求解电场强度13种方法(附例题)

点距球心的距离为 d，球半径为 R.。在 P 点放置一个电荷
量为 +q 的点电荷。试求导体球感应电荷在 P 点的电场强
图6
度大小。
析与解：如图 6 所示，感应电荷在球上分布不均匀，靠近 P 一侧较密，关于 OP 对称，
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因此感应电荷的等效分布点在 OP 连线上一点 P′。设 P′ 距离 O 为 r，导体球接地，故球心
（2 若已知匀强电场三点电势，则利用“等分法”找出等势点，画出等势面，确定电场
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线，再由匀强电场的大小与电势差的关系求解。
3．运用“电场叠加原理”求解
例 3(2010 海南).如右图 2， M、N 和 P 是以 MN 为直径的半圈弧上的三点，O 点为
半圆弧的圆心，MOP 60．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分M别置60于°MO、N 两点，N
这时 O 点电场强度的大小为 E1 ；若将 N 点处的点电荷移至 P 则 O 点的场场强大小变为 E2 ， E1 与 E2 之比为 B
P
图2
A．1: 2 B． 2 :1 C． 2 : 3
D． 4 : 3
二．必备的特殊方法：
4．运用平衡转化法求解
例 4．一金属球原来不带电，现沿球的直径的延长线放置
一均匀带电的细杆 MN，如图 3 所示。金属球上感应电荷产
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求解电场强度方法分类赏析
一．必会的基本方法：
1．运用电场强度定义式求解
例 1.质量为 m、电荷量为 q 的质点，在静电力作用下以恒定速率 v 沿圆弧从 A 点运动
到 B 点,，其速度方向改变的角度为 θ（弧度），AB 弧长为 s，求 AB 弧中点的场强 E。
【解析】:质点在静电力作用下做匀速圆周运动，则其所需的向心力由位于圆心处的点
会产生感应电荷。空间任意一点处的电场皆是由点电荷 q 和导体表面上的感应电荷共同激
发的。已知静电平衡时导体内部场强处处为零，则在 z 轴上 z h 处的场强大小为（k 为静 2
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5．运用“对称法”（又称“镜像法”）求解
例 5．（2013 新课标 I）如图 4，一半径为 R 的圆盘上均匀分布着电荷量为 Q 的电荷， 在垂直于圆盘且过圆心 c 的轴线上有 a、 b、d 三个点，a 和 b、b 和 c、 c 和 d 间的距离 均为 R，在 a 点处有一电荷量为 q (q>O)的固定点电荷.已知 b 点处的场强为零，则 d 点处 场强的大小为(k 为静电力常量)
O 处电势为零。根据电势叠加原理可知，导体表面感应电荷总电荷量 Q 在 O 点引起的电势
与点电荷 q 在 O 点引导起的电势之和为零，即 kq + kQ = 0，即感应电荷量 Q = R q 。
dR
d
同理，Q 与 q 在球面上任意点引起的电势叠加之后也为零，即
kQ
=
kq
，其中 α 为球面上任意一点与 O 连线和
生的电场在球内直径上 a、b、c 三点的场强大小分别为 Ea、 图3
Eb、Ec，三者相比（
）
A．Ea 最大 B．Eb 最大
C．Ec 最大 D．Ea= Eb= Ec
【解析】:导体处于静电平衡时，其内部的电场强度处处为零，故在球内任意点，感应
电荷所产生的电场强度应与带电细杆 MN 在该点产生的电场强度大小相等，方向相反。均
电荷产生电场力提供。由牛顿第二定律可得电场力 F = F 向 = m v 2 r
。由几何关系有 r =
s，
所以 F = m v 2 ，根据电场强度的定义有 E = F = mv 2 。方向沿半径方向，指向由
s
q qs
场源电荷的电性来决定。 2．运用电场强度与电场差关系和等分法求解
例 2（2012 安徽卷）．如图 1-1 所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀
电荷在 d 点场强 E3 =
kq (3R) 2
，方向水平向左。根据叠加原理可知，d 点场
Ed= E2 + E3 =
10kq 。 9R2
点评：对称法是利用带电体电荷分布具有对称性，或带电体产生的电场具有对称性的
特点来求合电场强度的方法。通常有中心对称、轴对称等。
例 7 如图 6 所示，在一个接地均匀导体球的右侧 P
根据电场强度定义可知感应电荷在 P 点所产生的电场强度 E = F = kdRq 。 q (d 2 R2 )2
6．运用“等效法”求解
例 6．（2013 安徽卷）.如图 5 所示， xOy 平面是无穷大导体的表面，该导体充满 z 0
的空间， z 0 的空间为真空。将电荷为 q 的点电荷置于 z 轴上 z=h 处，则在 xOy 平面上
强电场，其中坐标原点 O 处的电势为 0V，点 A 处的电势为 6V，点 B 处的电势为 3V，则
电场强度的大小为 A
A． 200V / m
B． 200 3V / m
C． 100V / m
D．100 3V / m
（1）在匀强电场中两点间的电势差 U = Ed，d 为两点沿电场强度方向的距离。在一 些非强电场中可以通过取微元或等效的方法来进行求解。
A.k
B. k
图4
C. k
D. k
【解析】:点电荷+q 在 b 点场强为 E1、薄板在 b 点场强为 E2，b 点场强为零是 E1 与
E2 叠加引起的，且两者在此处产生的电场强度大小相等，方向相反，大小 E1 = E2 = kq 。 R2 根据对称性可知，均匀薄板在 d 处所形成的电场强度大小也为 E2，方向水平向左；点
匀带电细杆 MN 可看成是由无数点电荷组成的。a、b、c 三点中，c 点到各个点最大，因此，球上感应电荷产生电场的场强 c 点最大。故正
确选项为 C。
点评：求解感应电荷产生的电场在导体内部的场强，转化为求解场电荷在导体内部的
场强问题，即 E 感 = -E 外 （负号表示方向相反）。
R 2 2Rr cos r 2 R 2 2Rd cos d 2
OP 的夹角，具有任意性。将 Q 代入上式并进行数学变换后得 d2r2 – R4 = (2Rrd2 –
2R3d)cosα，由于对于任意 α 角，该式都成立，因此，r 满足的关系是 r = R 2 。 d
根据库仑定律可知感应电荷与电荷 q 间的相互作用力 F = kqQ = kdRq2 。 (d r)2 (d 2 R2 )2