付费用户数量超过2015年知识付费用户数量的10倍5. 已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（ ）A．B．C ．3D ．66. 在中，为线段的一个三等分点，.连接，在线段上任取一点，连接，若，则的最小值为（ ）A．B．C．D．7.已知，若对任意，，则一定为（ ）四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题 (2)四川省成都市第七中学2023届高考模拟文科数学试题 (2)二、多选题三、填空题A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形8. 若复数，则（ ）A．B．C．D．9. 已知，，，四点在球心为，半径为5的球面上，且满足，，设，的中点分别为，，则（ ）A ．点有可能在上B．线段的长有可能为7C．四面体的体积的最大值为20D．四面体的体积的最大值为5610. 在棱长为1的正方体中，是棱的中点，为侧面内的动点，且满足平面，则下列结论中正确的有（ ）A．动点在侧面内的轨迹长为B ．直线与侧面所成的最小角为C ．直线与侧面所成的最大角的正切值为D ．当直线与侧面所成角最小时，过点，，的平面截正方体所得的截面面积为11. 下图为某地2014年至2023年的粮食年产量折线图，则下列说法正确的是（）A ．这10年粮食年产量的极差为15B ．这10年粮食年产量的第65百分位数为33C ．这10年粮食年产量的中位数为29D ．前5年的粮食年产量的方差大于后5年粮食年产量的方差12. 设a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a ∥b ，a ∥α，b ∥β，则α∥βC ．若a ⊥b ，a ⊥α，b ∥β，则α⊥βD ．若a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b13.如图，在正方体，中，E ，F ，G 分别为棱上的点（与正方体顶点不重合），过作平面，垂足为H ．设正方体的棱长为1，给出以下四个结论：①若E ，F ，G 分别是的中点，则；②若E ，F ，G分别是的中点，则用平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形一定是等边三四、解答题角形；③可能为直角三角形；④．其中所有正确结论的序号是________．14. 已知和均为等差数列，若，，则的值是________.15. 分形是数学之美的体现，谢尔平斯基三角形就是其典型代表，其形式及构造如图所示，它与杨辉三角也有着密不可分的联系，请根据图示规律，用组合数表示杨辉三角第22行第9列____________；并判断其奇偶性_____________.（选填“奇”或“偶”）16.已知数列满足，．（1）求，的值；（2）试说明数列是等比数列，并求出数列的前项和．17. 在多面体中，底面是梯形，四边形是正方形，，，，，（1）求证：平面平面；（2）设为线段上一点，，求二面角的平面角的余弦值.18. 已知函数，．(1)求曲线在点处的切线方程．(2)已知关于的方程恰有4个不同的实数根，其中，．（i ）求的取值范围；（ii ）求证：．19. 2020年新型冠状病毒席卷全球，美国是疫情最严重的国家，截止2020年6月8日美国确诊病例约为200万人，经过随机抽样，从感染人群中抽取1000人进行调查，按照年龄得到如下频数分布表：年龄（岁）频数50a 32030080（Ⅰ）求a的值及这1000例感染人员的年龄的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（Ⅱ）用频率估计概率，求感染人群中年龄不小于60岁的概率.20. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A的大小；(2)若，，求BC边上高的长.21. 已知数列中，，，其前项和满足，令．（1）求数列的通项公式；（2）若，求证：（）.。
2024届四川省成都市高三高考适应性考试数学(文)模拟试题(含解析)
2024届四川省成都市高三高考适应性考试数学（文）模拟试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.第I 卷（选择题，共60分）一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，若，则实数的所有可能取值的集合为（{}{}1,1,20A B x ax =-=+=∣B A ⊆a ）A.B.C.D.{}2-{}2{}2,2-{}2,0,2-2.复数在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数的值为（ ）2i1i a z -+=-a C.-D.- B.2C.-1D.-23.已知为实数，则使得“”成立的一个必要不充分条件为（）,a b 0a b >>A. B.11a b >()()ln 1ln 1a b +>+C.33a b >>>4.《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法，我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000艮0011坎0102巽0113依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“”，其表示的十进制数是（）A.33B.34C.35D.365.函数的大致图象是（）()()1ln 1f x x x =+-A. B.C. D.6.在区间上随机地取一个数，使恒成立的概率是（）[]2,4-x 2sin x x …A. B. C. D.131223347.设抛物线的焦点为，过抛物线上一点作其准线的垂线，设垂足为，若24y x=F P Q ，则（ ）30PQF ∠= PQ =A. C. 23438.变量满足约束条件则目标函数的取值范围是（ ）,x y 22,24,41,x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩ (3)z x y =+-A. B. C. D.3,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,69.我们把所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，在这两个平行平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高，过高的中点且平行于底面的平面截拟柱体所得的截面称为中截面.已知拟柱体的体积公式为，()0146V h S S S =+'+其中分别是上､下底面的面积，是中截面的面积，为拟柱体的高.一堆形为拟柱体的建筑,S S '0S h 材料，其两底面是矩形且对应边平行（如图），下底面长20米､宽10米，堆高1米，上底面的长､宽比下底面的长､宽各少2米.现在要彻底运走这堆建筑材料，若用最大装载量为5吨的卡车装运，则至少需要运（）（注：1立方米该建筑材料约重1.5吨）A.51车B.52车C.54车D.56车10.设锐角的三个内角的对边分别为，且，则的取值范围ABC ,,A B C ,,a b c 2,2c B C ==a b +为（）A.B.()2,10()2+C.D.(24++()4+11.已知菱形中，，现将菱形沿对角线折起，当时，三棱锥ABCD π3A =ABCDBD AC =的体积为，则此时三棱锥外接球的表面积为（ ）A BCD -92A BCD -A. B.D.28π7π40π12.在同一平面直角坐标系中，分别是函数和函数,M N ()f x =图象上的动点，对任意的最小值为（ ）()()e ln x g x ax ax =-0,a MN>11-1+第II 卷（非选择题，共90分）二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数的定义域为__________.()()ln 2f x x =+-14.若函数的图象关于直线对称，则__________.()sin cos f x a x x=+π6x =-a =15.已知双曲线的左､右焦点分别为为左支上一点，22221(0,0)x y a b a b -=>>12,,F F P 的内切圆圆心为，直线与轴交于点，若双曲线的离心率为，则12122π,3PF F PF F ∠=I PI x Q 54__________.PI IQ=16.已知数列满足，函数在处取得最大值，若{}n a 1ln 1n n a a +=+()ln 1xf x x =+0x x =，则__________.()420ln 1a a x =+12a a +=三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，P ABCD -,AD BC PA =∥.4,5,3AD BC AC PB PC AB ======（1）设的中点为，求与所成角的余弦值；PC M BM PA （2）求三棱锥的体积.P ABC -18.（本小题满分12分）《中华人民共和国未成年人保护法》保护未成年人身心健康，保障未成年人合法权益.我校拟选拔一名学生作为领队，带领我校志愿队上街宣传未成年人保护法.现已从全校选拔出甲､乙两人进行比赛，比赛规则是：准备了5个问题让选手回答，选手若答对问题，则自己得1分，该选手继续作答；若答错问题，则对方得1分，换另外选手作答.比赛结束时分数多的一方获胜，甲､乙能确定胜负时比赛就结束，或5个问题回答完比赛也结束.已知甲､乙答对每个问题的概率都是.竞赛前抽签，甲获得第一个问题的答题权.12（1）求前三个问题回答结束后乙获胜的概率；（2）求甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率.19.（本小题满分12分）已知数列满足，当时，{}n a 121,1a a ==3n (12)2,,21,.n n n n a a n a a n ---+⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）求和，并证明当为偶数时是等比数列；4a 6a n {}1n a +（2）求.13529a a a a ++++ 20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，过点作抛物线的2:2(1)E x py p =>F ()1,1P -E 两条切线，切点分别为.,,5M N FM FN +=（1）求抛物线的方程；E （2）过点作两条倾斜角互补的直线，直线交抛物线于两点，直线交抛物线于P 12,l l 1l E ,A B 2l E 两点，连接，设的斜率分别为，问：,C D ,,,AD BC AC BD ,,AC AB BD ,,AC AB BD k k k 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.AC AB BD AB k k k k +21.（本小题满分12分）设.()()21e sin 3x f x a x =-+-（1）当的零点个数；a =()f x （2）函数，若对任意，恒有，求实数的取值()()2sin 22h x f x x x ax =--++0x …()0h x >a 范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，那么按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线的渐近线方程为，直线过点xOy 22:1C mx ny +=(),3,0y x D =±-l，且倾斜角为.以点为极点，以从点出发与轴正方向同方向的射线为极轴，建立()1,0B 60 D D x 极坐标系，点在曲线上.5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭C （1）写出曲线在第二象限的一个参数方程和直线的极坐标方程；C l （2）曲线与直线相交于点，线段的中点为，求的面积.C l ,M N MN Q DBQ 23.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）设.()22123f x x x =---（1）解不等式：；()4f x >-（2）设的最大值为，已知正数和满足，令，求()f x M a b a b M +=2222a b Z a b b a =+++的最小值.Z答案及解析1.【正确答案】D 当时，；当时，.故选D.B =∅0a =B ≠∅2a =±2.【正确答案】D 因为在复平面上对应的点位()()()()()2i 1i 22i 2i 1i 1i 1i 2a a a a z -++--+--+===--+于虚轴上，所以即.故选D.20,20,a a --=⎧⎨-≠⎩2a =-3.【正确答案】B 对于A ，若，则不能推出；若，则必定有，11a b >0a b >>0a b >>11a b <所以既不是充分条件也不是必要条件，故A 错误.对于B ，若，则根据对数函()()ln 1ln 1a b +>+数的单调性可知，但不能推出，但是1101a b a b +>+>⇒>>-0a b >>，故B 正确.对于C ，因为等价于，所以是充分必要01a b a b >>⇒>>-330a b >>0a b>>条件，故C 错误.对于D ，则必有，所以是充分不必要条件，故>10a b >>…D 错误.故选B.4.【正确答案】B 据条件可得，符号为“”表示的二进制数为，则其表示的十进制数是.故选B.01234502120202021234⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=5.【正确答案】B 因为，所以，故排除C ，D ；当()()1ln 1f x x x =+-113ln 0222f ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭时，恒成立，排除A.故选B.2x >()()()1ln 10f x x x =+->6.【正确答案】A 设函数，则，所以为递增函数，()2sin f x x x=-()2cos 0f x x =->'()f x 且0，所以当时，；当时，，所以不等式()0f =0x >()()00f x f >=0x …()()00f x f =…的解集为.又因为，所以不等式的解集为.由长度比的2sin x x …(],0∞-[]2,4x ∈-2sin x x …[]2,0-几何概型的概率计算可得，使恒成立的概率是.故选A.2sin x x …()()021423P --==--7.【正确答案】C 由题易知，的倾斜角为，从而.PF 1202411cos120312p PQ PF ====-+ 故选C.8.【正确答案】B 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，三个交点的坐标22,24,41x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪--⎩………分别为，目标函数，即，当目标函数()()10,1,,3,2,02⎛⎫ ⎪⎝⎭33z x y x y =+-=-+3y x z =+-过点时取得最大值为5，过点时取得最小值为，所以目标函数()2,0z 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭z 12的取值范围是.故选B.3z x y =+-1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.【正确答案】B 由条件可知，上底面长18米､宽8米，中截面长19米､宽9米，则上底面面积（平方米），中截面面积（平方米），下底面面积188144S =⨯=0199171S =⨯=（平方米），所以这堆建筑材料的体积2010200S =⨯='（立方米），所以这堆建筑材料约重（吨）()15141144417120063V =⨯⨯+⨯+=514 1.52573⨯=，需要的卡车次为，所以至少需要运52车.故选B.257551.4÷=10.【正确答案】C 在中，由及正弦定理，得ABC 2,ππ3,2B C A B C C c ==--=-=.又为锐角三角形，所以()()22sin3sin224cos 2cos 1sin C C a b C C C++==+-ABC ，即，所以，则ππ0,022B A <<<<ππ02,0π322C C <<<-<ππ64C <<.故选C.(24a b +∈++11.【正确答案】A 如图1，连接交于点，不妨设菱形的边长为，则AC BD E ABCD a .将菱形沿对角线折起，如图2所示，分别为正AE CE a==ABCD BD 12,OO 的中心，过点分别作平面和平面的垂线交于点，则,ABD CBD 12,O O ABD CBD O .在等腰中，1212,O E O E AO CO ====AEC,AE CEAC ===平面，则，所以BD ⊥AEC 11193322A BCDAEC V S BD a -=⋅=⨯⨯=，即（舍去），得.在中，由余弦定理，得429360a a --=212a =23a =-a =AEC，则在直角中，，所以.设三棱锥2π3AEC ∠=1OO E 1π6O OE ∠=11OO E ==外接球的半径为，则，故外接球的表面积为.故选A.A BCD-R 222117R OO AO =+=24π28πR =12.【正确答案】B 令，即点在圆()y f x ==()22(2)10x y y -+=…M 心为，半径为1的半圆上.，当且仅当()2,0()()()ln e 1ln 11x ax g x x ax x x +⎡⎤=-+++++⎣⎦…时等号成立，所以曲线的一条切线为.通过数形结合可知，当()ln 0x ax +=()g x 1y x =+分别为对应切点，且.与两切线垂直时，取得最小值，即的最小值为圆心,M N MN MN MN 到直线的距离减去半径，即的最小值为.过圆心()2,01y x =+MN11=-与垂直的直线方程为，与直线平行的函数的切线方程为()2,01y x =+2y x =-+1y x =+()f x 设，所以当且仅当即2y x =-+()(),,,M M N N M x y N x y ()2,2ln 021,M M M M NN N N N N y x y x x ax y x y x ⎧⎪⎪=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎪=-+⎪=+⎩时，取到最小值.综上所述，.故选B.121,223,,22e N M NM x x y y a -⎧⎧=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪=⎨⎨⎪⎪=⎪⎪=⎪⎪⎩⎩MN 1MN …13.【正确答案】由题意，得且，即.[)1,2-10x +…20x ->12x -<…14.【正确答案】因为的周期且直线()()sin cosf x a x x x ϕ=+=+2πT =为对称轴，所以点为的对称中心，所以，解得π6x =-π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x π1032f ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.a =15.