第五章线性参数的最小二乘处理
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典型题解
5-1由测量方程
试求 、 的最小二乘法处理及其相应精度。
解：方法一：列出误差方程组：
分别对 求偏导，并令它们的结果为0，
5-15数N系时间t的函数
N=x1+x2t+x3t2
测定后的N的值如下。测定是在异权情况下进行的，试求x1，x2，x3的最可信赖值。
i
1
2
3
4
5
6
7
8
9
ti
1.5
1.1
0.7
0.3
-0.1
-0.5
-1.0
-1.5
-2.0
Ni
6.20
3.45
2.00
1.80
2.40
4.55
8.85
15.70
24.40
2x+y=5.1
x-y=1.1
4x-y=7.4
x+4y=5.9
5-6测得一直线上四段长度AB、BC、CD、DE分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD准确长90厘米和BE准确长100厘米。试求AB，BC，CD，DE的最大或然值。
5-7由方程组
3x+y=2.9
x-2y=0.9
2x-3y=1.9
x=0
y=0
z=0
x-y=0.92,
-y+x=1.35
-x+z=1.00
试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。
5-3由等精度测定方程为：
x+37y+1369z=36.3
x+32y+1024z=41.4
x+27y+729z=47.5
x+2y+484z=54.7
x+17y+289z=63.2
x+12y+144z=72.9
x+7y+49z=83.7
试用矩阵最小二乘法求x，y，z的最可依赖值及其精度。
5-4交流电路的电抗x=ωL ，
在角频率ω1=3时，测得x为x1=0.8
ω2=2时，测得x为x2=0.2
ω3=1时，测得x为x3=-0.3
试求：(i)L，C及其方差；(ii)ω=3时（ =0.1）电抗值及其方差。
5-5试求下列方程给出的x，y的最大或然值及其标准误差。
3.200X+10.240Y+32.768Z=0.5098
2.600X+6.760Y+17.576Z=0.2896
3X+9Y+27Z=0.4181
5-19假设有三个某种量规，其值分别为Y1、、Y2、Y3。现在将它们直接地或间接地与数值已知为N的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）：
（i）每一个量规各与标准量规比较二次；
4x+y=8.1P2=2
2x-y=0.5P3=3
5-10由下面的测定方程组，试求x，y的最可依赖值及其标准误差。
2x+y=5.1权：P1=1
x-y=1.1P2=3
4x-y=7.2P3=2
5-11试求满足下列方程的x，y，z及其标准误差（假设它们是等权的）。
x+y+z=4.01
2x-y+z=1.04
x+3y-2z=5.02
Y1—N=X2
Y1—N=X2
Y2—N=X2
Y2—N=X3
Y2—Y1=X3
Y3—N=X3
Y2—N=X4
Y2—Y1=X4
Y2—Y1=X4
Y3—N=X5
Y3—Y2=X5
Y3—Y1=X5
Y3—N=X6
Y3—Y2=X6
Y3—Y2=X6
试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。（提示：可以比较不同测量方案下未知数的权）。
3
34º55′40″
1
34°54′
2
34º55′30″
1
34º55′20″
1
34º55′0″
2
34°55′
1
34º55′70″
1
34º55′10″
1
34º55′50″
5-14某平面三角形三个角被测出为A=48º5′10″，B=60º25′24″，C=70º42′7″，令假设这种测量（i）各次权相等；（ii）各次权分别为1、2、3；试求A、B、C的最大或然值。
3x+y=4.97
5-12由座标点(1，0) (3，1)和(-1，2)到某点的距离分别为3.1，2.2和3.2。试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。
5-13对某一角度值，分两个测回进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。试求该角度的最可信赖及其标准误差。
第一测回
第二测回
pi
ai
pi
ai
7
34°56′
i
1
2
3
4
5
t
17.250
0.551
5.363
10.459
14.277
160.28
5.70
47.61
41.49
124.25
6
7
8
9
10
17.806
22.103
24.633
28.986
34.417
154.87
192.64
214.57
252.09
299.84
求未知参量x，y，z的最可依赖值。
5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下：
