矩阵特征值 开题报告
一类矩阵特征值的扰动的开题报告
一类矩阵特征值的扰动的开题报告
矩阵特征值扰动的问题是数值线性代数领域中的一个热门研究课题，它涉及到矩阵特征值问题的准确性和连续性以及相关应用。
矩阵特征值
问题是一种重要的线性代数问题，它在科学工程领域中有广泛的应用，
比如在谱分析、物理学、信号处理、优化、稳定性分析等方面。
在大多
数实际问题中，由于种种原因，矩阵的特征值只能用计算方法进行近似
求解。
因此，对特征值求解准确性和连续性的研究就成为数值线性代数
领域的重点之一。
针对一类矩阵特征值扰动问题，即矩阵的元素或特征向量发生微小
扰动后，特征值的变化问题，本文旨在进行更加深入的研究，主要包括
以下三个方面：
1.文献综述：综述矩阵特征值扰动问题的发展历程，概括目前国内
外学术界主要研究成果，探究矩阵特征值扰动的理论背景、研究方法和
问题难点。
2.研究内容：对于矩阵特征值扰动问题，考虑计算扰动前后特征值
之差的情况。
针对一类具有一定特殊性的矩阵，探究其特征值扰动的连
续性和 Lipschitz 常数，并将其结果与一般情况下特征值扰动结果进行比
较和分析。
3.理论分析和验证：基于已有研究成果和本文中的模型，通过理论
证明和计算验证等多种方法，分析和比较不同方法求解矩阵特征值扰动
问题的可行性和有效性，为相关应用提供理论支撑和计算方法。
综上，本文旨在深入研究一类矩阵特征值扰动问题，探究其连续性
和 Lipschitz 常数，并对不同方法求解矩阵特征值扰动问题进行理论分析
和验证，为相关领域的研究和应用提供理论基础和实用方法。
矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文
本科毕业论文（ 2010 届）题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨学院数学与信息工程学院专业数学与应用数学摘要矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.关键词特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵AbstractThe problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.Keywordscharacteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices目录1.引言 (5)1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。
矩阵特征值与特征向量求解及其应用-本科数学论文开题报告
安徽建筑大学毕业设计（论文）开题报告题目矩阵特征值与特征向量求解及其应用专业信息与计算科学姓名张浩班级10信息（2）班学号10207010233指导教师宫珊珊提交时间2014年3月4号一、综述本课题的研究动态，说明选题的依据和意义矩阵的特征值与特征向量是线性代数的重要组成部分，通过对矩阵特征值与特征向量的性质介绍，以及对矩阵特征值与特征向量理论的分析，有助于我们更好地认识线性代数，同时也有利于我们利用矩阵特征值与特征向量来解决实际问题。
随着社会的发展和科技的进步，特征值与特征向量的重要性得以显现，越来越被人们所重视。
物理、力学、工程技术中的许多问题在数学上都归结为求矩阵的特征值与特征向量问题。
因此对于矩阵特征值与特征向量的理论分析及求解方法探索是很有必要的，本课题深入研究矩阵特征值与特征向量的定义和性质，对于矩阵特征值与特征向量的两种求解方法的原理进行了思考和分析,重点研究特征值与特征向量的应用探索，在应用方面主要分析了矩阵特征值与特征向量在Google搜索引擎上的应用并提出了自己的想法，进一步将自己的想法进行推广应用。
二．课题研究的基本内容，拟解决的主要问题和难点问题研究的主要内容：特征值与特征向量的相关理论及其应用主要问题和难点问题：1、在矩阵特征值与特征向量基本性质的基础上，了解矩阵特征值与特征向量的理论及其应用。
2、在搜集有关矩阵特征值与特征向量应用实例上对矩阵特征值与特征向量相关问题进行思考推广。
3、矩阵特征值与特征向量的性质推广来解决生活中的实际问题。
三、研究步骤、方法及措施：1、介绍矩阵特征值与特征向量的研究现状，以及研究矩阵特征值与特征向量的实际意义。
2、介绍矩阵特征值与特征向量的定义及其基本性质，并对矩阵特征值与特征向量的理论及应用进行分析。
3、阅读大量文献资料，找出与该课题有关的问题及结论，对问题加以分析和总结。
4、在熟悉有关性质和定义的基础上对特征值与特征向量的应用进行深入研究和探索，加以整理，从而形成自己的研究成果。
