尺规作图2
华东师大版八年级上册数学教学设计《13.4尺规作图(2)》
华东师大版八年级上册数学教学设计《13.4尺规作图（2）》一. 教材分析华东师大版八年级上册数学《13.4尺规作图（2）》这一节，是在学生已经掌握了尺规作图的基本方法和思想之后进行的一节课程。
在本节课中，学生需要进一步学习如何利用尺规作图来解决一些实际问题，如作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角等。
本节课的内容在数学几何学习中占有重要的地位，不仅可以帮助学生巩固尺规作图的基本技能，还可以培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了尺规作图的基本方法和步骤，对尺规作图有一定的了解和认识。
但是，学生在实际操作中，可能对一些细节问题把握不好，如作图的精确度、作图过程中的注意事项等。
此外，学生在解决实际问题时，可能缺乏思路和方法，需要老师在教学中进行引导和启发。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握尺规作图的基本方法和步骤，能够独立完成尺规作图的任务。
2.过程与方法目标：通过尺规作图的实际操作，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学学习的乐趣，增强学生学习数学的自信心和积极性。
四. 教学重难点1.教学重点：尺规作图的基本方法和步骤。
2.教学难点：如何利用尺规作图解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、启发式教学法和小组合作学习法。
通过提出问题，引导学生思考和探索，激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.教具准备：尺规作图的工具，如直尺、圆规等。
2.教学素材：一些关于尺规作图的实际问题，用于引导学生进行思考和操作。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出一个问题，如“如何用尺规作图作出一条线段等于已知线段？”来引导学生进入本节课的学习主题。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，向学生讲解尺规作图的基本方法和步骤，如如何用尺规作图作出一条线段等于已知线段，如何用尺规作图作出一个角等于已知角等。
华师版八年级上《尺规作图》课件2(21张PPT)
• (2011.青岛）已知：如图线段a和h。 • 求作：△ABC,使AB=AC，BC=a，且BC边上的高AD=h
a
B C
h
A D
2、用尺规作图的方法作出∠BAC的 平分线？
B A
D C
思考：
根据作图，你能证明所作射线AD， 就是∠BAC的角平分线吗？
证明：
由作图过程知：
B A C D
AB＝AC，BD＝CD
又∵AD＝AD
∴△ABD≌ △ACD（SSS）
∴∠BAD＝∠CAD
∴AD是∠BAC的平分线
1.已知∠α与∠β，求作一个角，使 它等于（∠α＋∠β）的一半.
分析：要完成这个作图，先作出等于 （∠α＋∠β）的角，再作平分线即 可．
• 画△ABC，使其两边为已知线段a,b，夹角 为ß .（要求：用尺规作图，写出已知、求作 ；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作 图；不写作法）
a
b
1、试把下图所示的角四等分
A
O
B
1.如图，已知∠A，试画∠B＝1/2∠A. （不写画法，保留作图痕迹）.
D′
O
C
A
A′
1.任意画出两条线段AB和CD，再作一条线段，使 它等于AB+2CD
2.任意画出两个角∠1和∠2，使∠1 > ∠2，再作一个 角，使它等于∠1—∠2
做一做
1、任意画一个角∠BAC ，用折叠的方 法作出它的平分线。
观 察
角是不是轴对称图形？它的对称轴在哪？
角是轴对称图形， 角平分线所在的直线是它的对称轴
(第 1 题)
2.画出图中三角形三个内角的角平分 线.（不写画法，保留作图痕迹）
（第 2 题）
19.4尺规作图
12.8尺规作图2-角平分线 (1)
二.互助探究
环节1----师友探究
1.画一个角∠AOB，尺规作出它的角平分线。
2.在OC上任取一点C，过C点作CD⊥OA于D， 过C点作CE⊥OB于E. 3.你发现CD与CE有什么数量关系？请说明 理由。 4.请用最精炼的语言总结这一规律 8分钟
环节2----教师点拨 角平分线的性质： 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等
A D
P
O
E
B
9分钟
四.总结归纳
环节1----师友总结
1、这节课你学会了哪些知识和学习方法？ 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 SSS 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 运用全等 3.会对的学师（友）提一条学习建议？ 4分钟
五.巩固反馈
作业：
1. 练习册61-62页
1分钟
定理：到角两边距离相等的点在这个角
的平分线上
3分钟
三.分层提高
环节1----师友探究
例1：如图,AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB, 垂足为点E， DF⊥AC，垂足为F,且BD=CD 求证：BE=CF
B D E
A
F
C
9分钟
三.分层提高
环节2----师友探究
例2：如图, PD⊥OA,垂足为点D， PE⊥OB， 垂足为E,且PD=PE 求证:点P在∠AOB的平分线上
12.8尺规作图—角平分线
角平分线
学习目标： 1.会用尺规作已知角的角平分线，知道 其依据。 2.探索并证明角平分线的性质定理和逆定 理； 3.会对角平分线的性质进行简单的应用。
2分钟
一.预习交流
环节1----学生动手操作 按以下步骤画图 1.画一个角∠AOB；
2.以O为圆心，以任意长为半径画弧，交OA与D，
第44课时：尺规作图(2)
第44课时 尺规作图（2）班级________姓名________学号________一、中考考点：1、了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会用准确的作图语言写已知、求作和作法（不要求证明）．2、运用尺规基本作图解决有关的作图问题． 二、典型例题：例１、如图A 、B 、C 三点表示三个城市．现计划要建一个电厂为三个城市供电，使它到三个城市的距离相等．(1)在图中作出电厂O 的位置,写出作法；(2)如再建一个物资批发站,使物资批发站到电厂的距离也等于电厂到三个城市的距离,且物资批发站P 到A 、C 两个城市的距离相等，物资批发站应建在何处？请作出其位置．例2、某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给4位农户，请你设计两种不同的分配方案．(在已给的图形中直接画图，保留画图痕迹，不写画法)例3、如图，小云在为班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形,保留作图痕迹,并简要写出作法．例4、在平面直角坐标系内,已知点A(2,1), o 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k,(有k 个就标到P K 为止,不必写出画法)例5、某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角布料，现找出其中一种，如图所示，测得∠C=90°，AC=BC=4，现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形，做成不同形状的玩具，要求使扇形的半径恰好在△ABC 的边上，且扇形的弧与△ABC 的其它边相切．请你在下面备用的等腰直角三角形中,设计出所有符合要求的不同的方案示意图,并求出扇形的半径．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）初三数学第一轮复习（44）A B C Ａ Ｂ A BC5cm14cmCB O A 三、课后作业：１、已知△ABC ，读下列语句，并按要求在图中用尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹） （1）作∠B 的平分线，交AC 于D ；（2）作BC 边的垂直平分线交BD 于P ，交BC 边于点E ，若以点P 为圆心，PE 为半径作圆，则⊙P 与AB 的位置关系是_______________．