第五章 线性参数的最小二乘处理
习 题
5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示：
x+ty+t2z=L
式中x表示在0℃时米尺基标准器的修正值（微米）；y和z为温度系数；t为温度（℃）；L为t℃基准器的长度的修正值（微米）。经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表：
Pi
0.707
0.500
5-16硝酸钠在100份水内的溶解度与温度的关系，测定为
温度
0°
4°
10°
15°
21°
29°
36°
5Βιβλιοθήκη Baidu°
68°
溶解度
66.7
71.0
76.3
80.6
85.7
92.9
99.4
113.6
125.1
上述关系可用直线67.5+0.87t表示(式中t为温度)。试用最小二乘法来检证。
5-17由下列测定的方程组，求X、Y最可信赖及其或然误差。
X+Y=37.0权：P1=5
2X+Y=61.9 P2=4
3X+Y=86.7 P3=4
X+2Y=49.2 P4=4
X+3Y=60.6 P5=3
2X+3Y=86.7 P6=2
3X+2Y=98.4 P7=3
5-18由下列测定方程组，求X、Y最可信赖及其标准误差。
2X+4Y+8Z=0.1612
2.200X+4.840Y+10.648Z=0.1986
试求x，y的最大或然值及其标准误差。
5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x1，x2的最可信赖值及其标准误差。
x1=0权：P1=8
x2=0P2=10
x1+2x2=0.25P3=1
x1-3x2=0.92P4=5
5-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x，y的最大或然值及其标准误差。
x-3y=-5.6权：P1=1
（ii）第一个量规（Y1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y3）与第二量规比较二次；
（iii）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次；
上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示：
（1）
（2）
（3）
Y1—N=X1
Y1—N=X1
Y1—N=X1
5-1由测量方程
试求 、 的最小二乘法处理及其相应精度。
解：方法一：列出误差方程组：
分别对 求偏导，并令它们的结果为0，
5-15数N系时间t的函数
N=x1+x2t+x3t2
测定后的N的值如下。测定是在异权情况下进行的，试求x1，x2，x3的最可信赖值。
i
1
2
3
4
5
6
7
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ti
1.5
1.1
0.7
0.3
-0.1
-0.5
-1.0
-1.5
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Ni
6.20
3.45
2.00
1.80
2.40
4.55
8.85
15.70
24.40
2x+y=5.1
x-y=1.1
4x-y=7.4
x+4y=5.9
5-6测得一直线上四段长度AB、BC、CD、DE分别为24.1，35.8，30.3和33.8厘米，但已知AD准确长90厘米和BE准确长100厘米。试求AB，BC，CD，DE的最大或然值。
5-7由方程组
3x+y=2.9
x-2y=0.9
2x-3y=1.9
x=0
y=0
z=0
x-y=0.92,
-y+x=1.35
-x+z=1.00
试求x，y，z的最可依赖值及其标准误差。
5-3由等精度测定方程为：
x+37y+1369z=36.3
x+32y+1024z=41.4
x+27y+729z=47.5
x+2y+484z=54.7
x+17y+289z=63.2
x+12y+144z=72.9
x+7y+49z=83.7
试用矩阵最小二乘法求x，y，z的最可依赖值及其精度。
5-4交流电路的电抗x=ωL ，
在角频率ω1=3时，测得x为x1=0.8
ω2=2时，测得x为x2=0.2
ω3=1时，测得x为x3=-0.3
试求：(i)L，C及其方差；(ii)ω=3时（ =0.1）电抗值及其方差。
5-5试求下列方程给出的x，y的最大或然值及其标准误差。
3.200X+10.240Y+32.768Z=0.5098
2.600X+6.760Y+17.576Z=0.2896
3X+9Y+27Z=0.4181
5-19假设有三个某种量规，其值分别为Y1、、Y2、Y3。现在将它们直接地或间接地与数值已知为N的标准量规比较，比较的方案为下述三种（三种组合）：
