高中数学选修2-1考试题及答案

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上海华东师范大学第四附属中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．2302．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，BAC 与BCD △均为直角三角形，且90BAC BCD ∠=∠=︒，AB AC =，112CD BC ==，点P 是线段AB 上的动点，若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AD 成30的角，则线段PA 长的取值范围是（）A ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．60,3⎛⎤⎥ ⎝⎦C ．(0,1]D ．(0,2⎤⎦3．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（）A ．25B 10C 15D 21 4．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的对角线1BD 上，11D PD B λ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是（）A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（） A ．35B ．35C ．45D ．45-6．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（） A ．14B ．arcsin 421C ．514D ．123777．已知向量(2,0,2)a =-，则下列向量中与a 成45的夹角的是（） A ．(0,0,2)B ．(2,0,0)C ．(2,2D ．)2,2,0-8．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为（） A ．26B 3C 5D ．139．已知长方体1111ABCD A BC D -的底面AC 为正方形，1AA a =，AB b =，且a b >，侧棱1CC 上一点E 满足13CC CE =，设异面直线1A B 与1AD ，1A B 与11D B ，AE 与11D B 的所成角分别为α，β，γ，则 A ．αβγ<<B ．γβα<<C ．βαγ<<D ．αγβ<<10．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )A ．直线BD ⊥平面1AOCB ．1A B CD ⊥C ．三棱锥1A BCD -的外接球的半径为2 D ．若E 为CD 的中点，则//BC 平面1AOE 11．在正方体ABCD --A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A ．105- B ．105C ．155-D ．15512．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AC BC AA ===，点Q 为1A B 的中点，若动点P 在直线11B C 上运动时，异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为（）A ．30°B ．45°C ．60︒D ．无法确定二、填空题13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m 、n 所成角的正弦值为________．14．如图，在三棱锥P ABC -，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为__________．15．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________.16．长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，直线1AB 和1AC 的夹角的余弦值为__________.17．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）18．已知＝(2，－1,3)，＝(－1,4，－2)，＝(7,5，λ)，若、、三向量共面，则实数λ＝_________．19．已知点()121A --，，，()222B ，，，点P 在Z 轴上，且点P 到,A B 的距离相等，则点P 的坐标为___________．20．已知()()()2,1,2,1,3,3,13,6,a b c λ=-=--=，若向量,,a b c 共面，则λ=_________．三、解答题21．已知直角梯形SBCD 中，//SD BC .BC CD ⊥，336SD BC CD ===，过点B 作//BA CD 交SD 于A (如图1)，沿AB 把SAB 折起，使得二面角S AB C --为直二面角，连接SC ，E 为棱SC 上任意一点(如图2).（1）求证：平面EBD ⊥平面SAC ；（2）在棱SC 上是否存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为23？若存在，求出点E 的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 、M 、N 分别是棱AB 、AD 、11A B 、11A D 的中点，点P 、Q 分别在棱1DD 、1BB 上移动，且()02DP BQ λλ==<<.（1）当1λ=时，证明：直线1//BC 平面EFPQ ；（2）是否存在λ，使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.23．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．24．如图，在三棱锥P ABE -中，AB AE ⊥，PA ⊥平面ABE ，D 是AE 的中点，C 是线段BE 上的一点，且5AC =122AB AP AE ===.（1）求证：//CD 平面PAB ；（2）求直线PE 与平面PCD 所成角的正弦.25．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，M 为1AA 的中点.（1）求证：1//A B 平面1MCD；（2）求平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值.26．如图所示的几何体中，111ABC A B C -为三棱柱，且1AA ⊥平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，2,60AD CD ADC ︒=∠=．（1）,M N 分别是1,AC BB 的中点，求证：//MN 平面11A B CD（2）若12,(0)CD AA AC λλ==>，二面角1A C D C --511C ACD -的体积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PA 长的取值范围. 【详解】如图，以C 为原点，CD 为x 轴，CB 为y 轴，过C 作平面BCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,0,1,1,0,2,0,1,0,0C A B D ，设(),0,0Q q ()01q ≤≤，设()0,,AP AB λλλ==-()01λ<≤，则()(,0,0)(0,1,1)(0,,)(,1,1)PQ CQ CA AP q q λλλλ=-+=---=---，(1,1,1)AD =--，异面直线PQ 与AD 成30的角，22||3cos30||||223PQ AD PQ AD q λ⋅∴===⋅++⋅， 22182516q q λ∴+=-+， 201,516[0,11]q q q ≤≤∴-+∈，即22182018211λλ⎧+≥⎨+≤⎩，解得2222λ-≤≤， 201,0λλ<≤∴<≤，可得2||||22(0,1]PA AP λλ===∈. 故选：C. 【点睛】利用向量求解空间角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.3．C解析：C 【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z = 所以，平面AGE 的一个法向量为(1,3n =-，从而10cos ,225n BG n BG n BG⋅<>===⨯⋅，故直线BG 与平面AGE 2101515⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.4．A解析：A 【分析】建立空间直角坐标系，APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC D C D P λλλλλλ=-=---=---，由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得：103λ<<，当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC ADC ∠=∠显然是锐角，符合题意，所以103λ≤<，故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是APC ∠为锐角等价于cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，还需利用11PA D A D P =-，11PC DC D P =-求出PA 、PC 的坐标，根据向量数量积的坐标运算即可求解.5．C解析：C 【解析】【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【详解】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111||44cos 5||||55AB BC AB BC θ⋅===⋅⋅.∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，故选B ．【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.7．B解析：B 【分析】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到答案【详解】根据夹角余弦值cos a b a b θ⋅=对于A 若()b 0,0,2,=则-22=22a b a b ⋅⨯cos 45︒=，故不符合条件对于B 若()b 20,0,=，则22==222a b a b⋅⨯cos 45︒=，故符合条件对于C 若(b 0,2,=，则-21==-cos 45222a b a b ⋅≠︒⨯，故不符合条件对于D 若()b 2-=，则21==cos 45222a b a b⋅≠︒⨯，故不符合条件故选B 【点睛】本题考查了向量的数量积，运用公式代入进行求解，较为简单8．A解析：A 【分析】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为．【详解】以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A （2，0，0），E （0，2，1），D 1（0，0，2），C （0，2，0），()2,2,1AE =-,()10,2,2D C =- ,∵cos ＜1,AE DC ＞=4226922-=⋅. ∴异面直线AE 与CD 1所成角的余弦值为26．故选A ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．A解析：A 【分析】根据题意将异面直线平移到同一平面，再由余弦定理得到结果. 【详解】根据题意将异面直线平移到同一平面中，如上图，显然α，β，(0,]2πγ∈，因为a b >，异面直线1A B 与1AD 的夹角即角1AD C ，根据三角形1AD C 中的余弦定理得到222211cos 21()a b a b aα==>++，故(0,)3πα∈，同理在三角形1A DB 中利用余弦定理得到：1cos2β==<，故(,)32ππβ∈，连接AC，则AC垂直于BD，CE垂直于BD，AC交CE于C点，故可得到BD垂直于面ACE，进而得到BD垂直于AE，而BD平行于11D B.从而得到2πγ=，故αβγ<<.故答案为A.【点睛】这个题目考查了异面直线夹角的求法，一般是将异面直线平移到同一平面中，转化到三角形中进行计算，或者建立坐标系，求解两直线的方向向量，两个方向向量的夹角就是异面直线的夹角或其补角.10．B解析：B【分析】通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A正确；对于B选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行.【详解】因为ABCD是正方形，故得到BD AC⊥,折叠之后得到1BD OA⊥，BD OC⊥,1O A OC O⋂=故得到BD⊥面1AOC,进而得到A选项正确；假设1A B CD⊥，又因为11A B A⊥D，进而得到1A B⊥面1ACE,则11A B AC⊥,三角形1A BC,BC=2=12,A B=不可能满足直角关系，故B错误.三棱锥1A BCD-，的外接球的球心在O点处，因为OC=OD=OB=O1A，此时球的半径为C正确；若E为CD的中点，则//BC OE,OE在平面1AOE内，故得到//BC平面1AOE，D正确；故答案为B.【点睛】直线与平面垂直的概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：a bbaαα⎫⇒⊥⎬⊥⎭. 11．B解析：B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【详解】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，设平面1B BD 的法向量为(),,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，， ∴10cos ,5n BE n BE n BE⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．12．A解析：A 【分析】分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量即可得到所求角的余弦值的最大值，再根据余弦函数的单调性即可得到结果. 【详解】因为在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以1,,CA CB CC 两两互相垂直，所以分别以1,,CA CB CC 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图：因为12AC BC AA ===，所以(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，1(2,0,2)A ，所以(1,1,1)Q ，设(0,,2)P y ，则(2,2,0)AB =-，(1,1,1)PQ y =--，设异面直线AB 与PQ 所成角为θ，则cos θ=|cos ,|AB PQ <>=||||||AB PQ AB PQ ⋅24401(1)1y =++⨯+-+2223y y =-+22232y y y =-+23221y y =-+211223()33y =-+ 223≤3=3y =时等号成立）又(0,)2πθ∈，且cos y θ=在(0,)2π内递减，所以[,)62ππθ∈，所以异面直线AB 与PQ 所成角的最小值为30°. 故选：A 【点睛】本题考查了利用空间向量解决夹角，考查了异面直线所成角的范围以及余弦函数的单调性，属于中档题.二、填空题13．【分析】画出题目描述的图形判断直线mn 的所成的角通过解三角形即可【详解】如图:α‖平面CB1D1α∩平面ABCD=mα∩平面ABA1B1=n 可知:m//CD1m//B1D1因为△CB1D1是正三角形解析：32【分析】画出题目描述的图形，判断直线m 、n 的所成的角，通过解三角形即可. 【详解】如图:α‖平面CB 1D 1, α∩平面ABCD=m, α∩平面ABA 1B 1=n, 可知:m//CD 1,m//B 1D 1, 因为△CB 1D 1是正三角形. 所以m 、n 所成角就是∠CD 1B 1=60° 则m 、m 所成角的正弦值为:3 故选:A 【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力，解决问题的关键是在空间图形中找到异面直线所成的平面角.14．【分析】建立如图所示的空间直角坐标系结合为等腰直角三角形求得向量的坐标利用向量的夹角公式即可求解【详解】取得中点连接因为所以因为平面平面平面平面所以平面又因为所以于是以为坐标原点建立如图所示的空间直2 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，求得向量,AC PD 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解．【详解】取AC 得中点O ，连接OP ，OB ，因为PA PC =，所以AC OP ⊥. 因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =.所以OP ⊥平面ABC ，又因为AB BC =，所以AC OB ⊥，于是以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==,ABC ∆为等边三角形，则()22,0,0A ，()22,0,0C -，()0,0,22P ，()2,6,0D，所以()42,0,0AC =-，()2,6,22PD =-，所以8cos ,424AC PD AC PD AC PD⋅-〈〉==⨯ 24=-，故异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为24.【点睛】本题主要考查了利用空间向量求解异面直线所成的角，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力．15．(cos sin )【分析】分类讨论：当倾斜角为时可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角不等于时先求出直线的斜率然后再写出直线的一个方向向量最后综合即可得出答案【详解】当时直线与垂直则可得直线的一个方解析：(cos θ,sin θ) 【分析】分类讨论：当倾斜角θ为90︒时，可以得出直线的一个方向向量；当倾斜角θ不等于90︒时，先求出直线的斜率，然后再写出直线的一个方向向量，最后综合即可得出答案. 【详解】当90θ︒=时，直线l 与x 垂直，则可得直线l 的一个方向向量为()0,1；当90θ︒≠时，则可得直线l 的斜率为tan k θ=，则可得直线l 的一个方向向量为()1,tan θ或()cos ,sin θθ；令θ90︒=，则有()()cos ,sin 0,1θθ=，综上可得：直线l 的倾斜角为θ时，直线l 的一个方向向量为()cos ,sin θθ. 故答案为：()cos ,sin θθ. 【点睛】本题考查了直线方向向量的求解，注意做题时一定要考虑到直线的倾斜角可能为90︒，属于一般难度的题.16．【分析】建立空间直角坐标系设出各点坐标利用向量数量积求即得和夹角余弦值【详解】以D 为坐标原点DADCDD1所在直线为xyz 轴建立空间直角坐标系则所以因为所以直线和的夹角的余弦值为故答案为:【点睛】本解析：3010【分析】建立空间直角坐标系，设出各点坐标，利用向量数量积求11cos ,AB AC <>，即得1AB 和1AC 夹角余弦值.【详解】以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(1,0,2),(1,1,2),(0,1,0)A A B C所以11(0,1,2),(1,1,2),AB AC ==-- 因为1130cos ,1056AB AC <>==- 所以直线1AB 和1AC 30故答案为30【点睛】本题考查利用向量求线线角，考查基本分析求解能力，属基础题.17．【解析】解析：211322a b c -++【解析】MN MA AB BN =++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++-211322OA OB OC =-++211322a b c =-++．18．【解析】试题分析：三向量共面则存在实数使所以解得考点：空间向量基本定理解析：657【解析】试题分析：、、三向量共面，则存在实数,x y ，使c xa yb =+，所以27{4532x y x y x y λ-=-+=-=，解得33717{7657x y λ===．考点：空间向量基本定理．19．（003）【解析】试题分析：设由题意所以解得考点：两点间的距离公式解析：（0,0,3）【解析】试题分析：设，由题意，所以，解得考点：两点间的距离公式20．3【解析】试题分析：由于三个向量共面所以存在实数使得即有解得考点：空间向量的正交分解及其坐标表示解析：3 【解析】试题分析：由于a b c 、、三个向量共面，所以存在实数m n 、，使得=c ma nb +，即有13=2{6323m n m nm nλ-=-+=-，解得9{53m n λ===. 考点：空间向量的正交分解及其坐标表示.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）存在，点E 为棱SC 的中点. 【分析】（1）由翻折的性质结合二面角的定义可得SA AD ⊥，再由线面垂直的判定与性质可得SA BD ⊥，再结合平面几何的知识可得BD AC ⊥，进而可得BD ⊥平面SAC ，结合面面垂直的判定即可得证；（2）建立空间直角坐标系，表示点()2,2,44E λλλ-，由线面垂直的性质结合二面角的定义可得SOE ∠为二面角E BD S --的平面角，再由2cos 3OS OE SOE OS OE⋅∠==⋅可得解. 【详解】（1）证明：由翻折的性质可知：SA AB ⊥，AD AB ⊥，所以SAD ∠为二面角S AB C --的平面角，又因为二面角S AB C --为直二面角，所以90SAD ∠=︒，即SA AD ⊥，又AB AD A ⋂=，所以SA ⊥平面ABCD ，所以SA BD ⊥，由题意可知四边形ABCD 为正方形，所以BD AC ⊥，又因为AC SA A ⋂=，所以BD ⊥平面SAC ，又BD ⊂平面EBD ，所以平面EBD ⊥平面SAC ；（2）存在；连接,OS OE ，以A 为原点，AB ，AD ，AS 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间坐标系，如图，则()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,2,0C ，()0,0,4S ，又知点E 在线段SC 上，设()2,2,4SE λSC λλλ==-(01λ≤≤)，因此()2,2,44E λλλ-，又因为()1,1,0O ，所以()1,1,4OS =--，()21,21,44OE λλλ=---，由BD ⊥平面SAC 可得OE BD ⊥，OS BD ⊥，所以SOE ∠为二面角E BD S --的平面角，所以()()22121244422cos 3222144λλλOS OE SOE OS OEλλ-+-+-⋅∠===⋅⋅-+- 即29102244018λλλ-=-+，解得12λ=或92λ=，因为01λ≤≤，所以12λ=，即棱SC 上存在点E ，使得二面角E BD S --的余弦值为23，此时点E 为棱SC 的中点. 【点睛】关键点点睛：（1）利用空间位置关系的判定与性质判定面面垂直；（2）由二面角的定义找到二面角的平面角，建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量解决夹角问题.22．（1）证明见解析；（2）存在，212λ=± 【分析】（1）以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，证明出1//BC FP ，利用线面平行的判定定理可证得1//BC 平面EFPQ ；（2）计算出面EFPQ 与面PQMN 的法向量，由已知条件得出这两个平面的法向量垂直，结合02λ<<求出实数λ的值，即可得解. 【详解】（1）证明：以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()2,2,0B 、()10,2,2C 、()2,1,0E 、()1,0,0F ，当1λ=时，()0,0,1P ，()12,0,2BC =-，()1,0,1FP =-，12BC FP ∴=，1//BC FP ∴， 1BC ⊄平面EFPQ ，FP ⊂平面EFPQ ，因此，1//BC 平面EFPQ ；（2）()2,1,0E 、()1,0,0F 、()0,0,P λ、()1,0,2N 、()2,1,2M ，设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,m x y z =，()1,1,0EF =--，()1,0,FP λ=-，由00m EF m FP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得111100x y x z λ--=⎧⎨-+=⎩，取1x λ=，则1y λ=-，11z =，(),,1m λλ=-，设平面PQMN 的一个法向量为()222,,n x y z =，()1,1,0MN =--，()1,0,2NP λ=--，由00n MN n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得()2222020x y x z λ--=⎧⎨-+-=⎩，取22x λ=-，则22y λ=-，21z =，()2,2,1n λλ∴=--，若存在λ，使得面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角，则m n ⊥. 且()()2210m n λλλλ⋅=---+=，整理可得22410λλ-+=，02λ<<，解得21λ=±因此，存在212λ=±，使得面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角. 【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在． 23．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，根据O ，F 分别为AC ，BC 的中点，可得四边形DEFO 为平行四边形，即//EF DO ，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而求得所需向量坐标，分别求得平面ADC 和平面DCE 的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，如图所示：∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∵平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC =AC ， ∴DO ⊥平面ABC ，∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点， ∴//OF AB ，且2AB OF =，又//DE AB ，2AB DE =， ∴//OF DE OF DE =，，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ；（2）∵DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， DO AO ⊥，又AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点， ∴(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,4,0)B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ︒∠=， ∴tan6023DO EF BF ︒=== ∴(0,0,23)D ，(1,2,23)E -，取平面ADC 的一个法向量(0,1,0)m =，设平面DCE 的一个法向量(,,)n x y z =， ∵(1,0,23)CD =，(0,2,23)CE =，则2302230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(23,3,1)n =--， ∴222||(23)(3)14n =-+-+=，||1m =，3m n ⋅=-，∴33cos ,||||14m n m n m n ⋅-<>===⋅⨯，设平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ，则3cos |cos ,|4m n θ=〈〉=， ∴平面DCE 与平面ADC 3 【点睛】解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理、性质定理，并灵活应用，利用空间向量求解二面角的步骤为：1，建系求得所需点的坐标；2，求得所需向量的坐标；3，求出两个平面的法向量12,n n ；4，代入公式121212cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅即可求得二面角的余弦值；需要结合图象判断所求角为锐角还是钝角. 24．（1）证明见解析；（210【分析】（1）利用直角三角形求出BE ，由12AC BE =可知C 是BE 的中点，由中位线求出CDAB ，即可求证结论；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦. 【详解】（1）因为122AE =，所以4AE =，又2AB =，AB AE ⊥，所以22222425BE AB AE =+=+=，又因为152AC BE ==，所以AC 是Rt ABE △的斜边BE 上的中线，所以C 是BE 的中点，又因为D 是AE 的中点所以CD 是ABE △的中位线，所以//CD AB ，又因为CD ⊄平面PAB ，AB 平面PAB ，所以//CD 平面PAB ．（2）据题设知，AB ，AE ，AP 两两互相垂直，以A 为原点，AB ，AE ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，因为122AB AP AE ===，且C ，D 分别是BE ，AE 的中点，所以4AE =，2AD =，所以()040E ，，，()120C ，，，()002P ，，，()020D ，，，所以()042PE =-，，，()122PC =-，，，()100CD =-，，，设平面PCD 的一个法向量为()n x y z →='''，，，则0n CD n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0220x x y z ''''-=⎧⎨+-=⎩，所以0x z y =⎧⎨='''⎩，令1y '=，则()011n →=，，，设直线PE 与平面PCD 所成角的大小为θ，则10sin 10PE nPE nθ→→⋅==⋅故直线PE 与平面PCD 所成角的正弦值为1010. 【点睛】方法点睛：向量法求线面角的方法就是求出平面的法向量，然后通过斜线向量与平面的法向量的夹角的余弦的绝对值得到线面角的正弦大小，属于中档题． 25．（1）证明见解析；（2）13. 【分析】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得1//A B 平面1MCD；（2）利用空间向量法可求得平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值. 【详解】（1）以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -.因为正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，M 是1AA 的中点，所以()0,0,0A 、()2,2,0C 、()0,2,0D 、()0,0,1M 、()10,2,2D 、()10,0,2A 、()2,0,0B ，()10,2,1MD =，()2,2,1MC =-.设平面1MCD 的法向量为(),,m x y z =，由120220m MD y z m MC x y z ⎧⋅=+=⎨⋅=+-=⎩，令1y =，则2z =-，2x =-，所以()2,1,2m =--.因为()12,0,2A B =-，所以()()21220120A B m ⋅=⨯-+⨯+-=，因为1A B ⊄平面1MCD ，所以1//A B 平面1MCD ；（2）由（1）知，平面1MCD 的法向量()2,1,2m =--.又平面11C CD 的法向量为()0,2,0AD =. 设平面1MCD 与平面11C CD 的夹角为θ，则21cos cos ,323m AD m AD m ADθ⋅=<>===⨯⋅，所以平面1MCD 与平面11C CD 夹角的余弦值为13. 【点睛】思路点睛：利用空间向量法求解二面角的步骤如下：（1）建立合适的空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中对应的点的坐标；（2）设出法向量，根据法向量垂直于平面内两条直线的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量即可）；（3）计算（2）中两个法向量的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是锐角还是钝角，从而得到二面角的余弦值. 26．（1）证明见解析；（2）4. 【分析】（1）连接BD ，1B D ，在1BDB △中，利用中位线定理得1//B D MN ，进而利用线面平行判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，易知平面1AC D 的一个法向量为113,1,n λ⎛⎫= ⎪⎭，平面1C CD 的一个法向量为()20,1,0n =，利用公式求二面角余弦，可得出1λ=，从而求三棱锥体积．【详解】解：（1）证明：如图，连接BD ，1B D∵ 四边形ABCD 为平行四边形，且M 为AC 中点， ∴M 为BD 中点，∵ 在1BDB △中， ,M N 分别是1,BD BB 的中点， ∴1//B D MN ，又∵ MN ⊄平面11A B CD ，1B D ⊂平面11A B CD ， ∴//MN 平面11A B CD（2）∵2,60AD CD ADC ︒=∠=，2CD =， ∴ 在ACD △中，22212cos 164242122AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=， ∴ 222AC CD AD +=，即AC CD ⊥，∴ 根据题意得1,,CD CA CC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()12,0,0,0,23,0,0,0,23D A C λ，则()()12,23,0,0,23,23AD AC λ→→=-=-，设平面1AC D 的一个法向量为()1111,,n x y z →=，∴ 11100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11113x y y z λ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴ 平面1AC D 的一个法向量为113,1,n λ→⎫=⎪⎭．易知平面1C CD 的一个法向量为()20,1,0n →=，设θ为二面角1A C D C --的平面角，则122125cos 31n n n n θλ→→→→-⋅===++⋅．得1λ=，所以123AA AC == 所以11111123232432C A CD D A CC V V --⎛==⨯⨯⨯= ⎝．【点睛】立体几何是高考必考问题，本题第二问考查二面角有关的问题，建立空间坐标系是解决问题比较简洁的方法，关键点在于找到或证明三条互相垂直的直线，建系时注意尽可能让点的坐标简单，然后这些问题就转化为计算问题，特别注意法向量的求解，然后利用夹角公式，求值或求参数．。