【正确答案】2 设，则，所以，又因为PIIQ λ=1212PF PF F Q F Q λ==1122PF F QPF F Q λλ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以在中，由余弦定理，得21122,2,PF PF a F Q F Q c ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩12,.PF c a PF c a λλ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩12PF F ，即2222112112122cos PF PF F F PF F F PF F ∠=+-⋅⋅，所以，即()2221()()(2)222c a c a c c a c λλλ⎛⎫+=-+--⋅⋅- ⎪⎝⎭()()24242e e λλ+=+.又因为，所以.()212eλλ+=+54e =2λ=16.【正确答案】-2 因为，所以令，则()21ln (1)x xx f x x '+-=+()11ln 1ln x u x x x x x +=-=+-在上单调递减，且.由零点存在定理可知，存()u x ()0,∞+()()22312ln20,e 102e u u =->=-<在唯一的，使得，即，即①，所以()202,e x ∈()00u x =0001ln x x x +=()0000ln 11x f x x x ==+在上单调递增，在上单调递减.由，得()f x ()00,x ()0,x ∞+1ln 1n n a a +=+.又，得②.433221ln 1,ln 1,ln 1a a a a a a =+=+=+()420ln 1a a x =+()323043ln 11ln 1a a f a x a a +===+由①②可知，，则，所以，即，()()0301f x f a x ==30a x =2301ln ln a a x +==2001ln 1a x x =-=所以，所以0，即.1201ln ln a a x +==-()()2111a a +++=122a a +=-17.解：（1）如图，设的中点为，连接.AC N ,MN BN 因为分别是的中点，,M N ,PC AC 所以，1152,,222MN PA MC PC MN ====∥PA 所以是异面直线与所成角或其补角.BMN ∠BM PA 在中，.BPC 2222224552cos 22455BC PC PB BCP BC PC ∠+-+-===⋅⋅⨯⨯在中，，BCM 22222552572cos 4242254BM BC MC BC MC BCP ∠⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=⎪⎝⎭所以BM =在中，因为，所以，ABC 222AB BC AC +=AB BC ⊥所以.1522BN AC ==在中，，BMN22222575242cos 2BM MN BN BMN BM MN ∠⎛⎫+-+-====⋅⋅所以与.BM PA （2）因为，AD ∥,BC AD BC =所以四边形是平行四边形.ABCD 又由（1）知，即，AB BC ⊥90ABC ∠=所以四边形是长方形，ABCD 则.3,CD AB CD ==∥,,AB AB AD CD AD ⊥⊥因为，222AB AP BP +=所以.AB AP ⊥又因为平面，,,AD AP A AD AP ⋂=⊂PAD 所以平面.AB ⊥PAD 又因为平面，AB ⊂ABCD所以平面平面.ABCD ⊥PAD 如图，过点作，垂足为，连接.P PH AD ⊥H ,HB HC 因为平面平面，平面平面平面，ABCD ⊥PAD ABCD ⋂,PAD AD PH =⊂PAD 所以平面.PH ⊥ABCD 又因为平面，,HB HC ⊂ABCD 所以.,PH HB PH HC ⊥⊥又因为，所以.PB PC =HB HC =又因为，,,AB AD CD AD AB CD ⊥⊥=所以，AH DH =即是的中点.H AD 因为平面，CD ∥,AB AB ⊥PAD 所以平面，CD ⊥PAD 所以，CD PD ⊥所以，所以，222225316PD PC CD =-=-=4PD =所以，PA AD PD ==所以为等边三角形，PAD 所以PH =所以11134332P ABC ABC V S PH -=⋅=⨯⨯⨯⨯= 即三棱锥的体积为P ABC -18.解：（1）设“甲回答问题且得分”为事件，“甲回答问题但对方得分”为事件，“乙回答问题A A 且得分”为事件，“乙回答问题但对方得分”为事件.B B 记“前三个问题回答结束后乙获胜”为事件.C前三个问题回答的情况有8种：，,,,,,,,AAA AAA AAB AAB ABB ABB ABA ABA 其中事件只包含了1种情况，即，C ABB 所以，()()18P C P ABB ==即前三个问题回答结束后乙获胜的概率为.18（2）记“甲同学连续回答了三次问题且获胜”为事件.D 由（1）可得，.()()()()11178163232P D P AAA P AAAB P AAABB =++=++=即甲同学连续回答了三次问题且获胜的概率为.73219.解：（1）由已知，得.4264213,217a a a a =+==+=当且为偶数时，，3n …n 221n n a a -=+即.()2121n n a a -+=+又，212a +=所以当为偶数时，数列是以2为首项，2为公比的等比数列.n {}1n a +（2）由（1）可知，当为偶数时，，即.n 12122n n a -+=⋅221n n a =-当为奇数时，设，n ()*21n k k =+∈N 则21221k k k a a a +-=+2121k k a -=-+222321k k k a a --=-++1232121k k k a --=-+-+=111212121k k a -=-+-++-+()121212kk a⋅-=-+-121k k +=--所以当为奇数时，，n 12122n n n a ++=-所以()()()()1231513529212223215a a a a ++++=-+-+-++- ()()1521211515122⨯-+⨯=--162122.=-20.解：（1）设切点，221212,,,22x x M x N x p p ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则以为切点的切线方程为.M ()21112x x y x x p p -=-因为切线过点，()1,1P -所以.211220x x p --=同理，，222220x x p --=所以.12122,2x x x x p +==-又因为，()2221212122522222x x x x x xp p FM FN p p pp+-+=+++=+=所以，即.2320p p -+=()()120p p --=又因为，所以，1p >2p =所以抛物线的方程为.E 24x y =（2）设直线的方程为.1l()11y k x +=-联立直线和抛物线的方程，得1l E ()21,4,y kx k x y ⎧=-+⎨=⎩所以.()24410x kx k -++=设，()()()(),,,,,,,A A B B C C D D A x y B x y C x y D x y 则.4A B x x k +=同理，4C D x x k+=-所以C AD BAC BD C A D By y y y k k x x x x --+=+--22224444C A D BC AD Bx x x x x x x x --=+--44C AD Bx x x x ++=+()()4A B C D x x x x +++=0,=所以，()0AC AB BD AB AC BD AB k k k k k k k +=+⋅=所以等于定值0.AC AB BD AB k k k k +21.解：（1）当.a =()()e sin 3,e cos x x f x x f x x=+-=+'①当时，，则，(),0x ∞∈-()[]e 0,1,sin 1,1x x ∈∈-()0f x <所以在上无零点.()f x (),0∞-②当时，，则在上单调递增.π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()0f x '>()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦又因为，()πln22π020,e 2e 202f f ⎛⎫=-<=->-= ⎪⎝⎭所以，()00π0,,02x f x ⎡⎤∃∈=⎢⎥⎣⎦所以在上有一个零点.()f x π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦③当时，，π,2x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()πln42e 13e 40f x >-->-=所以在上无零点.()f x π,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭综上所述，当时，函数在上只有一个零点.a =()f x (),∞∞-+（2）对任意，恒有，0x …()0h x >即恒成立，()221e 210x ax ax --+->即恒成立，22211e xx ax a -+<-即恒成立.()222110e xx ax a -+--<设，()()[)22211,0,e xx ax g x a x ∞-+=--∈+则.()()()()21212221ee xxx x a x a x a g x '⎡⎤---+-++--⎣⎦==①当时，在上单调递增，在上单调递减，12a -…()g x ()0,1()1,∞+所以只需，()()2max 22()110e ag x g a -==--<即()()e e 210,a a ++->解得.()e 2,1,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭又因为，12a -…所以.e 2,e a ∞+⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭②当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调102a -<<()g x ()0,21a +()21,1a +()1,∞+递减，所以只需()()00,10.g g ⎧<⎪⎨<⎪⎩由，()()()2222110,020e ag a g a -=--<=-<解得，这与矛盾，舍去.)e 2,e a ∞∞+⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭102a -<<③当时，在上单调递减，0a =()g x ()0,∞+所以只需，得，这与矛盾，舍去.()00g <22a >0a =④当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，0a >()g x ()0,1()1,21a +()21,a ∞++所以只需()()210,00.g a g ⎧+<⎪⎨<⎪⎩因为，且，()()()()2222121(21)22112221110e e a a a a a a g a a a +++-++++=--=--<10a +>所以.2121e a a +->又，所以()2020,0g aa <=->a >所以，212110.4ea a +->->>>>所以满足条件.)a ∞∈+综上所述，实数的取值范围是.a )e 2,e ∞∞+⎛⎫--⋃+ ⎪⎝⎭22.解：（1）设曲线的方程为.C 221x y λλ-=点的直角坐标为.5π6,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,-将点的直角坐标代入曲线的方程，得，AC 201λ=所以，27λ=-所以曲线的普通方程为，C 2212727y x -=所以曲线在第二象限的一个参数方程为参数.（参数方程不唯一）C ,x y α⎧=⎪⎨=⎪⎩π,02α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭设在轴上方直线上任意一点的极坐标为，连接.x l E (),ρθED 在中，，由正弦定理，得，即BED 4DB =sin sin DB EDBED EBD ∠∠=，()()4sin 60sin 18060ρθ=--所以，()4sin60sin 60ρθ=-所以()sin 60ρθ-= 经验证，在轴上及轴下方直线上的点也满足上式，x x l 所以直线的极坐标方程为l ()sin 60ρθ-= （2）设直线的参数方程为（为参数）.l 11,2x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩t 联立直线的参数方程和曲线的普通方程，得.l C 22560t t --=设对应的参数为，则.，,BM BN 12,t t 1212t t +=所以.1BQ =在中，DBQ 11sin 41sin12022DBQ S DB BQ DBQ ∠=⋅⋅⋅=⨯⨯⨯= 23.解：（1）因为是偶函数，所以只需针对时的情况展开讨论.()f x 0x …()f x 当时，，此时不等式化为，得，舍[)0,1x ∈()()2221235f x x x x =---=-254x ->-21x >去；当时，，此时不等式化为，，所以x ⎡∈⎣()()22212337f x xx x =---=-2374x ->-(;x ∈当时，，此时不等式化为，得)x ∞∈+()()2221235f x xx x =---=-+254x -+>-，所以.29x <)x ∈综上所述，所求不等式的解集为.()()1,33,1⋃--（2）由（1）可知，当时，的值域为；[)0,1x ∈()f x [)5,4--当的值域为；(),x f x ⎡∈⎣[)4,2-当的值域为.)(),x f x ∞∈+(],2∞-因此，当时，的值域为，x ∈R ()f x (],2∞-所以的最大值为2，则，()f x 2a b +=所以，()()222233222221111()2222a b a b a b a b a b a b a b b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…即①，当且仅当时等号成立.22211()4222a b a b b a ++=⨯=…1a b ==因为，2a b =+…1ab …所以，222()2422a b a b ab ab +=+-=-…即②，当且仅当时等号成立.222a b +…1a b ==由①+②，得，当且仅当时等号成立，22224a b a b b a +++…1a b ==所以的最小值为4.Z。
四川省南部中学2023届高考模拟检测(五)文科数学试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题1. 已知，则①；②；③；④，上述等式正确的是（ ）A ．①④B ．①③C ．②③D ．②④2. 已知a ，b 为实数，集合，集合，若，则实数的值是（ ）A．B ．0C．D ．13. 古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，如两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在所有四位数的回文数中，出现奇数的概率为（）A．B．C．D．4. 已知，A．B．C．D．5. 下列函数中.既是偶函数,又在上为减函数的是A．B．C．D．6.椭圆上一动点P 到两焦点距离之和为（ ）A ．10B ．8C ．6D ．不确定7. 以下结论正确的是（ ）A ．若，则B．若且，则C．的最小值是2D ．若，且．则8. 已知棱长为1的正方体，以为圆心，为半径作圆弧为圆弧的三等分点（靠近点），则下列命题正确四川省南部中学2023届高考模拟检测（五）文科数学试题(高频考点版)四川省南部中学2023届高考模拟检测（五）文科数学试题(高频考点版)三、填空题四、解答题的是（）A．B ．四棱锥的表面积为C．三棱锥的外接球的体积为D．若为上的动点，则的最小值为9.已知向量．若，则实数的值为______．10.设函数是偶函数，且值域为，则______.（写出一个正确答案即可）11. 某班甲、乙、丙、丁四名同学竞选班委，每个人是否当选相互独立，如果甲、乙两名同学都不当选的概率为，乙、丙两名同学都不当选的概率为，甲、丙两名同学都不当选的概率为，丁当选的概率为，则甲、乙、丙、丁四名同学中恰好有一人当选班委的概率是________．12. 已知集合，，，则实数的值为__________.13. 如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M ，N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，已知BD ＝ 6.(1)判断MN 与BD 的位置关系；(2)求MN 的长.14. 如图，在长、宽、高分别为，，的长方体中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．（1）单位向量共有多少个？（2）写出模为的所有向量．（3）试写出的相反向量．15.在中，内角所对的边分别为，已知的面积.（1）求；（2）作角的平分线交边于点，记和的面积分别为，求的取值范围.锐角16. 若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图所示．(1)求该函数的周期；(2)求s时钟摆的高度．。
四川省绵阳南山2024届高三下学期高考仿真演练(二)数学(文)试题含答案
绵阳南山高2021级高三下期高考仿真演练（二）数学（文科）试题（答案在最后）命题：高三文科数学组将试卷放在屁股下坐一坐——一定过！将试卷亲一下——稳过！祝你考试成功！注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.本试卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13,5A =,，2{Z |3}B x x =∈≤，则A B ⋃=（）A.{}1,0,1,3,5- B.{}1 C.{}3,1,3,5- D.{}1,3,5【答案】A 【解析】【分析】根据并集的定义即可求解.【详解】因为{}1,0,1B =-，所以{}1,0,1,3,5A B =- .故选：A.2.欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e ，虚数单位i ，cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则iπe 1+=（）A.1-B.0C.1D.i【答案】B 【解析】【分析】把πθ=代入欧拉公式即可。