（3）在（2）的条件下，⊙P 与AC 一定相切吗？△ABC 满足什么条件时，⊙P 与AC 相切？2、如图，有一座石拱桥的桥拱是以O 为圆心，OA 为半径的一段圆弧．⑴请你确定弧AB 的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明) ⑵若∠AOB=120°，OA=4米，请求出石拱桥的高度．3、有一横断面为等腰梯形ABCD 的防洪堤被洪水冲掉一角后，其形状如下图所示： (1)请用尺规作图的方法将这个等腰梯形补充完整(不写作法，保留作图痕迹) (2)已知AB=6，BC=6，∠A=30°．求这个横断面的面积．4、如图，己知△ABC 中，AB ＞AC ．试用直尺(不带刻度)和圆规在图中过点A 作一条直线l ，使点C 关于直线l 的对称点在边AB 上(不要求写作法，也不必说明理由，但要保留作图痕迹)．5、如图，木工师傅要把一块矩形木板ABCD 的四个角锯成半径为5cm ，且与两边相切的圆弧形，请你帮助师傅设计一种方案，并在木板上把一个角的圆弧线作出来（保留作图痕迹，不写作法）6、如图1，M N ，分别表示边长为a 的等边三角形和正方形，P 表示直径为a 的圆．图2是选择基本图形M P ，用尺规画出的图案，2248S a a π=-阴影．（1）请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；（尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板）（27、如图，A 、B 两点是平面内两个点，在平面内找一点C ，使△ABC 构成等腰直角三角形，且C 为直角顶点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）··BA 图2 图1。
华师版八年级数学上册《 13.4 尺规作图(2)》教学设计
13.4 尺规作图(2)13.5 逆命题与逆定理1．互逆命题与互逆定理一.教学目标：1. 理解互逆命题与互逆定理2. 正确应用互逆命题与互逆定理.3、区分互逆命题与互逆定理二.教学要点：区分互逆命题与互逆定理三.教学重点：区分互逆命题与互逆定理四.教学难点：理解互逆命题与互逆定理五．教学过程我们已经知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题．例如“两直线平行，内错角相等”、“内错角相等，两直线平行”都是命题．上面两个命题的题设和结论恰好互换了位置．一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．命题“两直线平行，内错角相等”的题设为____________________________________；结论为：__________________________________．因此它的逆命题为_____________________________________________．每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题．但是原命题正确，它的逆命题未必正确．例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题．如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．练习1．说出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题：（1）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；（2）等边三角形的每个角都等于60°；（3）全等三角形的对应角相等；（4）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上；（5）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．2．举例说明下列命题的逆命题是假命题：（1）如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；（2）如果两个角都是直角，那么这两个角相等．3．在你所学过的知识内容中，有没有原命题与逆命题都正确的例子（即互逆定理）？试举出几对．课堂小结：总结一下你所学过的知识作业：六、教学反思：。
尺规作图二
尺规作图二1.．用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是．2．阅读下面材料：实际生活中，有时会遇到一些“不能接近的角”，如图中的∠P，我们可以采用下面的方法作一条直线平分∠P．如图，（1）作直线l与∠P的两边分别交于点A，B，分别作∠PAB和∠PBA的角平分线，两条角平分线相交于点M；（2）作直线k与∠P的两边分别交于点C，D，分别作∠PCD和∠PDC的角平分线，两条角平分线相交于点N；（3）作直线MN．所以，直线MN平分∠P．请回答：上面作图方法的依据是．3．下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．4．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD 长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是．5．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E．②分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．③画射线OC．所以射线OC为所求∠AOB的平分线．根据上述作图步骤，回答下列问题：（1）写出一个正确的结论：．（2）如果在OC上任取一点M，那么点M到OA、OB的距离相等．依据是：．6．数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；（2）再用直尺的一边贴在∠AOB 的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．请回答：小明的画图依据是．7．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧MN是以点为圆心，为半径的弧．8．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一个角的平分线．已知：如图1，∠AOB．求作：射线OC，使它平分∠AOB．小米的作法如下：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；（2）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC．所以射线OC就是所求作的射线．老师说：“小米的作法正确．”请回答：小米的作图依据是．9．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．10．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小敏的作法如下：老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是．11．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确；这位同学作图的依据是．已知：如图1，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCD小明的作法如下：如图2：（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧；（2）以点A为圆心，BC长为半径画弧；（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是．13．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：已知：如图1，Rt△ABC，∠C=90°．求作：Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE=CB．