高中数学选修2-1各章节课时同步练习及详解

第1章1.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列语句中命题的个数是( )①－5∈Z；②π不是实数；③大边所对的角大于小边所对的角；④2是无理数．A．1 B．2C．3 D．4解析：①②③④都是命题．答案： D2．下列说法正确的是( )A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30 ℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线互相垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D.答案： D3．下列语句中假命题的个数是( )①3是15的约数；②15能被5整除吗？③{x|x是正方形}是{x|x是平行四边形}的子集吗？④3小于2；⑤矩形的对角线相等；⑥9的平方根是3或－3；⑦2不是质数；⑧2既是自然数，也是偶数．A．2 B．3C．4 D．5解析：④⑦是假命题，②③不是命题，①⑤⑥⑧是真命题．答案： A4．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β⊥γ，则α∥γ；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.其中为真命题的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④解析：显然①是正确的，结论选项可以排除C，D，然后在剩余的②③中选一个来判断，即可得出结果，①③为真命题．故选B.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分) 5．给出下列命题：①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a 至多有一个交点；④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是________．解析： ①∠A ＞∠B ⇒a ＞b ⇒sin A ＞sin B ．②③易知正确． ④将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象．答案： ①②③6．命题“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个不相等的实数根”，条件p ：________，结论q ：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0) 此方程有两个不相等的实数根假三、解答题(每小题10分，共20分) 7．指出下列命题的条件p 和结论q ： (1)若x ＋y 是有理数，则x ，y 都是有理数；(2)如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数．解析： (1)条件p ：x ＋y 是有理数，结论q ：x ，y 都是有理数． (2)条件p ：一个函数的图象是一条直线，结论q ：这个函数为一次函数．8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．解析：命题p 是真命题，则x 2－2x －2≥1， ∴x ≥3或x ≤－1，命题q 是假命题，则x ≤0或x ≥4. ∴x ≥4或x ≤－1. 尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)(1)已知下列命题是真命题，求a 、b 满足的条件．方程ax 2＋bx ＋1＝0有解．(2)已知下列命题是假命题，若x 1<x 2<0，则a x 1>a x 2，求a 满足的条件．解析： (1)∵ax 2＋bx ＋1＝0有解．∴当a ＝0时，bx ＋1＝0有解，只有b ≠0时，方程有解x ＝－1b.当a ≠0时，方程为一元二次方程，有解的条件为 Δ＝b 2－4a ≥0.综上，当a ＝0，b ≠0或a ≠0，b 2－4a ≥0时，方程ax 2＋bx ＋1＝0有解． (2)∵命题当x 1<x 2<0时，a x 1>a x 2为假命题， ∴应有当x 1<x 2<0时，a x 1≤a x 2. 即a x 2－x 1x 1x 2≤0.∵x 1<x 2<0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>0， ∴a ≤0.第1章 1.2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．“|x |＝|y |”是“x ＝y ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： |x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |. 故|x |＝|y |是x ＝y 的必要不充分条件．答案： B2．“x ＝2k π＋π4(k ∈Z)”是“tan x ＝1”成立的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当x ＝2k π＋π4时，tan x ＝1，而tan x ＝1得x ＝k π＋π4，所以“x ＝2k π＋π4”是“tan x ＝1”成立的充分不必要条件．故选A.答案： A3．设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析： ∵x ≥2且y ≥2， ∴x 2＋y 2≥4，∴x ≥2且y ≥2是x 2＋y 2≥4的充分条件；而x 2＋y 2≥4不一定得出x ≥2且y ≥2，例如当x ≤－2且y ≤－2时，x 2＋y 2≥4亦成立，故x ≥2且y ≥2不是x 2＋y 2≥4的必要条件．答案： A4．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由题意得：故D 是A 的必要不充分条件答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．下列命题中是假命题的是________．(填序号) (1)x >2且y >3是x ＋y >5的充要条件 (2)A ∩B ≠∅是A B 的充分条件(3)b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的充要条件(4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形解析： (1)因x >2且y >3⇒x ＋y >5，x ＋y >5⇒/ x >2且y >3，故x >2且y >3是x ＋y >5的充分不必要条件． (2)因A ∩B ≠∅⇒/ A B, A B ⇒A ∩B ≠∅. 故A ∩B ≠∅是A B 的必要不充分条件． (3)因b 2－4ac <0⇒/ ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ，ax 2＋bx ＋c <0的解集为R ⇒a <0且b 2－4ac <0，故b 2－4ac <0是ax 2＋bx ＋c <0的解集为R 的既不必要也不充分条件． (4)三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形．答案： (1)(2)(3) 6．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0，B ＝{x |0<x <3}，那么“m ∈A ”是“m ∈B ”的________条件．解析： A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |xx －1<0＝{x |0<x <1}．m ∈A ⇒m ∈B ，m ∈B ⇒/ m ∈A .∴“m ∈A ”是“m ∈B ”的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1，若p 的必要不充分条件是q ，求实数a 的取值范围．解析： q 是p 的必要不充分条件，则p ⇒q 但q ⇒/p .∵p ：12≤x ≤1，q ：a ≤x ≤a ＋1.∴a ＋1≥1且a ≤12，即0≤a ≤12.∴满足条件的a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.8．求证：0≤a <45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．证明：充分性：∵0<a <45，∴Δ＝a 2－4a (1－a )＝5a 2－4a ＝a (5a －4)<0，则ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．而当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0可变成1>0.显然当a ＝0时，不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立．必要性：∵ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a 1－a <0.解得0≤a <45.故0≤a ＜45是不等式ax 2－ax ＋1－a >0对一切实数x 都成立的充要条件．尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知条件p ：A ＝{x |2a ≤x ≤a 2＋1}，条件q ：B ＝{x |x 2－3(a ＋1)x ＋2(3a ＋1)≤0}．若p 是q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：先化简B ，B ＝{x |(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}， ①当a ≥13时，B ＝{x |2≤x ≤3a ＋1}；②当a ＜13时，B ＝{x |3a ＋1≤x ≤2}．因为p 是q 的充分条件，所以A ⊆B ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥13a 2＋1≤3a ＋12a ≥2，解得1≤a ≤3. 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a 2＋1≤22a ≥3a ＋1，解得a ＝－1.综上，所求a 的取值范围是{a |1≤a ≤3或a ＝－1}．第1章 1.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知p ：x 2－1≥－1，q ：4＋2＝7，则下列判断中，错误的是( ) A ．p 为真命题，p 且q 为假命题 B ．p 为假命题，q 为假命题 C ．q 为假命题，p 或q 为真命题 D ．p 且q 为假命题，p 或q 为真命题解析： ∵p 为真命题，q 为假命题， ∴p 且q 为假命题，p 或q 是真命题．答案： B2．如果命题“綈p ∨綈q ”是假命题，则在下列各结论中，正确的为( ) ①命题“p ∧q ”是真命题； ②命题“p ∧q ”是假命题； ③命题“p ∨q ”是真命题； ④命题“p ∨q ”是假命题． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．①④解析： ∵綈p ∨綈q 是假命题 ∴綈(綈p ∨綈q )是真命题即p ∧q 是真命题答案： A3．“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p ∨q 为假命题，则p ，q 都为假命题，綈p 为真命题．若綈p 为真命题，则p ∨q 可能为真命题，∴“p ∨q 为假命题”是“綈p 为真命题”的充分不必要条件．答案： A4．已知命题p 1：函数y ＝2x－2－x在R 上为增函数，p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 4解析： ∵y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝2－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，∴y ＝－2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为增函数，∴y ＝2x－2－x在R 上为增函数，故p 1是真命题．y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数是错误的，故p 2是假命题．∴q 1：p 1∨p 2是真命题，因此排除B 和D ，q 2：p 1∧p 2是假命题，q 3：綈p 1是假命题，(綈p 1)∨p 2是假命题，故q 3是假命题，排除A.故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．“a ≥5且b ≥3”的否定是____________； “a ≥5或b ≤3”的否定是____________．答案： a ＜5或b ＜3 a ＜5且b ＞3 6．在下列命题中：①不等式|x ＋2|≤0没有实数解；②－1是偶数或奇数；③2属于集合Q，也属于集合R；④A A∪B.其中，真命题为________．解析：①此命题为“非p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解，因为x＝－2是该不等式的一个解，所以p是真命题，所以非p是假命题．②此命题是“p或q”的形式，其中p：－1是偶数，q：－1是奇数．因为p为假命题，q 为真假题，所以p或q是真命题，故是真命题．③此命题是“p且q”的形式，其中p：2属于集合Q，q：2属于集合R.因为p为假命题，q为真命题，所以p且q是假命题，故是假命题．④此命题是“非p”的形式，其中p：A⊆A∪B.因为p为真命题，所以“非p”为假命题，故是假命题．所以填②.答案：②三、解答题(每小题10分，共20分)7．分别写出由下列各组命题构成的p∧q，p∨q，綈p形式命题．(1)p：8∈{x|x2－8x≤0}，q：8∈{2,8}．(2)p：函数f(x)＝3x2－1是偶函数，q：函数f(x)＝3x2－1的图象关于y轴对称．解析：(1)p∧q：8∈({x|x2－8x≤0}∩{2,8})．p∨q：8∈({x|x2－8x≤0}∪{2,8})．綈p：8∉{x|x2－8x≤0}．(2)p∧q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数并且它的图象关于y轴对称．p∨q：函数f(x)＝3x2－1是偶函数或它的图象关于y轴对称．綈p：函数f(x)＝3x2－1不是偶函数．8．写出下列命题的否定，然后判断其真假：(1)p：方程x2－x＋1＝0有实根；(2)p：函数y＝tan x是周期函数；(3)p：∅⊆A；(4)p：不等式x2＋3x＋5<0的解集是∅.解析：∅ A尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析： (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得(x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，即綈p ⇒綈q 且綈q ⇒/ 綈p .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B . 所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2].第1章1.4.1、2一、选择题(每小题5分，共20分) 1．下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 2>0D ．∀x ∈R,2x>0解析： A 中当x ＝1时，lg x ＝0，是真命题．B 中当x ＝π4＋k π时，tan x ＝1，是真命题．C 中当x ＝0时，x 2＝0不大于0，是假命题． D 中∀x ∈R,2x>0是真命题．答案： C2．下列命题中，真命题是( )A ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是偶函数 B ．∃m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )是奇函数 C ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是偶函数 D ．∀m ∈R ，使函数f (x )＝x 2＋mx (x ∈R )都是奇函数解析： ∵当m ＝0时，f (x )＝x 2(x ∈R )． ∴f (x )是偶函数又∵当m ＝1时，f (x )＝x 2＋x (x ∈R ) ∴f (x )既不是奇函数也不是偶函数． ∴A 对，B 、C 、D 错．故选A. 答案： A 3．下列4个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ；p 2：∃x ∈(0,1)，log 12x >log 13x ； p 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >log 12x ； p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，13，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <log 13x .其中的真命题是( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：对于命题p 1，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x成立．所以p 1是假命题，排除A 、B ；对于命题p 3，在平面直角坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与函数y ＝log 12x 的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象并不是始终在函数y ＝log 12x图象的上方，所以p 3是假命题，排除C.故选D.答案： D4．若命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－3或a >2 B ．a ≥2 C ．a >－2D ．－2<a <2解析：依题意：ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2＋1恒成立，即(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1≥0恒成立，所以有：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2>0，16－4 a ＋2 a －1 ≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >－2，a 2＋a －6≥0⇔a ≥2.答案： B二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题“有些负数满足不等式(1＋x )(1－9x )>0”用“∃”或“∀”可表述为________．答案： ∃x 0<0，使(1＋x 0)(1－9x 0)>06．已知命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝3；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则命题“p 且q ”是________命题．(填“真”或“假”)解析：当x 0＝π3时，tan x 0＝3，∴命题p 为真命题；x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0恒成立，∴命题q 为真命题， ∴“p 且q ”为真命题．答案：真三、解答题(每小题10分，共20分)7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假： (1)若a >0，且a ≠1，则对任意实数x ，a x>0. (2)对任意实数x 1，x 2，若x 1<x 2，则tan x 1<tan x 2. (3)∃T 0∈R ，使|sin(x ＋T 0)|＝|sin x |. (4)∃x 0∈R ，使x 20＋1<0.解析： (1)(2)是全称命题，(3)(4)是特称命题． (1)∵a x>0(a >0且a ≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题． (2)存在x 1＝0，x 2＝π，x 1<x 2，但tan 0＝tan π，∴命题(2)是假命题．(3)y ＝|sin x |是周期函数，π就是它的一个周期， ∴命题(3)是真命题． (4)对任意x 0∈R ，x 20＋1>0.∴命题(4)是假命题．8．选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：(1)x>2；(2)x2≥0；(3)x是偶数；(4)若x是无理数，则x2是无理数；(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表示)解析：(1)∃x∈R，x>2.(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．(3)∃x∈Z，x是偶数．(4)存在实数x，若x是无理数，则x2是无理数．(如42)(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．解析：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.综上所述，当m＝0时，a∈R；当m≠0，a∈[－1,1]．第1章1.4.3一、选择题(每小题5分，共20分)1．命题：对任意x∈R，x3－x2＋1≤0的否定是( )A．不存在x0∈R，x30－x20＋1≤0B．存在x0∈R，x30－x20＋1≥0C．存在x0∈R，x30－x20＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0解析：由全称命题的否定可知，命题的否定为“存在x0∈R，x30－x20＋1>0”．故选C.答案： C2．命题p：∃m0∈R，使方程x2＋m0x＋1＝0有实数根，则“綈p”形式的命题是( )A ．∃m 0∈R ，使得方程x 2＋m 0x ＋1＝0无实根 B ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 C ．对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根解析：由特称命题的否定可知，命题的否定为“对∀m ∈R ，方程x 2＋mx ＋1＝0无实根”．故选B.答案： B3．“∃x 0∉M ，p (x 0)”的否定是( ) A ．∀x ∈M ，綈p (x ) B ．∀x ∉M ，p (x ) C ．∀x ∉M ，綈p (x ) D ．∀x ∈M ，p (x )答案： C4．已知命题p ：∃x ∈R ，使tan x ＝1，命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧¬q ”是假命题；③命题“¬p ∨q ”是真命题；④命题“¬p ∨¬q ”是假命题，其中正确的是( )A ．②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④解析：当x ＝π4时，tan x ＝1，∴命题p 为真命题．由x 2－3x ＋2<0得1<x <2，∴命题q 为真命题． ∴p ∧q 为真，p ∧¬q 为假，¬p ∨q 为真，¬p ∨¬q 为假．答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋5<0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定命题綈p ：________，它是________命题(填“真”或“假”)．解析： ∵x 2＋2x ＋5＝(x ＋1)2＋4≥0恒成立，所以命题p 是假命题．答案：特称命题假 ∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≥0 真6．(1)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． (2)命题“存在x ∈R ，使得x 2＋2x ＋5＝0”的否定是________．答案： (1)∃x 0∈R ，|x 0－2|＋|x 0－4|≤3 (2)∀x ∈R ，x 2＋2x ＋5≠0 三、解答题(每小题10分)7．写出下列命题的否定并判断其真假． (1)所有正方形都是矩形；(2)∀α，β∈R ，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(3)∃θ0∈R，函数y＝sin(2x＋θ0)为偶函数；(4)正数的对数都是正数．解析：(1)命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题．(2)命题的否定：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，真命题．(3)命题的否定：∀θ∈R，函数y＝sin(2x＋θ)不是偶函数，假命题．(4)命题的否定：存在一个正数，它的对数不是正数，真命题．8．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由．(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．解析：(1)不等式m＋f(x)＞0可化为m＞－f(x)，即m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4即可．故存在实数m，使不等式m＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时只需m＞－4.(2)若m－f(x0)>0，∴m>f(x0)．∵f(x0)＝x20－2x0＋5＝(x0－1)2＋4≥4.∴m>4.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)写出下列各命题的否命题和命题的否定，并判断真假．(1)∀a，b∈R，若a＝b，则a2＝ab；(2)若a²c＝b²c，则a＝b；(3)若b2＝ac，则a，b，c是等比数列．解析：(1)否命题：∀a，b∈R，若a≠b，则a2≠ab，假；命题的否定：∃a，b∈R，若a＝b，则a2≠ab，假；(2)否命题：若a²c≠b²c，则a≠b.真；命题的否定：∃a，b，c，若a²c＝b²c，则a≠b，真；(3)否命题：若b2≠ac，则a，b，c不是等比数列，真．命题的否定：∃a，b，c∈R，若b2＝ac，则a，b，c不是等比数列，真．1章整合(考试时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出下列语句：①二次函数是偶函数吗？②2>2；③sin π2＝1；④x 2－4x ＋4＝0.其中是命题的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：只有②和③是命题，语句①是疑问句，语句④含有变量x ，不能判断真假．答案： B2．与命题：“若a ∈P ，则b ∉P ”等价的命题是( ) A ．若a ∉P ，则b ∉P B ．若b ∉P ，则a ∈P C ．若a ∉P ，则b ∈P D ．若b ∈P ，则a ∉P答案： D3．对命题p ：1∈{1}，命题q ：1∉∅，下列说法正确的是( ) A ．p 且q 为假命题 B ．p 或q 为假命题 C ．非p 为真命题D ．非q 为假命题解析： ∵p 、q 都是真命题，∴綈q 为假命题．答案： D4．下列四个命题中真命题的个数为( )①若x ＝1，则x －1＝0；②“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题；③“等边三角形的三边相等”的逆命题；④“全等三角形的面积相等”的逆否命题．A ．1B ．2C ．3D ．4解析： ①是真命题；②逆否命题为“若b ≠0，则ab ≠0”，是假命题；③“等边三角形的三边相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若一个三角形为等边三角形，则这个三角形的三边相等”，其逆命题为“若一个三角形的三边相等，则这个三角形为等边三角形”，是真命题；④“全等三角形的面积相等”改为“若p ，则q ”的形式为“若两个三角形为全等三角形，则这两个三角形的面积相等”，其逆否命题为“若两个三角形的面积不相等，则这两个三角形不是全等三角形”，是真命题．答案： C5．已知命题①若a >b ，则1a <1b，②若－2≤x ≤0，则(x ＋2)(x －3)≤0，则下列说法正确的是( )A ．①的逆命题为真B ．②的逆命题为真C ．①的逆否命题为真D ．②的逆否命题为真解析：命题①是假命题，其逆命题为1a <1b，则a >b ，是假命题．故A 、C 错误．命题②是真命题，其逆命题为假命题，逆否命题为真命题．故选D.答案： D6．已知a >0，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若x 0满足关于x 的方程2ax ＋b ＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )A ．∃x ∈R ，f (x )≤f (x 0)B ．∃x ∈R ，f (x )≥f (x 0)C ．∀x ∈R ，f (x )≤f (x 0)D ．∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)解析：函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a >0)，∵2ax 0＋b ＝0，∴x 0＝－b2a .当x ＝x 0时，函数f (x )取得最小值． ∴∀x ∈R ，f (x )≥f (x 0)，故选C. 答案： C7．“x <－1”是“x 2－1>0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： x 2－1>0⇒x >1或x <－1，故x <－1⇒x 2－1>0，但x 2－1>0⇒/ x <－1， ∴“x <－1”是“x 2－1>0”的充分而不必要条件．答案： A8．已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由a >0且b >0可得a ＋b >0，ab >0，由a ＋b >0有a ，b 至少一个为正，ab >0可得a 、b 同号，两者同时成立，则必有a >0，b >0.故选C. 答案： C9．命题“对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．不存在x 0∈R ，x 30－x 20＋1≤0 B ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1>0 C ．存在x 0∈R ，使x 30－x 20＋1≤0D ．对任意的x ∈R ，x 3－x 2＋1>0解析：由于已知命题是全称命题，其否定应为特称命题，并且对原命题的结论进行否定，由此可知B 正确．答案： B10．对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0是真命题，则k 的取值范围是( ) A ．－4≤k ≤0 B ．－4≤k <0 C ．－4＜k ≤0D ．－4＜k ＜0解析：依题意，有k ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2＋4k <0.解得－4<k ≤0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 11．“若x 2＝y 2，则x ＝－y ”的逆命题是________命题，否命题是________命题．(填“真”或“假”)解析：若x 2＝y 2，则x ＝－y 的逆命题为：若x ＝－y ，则x 2＝y 2，是真命题；否命题为：若x 2≠y 2，则x ≠－y ，是真命题．答案：真真12．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的________条件．解析：由a ＋b ＝0得a ＝－b ，即a ∥b ，但a ∥b 不一定有a ＝－b ，所以“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件．答案：充分不必要 13．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③命题“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有________．(填序号)解析： ①中不等式x 2＋2x >4x －3⇔x 2－2x ＋3>0⇔x ∈R . ∴对∀x ∈R ，x 2＋2x >4x －3成立．①是真命题．②中log 2x ＋log x 2≥2⇔ log 22x －2log 2x ＋1log 2x ≥0⇔log 2x >0或log 2x ＝1⇔x >1.∴②是真命题．③中⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c <0⇒c a >c b ，原命题为真命题，逆否命题为真命题，∴③是真命题． ④中p 为真命题，q 为真命题，命题p ∧綈q 是假命题．答案： ①②③14．令p (x )：ax 2＋2x ＋1＞0，若对∀x ∈R ，p (x )是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：对∀x ∈R ，p (x )是真命题，就是不等式ax 2＋2x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立． (1)若a ＝0，不等式化为2x ＋1＞0，不能恒成立；(2)若⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a >1；(3)若a ＜0，不等式显然不能恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是a ＞1. 答案： a ＞1三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)写出下列命题的“若p ，则q ”形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假．(1)全等三角形的对应边相等； (2)四条边相等的四边形是正方形．解析： (1)“若p ，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等；是真命题．逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等；是真命题．否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形的对应边不全相等；是真命题．逆否命题：若两个三角形的对应边不全相等，则这两个三角形不全等；是真命题． (2)“若p ，则q ”的形式：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形；是假命题．逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等；是真命题．否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形；是真命题．逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等；是假命题．16．(本小题满分12分)写出由下列各组命题构成的“p 或q ”“p 且q ”以及“非p ”形式的命题，并判断它们的真假：(1)p ：3是质数，q ：3是偶数；(2)p ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解，q ：x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解．解析： (1)p 或q ：3是质数或3是偶数；p 且q ：3是质数且3是偶数；非p ：3不是质数．因为p 真，q 假，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，“非p ”为假命题． (2)p 或q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解或x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；p 且q ：x ＝－2是方程x 2＋x －2＝0的解且x ＝1是方程x 2＋x －2＝0的解；非p ：x ＝－2不是方程x 2＋x －2＝0的解．因为p 真，q 真，所以“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为真命题，“非p ”为假命题． 17．(本小题满分12分)是否存在实数p ，使4x ＋p <0是x 2－x －2>0的充分条件？如果存在，求出p 的取值范围；否则，说明理由．解析：由x 2－x －2>0，解得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}，由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－p4，当B ⊆A 时，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，4x ＋p ＜0是x 2－x －2>0的充分条件．18．(本小题满分14分)已知命题p ：函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3在[－2，＋∞)上单调递增．q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0解集为R .若p ∧q 假，p ∨q 真，求实数a 的取值范围．解析： ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上单调递增， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0，解得a ≤－1或a ≥2. 即p ：a ≤－1或a ≥2由不等式ax 2－ax ＋1＞0的解集为R 得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0Δ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0－a 2－4a ＜0解得0≤a ＜4 ∴q ：0≤a ＜4. ∵p ∧q 假，p ∨q 真． ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2a <0或a ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ＜2，0≤a ＜4.∴a ≤－1或a ≥4或0≤a ＜2.所以实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)．第2章2.1.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1,5)D ．(4,4)解析：代入每个点逐一验证，D 正确．答案： D2．已知坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上，那么( ) A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f (x ，y )＝0 B ．凡坐标不适合f (x ，y )＝0的点都不在C 上 C ．不在C 上的点的坐标必不适合f (x ，y )＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f (x ，y )＝0，有些不适合f (x ，y )＝0 答案： C3．方程(3x －4y －12)[log 2(x ＋2y )－3]＝0的图象经过点A (0，－3)，B (0,4)，C (4,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，－74中的( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由方程x ＋2y >0，可知A ，D 两点不符合题意；对于点B (0,4)，x ＋2y ＝8＝23，则有log 2(x ＋2y )－3＝0；对于点C (4,0)，3x －4y －12＝0.故选C.答案： C4．方程y ＝|x |x2表示的曲线为图中的( )解析： y ＝|x |x2，x ≠0，为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除A ，B.又因为当x >0时，y ＝1x>0；当x <0时，y ＝－1x>0，所以排除D.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知0≤α＜2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________．解析：由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α＜2π，所以α＝π3或α＝53π.答案：π3或5π36．曲线y ＝－1－x 2与曲线y ＋|ax |＝0(a ∈R)的交点有______个．解析：利用数形结合的思想方法，如图所示：答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分) 7．判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3. (2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2. (3)方程(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．解析： (1)不对，过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为y ＝3，而不是|y |＝3.(2)不对．设(x 0，y 0)是方程y ＝r 2－x 2的解，则y 0＝r 2－x 20，即x 20＋y 20＝r 2. 两边开平方取算术根，得x 20＋y 20＝r .即点(x 0，y 0)到原点的距离等于r ，点(x 0，y 0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r 的圆上的一点如点⎝ ⎛⎭⎪⎫r2，－32r 在圆上，却不是y ＝r 2－x 2的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r 的圆的方程不是y ＝r 2－x 2，而应是y ＝±r 2－x 2. (3)不对．由(x ＋y －1)²x 2＋y 2－4＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0或x 2＋y 2－4＝0x 2＋y 2－4≥0所以表示的是圆和两条射线． (4)不对．把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25，满足方程，且A 点的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点B (－32，－4)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25， ∵(－32)2＋(－4)2＝34≠25，∴点B 不在方程所表示的曲线上．尽管C 点坐标满足方程，但 ∵横坐标5不满足小于或等于0的条件， ∴点C 不在曲线x 2＋y 2＝25(x ≤0)上．8．已知曲线C 的方程为x ＝9－y 2，说明曲线C 是什么样的曲线，并求该曲线与y 轴围成的图形的面积．解析：由x ＝9－y 2，得x 2＋y 2＝9.又x ≥0，∴方程x ＝9－y 2表示的曲线是以原点为圆心，3为半径的右半圆，从而该曲线C 与y 轴围成的图形是半圆，其面积S ＝12π²9＝92π.所以所求图形的面积为92π.尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)．求m ，n 的值．解析： ∵方程(x ＋1)2＋ny 2＝1的曲线经过点A (－1,1)，B (m ，－1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋1 2＋n ＝1， m ＋1 2＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，m ＝－1.∴m ＝－1，n ＝1为所求．第2章2.1.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．与点A (－1,0)和点B (1,0)连线的斜率之和为－1的动点P 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝3 B ．x 2＋2xy ＝1(x ≠±1) C ．y ＝1－x 2D ．x 2＋y 2＝9(x ≠0)解析：设P (x ，y )，∵k PA ＋k PB ＝－1， ∴y －0x －－1 ＋y －0x －1＝－1，整理得x 2＋2xy ＝1(x ≠±1)．答案： B2．已知两点M (－2,0)、N (2,0)，点P 为坐标平面内的动点，满足|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →＝0，则动点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：由|M N →|²|M P →|＋M N →²N P →，得4³[x －－2 ]2＋ y －0 2＋(4,0)²(x －2，y －0)＝0， ∴y 2＝－8x . 答案： A3．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π解析：设P (x ，y )，由|PA |＝2|PB |得 x ＋2 2＋y 2＝2 x －1 2＋y 2，整理得x 2－4x ＋y 2＝0 即(x －2)2＋y 2＝4.所以点P 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，故S ＝4π. 答案： B4．已知A (－1,0)，B (1,0)，且MA →²M B →＝0，则动点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝2C ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1)D ．x 2＋y 2＝2(x ≠±2)解析：设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，M B →＝(1－x ，－y )．由MA →²M B →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )2＝0，即x 2＋y 2＝1.故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知点A (0，－1)，当点B 在曲线y ＝2x 2＋1上运动时，线段AB 的中点M 的轨迹方程是________．解析：设点B (x 0，y 0)，则y 0＝2x 20＋1.①设线段AB 中点为M (x ，y )，则x ＝x 02，y ＝y 0－12，即x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1，代入①式，得 2y ＋1＝2²(2x )2＋1.即y ＝4x 2为线段AB 中点的轨迹方程．答案： y ＝4x 26．已知动圆P 与定圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝1相外切，又与定直线l ：x ＝1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )，动圆P 在直线x ＝1的左侧，其半径等于1－x ，则|PC |＝1－x ＋1，即 x ＋2 2＋y 2＝2－x ，整理得y 2＝－8x . 答案： y 2＝－8x三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若B P →＝2P A →，且O Q →²A B →＝1.求P 点的轨迹方程．解析：由B P →＝2P A →，P (x ，y )可得B (0,3y )，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，0，∴A B →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x ，3y .∵Q 与P 关于y 轴对称， ∴Q (－x ，y )，且OQ →＝(－x ，y )．由O Q →²A B →＝1得32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．8．过点P 1(1,5)作一条直线交x 轴于点A ，过点P 2(2,7)作直线P 1A 的垂线，交y 轴于点B ，点M 在线段AB 上，且BM ∶MA ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．解析：如图所示，设过P 2的直线方程为y －7＝k (x －2)(k ≠0)，则过P 1的直线方程为y －5＝－1k(x －1)，所以A (5k ＋1,0)，B (0，－2k ＋7)．① 设M (x ，y )，则由BM ∶MA ＝1∶2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5k ＋13，y ＝－4k ＋143，②消去k ，整理得12x ＋15y －74＝0. 故点M 的轨迹方程为12x ＋15y －74＝0.③尖子生题库 ☆☆☆9．(10分)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝9，过原点作圆C 的弦OP ，求OP 中点Q 的轨迹方程．(分别用直接法、定义法、代入法求解)解析：方法一(直接法)：如图，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°.设Q (x ，y )，由题意，得|OQ |2＋|QC |2＝|OC |2，即x 2＋y 2＋[x 2＋(y －3)2]＝9，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法二(定义法)：如图所示，因为Q 是OP 的中点，所以∠OQC ＝90°，则Q 在以OC 为直径的圆上，故Q 点的轨迹方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．方法三(代入法)：设P (x 1，y 1)，Q (x ，y )，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 12y ＝y12，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y，又因为x 21＋(y 1－3)2＝9，所以4x 2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝9，即x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝94(去掉原点)．第2章2.2.1一、选择题(每小题5分，共20分)1．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是( )A ．－9＜m ＜25B ．8＜m ＜25C ．16＜m ＜25D ．m ＞8解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧25－m ＞0m ＋9＞0m ＋9＞25－m，解得8＜m ＜25，即实数m 的取值范围是8＜m ＜25，故选B. 答案：B2．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析： c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案： A3．已知(0，－4)是椭圆3kx 2＋ky 2＝1的一个焦点，则实数k 的值是( ) A ．6 B.16 C ．24D.124解析： ∵3kx 2＋ky 2＝1， ∴x 213k ＋y 21k＝1. 又∵(0，－4)是椭圆的一个焦点，∴a 2＝1k ，b 2＝13k ，c 2＝a 2－b 2＝1k －13k ＝23k ＝16，∴k ＝124.答案： D4．椭圆x 225＋y 29＝1的焦点为F 1，F 2，P 为椭圆上的一点，已知PF 1→²PF 2→＝0，则△F 1PF 2的面积为( )A ．12B ．10C ．9D ．8解析： ∵PF 1→²PF 2→＝0，∴PF 1⊥PF 2. ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2且|PF 1|＋|PF 2|＝2a . 又a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＝64 ①|PF 1|＋|PF 2|＝10 ②②2－①，得2|PF 1|²|PF 2|＝102－64， ∴|PF 1|²|PF 2|＝18， ∴△F 1PF 2的面积为9. 答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 29＋y 22＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，则|PF 2|＝________；∠F 1PF 2的大小为________．解析：由椭圆标准方程得a ＝3，b ＝2，则c ＝a 2－b 2＝7，|F 1F 2|＝2c ＝27. 由椭圆的定义得|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|²|PF 2|＝42＋22－ 27 22³4³2＝－12，所以∠F 1PF 2＝120°. 答案： 2 120°6．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →²FP→的最大值为________．解析：椭圆的左焦点F 为(－1,0)，设P (x ，y )，则x 24＋y 23＝1， OP →²FP →＝(x ，y )²(x ＋1，y )＝x (x ＋1)＋y 2 ＝14x 2＋x ＋3 ＝14(x ＋2)2＋2 ∵－2≤x ≤2，∴当x ＝2时，OP →²FP →有最大值6. 答案： 6三、解答题(每小题10分，共20分) 7．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x 轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)；(2)焦点在y 轴上，与y 轴的一个交点为P (0，－10)，P 到它较近的一个焦点的距离等于2.解析： (1)因为椭圆的焦点在x 轴上，所以可设它的标准方程为x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)，。

高中数学选修2-1、2-2综合试题

④“ x > 2 ”是“ 1 4．由直线 x = 12 D ． 15B ． 2 ln 2高中数学选修2-1、2-2 综合试题班级-------------姓名-----------得分-----------一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)1．复数 z 的虚部记作 Im （z ），若 z= 5 1 + 2i，则 Im （ z ）=（）A ．2B ． 2iC ．－2D ．－2i2．考察以下列命题：①命题“ lg x = 0, 则x=1 ”的否命题为“若 lg x ≠ 0, 则x ≠ 1 ”②若“ p ∧ q ”为假命题，则 p 、q 均为假命题③命题 p ： ∃x ∈ R ，使得 s in x > 1 ；则 ⌝p ： ∀x ∈ R ，均有 sin x ≤ 11< ”的充分不必要条件x 2则真命题的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．43.在平行六面体 ABCD - A B C D 中， M 为 A C 与 B D 的交点。

1 1 111 111若 AB = a ， AD = b ， AA = c 则与 BM 相等的向量是（）11 1 1 1A ． - a + b + cB ． a + b + c2 2 2 2A1DD1 C1 MB1 C1 1 1 1C ． - a - b + cD ． a - b + c2 2 2 2A B1 , x = 2, 曲线 y = - 及轴所围图形的面积为（）2 xA ．- 2ln 2 C ． 1 ln 2 45．已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 上有一点 M （4，y ），它到焦点 F 的距离为 5，则 ∆OFM 的面积（O 为原点）为（）A ．1B ．2C ． 2D ． 2 26．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：…①②③7．在正三棱柱ABC-A B C中，若AB=2B B，则AB与C B所成角的大小为（）②实数a,b,有(a+b)2=a2+2ab+b2;类比向量a,b,有(a+b)2=a+2a⋅b+b按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（）A．6n+2B．6n-2C．8n+2D．8n-2111111A．60°B．75°C．105°D．90°8．给出下面四个类比结论（）①实数a,b,若ab=0则a=0或b=0；类比向量a,b,若a⋅b=0，则a=0或b=022③向量a，有a2=a2；类比复数z，有z2=z2④实数a,b有a2+b2=0，则a=b=0；类比复数z，z有z2+z2=0，则212z=z=012其中类比结论正确的命题个数为（）A．0B．1C．2D．39．已知抛物线＝2px（p>1）的焦点F恰为双曲线（a>0,b>0）的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为()A．2B．2C．2+1D．2+210．设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径（）A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2CC．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C二、填空题（每小题5分，共20分。

