运筹学课件 第一节 图与网络的基本知识

树
二、图的生成树：深探法、广探法和破圈法
三、最小生成树：避圈法和破圈法
四、根树及其应用
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一、树的概念以及性质
树是一类极其简单而很有用的图。 多级辐射制的电信网络、家谱、分类学、管 理组织结构等都是典型的树图。
乒乓球单打比赛抽签后，用图 表示相遇情况 某企业的组织结构 图
总经理
V v1
A
w1 v2
v3
d
f
d(v3)=1;
v4 d(v4)=4;v4分枝点 b v3树叶
v5 d(v5)=1;v5树叶
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例：判断下列图形是否为树
v1
v1
e1
e1
e2
v2
图1
v2
e3
图2
v3
树
6
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v1
g h e d f b a c
v1 v4 v2
g d
v2 v3
f
v4
v3
b
v5
图3 图4
v5
树
7
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v1 v2 v3
b a
v1
h
v4
v2
d
e
v4
v3
b c c
v5
图5
v5
树
图6
树
8
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g
v1 v4 v2
d
v1
e f
v2
d
v4
f
v3
a
v3
b
v5
图7
v5
图8
树
树
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树的性质：
1、 在图中任意两点之间必有一条而且只有 一条链。
2
、
在图中划去一条边，则图不连通。
3 、 在图中不相邻的两个顶点之间加一条边， 可得一个且仅得一个圈。 4
B C D
N
w2 v3
E F
生产经理 车间主任
人力经理
招聘人员
销售经理
销售代表 4
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定义14（树）:一个无圈的连 通无向图称为树。 树中次为1的点为树叶；次大 于1的点为分枝点。 树实际上是连通图，但没 有圈。由所有节点(n)和 相应的边(n-1)组成。
v2
d(v1)=1;v1树叶 v1 d(v2)=1;v2树叶 e
、Biblioteka Baidu
图中边数有m=n-1（n为顶点数）
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定理6 : 图T=(V,E),点数=n;边数=m；下列关于树的说法等价。 （1） T是一棵树； （2） T无圈，且m=n-1； （3） T连通，且m=n-1； （4） T无圈，但任加一新边得到唯一一个圈； （5） T连通，但任舍去一边就不连通； （6） T任意两点，有唯一链相连。
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u已经得到标号,检查一端点为u的各边，另一端w是否 已经标号，有（u,w）边的w已经标号，则退到标号i1的r点, 令r代替u,继续重复。
1 8 10 0 9 5 r=5-1;r代替u 13 11 12 6 4
19
2 7
3
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1
8 10 0 9 5 13 11 12 6 7
2 .0 .1 3 .2 .3 .4 .6 .5
21
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B
0 1
1
2 1 2 1 3
2
3
4
3 2
2
A
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0 1 2
1 0 1 1 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2
2
1 3
3
4
2
1
3
3
3
4
图的生成树不唯一
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（3）破圈法(深探法和广探法核心是避免成圈) 步骤：从图G任取一个圈,从圈中任舍弃一条边, 将此圈破掉。重复以上步骤直至无圈为止。
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复习
第一节 图与网络的基本知识
图的基本概念 图论是专门研究图的理论的一门数学分 支，主要研究点和边之间的几何关系。
1
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图的基本概念
矩阵表示 含元素的个数 边 多 重 图 图 简 单 图
G=（V，E）
子图 点的次
点边关系
连通图 生成子图
树
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第二节
主要内容 一、树的概念以及性质
v1
圈1
v2
圈2 圈3
v6
圈6
v7
v3
圈4
圈5
v5
v4
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练习2：分别使用深探法、广探法、破圈法 找出下图的一个生成树
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运筹学教程
使用深探法找出下图的一个生成树
1 0 4 2
3
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使用广探法找出下图的一个生成树
１ ０ １ ２
１
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使用破圈法找出下图的一个生成树
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g
d e f b a 图3 e
h
g d
f b a 图4 g d f d e f b 图5
h
c
b
c
d
b 图6
c
图7
a
图8
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二、图的生成树
定义15 如果图T是G的一个生成子图，而且T又是一棵 树，则称图T为一棵生成树（支撑树）。 子图定义：设G=（V，E）和G1=（V1，E1）。 如果V1 V， E1 E，且E1边仅与V1中的顶点相关 联，则称G1为G的子图； 生成子图定义：如果G1 =（ V1，E1 ）是G=（V，E） 子图，并且V1 = V，则称G1为G的生成子图。
4
原则：不能成圈 原则：不能成圈
原则：不能成圈
.9
.8
.7 .10 .11
.12
20
.13
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（2）广探法 步骤： a.在点集V中任取一点v,给v标号0； b.令所有标号i的点集为Vi,检查[Vi,V\Vi]中的边端点是 否已经标号，对所有的未标号的点均标号i+1,记下这 些边。 c.对标号i+1的点继续重复步骤b，直至全部点得到标号
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生成树与子图、生成子图的关系
一个子图与生成树的区别是：子图与原图相比少 边又少点，生成树与原图相比少边不少点。 一个生成子图与生成树的区别是：生成子图可能 含有圈，生成树无圈。 图中属于生成树的边为树枝，不在生成树中的边 为弦。
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练习1：找出图G的子图，生成子图，生成树
v3
e4
v1
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e7
e5
v2
e6
e2
v3
v5
e8 图G
v4
图3
v5
生成子图； 生成树； 树枝e2,e3,e5,e6; 弦e1,e4,e7,e8
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定理7图G有生成树的充分必要条件为图G是连通图。 生成树的求解方法： （1）深探法 步骤： a.在点集V中任取一点v,给v标号0； b.如果某点u已经得到标号i,检查一端点为u的各边， 另一端是否已经标号。如果有（u,w）边的w点未标 号，则给w以标号i+1,记下边（u,w）。令w代替u,继 续重复。 如果有（u,w）边的w已经标号，则退到标号i-1的r 点, 令r代替u,继续重复。
v1
e3 e4
e1 e5 e7
e2
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e6
v3
e3
v1
e4
e1 e5
v2
e6
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e8
图G 图1
v4
e8
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v5
子图
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e3 e4
e1 e5 e7
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v3
e3
v1
e4
e1
v2
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图G
v4
e8 图2
v5
生成子图
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v1
e3
e1
e5
e2
v2
e6 e3
圈 ３
圈1
圈 ２
圈 ４
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三、最小生成树
定义16： 在赋权图G中，一棵生成树所有树枝上权的和， 称为生成树的权。 具有最小权的生成树，称为最小生成树或最小树 或最小支撑树。 最小树的应用：设计长度最小的公路网把若干城 市联系起来；设计用料最省的电话线网把有关单 位联系起来。 求最小树的方法有避圈法和破圈法。