小芸的作图步骤如下：如图2：（1）作线段FE=CB；（2）过点F作GF⊥FE于点F；（3）以点E为圆心、AB的长为半径作弧，交射线FG于点D，连接DE，所以△DEF即为所求作的直角三角形．老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．请回答：得到DF=AC的依据是．小明的作图过程如下：老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样作图的依据是．15．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．（如图1）小芸的作法如下：如图2（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点．（2）作直线CD老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．16．在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下：如图，（1）任取两点A，B，画直线AB．（2）分别过点A，B作直线AB的两条直线AC，BD；则直线AC、BD即为所求．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是．17．已知：线段AC，如图1．求作：以线段AC为对角线的一个菱形ABCD．作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC点于O；（2）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线MN于点B，D；（3）顺次连结点A，B，C，D．则四边形ABCD即为所求作的菱形．请回答：上面尺规作图2作出菱形ABCD的依据是．18．平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确的画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；第三步：沿直尺下移三角尺；第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到AB∥CD．这样做的理论依据是．19．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取两点B，C；（2）以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；（3）作直线AD．直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是．20．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．21．如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是．22．已知△ABC，小明利用下述方法作出了△ABC的一条角平分线．小明的作法：（1）过点B作与AC平行的射线BM；（边AC与射线BM位于边BC的异侧）（2）在射线BM上取一点D，使得BD=BA；（3）连结AD，交BC于点E．线段AE即为所求．小明的作法所蕴含的数学道理为．23．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是．24．“已知点P在直线l 上，利用尺规作图过点P作直线PQ⊥l”的作图方法如下：①以点P为圆心，以任意长为半径画弧，交直线l于A、B两点；②分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点Q；③连接PQ．则直线PQ⊥l．请说明此方法依据的数学原理是．25．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小强的作法如下：老师说：“小强的作法正确．”请回答：小强用直尺和圆规作图∠A'′O′B′=∠AOB，根据三角形全等的判定方法中的，得出△D′O′C′≌△DOC，才能证明∠A′O′B′=∠AOB．26．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是．27．小明四等分弧AB，他的作法如下：（1）连接AB（如图）；（2）作AB的垂直平分线CD交弧AB于点M，交AB于点T；（3）分别作AT，TB的垂直平分线EF，GH，交弧AB于N，P两点，则N，M，P 三点把弧AB四等分．你认为小明的作法是否正确：，理由是．28．阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P为⊙O外一点．求作：经过点P的⊙O的切线．小敏的作法如下：如图，（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是．尺规作图二参考答案与试题解析1. 用直尺和圆规作一个角等于已知角得到两个角相等的依据是SSS．【解答】解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，故答案为SSS．2. 阅读下面材料：实际生活中，有时会遇到一些“不能接近的角”，如图中的∠P，我们可以采用下面的方法作一条直线平分∠P．如图，（1）作直线l与∠P的两边分别交于点A，B，分别作∠PAB和∠PBA的角平分线，两条角平分线相交于点M；（2）作直线k与∠P的两边分别交于点C，D，分别作∠PCD和∠PDC的角平分线，两条角平分线相交于点N；（3）作直线MN．所以，直线MN平分∠P．请回答：上面作图方法的依据是三角形三个内角的平分线相交于一点．【解答】解：由作法得点M为△PAB的角平分线的交点，根据三角形三个内角的平分线相交于一点，则∠P的平分线必过点M，同样，点N为△PCD的角平分线的交点，则∠P的平分线必过点N，所以直线MN平分∠P．故答案为三角形三个内角的平分线相交于一点．3. 下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上）．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．4. 阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过已知直线上一点作这条直线的垂线．已知：直线AB和AB上一点C．求作：AB的垂线，使它经过点C．小艾的作法如下：如图，（1）在直线AB上取一点D，使点D与点C不重合，以点C为圆心，CD 长为半径作弧，交AB于D，E两点；（2）分别以点D和点E为圆心，大于DE 长为半径作弧，两弧相交于点F；（3）作直线CF．所以直线CF就是所求作的垂线．老师表扬了小艾的作法是对的．请回答：小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．【解答】解：分别以点D和点E为圆心，大于DE长为半径作弧，两弧相交于点F，小艾这样作图的依据是等腰三角形的“三线合一”，作直线CF，依据是：两点确定一条直线．故答案为：等腰三角形的“三线合一”，两点确定一条直线．5．如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E．②分别以D，E为圆心，大于DE长为半径画弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．③画射线OC．所以射线OC为所求∠AOB的平分线．根据上述作图步骤，回答下列问题：（1）写出一个正确的结论：OD=OE．（2）如果在OC上任取一点M，那么点M到OA、OB的距离相等．依据是：角平分线上的点到角两边距离相等．【解答】解：（1）OD=OE或DC=EC或OC平分∠AOB等等均可；（2）角平分线上的点到角两边距离相等．故答案为OD=OE，角平分线上的点到角两边距离相等．6．数学课上，同学们兴致勃勃地尝试着利用不同画图工具画一个角的平分线．小明用直尺画角平分线的方法如下：（1）用直尺的一边贴在∠AOB 的OA边上，沿着直尺的另一条边画直线m；（2）再用直尺的一边贴在∠AOB 的OB边上，沿着直尺的另一条边画直线n，直线m与直线n交于点D；（3）作射线OD．射线OD是∠AOB的平分线．请回答：小明的画图依据是菱形的每一条对角线平分一组对角．【解答】解：由画法可知，四边形PEOC为菱形，所以OD平分∠AOB．故答案为菱形的每一条对角线平分一组对角．7．