(北师大版)宁波市高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(有答案解析)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．已知定圆222212:(3)1,:(3)49C x y C x y ++=-+=，定点(2,1)M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，则1||CM CC +的最大值为（）A ．8+B ．8C ．16D ．163．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为1的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的面积是π，若椭圆C 离心率的取值范围为[42，，则线段AB 的长度的取值范围是（）A ．B ．[1 , 2]C ．[4 8]，D ．4．直线l 与抛物线22(0)y px p =>相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，点P 是y 轴左侧一点，若线段PA ，PB 的中点都在抛物线上，则（） A ．PM 与y 轴垂直 B ．PM 的中点在抛物线上 C ．PM 必过原点D ．PA 与PB 垂直5．圆22: ()4M x m y -+=与双曲线2222:1(0,0 ) y x C a b a b-=>>的两条渐近线相切于AB 、两点，若||1AB =，则C 的离心率为（）A B C ．14D ．46．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，P 是双曲线C 右支上一点，且212PF F F =.若直线1PF与圆222x y a +=相切，则双曲线的离心率为（） A ．43B ．53C ．2D ．37．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（）A ．23-B ．21-C ．21+D ．23+8．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（）. A ．13B ．12C ．2D ．39．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．91610．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（） A ．21B 2C 3D 3111．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 点作x 轴的垂线交椭圆于A ，B 两点，若0OA OB ⋅=，则椭圆的离心率等于（）A 15-+B 13-+ C ．12D 3- 12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，满足6AB =，则线段AB 的中点的横坐标为（）A ．2B ．4C ．5D ．6二、填空题13．已知双曲线22143x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，若∠260AF B =︒，则2AF B 的内切圆半径为______.14．如图，过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），分别过,A B 作抛物线的切线，设两切线的交点为M ，则M 的坐标为__________.15．已知抛物线24y x = 上一点的距离到焦点的距离为5，则这点的坐标为_______．16．双曲线()222:103x y C a a -=>的一条渐近线的倾斜角为60，1F 、2F 为左、右焦点，若直线2x =与双曲线C 交于点P ，则12PF F △的周长为____________.17．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的弦AB 满足3AF FB =（点A 在x 轴上方），则以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点的坐标为____________.18．如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为椭圆C 的左焦点，P 为椭圆C 上一点，满足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的标准方程为__________.19．过抛物线2:4C y x =的焦点F 的直线l 交C 于,A B 两点，设,A B 在y 轴上的投影分别为,A B ''，若()32AB AA BB ''=+，则直线l 的斜率为______. 20．已知1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，M 为椭圆上一点，若12MF F ∆为直角三角形，则12MF F S ∆=________．三、解答题21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率12e =，且经过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，点12,F F 为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程．（2）过点1F 分别作两条互相垂直的直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与直线1x =交于点P ．若11AF FB λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求1PQF △面积的最小值． 22．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．23．已知两点(2,0),(2,0)A B -，过动点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，且满足2||PA PB PH λ⋅=⋅，其中0λ≥．（1）求动点(,)P x y 的轨迹C 的方程，并讨论C 的轨迹形状；（2）过点(2,0)A -且斜率为1的直线交曲线C 于,M N 两点，若MN 中点横坐标为23-，求实数λ的值. 24．已知抛物线E 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，点()2,Q m 在抛物线E 上，且3QF =.（1）求抛物线E 的方程；（2）过点()2,0P 且斜率为()0k k >的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点横坐标为4，求ABO 的面积.25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，且过点F 的直线l 被抛物线C 所截得的弦长MN 为8．（1）求直线l 的方程；（2）当直线l 的斜率大于零时，求过点,M N 且与抛物线C 的准线相切的圆的方程．26．已知：椭圆221164x y +=，求：（1）以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程；（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由2c e a ==，得2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯． ∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．A解析：A将动圆C 的轨迹方程表示出来：221167x y +=,利用椭圆的性质将距离转化,最后利用距离关系得到最值. 【详解】定圆()221:31C x y ++=，圆心()13,0C -，半径为1()222349C x y -+=:，圆心()23,0C ，半径为7.动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，设动圆半径为r ，则1212121,786CC r CC r CC CC C C =+=-⇒+=>= 所以动点C 的轨迹是以1C ，2C 为焦点，8为长轴的椭圆，设其方程为22221(0)x y a b a b+=>> 所以4a = ，2229c a b =-= ，则其方程为：221167x y +=由椭圆的定义可得12228CC CC CC a =-=- 所以128CM CC CM CC =+-+当2,,C C M 三点不共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+<=+ 当2,,C C M 三点共线时，有1228882CM CC CM CC MC +-+=+≤=+ 综上有182CM CC +≤+（当2,,C C M 三点共线且2CM CC >时取等号）故选：A【点睛】关键点睛：本题考查了轨迹方程，椭圆的性质，解答本题的关键是利用椭圆性质变换长度关系，即12228CC CC CC a =-=-，将所求问题转化为128CM CC CM CC =+-+，再分2,,C C M三点是否共线讨论，属于中档题.3．C解析：C由题可求得2121222ABF AF F BF F cSSSAB =+=，2222ABF EABEBF EAF S SSSa =++=，即可得出22aAB c=⋅，再根据离心率范围即可求出. 【详解】设2ABF 的内切圆的圆心为E ，半径为r ，则2r ππ=，解得1r =，21212112121121211sin sin 22ABF AF F BF F SSSAF F F AF F BF F F BF F =+=⋅⋅⋅∠+⋅⋅⋅∠ 111122sin 452sin135222cAF c BF c AB =⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=，又22222111222ABF EAB EBF EAF S S S S AB r BF r AF r =++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()22114222AB BF AF a a =++=⨯=, 222c AB a∴=，22a AB c ∴=⋅， 2242c e a ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，2,22a c ⎡⎤∴∈⎣⎦，则[]224,8ac⋅∈，即线段AB 的长度的取值范围是[]4,8. 故选：C.【点睛】本题考查根据离心率范围求弦长范围，解题的关键是通过两种不同方式求出2ABF 的面积，得出2aAB c=可求解. 4．A解析：A 【分析】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA ，PB 的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y +=，从而得到答案. 【详解】设()22120012,,,,,22y y P x y A y B y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y pp ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直故选：A 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线，解答本题的关键是由线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上得到22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩，所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根，即1202y y y +=，属于中档题. 5．B解析：B 【分析】由曲线的对称性，以及数形结合分析得b a =. 【详解】如图所示，1AB =，2MA MB ==，根据对称性可知,A B 关于x 轴对称，所以112sin 24AMO ∠==，因为OA AM ⊥，所以1cos 4AOM ∠=，渐近线OA 的斜率tan 15ak AOM b =∠==，所以115b a =，所以22411515c b e a a ==+=，故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查双曲线离心率，求双曲线离心率是常考题型，涉及的方法包含： 1.根据,,a b c 直接求.2.根据条件建立关于,a c 的齐次方程求解.3.根据几何关系找到,,a b c 的等量关系求解.6．B解析：B 【分析】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，根据三角形中位线性质可求得2AF ；结合双曲线定义可求得1AF ，在12Rt AF F △中利用勾股定理可构造关于,a c 的齐次方程，进而得到关于离心率的方程，解方程求得结果. 【详解】设圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，取1PF 中点A ，连接2,OB AF ，212PF FF =，A 为1PF中点，21AF PF ∴⊥，圆222x y a +=与1PF 相切于点B ，1OB PF ∴⊥且OB a =，2//OB AF ∴，又O 为12F F 中点，222AF OB a ∴==；由双曲线定义知：122PF PF a -=，即112122PFF F PF c a -=-=， 1112AF PF a c ∴==+，又122F F c =，21AF PF ⊥， 2222112AF AF F F ∴+=，即()22244a a c c ++=，整理可得：223250c ac a --=，即23250e e --=，解得：53e =或1e =-（舍去）， ∴双曲线的离心率为53.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求解问题，解题关键是能够在直角三角形中，利用勾股定理构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出关于离心率的方程.7．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.8．C解析：C 【分析】设点)P m ，将22()0OP OF F P+⋅=坐标化运算，可求出m =，再分别计算12||,||PF PF 的值，即可得答案；【详解】1a =，2b=，∴c =1(F ，2F ，设点)P m ，∴2222()(1))1504m OPOF F P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，5m =±，则(55P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===，故选：C. 【点睛】利用坐标运算将数量积运算坐标化，再利用两点间距离公式分别求出焦半径是求解的关键.9．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值.【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立003412x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.10．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin33MF c c π==，∴(31)2MF ME c a +=+=， ∴23131c e a ===-+．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．11．A解析：A 【分析】由0OA OB ⋅=可得OAB 是等腰直角三角形，结合椭圆的几何性质列出方程，可求解椭圆的离心率．【详解】椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，过F 作x 轴的垂线交椭圆C 于A ，B 两点，由2b xc y a=⇒=±，若0OA OB ⋅=，则OAB 是等腰直角三角形(O 为坐标原点），可得2b c a =，即22a c ac -=，可得210e e +-=且(0,1)e ∈，解得12e =．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，考查了椭圆的几何性质，同时考查了垂直关系的向量表示，是基本知识的考查．12．A解析：A 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的方程可以直接求出点的坐标. 【详解】由抛物线方程可知(1,0)F ，假设,A B 横坐标分别为12,x x ，由抛物线的准线的性质可知1212||264AB x x x x =++=⇒+=，AB 中点的横坐标为121()22x x +=.故选;A 【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了数学运算能力.属于基础题.二、填空题13．【分析】设内切圆的圆心设三边与内切圆的切点连接切点与圆心的线段由内切圆的性质可得再由双曲线定义可知：可得重合再由可得内切圆的半径的值【详解】设内切圆的圆心为设圆与三角形的边分别切于如图所示连接由内切【分析】设内切圆的圆心M ，设2AF B 三边与内切圆的切点，连接切点与圆心M 的线段，由内切圆的性质可得22AF AQ BF BQ -=-，再由双曲线定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，可得Q ，1F 重合，再由260AF B ∠=︒可得内切圆的半径的值. 【详解】设内切圆的圆心为(),M x y ，设圆M 与三角形的边分别切于T ，Q ，S ，如图所示连接MS ，MT ，MQ ，由内切圆的性质可得：22F T F S =，AT AQ =，BS BQ =，所以222AF AQ AF AT F T -=-=，222BF BQ BF BS F S -=-=，所以22AF AQ BF BQ -=-，由双曲线的定义可知：21212AF AF BF BF a -=-=，所以可得Q ，1F 重合，所以224TF a ==，所以圆的半径为2243tan 23AF B r MT TF ∠===. 故答案为：433.【点睛】本题主要考查双曲线定义的应用，熟记双曲线的定义即可，属于常考题型.14．【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程由求得所在直线倾斜角得到斜率写出所在直线方程联立准线方程与抛物线方程求得的坐标可求利用导数求斜率写出直线的方程再求两直线的交点则的坐标可求【详解】解：由抛物解析：23⎛- ⎝⎭【分析】由已知求得抛物线焦点坐标及准线方程，由3AF FB =求得AB 所在直线倾斜角，得到斜率，写出AB 所在直线方程，联立准线方程与抛物线方程，求得A 、B 的坐标可求，利用导数求斜率，写出直线AM 、BM 的方程，再求两直线的交点，则M 的坐标可求．【详解】解：由抛物线2:4C y x =，得焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-．由题意设AB 所在直线的倾斜角为θ，由3AF FB =，得2231cos 1cos θθ=-+，即1cos 2θ=．tan 3θ∴=．则AB 所在直线方程为3(1)y x =-．联立23(1)4y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得231030x x -+=．解得：13x =或3x =，因为点A 在x 轴上方所以(3,23)A ，123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭由2y x =，得1y x'=， 2y x=-得1y x'=-∴313|33x y ='==，131|313x y ='=-=-，即AM 、BM 所在直线的斜率分别为33、3-． 3:23(3)3AM y x ∴-=-，231:3()33BM y x +=-- 所以323(3)32313()33y x y x ⎧-=-⎪⎪⎨⎪+=--⎪⎩解得1233x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩M ∴的坐标为23(1,)3-．故答案为：23(1,)3-．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，属于中档题．15．【解析】由抛物线定义得即这点的坐标为解析：(4,4)±【解析】由抛物线定义得215,4444x x y y +=∴=∴=⨯⇒=± ,即这点的坐标为()4,4±16．【分析】根据题意求得的值假设点为第一象限内的点求出点的坐标求得以及进而可求得的周长【详解】由于双曲线的一条渐近线的倾斜角为则可得所以双曲线的焦距为设点为第一象限内的点联立解得易知因此的周长为故答案为解析：12【分析】根据题意求得a 的值，假设点P 为第一象限内的点，求出点P 的坐标，求得1PF 、2PF 以及12F F ，进而可求得12PF F △的周长. 【详解】由于双曲线()222:103x y C a a -=>的一条渐近线的倾斜角为60，则tan 603a== 可得1a =，所以，双曲线C的焦距为124F F ==，设点P 为第一象限内的点，联立22213x y x =⎧⎪⎨-=⎪⎩，0y >，解得23x y =⎧⎨=⎩，易知()12,0F -、()22,0F ，15PF ∴==，23PF ==，因此，12PF F △的周长为121253412PF PF F F ++=++=. 故答案为：12. 【点睛】本题考查双曲线焦点三角形周长的计算，同时也考查了利用双曲线渐近线的倾斜角求参数，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置再联立方程得到其坐标即可【详解】如图所示取AB 中点M 分别过ABM 作准线的垂线垂足依次为CDN 则AC//MN//CDMN 是梯形ABDC 中位线根据抛物线定义得即N 在解析：⎛- ⎝⎭【分析】如图先利用辅助线确定公共点位置，再联立方程得到其坐标即可. 【详解】如图所示，取AB 中点M ，分别过A ，B ，M 作准线的垂线，垂足依次为C ，D ，N ，则AC //MN //CD ，MN 是梯形ABDC 中位线，根据抛物线定义得，2AB AF BF AC BD MN =+=+=，即N 在以AB 为直径的圆上，即N 即是以AB 为直径的圆与该抛物线准线的公共点，易见直线AB 不平行x 轴，方程可设为1x my =+，设()()1122,,,A x y B x y 联立方程214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，则12124,4y y m y y +==-，又依题意3AF FB =（点A 在x 轴上方），故1120,3y y y >=-，解得122323,y y ==，故3m =易见N 点坐标为121,2y y +⎛⎫- ⎪⎝⎭，即()1,2m -，即公共点的坐标为31,3⎛- ⎝⎭. 故答案为：23⎛- ⎝⎭.【点睛】本题考查了抛物线的定义及直线与抛物线的综合应用，属于中档题.18．【分析】由已知可得而由可求出点的坐标再将点的坐标代入椭圆方程中再结合可求出的值【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为因为为椭圆的左焦点所以因为所以设点的坐标为则解得则所以点的坐标为因为为椭圆上一点所以解析：2213616x y +=【分析】由已知可得 25c =||||25OP OF ==，||4PF =，可求出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入椭圆方程中，再结合222a b c =+，可求出22a b ，的值.【详解】解：由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，因为(F -为椭圆C 的左焦点，所以c =，因为||||OP OF =，所以||||OP OF ==，设点P 的坐标为(,)P m n ，则11422OF n ⋅=⨯解得n =m =，所以点P 的坐标为⎛ ⎝，因为P 为椭圆C 上一点，所以223664155a b += 因为22220a b c -==，所以解得2236,16a b ==，所以椭圆的标准方程为2213616x y +=，故答案为：2213616x y +=【点睛】此题考查的是椭圆的简单的几何性质，考查了运算能力，属于中档题.19．【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得设直线的倾斜角为根据焦点弦长公式可构造方程求得进而得到的值即为结果【详解】由抛物线的定义可知：设直线的倾斜角为则即直线的斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦解析：【分析】根据抛物线的定义可构造方程求得AB ，设直线l 的倾斜角为α，根据焦点弦长公式可构造方程求得2sin α，进而得到tan α的值即为结果. 【详解】由抛物线的定义可知：()31122AB AF BF AA BB AA BB AA BB ''''''=+=+++=++=+， 4AA BB ''∴+=，6AB ∴=.设直线l 的倾斜角为α，则246sin AB α==，22sin 3α∴=，tan α∴=即直线l 的斜率为故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦相关问题的求解，关键是熟练掌握抛物线的焦点弦长公式：1222sin pAB x x p α=++=. 20．【分析】对各内角为直角进行分类讨论利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组求得和利用三角形的面积公式可得出结果【详解】在椭圆中则（1）若为直角则该方程组无解不合乎题意；（2）若为直角则解得；（3）若为直角解析：32【分析】对12MF F ∆各内角为直角进行分类讨论，利用勾股定理和椭圆的定义建立方程组，求得1MF 和2MF ，利用三角形的面积公式可得出结果.【详解】在椭圆22143x y +=中，2a =，b =1c =，则122FF =.（1）若12F MF ∠为直角，则()12222122424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，该方程组无解，不合乎题意；（2）若12MF F ∠为直角，则()12222212424MF MF a MF MF c ⎧+==⎪⎨-==⎪⎩，解得123252MF MF ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 12121113322222MF F S F F MF ∆∴=⋅=⨯⨯=；（3）若12MF F ∠为直角，同理可求得1232MF F S ∆=. 综上所述，1232MF F S ∆=. 故答案为：32. 【点睛】本题考查椭圆中焦点三角形面积的计算，涉及椭圆定义的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）22143x y +=；（2）6.【分析】（1）根据椭圆的离心率为12e =，可得2234b a =，再将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得221914a b+=，解出22,a b 可得答案. （2）设直线1:1l x my =-，与椭圆方程联立得出韦达定理，由条件求出Q 点坐标，求出1QF 的长度，得出直线2l 的方程为：11x y m=--与直线1x =求出点P 坐标，得出1PF 长度，从而表示三角形面积，得出最值. 【详解】（1）由题意，得222221149141b e a a b ⎧=-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：224,3a b ==，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）由（1）可得()11,0F -,若直线1l 的斜率为0，则2l 的方程为：1x =-与直线1x =无交点，不满足条件.设直线1:1l x my =-，若0m =，则1λ=则不满足QA QB λ=，所以0m ≠ 设()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由2234121x y x my ⎧+=⎨=-⎩，得：()2234690m y my +--=， 12122269,3434my y y y m m +==-++，因为11AF F B QA QBλλ⎧=⎨=⎩，即()()()()1122101020201,1,,,x y x y x x y y x x y y λλ⎧---=+⎪⎨--=--⎪⎩ 则12y y λ-=，()1020y y y y λ-=- 所以101220y y y y y y λ-=-=-，解得1201223y y y y y m==-+．于是1FQ =．直线2l 的方程为：11x y m=-- 联立111x y mx ⎧=--⎪⎨⎪=⎩，解得(12)P m -，，所以1PF =．所以()12113111362PQF m SFQ F P m m m +⎛⎫=⋅==+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1m =±时，()1min6PQF S =．【点睛】关键点睛：本题考查求椭圆的方程和椭圆中三角形面积的最值问题，解答本题的关键是根据向量条件得出1201223y y y y y m==-+，进而求出点的坐标，得到1QF 的长度，从而表示出三角形的面积，属于中档题. 22．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞．【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程；（2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10．抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.23．（1）答案见解析；（2）12λ=. 【分析】（1）由向量坐标公式化简可得轨迹方程，并讨论即可；（2）将直线与曲线联立结合韦达定理求得中点横坐标，再用判别式判断即可. 【详解】解：（1）()2,PA x y =---，()2,PB x y =--又22PHy =所以由2||PA PB PH λ⋅=⋅得()()22,2,x y x y y λ---⋅--= 则22(1)4x y λ+-=当1λ=时，C 是两条平行直线；当0λ=时，C 是圆；当01λ<<时，C 是椭圆；当1λ>时，C 是双曲线 . （2）2222(2)4(1)40(1)4y x x x x y λλλλ=+⎧⇒-+--=⎨+-=⎩ 设1122(,),(,)M x y N x y ，则122004(1)41(0)232x x λλλλ⎧⎪-≠⎪∆>⎨⎪-⎪+==-⇒=∆>-⎩【点睛】(1)解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．24．（1）24y x =；（2）【分析】（1）设出抛物线方程，根据抛物线定义可列式求出；（2）设直线l 的方程为2x ty =+，联立直线与抛物线，根据中点横坐标求出t ，再求出底和高即可得出面积. 【详解】解：（1）依题意设抛物线E 的方程为()220y px p =>，则准线方程为2px =-，由3QF =，依定义得232p+=，解得2p =， ∴抛物线E 的方程为24y x =.（2）设直线l 的方程为2x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由224x ty y x=+⎧⎨=⎩消x 得2480y ty --=，则124y y t +=，128y y =-， ∵线段AB 的中点横坐标为4，∴1242x x +=，即128x x +=，∴12228ty ty +++=，即()124t y y +=，可得244t =，∴21t =，12y y -===故ABO 的面积为1211222OP y y -=⨯⨯=. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.25．（1）1y x =-或1y x =-+；（2）22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【分析】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =，当直线l 的斜率不存在时，不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠，与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求出弦长，结合已知弦长可求得结果；（2）设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，根据几何方法求出圆的半径，根据直线与圆相切列式解得圆心坐标和半径，可得圆的方程. 【详解】（1）由题意得2,p =(1,0)F ，24y x =当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，此时248MN p ==≠，不满足，舍去；当直线l 的斜率存在时，设方程为(1)(0)y k x k =-≠ 由2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,)M x y N x y ，则216160k ∆=+>，且212224k x x k ++=由抛物线定义得122222122444||||||(1)(1)22x k k MN MF NF x x x k k++=+=+++=++=+= 即22448k k+=，解得1k =± 因此l 的方程为1y x =-或1y x =-+.（2）由（1）取1,k =直线l 的方程为1y x =-，所以线段MN 的中点坐标为(3，2)，所以MN 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+ 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，该圆的圆心到直线l 的距离为d，则d ===因为该圆与准线1x =-相切，所以()()0022000511162y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩或00116x y =⎧⎨=-⎩, 当圆心为(3,2)时，半径为4，当圆心为(11,6)-时，半径为12，因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．【点睛】关键点点睛：第（1）问，利用韦达定理和抛物线的定义求出抛物线的弦长是关键；第（2）问，根据几何方法求出圆的半径，利用直线与圆相切列式是解题关键.26．（1）240x y --=；（2）18y x x ⎛=-<< ⎝⎭. 【分析】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=，22221164x y +=，相减化简再利用中点坐标公式、斜率计算公式即可得出；（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点坐标及中点(),M x y ，与椭圆方程联立化为：2217164160x mx m ++-=，由0>，化为：268m <，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出. 【详解】（1）设弦的端点()11,A x y ，()22,B x y ，可得：22111164x y +=， 22221164x y +=，相减可得：12121212()()()()0164x x x x y y y y +-+-+=，把1222x x +=，1212y y +=-， 1212y y k x x -=-代入可得： 12k =．∴以()2,1P -为中点的弦所在直线的方程为：()1122y x +=-，化为： 240x y --=．（2）设直线方程为：2y x m =+，弦的端点()11,A x y ， ()22,B x y ，中点(),M x y ．联立2221164y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为 2217164160x mx m ++-=，()22256684160m m =-->，化为： 268m <，∴1216227m x x x +=-=，化为： 882171717m m m x y m ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭，．得x <<，∴181717y x x ⎛⎫=--<< ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】关键点点睛：（1）涉及直线与圆锥曲线相交中点弦问题时，利用点差法；（2）由直线与椭圆的位置关系得出m 的范围.。

高中数学选修2—1椭圆测试卷

高中数学选修2-1《圆锥曲线》2.2—2.3阶段训练（椭圆）时间120分钟总分150分一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=＞＞的离心率为32，过右焦点F 且斜率为(0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k =A 1B 2C 3 D2 【答案】B 2.已知椭圆C ：22221x y ab+=（a>b>0）的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k （k>0）的直线于C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =。

则k =A1 B 2 C 3 D2 【答案】B3.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A. 直线B. 椭圆C. 抛物线D. 双曲线【答案】 D解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A 、C ，轨迹与已知直线不能有交点，排除B 4.椭圆22221()x y a b ab+=>>0的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是A 20,2⎛⎤⎥ ⎝⎦B 10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C)21,1⎡-⎣ D 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D5.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 A.54 B.53 C.52 D.51【答案】B6.若点O 和点F 分别为椭圆22143xy+=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则O P FP的最大值为A ．2B ．3C ．6D ．8【答案】C 7.椭圆()222210x y a ab+=＞b ＞的右焦点为F ，其右准线与x 轴的交点为A ．在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是 A （0，22] B （0，12] C[21-，1） D[12，1）【答案】D 8．椭圆141622=+yx上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（）A ．3B ．11C ．22D ．10【答案】D 9．在椭圆13422=+yx内有一点P （1，－1），F 为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M ，使|MP|+2|MF|的值最小，则这一最小值是（）A ．25 B ．27C ．3D ．4【答案】C10．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1222=+yx交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）A ．2B ．－2C ．21 D ．－21【答案】D二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 ___________ .【答案】1273622=+xy12．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．【答案】1101522=+yx13．已知()y x P ,是椭圆12514422=+yx上的点，则y x +的取值范围是________________ ．【答案】]13,13[-14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于__________________．【答案】5415．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程____________．【答案】18014422=+yx或18014422=+xy.三、解答题（本大题共6题，16—18每小题12分，19—21题每小题13分，共75分） 16.已知A 、B 为椭圆22ax +22925ay =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．【答案】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a58，∴x 1+x 2=a21，即AB 中点横坐标为a41，又左准线方程为ax 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．17.过椭圆4:),(148:220022=+=+yx O y x P yxC 向圆上一点引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，如直线AB 与x 轴、y 轴交于M 、N 两点．（1）若0=⋅PB PA ，求P 点坐标；（2）求直线AB 的方程（用00,y x 表示）；（3）求△MON 面积的最小值．（O 为原点）【答案】（1）PBPA PB PA ⊥∴=⋅0∴OAPB 的正方形由843214882020202020==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+x y x y x 220±=∴x ∴P 点坐标为（0,22±）（2）设A （x1，y1），B （x2，y2）则PA 、PB 的方程分别为4,42211=+=+y y x x y y x x ，而PA 、PB 交于P （x0，y0）即x1x0+y1y0=4，x2x0+y2y0=4，∴AB 的直线方程为：x0x+y0y=4（3）由)0,4(4000x M y y x x 得=+、)4,0(0y N||18|4||4|21||||21000y x y x ON OM S MON ⋅=⋅=⋅=∆22)48(22|222|24||20200000=+≤⋅=y x y x y x 22228||800=≥=∴∆y x S MON当且仅当22,|2||22|m in00==∆MONS y x 时.18.椭圆12222=+by ax (a＞b ＞)0与直线1=+y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O为坐标原点. （1）求2211ba+的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33≤e ≤22，求椭圆长轴的取值范围.【答案】设),(),,(2211y x P y x P ，由OP ⊥ OQ ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 ① 01)(2,1,121212211=++--=-=x x x x x y x y 代入上式得：又将代入x y-=112222=+by ax 0)1(2)(222222=-+-+⇒b a x a x b a ，,2,022221ba ax x +=+∴>∆222221)1(ba b a x x +-=代入①化简得21122=+ba.(2) ,3221211311222222222≤≤⇒≤-≤∴-==ab ab ab ac e又由（1）知12222-=a ab26252345321212122≤≤⇒≤≤⇒≤-≤∴a aa，∴长轴 2a ∈ [6,5].19.一条变动的直线L 与椭圆42x+2y2=1交于P 、Q 两点，M 是L 上的动点，满足关系|MP|·|MQ|=2．若直线L 在变动过程中始终保持其斜率等于1．求动点M 的轨迹方程，并说明曲线的形状．【答案】设动点M(x ，y)，动直线L ：y=x +m ，并设P(x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)是方程组⎩⎨⎧=-++=042,22y x m x y的解，消去y ，得3x 2+4m x +2m 2－4=0，其中Δ=16m 2－12(2m 2－4)>0，∴－6<m<6，且x 1+x 2=－3m 4，x 1x 2=34m22-，又∵|MP|=2|x －x 1|，|MQ|=2|x －x 2|．由|MP||MQ|=2，得|x－x 1||x －x 2|=1，也即 |x 2－(x 1+x 2)x +x 1x 2|=1，于是有.13423422=-++mmx x∵m=y －x ，∴|x2+2y 2－4|=3．由x 2+2y 2－4=3，得椭圆172722=+x x夹在直线6±=x y 间两段弧，且不包含端点．由x 2+2y 2－4=－3，得椭圆x 2+2y 2=1．20.椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点 .（1）求椭圆的方程及离心率；（2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程；（3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=.（14分）【答案】（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax .由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a 解得2,6==c a，所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e .（2）解：由（1）可得A （3，0） .设直线PQ的方程为)3(-=x k y .由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k ，依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k .设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①136272221+-=kk x x . ②，由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y .于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y. ③∵0=⋅OQOP ，∴02121=+y y x x. ④，由①②③④得152=k ，从而)36,36(55-∈±=k.所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x .（2）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP-=-=.由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ注意1>λ，解得λλ2152-=x ，因),(),0,2(11y x M F -，故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--= .而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.21.在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆15922=+yx的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

高中数学选修2-1综合试卷

高中数学选修2-1综合试卷数学选修2-1一、选择题1.椭圆的焦点坐标为（XXX.）。

2.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于（B）。

3.在正方体中，异面直线与所成角的大小为（45°），则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。

4.已知中，点O为正方体的中心，异面直线所成角为60°，则顶点A的轨迹方程是（x+y+z=0）。

5.已知在抛物线上，且P到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（8）。

6.命题“的否定是（）。

7.给出如下四个命题：1.若“p且q”为假命题，则p、q均为假命题；2.命题“若，则”的否命题为“若，则”；3.“，”的否定是“，”；4.在中，“”是“”的充要条件。

其中正确的命题的个数是（B）。

8.椭圆中，以点为中点的弦所在直线斜率为（0）。

9.若A点坐标为（-3,0），是椭圆的最大值为（4），的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则（AP+PF=6）。

10.若点O和点F分别为椭圆的最大值为3的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则（OP²=OF²+FP²）。

11.直线l：过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则该双曲线的方程为（y=±(x²/2)）。

12.四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，且∠BAC=∠BCD=45°，平面ABCD且平面PCD所成角的正弦值为（1/3），则PB与平面的法向量为（-2,1,2）。

二、填空题13.抛物线的准线方程为（y=p）。

14.若方程的曲线是椭圆，则k的取值范围是（0<k<1）。

15.“”是“直线和直线平行”的充要条件。

16.给出下列命题：直线l的方向向量为（1,2,3），直线l的方向向量1，2，3，直线m的方向向量2,1,1，平面的法向量1,2，-1，则向量1,2，-1与平面垂直；平面经过三点(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，u=2,3，-1是平面的法向量，则真命题的是（命题1和命题3）。

高中数学选修2-1 第一章《常用逻辑用语》单元测试题(含答案)

高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜02．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．43．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．下列命题中的假命题是( )A．存在x∈R，lg x＝0 B．存在x∈R，tan x＝1C．任意x∈R，x3＞0 D．任意x∈R,2x＞05．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤bC．存在一个菱形不是平行四边形D．存在一个实数x使不等式x2－3x＋7＜0成立18．(本小题满分12分)写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实数根；(2)p：存在一个实数x，使得3x＜0；(3)p：若a n＝－2n＋1，则∃n∈N，使S n＜0；(4)p：有些偶数是质数．19．(本小题满分12分)设命题p：c2＜c和命题q：对∀x∈R，x2＋4cx＋1＞0，且p∨q为真，p∧q为假，求实数c的取值范围．20．(本小题满分12分)已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．21．(本小题满分12分)已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.22．(本小题满分12分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．高中数学选修2-1 第一章单元测试题《常用逻辑用语》参考答案时间：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．下列语句中，不能成为命题的是( )A．指数函数是增函数吗？B．2 012＞2 013C．若a⊥b，则a·b＝0D．存在实数x0，使得x0＜0解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题．答案：A2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题．答案：B3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系．若l1∥l2，则2a －2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件．答案：C。

高中数学选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》单元测试题(含答案)

12PF F S ＝解析：设P (x 0，y 0)，PF 的中点为(x ，y )，则y 0＝14x 20，又F (0,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02y ＝y 0＋12，∴⎩⎨⎧x 0＝2xy 0＝2y －1，代入y 0＝14x 20得2y －1＝14(2x )2，化简得x 2＝2y －1，故选A. 答案：A7．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A.12B.32C ．1 D. 3 解析：由已知解出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解．由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为3x －y ＝0或3x ＋y ＝0，则焦点到渐近线的距离d 1＝|3×1－0|32＋－12＝32或d 2＝|3×1＋0|32＋12＝32. 答案：B8．直线y ＝x ＋b 与抛物线x 2＝2y 交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且OA ⊥OB ，则b ＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，x 2＝2y ，消去y ，得x 2－2x －2b ＝0，所以x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )＝x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝b 2，∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴所求轨迹的方程为x 2＝4y . (2)由题意易知直线l 2的斜率存在，又抛物线方程为x 2＝4y ，当直线AB 斜率为0时|PQ |＝4 2.当直线AB 斜率k 不为0时，设中点坐标为(t,2)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则有x 21＝4y 1，x 22＝4y 2，两式作差得x 21－x 22＝4(y 1－y 2)，即得k ＝x 1＋x 24＝t 2，则直线方程为y －2＝t2(x －t )，与x 2＝4y 联立得x 2－2tx ＋2t 2－8＝0.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝2t 2－8， |PQ |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t 24[4t 2－42t 2－8]＝8－t 24＋t 2≤6，即|PQ |的最大值为6.19．(本小题满分12分)已知双曲线的焦点在x 轴上，离心率为2，F 1，F 2为左、右焦点，P 为双曲线上一点，且∠F 1PF 2＝60°，12PF F S ＝123，求双曲线的标准方程．解析：如图所示，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∴所求k 的值为2.21．(本小题满分12分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (0,1)，离心率为22，过点B (0，－2)及左焦点F 1的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为F 2.(1)求椭圆的方程； (2)求△CDF 2的面积．解析：(1)由题意知b ＝1，c a ＝22，且c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，c ＝1. 易得椭圆方程为x 22＋y 2＝1.(2)∵F 1(－1,0)，∴直线BF 1的方程为y ＝－2x －2，由⎩⎨⎧y ＝－2x －2x22＋y 2＝1得9x 2＋16x ＋6＝0.∵Δ＝162－4×9×6＝40＞0，所以直线与椭圆有两个公共点，设为C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－169x 1·x 2＝23∴|CD |＝1＋－22|x 1－x 2|＝5·x 1＋x 22－4x 1x 2＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1692－4×23＝1092，又点F 2到直线BF 1的距离d ＝455，故CDF S2＝12|CD |·d ＝4910. 22．(本小题满分12分)过点C (0,1)的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为。