【详解】iπe 1cos πisin π1110+=++=-+=.故选：B3.下图是某地区2016~2023年旅游收入（单位：亿元）的条形图，则下列说法正确的是（）A.该地区2020~2023年旅游收入逐年递增B.该地区2016~2023年旅游收入的中位数是3.50亿元C.经历了疫情之后，该地区2023年旅游收入恢复到接近2018年水平D.该地区2016~2019年旅游的平均收入约为4.11亿元【答案】C 【解析】【分析】根据中位数、平均数的定义即可判断BD ；结合图形，分析数据即可判断AC.【详解】A ：由图可知2020-2023年旅游收入不是逐年递增，故A 错误；B ：由图可知，2016-2023年旅游收入的中位数为4.255亿元，故B 错误；C ：从图表可知2023年旅游收入为4.91亿元，接近2018年的5.13亿元，故C 正确；D ：2016-2019年旅游收入的平均数为3.944.575.13 5.73 2.23 2.92 2.04 4.913.933758+++++++=亿元，故D 错误.故选：C.4.已知m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，有下列命题：p ：若//m α，n ⊂α，则//m n ；q ：若m α⊥，n β⊥，m n ⊥，则αβ⊥.则下列命题是真命题的是（）A.p q ∧B.q p ⌝∨C.q p ⌝∧D.()p q ⌝∨⌝【答案】D 【解析】【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系可以判断出命题p 和命题q 的真假性.【详解】如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任意直线平行或异面，所以命题p 是假命题.若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n α⊂，又因为n β⊥，则αβ⊥，所以命题q 是真命题.因为p 是假命题，q 是真命题，所以p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，因此p q ∧是假命题，A 错误；q p ⌝∨是假命题，B 错误；q p ⌝∧是假命题，C 错误；p q ⌝∨⌝是真命题，D 正确.故选D.5.一般地，任意给定一个角α∈R ，它的终边OP 与单位圆的交点P 的坐标，无论是横坐标x 还是纵坐标y ，都是唯一确定的，所以点P 的横坐标x 、纵坐标y 都是关于角α的函数.下面给出这些函数的定义：①把点P 的纵坐标y 叫作α的正弦函数，记作sin α，即sin y α=；②把点P 的横坐标x 叫作α的余弦函数，记作cos α，即cos x α=；③把点P 的纵坐标y 的倒数叫作α的余割函数，记作csc α，即1csc y α=；④把点P 的横坐标x 的倒数叫作α的正割函数，记作sec α，即1sec xα=.下列结论错误的是（）A.sin csc 1⋅=ααB.2πsec23=-C.函数()sec f x x =的定义域为{}π,x x k k ≠∈Z D.2222sec sin csc cos 5αααα+++≥【答案】C 【解析】【分析】根据定义可判断A ；利用定义转化为余弦求解可判断B ；转化为余弦表示，根据分母不为0求解可判断C ；转化为正弦和余弦，利用平方关系和二倍角公式化简，由正弦函数性质可判断D .【详解】由题知，11csc ,sec sin cos αααα==，对于A ，1sin csc 1y yαα⋅=⋅=，A 正确；对于B ，2π1111sec22πππ3cos cos cos π333x =====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，B 正确；对于C ，函数()1sec cos f x x x ==，由cos 0x ≠得ππ,2x k k ≠+∈Z 所以()f x 的定义域为ππ,2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，C 错误；对于D ，22222211sec sin csc cos 1cos sin αααααα+++=++22214115sin cos sin 2ααα=+=+≥，当sin 21α=±时，等号成立，D 正确.故选：C.6.函数()2cos sin 1x x xf x x+=+的部分图象为（）A.B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用排除法，根据函数奇偶性排除A ；分别取π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3ππ,2x ∈⎛⎫⎪⎝⎭，结合函数符号排除CD.【详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()22cos sin cos sin 11x x x x x xf x f x xx --+----===-++-，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +>，所以()0f x >，排除D ；当3ππ,2x ∈⎛⎫⎪⎝⎭时，cos sin 0x x x +<，所以()0f x <，排除C ．故选：B ．7.已知直线2y x m =+与圆22:4O x y +=交于A ，B 两点，则“m >是“AOB 为锐角三角形”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】首先分析出AOB ∠为锐角，再根据点到直线的距离公式和余弦函数的单调性得到不等式，解出m 的范围即可.【详解】由题意知AOB 是等腰三角形，因为顶角是AOB ∠，所以当且仅当AOB ∠为锐角时，该三角形是锐角三角形.所以只需π24AOB ∠<，所以O 到AB 的距离d 满足：πcoscos224AOB d ∠=>，即22d >，解得d >，又因为直线与圆有两交点，则2d <，2d <<2<<，所以m <<，所以m >是三角形为锐角三角形的既不充分也不必要条件，故选：D.8.一个几何体的三视图如图所示，S 为该几何体的外接球表面上一点，则点S 到该几何体每个面距离的最大值是（）A.24132+ B.4142C.4142D.24132-【答案】C 【解析】【分析】先给出直观图，求出外接球的半径R ，由于球心到各个面距离的最大值等于2，于是外接球表面上的点S 到各个面的最大距离等于2+R 求解.【详解】直观图如图所示，外接球的球心为PB 的中点，于是2R PB ===，球心到平面ABCD 的距离等于32，到平面PAD 与平面PCD 的距离都是2，所以球心到各个面距离的最大值等于2，于是外接球表面上的点S 到各个面的最大距离等于422R +=.故选：C.9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足AF BF ⊥，线段AB的上一点M 满足AM MB =，M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（）A.2B.12C.1D.2【答案】A【解析】【分析】如图，设AF a =，BF b =，则MN AB=，进而22221214MN ab a b AB⎡⎤=+⎢+⎣⎦，结合基本不等式计算即可求解.【详解】令A ，B 在准线上的投影分别为A '，B '，设AF a =，BF b =，则AA a '=，BB b '=.所以AB =，因为AM MB =，所以2a bMN +=.所以MN AB=，则()()()222222212111114424a b MN ab a b a b AB+⎡⎤==+≤+=⎢⎥++⎣⎦，当且仅当a b =时等号成立.故选：A.10.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，()5,0D ，()2,B A ，BC CD ⊥，则()4f =（）A.4B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】首先根据,B D 的坐标求出周期，进而求出ω，然后把D 点坐标代入求出ϕ，最后根据BC CD ⊥，利用向量的数量积等于0求出A 。
四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题(含答案解析)
四川省南充高级中学2023届高考模拟检测七文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设{}23A x x =∈-<<Z ，{}40B x x a =-≥，且{}12A B = ，，则a 的取值范围为（）A ．(]0,1B ．()0,1C ．(]0,4D ．()0,42．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(),1a ，且满足()1i 2z -⋅=，则=a （）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法错误的是（）A ．甲的数学成绩最后3次逐渐升高B ．甲的数学成绩在130分以上的次数多于乙的数学成绩在130分以上的次数C ．甲有5次考试成绩比乙高D ．甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差4．已知直线20l kx y k ---=：和圆222410C x x y y -++-=：，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切5．若对任意非零实数,a b ，定义a b *的运算规则如图的程序框图所示，则(3*2)*4的值是（）A ．12B ．1312C ．32D ．96．已知实数x y 、满足0x y xy +-=，且0xy >，若不等式490x y t +-≥恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．9B ．12C ．16D ．257．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11S =且241424S S +=，则5S =（）A ．25B ．45C ．55D ．658．若函数()()1π0,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=++>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且212f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，()2π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则函数()()sin g x x ωϕ=+的单调递减区间为（）A ．()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π2ππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 9．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等，即2311122323V R R R R R ππ=⋅-=球.现将椭圆22149x y +=绕y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（）A ．32πB ．24πC ．18πD ．16π10．已知数列{}n a 满足：138a=，23n n n a a +-≤，6913nn n a a +-≥⋅，则2023a =（）A ．20233322+B ．20233382+C ．202338D ．20233211．已知P 为双曲线22221(00)x y a b a b -=>>，，左支上的一点，双曲线的左右顶点分别为,A B ，直线BP 交双曲线的一条渐近线于点Q ，直线AP AQ 、的斜率为12k k ，，若以AB 为直径的圆经过点Q ，且1220k k +=，则双曲线的离心率为（）A ．32B ．2CD．212．已知实数,,(0,1)m n p ∈，且ln 2,ln 3,ln 3223=+=+=+m n pm n p ，则（）A ．p n m <<B ．n m p <<C ．m p n<<D ．n p m<<二、填空题13．已知a = ()1c a b λλ=-+ ，若01a b a c ⋅=⋅= ，，则λ=__________14．已知实数x y ，满足约束条件6020270x y x y x y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则23z x y =+的最大值为__________15．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点是F ，直线l 与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且2π3PFQ∠=，线段PQ的中点A到抛物线C的准线的距离为d，则2PQd⎛⎫⎪⎝⎭的最小值为_____________16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一个圆柱容球，1O、2O为圆柱上、下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆1O的一条直径，若球的半径2r=，有以下三个命题：①平面DEF截得球的截面面积最小值为16π5；②球的表面积是圆柱的表面积的3 4；③若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF+的取值范围为2⎡+⎣．其中所有正确的命题序号为___________.三、解答题17．某电子产品生产商经理从众多平板电脑中随机抽取6台，检测它们充满电后的工作时长(单位：分钟)，相关数据如下表所示．平板电脑序号123456工作时长/分220180210220200230(1)若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率；(2)下表是一台平板电脑的使用次数与当次充满电后工作时长的相关数据．求该平板电脑工作时长y与使用次数x之间的回归直线方程，并估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长．使用次数x /次20406080100120140工作时长/分210206202196191188186附：ˆˆˆybx a =+，()()()121ˆni ii n ii x x yy b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．18．在①)cos sin a b C c B -=，②22cos a c b C -=，③()()()a b a b a cc -+=-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，且满足_______，b =(1)若4a c +=，求ABC 的面积;(2)求ABC 周长l 的取值范围．19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，N E F ，，分别是111AA AB C D ，，的中点，侧面11DCC D ⊥平面116048120ABCD ABB AD AB DD DAB ∠====∠=，，，，．(1)求证：//NF 平面1C CE ;(2)试求三棱锥1N C EC -体积．20．若函数()323f x ax bx x c =+-+为奇函数，且在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上，PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D （异于点A ）两点，直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.22．在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为222121x t t y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为()sin cos ρθαα-=(α为直线l 的倾斜角)．(1)求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程;(2)设()0,1P ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB PA PB⋅的最大值．23．设()11f x x x =-++．(1)求()2f x x ≤+的解集;(2)若()f x 的最小值为m ，且0022a b a b m >>+=，，，求313213a b b+++的最小值．参考答案：1．C【分析】求出集合A 和集合B ，由{}12A B = ，确定a 的取值范围即可.【详解】由已知，{}{}231,0,1,2A x x =∈-<<=-Z ，{}404a B x x a x x ⎧⎫=-≥=≥⎨⎬⎩⎭，∵{}12A B = ，，∴014a<≤，即04a <≤，∴a 的取值范围是(]0,4.故选：C.2．A【分析】根据复数的除法运算求得1i z =+，结合复数的几何意义可得i z a =+，由此求得答案.【详解】由()1i 2z -⋅=得22(1i)1i 1i 2z +===+-，又复数z 对应的点的坐标是(),1a ，即i 1+i,1z a a =+=∴=，故选：A 3．C【分析】根据折线图看甲最后三次的成绩变化可判断A;看甲的数学成绩在130分以上的次数以及乙的数学成绩在130分以上的次数，判断B;看甲成绩比乙高的次数可判断C;观察甲乙两人的最高成绩和最低成绩即可判断D.【详解】对于A ，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A 说法正确；对于B ，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B 说法正确；对于C,甲有7次考试成绩比乙高,故C 的说法错误；对于D ，由折线图可知，甲乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分，因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D 说法正确，故选：C 4．B【分析】由题意可求出直线所过定点，即为圆心，即可判断出答案.【详解】圆C 的标准方程为()()22126x y -++=，圆心()1,2C -，直线20l kx y k ---=：可化为()21y k x +=-，则直线l 过定点(1,2)-，因此直线l 经过圆心C ，所以直线l 与圆C 相交．故选：B ．5．C【分析】根据程序框图得到分段函数解析式，再由解析式计算可得结果.【详解】根据程序框图可知，1,*1,b a b aa b a a b b-⎧≤⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩，所以313*222+==，所以4132*422-==，即(3*2)*432=.故选：C 6．D【分析】由0x y xy +-=得到111x y+=，从而利用基本不等式“1”的妙用求出49x y +的最小值，从而得到25t ≤.【详解】因为0x y xy +-=，所以111x y+=，()11944949131325y x x y x y x y x y ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当94y x x y =，即5523x y ==，时，等号成立．因不等式490x y t +-≥恒成立，只需()min 49x y t +≥，因此25t ≤，故实数t 的最大值为25．