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是SSS；（2）他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD为半径的弧．【解答】解：（1）小明的作图依据是SSS定理．故答案为：SSS；（2）他所画的痕迹弧MN是以点E为圆心，CD为半径的弧．故答案为：E，CD．8．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一个角的平分线．已知：如图1，∠AOB．求作：射线OC，使它平分∠AOB．小米的作法如下：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于点D，交OB于点E；（2）分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点C；（3）作射线OC．所以射线OC就是所求作的射线．老师说：“小米的作法正确．”请回答：小米的作图依据是全等三角形的判定定理“SSS”和全等三角形的性质．【解答】解：由作法得到OE=OD，CE=CD，而OC=OC，则可根据“SSS”判定△OEC ≌△ODC，根据三角形全等的性质得∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．故答案为：全等三角形的判定定理“SSS”和全等三角形的性质．9．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B，以点B为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点C；（2）分别以A，C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；（3）作直线AD．所以直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．【解答】解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．（本题答案不唯一）．故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．10．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小敏的作法如下：老师说：“小敏的作法正确．”请回答：小敏的作图依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．【解答】解：小敏的作图依据是：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形．11．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC=BC．甲、乙、丙、丁四位同学的主要作法如下：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．请你判断哪位同学的作法正确丁同学；这位同学作图的依据是垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．【解答】解：甲同学的作法：如图甲：以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC 于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；乙同学的作法：如图乙：作线段AC的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丙同学的作法：如图丙：以点C为圆心，CA长为半径画弧，交BC于点P，则点P就是所求的点．无法得出AP=BP，故无法得出PA+PC=BC，故此选项错误；丁同学的作法：如图丁：作线段AB的垂直平分线交BC于点P，则点P就是所求的点，可得：AP=BP，则PA+PC=BC．故答案为：丁；垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；等量代换．12．在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图1，线段AB，BC，求作：平行四边形ABCD小明的作法如下：如图2：（1）以点C为圆心，AB长为半径画弧；（2）以点A为圆心，BC长为半径画弧；（3）两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD为所求作平行四边形老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是两组对边分别相等的四边形为平行四边形．【解答】解：由作法可得CD=AB，AD=BC，所以四边形ABCD为平行四边形．故答案为：两组对边分别相等的四边形为平行四边形．13．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：已知：如图1，Rt△ABC，∠C=90°．求作：Rt△DEF，使∠DFE=90°，DE=AB，FE=CB．小芸的作图步骤如下：如图2：（1）作线段FE=CB；（2）过点F作GF⊥FE于点F；（3）以点E为圆心、AB的长为半径作弧，交射线FG于点D，连接DE，所以△DEF即为所求作的直角三角形．老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．请回答：得到DF=AC的依据是斜边、直角边（基本事实），全等三角形对应边相等，或全等三角形对应边相等，勾股定理．【解答】解：由作法得，FE=CB，DE=AB，GF⊥FE，∴∠DFE=∠ACB=90°，在Rt△ACB和Rt△DFE中，∴Rt△ACB≌Rt△DFE，∴AC=DF，故答案为：斜边、直角边（基本事实），全等三角形对应边相等，或全等三角形对应边相等，勾股定理．14．在数学课上，老师提出如下问题：小明的作图过程如下：老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样作图的依据是有一个角为直角的平行四边形为矩形．【解答】解：小明的作法正确．因为AM=CM，BM=DM，所以四边形ABCD为平行四边形，而∠ABC=90°，所以四边形ABCD为矩形．故答案为有一个角为直角的平行四边形为矩形．15．阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB．（如图1）小芸的作法如下：如图2（1）分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D 两点．（2）作直线CD老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上．【解答】解：小芸的作图依据是：到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上．故答案为：到线段两端点相等的点在线段的垂直平分线上．16．在数学课上，老师要求同学们利用一副三角板任作两条平行线．小明的作法如下：如图，（1）任取两点A，B，画直线AB．（2）分别过点A，B作直线AB的两条直线AC，BD；则直线AC、BD即为所求．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明的作图依据是同位角相等，两直线平行．【解答】解：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴AC∥BD．故答案为：同位角相等，两直线平行．17. 已知：线段AC，如图1．求作：以线段AC为对角线的一个菱形ABCD．作法：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC点于O；（2）以点O为圆心，任意长为半径画弧，交直线MN于点B，D；（3）顺次连结点A，B，C，D．则四边形ABCD即为所求作的菱形．请回答：上面尺规作图2作出菱形ABCD的依据是对角线互相垂直平分的四边形是菱形．【解答】解：∵由作法可知．AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．18. 平行线在生活中应用很广泛，人们为了准确的画出平行线，往往利用三角尺和直尺按照下面的方法去做：第一步：作直线AB，并用三角尺的一条边贴住直线AB；第二步：用直尺紧靠三角尺的另一条边；第三步：沿直尺下移三角尺；第四步：沿三角尺的边作出直线CD．这样，就得到AB∥CD．