上海青浦区实验中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．P 是椭圆221169x y +=上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，设12PF PF k ⋅=，则k的最大值与最小值之和是（） A ．16 B ．9 C ．7 D ．253．人们已经证明，抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.探照灯、手电筒也是利用这个原理设计的.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，从点F 出发的光线第一象限内抛物线上一点P 反射后的光线所在直线方程为2y =，若入射光线FP 的斜率为43，则抛物线方程为（） A ．28y x =B ．26y x =C ．24y x =D ．22y x =4．已知双曲线221(0,0)x y m n m n-=>>和椭圆22174x y +=有相同的焦点，则11m n +的最小值为（）A ．12 B ．32 C ．43D ．95．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=6．已知1F ，2F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，若在右支上存在点A 使得点2F 到直线1AF ，则离心率e 的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭7．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点P 在抛物线上，点9,02Q p ⎛⎫⎪⎝⎭．若2QF PF =，且PQF △的面积为p =（）A ．1B ．2C ．3D ．48．椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点M 关于原点的对称点为N ，F 为椭圆的一个焦点，若0MF NF ⋅=，且3MNF π∠=，则该椭圆的离心率为（） A ．212-B ．22 C ．33D ．31-9．如图所示，12FF 分别为椭圆2222x y 1a b+=的左右焦点，点P 在椭圆上，2POF 的面积为3的正三角形，则2b 的值为( )A 3B ．23C ．33D ．4310．抛物线224y x x =-的焦点坐标是( ) A ．F (0，18) B ．F (1，－158) C ．F (0，－158) D ．(1，18) 11．(2018·太原一模)已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足0FA FB FC ++=，则111AB BC CAk k k ++= ( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．2p12．已知椭圆r ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，设它的三条边AB ､BC ､AC 的中点分别为D ､E ､M ，且三条边所在直线的斜率分别为1k ､2k ､3k ，且1k ､2k ､3k 均不为0.O 为坐标原点，若直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1.则123111k k k ++=（） A ．43-B ．-3C ．1813-D ．32-二、填空题13．设12,F F 为双曲线22212x y a -=的两个焦点，已知点P 在此双曲线上，且123F PF π∠=，若此双曲线的离心率等于62，则点P 到y 轴的距离等于__________． 14．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>）的左，右焦点分别是1F ，2F ，直线:(10)l y k x =-过点2F ，且与双曲线C 在第一象限交于点P .若（22()0OP OF PF +⋅=（O 为坐标原点），且()121PF a PF +=，则双曲线C 的离心率为__________.15．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，直线:36l y x =+过点1F ，且与双曲线C 在第二象限交于点P ，若点P 在以12F F 为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为_____________．16．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线11:2l y x =，21:2l y x =-，过椭圆上一点P作12,l l 的平行线，分别交12,l l 于,M N 两点，若||MN 为定值，则ab=__________. 17．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当30α=︒时，该椭圆的离心率为____________.18．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．19．在平面直角坐标系中，曲线C 是由到两个定点1,0A 和点()1,0B -的距离之积等于2C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形； ②曲线C 是中心对称图形；③曲线C 上所有的点都在单位圆221x y +=内；其中，所有正确结论的序号是__________．20．已知双曲线的方程为221916x y -=，点12,F F 是其左右焦点，A 是圆22(6)4x y +-=上的一点，点M 在双曲线的右支上，则1||||MF MA +的最小值是__________.三、解答题21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()2222:10x yC a b a b+=>>的离心率为12，过点()03，，且BMN ∆是椭圆C 的内接三角形.（1）若点B 为椭圆C 的上顶点，且原点O 为BMN ∆的垂心，求线段MN 的长；（2）若点B 为椭圆C 上的一动点，且原点O 为BMN ∆的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值.22．已知抛物线26y x =焦点为F ，一条直线过焦点与抛物线相交于A ，B 两点，直线的倾斜角为60.（1）求线段AB 的长度.（2）过点()3,0Q 的直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，点P 为直线3x =-上的任意一点，设直线PM ，PQ ，PN 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，且满足132k k k μ+=，μ能否为定值？若为定值，求出μ的值；若不为定值，请说明理由.23．已知离心率22e =的椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的一个焦点为()1,0-.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且423AB =，求直线l 的方程. 24．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴为2，椭圆上的点到焦点的最短距离为23-.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的右顶点和上顶点分别为,M N ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，求证：直线MP 与NQ 的斜率之和为定值；（3）过右焦点2F 作相互垂直的弦,AB CD ，求||||AB CD +的最小值.25．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与抛物线243y x =的焦点重合，短轴的一个端点与两焦点围成的三角形面积为3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点(0,4)的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且坐标原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 的斜率.26．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．D解析：D 【分析】设(),P x y ，根据标准方程求得271616k x =-，再由椭圆的几何性质可得最大值与最小值，从而可得结论. 【详解】因为椭圆方程为椭圆221169x y +=，所以4,7a c =设(),P x y ，则()()22222127·771616k PF PF x y x y x ==-+-+-, 又2016x ≤≤.∴max min 16,9k k ==. 故max min +16+925k k ==. 所以k 的最大值与最小值的和为25. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于将所求得量表示成椭圆上的点的坐标间的关系，由二次函数的性质求得其最值.3．D解析：D 【分析】由抛物线方程可得焦点坐标，设出P 点坐标，由性质求出P 点坐标，表示出FP 的斜率，解出p ，即可得抛物线方程. 【详解】,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，设()00,P x y由题意有02y =将02y =代入()220y px p =>得02x p=2,2P p ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，且FP 的斜率为43，有204232p p -=-解得：1p =故抛物线方程为：22y x = 故选：D 【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．4．C解析：C 【分析】本题首先可根据双曲线和椭圆有相同的焦点得出3m n +=，然后将11m n+转化为123m n n m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，最后利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为双曲线221x y m n-=和椭圆22174x y +=有相同的焦点，所以743m n ，则()111111233m n m n m n n m n m ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 142233m n n m，当且仅当m n =时取等号，故11m n+的最小值为43，故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线与椭圆焦点的相关性质的应用，双曲线有222+=a b c ，椭圆有222a b c =+，考查利用基本不等式求最值，是中档题.5．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.6．D解析：D 【分析】设直线1AF 的方程，利用点2F 到直线的距离建立等式，解出斜率k ，因为0bk a<<，从而求出,a c 的不等关系，进而解出离心率的范围. 【详解】设1AF ：()y k x c =+，因为点A 在右支上，则0b k a<<，，所以222222343a b k c a a =<-，即2247c a >，解得：2e > 故选：D . 【点睛】本题考查双曲线求离心率，属于中档题.方法点睛：（1）利用点到直线的距离建立等量关系；（2）解出斜率k 与,a b 的关系；（3）由点在右支和左焦点的位置关系，求出斜率k 的范围；（4）利用斜率k 的范围，建立,a c 的不等式，求出离心率的范围.7．B解析：B 【分析】根据题意得||4QF p =，||2PF p =，进而根据抛物线的定义得P 点的横坐标为32P x p =，设点P 在x 轴上方，故P ，再结合三角形PQF △面积即可得答案.【详解】解：由条件知(,0)2p F ，所以||4QF p =，所以1||||22PF QF p ==，由抛物线的准线为2p x =-，及抛物线的定义可知，P 点的横坐标为3222p p p -=，不妨设点P 在x 轴上方，则P ，所以142PQFSp =⨯=2p =．故选：B 【点睛】本题解题的关键在于根据抛物线的定义得P 点的横坐标为32P x p =，进而求出P 的纵坐标并结合三角形PQF △面积求解，考查运算求解能力，是中档题.8．D解析：D 【分析】E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形，从而得MENF 是矩形．3MEF MNF π∠=∠=，在直角三角形MEF 中用c 表示出两直角边，再上椭圆定义得,a c 的等式，求得离心率．【详解】如图，E 是另一个焦点，由对称性知MENF 是平行四边形， ∵0MF NF ⋅=，∴MF NF ⊥，∴MENF 是矩形．3MNF π∠=，∴3MEF π∠=，∴1cos232ME EF c c π==⨯=，2sin3MF c π==，∴1)2MF ME c a +==，∴1c e a ===．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到,a c 的关系，本题利用椭圆的对称性，引入另一焦点E 后形成一个平行四边形MENF ，再根据向量数量积得垂直，从而得到矩形，在矩形中利用椭圆的定义构造出,a c 的关系．求出离心率．9．B解析：B 【分析】由2POF 3233=.c 把(3P 代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得即可得出．【详解】解：2POF 3233= 解得2c =．(3P ∴代入椭圆方程可得：22131a b+=，与224a b =+联立解得：223b = 故选B ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等边三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．B解析：B 【分析】右边配方后，利用抛物线的标准方程结合图象平移变换求解．【详解】已知抛物线方程为22(1)2y x =--，即21(1)(2)2x y -=+，它的图象是由抛物线212x y =向右平移1单位，再向下平移2个单位得到的，抛物线212x y =中122p =，14p =，焦点坐标为1(0,)8，011+=，115288-=-，因此所求焦点坐标为15(1,)8-，故选：B ．【点睛】本题考查求抛物线的焦点坐标，掌握抛物线的标准方程与图象变换是解题关键．11．A解析：A 【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y . ∵抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ∴(,0)2p F ∵0FA FB FC ++= ∴112233(,)(,)(,)(0,0)222p p px y x y x y -+-+-= ∴1230y y y ++=∵2221212121211()122AB y y x x y y p k y y y y p--+===--，同理可知3212BC y y k p +=，3112CA y y k p +=. ∴3231123212()11102222AB BC CA y y y y y y y y y k k k p p p p+++++++=++== 故选A.12．A解析：A 【分析】根据椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，求出椭圆方程，由三角形ABC 的三个顶点都在椭圆r 上，利用点差法求解. 【详解】因为椭圆的右焦点为()1,0F ，且离心率为12，所以11,2c c a ==，解得 22,3a b ==，所以椭圆方程为：22143x y +=，设 ()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，则222212121,14343y x y x +=+=，两式相减得：()()1212121243+-=--+y y x x y y x x ，即143OD AB k k =-，同理1414,33OM OE AC BC k k k k =-=-，又直线OD ､OE ､OM 的斜率之和为1，所以()1231114433OD OM OE k k k k k k ++=-++=-，故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和中点弦问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．【解析】依题意由解得根据双曲线焦点三角形面积公式有解得代入双曲线方程解得解析：【解析】依题意，由222{b c a c a b ===+，解得2,a c =，根据双曲线焦点三角形面积公式有212F F 21b cotπ22tan6P S y∠===⋅，解得y =，代入双曲线方程解得x =14．【分析】取的中点则根据得则设根据结合双曲线的定义得到然后在中利用勾股定理求解即可【详解】如图取的中点则因为所以即因为是的中位线所以由题意可得设则由双曲线的定义可知则即故在中由勾股定理得即整理得解得故解析：2【分析】取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，根据22()0OP OF PF +⋅=，得2OH PF ⊥，则12PF PF ⊥，设2PF m =，根据()121PF a PF +=结合双曲线的定义得到2||2PF =，122PF a =+，然后在12Rt PF F 中，利用勾股定理求解即可.【详解】如图，取2PF 的中点H ，则22OP OF OH +=，因为22()0OP OF PF +⋅=，所以20OH PF ⋅=，即2OH PF ⊥.因为OH 是12PF F △的中位线，所以12PF PF ⊥.由题意可得10c =，设2PF m =，则()11PF a m =+，由双曲线的定义可知12||2PF PF a -=，则2am a =，即2m =，故2||2PF =，122PF a =+.在12Rt PF F 中，由勾股定理得2221122||||PF PF F F +=，即()242240a ++=，整理得2280a a +-=，解得2a =.故双曲线C 的离心率为102c a =. 故答案为：102【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质和定义的应用以及平面几何的知识，平面向量垂直问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以为直径的圆周上在直角三角形中求出和用定义求出代入离心率公式求解即可【详解】由题意可得则因为直线l 的斜率是3则因为点P 在以为直径的圆周上所以所以则故双曲线C 的离心率为解析：102【分析】利用直线l 的斜率和点P 在以12F F 为直径的圆周上，在直角三角形12PF F 中，求出1PF和2PF ，用定义求出a ，代入离心率公式求解即可．【详解】由题意可得2c =，则2124F F c ==．因为直线l 的斜率是3，则12sin PF F ∠=，12cos PF F ∠=．因为点P 在以12F F 为直径的圆周上，所以1290F PF ∠=︒，所以11212cos PF F F PF F =∠=，21212sin PF F F PF F =∠=，则212PF PF a -==，故双曲线C的离心率为c a =【点睛】本题考查双曲线的性质，考查双曲线定义的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．16．4【解析】当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以当点时过椭圆上点作的平行线分别为联立可得同理可得所以所以为定值则所以点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系此类问题的解答中主要特例法的应用解析：4 【解析】当点(0,)P b 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,22y x b y x b =+=-+，联立1212y x b y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)2b M b ，同理可得(,)2b N b -，所以2MN b =,当点(,0)P a 时，过椭圆上点P 作12,l l 的平行线分别为11,2222a ay x y x =-=-+，联立12212a y x y x⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得(,)24a a M ，同理可得(,)24a a N -，所以2a MN =,所以MN 为定值，则22ab =，所以4a b=. 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，此类问题的解答中主要特例法的应用，是解答选择题的一种方法，本题的解答中取点P 分别为长轴和短轴的端点，联立方程组，求得MN ，得出,a b 的关系式是解答关键，平时应注意特殊值等方法在选择题解答中的应用.17．【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为的直角三角形由此可求得椭圆离心率【详解】设圆柱形杯子的底面半径为画示意图如图所示：则是椭圆的长半轴长是椭圆的短半轴长则又则故答案解析：12【分析】由图知椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长半轴与底面半径构成夹角为30的直角三角形，由此可求得椭圆离心率. 【详解】设圆柱形杯子的底面半径为b ，画示意图如图所示：则OC 是椭圆的长半轴长，OB 是椭圆的短半轴长，则22BC a b c =-=，又30COB α∠==︒，则1sin 2c e a α===. 故答案为：12【点睛】本题考查了圆柱的截面为椭圆的问题，根据椭圆的性质求出椭圆的离心率，考查了学生的分析能力，空间想象能力，属于中档题.18．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4 【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.19．①②【分析】由题意曲线是平面内与两个定点和的距离的积等于常数设动点坐标为得到动点的轨迹方程然后由方程特点即可加以判断【详解】由题意设动点坐标为利用题意及两点间的距离公式的得：对于①分别将方程中的被﹣解析：①② 【分析】由题意曲线C 是平面内与两个定点1,0A 和()1,0B -标为(),x y ，得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断．【详解】由题意，设动点坐标为(),x y ，利用题意及两点间的距离公式的得：=对于①，分别将方程中的x 被﹣x 代换y 不变，y 被﹣ y 代换x 不变，方程都不变，故关于y 轴对称和x 轴对称，故曲线C 是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x 被﹣x 代换且y 被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C 是中心对称图形，故②正确；对于③，令y ＝0=x 21>，此时对应的点不在单位圆x 2+y 2=1内，故③错误．故答案为：①② 【点睛】本题考查了利用直接法求出动点的轨迹方程，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.20．【分析】设点的坐标为利用双曲线的定义可得于是转化求解即可【详解】解：由题意可得即则的坐标分别为由双曲线的定义得又是圆上的点圆的圆心为半径为2由图可知则的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线的解析：【分析】设点C 的坐标为(0,6)，利用双曲线的定义，可得12||||26MF MF a -==，于是1||||MF MA +=2||||2||MF CM a CA ++-2||62CF ≥+-，转化求解即可．【详解】解：由题意可得，291625c =+=，即5c =，则1F ，2F 的坐标分别为(5,0)-，(5,0)，由双曲线的定义，得12||||26MF MF a -==，又A 是圆22(6)4x y +-=上的点，圆的圆心为(0,6)C ，半径为2，由图可知，22||||||CM MF CF +≥，12||||||||2||MF MA MF CM a CA +=++-2||62461CF ≥+-=则1||||MF MA +的最小值为4+61 故答案为：4+61 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，熟练掌握双曲线的性质及其圆外一点到圆上一点距离的最小值是解题的关键，属于中档题．三、解答题21．（143323 【分析】（1）根据题意，先求出椭圆的方程，由原点O 为BMN △的垂心可得BO MN ⊥，//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，根据·=0BM ON 求出线段MN 的长；（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则()1212,A x x y y ++，当MN 斜率不存在时，则O 到直线MN 的距离为1，由斜率存在时根据()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=-，由方程联立得出22443m k =+，再由点到直线的距离求出最值. 【详解】解：（1）设焦距为2c，由题意知：22212b b ac c a ⎧⎪=⎪=-⎨⎪⎪=⎩，22431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为：22143x y +=；由题意知：BO MN ⊥，故//MN x 轴，设(),M x y ，则(),N x y -，22443x y =-，2227·403BM ON x y y =-+=-=，解得：y =， B ，M不重合，故y =213249x =，故2MN x ==（2）设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，当MN 斜率不存在时，点D 在x 轴上，所以此时点B 在长轴的端点处由2OB =,则1OD =，则O 到直线MN 的距离为1；当MN 斜率存在时，设MN ：y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，则1212,22x x y y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以()1212,A x x y y ++，所以()()222222121211221434343x x y y x y x y +++=+=+=，即1212346x x y y +=- 也即()()1212346x x kx m kx m +++=-()()221212434460kx x mk x x m +++++=223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，则()2224384120k x mkx m +++-= ()2248430k m∆=+->，x =则：122843mk x x k -+=+，212241243m x x k -=+，代入式子得： 22223286043m k m k --=+，22443m k =+设O 到直线MN 的距离为d，则d ===0k =时，min 32d =；综上，原点O 到直线MN 距离的最小值为32.【点睛】关键点睛：本题考查椭圆的内接三角形的相关性质的应用，解答本题的关键是设MN 中点为D ，直线OD 与椭圆交于A ，B 两点，O 为BMN △的重心，则2BO OD OA ==，根据点,,M N A 均在椭圆上，得出1212346x x y y +=-，由方程联立韦达定理得到22443m k =+，属于中档题.22．（1）8；（2）是，定值为2. 【分析】（1）联立直线与抛物线得出韦达定理，即可求出弦长；（2）设出直线方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理表示出13k k +，即可得出定值. 【详解】（1）可得3,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，直线的倾斜角为603 则直线方程为332y x ⎫=-⎪⎭，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与抛物线23326y x y x ⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得242090x x -+=，则121295,4x x x x +==， 123538AB x x =++=+=；（2）可知直线l 的斜率不为0，则设直线l 的方程为3x my =+，m R ∈，设()3,P t -，()11,M x y ，()22,N x y ，把3x my =+代入26y x =得26180y my --= ∴126y y m +=，1218y y =-，∴12121312123366y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221126666y t my y t my my my -++-+=++()()()1212212122612636my y tm y y t m y y m y y +-+-=+++()()()221866121866363m tm m t t m m m ⨯-+-⋅-==-⨯-+⋅+，26tk =-，132k k k μ+=，36t t μ⎛⎫∴-=⨯- ⎪⎝⎭，P 为3x =-上的任意一点，t ∴不恒为0，2μ∴=，即μ为定值2.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.23．（1）2212x y +=；（2）1y x =+或1y x =-.【分析】（1）由离心率求出a ，再求出b ，可得椭圆方程；（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得1212,x x x x +，然后代入弦长公式12AB x =-可求得参数m 值得直线方程．【详解】（1）由题意知，1c =，2c e a ==，∴a = 1b =， ∴椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设直线l 的方程为y x m =+，点()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简，得2234220x mx m ++-=.由已知得，()2221612228240m m m ∆=--=-+>，即23m <，∴m <<1243m x x +=-，212223m x x -=.∴21AB x =-== 解得1m =±，符合题意，∴直线l 的方程为1y x =+或1y x =-. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交弦长问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标1122(,),(,)A x y B x y ，设出直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得1212,x x x x +，代入弦长公式12AB x =-求解．24．（1）2214x y +=；（2）证明见解析；（3）3.【分析】（1）由题知1b=，2a c -=222a b c =+即可得椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线l 为12y x m =+，直线与椭圆联立化简得212122,22x x m x x m +=-=-，进而0MP NQ k k =+；（3）当直线AB 斜率不存在时，22||||23b AB CD a a+=+=，当直线AB 斜率存在时，设直线AB 为y kx =，直线CD为1y x k =-+2245||||54174AB CD k k+=-++，再结合基本不等式即可得答案. 【详解】（1）因为短轴为2，所以22,1b b ==，又因为椭圆上的点到焦点的最短距离为ac -，所以2a c -= 又因为222a b c =+，解得2,1,a b c ===所以椭圆的标准方程为2214x y +=；（2）由题意得(2,0),(0,1)M N ，设直线l 为12y x m =+，与2214x y +=联立得：222220x mx m ++-=设112211,,,22P x x m Q x x m ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则212122,22x x m x x m +=-=- 所以()12121212122111(1)222222MP NQ x m x m x x m x x m k k x x x x x ++-+-+-++=+=--22222(1)(2)220222m m x m m m x -+---+==--，所以MP 与NQ 的斜率之和为定值0；（3）当直线AB 斜率不存在时，2225b AB CD a a+=+=当直线AB 斜率存在时，设直线AB为y kx =，直线CD为1y x k =-+得()2222411240k x x k +-+-=，所以23434212441k x x x x k -+==+，所以()224141AB k k +==+，同理()2241||4k CD k +=+，所以()()2222224141445||||5414417k AB CD k k k kk +++=+=-++++因为22448k k +≥=，所以1635AB CD +≥>，当且仅当1k =±时取等号，所以AB CD +的最小值为3. 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆中的最值问题，考查运算能力与化归转化思想，是中档题.本题解题的关键在于巧设点的坐标，结合韦达定理，设而不求，达到求解目标，化简运算；同时还要注意再设直线方程时，需要考虑斜率存在与否，做到周密解答.25．（1）2214x y +=；（2）【分析】（1）根据抛物线2y=的焦点为)，解得c =122c b⨯⨯=b即可.（2）设直线l方程为4y kx=+，与椭圆方程联立，根据坐标原点O在以AB为直径的圆上，由OA OB⊥，即1212x x y y⋅+⋅=求解.【详解】（1）因为抛物线2y=的焦点为)，由题意得：c=所以122c b⨯⨯=解得1b=，24a=，所以椭圆C的方程为2214xy+=；（2）由题意设过点(0,4)的直线l方程为4y kx=+，设()()1122,,,A x yB x y，由22414y kxxy=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()221432600k x kx+++=，则1212223260,1414kx x x xk k+=-⋅=++，()()2232240140k k∆=-+>，解得k>k<，因为坐标原点O在以AB为直径的圆上，所以OA OB⊥，即1212x x y y⋅+⋅=，即()()2121214160k x x k x x+⋅+++=，所以()()2226032141601414kk kk k++-+=++，即219k=，解得k=适合0∆>，所以直线l的斜率是.【点睛】易错点点睛：易错点是由坐标原点O在以AB为直径的圆上，转化为OA OB⊥，由1212x x y y⋅+⋅=，求得斜率，而忽视要满足.0∆>.26．（1）2212xy+=；（2）存在；1)y x=-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d+=.（2）设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，先假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k 的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM 中，由余弦定理得：22121242cos2d d d d θ=+-. 又212cos1d d θ=，整理得，12d d +=所以点M 的轨迹E 是以(1,0)A -和(1,0)B为焦点，长轴长为个端点）又当点M 为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d d θ=.所以点M 的轨迹E 的方程是2212x y +=.（2）假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222124220k x k x k +-+-= 设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理得，2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+. 由题意以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k = 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时1,2P ⎛ ⎝⎭、1,2Q ⎛- ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l存在，其方程为1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.。