故选：D 7．D【分析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S n ⎧⎫⎨⎩⎭为等差数列，结合等差中项根据基本量法计算可得.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，设其公差为d '，由241424S S +=，知331721273331S S S d d d ''==+=+=∴'=，，所以()()11113321n S S n d n n n =+-=+-⨯=-'，所以232n S n n =-，所以565S =，故选：D ．8．C【分析】由图像求出函数解析式，即求出ω，ϕ的值，再根据余弦函数的性质求出函数的单调递减区间.【详解】解：因为点π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数()f x π12122ωϕ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，即πcos 122ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合图像可得6ππ12ωϕ+=-①，又()2π3f x f ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，则直线2π3x =为函数()f x 图像的一条对称轴，结合图像可得2ππ3ωϕ+=②，由①、②解得2ω=，π3ϕ=-，所以()23πg x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令()3ππ3π2π22π22k x k k +≤-≤+∈Z ，得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，所以()g x 的单调递减区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .故选：C ．9．D【解析】构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，通过计算可得高相等时截面面积相等，根据祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积的一半等于圆柱的体积减去圆锥的体积.【详解】解：构造一个底面半径为2，高为3的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为()03h h ≤≤时，小圆锥底面半径为r ，则32h r=，23r h ∴=，故截面面积为：2449h ππ-，把y h =代入22149x y+=，即22149x h +=，解得：x =∴橄榄球形几何体的截面面积为22449x h πππ=-，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：(2V V =圆柱V-圆锥1)24343163πππ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是读懂题意，构建圆柱，通过计算得到高相等时截面面积相等，根据祖暅原理得到橄榄球形几何体的体积.10．C【分析】由23n n n a a +-≤得到6913n n n a a +≤-⋅，结合6913n n n a a +-≥⋅，得到6913nn n a a +-=⋅，从而得到23n n n a a +-=，再利用累加法得到35212113333n n a a -+=+++++ ，结合等比数列求和公式求出2023a 的值.【详解】138a =，23nn n a a +-≤，∴2423n n n a a +++-≤，4643n n n a a +++-≤，∴()()()()64426422243333331139n n n n nn n n n n n n n a a a a a a a a ++++++++----=++++=++⋅≤=，又6913n n n a a +-≥⋅，故6913nn n a a +-=⋅，所以2424264333n n n n n n n n n a a a a a a +++++++-=-=-=，，，所以3315323,3,3n n n a a a a a a +-=-=⋯-=，，138a =故211212121235331n n n n n a a a a a a a a a a ++----=-+-++-+- 35213333n -=+++⋯+，则35212113333n n a a -+=+++++ ，所以3520212023333338a =++++⋯+()10112023319338198-=+=-.故选：C ．11．D【分析】()(),0,0A a B a -，，点(),P m n 在双曲线上，有22222n b m a a=-，由题意有21PB k k ⋅=-，又1220k k +=，可得22212n m a =-，可求出22b a 的值，即可计算双曲线的离心率.【详解】设点(),P m n ，则22221m n a b -=，即有22222n b m a a =-，①以AB 为直径的圆经过点Q 可知AQ PB ⊥，所以21PB k k ⋅=-，即21PB k k =-，由()(),0,,0A a B a -，则1PB n nk k m a m a==+-，，可得21PB n k m a k ==--，由1220k k +=，则1212k k -=，所以2122212k n n n k m a m a m a -=⨯==-+-，②由①和②得2212b a =，由222232c a b a =+=，得双曲线的离心率c e a==．故选：D ．12．D【分析】通过构造函数法，结合导数判断出所构造函数的单调性，由此确定正确答案.【详解】构造函数()ln (0)f x x x x =->，则()111x f x x x-'=-=，当1x >时，()0f x ¢>，当01x <<时，()0f x '<，故()f x 在01x <<上单调递减，在1x >上单调递增，由ln22mm =+，ln 2ln2m m -=-，即()()2f m f =，同理()()3f p f =，因为()32,f x >在1x >上单调递增，所以()()32f f >，故()()f p f m >，因为()f x 在01x <<上单调递减，(),0,1m p ∈，故p m <．因为ln ln23ln ln33n n n =-+>-+，故ln 3ln3n n ->-，即()()()3f n f f p >=，因为()f x 在01x <<上单调递减，(),0,1n p ∈，故n p <，从而n p m <<.故选：D【点睛】本题的求解巧妙的利用了构造函数法，通过构造函数，利用导数判断出函数的单调性后，可以将要比较大小的三个数用函数的单调性确定大小关系.13．12##0.5【分析】根据题干条件，计算出()211c a λ⋅=-=，求出λ的值.【详解】()1a c a b λλ==-+ ，且01a b a c ⋅=⋅=，，∴()()()()22111||211c a a b a a b a a λλλλλλ⎡⎤∴⋅=-+⋅=-+⋅=-=-=⎣⎦，故12λ=故答案为：1214．8【分析】根据不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由目标函数的几何意义求解即可.【详解】首先画出不等式组所表示的可行域，画出直线0230l x y +=：，由23z x y =+得2133y x z =-+，要使z 取得最大值，即直线2133y x z =-+在y 轴上的纵截距最大，因此平移直线0l ，当直线过点C 时纵截距最大，z 取得最大值，由2060x y x y +=⎧⎨-+=⎩得点C ()24-，，因此()max 22348z =⨯-+⨯=．故答案为：8．15．3【分析】设PF m =，QF n =，过点P 、Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '、Q '，则A 到抛物线C 的准线的距离为2m n d +=，利用余弦定理求出2PQ ，则()22141d PQ mn m n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，利用基本不等式得到()214mn m n ≤+，从而求出2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值.【详解】解：设PF m =，QF n =，过点P 、Q 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为P '、Q '，则PP m '=，QQ n '=，因为点A 为线段PQ 的中点，由中位线定理可得，A 到抛物线C 的准线的距离为2PP QQ m nd '++='=，因为2π3PFQ ∠=，在PFQ △中，由余弦定理可得，222222π2cos3PQ m n mn m n mn =+-=++，所以()()()())()222222214441m n m n d PQ m n mn m n mn mn m n ⎛⎫++=== ⎪ ⎪⎡⎤⎡+++-⎝⎭⎣-⎢⎥+⎢⎥⎣⎦，因为()24m n mn +≥，则()214mnm n ≤+，当且仅当m n =时取等号，所以21113414d PQ ⎛⎫≤=⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，即23PQ d ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，故2PQ d ⎛⎫ ⎪⎝⎭的最小值为3．故答案为：316．①③【分析】过点O 在平面ABCD 内作1OG DO ⊥，垂足为点G ，分析可知当OG ⊥平面DEF 时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可判断①；利用球体和圆柱的表面积公式可判断②；P 在底面的射影为P '，设令28P F t '=-，则28P E t '=+，其中88t -≤≤，可得出PE PF +PE PF +的取值范围，可判断③.【详解】对于①，过点O 在平面ABCD 内作1OG DO ⊥，垂足为点G，如下图所示：易知12O O CD ⊥，124O O =，22O D =，由勾股定理可得1O D =则由题可得12211122O O O D OG O D ⋅=⨯=⨯，设O 到平面DEF 的距离为1d ，平面DEF 截得球的截面圆的半径为1r ，因为1O D ⊂平面DEF ，当OG ⊥平面DEF 时，1d 取最大值OG，即15d OG ≤=，所以，15r ==，所以平面DEF截得球的截面面积最小值为216ππ55⎛⨯= ⎝⎭，①对；对于②，因为球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，球的表面积为24πr ，圆柱的表面积为222π2π26πr r r r +⨯=，所以球与圆柱的表面积之比为224π26π3r r =，②错；对于③，由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P '，则2PP '=，PE ==PF ==由勾股定理可得2216P E P F ''+=，令28P F t '=-，则28P E t '=+，其中88t -≤≤，所以，PE PF +所以，()222424PE PF ⎡⎤+==++⎣⎦，因此，2,PE PF ⎡+∈⎣，③对.故答案为：①③.17．(1)25(2)17ˆ21480yx =-+；171.5分钟.【分析】（1）使用古典概型概率公式进行求解即可；（2）使用表格中的数据，根据题目所附公式进行计算，并将200x =代入回归直线方程进行估计即可.【详解】（1）用(),x y 表示从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台的序号分别为x 和y ，则基本事件有()1,2，()1,3，()1,4，()1,5，()1,6，()2,3，()2,4，()2,5，()2,6，()3,4，()3,5，()3,6，()4,5，()4,6，()5,6共15个，将“抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟”记为事件A ，由已知，序号为1，3，4，6的平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟，∴事件A 中基本事件有()1,3，()1,4，()1,6，()3,4，()3,6，()4,6共6个，∴()62155P A ==.∴若从被抽中的6台平板电脑中随机抽出2台，则抽出的2台平板电脑充满电后工作时长都不小于210分钟的概率为25.（2）由已知，20406080100120140807x ++++++==，2102062021961911881861977y ++++++==，()()71iii x x yy =--∑()()()()()()()60134092050120640960112380=-⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=-，()()()()7222222221604020020406011200ii x x =-=-+-+-++++=∑，∴()()()77121ˆ238017112008iii ii x x y y bx x ==---===--∑∑，∴171978021480ˆˆa y bx ⎛⎫=-=--⨯= ⎪⎝⎭，∴线性回归直线方程为17ˆ21480yx =-+，当200x =时，17200214171.580ˆy=-⨯+=，∴估计该平板电脑使用第200次时充满电后的工作时长为171.5分钟．18．(1)任选一条件，面积皆为3(2)(【分析】（1）三个条件，分别利用正余弦定理，两角和与差的正弦公式和三角形内角和公式化简，都能得到π3B =，再由余弦定理求得ac ，即可计算ABC 的面积.（2）π3b B ==，由正弦定理边化角再化简得π6a c A ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，再由2π03A <<求得a c +的取值范围，即可得周长的取值范围.【详解】（1）若选条件①，由)cos sin a b C c B -=及正弦定理，得)sin sin cos sin sin A B C C B-=即()sin sin cos sin sin B C B C C B +-=⎤⎦，sin sin sin B C C B =，因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以tan B =0πB <<，所以π3B =．若选条件②，由22cos a c bC -=及正弦定理，得2sin sin 2sin cos A C B C -=，即()2sin sin 2sin cos B C C B C +-=，化简得2cos sin sin B C C =,因为0πC <<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．若选条件③，由()()()a b a b a c c +-=-化简得，222a c b ac +-=，由余弦定理得222cos 2a c b B ac+-=，即1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =，所以三个条件，都能得到π3B =.由余弦定理得()22222cos 22cos b a c ac B a c ac ac B=+-=+--，即21124222ac ac =--⨯，解得43ac =，所以ABC的面积114πsin sin 2233S ac B ==⨯⨯=.（2）因为π3b B ==，由正弦定理得4sin sin sin a c b A C B ===，因为2ππ3A CB +=-=，所以()2π1π4sin sin 4sin sin 4cos 4326a c A C A AA A A ⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+=+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎭，因为2π03A <<，所以ππ5ππ1sin 166662A A ⎛⎫⎛⎤<+<+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，，，所以(a c +∈，即(a b c ++∈，所以ABC 周长l的取值范围为(.19．(1)答案见解析；(2)答案见解析；【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）根面面垂直的性质定理结合等体积计算即可.【详解】（1）取1CC 的中点为G ，连接11EG GF NE CD A B ，，，，．在11C D C 和1AA B 中，因为F G N E ，，，分别是1111AA CC AB C D ，，，的中点，所以11////FG D C NE A B ，，且111122FG D C NE A B ==，，又在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111//A B D C A B D C =，，所以/FG NE FG NE =，，因此四边形NEGF 为平行四边形，所以//NF EG ，又因NF ⊄平面1C CE EG ⊂，平面1C CE ，所以//NF 平面1C CE ．（2）由（1）知//NF 平面1C CE 知，点N F 、到平面1C EC 的距离相等，所以111N C EC F C EC E C FC V V V ---==，在三角形1CC F 中，11184120CC C F CC F ==∠=，，1111sin1202C FC S C F C C ∴=⋅⋅= 过点A 作AM CD ⊥于M ，因侧面11DCC D ⊥平面ABCD ，所以AM ⊥平面11DCC D ，因//AB DC ，所以//AB 平面11C CD D ，因此点AE 、到平面1C EC 的距离相等，则AM 的长为点E 到平面1C EC 的距离，sin60AM AD =⨯=所以111111633N C EC E C FC C CF V V S AM --==⋅⋅=⨯= .20．(1)()33f x x x=-(2)()3,2m ∈--【分析】（1）根据函数的奇偶性求出0b =，0c =，由函数单调性，利用导函数求出1a =，确定函数解析式；（2）点()1,A m 不在曲线上，设切点为()00,M x y ，根据导函数的几何意义与斜率公式列出方程，得到32002330-++=x x m ，设()32000233g x x x m =-++，通过研究其单调性，极值情况，求出m 的取值范围.【详解】（1）因为函数为奇函数，则()()323233f x ax bx x c f x ax bx x c -=-+++=-=--+-，故0b =，0c =，又因为函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,1-上单调递减，所以()f x 在=1x -处取得极大值，因为()233f x ax '=-，所以()10f '-=，即330a -=，解得：1a =，经检验符合题意，所以()33f x x x =-．