（i）每一个量规各与标准量规比较二次；
4x+y=8.1P2=2
2x-y=0.5P3=3
5-10由下面的测定方程组，试求x，y的最可依赖值及其标准误差。
2x+y=5.1权：P1=1
x-y=1.1P2=3
4x-y=7.2P3=2
5-11试求满足下列方程的x，y，z及其标准误差（假设它们是等权的）。
x+y+z=4.01
2x-y+z=1.04
x+3y-2z=5.02
Y1—N=X2
Y1—N=X2
Y2—N=X2
Y2—N=X3
Y2—Y1=X3
Y3—N=X3
Y2—N=X4
Y2—Y1=X4
Y2—Y1=X4
Y3—N=X5
Y3—Y2=X5
Y3—Y1=X5
Y3—N=X6
Y3—Y2=X6
Y3—Y2=X6
试研究采用那一种测量方案能够获得最好的结果。（提示：可以比较不同测量方案下未知数的权）。
3
34º55′40″
1
34°54′
2
34º55′30″
1
34º55′20″
1
34º55′0″
2
34°55′
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34º55′70″
1
34º55′10″
1
34º55′50″
5-14某平面三角形三个角被测出为A=48º5′10″，B=60º25′24″，C=70º42′7″，令假设这种测量（i）各次权相等；（ii）各次权分别为1、2、3；试求A、B、C的最大或然值。
3x+y=4.97
5-12由座标点(1，0) (3，1)和(-1，2)到某点的距离分别为3.1，2.2和3.2。试求该点座标位置的最大或然值及其标准误差。
5-13对某一角度值，分两个测回进行测定，其权等于测定次数，测定值如下。试求该角度的最可信赖及其标准误差。
第一测回
第二测回
pi
ai
pi
ai
7
34°56′
i
1
2
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5
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17.250
0.551
5.363
10.459
14.277
160.28
5.70
47.61
41.49
124.25
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17.806
22.103
24.633
28.986
34.417
154.87
192.64
214.57
252.09
299.84
求未知参量x，y，z的最可依赖值。
5-2对未知量x，y，z，组合测量的结果如下：
第五章 线性参数的最小二乘处理
习 题
5-1研究铂-铱米尺基准器的膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度的修正值可用下述公式表示：
x+ty+t2z=L
式中x表示在0℃时米尺基标准器的修正值（微米）；y和z为温度系数；t为温度（℃）；L为t℃基准器的长度的修正值（微米）。经研究得在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表：
Pi
0.707
0.500
5-16硝酸钠在100份水内的溶解度与温度的关系，测定为
温度
0°
4°
10°
15°
21°
29°
36°
5Βιβλιοθήκη Baidu°
68°
溶解度
66.7
71.0
76.3
80.6
85.7
92.9
99.4
113.6
125.1
上述关系可用直线67.5+0.87t表示(式中t为温度)。试用最小二乘法来检证。
5-17由下列测定的方程组，求X、Y最可信赖及其或然误差。
X+Y=37.0权：P1=5
2X+Y=61.9 P2=4
3X+Y=86.7 P3=4
X+2Y=49.2 P4=4
X+3Y=60.6 P5=3
2X+3Y=86.7 P6=2
3X+2Y=98.4 P7=3
5-18由下列测定方程组，求X、Y最可信赖及其标准误差。
2X+4Y+8Z=0.1612
2.200X+4.840Y+10.648Z=0.1986
试求x，y的最大或然值及其标准误差。
5-8由下面的不等精度的测定方程组，求x1，x2的最可信赖值及其标准误差。
x1=0权：P1=8
x2=0P2=10
x1+2x2=0.25P3=1
x1-3x2=0.92P4=5
5-9由下面的不等精度的测定方程组，试用矩阵最小二乘法求x，y的最大或然值及其标准误差。
x-3y=-5.6权：P1=1
（ii）第一个量规（Y1）与标准量规比较二次，第二个量规（Y2）与第一个量规比较二次，第三个量规（Y3）与第二量规比较二次；
（iii）每一个量规各与标准量比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次；
上述三种测量方案得到的条件方程式如下表所示：
（1）
（2）
（3）
Y1—N=X1
Y1—N=X1
Y1—N=X1