上海大同中学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．设双曲线C ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的左､右焦分别是1F ，2F ，过1F 的直线交双曲线C 的左支于M ，N 两点若212=MF F F ，且112MF NF =，则双曲线C 的离心率是（） A ．2B ．32C ．54D ．532．双曲线222:19x y C b-=的左、右焦点分别为1F 、2,F P 在双曲线C 上，且12PF F ∆是等腰三角形，其周长为22，则双曲线C 的离心率为（）A ．89B ．83C ．149D ．1433．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线于点M .若2BM =，3AF =，则AB =（） A ．4B ．5C ．6D ．74．设O 为坐标原点，直线y b =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,A B 两点，若OAB 的面积为2，则双曲线C 的焦距的最小值是（）A ．16B ．8C ．4D ．25．(),0F c 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点，过原点作一条倾斜角为60︒的直线交椭圆于P 、Q 两点，若2PQ c =，则椭圆的离心率为（）A ．12B 1C D 6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，若C 上存在一点P ，使得12120F PF ︒∠=，且12F PF △，则C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎦B ．110,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．1112⎫⎪⎣⎭ D ．11,112⎛⎫⎪⎝⎭7．已知1F 、2F 分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，过1F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于A 、B 两点，若260AF B ∠<，则双曲线的离心率的范围是（）A． B．)+∞C．⎛ ⎝ D．8．已知1F 、2F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点，1PQ PF ⊥，且112QF PF =，则12PFF △与12QF F 的面积之比为（） A．2B1 C1D．2+9．若圆222210x y ax y +-++=与圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点()2,C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程为（）A ．24480y x y -++=B ．22220y x y +-+=C ．2210y x y ---=D ．24250y x y +-+=10．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥（）A．⎛ ⎝⎦B．2]C．1⎤⎥⎝⎦D．1]11．以下关于圆锥曲线的命题中是真命题为（）A ．设,AB 是两定点，k 为非零常数，若||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线的一支；B ．过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ，O 为坐标原点，若1()2OP OA OB =+，则动点P 的轨迹为椭圆；C ．方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；D ．双曲线221925x y -=与椭圆22135y x +=有相同的焦点.12．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左焦点为F ，过原点的直线与双曲线分别相交于A ，B 两点.已知20AB =，16AF =，且3cos 5ABF ∠=，则双曲线的离心率为（） A ．5B ．3C ．2D二、填空题13．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>与圆222x y b +=在第二、四象限分别相交于两点A 、C ，点F 是该双曲线的右焦点，且2AF CF =，则该双曲线的离心率为______. 14．双曲线M 的焦点是12,F F ，若双曲线M 上存在点P ，使12PF F ∆是有一个内角为23π的等腰三角形，则M 的离心率是______；15．椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点12,F F 的连线相互垂直，则12PF F △的面积为______．16．已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，且线段AB 的中点M 在直线20x y -=上，则椭圆的离心率为_______.17．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4，且在双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为______.18．已知直线:10l x y -+=与椭圆221169x y+=交于,A B 两点,若椭圆上存在一点P 使得PAB ∆面积最大,则点P 的坐标为________.19．若椭圆2222:1(0)y x E a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，双曲线222211615x y -=的一条渐近线与椭圆E 在第一象限交于点P ，线段2PF 中点的纵坐标为0，则椭圆E 的离心率为________．20．设点P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若点B 的坐标为()4,2，则PB PF +的最小值为________．三、解答题21．已知双曲线22:145x y C 的左、右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点（点P 在x 轴上方）．（1）若3PF FQ =，求直线l 的方程；（2）设直线,AP BQ 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值． 22．过椭圆)(2222:10x y C a b a b+=>>右焦点2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，1F 为其左焦点，已知1AF B △的周长为8（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．23．如图，已知抛物线22(0)y px p =>上一点(4,)(0)M a a >到抛物线焦点F 的距离为5．（1）求抛物线的方程及实数a 的值；（2）过点M 作抛物线的两条弦MA ，MB ，若MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，且123k k +=，求证：直线AB 过定点，并求出这个定点的坐标．24．已知双曲线C 过点()4,3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.25．在平面直角坐标系xOy 中，动点M 到点(1,0)A -和(1,0)B 的距离分别为1d 和2d ，2AMB θ∠=，且212cos 1d d θ=.（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）是否存在直线l 过点B 与轨迹E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆过原点O ？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由. 26．求下列曲线的标准方程.（1）求焦点在x 轴上，焦距为2，过点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的椭圆的标准方程；（2）求与双曲线2212x y -=有公共焦点，且过点的双曲线标准方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c ､a 的关系式，再求离心率ce a=的值. 【详解】解：如图所示，取1F M 的中点P ，则2122MF FF c ==，MP c a =-，1F P c a =-；又112NF MF =，则()14NF c a =-，242NF c a =-；在2Rt NPF △中，22222NP PF NF +=，在2Rt MPF △中，22222MP PF MF +=，得()()()()22224252c a c a c c a ---=--⎡⎤⎣⎦，化简得223850c ac a -+=，即()()350c a c a --=，解得c a =或35c a =；又1e >， ∴离心率53c e a ==. 故选：D .【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是建立,a c 的等量关系，结合等腰三角形的性质与双曲线的定义可得．2．C解析：C 【分析】由题意画出图形，分类由三角形周长列式求得b ，进一步求得c ，则双曲线的离心率可求．【详解】如图，由22219x y b-=，得229c b =+，29c b =+．设1||PF m =，2||PF n =，由题意，6m n -=，若2229n c b ==+26629m n b =+=++则2266922m n c b ++=++，解得b ∈∅；若2229m c b ==+26296n m b =-=+．则2269622m n c b ++=+=，解得21159b =．∴222115196999c a b =+=+=，143c =． 1414339c e a ∴===．【点睛】本题考查了双曲线的简单性质，考查了运算求解能力和推理论证能力，属于中档题．3．A解析：A 【分析】设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，通过三角形相似，求|BF |，再求出||AB 即可．【详解】解：设A 、B 在准线上的射影分别为为C 、N ，过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的延长线交抛物线的准线l 于点M ，准线与x 轴的交点为H ， ||2BM =，||3AF =，∴由BNM AMC ∽，可得||23||5BF BF =+， ||1BF ∴=，||||||4AB AF FB ∴=+=，故选：A ．【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，转化化归的思想方法，属于中档题．4．C解析：C 【分析】由双曲线的渐近线方程可知2AB a =，又OAB 的面积为2得2ab =，而双曲线C 的焦距2222c a b =+. 【详解】由题意，渐近线方程为by x a=±，∴,A B 两点的坐标分别为(,),(,)a b a b -，故2AB a =， ∴1222OABSa b =⋅⋅=，即2ab =， ∴222242224c a b a a=+=+≥当且仅当22a =时等号成立. 故选：C 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足“一正二定三相等”：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方5．B解析：B 【分析】设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PF PF ，由题可得1PF PF ⊥且POF 是等边三角形，表示出1,PF PF ，利用勾股定理建立关系即可求出. 【详解】如图所示，设椭圆的左焦点为1F ，连接1,PFPF ， 2PQ c =，则PO c =，则1PF PF ⊥，又60POF ∠=，则POF 是等边三角形，即PF c =，12PF PF a +=，12PF a c ∴=-，又22211PF PFF F +=，即()()22222a c c c -+=，整理可得22220c ac a +-=，即2220e e +-=，解得31e =-. 故选：B.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．C解析：C 【分析】根据椭圆定义以及余弦定理可得212||||4PF PF b =，然后使用等面积法可得内切圆半径)r a c =-，然后根据r >，化简即可. 【详解】设12||2=F F c ，12F PF △内切圆的半径为r ．因为12||+||2PF PF a =，所以()22212121212||||||2||||(1cos1204|||)|F F PF PF PF PF a PF PF ︒=+-+=-，则212||||4PF PF b =．由等面积法可得)22211(22)4sin12022a c rb ac ︒+=⨯⨯=-，整理得)r a c =-，又r > 故1112c a <．又12120F PF ︒∠=，所以16900F PO ︒∠≤≤则2c a ≥，从而11212e ≤<．故选：C7．A解析：A 【分析】求出||AB ，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得2330e --<，再结合1e >可解得结果. 【详解】因为1(,0)F c -，由22221x c x y a b =-⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2b y a =±，所以22||b AB a =，因为260AF B ∠<，所以212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<，所以2323b ac <，所以22323c a ac -<，所以21323e e -<，即232330e e --<，解得333e -<<，又1e >，所以13e <<. 故选：A 【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围的关键是得到,,a b c 的不等式，根据212||2tan 2||AB AF B F F ∠=tan 30<可得所要的不等式.8．D解析：D 【分析】设1PF t =，则1122QF PF t ==，由已知条件得出130PQF ∠=，利用椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，利用勾股定理可求得433t a =+，进而可得出121222222PF F QF F S PF a t S QF a t -==-△△，代入433t a =+计算即可得解. 【详解】可设1PF t =，则1122QF PF t ==，1PQ PF ⊥，则130PQF ∠=，由椭圆的定义可得22PF a t =-，222QF a t =-，则43PQ a t =-，则22211PQ PF QF +=，即()222434a t t t -+=，即有433a t t -=，解得33t =+，则12PF F △与12QF F 的面积之比为1212222122222PF F QF F S PF a t S QF a t a -=====+--△△.故选：D. 【点睛】方法点睛：椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称为椭圆的“焦点三角形”，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理以及椭圆的定义来解决.9．D解析：D 【分析】首先根据两圆的对称性，列式求a ，再利用直接法求圆心P 的轨迹方程. 【详解】由条件可知222210x y ax y +-++=的半径为1，并且圆心连线所在直线的斜率是1-，()()2222222101x y ax y x a y a +-++=⇔-++=，，圆心(),1a -，22r a =，所以2111a a -⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得：1a =，即()2,1C -设(),P x y ，由条件可知PC x =x =，两边平方后，整理为24250y x y +-+=. 故选：D 【点睛】方法点睛：一般求曲线方程的方法包含以下几种：1.直接法：把题设条件直接“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程.2.定义法：运用解析几何中以下常用定义（如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发，直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.3.相关点法：首先要有主动点和从动点，主动点在已知曲线上运动，则可以采用此法.10．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由113QF PF ≥1mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()222422c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题11．C解析：C 【分析】①根据双曲线定义可得出判断；②不妨在单位圆x 2+y 2=1中，用代入法求得P 的轨迹方程可得判断；③求出方程22520x x -+=根，利用椭圆与双曲线的离心率的范围可得出判断； ④求出双曲线和椭圆的焦点坐标可得答案；【详解】①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，当||||||PA PB k AB -==时，则动点P 的轨迹是以A 为端点的一条射线线，因此不正确； ②∵()12OP OA OB =+，∴P 为弦AB 的中点，不妨在单位圆x 2+y 2=1中，定点A （1，0），动点11(,)B x y ，设P （x ，y ），用代入法求得P 的轨迹方程是212x ⎛⎫- ⎪⎝⎭+y 2=14，∴点P 的轨迹为圆，错误；③解方程22520x x -+=可得两根12，2．因此12可以作为椭圆的离心率，2可以作为双曲线的离心率，因此方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；④由双曲线221925x y -=可得c ，其焦点(，同理可得椭圆22135y x +=焦点为(0,，因此没有相同的焦点，错误；综上可知：其中真命题的序号为 ③．故选：C ．【点睛】本题综合考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其性质，考查了推理能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】在AFB ∆中，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，即可得到|BF |，设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．即可得到a ，c ，进而求得离心率．【详解】在AFB ∆中，||20AB =，||16AF =，且3cos 5ABF ∠=，由余弦定理可得222||||||2||||cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠，从而可得2(||12)0BF -=，解得||12BF =．设F '为双曲线的右焦点，连接BF '，AF '．根据对称性可得四边形AFBF '是矩形．||16BF ∴'=，||10FF '=．2|1612|a ∴=-，220c =，解得2a =，10c =． 5ce a∴==．故选：A.【点睛】本题考查余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.二、填空题13．【分析】画出图形结合双曲线的性质判断四边形的形状结合双曲线的定义求出三角形的边长通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可【详解】解：双曲线的右焦点为左焦点为根据对称性可知是平行四边形所以又点在双曲线上解析：222【分析】画出图形，结合双曲线的性质判断四边形的形状，结合双曲线的定义求出三角形的边长，通过勾股定理转化求解双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线的右焦点为F ，左焦点为E ，根据对称性可知AFCE 是平行四边形，所以 ||2||2||AF CF AE ==，又点A 在双曲线上，所以||||2AF AE a -=，因为||2||AF CF =，所以||||2||||2AF AE CF CF a -=-=，所以||2CF a =，在三角形OFC 中，||2FC a =，||OC b =，||OF c =，||4AF a =，可得222162cos a b c bc AOF =+-∠， 22242cos a b c bc COF =+-∠，可得22222202242a b c c a =+=-，即：22112a c =，所以双曲线的离心率为：22e =．故答案为：222．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于中档题．14．【分析】根据双曲线的对称性可知等腰三角形的腰应该为与或与不妨设等腰三角形的腰为与故可得到的值再根据等腰三角形的内角为求出的值利用双曲线的定义可得双曲线的离心率【详解】解：根据双曲线的对称性可知等腰三 31+ 【分析】根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的腰应该为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，故可得到2PF 的值，再根据等腰三角形的内角为23π，求出1PF 的值，利用双曲线的定义可得双曲线的离心率.【详解】解：根据双曲线的对称性可知，等腰三角形的两个腰应为2PF 与12F F 或1PF 与12F F ，不妨设等腰三角形的腰为2PF 与12F F ，且点P 在第一象限，故22PF c =，等腰12PF F ∆有一内角为23π，即2123PF F π∠=，由余弦定理可得，()()cos2212PF 2c 2c 22c 2c 23c 3π=+-•••=，由双曲线的定义可得，||12PF PF 23c 2c 2a -=-=，即(31)c a =，解得：e = 【点睛】本题考查了双曲线的定义、性质等知识，解题的关键是要能准确判断出等腰三角形的腰所在的位置.15．24【分析】设由结合椭圆定义可求得从而易得三角形面积【详解】椭圆中设由则又∴∴故答案为：24【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题考查椭圆的定义属于基础题解析：24 【分析】设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥结合椭圆定义可求得mn ，从而易得三角形面积．【详解】椭圆2214924x y +=中7a =，b =5c =，设12,PF m PF n ==，由12PFPF ⊥，则()2222100m n c +==，又214m n a +==， 2224100214m n c m n a ⎧+==⎨+==⎩，∴2222()()141004822m n m n mn +-+-===， ∴121242PF F S mn ==△．故答案为：24．【点睛】本题考查椭圆的焦点三角形面积问题，考查椭圆的定义，属于基础题．16．【分析】设联立直线与椭圆的方程利用韦达定理求得线段的中点M 的坐标根据点M 在直线上求解【详解】设由得由韦达定理得所以线段的中点M 又M 在直线上所以即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置解析：2【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB 的中点M 的坐标，根据点M 在直线20x y -=上求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由222211y x x y ab =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222222220a b x a x a a b +-+-=，由韦达定理得22221221222222,,10a b x x y y a b a ba b∆，所以线段AB 的中点M222222,a b a ba b ，又M 在直线20x y -=上，所以22222220a b a b a b ，即2222222a b a c ==-，所以222a c =，解得e =【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.17．8【分析】双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4可得的值由条件以为圆心2为半径的圆与双曲线仅有1个交点由双曲线和该圆都是关于轴对称的所以这个点只能是双曲线的右顶点即根据可求得答案【详解】由题意可得双曲线解析：8 【分析】双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点2F 到渐近线的距离为4,可得b 的值，由条件以2F 为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于x 轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点.即2c a -=，根据2222++16c a b a ==可求得答案. 【详解】由题意可得双曲线的一条渐近线方程为by x a=，由焦点2F 到渐近线的距离为44=，即4b =.双曲线C 上到2F 的距离为2的点有且仅有1个,即以2F 为圆心，2为半径的圆与双曲线仅有1个交点.由双曲线和该圆都是关于x 轴对称的，所以这个点只能是双曲线的右顶点. 所以2c a -=，又2222++16c a b a ==即2216c a -=，即()()16c a c a -+=，所以8c a +=. 所以双曲线的右顶点到左焦点1F 的距离为8c a +=. 所以这个点到双曲线C 的左焦点1F 的距离为8. 故答案为：8 【点睛】本题考查双曲线的性质，属于中档题.18．【分析】先设与直线平行的直线求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程再求两平行线的最大距离即可根据面积公式求出面积最大值【详解】解:由题意可得弦长为定值要使面积最大则只要点到直线的距离最大当平行于直线的直解析：169,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先设与直线:10l x y -+=平行的直线:0l x y m '-+=,求出直线与圆锥曲线相切时的直线方程,再求两平行线的最大距离,即可根据面积公式求出PAB ∆面积最大值. 【详解】解:由题意可得弦长AB 为定值,要使PAB ∆面积最大, 则只要点P 到直线:10l x y -+=的距离最大, 当平行于直线l 的直线与椭圆相切时, 对应的切点到直线l 的距离最大或最小. 设直线:0l x y m '-+=直线与椭圆联立得22:01169l x y m x y -+='⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得222532161440x mx m ++-=,则()22(32)425161440m m ∆=-⨯-=,解得5m =±.当5m =时,直线l '与直线l的距离为d == 当5m =-时,直线l '与直线l的距离为d ==∴当5m =-时, 2251602560x x -+=,解得165x =, 代入直线:50l x y '--=,解得95y =- 即点P 的为坐标169,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故答案为: 169,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系,考查了直线与椭圆交点坐标,是中档型的综合题.19．【分析】求出椭圆的焦点坐标利用已知条件求解点坐标再代入双曲线的渐近线方程转化求解椭圆的离心率即得【详解】由题可得点由线段中点的纵坐标为0得点的纵坐标为又点在椭圆上且在第一象限则有解得点的横坐标为由双解析：35【分析】求出椭圆的焦点坐标，利用已知条件，求解P 点坐标，再代入双曲线222211615x y -=的渐近线方程，转化求解椭圆的离心率即得. 【详解】由题可得点2(0,)F c -，由线段2PF 中点的纵坐标为0，得点P 的纵坐标为c ，又点P 在椭圆上且在第一象限，则有22221c x a b +=，解得点P 的横坐标为2b a ，由双曲线222211615x y -=，得渐近线1516y x =与椭圆交于点2(,)P b c a ，则有21516b c a =，整理得2215()160a c ac --=，即215(1)160e e --=，由01e <<，得35e =.故答案为：35e = 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，属于中档题.20．【分析】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知进而把问题转化为求的最小值进而可推断出当三点共线时最小则答案可得【详解】设点在准线上的射影为则根据抛物线的定义可知所以要求取得最小值即求取得最小当三解析：5【分析】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，进而把问题转化为求PB PD +的最小值，进而可推断出当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小，则答案可得. 【详解】设点P 在准线上的射影为D ，则根据抛物线的定义可知PF PD =，所以，要求PB PF +取得最小值，即求PB PD +取得最小，当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小为()415--=．故答案为：5．【点睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D 、P 、B 三点共线时PB PD +最小是解题的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 三、解答题21．（1）22620x y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，根据条件得出05m <<，分别求出P Q ，的纵坐标，由条件可得12PF yFQ y =可得答案. （2）由()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154APPBk k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，由()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++，可得答案. 【详解】解：（1）设直线PQ 方程为3x my =+，()11,P x y ，()22,Q x y222235(3)4205420x my my y x y =+⎧⇒+-=⎨-=⎩()225430250m y my ⇒-++=由过右焦点F 的直线l 与双曲线C 的右支交于P ，Q 两点，则()()22222540300542505430425540m m m m m m ⎧-≠⎪-⎪>⎪-⎪⎨⎪<-⎪⎪∆=-⨯⨯->⎪⎩，205m ⇒<<由点P 在x 轴上方，则()()2212223020130201,254254m m m m y y m m --+-++==-- ()()222230201321123342230201321PF m m m m m FQ m m m m --+++==-⇒=⇒==--++--+ ∴直线l 方程为23226204x y x y =+⇒--=（2）由方程可得()()2,0,2,0A B -，设()11,P x y ，()22,Q x y 则()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PBk k k ==,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅= 要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值由（1）可知1223054my y m -+-=，1222554y y m =- ()()121212122211BP BQ y y y y k k x x my my ⋅=⋅=--++()2222121222252554542530115454m m mm y y m y y m m m m --==-+++⋅+⋅+--22225252530544m m m ==--+-∴125414255k k ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭为定值．【点睛】关键点睛：本题考查直线与双曲线的位置关系求直线方程和考查定值问题，解答本题的关键是先得出()221111221111545422444PAPBx y y y kk x x x x -⋅=⨯===+---，所以154AP PB k k k == ,所以1225544PB PB PQ k k k k k k =⋅⋅=，要证12k k 为定值，只需证54PB BQ k k ⋅为定值，属于中档题. 22．（1）2214x y +=；（2）存在圆心在原点的圆2245x y +=满足条件．【分析】（1）先利用椭圆定义得到48a =，结合离心率求得参数a ，c ，再解得b ，即得到方程；（2）先假设圆存在，设方程)(22201x y r r +=<<，讨论直线PQ 斜率存在时与椭圆有两个交点满足题意，结合直线PQ 是圆的切线，解得半径，再验证斜率不存在该圆也满足题意，即得结果. 【详解】解：（1）结合椭圆的定义可知，1AF B △的周长为4a，故48a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴2221b a c =-=，故椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）假设满足条件的圆存在，其方程为)(22201x y r r +=<<，当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得)(222148440k x ktx t +++-=．设)(11,P x y ，)(22,Q x y ，则())()(2228414440kt kt∆=-+->，即2214<+t k ，122814kt x x k +=-+，21224414t x x k-=+．① ∵OP OQ ⊥，∴12120x x y y +=．又11y kx t =+，22y kx t =+．∴)()(12120x x kx t kx t +++=，即)()(22121210k x x kt x x t ++++=．②将①代入②得)()(2222222144801414k t k t t kk +--+=++，即)(2224115t k k =+<+． ∵直线PQ 与圆222x y r +=相切，∴圆心()0,0到直线y kx t =+的距离d 等于半径r ，即)(0,15r d ====， ∴存在圆2245x y +=满足条件．当直线PQ 的斜率不存在时，圆2245x y +=也满足条件．综上所述，存在圆心在原点的圆2245x y +=使得该圆的任意一条切线与椭圆C 恒有两个交点P ，Q ，且OP OQ ⊥．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求与直线相关的问题，通常需要联立方程，得到二次方程后利用韦达定理、结合题中条件（比如斜率关系，向量关系，距离关系，面积等）直接计算，即可求出结果，运算量较大.23．（1）24y x =；4a =；（2）证明见解析；定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）由抛物线的定义可得求出2p =，再代入4x =可求出a ；（2）将()11,A x y ，()22,B x y 代入抛物线可得1212124y y k x x y y -==-+，由123k k +=可得()121281633y y y y =-+-，即可得出定点. 【详解】（1）由题意，452pMF =+=，故2p =，24y x =；令4x =，可得4y =±，故4a =．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 斜率为k ，联立方程21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得22121244y y x x -=-，即1212124y y k x x y y -==-+，故直线AB 方程为()21111244y y y k x x x y y ⎛⎫-=-=- ⎪+⎝⎭，即1212124y y y x y y y y =-++；1144MA k k y ==+，2244MB k k y ==+， ∴121244344MA MB k k k k y y +=+=+=++，即()121281633y y y y =-+-；因此，直线AB 为12121212444833y y y x x y y y y y y ⎛⎫=-=++ ⎪+++⎝⎭经过定点48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查抛物线中直线过定点问题，解题的关键是得出直线斜率124k y y =+，由123k k +=得出()121281633y y y y =-+-. 24．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=，解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．25．（1）2212x y +=；（2）存在；1)y x =-.【分析】（1）由余弦定理可得12d d +=.（2）设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，先假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立，韦达定理代入求出k 的值，再检验斜率不存在的情况.【详解】（1）当0θ≠时，在ABM 中，由余弦定理得：22121242cos2d d d d θ=+-.又212cos1d d θ=，整理得，12d d +=所以点M 的轨迹E 是以(1,0)A -和(1,0)B 为焦点，长轴长为个端点）又当点M 为该椭圆的长轴的两个端点时，0θ=，也满足212cos1d d θ=.所以点M 的轨迹E 的方程是2212x y +=.（2）假设存在直线l 满足题设，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得()2222124220k x k x k +-+-= 设P ，Q 两点的坐标依次为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理得，2122412k x x k +=+，21222212k x x k-=+. 由题意以线段PQ 为直径的圆过原点得，0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=.又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，整理得：()212121210x k x x x x x =⎡-+⎤⎣⎦++.代入整理得：22222222222410121212k k k k k k k ⎛⎫--+-+= ⎪+++⎝⎭，即k = 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =，此时P ⎛ ⎝⎭、1,Q ⎛ ⎝⎭，经验证0OP OQ ⋅≠不满足题意.综上所述，所求直线l存在，其方程为1)y x =-. 【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程和根据条件求直线方程，解答本题的关键是由以线段PQ 为直径的圆过原点，得0OP OQ ⋅=，即12120x x y y +=，转化为方程联立韦达定理代入求解，将条件转化为向量的数量积为0，进而转化为利用韦达定理求解的方法，属于中档题.26．（1）22143x y +=；（2）2212y x -=. 【分析】（1）由题意知1c =，根据椭圆的定义求出2a =，根据222b a c =-得到23b =，从而可得椭圆的标准方程；（2）根据2212x y -=求出焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为22221(,0)x y m n m n -=>，代入点并利用223m n +=可求得1m =，n =而可得结果. 【详解】（1）由题意知1c =，焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，根据椭圆定义可得12||||2PF PF a +=2a =，所以24a =，2a =，所以222413b a c =-=-=，故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由2212x y -=得222,1a b ==，所以222213c a b =+=+=，所以c =所以双曲线2212x y -=双曲线的焦点为(，设双曲线的方程为22221(,0)x y m n m n-=>，可得223m n +=，将点代入双曲线方程可得，22221m n -=，解得1m =，n =即有所求双曲线的方程为：2212y x -=.【点睛】关键点点睛：第一问利用椭圆的定义求出a 是解题关键；第二问根据两个双曲线的半焦距相等求解是解题关键.。

(北师大版)深圳市高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．230 2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是正方形，G 为CD 的中点，60DAF ∠=，则直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是（）A ．25B ．105C ．155D ．215 3．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -棱长为3，点H 在棱1AA 上，且11HA=，在侧面11BCC B 内作边长为1的正方形1EFGC ，P 是侧面11BCC B 内一动点，且点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长，则当点P 运动时，2||HP 的最小值是（）A ．21B ．22C ．23D ．134．在四棱锥O ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平四边形，设OA a =，OB b =，OC c =，则BD 可表示为（）A ．a c b +-B ．a +2b c -C ．c b a +-D ．a c +-2b 5．过平面α外一点A 引斜线段AB 、AC 以及垂线段AO ，若AB 与α所成角是30，6AO =，AC BC ⊥，则线段BC 长的取值范围是（）A ．()0,6B ．()6,+∞C ．(0,63D ．()63,+∞6．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是侧面AA 1D 1D 内一点，若EF ∥平面BB 1D 1D ，则EF 长度的范围为（）A ．[2,3]B ．[2,5]C ．[2,6]D ．[2,7] 7．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．2π 8．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B 22C 32D ．129．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（）A 10B 10C ．32D ．6210．已知A 、B 、C 是不共线的三点，O 是平面ABC 外一点，则在下列条件中，能得到点M 与A 、B 、C 一定共面的条件是（）A ．111222OM OA OB OC =++ B ．OM OA OB OC =++ C ．1133OM OA OB OC =-+ D ．2OM OA OB OC =--11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（）A ．2B ．3C ．1D ．212．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．若△ABC 的三个顶点坐标分别为231-,222⎛ ⎝2则角A 的大小为_____.14．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别是11A B 、11A C 的中点，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为______．15．设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 中点M 到C 的距离CM = _______. 16．如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点,E F ，且 2EF = ①AC BE ⊥；②//EF 平面ABCD ；③三棱锥A BEF -的体积为定值； ④异面直线,AE BF 所成的角为定值.其中正确结论的序号是______．17．在正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，M 为棱11A B （含端点）上的任一点，则直线ME 与平面1D EF 所成角的正弦值的最小值为_________.18．已知向量,,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量,,a b a b c +-是空间的另一个基底．若向量m 在基底,,a b c 下的坐标为()1,2,3，则m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为 _________19．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,若动点P 在线段1BD 上运动, 则·DC AP 的取值范围是．20．已知60︒ 的二面角的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB ，已知1AB = ，2AC = ，3BD = ，则线段CD 的长为__________．三、解答题21．如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中60BAD ∠=︒，22AB AD ==，45BAE GAD ∠=∠=︒.（Ⅰ）求证：平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）求直线BG 与平面AGFE 所成角的正弦值.22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AC BC AC AA BC E F ⊥==,,,分别为侧棱11,BB CC 中点．（1）证明：//BF 平面11AC E ．（2）求1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值．23．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，6π∠=CAD ，且321,2AD CD PA ABC ===，和PBC 均是等边三角形，O 为BC 的中点.（I ）求证：PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.25．如图，已知ABCD 为正方形，GD ⊥平面ABCD ，//AD EG 且2AD EG =，//GD CF 且2GD FC =，2DA DG ==.（1）求平面BEF 与平面CDGF 所成二面角的余弦值；（2）设M 为FG 的中点，N 为正方形ABCD 内一点（包含边界），当//MN 平面BEF 时，求线段MN 的最小值.26．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，4PD =，底面ABCD 是边长为2的正方形，E ，F 分别为PB ，PC 的中点．（1）求证：平面ADE ⊥平面PCD ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c '=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=，即85AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C【分析】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =，利用空间向量法可求得直线BG 与平面AGE 所成角的正弦值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】以A 为原点，以AD 、AB 的方向分别为x 、y 轴的正方向，过A 作垂直平面ABCD 的直线作z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．设2AB =，得()0,0,0A 、()2,1,0G 、()0,2,0B 、(1,3E ，则()2,1,0AG =，(3AE =，()2,1,0BG =-，设平面AGE 的法向量为(),,n x y z =，则20230n AG x y n AE x y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =，则2y =-，3z =所以，平面AGE 的一个法向量为()1,2,3n =-，从而410cos ,5225n BGn BG n BG ⋅<>===⨯⋅，故直线BG 与平面AGE 所成角的余弦值是21015155⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin h lθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.3．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系,根据P 在11BCC B 内可设出P 点坐标，作1HM BB ⊥,连接PM ,可得222HP HM MP =+，作1PN CC ⊥，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得2HP 的范围.【详解】根据题意,以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示：作1HM BB ⊥交1BB 于M,连接PM ，则HM PM ⊥作1PN CC ⊥交1CC 于N ，则PN 即为点P 到平面11CDD C 距离.设(),3,P x z ,则()()()1,3,2,3,3,2,0,3,F M N z ()03,03x z ≤≤≤≤∵点P 到平面11CDD C 距离等于线段PF 的长∴PN PF =由两点间距离公式可得()()2212x x z =-+-，化简得()2212x z -=-,则210x -≥解不等式可得12x ≥综上可得132x ≤≤ 则在Rt HMP ∆中222HP HM MP =+()()222332x z =+-+-()223321x x =+-+-()2213x =-+132x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭所以213HP ≥（当时2x = 取等）故选:D【点睛】本题考查了空间直角坐标系的综合应用，利用空间两点间距离公式及二次函数求最值，属于难题.4．D解析：D【分析】作出图形，根据条件得出BD BA BC =+，再得到BA a b =-，BC c b =-，即可求解，得到答案.【详解】如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，则BD BA BC =+，在OAB ∆中，BA OA OB a b =-=-，在OBC ∆中，BC OC OB c b =-=-，故选：D.【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.5．C解析：C【分析】画出已知图形，可得出OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，求出OB 的长度，则线段BC 长的范围即可求出.【详解】如下图所示：AO α⊥，BC α⊂，BC AO ∴⊥.又BC AC ⊥，AO AC A ⋂=，AO 、AC ⊂平面ACO ，BC ∴⊥平面ACO . OC ⊂平面ACO ，OC BC ∴⊥，在Rt OAB ∆中，6AO =，30ABO =∠，63tan 30AO OB ∴==. 在平面α内，要使得OBC ∆是以OB 为斜边的直角三角形，则0BC OB <<，即063BC <<BC 长的取值范围是(0,63.故选C.【点睛】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 6．C解析：C【分析】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，根据线面垂直关系和勾股定理可知222EF AE AF =+；由,//EF FG 平面11BDD B 可证得面面平行关系，利用面面平行性质可证得G 为AD 中点，从而得到AF 最小值为,F G 重合，最大值为,F H 重合，计算可得结果.【详解】过F 作1//FG DD ，交AD 于点G ，交11A D 于H ，则FG ⊥底面ABCD2222222221EF EG FG AE AG FG AE AF AF ∴=+=++=+=+//EF 平面11BDD B ，//FG 平面11BDD B ，EF FG F ⋂=∴平面//EFG 平面11BDD B ，又GE 平面EFG //GE ∴平面11BDD B又平面ABCD 平面11BDD B BD =，GE 平面ABCD //GE BD ∴ E 为AB 中点 G ∴为AD 中点，则H 为11A D 中点即F 在线段GH 上min 1AF AG ∴==，max 145AF AH =+=min 112EF ∴+=max 156EF +则线段EF 长度的取值范围为：2,6本题正确选项：C【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解，关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.7．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8．B解析：B【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11AC ， ∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则112cos 31824MB AA MB AA θ⋅===⋅⋅,∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为223，故选B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.9．A解析：A【分析】建立空间直角坐标系，求出向量AM 与1BC 的向量坐标，利用数量积求出异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值. 【详解】以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：设正方体的棱长为1，则(1,0,0)A ，1(1,0,1)A ，(1,1,0)B ，1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ∵M 为11A B 的中点∴1(1,,1)2M ∴1(0,,1)2AM =，52AM =；1(1,0,1)B C =--，12B C =. ∴异面直线A M 与1B C 所成角的余弦值为111110cos ,510AM B C AM B C AM B C⋅===⋅ 故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的定义和求法，找出两异面直线所成的角∠AEM （或其补角），是解题的关键．如果异面直线所成的角不容易找，则可以通过建立空间直角坐标系，利用空间向量来求解．10．C解析：C【分析】由共面向量定理可得：若定点M 与点A 、B 、C 一定共面，则存在实数x ，y ，使得AM xAB yAC =+，即(1)OM x y OA xOB yOC =--++，判断标准是验证OA ，OB ，OC 三个向量的系数和是否为1，若为1则说明四点M ，A ，B ，C 一定共面，由此规则即可找出正确的条件．【详解】由题意,,A B C 三点不共线，点O 是平面ABC 外一点，对于A 由于向量的系数和是32，不是1，故此条件不能保证点M 在面ABC 上；对于B ，等号右边三个向量的系数和为3，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面对于C ，等号右边三个向量的系数和为1，满足四点共面的条件，故能得到点M 与,,A B C 一定共面对于D ，等号右边三个向量的系数和为0，不满足四点共面的条件，故不能得到点M 与,,A B C 一定共面综上知，能得到点M 与,,A B C 一定共面的一个条件为C .故选：C ．【点睛】本题考查平面向量的基本定理，利用向量判断四点共面的条件，解题的关键是熟练记忆四点共面的条件，利用它对四个条件进行判断得出正确答案，本题考查向量的基本概念，要熟练记忆．11．A解析：A【分析】由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长.【详解】设AB a =，AD b =，1AA c =，棱长为t ，则两两夹角为60︒， 11AC AB AD A A a b c=++=+-， 22222222122232AC a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=，12AC t ∴=. 2m ∴=.故选：A .【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =，是基础题.12．B 解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】先写出的坐标再由向量的夹角公式求得角A 【详解】=(-100)则cosA=又因为故角A 的大小为30°填【点睛】求平面向量夹角公式：若则解析：30【分析】先写出,AB AC 的坐标，再由向量的夹角公式求得角A.【详解】 31AB -,,0,AC 22⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭=(-1,0,0).则cosA=3AB?AC 211|AB|?|AC|==⨯,又因为,[0,]AB AC π∈，故角A 的大小为30°.填30．【点睛】求平面向量夹角公式：cos ,,,[0,]a ba b a b a b π⋅=∈⋅，若111222(,,),(,,)a x y z b x y z ==，则121212222222cos ,,,[0,]x x y y z z a b a b x y z x y z π++=∈++⋅++．14．【解析】【分析】由题意设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系利用空间向量求解即可得到答案【详解】设正方体的棱长为2建立如图所示空间直角坐标系则0211异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为故答案为【解析】【分析】由题意，设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解，即可得到答案．【详解】设正方体的棱长为2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(2,0，0)，B(2,2，0)，M(2,1，2)，N(1,1，2)，()BM 0,1,2∴=-，()AN 1,1,2=-，BM ANcos BM,AN 5BM AN ⋅∴===⋅∴异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为3010．故答案为3010．【点睛】本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，建立适当的空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．15．【解析】中点解析：532【解析】中点32,,32M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22235321322MC ⎛⎫=+-+= ⎪⎝⎭． 16．①②③【分析】根据平面可判断①；根据可判断②；利用体积公式判断③；设用向量法求出的夹角的范围判断④【详解】连接由可知平面而平面故①正确；由且平面平面可得平面故②正确；三棱锥的体积为定值故③正确；建立解析：①②③【分析】根据AC ⊥平面11BB D D 可判断①；根据11//B D BD 可判断②；利用体积公式判断③；设11D E a =，用向量法求出,AE BF 的夹角的范围判断④.【详解】连接BD ，由AC BD ⊥，1AC DD ⊥，可知AC ⊥平面11BB D D ，而BE ⊂平面11BB D D ，AC BE ∴⊥，故①正确；由//EF BD ，且EF ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，可得//EF 平面ABCD ，故②正确；1132A BEF BEF V S AC -=⋅111123222=⨯⨯⨯=， ∴三棱锥A BEF -的体积为定值，故③正确；建立坐标系如图所示;设1102D E a a ⎛=≤≤ ⎝⎭, 则()1,0,0A，()1,1,0B ，,,122E a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，11,122F ⎫++⎪⎪⎝⎭， 2,12AE ⎛⎫∴=-⎪ ⎪⎝⎭，211,1222BF a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭, 设异面直线,AE BF 所成的角为θ，则cos a AE BF AE BF a θ⋅==⋅= 2232222a a a ⎛-+=-+ ⎝⎭ ∴当0a =时，cos θ θ∴的最小值为30，即异面直线,AE BF 所成的角不为定值，故④错误；故答案为：①②③【点睛】本题考查了线面垂直的性质定理、线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式以及空间向量法求异面直线所成的角，综合性比较强，属于中档题.17．【分析】建立直角坐标系设正方体边长为2求出平面的法向量为直线与平面所成角为因为所以当时取到最小值代入即可【详解】解：如图建立直角坐标系设正方体边长为2则002设平面的法向量为由得令故0由设直线与平面解析：25 【分析】建立直角坐标系，设正方体边长为2，求出平面DEF 的法向量为m ，直线ME 与平面1D EF 所成角为α，22sin cos ,15m EM a α==+⋅，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时，取到最小值，代入即可．【详解】解：如图，建立直角坐标系，设正方体边长为2，AM a =，则(2E ，0，1)，(2M ，a ，2)，(0D ，0，2)，(2F ，2，1)，设平面DEF 的法向量为(m x =，y ，)z ，1(0,2,0),(2,0,1)EF ED ==-，由0m EF ⋅=，10m D E ⋅=，得020y x z =⎧⎨-+=⎩，令2z =，1x =，故(1m =，0，2)，由(0,,1)EM a =，设直线ME 与平面1D EF 所成角为α，22sin cos ,15m EM a α==+⋅，因为[0a ∈，2]，所以当2a =时， sin α的最小值为22555=⋅，故答案为：25．【点睛】考查立体几何中的最值问题，本题利用向量法求线面所成的角，基础题．18．【解析】由题意可知：即在基底下的坐标为解析：31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】由题意可知：()()3123322m a b c a b a b c =++=+--+ ，即m 在基底,,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭. 19．【详解】试题分析：以所在的直线为轴以所在的直线为轴以所在的直线为轴建立空间直角坐标系则∴∵点在线段上运动∴且∴∴故答案为考点：空间向量数量积的运算解析：[]0,1【详解】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．∴AP AB BP DC BP =+=+(),1,λλλ=--，∴，故答案为[]0,1．考点：空间向量数量积的运算. 20．【解析】根据题意画图由空间向量法得到故答案为：解析：22【解析】根据题意画图，由空间向量法得到()2222||2?··CD CA AB BD CA AB BD CA AB AB BD BDCA =++=+++++214CA BD =⋅==故答案为：三、解答题21．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ 【分析】（Ⅰ）证明：AD DB ⊥，GD DB ⊥，即可证明BD ⊥平面ADG ，从而得到平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量方法求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．【详解】（Ⅰ）证明：在BAD 中，22AB AD ==，60BAD ∠=︒．由余弦定理2222cos60BD AD AB AB AD =+-︒，BD ， 222AB AD DB =+，AD DB ∴⊥，在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，GD DB ∴⊥，又ADGD D =，,AD DG ⊂平面ADGBD ∴⊥平面ADG ．又因为BD ⊂平面BDG ，所以平面ADG ⊥平面BDG ；（Ⅱ）解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -，45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，(1A ∴，0，0)，(0,3,0)B ，E ，(0G ，0，1)，(1AE =-，(1,0,1)AG =-，(0,1)GB =-，设平面AEFG 的法向量(,,)n x y z =，·20·0n AE x z n AG x z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩令1x =，得3y =，1z =， ∴3(1,3n =-，设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ，∴21sin |cos ,|||7||||GB n GB n GB n θ=<>==，所以直线GB 与平面AEFG ．【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 22．（1）答案见解析；（2）31010【分析】（1）先证线线平行，即1//BF C E ，再得出线面平行；（2）建立空间直角坐标系，求出面11AC E 的法向量为n 和向量1CB ，求出这两个向量的夹角的余弦，从而得到1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，1BB 与1CC 平行且相等. 因为E ，F 分别为侧棱1BB ，1CC 的中点，所以BE 与1FC 平行且相等，所以四边形1BEC F 是平行四边形，从而1//BF C E .因为1C E ⊂平面11AC E ，BF ⊄平面11AC E ，所以//BF 平面11AC E .（2）解：以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，设1BC =，则()12,0,2A ，()10,0,2C ，()0,1,1E ，()10,1,2B . ()112,0,0C A =，()10,1,1EC =-，()10,1,2CB =.设平面11AC E 的法向量为(),,n x y z =，则1110n C A n EC ⋅=⋅=，即20,0,x y z =⎧⎨-+=⎩令1y =，得()0,1,1n =. 所以13310cos,1052CB n ==⨯，故1BC 与平面11AC E 所成角的正弦值为31010. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 23．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，根据面面垂直的性质定理，可得DO ⊥平面ABC ，根据O ，F 分别为AC ，BC 的中点，可得四边形DEFO 为平行四边形，即//EF DO ，即可得证；（2）如图建系，求得各点坐标，进而求得所需向量坐标，分别求得平面ADC 和平面DCE 的法向量，利用二面角的向量求法，即可求得答案.【详解】（1）证明：取AC 的中点O ，连接DO ，OF ，如图所示：∵在DAC △中，DA DC =，∴DO AC ⊥，∵平面DAC ⊥平面ABC ，且平面DAC ⋂平面ABC =AC ， ∴DO ⊥平面ABC ，∵O ，F 分别为AC ，BC 的中点，∴//OF AB ，且2AB OF =，又//DE AB ，2AB DE =， ∴//OF DE OF DE =，，∴四边形DEFO 为平行四边形，∴//EF DO ， ∴EF ⊥平面ABC ；（2）∵DO ⊥平面ABC ，∴DO ⊥BC ， DO AO ⊥，又AC BC ⊥，∴以O 为原点，OA 为x 轴，过点O 与CB 平行的直线为y 轴，OD 为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，∵24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点， ∴(1,0,0)A ，(1,0,0)C -，(1,4,0)B -，∵EF ⊥平面ABC ，∴直线BE 与平面ABC 所成角为60EBF ︒∠=， ∴tan6023DO EF BF ︒=== ∴(0,0,23)D ，(1,2,23)E -，取平面ADC 的一个法向量(0,1,0)m =，设平面DCE 的一个法向量(,,)n x y z =， ∵(1,0,23)CD =，(0,2,23)CE =，则2302230n CD x z n CE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1z =，得(23,3,1)n =--， ∴222||(23)(3)14n =-+-+=，||1m =，3m n ⋅=-，∴33cos ,||||14m n m n m n ⋅-<>===⋅⨯，设平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角为θ，则3cos |cos ,|4m n θ=〈〉=，∴平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值为34．【点睛】解题的关键是熟练掌握线面垂直的判定定理、性质定理，并灵活应用，利用空间向量求解二面角的步骤为：1，建系求得所需点的坐标；2，求得所需向量的坐标；3，求出两个平面的法向量12,n n ；4，代入公式121212cos ,n n n n n n ⋅<>=⋅即可求得二面角的余弦值；需要结合图象判断所求角为锐角还是钝角. 24．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3913. 【分析】（Ⅰ）根据题中的边长以及垂直关系，可求出,OA OP ，利用勾股定理判断OP OA ⊥，再根据等边三角形三线重合，判断OP BC ⊥，即可证明PO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）根据垂直关系，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标公式求CB 与平面PBD 所成角的正弦值.【详解】（Ⅰ）证明：在ACD △中，由已知得3AC =,ABC PBC 均为边长为3的等边三角形，且O 为BC 的中点 ,OA BC OP BC ∴⊥⊥，且32OA OP ==. 在PAO 中，已知322PA =，则有222,PO OA PA OP OA +=∴⊥. 又,OA BC O OA ⋂=⊂平面,ABCD BC ⊂平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .（Ⅱ）以O 为坐标原点，,,OA OC OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则30,0,,0,,2P B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (0,3,0)(1,3,0)BC BD ∴==，，32BP ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n BP n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，令1z =.则3y x ==.∴平面PBD 的一个法向量为(3,3,1)n =-，39sin |cos ,|13BCn θ∴=<>=.sin θ∴= 【点睛】方法点睛：1.利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角中的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；2.在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法解垂线段的长度h ，而不必画出线面角，利用sin h θ= /斜线段长，进行求角；3.建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，利用公式sin cos ,a n θ=<>求解. 25．（1，（2）2【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值；（2）设(),,0N x y ，即可表示出MN ，再根据//MN 平面BEF ，即可得到0m MN =，即可得到x 与y 的关系，最后根据向量的模及二次函数的性质计算可得；【详解】解：（1）如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()0,2,0C ，()2,2,0B ，()2,0,0A ，()0,0,2G ，()0,2,1F ，()1,0,2E ，则()1,2,2BE =--，()1,2,1FE =-，()2,0,0DA =，设面BEF 的法向量为(),,n x y z =，则22020x y z x y z --+=⎧⎨-+=⎩，令2x =，则3y =，4z =，所以()2,3,4n =，而平面CDGF 的法向量为()2,0,0DA =设平面BEF 与平面CDGF 所成二面角为θ，显然二面角为锐角，所以2224229cos 292234n DA n DAθ===++ （2）设(),,0N x y ，[],0,2x y ∈，依题意30,1,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则3,1,2MN x y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭因为//MN 平面BEF ，所以()23162390m MN x y x y =+--=+-= 所以()222913314714422MN x y y y =+-+=-+又因为函数2133147422y x x =-+，对称轴为313122131324x -=-=>⨯，且开口向上，所以函数2133147422y x x =-+在[]0,2上单调递减，所以当2y =时，min 222MN =，此时3,2,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以线段MN 的最小值为222【点睛】本题考查二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 26．（1）证明见解析；（245【分析】（1）先证明AD ⊥平面PCD ，通过已知可得PD AD ⊥、AD CD ⊥，即可；（2）建立空间直角坐标系，找出各点坐标，设出法向量求解即可. 【详解】（1）因为PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．因为PD CD D ⋂=，所以AD ⊥平面PCD ．又因为AD ⊂平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥底面ABCD ，所以PD AD ⊥，PD CD ⊥．因为底面ABCD 是正方形，所以AD CD ⊥．如图建立空间直角坐标系D xyz -．因为4PD =，底面ABCD 为边长为2的正方形，所以()0,0,4P ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,0,0D ，()1,1,2E ，()0,1,2F ．则()2,0,0DA =，()1,1,2DE =，()2,1,2BF =--．设平面ADE 的法向量(),,m x y z =，由00m DA m DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得2020x x y z =⎧⎨++=⎩．令1z =-，则0x =，2y =．所以()0,2,1m =-．设直线BF 与平面ADE 所成角为θ，则,45sin cos ,1595BF m BF m BF mθ====⨯．所以直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为4515．【点睛】本题考查了面面垂直的判定，核心是要求面面垂直，先考虑线面垂直；同时也考查了线面角的计算方法，核心是要求正弦值，先求余弦值.。