（2）2()333(1)(1)f x x x x '=-=+-，因为曲线方程为33y x x =-，2m ≠-，点()1,A m 不在曲线上，设切点为()00,M x y ，则点M 的坐标满足30003y x x =-，因为()()20031f x x '=-，故切线的斜率为()3200003311x x mx x ---=-，整理得：32002330-++=x x m ，因为过点()1,A m 可作曲线的三条切线，所以关于0x 的方程有三个实根．设()32000233g x x x m =-++，则()200066g x x x '=-，由()00g x '<，得001x <<，()00g x '>，得00x <或01x >，所以()0g x 在(),0∞-，()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，所以函数的极值点为00x =，01x =，所以关于0x 的方程有三个实根的必要条件是()()0010g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解得：32m -<<-，又当01x =-时，()15340g m -=-++<-<，当02x =时，()24340g m =++>>，所以32m -<<-时，必有三个实根，故所求的实数m 的取值范围是()3,2m ∈--．【点睛】过函数上某一点的切线条数，转化为函数零点个数问题，构造函数，通过求导研究函数单调性，极值和最值情况，从而解决问题.21．(1)2211612x y +=(2)是定值，定值为π2【分析】（1）根据椭圆的标准方程列方程组求解即可；（2）当直线l 斜率不存在时，易得π2MFN ∠=，当直线l 斜率存在时，设直线l ：2x my =+，()11,B x y ，()22,D x y ，将直线与椭圆成联立，利用韦达定理结合向量数量积的坐标公式求解即可.【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由题意可得22262a c a c a b c+=⎧⎪-=⎨⎪=+⎩，解得221612a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的标准方程为2211612x y +=.（2）由（1）得(4,0)A -，当直线l 垂直于x 轴时，:2l x =，代入椭圆方程2211612x y+=，解得()2,3B ，()2,3D -.所以直线AB 的方程为()142y x =+，令8x =，得6y =，则()8,6M ，直线AD 的方程为1(4)2y x =-+，令8x =，得y =-6，则()8,6N -，所以1FM k =，1FN k =-，则1FM FN k k ⋅=-，即π2MFN ∠=，若MFN ∠为定值，则必为π2，当直线l 的斜率存在时，设直线:2l x my =+，()11,B x y ，()22,D x y ，联立222,1,1612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()223412360m y my ++-=，()()()222(12)4343657610m m m ∆=-+⨯-=+>，则1221234m y y m +=-+，2123634y y m =-+，直线AB 的方程为()1144y y x x =++，令8x =，得11124y y x =+，则11128,4y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭，直线AD 的方程为()2244y y x x =++，令8x =，得22124y y x =+，则22128,4y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，因为()2,0F ，所以11126,4y FM x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭ ，22126,4y FN x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()21212121212121212363644416y y y y FM FN x x x x x x ⋅=+⨯=++++++ ()212221212223614414434363636126366363434y y m m m y y m y y m m m m ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭=+++++⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯-+ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2221443636363603672363364m m m ⨯-=+=-=--+⨯+⨯，故FM FN ⊥ ，即π2MFN ∠=.综上，MFN ∠为定值π2.22．(1)sin cos cos 0x y ααα-+=；()()22110x y x -+=≠；(2)2【分析】（1）利用cos ,sin x y ρθρθ==与正弦的和差公式可求得直线l 的直角坐标方程；利用消参法可求得曲线C 的普通方程；（2）法一：先由条件得到直线l 的参数方程，再联立直线l 与曲线C 的方程，利用参数的几何意义得到AB PA PB =⋅，从而得解；法二：利用圆的切割线定理得到2||1PA PB PO ⋅==，从而得到ABAB PA PB =⋅，由此得解.【详解】（1）由()sin cos ρθαα-=，得()sin cos cos sin cos ρθαθαα-=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的直角坐标方程为sin cos cos 0x y ααα-+=，由222121x t ty t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩(t 为参数)，两式相除得()0y t x x =≠，所以221x y x =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得曲线C 的普通方程为()()22110x y x -+=≠.（2）法一：因为直线l 经过点()0,1P ，所以直线l 的参数方程为cos 1sin x m y m αα=⎧⎨=+⎩(m 为参数)，代入()2211x y -+=中，得()22sin cos 10m m αα+-+=，由()2sin c 4os 40αα=-∆->，得sin 20α<，又[)0,πα∈，故π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()12122cos sin ,1m m m m αα+=-=，所以121212AB m m PA PB m m -=⋅⋅因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()2π,2πα∈，故1sin 20α-≤<，则04sin 24α<-≤，所以2AB PA PB =≤⋅，当且仅当3π4α=时，等号成立，故AB PA PB ⋅的最大值为2.法二：直线l 经过点()0,1,1P PO =，曲线C ()()22110x y x -+=≠为除()0,0点外，以()1,0C 为圆心半径为1r =的圆，易得圆心C 到直线:0PO x =的距离为1，所以直线PO 与圆C 相切，且O 为切点，所以由圆的切割线定理得2||1PA PB PO ⋅==，所以2ABAB PA PB=≤⋅，当且仅当AB 为圆C 的直径时，等号成立，故ABPA PB ⋅的最大值为2．23．(1)[]02，(2)85【分析】（1）将函数写成分段函数，再分段求解，最后取并集即可；（2）由绝对值三角不等式可得2m =，于是有1a b +=，再利用基本不等式求解即可.【详解】（1）2,1()112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，当()2f x x ≤+时，122x x x <-⎧⎨-≤+⎩或1122x x -≤≤⎧⎨≤+⎩或122x x x >⎧⎨≤+⎩,解得x ∈∅或01x ≤≤或12x <≤，所以02x ≤≤，故()2f x x ≤+解集为[]02，；（2）()11112f x x x x x =-++≥---=，当且仅当(1)(1)0x x -⨯+≤即11x -≤≤时，等号成立，∴2m =，∴1a b +=，∵a ，b 为正实数，∴31319132133139313a b b b b b b +=+=+++-+-+191([(93)(13)]109313b b b b=⨯+⨯-++-+19(13)931168[10[1010931310105b b b b +-=⨯++≥⨯+==-+，当且仅当9(13)939313b b b b +-=-+，即12a b ==时，等号成立．故313213a b b +++的最小值为85．。
四川省高考数学(文)模拟考试卷(附答案解析)
四川省高考数学（文）模拟考试卷(附答案解析)班级:___________姓名：___________考号：______________一、单选题1．已知集合{}2Z |340A x x x =∈--≤，B=[0,2]，则A B =（ ）A ．{}1,2-B ．{}1,4-C ．{}1,4D ．{}0,1,22．已知()21i 2i z +=+，则z 的虚部是（ ） A ．12-B ．1i 2-C ．i -D ．1-3．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间4．已知sincos22αα-=，则sin α=（ ） A ．35B ．45C ．35 D ．45-5．过抛物线24y x =焦点F 的直线与圆2212270x y x +-+=相切于点P ，则PF =（ ）A ．3B ．C ．4D ．6．函数()sin 2cos x xf x x=-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．7．关于x 方程()(log 0,1m x k m m =>≠的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（ ）（11a <<；（2）2a b <+；（3）()1log 11a bb a a a ++-<-；（4）()()1441b a a b +++<+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．将函数sin2y x =图象向左平移π12个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ） A ．πsin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．πsin 212y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．πsin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭9．如图是正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断不正确的是（ ）A ．BM DE ∥B ．//CN 平面AFBC ．ED 与NF 所成的角为60︒D ．EN BC ∥10．直线y kx k =-与抛物线C ：24y x =交于A ，B 两点，点P 为抛物线的准线与x 轴的交点，若2PA PB =，则AB =（ ） A ．32B ．3C ．92D ．611．在菱形ABCD 中，AB=5，AC=6，AC 与BD 的交点为G ，点M ，N 分别在线段AD ，CD 上，且13AM MD =与13CN ND =将MND 沿MN 折叠到MND '△，使GD '=D ABC '-的外接球的表面积为（ ） A ．1203π16B ．627π16C ．289π8D ．40π12．已知()e ax f x =在R 上为单调递增函数，过点(),0A a 且平行于y 轴的直线与函数()e axf x =的图象的交点为P ，函数()y f x =在点P 处的切线交x 轴于点B ，当a 变化时，ABP 的面积最小时，函数()f x 的解析式为（ ） A ．()12e xf x = B ．()e xf x =C ．()f x =D ．()f x =二、填空题13．定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线22:14y C x -=，则其共轭双曲线离心率为__________．14．已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()()//2ma b a b -+，则m =______ 15=________. 16．甲订了一份报纸，送报人可能在早上7:008:00-之间把报纸送到甲家，而甲取报纸的时间在早上7:308:30-之间，则甲能得到报纸的概率为__.三、解答题17．新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒．对前所未知、突如其来、来势汹汹的疫情天灾，强调把人民生命安全和身体健康放在第一位．明确坚决打赢疫情防控的人民战争、总体战、阻击战．当前，新冠肺炎疫情防控形势依然复杂严峻．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：(1)现在用分层抽样的方法在第二，三组共选取5人参加传染病知识学习，若从参加学习的5人中随机选取2人参加考试，求恰有一人来自第二组的概率；(2)该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表．请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d-=++++，其中n a b c d =+++．18．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足1122b a ==和222ab =和3311+=a b ．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n S ．19．在如图所示的多面体ABCDE 中，⊥AE 平面ABC ，AE//CD ，AE=2CD=2，CA=CB=3及AB =(1)证明：平面ABE ⊥平面BDE ； (2)求多面体ABCDE 的体积．20．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点12A ⎛ ⎝⎭与点()2,0B ，过点()1,0的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交直线3x =于E ，F 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)PE QF ⋅是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 21．已知函数21()ln ()x f x a x a x-=-∈R ．(1)()f x '为函数()f x 的导函数，()0f x '≤对任意的0x >恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若函数()f x 有两个不同的极值点()1212,x x x x <，证明：21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<．22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 过点()1,0P ，l 与曲线C 交于A ，B 两点，Q 为弦AB 的中点，且13PQ PA PB =+，求l 的斜率．23．已知函数()12f x x x =--- 和 ()21g x x =-． (1)求函数()f x 的值域；(2)若a >0，b >0，且221a b +=，不等式22114()22f x a b≤+恒成立，求实数x 的取值范围． 参考答案与解析1．D【分析】根据一元二次不等式的解法求出集合A ，即可求解. 【详解】由2340x x --≤解得14x -≤≤ 又因为Z x ∈，所以{}1,0,1,2,3,4A =- 所以A B ={}0,1,2 故选:D. 2．D【分析】根据给定条件，结合复数的乘方及除法运算求出复数z ，再求出z 的虚部作答.【详解】依题意2i 2i z ⋅=+，即2i (2i)(i)12i 1i 2i 2i (i)22z ++--====-⋅- 所以复数z 的虚部是1-. 故选：D 3．C【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C. 【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误. 综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于⨯频率组距组距. 4．B【分析】将已知等式两边平方，结合同角的三角函数关系以及二倍角的正弦公式，即可求得答案.【详解】由sincos22αα-=可得，21(sin cos )225αα-=即11412sin cos ,1sin ,sin 22555αααα-=-=∴=故选：B 5．C【分析】由题可得()1,0F ，圆心为()6,0，半径为3，然后利用切线长公式即得.【详解】由题可得()1,0F ，圆2212270x y x +-+=，即()2269x y -+=，圆心为()6,0，半径为3所以4PF ==.故选：C. 6．A【分析】分析函数()f x 的奇偶性及其在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的x ∈R ，2cos 0x ->则函数()f x 的定义域为R()()()()sin sin 2cos 2cos x x x xf x f x x x---===---，则函数()f x 为偶函数，排除BC 选项当02x π<<时，sin 0x >则()sin 02cos x xf x x=>-，排除D 选项.故选：A. 7．C【分析】根据题意结合对数分析可得01a b <<<，且1b a =，对（1）：解不等式12b a a=<即可得结果；对（2）：由1a b a a+=+，根据1y x x =+的单调性分析运算即可；对（3）：()()11log 11log 1log a b a b b b b a a a a a b a +++-<-⇔+-<-，构建()log x b g x x a =-，结合()g x 的单调性分析判断；对（4）()()()()14ln 4ln 11414b a a b a b a b +++<++++⇔+<，构建()ln xh x x =，结合()h x 的单调性分析判断.