矩阵特征值与奇异值的估计的开题报告
矩阵特征值与奇异值的估计的开题报告题目：矩阵特征值与奇异值的估计摘要：矩阵特征值和奇异值是矩阵分析中最基本的性质之一，它们在求解许多优化问题和应用于机器学习等领域具有重要作用。
本文将介绍特征值与奇异值的定义及性质，并探讨它们的估计方法，包括幂法、雅可比矩阵迭代法、QR分解法等。
同时，对这些方法的优缺点进行分析和比较。
关键词：矩阵特征值，矩阵奇异值，幂法，雅可比矩阵迭代法，QR分解法一、研究意义随着大数据时代的到来，矩阵运算在数据处理中变得越来越常见，矩阵特征值和奇异值的估计也变得非常重要。
例如，在机器学习中，对大量数据进行特征提取时需要对矩阵的特征值和奇异值进行求解；在图像处理中，奇异值分解被广泛用于信息压缩和图像恢复等领域。
因此，对于矩阵特征值和奇异值的估计方法进行研究具有重要意义。
二、研究内容1. 特征值与奇异值的定义及性质特征值与奇异值都可以描述矩阵的本质性质。
特征值是指矩阵在某个方向上的伸缩倍数，而奇异值则是指矩阵的伸缩程度。
本文将介绍它们的定义及主要性质。
2. 幂法幂法是一种估计特征值和特征向量的算法，它通过反复对矩阵进行乘法来逐步得到最大特征值对应的特征向量。
本文将详细介绍幂法的原理及其优缺点。
3. 雅可比矩阵迭代法雅可比矩阵迭代法是一种用于求解特征值和特征向量的经典算法之一。
它通过对矩阵进行相似变换来将矩阵变换为对角矩阵，从而得到特征值和特征向量。
本文将详细介绍雅可比矩阵迭代法的原理及其优缺点。
4. QR分解法QR分解法是一种用于求解特征值和特征向量的常见算法。
它通过将矩阵分解为QR分解形式，从而提取出特征值和特征向量。
本文将详细介绍QR分解法的原理及其优缺点。
5. 估计矩阵奇异值的方法本文还将介绍几种用于估计矩阵奇异值的方法，包括SVD分解、带有迭代次数控制的幂法等。
三、研究方法本文将运用文献资料阅读和理论分析的方法，对特征值和奇异值的估计方法进行深入研究，包括算法的原理、复杂度、优缺点和实现细节等方面。
论矩阵的对角化问题论文开题报告
[4]张禾瑞．高等代数．北京：高等教育出版社，
[5]吉林大学数学系．数学分析(中册)．
[6]郭亚梅．最小多项式与矩阵的对角化．河南机电高等专科学校学报．
[7]金佑来．矩阵对角化的一个新方法．合肥学院学报．
[8]周立仁．矩阵同时对角化的条件讨论．湖南理工学院学报．
二，几种常用矩阵对角化的讨论
三，可对角化矩阵的应用
重点：几种常见矩阵对角化的讨论
难点：可对角化矩阵的应用
预期目标：通过对易理解的矩阵的对角化问题的具体分析以及相对复杂先行变换的对角化问题的探讨，使我们更轻松的理解并掌握线性变化的对角化问题
三、拟采用的研究方法、步骤
研究方法：文献参考法，研究法，计算法，定性分析法
[9]岳嵘．利用矩阵对角化求数列通项．高等数学研究．
[10]杨胜良．三对角行列式与Chebyshev多项式．大学数学．．
六、指导教师意见
签字：
年
月
日
八、分管院长意见及签字
（办公室盖章）
年
月
日
研究步骤：第一步从特征值，特征向量入手讨论n级方阵可对角化的相关条件
第二步几种常用矩阵对角化的讨论
第三步可对角化矩阵的应用
四、研究的总体安排与进度
五、参考文献（不少于10篇）
[1]李世余．代数学的发展和展望．广西大学学报．
[2]北京大学数学系与代数教研室前代数小组编．王萼芳,石生明修订．高等代数（第三版）．北京:高等教育出版社,
数学与统计学院
院
数学与应用数学
专业
学生姓名
XXXX
学号
XXXXX
一、选题的背景、研究现状与意义
矩阵特征值开题报告
05 时间安排与进度计划
CHAPTER
时间安排
01
02
03
04
05
第一阶段（1-2周 第二阶段（3-4周 第三阶段（5-6周 第四阶段（7-8周 第五阶段（9-10
）
）
）
）
周）
文献调研与综述。主要任 务是收集和阅读关于矩阵 特征值研究的最新文献， 了解研究现状和前沿动态 ，为后续研究打下基础。
理论推导与算法设计。基 于第一阶段的研究成果， 进行矩阵特征值相关理论 的深入学习和推导，设计 出有效的算法框架。
02
研究方法
随着计算技术的发展，矩阵特征值的 计算方法和算法将更加高效和精确， 为实际应用提供更为可靠的理论支持 。
03
应用领域
矩阵特征值的应用领域将进一步拓展 ，不仅局限于数学和工程学科，还将 应用于金融、经济、社会学等领域， 为解决实际问题提供更为全面的解决 方案。
03 研究内容与方法
CHAPTER
随着科学技术的不断发展，矩阵特征 值问题在实际应用中的重要性日益凸 显，对矩阵特征值的研究具有重要的 理论价值和实际意义。
研究意义
1
通过对矩阵特征值的研究，可以深入了解矩阵的 性质和结构，进一步丰富和发展矩阵理论。
2
解决矩阵特征值问题可以为实际应用提供重要的 理论支撑和技术支持，推动相关领域的发展和进 步。