高中数学选修2-1 各章节同步练习及答案解析

第一章 1.1第1课时一、选择题1．下列语句中命题的个数为()①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.A．0B．1C．2D．3[答案]C[解析]①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．2．若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数()A．不是命题B．是真命题C．是假命题D．是命题，但真假与x的取值有关[答案]B[解析]当a>1时，指数函数f(x)＝a x是增函数，故“若a>1，则函数f(x)＝a x是增函数”是真命题．3．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥βB．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥nC．m⊥α，m⊥n⇒n∥αD．n∥m，n⊥α⇒m⊥α[答案]D[解析]验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α.4．给定下列命题：①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.其中是真命题的是()A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④[答案]B[解析]①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B.5．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是()A. a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c[答案]B[解析]A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D 选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c)6．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形[答案]C[解析]该命题的条件是“一个四边形是平行四边形”，结论是“这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”．二、填空题7．下面是关于四棱柱的四个命题：①如果有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；②如果两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；③如果四个侧面两两全等，则该四棱柱为直四棱柱；④如果四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中，真命题的编号是__________________(写出所有真命题的编号)．[答案]②④[解析]②中由过相对侧棱截面的交线垂直于底面并与侧棱平行，可知命题成立，④中由题意，可知对角面均为长方形，即可证命题成立．①、③错误，反例如有一对侧面与底面垂直的斜四棱柱．8．设a、b、c是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a⊥b，b⊥c，则a∥c；②若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则a、c也是异面直线；③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面．其中真命题的个数是__________________．[答案]0[解析]∵垂直于同一直线的两条直线不一定平行，∴命题①不正确；∵与同一直线均异面的两条直线的位置关系可以共面，也可以异面，∴命题②不正确；∵与同一直线均相交的两条直线在空间中可以相交，也可以平行或异面，∴命题③不正确；∵当两平面的相交直线为直线b时，两平面内分别可以作出直线a与c，即直线a与c 不一定共面，∴命题④不正确．综上所述，真命题的个数为0.三、解答题9．判断下列语句中哪些是命题，是命题的，请判断真假．(1)末位是0的整数能被5整除；(2)△ABC中，若∠A＝∠B，则sin A＝sin B；(3)余弦函数是周期函数吗？(4)求证：当x∈R时，方程x2＋x＋2＝0无实根．[解析](1)是命题，真命题．(2)是命题，真命题．(3)、(4)不是命题．10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．(1)对角线相等的四棱柱是长方体；(2)整数的平方是非负整数；(3)能被10整除的数既能被2整除，也能被5整除．[解析](1)可写为：“若四棱柱的对角线相等，则它是长方体”，这个命题是假命题，如底面是等腰梯形的直四棱柱．(2)可写为：“若一个数是整数，则它的平方是非负整数”，真命题．(3)可写为：“若一个数能被10整除，则它既能被2整除，也能被5整除”，真命题．一、选择题1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》诗，在这四句诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国B．春来发几枝C．愿君多采撷D．此物最相思[答案]A[解析]“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.2．设α、β、γ为两两不重合的平面，c 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①如果α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②如果α∥β，c ⊂α，则c ∥β；③如果α∩β＝c ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，c ∥γ，则m ∥n .其中真命题个数是( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[答案] C[解析] ①α⊥γ，β⊥γ，则α与β可相交，①错误；②中∵α∥β，∴α与β无公共点，又c ⊂α，∴c 与β无公共点，∴c ∥β，故②正确；由c ∥γ，c ⊂β，β∩γ＝m 得c ∥m ，同理可得c ∥n ，∴m ∥n ，故③正确．3．下面的命题中是真命题的是( )A ．y ＝sin 2x 的最小正周期为2πB ．若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根同号，则c a>0 C ．如果M ⊆N ，那么M ∪N ＝MD ．在△ABC 中，若AB →·BC →>0，则△ABC 为锐角三角形[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＝1－cos2x 2，T ＝2π2＝π，故A 为假命题；当M ⊆N 时，M ∪N ＝N ，故C 为假命题；当AB →·BC →>0时，向量AB →与BC →的夹角为锐角，B 为钝角，故D 为假命题．4．设a 是已知的平面向量且a ≠0.关于向量a 的分解，有如下四个命题：①给定向量b ，总存在向量c ，使a ＝b ＋c ；②给定向量b 和c ，总存在实数λ和μ，使a ＝λb ＋μc ；③给定向量b 和正数μ，总存在单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .④给定正数λ和μ，总存在单位向量b 和单位向量c ，使a ＝λb ＋μc .上述命题中的向量b 、c 和a 在同一平面内，且两两不共线，则真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] C[解析] 对于①，由向量的三角形加法法则可知其正确；由平面向量基本定理知②正确；对③，可设e 与b 是不共线单位向量，则存在实数λ，y 使a ＝λb ＋y e ，若y >0，则取μ＝y ，c ＝e ，若y <0，则取μ＝－y ，c ＝－e ，故③正确；④显然错误，给定正数λ和μ，不一定满足“以|a |，|λb |，|μc |为三边长可以构成一个三角形”，这里单位向量b 和c 就不存在．可举反例：λ＝μ＝1，b 与c 垂直，此时必须a 的模为2才成立．二、填空题5．给出下列四个命题：①若a >b >0，则1a >1b； ②若a >b >0，则a －1a >b －1b； ③若a >b >0，则2a ＋b a ＋2b >a b； ④若a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，则2a ＋1b的最小值为9. 其中正确命题的序号是__________________．(把你认为正确命题的序号都填上)[答案] ②④[解析] ①在a >b >0两端同乘以1ab 可得1b >1a，故①错； ②由于⎝⎛⎭⎫a －1a －⎝⎛⎭⎫b －1b ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0，故②正确；③由于2a ＋b a ＋2b －a b ＝b 2－a 2(a ＋2b )b <0，即2a ＋b a ＋2b <a b，故③错；④由2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2a b，即a ＝b ＝13时取得等号，故④正确． 6．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )，给出下列命题：①若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；②若a 2－b >0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数；③当x ＝a 时，f (x )有最小值b －a 2；④当a 2－b ≤0时，f (x )有最小值b －a 2.其中正确命题的序号是__________________．[答案] ①④[解析] 由题意知f (x )＝|x 2－2ax ＋b |＝|(x －a )2＋b －a 2|.若a 2－b ≤0，则f (x )＝|(x －a )2＋b －a 2|＝(x －a )2＋b －a 2，可知f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数，所以①正确，②错误；只有在a 2－b ≤0的条件下，才可能在x ＝a 时，f (x )取最小值b －a 2，所以③错误，④正确．三、解答题7．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式．(1)ac >bc ⇒a >b ；(2)当m >14时，mx 2－x ＋1＝0无实根； (3)方程x 2－2x －3＝0的解为x ＝3或x ＝－1.[解析] (1)若ac >bc ，则a >b .(2)若m >14，则mx 2－x ＋1＝0无实根． (3)若x 2－2x －3＝0，则x ＝3或x ＝－1.8．已知命题p ：lg(x 2－2x －2)≥0；命题q ：0<x <4，若命题p 是真命题，命题q 是假命题，求实数x 的取值范围．[解析] 由lg(x 2－2x －2)≥0，得x 2－2x －2≥1，即x 2－2x －3≥0.解得x ≤－1或x ≥3.故命题p ：x ≤－1或x ≥3.又命题q ：0<x <4，且命题p 为真，命题q 为假，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1或x ≥3x ≤0或x ≥4，所以x ≤－1或x ≥4.所以，满足条件的实数x 的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．第一章 1.1 第2课时一、选择题1．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则它的图象不过第四象限，在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0[答案] C[解析] 原命题是真命题，因为幂函数的图象不过第四象限，反过来，图象不过第四象限的函数不一定是幂函数，所以逆命题为假命题，根据等价命题的真假性相同可知，否命题为假命题，逆否命题为真命题，故选C.2．“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为( )A．若x2≠1，则x＝1B．若x2＝1，则x≠1C．若x2≠1，则x≠1D．若x≠1，则x2≠1[答案]C[解析]“若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．3．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是()A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数[答案]B[解析]命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．4．“a2＋b2≠0”的含义是()A．a、b不全为0B．a、b全不为0C．a、b至少有一个为0D．a不为0且b为0，或b不为0且a为0[答案]A[解析]若a2＋b2≠0，则a≠0且b≠0，或a＝0且b≠0，或a≠0且b＝0，即a、b不全为0，故选A.5．原命题为“圆内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是()A．原命题是真命题B．逆命题是假命题C．否命题是真命题D．逆否命题是真命题[答案]C[解析]否命题是“非圆内接四边形不是等腰梯形”，为真命题．6．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()A．若a≠－b，则|a|≠|b|B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－bD．若|a|＝|b|，则a＝－b[答案]D[解析]命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D.二、填空题7．(2015·福建八县一中高二期末测试)命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为__________________．[答案]假[解析]原命题的否命题是“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”，是假命题．8．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．[答案]若a∉B，则a∉A[解析]一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．三、解答题9．设原命题为“已知a、b是实数，若a＋b是无理数，则a、b都是无理数”．写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并分别说明他们的真假．[解析]逆命题：已知a、b为实数，若a、b都是无理数，则a＋b是无理数．如a＝2，b＝－2，a＋b＝0为有理数，故为假命题．否命题：已知a、b是实数，若a＋b不是无理数，则a、b不都是无理数．由逆命题为假知，否命题为假．逆否命题：已知a、b是实数，若a、b不都是无理数，则a＋b不是无理数．如a＝2，b＝2，则a＋b＝2＋2是无理数，故逆否命题为假．10．判断命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．[解析]逆否命题：已知a，x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，真命题．判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.∵a<1，∴4a－7<0，即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2与x轴无交点，∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，故逆否命题为真．第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。

新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（） A ．3B 3C ．13-D ．134．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,23M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（） A ．(2,)+∞B ．2)C ．(3,)+∞D ．3)6．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（）A ．34B ．1C ．43D ．9167．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（）A 3B ．23C 23D 438．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（）A ．2121B ．22121C ．42121D 219．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（） A ．61⎛- ⎝⎦B ．62]C ．231⎤⎥⎝⎦D ．31]10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（）A ．12B ．32C ．13D ．233二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=；（Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知双曲线C 过点(3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程；（2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率．【详解】解：由3c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12．故选：C ．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程．【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =，则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =，所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===，因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 11()123m m +-=⇒=-，故选C.4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭，过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=，所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=，点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=，即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=，所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.7．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论．【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =，又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=．故选：D ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．8．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围，进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==，所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥，可得13mn≤<，由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-；令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦，即()2224232c a c <≤-，所以，()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率，即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解属于中档题10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为11225O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形，又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥，所以平行四边形'AFBF 为矩形，所以'2AB FF c ==，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=，又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈，所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦，故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b --+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得：22221212220x x y y a b--+=，因为AB 中点坐标为()2,1-，所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+，又1212011422AB y y k x x -+===--，所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===，故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =，所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ，因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩，所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭，抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<，当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==，因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=，则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =，由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=，则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.19．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率．【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=，所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=，所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--，而12BFOSbc =，因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--，整理可得：[(21)]c a c =--，整理可得2a c =，解得22e =，故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===，故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞．【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程；（2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10．抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立，若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=，整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=，所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--，所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++，由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线．【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键.25．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=，解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。

高中数学选修2-1全册综合测试题含答案

选修2-1综合测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的)1．已知p ：2x －3<1，q ：x 2－3x <0，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．抛物线y ＝14x 2的焦点坐标为( ) A ．(116，0) B ．(－116，0) C ．(0,1) D ．(0，－1)3．已知命题p ：3是奇数，q ：3不是质数．由它们构成的“p ∨q ”“p ∧q ”“非p ”形式的命题中真命题有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－3,0) C ．(－12,0) D ．(－60，－12)5．下列结论正确的个数是( )①命题“所有的四边形都是平行四边形”是特称命题；②命题“∀x ∈R ，x 2＋1>0”是全称命题；③若p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0，则非p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1≤0.A ．0B ．1C ．2D ．36．设α，β，γ是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出下列命题：①若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β；④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n .其中真命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(m ＋1,0,2m )，b ＝(6,2n －1,2)，若a ∥b ，则m 与n 的值分别为( ) A.15，12 B ．5,2 C ．－15，－12D ．－5，－2 8．若双曲线x 23－16y 2p 2＝1的左焦点在抛物线y 2＝2px 的准线上，则p 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．4 29．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为( )A.43B.32C.53D ．210．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点EF 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°11．给出下列曲线，其中与直线y ＝－2x －3有交点的所有曲线是( )①4x ＋2y －1＝0；②x 2＋y 2＝3；③x 22＋y 2＝1；④x 22－y 2＝1. A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④12．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2两点，设线段P 1P 2的中点为P .若直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1·k 2等于( )A ．－12 B.12C ．－2D ．2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)13．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________．14．已知命题p ：1≤x ≤2，q ：a ≤x ≤a ＋2，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．15．已知直线l 1的一个方向向量为(－7,4,3)，直线l 2的一个方向向量为(x ，y,6)，且l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________.16．如图在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则AC 1与平面ABCD 所成角的余弦值为________．三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知命题p ：不等式|x －1|>m －1的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围．18．(12分)求证：a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．(12分)抛物线y ＝－x 22与过点M (0，－1)的直线l 相交于A ，B 两点，O 为原点，若OA 和OB 的斜率之和为1，求直线l 的方程．20．(12分)已知椭圆C 的中心为平面直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．21．(12分)如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2AA 1，点D 是A 1B 1的中点，点E 在A 1C 1上，且DE ⊥AE .(1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1；(2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．22．(12分)如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC.(1)设E是DC的中点，求证：D1E∥平面A1BD；(2)求二面角A1—BD—C1的余弦值．1．解析 p ：x <2，q ：0<x <3.∴pD ⇒/q ，qD ⇒/p .∴p 是q 的既不充分也不必要条件．答案 D2．解析由y ＝14x 2，得x 2＝4y ，∴焦点坐标为(0,1)．答案 C2．解析命题p 为真，q 为假，∴“p ∨q ”为真，“p ∧q ”、“綈p ”为假，故应选B.答案 B4．解析由x 24＋y 2k ＝1表示双曲线知，k <0，且a 2＝4，b 2＝－k ，∴e 2＝c 2a 2＝4－k 4，∵1<e <2，∴1<4－k 4<4.∴4<4－k <16，∴－12<k <0.答案 C5．解析 ①是全称命题，②是全称命题，③綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋1>0.∴①不正确，②正确，③不正确．答案 B6．解析 ①正确，②不正确，③正确，④正确．答案 C7．解析 ∵a ∥b ，∴a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝6λ，0＝λ(2n －1)，2m ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝15，n ＝12，λ＝15.∴m ＝15，n ＝12.答案 A 8．解析设双曲线的焦距为2c ，由双曲线方程知c 2＝3＋p 216，则其左焦点为(－3＋p 216，0)．由抛物线方程y 2＝2px 知其准线方程为x ＝－p 2，由双曲线的左焦点在抛物线的准线上知，3＋p 216＝p 24，且p >0，解得p ＝4.答案 C9．解析由双曲线的定义知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝8a 3，|PF 2|＝2a 3.又|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a .∴c a ≤53.即e ≤53.答案 C10．解析建立空间直角坐标如图所示．设AB ＝2，则EF →＝(0，－1,1)．BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →·BC 1→〉＝EF →·BC 1→|EF →||BC 1→|＝28·2＝12，故EF 与BC 1所成的角为60°.答案 B11．解析直线y ＝－2x －3与4x ＋2y －1＝0平行，所以与①不相交．②中圆心(0,0)到直线2x ＋y ＋3＝0的距离d ＝35< 3.所以与②相交．把y ＝－2x －3代入x 22＋y 2＝1，得x 22＋4x 2＋12x ＋9＝1，即9x 2＋24x ＋16＝0，Δ＝242－4×9×16＝0，所以与③有交点．观察选项知，应选D.答案 D12．解析设直线l 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，代入x 2＋2y 2＝2，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 211＋2k 21，而y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2＋4)＝4k 11＋2k 21. ∴k 2＝y 1＋y 22x 1＋x 22＝－12k 1，∴k 1·k 2＝－12. 答案 A13．解析命题“存在一个三角形没有外接圆”是特称命题，它的否定是全称命题“任意一个三角形都有外接圆．”答案任意一个三角形都有外接圆14．解析 “p 是q 的必要不充分条件”的逆否命题是“q 是p 的必要不充分条件”．∴{x |1≤x ≤2}{x |a ≤x ≤a ＋2}，∴0≤a ≤1. 答案 0≤a ≤115．答案－14 816．解析由题意知，AC 1＝22＋22＋1＝3，AC ＝22＋22＝22，在Rt △AC 1C 中，cos ∠C 1AC ＝AC AC 1＝223.答案 22317．解由|x －1|>m －1的解集为R ，知m －1<0，∴m <1.即p ：m <1.又f (x )＝－(5－2m )x 是减函数，∴5－2m >1，即m <2，即q ：m <2.若p 真q 假，则⎩⎨⎧ m <1，m ≥2，m 不存在．若p 假q 真，则⎩⎨⎧ m ≥1，m <2，∴1≤m <2.综上知，实数m 的取值范围是[1,2)．18．证明充分性：当b ＝0时，如果a ＋2b ＝0，那么a ＝0，此时直线ax ＋2y ＋3＝0平行于x 轴，直线x ＋by ＋2＝0平行于y 轴，它们互相垂直；当b ≠0时，直线ax ＋2y ＋3＝0的斜率k 1＝－a 2，直线x＋by ＋2＝0的斜率k 2＝－1b ，如果a ＋2b ＝0，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1.故两直线互相垂直．必要性：如果两条直线互相垂直且斜率都存在，那么k 1k 2＝(－a 2)×(－1b )＝－1，所以a ＋2b ＝0，若两条直线中有直线的斜率不存在，且互相垂直，则b ＝0，且a ＝0，所以a ＋2b ＝0.综上可知，a ＋2b ＝0是直线ax ＋2y ＋3＝0和直线x ＋by ＋2＝0互相垂直的充要条件．19．解显然直线l 垂直于x 轴不合题意，故设所求的直线方程为y ＝kx －1，代入抛物线方程化简，得x 2＋2kx －2＝0.由根的判别式Δ＝4k 2＋8＝4(k 2＋2)>0，于是有k ∈R .设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)，则y 1x 1＋y 2x 2＝1.① 因为y 1＝kx 1－1，y 2＝kx 2－1，代入① ，得2k －(1x 1＋1x 2)＝1.② 又因为x 1＋x 2＝－2k ，x 1x 2＝－2，代入②得k ＝1.所以直线l 的方程为y ＝x －1.20．解 (1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c 由已知得⎩⎨⎧ a －c ＝1，a ＋c ＝7，解得⎩⎨⎧ a ＝4，c ＝3，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1.(2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2.而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，它是两条平行于x轴的线段．21．解 (1)证明：由正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的性质知AA 1⊥平面A 1B 1C 1.又DE ⊂平面A 1B 1C 1，所以DE ⊥AA 1.而DE ⊥AE ，AA 1∩AE ＝A ，所以DE ⊥平面ACC 1A 1.又DE ⊂平面ADE ，故平面ADE ⊥平面ACC 1A 1.(2)如图所示，设O 是AC 的中点，以O 为原点建立空间直角坐标系．不妨设AA 1＝2，则AB ＝2，相关各点的坐标分别是A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C 1(0,1，2)，D (32，－12，2)．易知AB →＝(3，1,0)，AC 1→＝(0,2，2)，AD →＝(32，12，2)．设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有⎩⎨⎧n ·AB →＝3x ＋y ＝0，n ·AC 1→＝2y ＋2z ＝0.解得x ＝－33y ，z ＝－2y .故可取n ＝(1，－3，6)．所以cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|n ||AD →|＝2310×3＝105.由此可知，直线AD和平面ABC1所成角的正弦值为10 5.22．解(1)证明：在图中连接B，E，则四边形DABE为正方形，∴BE＝AD＝A1D1，且BE∥AD∥A1D1.∴四边形A1D1EB为平行四边形．∴D 1E ∥A 1B .又D 1E ⊄平面A 1BD ，A 1B ⊂平面A 1BD ，∴D 1E ∥平面A 1BD .(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设DA ＝1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,2,2)，A 1(1,0,2)．∴DA 1→＝(1,0,2)，DB →＝(1,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1BD 的一个法向量，由n ⊥DA 1→，n ⊥DB →，得⎩⎨⎧x ＋2z ＝0，x ＋y ＝0，取z ＝1，则n ＝(－2,2,1)．又DC 1＝(0,2,2)，DB →＝(1,1,0)，设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面C 1BD 的一个法向量，由m ⊥DC 1→，m ⊥DB →，得⎩⎨⎧ 2y 1＋2z 1＝0，x 1＋y 1＝0，取z 1＝1，则m ＝(1，－1,1)．设m 与n 的夹角为α，二面角A 1－BD －C 1为θ，显然θ为锐角，∴cos α＝m ·n |m ||n |＝－39×3＝－33.∴cosθ＝3 3，即所求二面角A1－BD－C1的余弦值为3 3.。

上海民办新和中学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试题(有答案解析)