【详解】由题意可得：log log m m a b k ==，则log log log 0m m m a b ab +==，故1ab = ∵a b <，故01a b <<<，且1b a=对（1）：由2b a <，即12a a <，解得a >a <∵01a <<(11,a b a<<=∈，（1）正确；对（2）：∵1a b a a +=+，且1y x x =+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减∴2a b <+<，（2）正确；对（3）：构建()11f x x x =-+，则()f x 在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()10f x f >=>⎝⎭ 可得110a a-+>，即11a b a +>=∵()()1log 11log 1log a b b b b a a b a a ++-=+-<-，等价于()1log 1log a b b b a a b a ++-<-构建()log xb g x x a =-1a b <<<，则()g x 在定义域内单调递增 ∴()()1g a g b +>，即()1log 1log a b b b a ab a ++->-，C 错误；对（4）：由（1）得(44,12,1a b ⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且41a b +>+ 由()()1441b a a b +++<+，等价于()()()()44ln n 11l a b a b +<+++，等价于()()ln 44l 11n a a b b ++<++构建()ln xh x x=，则()21ln x h x x -'=令()0h x '>，则0e x <<故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()()(ln 2ln 424124h h h ===<∴()()()24h x h h >=在(2,1上恒成立，即()()1n 4l 1h b b >++又∵()h x 在()e,+∞上单调递减，则()()44h h h x ⎛>> ⎝⎭在4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()4ln 44a h a +>+ 故()()ln 44l 11n a a b b ++<++，（4）正确.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数h (x )；（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 8．C【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可得答案. 【详解】由题意知将函数sin2y x =图象向左平移π12个单位长度 则得到函数sin2()sin ππ)(2126y x x =+=+的图象故所得图象的函数解析式为sin(2π)6y x =+故选：C 9．A【分析】由正方体的平面展开图还原正方体ABCD EFMN -，可直接判断A 、D 的正误；根据EN BC ∥且EN BC =可证CN BE ∥，可得//CN 平面AFB ；可证DE FC ∥，在等边三角形△CFN 中分析ED 与NF 所成的角． 【详解】如图：由正方体的平面展开图还原正方体ABCD EFMN - 根据图形显然,BM DE 不平行，EN//BC ，A 不正确，D 正确； ∵EN BC ∥且EN BC =，则ENBC 为平行四边形 ∴CN BE ∥CN ⊄平面AFB ，BE ⊂平面AFB 则//CN 平面AFB ，B 正确； 连接CF∵EF CD 且EF CD =，则EFCD 为平行四边形 ∴DE FC ∥又∵NF CF CN ==，即△CFN 为等边三角形 ∴ED 与NF 所成的角为60︒，C 正确； 故选：A ．【点睛】 10．C【分析】由2PA PB =列方程求得,A B 两点的横坐标，结合抛物线的定义求得AB .11．B【分析】设MN 与BD 的交点为H ，连接D H '，证明D G '⊥平面ABC ．设ABC 的外接圆圆心为1O ，AD C '的外接圆圆心为2O ，过1O ，2O 分别作平面ABC ，平面AD C '的垂线，设两垂线交于点O ，则O 是三棱锥D ABC'-外接球的球心，先求出12,r r ，再求出三棱锥D ABC '-的外接球的半径R 即得解.径为1r ，在ABC 中，由()2221143r r -+=，解得1258r =，同理可得AD C '的外接圆半径21728r =，所以228GO =．设三棱锥D ABC '-的外接球半径为R ，则22212R O A GO =+6252627646464=+=，则三棱锥D ABC '-的外接球的表面积26274π16S R π==. 故选：B ．12．D【分析】由导数的几何意义求切线方程后得B 点坐标，将ABP 的面积表示为a 的函数，由导数判断单调性后求解13【分析】本题首先可以求出双曲线C 的实轴长以及虚轴长，然后结合题意求出其共轭双曲线的实轴长以及虚轴长，最后根据离心率ce a=即可得出结果.【详解】因为双曲线C 的解析式为2214y x -=所以2a =，双曲线C 的实轴长为4，b=1，双曲线C 的虚轴长为2因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线 所以双曲线C 的共轭双曲线实轴长为2，虚轴长为4 此时1a =，b=2故c =551c ea【点睛】本题考查共轭双曲线的离心率的求法，能否结合题意得出共轭双曲线的实轴长以及虚轴长是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题. 14．12-##0.5-【分析】求出向量,2ma b a b -+的坐标，然后利用向量平行的坐标公式计算即可. 【详解】由已知()()3,34,27,11ma b m m a b -=--+= 又()()//2ma b a b -+()()113734m m ∴-=-解得12m =-.故答案为12-.15．8【解析】由二倍角公式得出22cos 121cos 24︒︒-=，再将分子分母同乘以cos12︒结合商数关系化简得出.【详解】原式()sin122sin 60122sin 48cos12811cos24sin12sin 48sin 4844︒︒︒︒︒︒︒︒︒--=====. 故答案为：8【点睛】本题主要考查了利用两角差的正弦公式，商数关系以及二倍角公式化简求值，属于中档题. 16．78【分析】求出全部结果所构成的区域以及甲能看到报纸构成的区域，由面积之比可得.故答案为：78.17．(1)3 5(2)填表见解析；没有【分析】（1）根据分层抽样确定抽取人数，然后列举出所有结果，由古典概型概率公式可得；（2）根据2K公式计算，然后查表可得.共10种选择，恰有一人来自第二组有6种故恰有一人来自第二组的概率为63105P==；（2）根据分层抽样方法潜伏期不超过6天的抽取人数为100200300200120 1000++⨯=潜伏期超过6天的抽取人数为20012080-=根据题意补充完整的列联表如下：则22200(65455535)252.0833.8411208010010012K⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有95%的把握认为潜伏期与患者年龄有关.18．(1)n a n =和2nn b =； (2)1(1)22+=-⋅+n n S n .【分析】（1）由等差数列和等比数列的基本量法求得公差和公比后可得通项公式； （2）用错位相减法求数列{}n n a b 的和．【详解】（1）解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ()0q ≠与11a =和12b =联立2233211a b a b ⎧=⎨+=⎩，整理可得2221112dd q q ⎧++=⎨=⎩，解得21q d =⎧⎨=⎩ 所以n a n =，2nn b =.（2）解：由（1）知2nn n a b n =⋅则321122232(1)22n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，①23412122232(1)22n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，②①-②，得23122222n n n S n +-=++++-⨯1122212nn n +-=⨯-⨯-1(1)22n n +=-⨯-.所以1(1)22+=-⋅+n n S n .19．(1)证明见解析(2)【分析】（1）说明四边形CFGD 为平行四边形，由线面垂直证AE CF ⊥，再由线线垂直证DG ⊥平面ABE ，最后可证平面ABE ⊥平面BDE ；（2）多面体ABCDE 的体积等于三棱锥D ABC -的体积与三棱锥D ABE -的体积之和其中说明CF ⊥平面ABE 、CD ∥平面ABE ，可得点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离CF ，并计算其值；说明CD ⊥平面ABC ，则为三棱锥D ABC -的高.【详解】（1）证明：设AB ，BE 的中点分别为F ，G ，连接CF ，FG ，DG ，则FG AE ∥，且12FG AE = 又CD AE ∥，且12CD AE =，所以FG CD ∥，且FG CD =所以四边形CFGD 为平行四边形，所以∥CF DG ．因为⊥AE 平面ABC ，CF ⊂平面ABC ，所以AE CF ⊥，所以AE DG ⊥ 因为CA CB =，F 为AB 的中点，所以CF AB ⊥，所以DG AB ⊥ 又AB ，AE ⊂平面ABE ，且ABAE A =，所以DG ⊥平面ABE又DG ⊂平面BDE ，所以平面ABE ⊥平面BDE ．（2）由（1）得CF AB ⊥，CF AE ⊥且AB ，AE ⊂平面ABE ，AB AE A =所以CF ⊥平面ABE又因为CA=CB=3，AB =F 为AB 的中点，所以2CF =． 因为CD AE ∥，AE ⊂平面ABE ，CD ⊄平面ABE ，所以CD ∥平面ABE所以点D 到平面ABE 的距离等于点C 到平面ABE 的距离CF ． 因为⊥AE 平面ABC ，AC ，BC ⊂平面ABC ，所以AE AC ⊥ AE BC ⊥ 又CD AE ∥，所以CD AC ⊥，CD BC ⊥又AC ，BC ⊂平面ABC ，且ACBC C =，所以CD ⊥平面ABC连接AD ，多面体ABCDE 的体积V 等于三棱锥D ABC -的体积与三棱锥D ABE -的体积之和而112132D ABC V -=⨯⨯⨯=112232D ABE V -=⨯⨯⨯所以多面体ABCDE 的体积V == 20．(1)2214x y +=(2)见解析【分析】（1）设椭圆C 的方程为221mx ny +=，由,A B 两点得出椭圆C 的标准方程；（2）联立直线l 与椭圆方程，由直线,BP BQ 的方程得出,E F 坐标，再由韦达定理以及数量积公式，得出PE QF ⋅的范围，进而得出PE QF ⋅的最值.【详解】（1）设椭圆C 的方程为221(0,0,mx ny m n +=>>且)m n ≠因为椭圆C过点12A ⎛ ⎝⎭与点()2,0B ，所以15141641m n m ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得141m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设直线:1l x ty =+ ()()1122,,,P x y Q x y 由22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(1)440ty y ++-= 即()224230t y ty ++-=，则12122223,44t y y y y t t +=-=-++. 直线,BP BQ 的方程分别为1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---. 令3x =，则12123,,3,22y y E F x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.则()()11111111323,2,21y x y ty PE x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭()()22222222323,2,21y x y ty QF x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭所以()()()()()()12121212222211y y ty ty PE QF ty ty ty ty --⋅=--+--()()2121212212122411y y t y y t y y t y y t y y ⎡⎤⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦-++⎣⎦2222222223344413244144t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎪++ ⎪++⎝⎭()()()2222254451651444444t t t t t +-+===-+++.因为244t +≥，所以22115150,144444t t <≤≤-<++. 即PE QF ⋅的取值范围为51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭.所以PE QF ⋅存在最小值，且最小值为1.【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量12,x x 变为单变量问题，从而由25144t -+的范围，得出PE QF ⋅的取值范围. 21．(1)2a ≤ (2)证明过程见详解【分析】（1）先求()f x '，将()0f x '≤对任意的0x >恒成立问题转化为210x ax -+≥对任意的0x >恒成立问题，再分离参数，结合对勾函数的性质即可得到实数a 的取值范围；（2）结合（1）知当2a ≤时()f x 单调递减，无极值点，不满足条件；讨论当2a >时，得到1201x x <<<，满足条件，先证明sin (0)x x x >>，再将要证21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<转化为只需证212122ln ln 0x x a x a x --+<，构造函数，再通过函数的单调性即可证明结论．【详解】（1）依题意得22211()10a x ax f x x x x -+=--=-≤'对任意的0x >恒成立 即210x ax -+≥对任意的0x >恒成立 所以1(0)a x x x≤+>又12x x+≥，当且仅当1x =时取“=”，所以2a ≤． （2）由（1）知当2a ≤时()f x 单调递减，无极值点，不满足条件． 当2a >时，令22211()10a x ax f x x x x -+=--=-=' 得210x ax -+=，则240a ∆=->，所以其两根为12,x x由韦达定理得12121x x ax x +=⎧⎨⋅=⎩又∵12x x <，∴1201x x <<<，满足条件 令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥ ∴()(0)0g x g >=，∴sin (0)x x x >>要证21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<只需证212122ln ln 0x x a x a x --+<即证211221ln ln 22x x a x x x x -+<=-，即证()2121122ln ln x x x x x x -<-+，即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<+令21(1,)x t x =∈+∞，即证22ln 1t t t -<+ 令22()ln 1t h t t t -=-+ (1,)t ∈+∞ 则()()()()222114011t h t t t t t -=-=+'>+所以()h t 在(1,)+∞单增，()(1)0h t h >= 故结论得证．【点睛】关键点点睛：先证明sin (0)x x x >>，再将要证21212sin 2ln ln 0x x a x a x --+<转化为只需证212122ln ln 0x x a x a x --+<，构造函数，再通过函数的单调性是解答小问（2）的关键．22．(1)22(1)(1)2x y -+-= (2)2±【分析】（1）两边同时乘以ρ，利用和差公式展开，代入公式222,sin ,cos ,x y y x ρρθρθ=+==即可求解.（2）根据参数方程的几何意义，联立方程得出韦达定理，将韦达定理代入13PQ PA PB =+即可求解.【详解】（1）由π4ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭得22sin 2cos ρρθρθ=+22222,sin ,cos ,22x y y x x y x y ρρθρθ=+==∴+=+即22(1)(1)2x y -+-=,所以曲线C 的直角坐标方程为22(1)(1)2x y -+-= （2）易知直线l 过点(1,0)P ,设直线倾斜角为α则直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数)代入22(1)(1)2x y -+-=得22sin 10t t α--=,易得24sin 40α∆=+> 设A ,B 对应的参数分别为12,t t ,则12122sin ,1t t t t α+==- 故1212121212||122||||3t t t t t t PQ PA PB t t t t +++=====++-. 解得24sin 5α=则221cos ,tan 4,tan 25ααα==∴=±l ∴的斜率为2±.23．(1)[]1,1- (2)7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【分析】（1）根据绝对值的几何含义，分2x ≥，x ≤1，1<x<2三种情况，分类讨论求解或者绝对值不等式性质求解.（2）根据“1”的代换，结合基本不等式，求出221122a b +的最小值2，结合（1）分情况讨论()42f x ≤，解不等式即可.【详解】（1）法一：由题得()1,123,121,2x f x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩其中，当12x <<时，()()231,1f x x =-∈-，从而易得函数()f x 的值域为[]1,1-． 法二：由绝对值不等式的性质可得，()()()12121f x x x x x =---≤---= 所以()11f x -≤≤，当且仅当()()120x x --≥，即1x ≤或2x ≥时取得等号 故函数()f x 的值域为[]1,1-．（2）由基本不等式，得()2222222222111112222222b a a b a b ab a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭当且仅当a b ==时取得等号，故221122a b +的最小值为2．由题得，4()2f x ≤，即1|1||2|2x x ---≤等价于1112x ≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩或121232x x <<⎧⎪⎨-≤⎪⎩或2112x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩由此可解得74x ≤，故原不等式的解集为7,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．。