这样做的理论依据是同位角相等，两直线平行．【解答】解：∵∠1=∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），故答案为：同位角相等，两直线平行．19. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点A．小云的作法如下：（1）在直线l上任取两点B，C；（2）以A为圆心，以BC长为半径作弧；以C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧相交于点D；（3）作直线AD．直线AD即为所求．老师说：“小云的作法正确．”请回答：小云的作图依据是四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平行四边形对边平行；两点确定一条直线．（此题答案不唯一，能够完整地说明依据且正确即可）．【解答】解：由题意可得，小云的作图依据是：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．（本题答案不唯一）．故答案为：四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对边平行．20. 阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：小敏的作法如下：老师认为小敏的作法正确．请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP=∠OBP=90°，其依据是直径所对的圆周角是直角；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【解答】解：∵OP是⊙O的直径，∴∠OAP=∠OBP=90°．∴直线PA，PB都是⊙O的切线．故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．21. 如图，用直尺和圆规画∠AOB的平分线OE，其理论依据是全等三角形，对应角相等．【解答】解：连接CE、DE，在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE（SSS），∴∠AOE=∠BOE．因此画∠AOB的平分线OE，其理论依据是：全等三角形，对应角相等．22. 已知△ABC，小明利用下述方法作出了△ABC的一条角平分线．小明的作法：（1）过点B作与AC平行的射线BM；（边AC与射线BM位于边BC的异侧）（2）在射线BM上取一点D，使得BD=BA；（3）连结AD，交BC于点E．线段AE即为所求．小明的作法所蕴含的数学道理为等边对等角；两直线平行，内错角相等．【解答】解：∵AB=DB，∴∠BAD=∠BDA（等边对等角），∵AB∥AC，∴∠BDA=∠DAC（两直线平行，内错角相等），∴∠BAE=∠CAE（等量代换），即AE平分∠BAC．故答案为：等边对等角；两直线平行，内错角相等．23. 阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．【解答】解：∵CA=CB，DA=DB，∴CD垂直平分AB（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．）故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．24. “已知点P在直线l 上，利用尺规作图过点P作直线PQ⊥l”的作图方法如下：①以点P为圆心，以任意长为半径画弧，交直线l于A、B两点；②分别以A、B两点为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧交于点Q；③连接PQ．则直线PQ⊥l．请说明此方法依据的数学原理是三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．．【解答】解：三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．注：此题答案不唯一．故答案为三线合一或到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．25.、阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小强的作法如下：老师说：“小强的作法正确．”请回答：小强用直尺和圆规作图∠A'′O′B′=∠AOB，根据三角形全等的判定方法中。
尺规作图2
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴ PA=PB
A
C
B
N
线段的垂直平分线
一、性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等。 二、逆定理：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上。
点P在线段 AB的垂直 平分线上
线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点的距离相等
PA=PB
到线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上
3、如图PA=PB，则 直线MN是线段AB的 垂直平分线。
线段的垂直平分线
例1 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：点P在AC的垂直平分线上;
分析：
点P在线段AB的 垂直平分线上 PA=PB 点P在线段BC的 垂直平分线上 PB=PC
B
A M
M’
P C N N’
PA=PB=PC ∵PA=PC ∴点P在AC的垂直平分线上
在烟威高速公路L的同侧，有两个化 工厂A、B，为了便于两厂的工人看病 市政府计划在公路边上修建一所医院， 使得两个工厂的工人都没意见，问医 B 院的院址应选在何处？
烟威 高 速 公 路
A
威海市政府为了方便居民的生活，计划在 三个住宅小区 A、 B、C之间修建一个购物 中心，试问，该购物中心应建于何处，才 能使得它到三个小区的距离相等。
线段的垂直平分线
动手操作：作线段AB的中垂线MN，垂
足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB； M P
量一量：PA、PB的长，你能发现什么？
PA=PB P1A=P1B ……
由此你能得出什么规律
命题：线段垂直平分线上的
点到这条线段两个端点的距 离相等。
八年级数学上册《尺规作图(2)》参考课件
作法：
(1)做线段BC＝a, (2)以C为圆心, b为半径画弧
(3)以B为圆心, c为半径画弧 两弧相交于点A
(4ห้องสมุดไป่ตู้连接AB,AC SSS:三边对应相等的 则△ABC为所求作的三角形
B
C
M
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1.已知线段a，求作等边三角形ABC，使其边长为a.
a
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已知：线段a， c， ∠α ，求作：△ABC，使BC＝ a， E AB＝ c， ∠ABC ＝∠α a c a D
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课堂小结
这节课我们学习了： （1）已知三边作三角形；
（2）已知两边及其夹角作三角形。
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1.3 尺规作图（二）
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实验与探究：
我们知道一个三角形中有六个元素，那么 已知其中的哪些元素就可作出这个三角形呢？
①已知三边； ②已知两边及其夹角； ③已知两角及其夹边；
④已知两角和其中一角的对边。
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已知三角形的三边求作三角形
已知:线段a,b,c
a b c
求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c
已知三角形的两边及其夹角，求作三角形
作法与示范
A
E′ D′ C
N
SAS:两边及其夹角对应 作法 相等的两个三角形全等 .