一、选择题1．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（） A ．arcsin 1414B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773772．正方体ABCD —A′B′C′D′中，AB 的中点为M ，DD′的中点为N ，则异面直线B′M 与CN 所成角的大小为 A ．0°B ．45°C ．60 °D ．90°3．已知直三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，则异面直线1AB 与1BC 所成的角的余弦值为（） A ．12B ．18C ．14D ．344．如图，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，12AA =， 011120A AB A AD ∠=∠=，则线段1AC 的长为（）A 2B ．1C ．2D 35．将直角三角形ABC 沿斜边上的高AD 折成120︒的二面角，已知直角边43,46AB AC == ）A ．平面ABC ⊥平面ACDB ．四面体D ABC -的体积是86C ．二面角A BCD --42D ．BC 与平面ACD 所成角的正弦值是2176．已知A,B,C 三点不共线,对于平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A,B,C 一定共面的是( ) A ．OM OA OB OC =++ B ．2OM OA OB OC =-- C ．1123OM OA OB OC =++ D ．111236OM OA OB OC =++ 7．如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A ．12B ．22C ．13D ．168．已知正方体1111ABCD A BC D -,M 为11A B 的中点，则异面直线A M 与1BC 所成角的余弦值为（） A ．105B ．1010C ．32D ．629．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，(1,2,,8)i P i =⋅⋅⋅是上底面上其余的八个点，则集合{},1238i y y AB AP i =⋅=⋅⋅⋅、、、、中的元素个数（）A ．1B ．2C ．4D ．810．在空间直角坐标系Oxyz 中,已知(2,0,0)(2,2,0),(0,2,0),(1,1,2)A B C D .若123,,S S S 分别是三棱锥D ABC -在坐标平面上的正投影图形的面积，则（） A ．123S S S == B ．21=S S 且23S S ≠ C ．31S S =且32S S ≠D ．32S S =且31S S ≠11．已知()()2,,,1,21,0a t t b t t ==--，则b a -的最小值是( ) A ．2B ．3C ．5D ．612．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，点E 为平面BCC 1B 1的中心，则直线DE 与平面ACD 1所成角的余弦值为（） A ．14B ．13C ．33D ．233二、填空题13．在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，12AA =，则点A 到平面11BD A 的距离为_______ .14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则有以下四个结论，其中结论正确的是__________________.（请将你认为正确的结论的序号都填上，注意：多填、错填、少填均不得分.）①//AC 截面PQMN ； ②AC BD ⊥； ③AC BD =；④异面直线PM 与BD 所成的角为045.16．已知直线l 的倾斜角为θ，则直线l 的一个方向向量为_______________.17．长方体1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，12AA =，直线1AB 和1AC 的夹角的余弦值为__________.18．若直线l 的一个方向向量(1,3)d =，则l 与直线10x y -+=的夹角为______． 19．在z 轴上与点(4,1,7)A -和点(3,5,2)B -等距离的点C 的坐标为__________． 20．已知平面α的一个法向量为()2,1,3n =--，()3,2,1M -，()4,4,1N ，其中M α∈，N α∉，则点N 到平面α的距离为__________．三、解答题21．如图1，正方形ABCE ，2AB =，延长CE 到达D ，使DE CE =，M ，N 两点分别是线段,AD BE 上的动点，且AM BN =．将三角形ADE 沿AE 折起，使点D 到达1D 的位置（如图2），且1D E EC ⊥．（Ⅰ）证明：//MN 平面1DCE ；（Ⅱ）在线段1AD 上确定点M 的位置，使平面MBE 与平面ABE 所成角（锐角）的余弦值为33． 22．如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，2BA BC ==，分别过A ，C 作平面ABC 的垂线1A A 和1C C ，12AA =，1CC h =，连结1AC 和1AC 交于点P .（Ⅰ）设点M 为BC 中点，若2h =，求证：直线PM 与平面1A AB 平行；（Ⅱ）设O 为AC 中点，二面角11A AC B --等于45°，求直线OP 与平面1A BP 所成角的大小.23．如图①所示，在直角梯形EFCD 中，//CF DE ，EF DE ⊥，BA DE ⊥，224AE AD EF BC ====．现以AB 为折痕将四边形AEFB 折起，使点E 在平面ABCD 的投影恰好为点A ，如图②．（1）求证：//CF 平面ADE ；（2）求平面CDF 与平面AEFB 所成锐二面角的余弦值．24．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//BC AD ，AB BC ⊥，2PA =，1AB =，22AD BC ==，M 是PD 的中点.（1）求证：//CM 平面PAB ；（2）求二面角M AC D --的余弦值．25．如图菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，4AB AE ==．（1）求证：BD ⊥平面ACFE ；（2）当直线FO 与平面BED 所成的角为π4时，求异面直线OF 与BE 所成的角的余弦值大小．26．如图，在四棱锥P ABCD -中，60APB BPD APD ∠=∠=∠=︒，4PB PD BC CD ====，6AP =.（Ⅰ）证明：AP BD ⊥；（Ⅱ）求PC 与平面PAD 所成角的正弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，故选B ．【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.2．D解析：D 【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系,利用向量1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =-的数量积为0，即可求解.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，由图可知(1,0,0)M ，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,1)N ，所以1(1,0,2)B M =--,(2,0,1)CN =- 所以1cos ,0B M CN 〈〉=所以异面直线B M '与CN 所成的角为90︒．故本题正确答案为D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角，属于基础题.3．C解析：C 【分析】建立空间坐标系，分别求得直线的方向向量，进而得到线线角. 【详解】立空间坐标系如图，设边长为2，得到A （2，0，0），1B （132）， B （1，3，0），1C （0，0，2）向量()()111,3,2,-1,3,2AB BC =-=- 设异面直线夹角为θ，则1111cos =||||AB BC AB BC θ⋅=⋅14故答案为C 【点睛】这个题目考查的是异面直线的夹角的求法；常见方法有：将异面直线平移到同一平面内，转化为平面角的问题；或者证明线面垂直进而得到面面垂直，这种方法适用于异面直线垂直的时候.4．A解析：A 【分析】由11AC AB BC CC =++，两边平方，利用数量积的运算法则及数量积公式能求出21AC 的值，从而可得结果. 【详解】平行六面体1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，1112,120AA A AB A AD =∠=∠=，11AC AB BC CC ∴=++， ()2211AC AB BC CC ∴=++222111222AB BC CC AB CC BC CC AB BC =+++⋅+⋅+⋅114212cos120212cos12002=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+=，∴线段1AC 的长为12AC = A.【点睛】本题主要考查利用空间向量求线段的长，考查向量数量积的运算法则，属于中档题.向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a b a b θ⋅=；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.5．C解析：C 【分析】先由图形的位置关系得到CDB ∠是二面角C AD B --的平面角，120CDB ∠=，故A不正确；B由于11184sin120423323D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯= ⎪⎝⎭故得到B 错误；易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,tan 3AD AFD DF ∠===，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，sin ∠BCO=BOBC. 【详解】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,42,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得47BC =过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得421DF =. 根据AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角, 120CDB ∠=故A 平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;B 由于11132684sin12042332D ABC A BCD BCD V V S AD --⎛⎫==⋅=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭,B 错; C 易知AFD ∠为二面角A BC D --的平面角,4242tan 421AD AFD DF ∠===C 对;D 故如图，由题意可知∠BDC 为B ﹣AD ﹣C 的平面角，即∠BDC=120°，作DF ⊥BC 于F ，连结AF ，AF=4217，BD=4，DC=8，AD=4，过O 作BO 垂直BO ⊥CO 于O ，则∠BCO 就是BC 与平面ACD 所成角，3OD=2，2247BO CO +sin ∠BCO=232147BO BC ==．选.C 【点睛】本题考查了平面的翻折问题，考查了面面垂直的证明，线面角的求法，面面角的求法以及四面体体积的求法，求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是要么定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，要么建系来做．6．D解析：D【分析】根据点M 与点,,A B C 共面，可得1x y z ++=，验证选项，即可得到答案. 【详解】设OM xOA yOB zOC =++，若点M 与点,,A B C 共面,,则1x y z ++=，只有选项D 满足，.故选D. 【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M 与点,,A B C 共面时，且OM xOA yOB zOC =++,则1x y z ++=是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．C解析：C 【分析】根据题意，以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，平面外一点到平面的距离可以用平面上任意一点与该点的连线在平面法向量上的投影表示，而法向量垂直于平面上所有向量，由AC ，1AD 即可求得平面1ACD 的法向量n ，而1D E 在n 上的投影即为点E 到面1ACD 的距离，即可求得结果【详解】以D 为坐标原点，直线1DADC DD ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则()1101A ，，，()1001D ，，,()100A ，，，()020C ，， E 为AB 的中点，则()110E ，， ()1111D E ∴=-，，，()120AC =-，，，()1101AD =-，，设平面1ACD 的法向量为()n a b c =，，，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200a b a c -+=⎧⎨-+=⎩可得2a b a c =⎧⎨=⎩可取()212n =，， ∴点E 到面1ACD 的距离为1212133D E n d n⋅+-=== 故选C 【点睛】本题是一道关于点到平面距离的题目，解题的关键是掌握求点到面距离的方法，建立空间直角坐标系，结合法向量求出结果，属于中档题。

高中数学选修2-1第一章《常用逻辑用语》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝2．下列说法不正确的是（） A ．命题“若a b >，则ac bc >”是真命题 B ．命题“若220a b +=，则,a b 全为0”是真命题C ．命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D ．命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠” 3．下列说法正确的个数是( )①“若4a b +≥，则,a b 中至少有一个不小于2“的逆命题是真命题 ②命题“设,a b ∈R ，若6a b +≠，则3a ≠或3b ≠”是一个真命题 ③“0x R ∃∈，2000x x -<”的否定是“x R ∀∈，20x x ->” ④1a b +>是a b >的一个必要不充分条件 A ．0B ．1C ．2D ．34．下列说法中错误的是（）A ．命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”.B ．在ABC 中，sin sin cos cos A B A B A B <⇔<⇔>.C ．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变.D ．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立.5．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()1122log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题及其真假分别为（）A ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真B ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真C ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假D ．若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假6．已知0a b >>，给出下列命题：①1=，则1a b -<； ②若331a b -=，则1a b -<； ③若1a b e e -=，则1a b -<； ④若ln ln 1a b -=，则1a b -<. 其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．47．下列有关命题的说法错误的是（） A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题8．已知p ：2+2＝5；q ：3＞2，则下列判断错误的是（） A ．“p ∨q ”为真，“￢q ”为假 B ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为真 C ．“p ∧q ”为假，“￢p ”为假 D ．“p ∨q ”为真，“￢p ”为真9．下列判断错误的是（）A ．()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件B ．命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->RC ．命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x >，则1x >或1x <-”D ．若0m >，则方程20x x m +-=有实数根的逆命题是假命题 10．若函数()sin f x x x =，则对a ，,22b ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，不等式()()f a f b >成立的一个充要条件是（） A ．a b >B ．a b <C ．a b >D ．22a b >11．记不等式()()22124x y -+-≤表示的平面区域为D .命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤；命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-.下面给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝.这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④12．将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度后，得到函数()f x 的图象，则“6π=ϕ”是“()f x 是偶函数”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．若12,[3,4]x x ∀∈∃∈R ，使2211221225x x x x x ax +++-成立，则实数a 的取值范围是______． 14．下列说法中：①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x ≤，有21x ≤”；②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”是“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”的必要不充分条件；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()()()1212f x f x f x x +=； ④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，则函数()2xf x =满足()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭．所有正确说法的序号______．（把满足条件的序号全部写在横线上）15．若命题“x ∃∈R ，220x x a --<”是假命题，则实数a 的取值范围是______． 16．“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的________条件.17．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}5,0,1,2,3,4k n k n Z k =+∈=.给出如下四个结论：①[]20111∈， ②[]33-∈，③[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃，④整数,a b 属于同一类的充要条件是[]0a b -∈. 其中正确的个数是___________ 18．给出下列命题：①命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x =，则1x ≠”； ②“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件；③x R ∃∈命题“，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x -->”； ④命题“若x y =，则 sin sin x y =”的逆否命题为真命题其中所有正确命题的序号是________. 19．下列说法：（1）设a ，b 是正实数，则“a ＞b ＞1”是“log 2a ＞log 2b”的充要条件；（2）对于实数a ，b ，c ，如果ac ＞bc ，则a ＞b ；（3）“m=12”是直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直的充分不必要条件；（4）等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1＞0且q ＞1”是对任意n ∈N +，都有a n+1＞a n 的充分不必要条件；其中正确的命题有______ 20．给出下列四个命题中：①命题“若x ≥2且y ≥3，则x +y ≥5”为假命题．②命题“若x 2-4x +3=0，则x =3”的逆否命题为：“若x ≠3，则x 2-4x +3≠0”． ③“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件④关于x 的不等式|x +1|+|x -3|≥m 的解集为R ，则m ≤4．其中所有正确命题的序号是______．三、解答题21．设命题p :实数x 满足()(3)0x a x a --<，其中0a >，命题:q 实数x 满足428x ≤≤．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．22．已知：()2:,21p x R x m x ∀∈>+，0:,q x R ∃∈200210x x m +--=，（1）若q 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）若()p q ∧⌝为真命题，求实数m 的取值范围.23．已知p ：2430x x -+<，q ：()()210x m x m m R -++<∈．（1）求不等式2430x x -+<的解集；（2）若q 是p 的必要不充分条件，求m 的取值范围．24．定义：如果存在实数x ，y 使c xa yb =+，那么就说向量c 可由向量a b ，线性表出．给出命题：p ：空间三个非零向量a b c ，，中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a b c ，，共面．判断p 是q 的什么条件，并证明你的结论． 25．已知集合{}2320A x x x =-+=，{}210B x x ax a =-+-=，{}220C x x mx =-+=.（1）若命题p ：“x B ∀∈，都有x A ∈”为真命题，求实数a 的取值集合；（2）若C ≠∅，且“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，求实数m 的取值集合. 26．已知命题p ：任意2,230x R x mx m ∈-->成立；命题q ：存在2,410x R x mx ∈++<成立.（1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题,p q 中恰有一个为真命题，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题，对于命题 q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键.2．A解析：A 【分析】根据不等式性质，真命题，否命题，逆否命题性质逐一判断各个选项即可．【详解】A 选项，若a b >，当0c ≤时，ac bc >不成立，所以命题为假命题，所以A 不正确B 选项，若220a b +=，则,a b 全为0正确，所以命题为真命题，正确C 选项，否命题否定结论和条件，本选项满足否命题形式，正确D 选项，命题“若0a =，则0ab =”的逆否命题是“若0ab ≠，则0a ≠”满足逆否命题的形式. 所以答案选A 【点睛】本题考查了不等式的性质，真命题的判断，否命题和逆否命题的知识.属于基础题目.3．C解析：C 【解析】对于①，原命题的逆命题为：若,? a b 中至少有一个不小于2，则4a b +≥，而4,?4a b ==-满足,? a b 中至少有一个不小于2，但此时0a b +=，故①是假命题；对于②，此命题的逆否命题为“设,?a b R ∈，若3a =且3b =，则6a b +=”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故②是真命题；对于③“20000x R x x ∃∈-<，”的否定是“20x R x x ∀∈-≥，”，故③是假命题；对于④，由a b >可推得1a b >-，故④是真命题，故选C ．点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.4．C解析：C 【分析】选项A 根据命题的否定判断，选项B 根据正弦定理及两角和的余弦公式判定即可，选项C 可根据均值及方差的性质判断，选项D 根据互斥事件与对立事件的定义判断即可. 【详解】A 中根据命题的否定可知，命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是“01x ∃>，2000x x -≤”正确；B 中A B <可知a b <，根据正弦定理可得sin sin A B <,同理可知由sin sin A B <可得a b <，可得A B <，即sin sin A B A B <⇔<,因为cos y x =在(0,)x π∈上单调递减，且(0,),(0,)A B ππ∈∈，所以cos cos A B A B <⇔>，故正确；C 中设原数据中方差为2s ，则加入一个新数据3后平均值为63337⨯+=，方差为2226(33)677s s ⨯+-=，故不正确；D 中，事件“至多一个红球”与“都是红球”不能同时发生，而且在一次试验中有且只有一个事件发生，故互斥且对立正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了命题的否定，三角形中的充要条件，平均值与方差，互斥与对立事件，属于中档题.5．D解析：D 【分析】先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】命题p 的逆否命题为“若()()1122log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假，故选：D. 【点睛】本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6．B解析：B 【分析】①1=1，然后两边平方，再通过作差法即可得解； ②若331a b -=，则331a b -=，然后利用立方差公式可知23(1)(1)a a a b -++=，再结合0a b >>以及不等式的性质即可判断；③若1abe e -=，则111a b a bb b b e e e e e e-+===+，再利用0b >，得出1b e >，从而求得a be -的范围，进而判断；④取特殊值，a e =，1b =即可判断．【详解】解：①1=，1，所以1a b =++所以11a b -=+，即①错误；若331a b -=，则331a b -=，即23(1)(1)a a a b -++=，因为0a b >>，所以22a b >，所以221a a b ++>，所以1a b -<，即1a b -<，所以②正确；若1a b e e -=，则111a b a bb b b e e ee e e-+===+，因为0b >，所以12a b e e -<<<，所以1a b -<，即③正确；④取a e =，1b =，满足1lna lnb -=，但1a b ->，所以④错误；所以真命题有②③，故选：B ．【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及根据不等式的性质证明不等式、指对运算法则、立方差公式等，考查学生的分析能力和运算能力．7．C解析：C 【分析】写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案. 【详解】逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确；若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误；若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确；故选：C . 【点睛】本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.8．C解析：C【分析】先判定命题p 为假命题，命题q 为真命题，再结合复合命题的真假判定，即可求解. 【详解】由题意，命题:225p +=为假命题，命题:32q >为真命题，所以命题p q ∧为假命题，p ⌝为真命题，命题p q ∨为真命题，q ⌝为假命题，故选：C . 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中正确判定命题,p q 的真假，熟记复合命题的真假判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.9．C解析：C 【分析】根据必要不充分条件的判断方法，即可得出A 正确；写出原命题的否定命题，即可判断B ；写出原命题的逆否命题，即可判断C ；写出原命题的逆命题，即可判断D. 【详解】对于A ，()0f x '=是0x x =为可导函数()y f x =的极值点的必要不充分条件，故A 正确；对于B ，命题“32,10x x x ∀∈--≤R ”的否定是32,10x x x ∃∈-->R ，故B 正确；对于C ，命题“若11x -<<，则21x <”的逆否命题是“若21x ≥，则1≥x 或1x ≤-”，故C 错误；对于D ，命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题是 “若方程20x x m +-=有实数根，则0m >”当方程20x x m +-=有实数根时，140m =+≥，即14m ≥-，所以命题“若0m >，则方程20x x m +-=有实数根”的逆命题为假命题，故D 正确. 故选：C. 【点睛】（1）从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. （2）含有一个量词的命题的否定：一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论；对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定.（3）由原命题写出其他三种命题，关键要分清原命题的条件和结论：将原命题的条件和结论交换，即得原命题的逆命题；将原命题的条件和结论进行否定，作为新命题的条件和结论，即得原命题的否命题．否定命题的条件或结论，关键是否定条件或结论的关键词；先写出原命题的逆命题，再写出逆命题的否命题，即得逆否命题，也可以先写出原命题的否命题，再写出否命题的逆命题，即得逆否命题.10．D解析：D 【分析】先分析函数的奇偶性，由导数得出函数的单调性，利用这两个性质求解．【详解】()sin f x x x =，()sin()sin ()f x x x x x f x -=--==，()f x 是偶函数，()sin cos f x x x x '=+，在02x π≤<时，()0f x '≥，()f x 递增，所以22()()()()f a f b f a f b a b a b >⇔>⇔>⇒>．故选：D. 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，用函数的这两个性质求解不等式．本题还考查了导数与单调性的关系．掌握用导数研究不等式的方法是解题关键．11．B解析：B 【分析】画出平面区域D ，直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像判断出命题p 和命题q 的真假，从而得到答案. 【详解】平面区域为D 满足不等式()()22124x y -+-≤，画出其图像如图所示，再画出直线28x y +=和直线21x y +=-，根据图像可得存在(),x y D ∈，在直线28x y +=的上方，所以命题p ：()x y D ∀∈,，28x y +≤，是假命题，不存在(),x y D ∈，在直线21x y +=-的下方所以命题q ：(),x y D ∃∈，21x y +≤-，是假命题.所以①p q ∨为假命题；②p q ⌝∨为真命题；③p q ∧⌝为假命题；④p q ⌝∧⌝为真命题. 故选：B.【点睛】本题考查判断含有逻辑联结词命题的真假，根据不等式画可行域，判断点是否在可行域内，属于中档题.12．A解析：A 【分析】求出函数()y f x =的解析式，由函数()y f x =为偶函数得出ϕ的表达式，然后利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】将函数()sin 3y x ϕ=+的图象沿x 轴向左平移9π个单位长度，得到的图象对应函数的解析式为()sin 3sin 393f x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若函数()y f x =为偶函数，则()32k k Z ππϕπ+=+∈，解得()6k k Z πϕπ=+∈，当0k =时，6π=ϕ. 因此，“6π=ϕ”是“()y f x =是偶函数”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用图象变换求三角函数解析式以及利用三角函数的奇偶性求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】先整理为关于的不等式恒成立求出相应的最值后得不等式在时能成立分离参数整理为求出诉最大值可得结论【详解】由得∴当时取得最小值∴使成立即使成立设设则∴即∴在时是增函数∴在上有∴故答案为：【点睛】解析：(,5]-∞【分析】先整理为关于1x 的不等式恒成立，求出相应的最值后，得不等式222222154x x x ax -+--+-在2[3,4]x ∈时能成立，分离参数整理为223414x a x ≤++，求出223414x x ++诉最大值可得结论．【详解】由2211221225x x x x x ax ≥++-+，得2212122(2)5x x x x ax +-≥-+-， ∴当2112x x =-时，()21212x x x +-取得最小值()22222221211224x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴2[3,4]x ∃∈，使222222154x x x ax -+--+-成立，即2[3,4]x ∃∈，使223414a x x ++成立．设3414t y t=++，设1234t t ≤<≤，则12120,316t t t t -<>， ∴12121212121233()(316)44444t t t t t t y y t t t t ---=+--=0<，即12y y <， ∴3414t y t=++在[3,4]∈时，是增函数． ∴223414x y x =++在[3,4]上有max 5y =，∴5a ≤．故答案为：(,5]-∞．【点睛】思路点睛：本题考查双变量不等式恒成立求参数范围．解题方法是先整理为以1x 为变量的不等式恒成立，又转化为关于2x 的不等式能成立，分离参数后求得函数的最值．14．②③④【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用；③对数的运算关系式的应用；④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题对任意的有的否定为存在有故①错误；②对于任意的总解析：②③④ 【分析】①直接利用命题的否定判断；②函数的最小值和必要不充分条件的应用； ③对数的运算关系式的应用； ④根据基本不等式可得答案；【详解】①命题“对任意的1x >，有21x >”的否定为“存在1x >，有21x ≤”，故①错误； ②“对于任意的x D ∈，总有()f x M ≥（M 为常数）”由于没有说明0x D ∈()0f x M =，所以“函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ”不一定成立；函数()y f x =在区间D 上的最小值为M ，总有()f x M ≥（M 为常数）成立，故②正确；③若1x ，()20,x ∈+∞，则函数()log a f x x =满足()1212log log log a a a x x x x =+，所以()()()1212f x f x f x x +=成立，故③正确；④若1x ，2x ∈R ，12x x ≠，()()1212,33x x f x f x ==，1212232x xx x f ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为()30xf x =>，所以()()1212122322x x f x f x x x f +++⎛⎫>=== ⎪⎝⎭，故④正确．故答案为：②③④.【点睛】本题考查了命题的否定、函数的最小值和充分条件和必要条件的应用、对数的运算关系、不等式比较大小的问题.15．【分析】由题意可知恒成立结合二次函数的性质可求的最小值从而可求出实数的取值范围【详解】原命题否定为真命题即∴因为图象开口向上对称轴为则∴故答案为:【点睛】本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围考查解析：(],1-∞-【分析】由题意可知22a x x ≤-恒成立，结合二次函数的性质可求22x x -的最小值，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】原命题否定，x ∀∈R ，220x x a --≥为真命题，即22a x x ≤-，∴()2min2a x x≤-，因为22y x x =-图象开口向上，对称轴为1x =，则()2min2121x x-=-=-，∴1a ≤-，故答案为: (],1-∞-.本题考查了由不等式恒成立求参数的取值范围，考查了已知命题的真假性求参数的取值范围.本题的关键是由已知得不等式恒成立.16．充分不必要【分析】当时对任意的正数x 均有反过来当对任意的正数x 均有时通过讨论有成立即可判断【详解】当时对任意的正数x 均有当且仅当时等号成立；当对任意的正数x 均有时当时令此时不符合题意；当时显然不满足解析：充分不必要【分析】当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x+=+≥，反过来，当对任意的正数x ，均有1a x x +≥时，通过讨论有14a ≥成立，即可判断.【详解】当14a =时，对任意的正数x ，均有141a x x x x +=+≥==，当且仅当12x =时等号成立；当对任意的正数x ，均有1ax x+≥时，当0a <时，令0x =>，此时0ax x+=，不符合题意；当0a =时，1≥x ，显然不满足题意；当0a >时，有1ax x+≥，解得有14a ≥，所以“14a =”是“对任意的正数x ，均有1ax x +≥”的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断，属于一般题.17．3【分析】根据2011被5除的余数为1可判断①；将=可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为01234可判断③；令根据类的定理可证明④的真假【详解】①由2011÷5=402…1所以2011∈1故①解析：3根据2011被5除的余数为1，可判断①；将3-=52-+，可判断②；根据整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4，可判断③；令115a n m =+，225b n m =+，根据“类”的定理可证明④的真假．【详解】①由2011÷5=402…1，所以2011∈[1]，故①正确； ②由()3512-=⨯-+ 所以[]33-∉，故②错误；③整数集就是由被5除所得余数为0，1，2，3，4的整数构成，③正确； ④假设115a n m =+，225b n m =+，()12125a b n n m m -=-+-，,a b 要是同类. 则 12m m =，即120m m -=，所以[]0a b -∈，反之若[]0a b -∈，即120m m -=，所以12m m =，则,a b 是同类. ④正确；故答案为：3 【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正确理解新定义“类”是解答的关键，以及进行简单的合情推理．属中档题．18．④【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断②利用充分条件和必要条件的定义判断③利用特称命题的否定判断④利用逆否命题的等价性进行判断【详解】解：①根据否命题的定义可知命题若则的否命题为若则所以解析：④ 【分析】①根据命题的否命题和原命题之间的关系判断．②利用充分条件和必要条件的定义判断．③利用特称命题的否定判断．④利用逆否命题的等价性进行判断．【详解】解：①根据否命题的定义可知命题“若21x =，则1x =”的否命题为“若21x ≠，则1x ≠”，所以①错误．②由2560x x --=得1x =-或6x =，所以②“1x =-”是“2560x x --=”的充分不必要条件，所以②错误．③根据特称命题的否定是全称命题得命题“x R ∃∈，使得210x x +-<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x +-”，所以③错误．④根据逆否命题和原命题为等价命题可知原命题正确，所以命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题，所以④正确．故答案为④．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，以及四种命题的真假关系的判断，比较基础．19．（3）（4）【分析】利用充要条件不等式性质两直线垂直的充要条件等比数列为递增数列的条件逐一判断即可【详解】对于（1）求得所以是的充分不必要条件所以错误对于（2）不成立所以错误对于（3）直线与直线相互解析：（3）（4）【分析】利用充要条件、不等式性质、两直线垂直的充要条件、等比数列为递增数列的条件，逐一判断即可. 【详解】对于（1）22"log log "a b >求得0a b >>，所以"1"a b >>是22"log log "a b >的充分不必要条件，所以错误对于（2）0c <不成立，所以错误对于（3）直线()2310m x my +++=与直线()()2230m x m y -++-=相互垂直，12m =或2m =-，所以正确对于（4）1"0a >且1"q >可以推出对任意n N +∈,都有1n n a a +>，反之不成立，如数列16,8,4,2----，所以正确故答案为（3）（4）【点睛】本题考查了命题真假的判断，涉及到不等式性质、充要条件、等比数列的单调性等知识，属于中档题.20．②③④【分析】命题的判断一一进行判断即可对于①显然为假命题；对于②逆否命题条件和结论都否定正确；对于③若x ＞1则|x|＞0若|x|＞0则x 不一定大于1；对于④f （x ）＝|x+1|+|x ﹣3|表示数轴解析：②③④ 【分析】命题的判断，一一进行判断即可．对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和．【详解】对于①，显然为假命题；对于②，逆否命题，条件和结论都否定，正确；对于③，若x ＞1，则|x |＞0．若|x |＞0，则x 不一定大于1；对于④，f （x ）＝|x +1|+|x ﹣3|表示数轴上点x 到﹣1和3的距离之和,最小为4,所以m 4≤.故答案为②③④．【点睛】本题考查命题真假的判断，综合考查了不等式性质及绝对值的意义，属于中档题．三、解答题21．（1）[)2,3；（2）12a <<. 【分析】（1）当1a =时，分别求出p ，q 成立的等价条件，利用p q ∧为真可得x 的取值范围；（2）由题可得q 是p 的充分不必要条件，得Q P ,从而可得a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，由()()130x x --<，得p :13x <<，由428x ≤≤，得:q 23x ≤≤，由p ∧q 为真，即p ，q 均为真命题，因此x 的取值范围是[)2,3．（2）若￢p 是￢q 的充分不必要条件，可得q 是p 的充分不必要条件，由题可得命题p 对应的集合{}3P x a x a =<<，命题q 对应的集合{}23Q x x =≤≤，所以Q P ，因此2a <且33a <，解得12a <<．即实数a 的取值范围是12a <<. 【点睛】本题考查充分必要条件的定义和应用，考查复合命题的真假判断，考查分析解决问题的能力，属于基础题.22．（1）2m ≥-；（2）2m <-. 【分析】（1）由题意知，q 是真命题等价于方程2210x x m +--=有实根，利用判别式0∆≥即可求解；（2）由题意知，分别求出p 、q ⌝为真命题时实数m 的取值范围，然后再取交集即可. 【详解】（1）因为0:R,q x ∃∈200210x x m +--=为真命题，所以方程2210x x m +--=有实根，所以判别式()4410m ∆=++≥，所以实数m 的取值范围为2m ≥-.（2）()221x m x >+可化为220mx x m -+<，若:R,p x ∀∈()221x m x >+为真命题，则220mx x m -+<对任意的x ∈R 恒成立，当0m =时，不等式可化为20x -<，显然不恒成立；当0m ≠时，有2440m m <⎧⎨-<⎩，1m ∴<-，由（1）知，若q ⌝为真命题，则2m <-，又()p q ∧⌝为真，故p 、q ⌝均为真命题，所以实数m 需满足12m m <-⎧⎨<-⎩，解得2m <-，所以实数m 的取值范围为2m <-. 【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围；考查运算求解能力和逻辑思维能力；熟练掌握复合命题的真假判断是求解本题的关键；属于中档题. 23．（1）{}3|1x x <<（2）()3,+∞ 【分析】（1）分解因式得()()130x x --<,进而求解即可；（2）先将命题q 中不等式分解为()()10x m x --<,所以讨论m 与1的大小,当1m 时，不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,由q 是p 的必要不充分条,则2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,即可求解,同理讨论当1m <与1m =时的情况.【详解】解：（1）因为2430x x -+<,所以()()130x x --<,所以13x <<, 所求解集为{}|13x x <<.（2）因为q ：()()210x m x m m R -++<∈,则()()10x m x --<当1m 时,不等式()210x m x m -++<的解是1x m <<,因为q 是p 的必要不充分条件,所以2430x x -+<的解集是()210x m x m -++<（1m ）解集的真子集,所以3m >；当1m <时,不等式()210x m x m -++<的解是1m x <<,因为{}{}||131x x x m x <<⋂<<=∅,不合题意；当1m =时,不等式2430x x -+<的解集为∅,不合题意. 综上,m 的取值范围是()3,+∞．【点睛】本题考查含参数的一元二次不等式的解法,考查由充分必要条件求参数的范围,考查运算能力与分类讨论思想.24．充分不必要条件，证明见解析. 【分析】利用给出的定义、向量共面定理即可判断出关系．【详解】p ：空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出．q ：空间三个非零向量a ，b ，c 共面．p 是q 的充分不必要条件．证明如下：若空间三个非零向量a ，b ，c 中存在一个向量可由另两个向量线性表出，不妨设c xa yb =+,则由向量共面定理知，a ，b ，c 共面，即p q ⇒，反之不成立，例如，三个非零向量a ，b ，c 共面，且//a b ，而c 与a ，b 不共线，则c 无法用a ，b 线性表示． p ∴是q 的充分不必要条件．【点睛】本题考查了向量共线共面定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．25．（1）{2,3}；（2）{3}．【分析】（1）解方程确定集合,A B ，再根据命题p 为真求得a ；（2）题意说明x C ∈是x A ∈的充分条件，由此可求得m 值．【详解】由题意{1,2}A =，（1）2a =时，{1}B =满足题意，2a ≠时，{1,1}B a =-，则∵x B ∀∈，都有x A ∈，∴12a -=，3a =， ∴a 的取值集合是{2,3}；（2）∵“x A ∈”是“x C ∈”的必要条件，∴x C x A ∈⇒∈．若280m ∆=-=，即m =±C =或{C =均不合题意，又C ≠∅，∴0∆>，因此12{,}C x x =，又12,x A x A ∈∈，因此不妨设11x =，22x =，则123m x x =+=．∴m 的取值集合是{3}．【点睛】关键点点睛：本题考查由充分必要条件求参数，解题方法是根据充分条件，必要条件的定义得出集合中元素的性质，从而得出结论．也可由充分必要条件与集合包含之间的关系确定集合的关系，从而得出结论． 26．（1）(3,0)-；（2）(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【分析】（1）只需24120m m ∆=+<，然后求解m 的取值范围；（2）分p 真q 假、p 假q 真两种情况讨论求解. 【详解】解：（1）若命题p 为真命题，则24120m m ∆=+<，解得30m -<<，故实数m 的取值范围(3,0)-（2）若命题q 为真命题，则21640m ∆=->，解得12m <-或12m > ∵命题,p q 中恰有一个为真命题， ∴命题,p q 一真一假①当p 真q 假时，301122m m -<<⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩，解得：102m -≤<②当p 假q 真时，301122m m m m ≤-≥⎧⎪⎨-⎪⎩或或，解得：3m ≤-或12m >.综上，实数m 的取值范围(]11,3,0,22⎡⎫⎛⎫-∞--+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，考查二次不等式恒成立与有解问题，难度一般.。