四川省高考数学模拟试卷与解析(文科)
四川省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．43．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．124．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（）A．B．C．2 D．36．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（）A．3 B．2 C．log29 D．log277．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．108．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．10 D．169．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．B．C．2 D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为吨．15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是．16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．18．（12分）共享单车是指由企业在校园、公交站点、商业区、公共服务区等场所提供的自行车单车共享服务，由于其依托“互联网+”，符合“低碳出行”的理念，已越来越多地引起了人们的关注．某部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分直方图．（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）已知满意度评分值在[90，100]内的男生数与女生数的比为2：1，若在满意度评分值为[90，100]的人中随机抽取2人进行座谈，求所抽取的两人中至少有一名女生的概率．19．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等边三角形，且AA1⊥平面ABC，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：直线BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）若AB=BB1=2，E是BB1的中点，求三棱锥A1﹣CDE的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆Ω：的离心率为，直线l：y=2上的点和椭圆Ω上的点的距离的最小值为1．（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；（Ⅱ）已知椭圆Ω的上顶点为A，点B，C是Ω上的不同于A的两点，且点B，C关于原点对称，直线AB，AC分别交直线l于点E，F．记直线AC与AB的斜率分别为k1，k2①求证：k1•k2为定值；②求△CEF的面积的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1），其中a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，求证：f（x）≤0；（Ⅱ）对任意t≥e，存在x∈（0，+∞），使tlnt+（t﹣1）[f（x）+a]＞0成立，求a的取值范围．（其中e是自然对数的底数，e=2.71828…）请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（共1小题，满分10分）22．（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1与C2交点的平面直角坐标；（Ⅱ）点A，B分别在曲线C1，C2上，当|AB|最大时，求△OAB的面积（O为坐标原点）．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x+8）≥10﹣f（x）；（Ⅱ）若|x|＞1，|y|＜1，求证：f（y）＜|x|•f（）．四川省高考数学模拟试卷（文科）试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U=R，集合A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}，B={x|x﹣1≥0}，则图中阴影部分所表示的集合为（）A．{x|x≤﹣1或x≥3} B．{x|x＜1或x≥3}C．{x|x≤1}D．{x|x≤﹣1}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由阴影部分表示的集合为∁U（A∪B），然后根据集合的运算即可．【解答】解：由图象可知阴影部分对应的集合为∁U（A∪B），A={x|（x+1）（x﹣3）＜0}=（﹣1，3），∵B={x|x﹣1≥0}，∴A∪B=（﹣1，+∞），则∁U（A∪B）=（﹣∞，﹣1]，故选D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图确定集合的关系是解决本题的关键．2．等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】等差数列的通项公式．【分析】设数列{a n}的公差为d，则由题意可得2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值．【解答】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题．3．在集合{x|0≤x≤a，a＞0}中随机取一个实数m，若|m|＜2的概率为，则实数a的值为（）A．5 B．6 C．9 D．12【考点】几何概型．【分析】利用几何概型的公式，利用区间长度的比值得到关于a 的等式解之即可．【解答】解：由题意|m|＜2的概率为，则=，解得a=6；故选：B．【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出对应的区间长度是解决本题的关键，比较基础．4．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先由几何体还原几何体，是下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，由此计算体积．【解答】解：由几何体的三视图得到几何体为组合体，下面是底面为正方体，上面是半径为的半球，所以几何体的体积为2×2×2+=8+故选C．【点评】本题考查了组合体的三视图以及体积的计算；关键是明确几何体的形状，由体积公式计算．5．双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则E的离心率是（）A．B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得焦点F到渐近线ay﹣bx=0的距离为b，结合题意可得b=，由双曲线的几何性质可得c==2a，进而由双曲线离心率公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线E：﹣=1的焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±x，即ay±bx=0，设F（c，0），F到渐近线ay﹣bx=0的距离d===b，又由双曲线E：﹣=1的一个焦点F到E的渐近线的距离为，则b=，c==2a，故双曲线的离心率e==2；故选：C．【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意“双曲线的焦点到其渐近线的距离为b”．6．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=则f（3）=（）A．3 B．2 C．log29 D．log27【考点】分段函数的应用．【分析】由已知中f（x）=，将x=3代入可得答案．【解答】解：∵f（x）=，∴f（3）=f（2）=f（1）=f（0）=log28=3，故选：A【点评】本题考查的知识点是函数求值，分段函数的应用，难度不大，属于基础题．7．已知MOD函数是一个求余函数，记MOD（m，n）表示m除以n的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是某个算法的程序框图，若输入m的值为48时，则输出i的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，根据题意，依次计算MOD（m，n）的值，由题意∈N*，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：n=2，i=0，m=48，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，2）=0，i=1，n=3，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，3）=0，i=2，n=4，满足条件n≤48，满足条件MOD（48，4）=0，i=3，n=5，满足条件n≤48，不满足条件MOD（48，5）=0，n=6，…∵∈N*，可得：2，3，4，6，8，12，16，24，48，∴共要循环9次，故i=9．故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，依次正确写出每次循环得到的MOD（m，n）的值是解题的关键．8．已知函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，则ω的最小值为（）A．2 B．4 C．10 D．16【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性可得ω•+=kπ+，k∈Z，由此求得ω的最小值．【解答】解：根据函数（其中ω＞0）图象的一条对称轴方程为x=，可得ω•+=kπ+，k∈Z，即ω=12k+4，故ω的最小值为4，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．9．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（）A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c【考点】不等式比较大小；不等式的基本性质．【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=c x，由指数函数的性质分析可得A 错误，对于B、构造函数y=x c，由幂函数的性质分析可得B错误，对于C、由作差法比较可得C错误，对于D、由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A、构造函数y=c x，由于0＜c＜1，则函数y=c x是减函数，又由a＞b＞1，则有c a＞c b，故A错误；对于B、构造函数y=x c，由于0＜c＜1，则函数y=x c是增函数，又由a＞b＞1，则有a c＞b c，故B错误；对于C、﹣==，又由0＜c＜1，a＞b＞1，则（a﹣c）＞0、（b﹣c）＞0、（b﹣a）＜0，进而有﹣＜0，故有＜，故C错误；对于D、log a c﹣log b c=﹣=lgc（），又由0＜c＜1，a＞b＞1，则有lgc＜0，lga＞lgb＞0，则有log a c﹣log b c=﹣=lgc（）＞0，即有log a c＞log b c，故D正确；故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．10．对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下结论正确的是（）A．若m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，则α，β相交B．若m⊥α，m⊥β，n∥α，则n∥βC．若m⊂α，n∥α，m，n共面于β，则m∥nD．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】根据空间直线和平面平行或垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．【解答】解：A．α∥β时，m⊂α，n∥β，m，n是异面直线，可以成立，故A错误，B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β，因为n∥α，则n∥β或n⊂β，故B错误，C．利用线面平行的性质定理，可得C正确，D．若m⊥α，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线或相交直线，故D不正确，故选：C．【点评】本题主要考查与空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．11．抛物线y2=4x的焦点为F，点A（5，3），M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为（）A．10 B．11 C．12 D．6+【考点】抛物线的简单性质．【分析】求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值．设点M在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|，因此问题转化为求|MA|+|MD|的最小值，根据平面几何知识，当D、M、A三点共线时|MA|+|MD|最小，由此即可求出|MA|+|MF|的最小值．【解答】解：求△MAF周长的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知|MF|=|MD|因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值根据平面几何知识，可得当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，因此最小值为x A﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周长的最小值为11，故选B．【点评】考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，M，A三点共线时|MA|+|MD|最小，是解题的关键．12．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB=2，AD=DC=1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分（包括边界）运动．若，其中x，y∈R，则4x﹣y的最大值为（）A．B．C．2 D．【考点】简单线性规划．【分析】建立直角坐标系，写出点的坐标，求出BD的方程，求出圆的方程；设出P的坐标，求出三个向量的坐标，将P的坐标代入圆内方程求出4x﹣y范围．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0），直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离d=∴圆弧以点C为圆心的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=，设P（m，n）则=（m，n），=（0，1），=（2，0），=（﹣1，1）若，∴（m，n）=（2x﹣y，y）∴m=2x﹣y，n=y∵P在圆内或圆上∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤，设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，设f（x）=80x2﹣（48t+32）x+8t2+7≤0，x∈[，]，则，解得2≤t≤3+，故4x﹣y的最大值为3+，故选：B【点评】本题考通过建立直角坐标系将问题代数化、考查直线与圆相切的条件、考查向量的坐标公式，属于中档题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知复数z满足z（1+i）=2，则|z|=．【考点】复数求模．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z（1+i）=2，∴，则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础的计算题．14．某厂在生产某产品的过程中，产量x（吨）与生产能耗y（吨）的对应数据如表所示．根据最小二乘法求得回归直线方程为=0.7x+a．当产量为80吨时，预计需要生产能耗为59.5吨．【考点】线性回归方程．【分析】求出x，y的平均数，代入y关于x的线性回归方程，求出a，把x=80代入，能求出当产量为80吨时，预计需要生成的能耗．【解答】解：由题意，=45，=35，代入=0.7x+a，可得a=3.5，∴当产量为80吨时，预计需要生成能耗为0.7×80+3.5=59.5，故答案为：59.5．【点评】本题考查了最小二乘法，考查了线性回归方程，解答的关键是知道回归直线一定经过样本中心点，是基础题．15．设命题p：函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R；命题q：当时，恒成立，如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】复合命题的真假．【分析】对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a范围．对于命题q：当时，利用基本不等式的性质可得：x+≥2，根据恒成立，可得a的求值范围．如果命题“p∧q”为真命题，可得实数a的取值范围．【解答】解：对于命题p：a≤0时，函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域不为R．由函数f（x）=lg（ax2﹣2x+1）的定义域为R，则，解得a＞1．对于命题q：当时，x+≥2，当且仅当x=1时取等号．由当时，恒成立，∴a＜2．如果命题“p∧q”为真命题，则实数a的取值范围是1＜a＜2．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了对数函数的定义域、一元二次不等式的解集与判别式的关系、基本不等式的性质、复合命题真假的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为 2.6日．（结果保留一位小数，参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【考点】数列的应用．【分析】设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．利用等比数列的前n项和公式及其对数的运算性质即可得出．【解答】解：设蒲（水生植物名）的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n．莞（植物名）的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则A n=，B n=，由题意可得：=，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•资阳模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，求b+c的值．【考点】三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）求出，即可求角A的大小；（Ⅱ）若a=，△ABC的面积为，利用余弦定理及三角形的面积公式，求b+c的值．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，（2分）化简得，整理得，即，（4分）由于0＜B+C＜π，则，所以．（6分）。