(1)作∠MBN＝ ∠α
B
M
(2)在射线B M上截取BC＝ a, 在射线B N上截取BA＝ c，
△ABC为所求作的三角形
(3)连接AC
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2.如图，线段a， ∠α ，求作：△ABC，使AB＝AC ＝ a， ∠A＝∠α。
a
a
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尺规作图2
2012年尺规作图2深圳市菁优网络科技有限公司一、解答题（共30小题）1、（2006•杭州）已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．2、（2006•长沙）如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB（要求保留作图痕迹）．3、（2005•天水）如图，己知AB，求作：确定AB的圆心O．4、（2005•南通）已知：∠AOB，点M、N．求作：点Q，使点P在∠AOB的平分线上，且QM=QN．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）5、（2005•锦州）如图，己知四边形ABCD，用尺规将它放大，使放大前后的图形对应线段的比为1：2．（不写作法，但保留作图痕迹）6、（2004•西宁）如图，A、B是平面上两个定点，在平面上找一点C，使△ABC构成等腰直角三角形，且C为直角顶点，请问这样的点有几个？并在图中作出所有符合条件的点．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）7、（2004•乌鲁木齐）某市为筹办一个大型运动会，该市政府打算修建一个大型体育心中，在选址过程中，有人建议该体育中心所在位置应到该市三条主要公路的距离相等，若采纳此人建议，请你在图中作出体育中心的位置．（不写作法，保留作图痕迹）8、（2004•山西）某服装厂里有大量剩余的等腰直角三角形边角料，现找出其中一种，测得∠C=90°，AC=BC（如图），现要从这种三角形中剪出几种不同的扇形，做成不同形状的玩具，要求使扇形的半径恰好在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请你在下面备用的等腰直角三角形中，设计出所有符合要求的不同的方案示意图．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）9、（2003•湘潭）如图，107国道OA和302国道OB在甲市相交于点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使P到OA，OB的距离相等，且使PC=PD，试确定出点P的位置．（不写作法，保留作图痕迹，写出结论）10、（2003•汕头）如图，已知在△ABC中，∠A=90°，请用圆规和直尺作⊙P，使圆心P在AC上，且与AB、BC两边都相切．（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）11、（2003•青岛）某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流L边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？请你在图上画出这一点．12、（2003•辽宁）如图，已知：AB．求作：（1）确定AB的圆心O；（2）过点A且与⊙O相切的直线；13、（2003•广州）已知：线段a（如图）求作：（1）△ABC，使AB=BC=CA=a；（2）⊙O，使它内切于△ABC（说明：要求写出作法）14、（2003•广东）如图，AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和一条对角线，请用尺规把这个菱形补充完整．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）15、（2003•滨州）如图，某住宅小区拟在休闲场地的三条道路上修建三个凉亭A、B、C且凉亭用长廊两两连通．如果凉亭A、B的位置己经选定，那么凉亭C建在什么位置，才能使工程造价最低？请用尺规作出图形（不写作法，但保留作图痕迹），并简要说明理由．16、（2002•益阳）巳知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求作：Rt△ABC的外接圆⊙O．（用直尺、圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）17、（2002•山西）如图，有一破残的轮片，现要制作一个与原轮片同样大小的圆形零件．请你根据所学的有关知识，设计两种方案，确定这个圆形零件的半径．18、（2002•龙岩）已知：M、N分别在∠AOB的边OA、OB上．求作：以MN为底边的等腰△MNP，使点P在∠AOB的平分线OC上．（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）19、（2002•兰州）已知△ABC，求作△ABC的内切圆．20、（2002•黄冈）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图）．现找出其中的一种，测得∠C=90°，AC=BC=4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在△ABC的边上，且扇形的弧与△ABC的其它边相切．请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）21、（2002•甘肃）制作铁皮桶，需在一块三角形余料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．22、（2002•大连）已知：有公共端点的线段AB、BC（如图），求作：⊙O，使它经过点A、B、C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．23、（2002•长沙）如图，A、B是两个蓄水池，都在河流的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但保留作图痕迹）24、（2001•嘉兴）如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M，N分别是位于公路AB两侧的村庄．（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近．请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置（保留画图痕迹）．（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留画图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由．25、（2001•广州）如图，有一块锐角三角形的木板，现要把它截成半圆形板块（圆心在BC上）．问怎样截取才能使截出的半圆形的面积最大？（要求说明理由）26、（2001•甘肃）如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．27、（1999•天津）请找出下图圆中的圆心，并写出你找圆心的方法．（不要求证明）28、（1999•山西）如图，请作出由A地经过B地去河边l的最短路线．（要求：用尺规作图，只保留作图痕迹，不写作法）29、（1999•青岛）已知：线段a，m（如图）．求作：等腰△ABC，使底边BC=a，底边上的中线AD=m．30、（1999•哈尔滨）如上图，求作一点P，使PC=PD，并且点P到∠AOB两边距离相等．（保留作图痕迹）答案与评分标准一、解答题（共30小题）1、（2006•杭州）已知角α和线段c如图所示，求作等腰三角形ABC，使其底角∠B=α，腰长AB=c．要求仅用直尺和圆规作图，写出作法，并保留作图痕迹．考点：作图—复杂作图。
尺规作图练习二