3
通过对矩阵特征值的研究，可以培养和提升研究 者的数学素养和科研能力，为未来的科研工作打 下坚实的基础。
02 国内外研究现状及发展趋势
CHAPTER
国内研究现状
研究进展
近年来，国内在矩阵特征值方面的研究取得了显著进展。研究 者们针对不同类型的矩阵，如实对称矩阵、复Hermitian矩阵
矩阵特征值、特征向量的研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、选题的背景、意义（1）选题的背景、意义“矩阵(Matrix)”术语是由西尔维斯特创用并由凯莱首先明确其概念的。
19世纪50年代，西尔维斯特引入“矩阵”一词来表示“一项由几行H列元素组成的矩形阵列”或“各种行列式组”，凯莱作为矩阵理论的创立者，首先为简化记法引进矩阵，然后系统地阐述了矩阵的理论体系。
随后，弗罗伯纽斯等人发展完善了矩阵的理论体系形成了矩阵的现代理论。
然而，矩阵思想的萌芽由来已久，早在公元前l世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词。
但那时矩阵仅是用来作为一种矩形阵列解决实际问题，并没有建立起独立完善的矩阵理论。
18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在线性方程组和行列式计算中应用日益广泛，行列式等理论的发展提供了矩阵发展的条件，矩阵概念由此产生，矩阵理论得到系统的发展。
20世纪初，无限矩阵理论得到进一步发展[]1。
线性代数（Linear Algebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。
向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示。
线性代数的理论已被泛化为算子理论。
由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型，使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中[]2。
由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪。
直到十八世纪末，线性代数的领域还只限于平面与空间。
十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱，在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点。
1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有限维或无限维向量空间。
托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间中．线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于基的选择。
不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况。
矩阵方程的数值解法开题报告
毕业论文开题报告信息与计算科学矩阵方程的数值解法一、选题的背景、意义1.选题的背景在科学、工程计算中，求解矩阵方程的任务占相当大的份额。
这是因为，矩阵方程不仅能以完整的形式作为许许多多实际问题的模型之一，而且还能作为不少其他数值方法处理过程中转化而成的组成部分。
例如，在电路网络、弹性力学、潮流计算、热传导、振动等领域，其基本模型就是矩阵方程，而求微分方程边值问题的差分法和有限元法等数值计算本身，也导致求解某些矩阵方程。
在系统控制等工程研究领域经常遇到矩阵方程的求解问题。
自动控制系统最重要的一个特征是稳定性问题,它表示系统能妥善地保持预定工作状态,耐受各种不利因素的影响,因此矩阵方程在系统的稳定性理论,极点配置等方面具有重要的意义。
在常微分方程的定性研究以及数值求解常微分方程的隐式Rung-kwtta方法和块方法中,也需要求解矩阵方程。
此外,在广义特征值问题的摄动研究中及隐式常微分方程的数值解中,经常遇到矩阵方程的求解问题。
1.1.2选题的意义随着科学技术的迅速发展，矩阵方程越来越多地出现在科学与工程计算领域，关于这类问题的研究也日益受到人们的高度重视．对矩阵方程的研究具有很重要的理论意义和很高的应用价值．所以，学会如何更好的解矩阵方程就显得非常重要。
本文主要介绍了解矩阵方程的高斯消元法、Jacobi迭代法、Gauss-Seidcl迭代法和SOR迭代方法。
在这些方法的基础上，利用matlab软件，快速求出矩阵方程的解。