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2016年高考模拟试题（四川卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知全集U ={x ∈N |0≤x ≤6}，集合A ={1，3，5}，B ={2，4，6}，则 （ ）A ．0∈AB B ．0∈(UA )BC ．0∈(A )(UB )D ．0∈(UA )(UB )2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （ ）A ．103B ．4C ．143D ．63．要得到函数y =sin(2x +4π)的图象，只需将函数y =cos2x 的图象 （ ）A ．向左平移8π个单位长度B ．向右平移8π个单位长度C ．向左平移4π个单位长度D ．向右平移4π个单位长度4．设M 是ABCD 的对角线的交点，O 为任意一点，则OA +OB +OC +OD =（ ）A ．OMB ．2OMC ．3OMD ．4OM5．函数y =cos 2xx cos x (x ∈[0,π])为增函数的区间是 （ ）A ．[0,3π] B ．[12π,3π] C ．[3π,65π] D ．[65π,π]俯视图6．如图，有一块半径为1的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD 的形状，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上，则梯形面积y 和腰长x 间的函数的大致图象是 （ ）A ．B ．7．曲线x 2+y 2=|x |+|y |围成的图形的面积是 （ ）A ．π+2B ．π+1C ．2π+2 D ．2π+1 8．函数f (x ) = (12)x +log 12x ，g (x ) =(12)x +log 2x ，h (x ) = 2x +log 2x 的零点分别为a ，b ，c ，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b9．运行如下程序框图，如果输入的x ∈[7,11]，则输出y 属于 （ ）A ．(-20,12]B ．(-20,16]C ．[-20,12]D ．[-20,16]10.已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤当3≤s ≤5时， 目标函数z =3x +2y 的最大值的变化范围是 （ A ．[6,15] B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]x x xD CBAC 1D 1A 1B 1QP第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上．11.双曲线221916y x -=的焦点到其渐近线的距离是 ． 12.一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画出了如图所示的频率分布直方图，现要从这10000人中再用分层抽样的方法抽出100人作进一步调查，则月收入在[2500,3000)（元）内应抽出 人. 13.把复数z 1在复平面内的对应点P 绕原点逆时针旋转90°得复数z 2在复平面内的对应点Q ，z 1=2+i ，则z 1z 2= ．14.已知x ＞0，y ＞0，且4xy -x -2y =4，则xy 的最小值为 ．15.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P ，Q 分别是线段AC ，B 1D 1上的动点．现有如下命题： （1）∃P ，Q ，使得AQ ∥C 1P ； （2）∃P ，Q ，使得AQ ⊥C 1P ； （3）∃P ，Q ，使得AQ ∥BP ； （4）∃P ，Q ，使得AQ ⊥BP ．其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．甲组 乙组 99 0 X 8 9 111(Ⅰ)如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354，求X 及乙组同学投篮命中次数的方差； (Ⅱ)如果X =9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的投篮命中次数之和为19的概率．1A 117.（本小题满分12分）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列． (Ⅰ)求证：a 2，a 8，a 5成等差数列； (Ⅱ)若a 1-a 4=3，求a 1+a 4+a 7+…+a 31．18.（本小题满分12分）（文科）如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，BC =BB 1，D 为AB 的中点． (Ⅰ)求证：BC 1⊥平面AB 1C ； (Ⅱ)求证：BC 1∥平面A 1CD ．19.（本小题满分12分）已知AD 是△ABC 的角平分线，且△ABD 的面积与△ACD 的面积比为3:2．(Ⅰ)求sin sin BC 的值；(Ⅱ)若AD =C =2∠B ，求BC 的长．20.（本小题满分13分）如图，椭圆C :22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点P (2,3)，离心率e =12，直线l 的方程为y =4．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)AB 是经过(0,3)的任一弦（不经过点P ）．设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3．问：是否存在常数λ，使得11k +21k =3k λ？若存在，求λ的值．21.（本小题满分14分）直线x =b 与函数f (x )=x -ln x 的图象交于两个不同的点A ，B ，其横坐标分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2．(Ⅰ)求函数f (x )的单调区间和最小值； (Ⅱ)证明：x 1x 22＜2．2016年高考模拟试题（四川卷）数学（文科）一、选择题． 1.D因为0∉A ，0∉B ，所以0∈(UA )(UB )。
2.A由三视图可知该几何体上方是一个底面为边长2的正方形，高为1的正四棱锥；下方是一个底面为边长1的正方形，高为2的正四棱柱。
所以体积为13×22×1+12×2=103。
3.B y =cos2x =sin(2x +2π)=sin2[(x +8π)+4π)，故只需将y =cos2x 的图象向右平移8π个单位长度就得到y =sin(2x +4π)的图象。
4. D由平面向量加法的几何意义知道，OA +OB +OC +OD =(OA +OC )+(OB +OD )=2OM +2OM =4OM 。
5.Cy =cos 2x x cos x =1cos22x+sin2x =sin 6πcos 2x - cos 6πsin2x +12 =-sin(2x -6π)+12。
当x ∈[0,π]时，2x -6π∈[-6π,611π]，要使y =cos 2x x cos x 为增函数， 则需y =sin(2x -6π)为减函数。
所以2x -6π∈[2π,23π]，解得x ∈[3π,65π]。
6.A由图可知，腰AD 的长的范围是(0)，故排除D 。
再考虑特殊位置，当AD =1即x =1时，此时∠DAB =60°，面积y ＞1。
故选A 。
7.A曲线x 2+y 2=|x |+|y |关于x 轴、y 轴对称，图形如图所示。
即四个半圆和一个正方形构成，所以面积为4×12×π×)2+)2 =π+2。
8.B(12)x+log 12x =0可变成log12x =-(12)x ，(12)x +log 2x =0可变成log 2x =-(12)x ，2x+log 2x =0可变成log 2x =-2x ，在同一坐标系中做出这些函数的图象如图所示。
因此f (x )、g (x )、h (x )的零点分别为图中A 、B 、C 点的横坐标。
因此c ＜b ＜a 。
9.B因为x ∈[7,11]，所以第一次循环之后，x ∈[3,7]，n =1。
当x =3时，计算出y =21×(4×3-32)=6当x ∈(3,7]，进行第二次循环，运行后x ∈(-1,3]，n =2，计算出y =22×(4x -x 2)。
当x ∈(-1,3]时，-5＜4x -x 2≤4，此时y ∈(-20,16]。
综上，y ∈(-20,16]。
10.D0,0,,2 4.x y x y s y x ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≥≥≤≤当3≤s ≤4时，区域如图所示， z =3x +2y 在两直线x +y =s 和2x +y =4的交点处(4-s ,-4+2s )取得最大值。
此时z =3(4-s )+2(-4+2s )=4+s ，此时z 的最大值变化范围是[7,8]。
当s ＞4时，区域如图所示， z =3x +2y 在点(0,4)取得最大值。
此时z =8，综上，z 的最大值变化范围是[7,8]。
二、填空题． 11.4双曲线221916y x -=的焦点是(0,±5)，其渐近线为y =±34x ，即3x ±4y =0。
=4。
12.25各组的频率/组距分别为0.0002，0.0004，0.0005，0.0005，0.0003，0.0001。
组距为500， 所以频率为0.1，0.2，0.25，0.25，0.15，0.05。
故月收入在[2500,3000)（元）的频率为0.25， 因此应抽出0.25×100=25（人）。
13.-4+3iz 1=2+i ，z 2=-1+2i ，z 1z 2=(2+i )(-1+2i )=-4+3i 。
14.2因为x +2y≥，又4xy -x -2y =4，所以4xy-≥4，1A所以xy的最小值为2。
15.①④当Q为B1D1中点，P为AC中点时，此时AQ∥C1P，故①正确；此时AQ⊥BP，故④正确；因为Q∉平面ABC，所以A，B，P，Q四点不共面，因此不存在P，Q，使得AQ∥BP，故③错误。
以A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线为坐标轴建立坐标系。
则P(a,a,0)，Q(b,1-b,1)，C1(1,1,0)所以AQ=(b,1-b,1)，1C P=(a-1, a-1, -1)，所以cos<AQ,1C P>=11||||AQ C PAQ C P⋅⋅=1(1)(1)(1)1||||b a b aAQ C P-+---⋅=12||||a bAQ C P--⋅，因为a，b∈[0,1]，所以a-b-2不可能为0，所以不存在P，Q，使得AQ⊥C1P，故②错误。
三、解答题．16. 解:(Ⅰ)当平均数为354时，由茎叶图可知，乙组同学的投篮命中次数是X，8，9，10，所以x=89104X+++=354，所以X=8．方差s2=14[(8-354)2+(9-354)2+(10-354)2]=1116．(Ⅱ)记甲组四名同学为A1，A2，A3，A4，他们投篮命中次数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B1，B2，B3，B4，他们投篮命中次数依次为9，8，9，10．分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A1, B4)，(A2, B1)，(A2, B2)，(A2, B3)，(A2, B4)，(A3, B1)，(A3, B2)，(A3, B3)，(A3, B4)，(A4, B1)，(A4, B2)，(A4, B3)，(A4, B4)，用C表示：“选出的两名同学的投篮命中次数和为19”这一事件，则C中的结果有4个，它们是：(A1, B4)，(A2, B4)，(A3, B2)，(A4, B2)．故所求概率为P(C)=416=14．17.解:(Ⅰ)当q=1时，显然不满足条件S3，S9，S6成等差数列，因此q≠1．所以S3=31(1)1a qq--，S9=91(1)1a qq--，S6=61(1)1a qq--，由S3，S9，S6成等差数列，知291(1)1a qq--=31(1)1a qq--+61(1)1a qq--，显然a1≠0，化简得2q9=q3+q6，①所以2q7=q+q4，又a2=a1q，a8=a1q7，a5=a1q4，所以2a8=a2+a5，所以a2，a8，a5成等差数列．(Ⅱ)由①解得q3=-12，由a1-a4=3，可得a1-a1q3=3，解得a1=2．所以a1+a4+…+a31=2+(-1)+12+…+(12)-9=1112[1()]211()2----=683 512．18. 解:(Ⅰ)因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，所以CC1⊥平面ABC，因为AC⊂平面ABC，所以CC1⊥AC，又AC⊥BC，CC 1BC=C，所以AC⊥平面B1C1CB，因为BC1⊂平面B1C1CB，所以BC1⊥AC．又因为BC=BB1，所以B1C1CB是正方形，所以BC1⊥B1C，又B1C AC=C，所以BC1⊥平面AB1C．(Ⅱ)在正方形A1C1CA中，设AC 1A1C=G，则G为AC1中点，D为AB的中点，连结DG，在△ABC1中，BC1∥DG，因为DG⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．19.解:(Ⅰ)由S△ABD:S△ADC =3:2，得1 2AB⋅AD⋅sin∠BAD:12AC⋅AD⋅sin∠CAD=3:2，因为∠BAD=∠CAD，所以AB:AC=3:2，所以sinsinBC=ACAB=23．(Ⅱ)由∠C=2∠B得sin C=sin2B=2sin B cos B，由(Ⅰ)知sinsinBC=23，所以cos B=sin2sinC=3，sin B，所以cos C=cos2B=2cos2B-1=18，sin C，设BD=3m，AB=3n，则CD=2m，AC=2n．在△ABD中，由余弦定理有AB2+BD2-2AB⋅BD⋅cos B=AD2，即9m2+9n2-272mn=18，①同理，在△ACD中，有4m2+4n2-mn=18，②所以9m 2+9n 2-272mn =4m 2+4n 2-mn ， 所以m =2n （由AB +AC ＞BC 知n ＞m ，故舍去），或n =2m ． 代入②得，m =1． 所以BC =5m =5．20.解:(Ⅰ)由已知得22222491,1,2a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩， 解得a =4，bc =2．所以椭圆C 的方程为216x +212y =1．(Ⅱ)当直线AB 不存在斜率时，A (0,，B (0,，M (0,4)， 此时k 1，k 2，k 3=4302--=-12， 11k +21k =-4，可得λ=2． 当直线AB 存在斜率时，可设为k (k ≠0)，则直线AB 的方程为y =kx +3． 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，联立直线AB 与椭圆的方程，得 221,16123,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y ，化简整理得，(4k 2+3)x 2+24kx -12=0， 所以x 1+x 2=22443k k -+，x 1x 2=21243k -+，而11k +21k =1123x y --+2223x y --=112x kx -+222x kx -=12121222()x x x x kx x -+ =24k k-．又M 点坐标为(1k ,4)，所以31k =1243k --=12kk-．故可得λ=2．因此，存在常数λ=2，使得11k +21k =3k λ恒成立． 21.解:(Ⅰ)由题可得f ′(x )= 1-1x， 所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1,+∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 所以f (x )的最大值为f (1)=1．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知0＜x 1＜1，x 2＞1，g (x 1)= g (x 2)=0．g (x 1)-g (222x )=(x 1-ln x 1)-(222x -ln 222x )=(x 2-ln x 2)-(222x -ln 222x )=x 2-222x -3ln x 2+ln2．令h (t )=t -22t -3ln t +ln2，则h ′(t )=1+34t -3t=32334t t t -+=23(2)(1)t t t -+．当t ≥2时，h ′(t )≥0，h (t )是增函数，所以h (t )≥h (2)=32-2ln2=32ln 3e 16＞0．所以当x 2≥2时，g (x 1)-g (222x )＞0，即g (x 1)＞g (222x )因为0＜x 1，222x ＜1，g (x )在(0,1)上单调递减，所以x 1＜222x ，故x 1x 22＜2．当1＜x 2＜2时，只需证明x 1x 2＜1．g (x 1)-g (21x )=(x 1-ln x 1)-(21x -ln 21x )=(x 2-ln x 2)-(21x -ln 21x )=x 2-21x -2ln x 2．令ϕ(t )=t -1t -2ln t ，则ϕ′(t )=1+21t -2t = 2221t t t -+=22(1)t t -≥0，当t ＞1时，ϕ′(t )＞0，ϕ(t )是增函数，所以ϕ(t )＞ϕ(1)= 0．所以当1＜x 2＜2时，g (x 1)-g (21x )＞0，即g (x 1)＞g (21x )．因为0＜x 1，21x ＜1，g (x )在(0,1)上单调递减，所以x 1＜21x ，故x 1x 2＜1．又1＜x 2＜2，所以x 1x 22＜2．《信息技术环境下学生自主学习能力训练之得失》 摘要：《课程标准》中明确指出：“学生是学习和发展的主体。