尺规作图（练习二）1、已知线段AB．（1）作图：延长线段AB到C，使得BC=2AB；（2）当AB的长等于2cm时，求线段AC的长．2、如图所示，AB=4 cm．（1）画图，延长AB到C，使BC=3 cm；（2）如果点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，那么线段DE的长度是多少？3、如图，已知∠AOB和射线O′B′，用尺规作图法作∠A′O′B′=∠AOB（要求保留作图痕迹）．4、已知：如图，点C、E均在直线AB上．（1）在图中作∠FEB，使∠FEB=∠DCB（保留作图痕迹，不写作法）；（2）请说出射线EF与射线CD的位置关系．5、如图：打台球时，小球由A点出发撞击到台球桌边CD的点O处，请用尺规作图的方法作出小球反弹后的运动方向．6、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=72°．（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．7、如图，已知∠AOB=120°，在∠AOB所在平面内画∠BOC，（1）若∠BOC=20°，求∠AOC的度数；（2）画∠AOC、∠BOC的平分线OD、OE，求∠DOE的度数．8、如图所示，在△ABC中，∠ABC=∠ACB．（1）尺规作图：过顶点A作△ABC的角平分线AD；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在AD上任取一点E，连接BE、CE．求证：△ABE≌△ACE．9、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．（1）尺规作图：作∠B的平分线BD．（保留作图痕迹，不写作法）（2）若BD交AC于点P．请你判断BP+CP与AB大小关系，说明理由．10、已知，如图，在△ABC中，AB＜AC．（1）在△ABC内部画∠CBD=∠C，BD与AC相交于点D；（2）画△BDC的角平分线DE；（3）度量BE与CE，你发现它们之间有何关系？请你说明这种关系的理由．11、一副三角板中含有30°，45°，60°，90°四种角，用这些角结合起来，还可以画出135°的角，画的方法如图：（1）请你再画出105°、165°的角；（只要画出图形，标出有关度数）（2）用一副三角板还能画出哪些小于平角的角．12、请同学们动手用圆规和直尺完成下面作图：（1）已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OP；（2）已知线段CD，求作CD的垂直平分线EF．13、如图，在每个小正方形的边长都为1的方格纸上有线段AB和点C．（1）连接线段BC、AC；（2）过点C画直线AB的垂线，垂足为点D；（3）求△ABC的面积．14、如图，在△ABC中，作∠ABC的平分线BD，交AC于D，作线段BD的垂直平分线EF，分别交AB于E，BC于F，垂足为O，连接DF．在所作图中，寻找一对全等三角形，并加以证明。
八年级数学《尺规作图(2)角平分线、垂线和中垂线》课件
❖什么垂直平分线？
（过线段的中点，垂直这条线段的 直线）
❖线段垂直平分线有哪些特征？
（线段的垂直平分线上的点到线段 两端点的距离相等；反过来，到线 段两端点距离相等的点在线段的垂 直平分线上）
❖已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组 讨论交流一下。
2、试把一个钝角四等分。
3、任意画一个三角形，画出三个内角的角 平分线.（不写画法，保留作图痕迹）
4、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、经过一点作已知直线的垂线
1、如图，点C在直线上，试过点C画出直线的 垂线。
2、如图，如果点C不在直线上，试和同学讨论， 应采取怎样的步骤，过点C画出直线的垂线？
挑战自我
1、已知：角∠α，线段m。 求作：等腰三角形△ABC，使其顶角
∠BAC=∠α， ∠BAC的平分线为m。
2、AB、AC分别是菱形ABCD的一条边和对 角线，请你用尺规把这个菱形补充完整。
C
A
B
3、A、B是两个村庄，要从灌溉总渠引两 条水渠便于灌溉，请你选择最佳方案。
B A
灌溉总渠
4、如图，已知线段a，h， 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高为h
第19章 全等三角形 19.3 尺规作图
基本作图
❖在几何里,把限定用直尺和圆规来画 图,称为尺规作图.最基本,最常用的尺 规作图,通常称基本作图.
❖ 其中,直尺是没有刻度的;
❖ 一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的. 以前学过的”作一条线段等于已知线段”,就 是一种基本作图.
❖ 下面介绍几种基本作图:
华东师大版八年级数学上册13.4.2尺规作图(2)导学案
南城中学八年级数学导学案班级：编制：八年级数学备课组课题：13.4.2尺规作图(2) 课时：第课时学习目标：1.了解两种基本作图：经过一已知点作已知直线的垂线；作已知线段的垂直平分线.并能掌握基本步骤.2.会解尺规作图题，会写已知、求作和作法，能掌握准确的作图语言.重点：画图.难点：作图的主要画法及尺规作图的应用.预习案阅读教材P88-89内容，并解决下面问题.1.点和直线的位置关系有两种：⑴；⑵.2.“经过已知直线上一点作这条直线的垂线”的实质是作一个平角的并反向延长；“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”实质是相当于作一个的角平分线.3.用尺规作线段AB的垂直平分线.(不写作法保留作图痕迹)探究案探究一按教材画法画过一点作已知点垂线3.过点C作直线AB的垂线的思想方法是把这个问题转化为作_________ 的方法来解决. 探究二过一点作直线的垂线的应用4.利用直尺和圆规作一个等于45°的角．探究三作已知线段的垂直平分线作线段AB的垂直平分线.练习案1.用尺规作图，不能作出唯一三角形的( )A.已知两角和夹边B.已知两边和其中一边的对角C.已知两边和夹角D.已知两角和其中一角的对边2.用尺规作图，不能作出唯一直角三角形的是( )A.已知两条直角边B.已知两个锐角C.已知一直角边和一锐角D.已知斜边和一直角边姓名：BA1.如图1经过已知直线AB和AB上一点C，求作出直线AB的垂线.2.如图2,经过已知直线AB和AB外一点C，求作出直线AB的垂线.BA A BB3.如图1，过点P 作∠O 两边的垂线．8.如图6，作△ABC 边BC 上的高和AB 边的垂直平分线．4.如图2,请把线段AB 四等分.5.如图3,已知∠AOB ，作∠AOB 的平分线OC ，并在OC 上取一点P ，过P 作∠AOB 的两条边的垂线，垂足为M 、N ，探究PM 与PN 有怎样的大小关系.6.画一个等腰△ABC ，使底边长BC=a ，底边上的高为h ，如图4,(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明).7.已知：如图5，线段a ，b ，a ＞b .求作：Rt △ABC ，使∠C=90°，AC=a ，BC=b .*9.如图⑴,已知直线l 及l 同旁的两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使AP ＋PB 的值最小.变式：如图⑵,在直线l 上求作一点P ，使PB －AP 的值最大.变式：如图⑶,在直线l 上求作一点P ，使|PB －AP|的值最小(或距离相等).ah图4图1B O A 图5a b l ⑴ l ⑵ A B C图6l ⑶。
2017年秋季新版浙教版八年级上学期1.6、尺规作图课件2
（来自《典中点》）
知1－讲
【例2】 已知线段AB，如图所示．
(1)用直尺和圆规求作线段AB的中点；
(2)用直尺和圆规将线段AB四等分．
导引：(1)求作线段AB的中点可转化为求作线段AB的垂直
平分线，垂直平分线与线段AB的交点O即为所求； (2)在(1)的基础上，分别作OA，OB的垂直平分线即 可．
第1章
三角形的初步知识
1.6
尺规作图
1
2
课堂讲解 课时流程
逐点 导讲练
尺规作图 用尺规作三角形
课堂 小结
作业 提升
据传为了显示谁的逻辑思维能力更强，古希腊人 限制了几 何作图的工具，结果一些普通的画图题让数 学家苦苦思索 了两千多年.尺规作图特有的魅力，使 无数人沉湎其中.
