§1.1 态矢量和力学量的表示

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任意态矢 α 在坐标表象中的投影系数为： G G ψα (x) = x α ② 、动量表象{ p } G G G ˆ p p =p p 显然动量空间也是连续表象空间，动量表象的完全性条 件为： G G G ˆ ∫ p p dp = I G G' G G' 动量表象的正交归一条件： p p = δ ( p − p ) 任意态矢 α 在动量表象中的投影系数为：
态矢量：在量子力学中，描述微观粒子的状态使 用态矢量ψ α ，态矢量为复矢量，其共轭态同 † ψ , ψ 样描述同一个微观态，记为： α α ，利用 α ,α 。 Dirac表示方法表示为： ψα ↔ α
† ψα ↔ α
α =( α
)
†
α β =( β α α α ≥0
)
†
α β = 0 ⇒ α and β are orthogonal
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第一章 量子力学的一般描述
§1.1 态矢量和力学量的表示 §1.2 矩阵力学表示 §1.3 么正变换的一般理论 §1.4 绘景理论 §1.5 对称性和守恒定律 §1.6 密度算符号 §1.7 路径积分表示
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§ = i i 算符对任意状态矢 α 的作用为： 定义P i
ˆ α = i i α =C i P i i
ˆ 为对 i 轴的投影算符。 算符P i
⎛ N ˆ⎞ ˆ 完全性条件可由投影算符表示为：⎜ ∑ Pi ⎟ = I ⎝ i =1 ⎠
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4、算符的矩阵表示
ˆ ，一般存在： 对于任意算符F
设存在B表象空间{ bi 可以分别表示为：
ˆ b β (B) = ∑ bi F j j
j =1
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则：α = ∑ α
i =1
N
(B) i
ˆ b β ( B) b bi = ∑ bi F j j i
i ,i =1
N
ˆ b 令： Fij( B ) = bi F j
α = ∑α
i =1 N ( B) i
，则：
N i ,i =1
bi = ∑ Fij( B ) β (j B ) bi
Ci = i α 这里：
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所以： α = ∑ Ci i = ∑ i α i
i =1 i =1
N
N
=∑
i =1
N
⎛ N ⎞ i i α = ⎜∑ i i ⎟ α ⎝ i =1 ⎠
⎛ N ⎜∑ i i j ⎝ i , j =1 ⎞ ˆ j ⎟=I ⎠
⎛ N ⎞ ˆ 显然 ： ⎜∑ i i ⎟ = I, ⎝ i =1 ⎠
显然：α i
( B)
= Fij( B ) β (j B )
(B) (B) T α ↔ ( α , " , α 采用矩阵表示： 1 N ) (B) T β ↔ ( β1( B ) , ", β N )
(B) B) ⎤ ⎡ β1( B ) ⎤ 则： ⎡α1( B ) ⎤ ⎡ F1,1 " F1,(N ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ % # ⎥⎢ # ⎥ ⎢ # ⎥=⎢ # (B) ⎥ (B) (B) ⎥ ⎢ (B) ⎥ ⎢α N ⎢ FN " F N ,N ⎦ ⎣β N ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ,1
α = ∑ α i( B ) bi
i =1 N N
ˆ β α =F
} 。在B表象空间中，任意态矢 α
,β
β = ∑ βi( B ) bi
i =1
ˆ β 则： α i( B ) = bi α = bi F ˆ b b β =∑ b F ˆ b b β = ∑ bi F j j i j j
j =1 N j =1 N N
ˆ, B ˆ ˆ − BA ˆ ⎤ = AB ˆˆ 算符的对易子：⎡ A ⎣ ⎦
所有力学量算符为线性厄密算符。
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3、态矢量的矩阵表示
如果厄密算符A有N个本征矢，由这N个本征矢量:
{ 1 , 2 ,"", N }
可以构成一个N维正交完全集，由这N个本征矢量张成的 复空间称为Hilbert空间，在Hilbert空间中，任意一个态矢 量 α 可以表示为： α = α1 1 + α 2 2 + "" + α N N 这里α i 为 α 在 i 轴上的投影。 在 { i } 空间上，可用分解系数 Ci 对 α 进行唯一表示，令： ⎛C 1⎞ ⎟ † # ψα ↔⎜ N) 1 " C ⎜ ⎟,ψα ↔( C ⎜C ⎟ ⎝ N⎠
)
对于分立表象，正交归一条件表示为： i j = δ ij 则：i = ∑ j j i = ∑ δ ij j = i
j =1 j =1 N N
对于连续表象，正交归一条件表示为： x x ' = δ ( x − x ' ) 则： x ' = ∫ dx x x x ' = ∫ dx x δ ( x − x ' ) = x '
G
G G ψ α ( p) = p α
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③、动量算符的本征矢在坐标表象中的表示
G G' G G' 首先动量表象中： p p = δ ( p − p )
G G' 由 δ ( p − p )函数的Fourier逆变换有： G G G G G' 1 − i ( p − p ' )⋅ x / = G δ(p− p ) = e dx 3 ∫ ( 2π = )
G G G' G G ip ⋅( x − x ) / = dppe ∫
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ˆ α = β 若：p
G G' G G' ψ β ( x ) = ∫ dx pxx GG 'ψ α ( x ) 则在坐标表象中：
G' G G' G' = −i= ∫ dx ∇δ ( x − x ) ψα (x ) G' G G' G' = −i=∇ ∫ dx δ ( x − x ) ψα (x ) G = −i=∇ψ α ( x )
α = Fβ 一般记为：
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5、坐标表象与动量表象
G ①、坐标表象{ x
G G G ˆ x =x x x
}
G 由于坐标为连续取值，所以由{ x } 张成连续的表象空
间。坐标表象的完全性条件为： G G G ˆ G' G G' ∫ x x dx = I , ∫ dx ∫ dx x
(
G' G G ˆ x x x =I
( 2π = )
1
3
G G G G G G ip ⋅ x / = − ip ⋅ x ' / = ∫ dppe e
2π = G G G' G ip ⋅( x − x ) / = ⎞ 1 ⎛ = i dpe = − ∇ ⎜ ⎟ ∫ ⎠ 2π = ⎝ G G G' ⎛ 1 G ip ⋅( x − x ) / = ⎞ dpe = −i=∇ ⎜ ⎟ 3 ∫ ⎜ ( 2π = ) ⎟ ⎝ ⎠ G G' = −i=∇δ ( x − x )
= = 1
在坐标表象中，动量空间的归一化条件表示为： G G' G G G G' G p p = ∫ p x x p dx
( 2π = )
1
3
∫e
G G G G − ip ⋅ x / = ip ' ⋅ x / =
e
G dx G dx
G G G G* x p = p x = 比较得：
e ( ∫ ( 2π = )
所以，在坐标表象中，采用波函数的方式表达，则有：
ˆ = −i=∇ p
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2、力学量算符
力学量算符：在量子力学中，所有物理量都是用作用于态 矢量的算符进行表示的，是一种操作。
ˆα = β , 线性算符： A i i ˆ (C α + C α A 1 1 2 2 ˆ ) = AC
1
ˆ α α1 + AC 2 2
= C1 β1 + C2 β α 2
ˆ† = A ˆ 厄密算符： A
3
G G ip ⋅ x / = *
)e
3/2
G G ip ' ⋅ x / =
1
( 2π = )
e
G G ip⋅ x / =
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④、动量算符在坐标表象中的表示
G G G G' G G G ˆ p pxx' = x p x = ∫ dp x p G G G G G G' = ∫ dpp x p p x = = 1 G G' p x