通常熟练使用这些工具或编写程序，而这通常是一项入门缓慢、熟练精通时间较长的工作。
MATLAB在提供强大的计算功能，也为我们用数值方法求解矩阵方程提供了很大的方便。
1.1.3求解线性方程组由于线性方程组是矩阵方程的一个特例，所以本文试图将解线性方程组的一些经典方法推广用来解矩阵方程。
记线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++nn nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛ22112222212********* （1）这里ij a （n j i ,,2,1,Λ=）为方程组的系数，i b （n i ,,2,1Λ=）为方程组自由项。
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3
目录
研究方向的动态及本文创新点： 主要研究内容及提纲： 研究的方法与手段： 应收集的资料及主要参考文献：
4
研究方向的动态及本文创新点： • 研究动态：
本文主要研究矩阵计算中的三大基本问题之一——特
征值问题。而矩阵计算是科学和工程计算的核心 ，大部 分科学与工程问题都要归结为矩阵计算的问题，比如在数 学物理 、地球物理 、光学 、力学 、结构设计和优化等 领域就具有重要的应用，那么就是说特征值问题占有举足 轻重的地位，具有很好的科学发展前景。
计算矩阵特征值的几种方法
1
目录
选题的理论意义与实践意义： 研究方向的动态及本文创新点： 主要研究内容及提纲： 研究的方法与手段： 应收集的资料及主要参考文献：
2
目录
选题的理论意义与实践意义：
随着科学的发展，矩阵理论已被广泛地运用到应用数学、计算机科 学、经济学、工程学、系统科学等诸多方面，成为现代科技领域处 理大量有限维形式与数量关系的强有力的工具。对矩阵理论的现代 研究与系统工程、优化方法及稳定理论、群论、图论等有着密切的 相互关系。作为数学中的一个分支，包含了丰富的内容，成为一门 最有实用价值的数学理论。特征值问题是矩阵理论的一个主要研究 领域，对它的研究具有重要的理论意义和实践意义。许多科学和工 程问题如结构力学中的固有频率分析以及控制系统中的稳定性问题 ，最终都转化为特征值问题。因此理论与实践意义并存，掌握求解 好特征值问题具有很好的发展前景。
第三章：
3.1已知特征值或特征向量，反求参数 3.2已知特征值或某部分特征值条件，求行列式 3.3已纲： 研究的方法与手段： 应收集的资料及主要参考文献：
9
研究方法：
观察法：通过在资料书本上了解矩阵特征值的相关知 识，进行仔细观、反复研究； 经验总结法：通过以前对矩阵特征值的相关知识的掌 握以及现在对它的进一步了解，从而进行总结； 文献资料法：通过图书馆，网络，中国知网搜集相关
6
目录
研究方向的动态及本文创新点： 主要研究内容及提纲： 研究的方法与手段： 应收集的资料及主要参考文献：
7
主要研究内容及提纲：
第一章 前言
第二章：
矩阵特征值的计算方法
2.1利用求特征多项式后的行列式变换来化简计算特征 2.2利用矩阵的初等变换来求解方阵的特征值 2.3利用矩阵的分解降阶求特征值 2.4 利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特征向量同步求解 2.5利用简便求矩阵特征多项式的递推法间接求特征值
5
研究方向的动态及本文创新点 ： 研究创新点
创新点
通过总结概括一小部分特殊矩阵特征值的计算方法， 并且通过比较分析矩阵特征值在各方面的应用， 进一步的进行 归纳总结，概括出适合不同矩阵的更简洁易行的求解方法，是 矩阵计算在其他领域获得更广泛的应用。矩阵的形式千变 万化，其对应解法也是纷多繁杂。要想进一步完善，还需要 我们今后不断的探索。
[3] 李世群，高等代数续论，内部资料，2010. [4]刘亚亚，程国，一种改进的求方阵特征值的方法[J]，商洛学院
报，2008.4.
[5]刘国琪，王保智，利用矩阵的初等行变换对矩阵的特征值与特 征向量同步求解[J]，数学通报，1996.2.
[6]陈兴龙，矩阵特征多项式的一种求法[J]，数学通报，1998.9.
[7]钱吉林，高等代数题解精粹[M]，中央民族大学出版社， 2002.8.
11
欢迎专家老师 The end
批评指正！
12
信息，了解此课，进一步了解矩阵的特征值；
比较研究法：通过比较分析矩阵特征值计算在各方面 的应用，进一步的进行归纳总结，概括出适合不同矩阵的 更简洁易行的求解方法。
10
5
收 集 的 资 料 及 主 要 参 考 文 献 ：
[1] 王萼芳，石生明，高等代数[M]，高等教育出版社，2003.2.
[2] 李世群，矩阵的列相似问题[J], 吉首大学学报，1997.12.