知1－导
知识点
1
尺规作图
1 已知线段AB(如图）,用直尺和圆规平分线段AB.
（来自《教材》）
知1－练
乐山)如图，已知线段AB. 2 (中考· (1)用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l (保留作图痕迹，不要求写出作法)； (2)在(1)中所作的直线l上任意取两点M，N(线段 AB的上方)，连结AM、AN、BM、BN.
2.作一条射线O′ A′,以点O′为圆心，(OC长为 半径作弧l，交 O′ A ′于点C ′(图2).
图2
3.以点C′为圆心，CD长为半径作弧，交弧l于点 D'.
知1－讲
4.过点O′，D'作射线 O′ B ′.∠A′O′B′就是所求作的角. 事实上，如图1和图2,连结CD, C′ D′. 在△OCD 与
△ O′ C′ D′中，
∵ OC OC (作法)，
OD O D(作法)， CD C D(作法).
19.3.2尺规作图第二课
作角的平分线，实际上就是平分已知角。作
已知角的平分线的理论依据是判定三角形全 等的“边边边”。 用“SSS”公理易证△OEC ≌ △ODC， ∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于 是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在 于怎样才能找到起关键作用的点C？
尺规作图
作已知角的平分线
学习目标
1、掌握作已知角的平分线的方法及步骤； 2、通过画图，培养学生的作图能力及动
手能力；
Байду номын сангаас
自学指导
仔细看课本P87“试一试”中的问题 （1）动手操作：用直尺和圆规准确地作出
∠AOB的平分线（记住其方法和步骤） （2）会证明作出的射线是否符合要求？能 写出证明过程。
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1.经过已知直线上的一点作已知直 线的垂线
已知:直线AB和AB上一点C 求作:AB的垂线,使它经过点C. A C B
作法: 作平角ACB的角平分线 .
直线CF就是所求
2.经过已知直线外一点作已知直线 的垂线
已知:直线AB和AB外一点C 求作:AB的垂线,使它经过点C.
A
C B
（1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，交于A、B 两点； （3）分别以A、B两点为圆心，以大于 长为半径画弧，两弧相交于D点； （4）过C、D两点作直线CD. 所以，直线CD就是所求作的. 学生动手操作
两弧的交点分别记为C、D，连结CD，则CD是线段AB 的垂直平分线．
你能证明这样的作出的直线是否符合要求吗？
探索研究:
A
107国道 D
O
C
B
320国道
1.如图:107国道OA和320国道OB在某市相交于点O, 在∠AOB的内部有工厂C和D,现要修建一个货站P, 使P到OA、OB的距离相等且PC=PD,用尺规作出货站 P的位置(不写作法,保留作图痕迹,写出结论)
(5)作已知线段的垂直平分线（中垂线） 定义: 垂直 于一条线段并且 平分 这条线段的直线 ,叫做线段的垂直平分线（或叫中垂线）.
已知：线段AB， 求作：作直线CD交AB于O，使CD⊥AB,AO=BO.
步骤： 1、以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧； 2、以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，
探索研究:
2、三条公路两两相交，交点分别为A，B，C， 现计划建一个加油站，要求到三条公路的距离 相等，问满足要求的加油站地址有几种情况？
A B
C
五种基本作图 (1)作一条线段等于已知线段
(2)作一个角等于已知角
(3)作一个角的平分线 (4)作已知线段的中垂线
(5)过一点作已知直线的垂线
1、如图，过点P 画∠O两边的垂线.
尺规作图2
2020/8/24
复习 1、什么叫做尺规作图？ （限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图） 2、用尺规作图 （1）作一条线段等于已知线段； （2）作一个角等于已知角； （3）作已知角的平分线
经过一点作已知直线的垂线
1.经过已知直线上的一点作已知 直线的垂线
2.经过已知直线外一点作已知 直线的垂线
2、如图，画△ABC边BC上的高.
如图，已知线段a，h， 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高为h
• A、B是两个村庄，要从灌溉 总渠引两条水渠便于灌溉，请 你选择最佳方案.
教学反思 本节课你掌握了哪些知识？ 还有哪些疑惑？
作业：91页第4题