(压轴题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试(包含答案解析)

一、选择题1．在四面体OABC 中，空间的一点OM 满足1126OM OA OB OC λ=++，若MA ，MB ，MC 共面，则λ=（）A ．12B ．13C ．512D ．7122．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（） A ．313B ．95C ．18D ．213．已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（） A ．35B ．35C ．45D ．45-4．在空间四边形OABC 中，OA OB OC ==，3AOB AOC π∠=∠=，则cos ,OA BC的值为（） A ．0B ．2 C ．12-D ．125．如图，点P 在正方体1111ABCD A BC D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变； 1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB 平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．设平面α的一个法向量为1(1,2,2)n =-，平面β的一个法向量为2(2,4,)n k =--，若//αβ，则k = ( )A ．2B ．-4C ．-2D ．48．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（）个 ①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形（） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图所示，五面体ABCDE 中，正ABC ∆的边长为1，AE ⊥平面,ABC CD AE ∥，且12CD AE =.设CE 与平面ABE 所成的角为,(0)AE k k α=>，若ππ[,]64α∈，则当k 取最大值时，平面BDE 与平面ABC 所成角的正切值为（）A ．2 B ．1C ．2D ．311．已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，11114AE AC =，若1BE xAB yAD zAA =++，则x 的值为（）A ．14B ．34-C ．1D ．1212．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60︒，若对角线1AC 的长是棱长的m 倍，则m 等于（）A 2B 3C ．1D ．2二、填空题13．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点，D 和F 分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点），若DG EF ⊥，则线段DF 长度的取值范围为______．14．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则有以下四个结论，其中结论正确的是__________________.（请将你认为正确的结论的序号都填上，注意：多填、错填、少填均不得分.）①//AC 截面PQMN ； ②AC BD ⊥； ③AC BD =；④异面直线PM 与BD 所成的角为045.15．ABC △中，90C ∠︒＝，60A ∠︒＝，2AB ＝，M 为AB 中点，将BMC △沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，A ，B 两点之间的距离为_____．16．已知向量=211a -（，，），(,1,1)b λ=-，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是______.17．在直三棱柱111A B C ABC -中，底面ABC 为直角三角形，2BAC π∠=，11AB AC AA ===. 已知Ｇ与Ｅ分别为11A B 和1CC 的中点，Ｄ与Ｆ分别为线段AC 和AB 上的动点（不包括端点）. 若GD EF ⊥，则线段DF 的长度的最小值为 .18．已知，若向量互相垂直，则k 的值为____．19．在直三棱柱111ABC A B C -中,若1BAC 90,AB ACAA ，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于_________20．在空间直角坐标系中，一点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是________.三、解答题21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB //CD ，223AB DC ==，AC BD F ⋂=，且PAD △与ABD △均为正三角形，AE 为PAD △的中线，点G 在线段AE ，且2AG GE =.（1）求证：GF //平面PDC ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 上的动点．（1）若//PB 平面AEC ，请确定点E 的位置，并说明理由．（2）设2AB AP ==，3AD =，若13PE PD =，求二面角P AC E --的正弦值．23．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，,M N 分别为棱,PD BC 的中点，2PA AB ==.(1)求证：//MN 平面PAB ；(2)求直线MN 与平面PCD 所成角的正弦值.24．如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，//AD BC ，AD AB ⊥，4AB AS ==，3AD =，6BC =，E 为SB 的中点．（1）求证：//AE 平面SCD ．（2）求二面角B AE C --的余弦值．25．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB AC ===，AB AC ⊥，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小；（2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 537，求线段BP 的长度.26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.（1）求异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）求平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据向量共面定理求解．【详解】由题意1126MA OA OM OA OB OC λ=-=--， 1526MB OB OM OA OB OC λ=-=-+-，11(1)26MC OC OM OA OB OC λ=-=--+-，∵MA ，MB ，MC 共面，∴在在实数唯一实数对(,)m n ，使得MA mMB nMC =+，1126OA OB OC λ--1511(1)2626m OA OB OC n OA OB OC λλ⎛⎫⎡⎤=-+-+--+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴111222511666(1)m n m n m n λλλ⎧--=⎪⎪⎪-=-⎨⎪-+-=-⎪⎪⎩，解得132313m n λ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩．【点睛】结论点睛：本题考查空间向量共面定理．空间上任意三个不共面的向量都可以作为一个基底，其他向量都可用基底表示，且表示方法唯一．,,OA OB OC 是不共面的向量，OM xOA yOB zOC =++，则,,,M A B C 共面⇔1x y z ++=．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C【分析】以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值．【详解】解：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C ，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC =-=，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，则1111||4cos 5||||55AB BC AB BC θ⋅===⋅⋅.∴异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为45.故选：C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．A解析：A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义可得cos ,OA BC <>的值，即可求解．【详解】由题意，可知OB OC =，则()OA BC OA OC OB OA OC OA OB ⋅=⋅-=⋅-⋅coscos33OA OC OA OB ππ=⋅-⋅1()02OA OC OB =⋅-=，所以OA BC ⊥，所以∴cos ,0OA BC <>=. 故选A ．【点睛】本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5．C解析：C 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确；对于②，连接1A B ，11AC ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ，所以11//BAC 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确；对于③，由于DC ⊥平面11BCBC ，所以1DC BC ⊥，若1DP BC ，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确．故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．【详解】如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1H ⊥平面AB 1D 1，垂足为H ，连接A 1C ，可得A 1C ⊥AB 1，A 1C ⊥AD 1，即有A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，直线A 1H 与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A 1H 与该正方体各面所成角相等，均为2②正确；过直线A 1H 的平面截该正方体所得截面为A 1ACC 1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D ．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.【详解】因为//αβ，所以12122//24n n k-==--，，解之得4k =，应选答案D 【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题. 8．D 解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O 出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O 出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的，综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【详解】分析：建立空间直角坐标系，利用直线CE 与平面ABE 所成的角，求解k 的最大值，进而求解平面BDE 和平面ABC 的一个法向量，利用向量所成的角，求解二面角的余弦值，进而求得正切值，得到结果.详解：如图所示，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz - ，则31(0,1,0),(0,0,),(0,1,),(,0)22k A D E k B ，取AB 的中点M ，则33(,0)4M ，则平面ABE 的一个法向量为33(,0)4CM =，由题意sin 2CE CMCE CM α⋅==⋅又由ππ[,]64α∈，所以1sin22α≤=≤k ≤≤，所以k当k =BDE 的法向量为(,,)n x y z =，则03102n DE y z n BE x yz ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=++=⎪⎩，取(3,1n =--，由平面ABC 的法向量为(0,0,1)m =，设平面BDE 和平面ABC 所成的角为θ，则3cos n m n m θ⋅==⋅，所以sin 3θ=tan θ= C. 点睛：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解答的关键在于建立适当的空间直角坐标系，求解直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了学生的推理与运算能力，以及转化的思想方法的应用. 11．B解析：B【分析】根据向量运算得到1113144BE BA AA A E AB AD AA =++=-++，得到答案. 【详解】 ()11111111131444BE BA AA A E AB AA A B A D AB AD AA =++=-+++=-++，故34x =-. 故选：B .【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.12．A解析：A【分析】由题意画出结晶体的图形，利用向量加法的三角形法则求解晶体的对角线的长.【详解】设AB a =，AD b =，1AA c =，棱长为t ，则两两夹角为60︒， 11AC AB AD A A a b c=++=+-， 22222222122232AC a b c a b c a b a c c b t t t ∴=+-=+++⋅-⋅-⋅=-=， 12AC t ∴=. 2m ∴=故选：A . 【点睛】本题考查了棱柱的结构特征，考查了向量加法三角形法则，解答的关键是掌握22||a a =，是基础题.二、填空题13．【分析】建立空间直角坐标系设出的坐标求出向量利用求得关系式写出的表达式然后利用二次函数求最值即可【详解】由题意建立如图所示的空间直角坐标系则由于则所以所以所以当时线段长度的最小值是当时线段长度的最大解析：5 【分析】建立空间直角坐标系，设出F 、D 的坐标，求出向量DG ，EF ，利用GD EF ⊥求得关系式，写出DF 的表达式，然后利用二次函数求最值即可．【详解】由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，1(0,1,)2E ，1(,0,1)2G ，(,0,0)F x ，(0,,0)D y ，由于GD EF ⊥，则0GD EF ⋅=，所以210x y +-=，所以(,,0)(21,)DF x y y y =-=-+-，所以22222215415550DF x y y y y ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭+，当25y =时，线段DF 长度的最小值是5，当0y =时，线段DF 长度的最大值是1，而不包括端点，故0y =不能取；故答案为：5[,1)．【点睛】本题主要考查了点、线、面间的距离计算、棱柱的结构特征、空间直角坐标系等基础知识，着重考查了空间想象能力，以及运算求解能力，属于基础题．14．①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件若不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为是正方形所以所以平面又平面平面于所以所解析：①②④【分析】根据线面平行的判定定理可判断①；同①以及正方形的特征可判断②；根据异面直线所成的角可判断④；根据题中条件，若P Q M N 、、、不是其所在线段中点时可判断③【详解】因为PQMN 是正方形，所以//PQ MN ，所以//PQ 平面ACD ，又平面ACD ⋂平面ABC 于AC ，所以//AC PQ ，所以//AC 截面PQMN ，故①正确；同理可得//BD MQ ，所以AC BD ⊥，即②正确；又//BD MQ ，PMQ 45∠=︒，所以异面直线PM 与BD 所成的角为045，故④正确；根据已知条件，无法确定AC BD 、长度之间的关系，故③错.故答案为①②④【点睛】本题主要考查空间中点线面位置关系，熟记相关知识点即可求出结果，属于常考题型. 15．【解析】【分析】取MC 中点O 连结AOBO 推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1AO ＝BO ＝AO ⊥MCAO ⊥平面BMCAO ⊥BO 由此能求出AB 两点之间的距离【详解】取MC 中点O 连结AOBO ∵△ABC 中∠C ＝解析：10 【解析】【分析】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，推导出AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，AO ＝3，BO ＝7，AO ⊥MC ，AO ⊥平面BMC ，AO ⊥BO ，由此能求出A ，B 两点之间的距离．【详解】取MC 中点O ，连结AO ，BO ，∵△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝2，M 为AB 中点，∴AC ＝BM ＝AM ＝CM ＝1，∴AO 2131()2- BO 22011172cos1201214222BM MO BM OM ⎛⎫+-⨯⨯⨯+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭ AO ⊥MC ，将△BMC 沿CM 折叠，当平面BMC ⊥平面AMC 时，AO ⊥平面BMC ，∴AO ⊥BO ，∴A ，B 两点之间的距离|AB |22371044BO AO +=+=, 10．【点睛】本题考查两点间距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．16．【解析】即解析：12λλ<≠-且【解析】0a b a b ⋅<且与不共线，即212110,1λλ---<≠⇒ 12λλ<≠-且 17．【详解】建立如图所示的空间直角坐标系则A （000）E （01）G （01）F （x00）D （0y0）=（-y1）=（x-1-）由于GD ⊥EF 所以x+2y-1=0所以当时线段DF 长度的最小值是故答案为：解析：5 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，0，0），E （0，1，12），G （12，0，1），F （x ，0，0），D （0，y ，0） DG =（12，-y ，1）， EF =（x ，-1，-12）由于GD ⊥EF ，所以x+2y-1=0, 所以22225415()5215DF x y y y y =+=-+=-+25y =时，线段DF 长度的最55 18．【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算【详解】由题意∵与互相垂直∴＝解得故答案为【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标运算解题关键是掌握向量垂直的充要条件即解析：522-或【分析】由向量垂直的坐标运算直接计算.【详解】由题意2,5,1a b a b ==⋅=-，∵ka b +与2ka b -互相垂直，∴222()(2)2ka b ka b k a ka b b +⋅-=-⋅-＝22250k k +-⨯=，解得522k k ==-或，故答案为522-或. 【点睛】本题考查空间向量垂直的坐标运算，解题关键是掌握向量垂直的充要条件，即0a b a b ⊥⇔⋅=.19．【分析】建立空间直角坐标系分别求得再利用即可得到所求角大小【详解】三棱柱为直三棱柱且以点为坐标原点分别以为轴建立空间直角坐标系设则又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于【点睛】本题考查了异面直线解析：60【分析】建立空间直角坐标系分别求得1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC ，再利用111111,cos BA AC BA AC BA AC 即可得到所求角大小．【详解】三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,且BAC 90︒∠=∴ 以点A 为坐标原点，分别以AC ，AB ，1AA 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系设1=1AB AC AA ==，则(0,0,0)A ,(0,1,0)B ,1(0,0,1)A ,1(1,0,1)C1=(0,1,1)BA ，1(1,0,1)AC ∴11111101co 2,s 22BA AC BA AC BA AC 又异面直线所成的角在（0,90]∴ 异面直线1BA 与1AC 所成的角等于60︒ ．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．20．【解析】【分析】设出点的坐标根据题意列出方程组从而求得该点到原点的距离【详解】设该点的坐标因为点到三个坐标轴的距离都是1所以所以故该点到原点的距离为故填【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用空间 6【解析】【分析】设出点的坐标(,,)x y z ，根据题意列出方程组，从而求得该点到原点的距离.【详解】设该点的坐标(,,)x y z因为点到三个坐标轴的距离都是1所以221x y +=，221y z +=，221x z +=，所以22232x y z ++= 2226=x y z ++ 故填62【点睛】本题主要考查了空间中点的坐标与应用，空间两点间的距离公式，属于中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）9331. 【分析】（1）连结EC ，证明GF ∥EC ，GF //平面PDC 即得证；（2））取AD 的中点O ，连结PO ，证明PO ⊥平面ABCD ，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求平面PAD 与平面GBC 所成锐二面角的余弦值. 【详解】解：（1）连结EC ，DC ∥AB∴2AF ABFC CD==， 2AGGE=∴GF ∥EC ， EC ⊂平面PDC ,GF ⊄平面PDC ∴GF ∥平面PDC .（2）取AD 的中点O ，连结PO ，易知,,P G O 三点共线且PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD 且AD 为交线，∴PO ⊥平面ABCD ，连结BO ，易知BO AD ⊥，建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面PAD 的法向量1(0,1,0)n →=，易知(0,0,1)G ，(0,3,0)B ，333(,0)2C ， ∴(0,3,1)GB →=-，333(,1)22GC →=--，设面GBC 的法向量2(,,)n x y z →=， ∴223033302n GB y z n GC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令2y =，则236,z x == ∴223(3n →= .设所求锐二面角的平面角大小为θ，则121293cos 31n n n n θ→→→→⋅==所以平面PAD与平面GBC 所成锐二面角的余弦值为93 31.【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找→作（定义法、三垂线法、垂面法）→证（定义）→指→求（解三角形）方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n→→；再代入公式cosm nm nα→→→→=±（其中,m n→→分别是两个平面的法向量，α是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“±”号）22．（1）点E是PD的中点，详见解析；（2）361.【分析】（1）点E是PD的中点，连接BD交AC与点O，连接OE，由中位线定理得到//OE PB，再利用线面平行的判定定理证明.（2）以A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC的一个法向量()111,,m x y z=，平面ACE的一个法向量()222,,n x y z=，设二面角P AC E--为θ，由cosm nm nθ⋅=⋅求解.【详解】（1）点E是PD的中点，如图所示：连接BD交AC与点O，连接OE，所以//OE PB，又PB⊄平面AEC，OE⊂平面AEC，所以//PB平面AEC．（2）以A 为原点，以AB ，AD ，AP 分别为x ,y ,z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()40,0,2,0,0,0,2,3,0,0,3,0,0,1,3P A C D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以()()42,3,0,0,0,2,0,1,3AC AP AE ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，设平面PAC 的一个法向量为()111,,m x y z =，则00m AC m AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 11123020x y z +=⎧⎨=⎩，令 1113,2,0x y z ==-=，则()3,2,0m =- 设平面ACE 的一个法向量为()222,,n x y z =，则00n AC n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即 2221230403x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令 22233,2,2x y z ==-=，则33,2,2n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设二面角P AC E --为θ, 所以213cos 61m n m nθ⋅==⋅，所以 22213361sin 1cos 161θθ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】方法点睛：1、利用向量求异面直线所成的角的方法：设异面直线AC ，BD 的夹角为β，则cos β＝AC BD AC BD⋅⋅.2、利用向量求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．3、利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．23．(1)证明见解析；(2)1010. 【分析】(1)证明线面平行，用线面平行的判定定理，在面PAB 内找一条直线与MN 平行； (2)建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角．【详解】(1)在四棱锥P ABCD -中，取PA 的中点E ，连接EB 、EM ，因为M 是PD 的中点，所以EMAD ，且12EM AD =．又因为底面ABCD 是正方形，N 是BC 的中点，所以BN AD ∥，且12=BN AD ，所以EM BN ∥且=EM BN ，所以四边形MNBE 是平行四边形．所以MN BE ∥．由于EB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以//MN 平面PAB .(2)因为底面ABCD 是正方形，所以AB ⊥AD ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以可以以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ,(0,0,2)P ，(0,1,1)M ,(2,1,0)N ． (2,2,2),(2,0,0)PC CD −−→−−→=-=-，设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =，有：0,0,m PC m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x y z x +-=⎧⎨=⎩，令1y =，则=1z ，所以(0,1,1)m =．(2,0,1)MN =-，设直线MN 与平面PCD 所成角为θ，有：sin cos ,MN mθ==MN m MN m⋅⋅()02+10+111025⨯⨯⨯-⋅．所以直线MN 与平面PCD 10 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何位置关系的证明，通常用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算． 24．（1）证明见解析；（222. 【分析】（1）取SC 的中点F ，连接,DF EF ，证明四边形ADFE 为平行四边形，可得//AE DF ，即可证//AE 平面SCD ；（2）建立如图所示空间直角坐标系，然后写出各点坐标，得平面ABE 的法向量为AD ，计算平面ACE 的法向量m ，利用数量积公式代入计算二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：取SC 的中点F ，连接,DF EF因为E 、F 为SB 、SC 的中点，所以//EF BC 且132EF BC ==，又因为//AD BC ，3AD =，6BC =，所以//EF AD 且EF AD =，所以四边形ADFE 为平行四边形，所以//AE DF ，又AE ⊄平面SCD ，DF ⊂平面SCD ，所以//AE 平面SCD ．（2）因为SA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，所以建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0),(4,0,0),(4,6,0),(0,3,0),(2,0,2)A B C D E ，(2,0,2),(4,0,0),(4,6,0)AE AB AC ===，(0,3,0)AD =由题意可知AD ⊥平面ABE ，设平面ACE 的法向量(,,)m x y z =所以00AC m AE m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则460220x y x z +=⎧⎨+=⎩，得(3,2,3)m =--设二面角B AE C --的平面角为θ，所以622cos cos ,11322AD m θAD m AD m⋅-====⨯，所以二面角B AE C --的余弦值为22.【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面关系的相互转化，通过中位线平行证明线线平行，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 25．（1）4π；（2）23. 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小. （2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度. 【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMHAA PHθ===，[0,]2πθ∈，∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)00ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =，∴由题意，知：2537||||221014m n m n a a ⋅==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角. （2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长. 26．（13102）23. 【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.（1）写出1A B 、1C D 的坐标，计算出11cos ,A B C D <>的值，即可得出异面直线1A B 与1C D 所成角的余弦值；（2）计算出1ADC 的一个法向量的坐标，可知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，利用空间向量法可求得平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值. 【详解】在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且AB AC ⊥，以点A 为坐标原点，AB 、AC 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 如下图所示：则由题意知()0,0,0A 、()2,0,0B 、()0,2,0C 、()10,0,4A 、()12,0,4B、()10,2,4C 、()1,1,0D .（1）()12,0,4A B =-，()11,1,4C D =--，111111310cos ,2532A B C D A B C D A B C D⋅<>===⨯⋅ 所以，异面直线1A B 与1C D 310 （2）易知平面1ABA 的一个法向量为()0,1,0n =，设平面1ADC 的法向量为(),,m x y z =，()1,1,0AD =，()10,2,4AC =，由100m AD m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得0240x y y z +=⎧⎨+=⎩，令2y =-，则2x =，1z =，所以，平面1ADC 的一个法向量为()2,2,1m =-，22cos ,33m n m n m n⋅-<>===-⋅，因此，平面1ADC 与平面1A BA 所成的二面角（是指不超过90的角）的余弦值为23. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.。

(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)

一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（）A ．85B ．97C ．12D ．2302．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（） A ．313B ．95C ．18D ．213．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773775．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形，其中正确结论的序号为（）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形（） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（）A 5B ．23C 5D 512．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°．其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）19．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．22．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．23．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ；（2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得．【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=．故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】由DB ED FE BF=++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF=++,22222221112 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED∴=+++++=++故32BD=-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．8．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的，综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为5 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩，令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，所以1cos45n m n m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ，而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°．故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =，故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形．又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452．【点睛】（1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心．（2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴， SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛- ⎝⎭，所以312,22AE ⎛= ⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311cos,AE SD-+-==故异面直线AE，SD所成角的余弦值为3．17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z=，由已知条件可得m、n的值，由对任意x，y R∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b-+-+=得：||1z=，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a=，13(,22b=，设空间向量(),,c m n z=，2c a⋅=，52c b⋅=，2m∴=，1522m =2m∴=，3n=，∴空间向量()2,3,c z=，又由对任意x，y R∈，()()001c xa yb c x a y b-+≥-+=，则||1z=，故(22c=+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．18．【解析】解析：211322a b c-++【解析】MN MA AB BN=++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。

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高二数学选修（2-1）期末模拟考试题（理科）斗鸡中学刘理论班级：姓名：座号：成绩：一、选择题（15×4=60分）1、(x+1)(x+2)>0是(x+1)(2x +2)>0的（）条件A 必要不充分B 充要C 充分不必要D 既不充分也不必要2、已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（）条件A 必要不充分B 充分不必要C 充要D 既不充分也不必要 3、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC 与的夹角为（） A 030 B 045 C 060 D 0904、O 、A 、B 、C 为空间四个点，又、、为空间的一个基底，则（） A O 、A 、B 、C 四点共线 B O 、A 、B 、C 四点共面C O 、A 、B 、C 四点中任三点不共线D O 、A 、B 、C 四点不共面 5、给出下列关于互不相同的直线m 、l 、n 和平面α、β的四个命题： ①若不共面与则点m l m A A l m ,,,∉=⋂⊂αα；②若m 、l 是异面直线，ααα⊥⊥⊥n m n l n m l 则且,,,//,//； ③若m l m l //,//,//,//则βαβα；④若.//,//,//,,,βαββαα则点m l A m l m l =⋂⊂⊂其中为假命题的是（） A ① B ② C ③ D ④6、已知高为3的直棱柱ABC —A ′B ′C ′的底面是边长为1的正三角形（如图1所示），则三棱锥B ′—ABC 的体积为（）A 41B21C 63D 437、若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m=（） A 3 B23C38 D 328、已知()()3cos ,3sin ,12cos ,2sin ,1P ααββ==和Q ，则PQ 的取值范围是（） A []1,5 B ()1,5 C []0,5 D []0,259、已知椭圆13610022=+y x 上一点P 到它的右准线的距离为10, 则点P 到它的左焦点的距离是( )A 8B 10C 12D 1410、与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线,且经过点()32,3-的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是( )A 1B 2C 4D 811、若抛物线28y x =上一点P 到准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则此点P 的横坐标为（）A 10B 9C 8D 非上述答案12、已知坐标满足方程F （x ，y ）=0的点都在曲线C 上，那么（） A 曲线C 上的点的坐标都适合方程F （x ，y ）=0； B 凡坐标不适合F （x ，y ）=0的点都不在C 上； C 不在C 上的点的坐标不必适合F （x ，y ）=0；D 不在C 上的点的坐标有些适合F （x ，y ）=0，有些不适合F （x ，y ）=0。

二、填空题（4*4=16分）13、已知四面体A —BCD ，设=，=，=，=,E 、F 分别为AC 、BD 中点，则EF 可用、、、表示为_______ ____. 14、“若A 则B ”为真命题，而“若B 则C ”的逆否命题为真命题，且“若A 则B ”是“若C 则D ”的充分条件，而“若D 则E ”是“若B 则C ”的充要条件，则┐B 是┐E 的条件；A 是E 的条件。

（填“充分”“必要”、“充要”或“既不充分也不必要” ）15、设双曲线12222=-by a x 的一条准线与两条渐近线交于A 、B 两点，相应的焦点为F ，若以AB为直径的圆恰好过F 点，则离心率为16、抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则其横坐标为___ ____。

三、解答题（共74分）17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15。

求抛物线的方程.19、（12分）已知9x 2+5y 2=1的焦点F 1、F 2，在直线l ：x +y －6=0上找一点M ，求以F 1、F 2为焦点，通过点M 且长轴最短的椭圆方程．20、（12分）A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD=4，试求MN 的长.xyzHG FEA BCDA 1B 1C 1D 121、（12分）给定双曲线1222=-y x 。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程．22、（14分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD的中点，G 在棱CD 上，且14CG CD =，H 为1C G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题.（1）求证：1EF B C⊥;（2）求EF 与1C G所成的角的余弦;（3）求FH 的长.高二数学选修（2-1）期末模拟考试题（答案）题目123456789101112答案 A B C D C D B A C B D C二、填空题（4×4=16分） 13、21(c a +) 14、必要充分 15、2 16、7 三、解答题（共74分） 17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。

解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.（假命题）逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.（假命题）否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数.（假命题）逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.（假命题）18、（12分）已知顶点在原点, 焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15。

求抛物线的方程.解：依题意可设抛物线方程为：ax y =2（a 可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB ；则可设A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）联立⎩⎨⎧+==122x y ax y 得01)4(42=+-+x a x即：4421a x x --=+ 4121=x x 15]1)44[(5]4))[(1(2212212=---=-++=a x x x x k AB 得：a=12或-4所以抛物线方程为x y 122=或x y 42-=19、（12分）已知9x 2+5y 2=1的焦点F 1、F 2，在直线l ：x +y －6=0上找一点M ，求以F 1、F 2为焦点，通过点M 且长轴最短的椭圆方程．解：由15922=+y x ，得F 1（2，0），F 2（-2，0），F 1关于直线l 的对称点F 1/（6，4），连F 1/F 2交l 于一点，即为所求的点M ，∴2a =|MF 1|+|MF 2|=|F 1/F 2|=45，∴a =25，又c=2，∴b 2=16，故所求椭圆方程为1162022=+y x ． 20、（12分）A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.若BD=4，试求MN 的长.解：连结AM 并延长与BC 相交于E ，又连结AN 并延长与CD 相交于E ，则E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在=3232-=- =EF AE AF 32)(32=-=)(32CE CF -=)(31)2121(32CB CD CB CD -=-=BD 31∴MN=|MN |=31||=31BD=34 21、（12分）给定双曲线1222=-y x 。

过A （2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P 的轨迹方程．解：设),(111y x P ，),(222y x P 代入方程得122121=-y x ，122222=-y x ．两式相减得： 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x 。

又设中点P （x,y ），将x x x 221=+，y y y 221=+代入，当21x x ≠时得02222121=---x x y y y x ·。

又212121--=--=x y x x y y k ，代入得04222=+--y x y x 。

当弦斜率不存在时，其中点P （2，0）的坐标也满足上述方程。

因此所求轨迹方程是17)21(47)1(822=---y x 。

22、（14分）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,D D BD的中点，G 在棱CD 上，且14CG CD =，H 为1C G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题.（1）求证：1EF B C⊥;（2）求EF 与1C G所成的角的余弦;（3）求FH 的长.(16分)解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则1E 0,0,)2（，11113(,,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,,0)224F C B C G1111111(,,),(1,0,1)222110022EF EF BC EF B C EF B C B C =-=--∴⋅=-++=⊥⊥则即（2）2111(0,,1)044C G C G =-∴==，由（1）知 1(2EF ==⇒1113130()022428EF C G ⋅=⋅+⋅+-⋅=11151cos ,17EF C G EF B C EF C G ⋅∴==⋅故EF 与1C G所成角的余弦值为.（3）11C G H为的中点，7111H 0,,),(,,0)8222F ∴（又(0FH 88FH ∴==。