运筹学课件 第一节 图与网络的基本知识
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运筹学课件：第7章 图论与网络分析-第1,2节
v1
v2 a
v3
v4 c
b v1
a
v2
b
v3
d
d
v4
c
第2节 最小树问题
一、树及其性质 定义1： 无圈的连通图称为树。树一般用T表示。
定理1： 任给树T=（V，E），若P（T）≥2，则 T中至少有两个悬挂点。
证明：设µ=（v1，v2，…，vk）是G中含边数最多的 一条初等链，因P（T）≥2，并且T是连通的， 故链µ中至少有一条边，从而v1与vk是不同的 。
不少数学家都尝试去解析这个事例。而这些解析，最 后发展成为了数学中的图论。
例：中国邮路问题 一个邮递员送信，要走完他所负责的全部街道分送
信件，最后返回邮局。邮递员都会本能地以尽可能少的 行程完成送信任务。
问题：他如何走？
点：路口； 边：两路口之间道路，第i条道路长ei。
问题：求一个圈，过每边至少一次，并使圈长度最短。
由于T是树，由定义知T连通且无圈。只须证明m=n-1。
归纳法： 当n=2时，由于T是树，所以两点间显然有且 仅有一条边，满足m=n-1。
假设 n=k-1时命题成立，即有k-1个顶点时,T有k-2条边。
当n=k时，因为T连通无圈，k个顶点中至少有一个点次 为1。设此点为u，即u为悬挂点，设连接点u的悬挂边 为[v，u]，从T中去掉[v，u]边及点u ，不会影响T的连 通性，得图T’，T’为有k-1个顶点的树，所以T’有k-2条 边，再把（ v，u）、点u加上去，可知当T有k个顶点 时有k-1条边。
4
2
v4
94
v2
3
v3 8
0 9 2 4 7 9 0 3 4 0 其权矩阵为： A 2 3 0 8 5 4 4 8 0 6 7 0 5 6 0
运筹学课件ch10图与网络分析
链(chain)的概念
v1
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e1
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e4
e5
e6
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e8
v5
v6
v7
{ v1, e1, v3, e4, v4 }
μ：
链
初等链
简单链
不是链
{ v1, e1, v2, e3, v3 , e6 , v1 }
圈
初等圈
间单圈
圈一定是链，链不一定是圈
路PATH
路(path)：顶点和边均互不相同的一条途径。 若在有向图中的一个链μ中每条弧的方向一致，则称μ为路。（无向图中的路与链概念一致。） 回路(circuit)：若路的第一个点与最后一个点相同，则称为回路。 连通性: 点i和j点是连通的：G中存在一条（i，j）路 G是连通的：G中任意两点都是连通的
5 部分树及最小树
2 点的概念及性质
3 链的概念及性质
1 图的概念及性质
如何寻找 “支撑树” 呢？
—— 图G’＝(V’，E’)的点集与图G＝(V，E)的点集相同，V’＝V，但图G’＝(V’，E’) 的边集仅是图G＝(V，E)的子集E’ E。
特点——边少、点不少。
1 最小树定义
如果T＝(V，E’)是 G 的一个支撑树，称 T 中所有边的权之和为支撑树T的权， 记为W（T），即：
A队三胜一负
B队一胜一负
C队两胜一负
D队三战三负
E队一胜一负
从图中可以看出各球队之间比赛情况：
A
B
C
D
E
那么，这种胜负关系该如何用图来描述呢？
10.1 图的基本概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，即图是由点及点之间的联线所组成。其中:
v1
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{ v1, e1, v3, e4, v4 }
μ：
链
初等链
简单链
不是链
{ v1, e1, v2, e3, v3 , e6 , v1 }
圈
初等圈
间单圈
圈一定是链，链不一定是圈
路PATH
路(path)：顶点和边均互不相同的一条途径。 若在有向图中的一个链μ中每条弧的方向一致，则称μ为路。（无向图中的路与链概念一致。） 回路(circuit)：若路的第一个点与最后一个点相同，则称为回路。 连通性: 点i和j点是连通的：G中存在一条（i，j）路 G是连通的：G中任意两点都是连通的
5 部分树及最小树
2 点的概念及性质
3 链的概念及性质
1 图的概念及性质
如何寻找 “支撑树” 呢？
—— 图G’＝(V’，E’)的点集与图G＝(V，E)的点集相同，V’＝V，但图G’＝(V’，E’) 的边集仅是图G＝(V，E)的子集E’ E。
特点——边少、点不少。
1 最小树定义
如果T＝(V，E’)是 G 的一个支撑树，称 T 中所有边的权之和为支撑树T的权， 记为W（T），即：
A队三胜一负
B队一胜一负
C队两胜一负
D队三战三负
E队一胜一负
从图中可以看出各球队之间比赛情况：
A
B
C
D
E
那么，这种胜负关系该如何用图来描述呢？
10.1 图的基本概念
定义 一个图G是指一个二元组(V(G),E(G))，即图是由点及点之间的联线所组成。其中:
运筹学胡运权第五版课件
V5 12 7
5
4
3
2
0
1 3
1
0 4
3
4 0
v7 ∞ 10 10 8
⑶ 构造任意两点间最多可经过3个中间点到达 的最短距离矩阵 D（2）= dij（2） 其中 dij（2）= min { dir（1）+ drj（1）}
r
i
dir
（1）
r
drj（1）
j
v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7
• • •
悬挂边 孤立点 偶点 奇点
悬挂点的关联边，如 e8 次为0的点 次为偶数的点，如 v2 次为奇数的点, 如 v5
5、链：图中保持关联关系的点和边的交替序列，其 中点可重复，但边不能重复。 路：点不能重复的链。 圈：起点和终点重合的链。 回路：起点和终点重合的路。 连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。 完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。 n(n 1) 2 n阶完全图用Kn表示，边数= C n
狄克斯屈拉算法
既可以求两点之间的最短 距离，又可以确定最短路
求某两点之间的最短距离
（0）= V2 D
5
2
∞ ∞ ∞ ∞
5
0
∞ 2
7 0 2 7
7
6
∞ ∞
∞ ∞ 2
V3 2
∞ 0
∞ 4
V4 ∞ 2
V5 ∞ 7
∞ 6
0
1
1
0 6
3
6 0
V6 ∞ ∞ 4
v7 ∞ ∞ ∞ ∞ 3
注意：D(0)是一个对称矩阵，且对角线上的元素全是0.
⑵ 构造任意两点间直接到达、或者最多经过1 个中间点到达的最短距离矩阵D（1）= dij（1） 其中
管理运筹学 图与网络分析PPT教案
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A
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v3 2 v4
7
v7
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支撑树的权：如果T=(V,E)是G的一个支撑树，则称E中所 有边的权之和为支撑树T的权，记为w(T)。即
w(T )
wij
[vi ,v j ]T
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A
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上例中支撑树的权为 3+7+5+2+2+3+4=26
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v1
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A
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课堂练习：1.分别用三种方法求下图的最小支撑树
v2
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5
2
3
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4
5
v4 3
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1
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v3
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2. 某农场的水稻田用堤埂分割成很多小块。为了 用水灌溉，需要挖开一些堤埂。问最少挖开多少条 堤埂，才能使水浇灌到每小块稻田？
水源
第37页/共83页
作业 P221： 第3题
第38页/共83页
§3 最短路问题
1. 问题的提出 2. 最短路问题的Dijkstra算法 3. 求任意两点之间最短距离的矩阵算法
运筹学第六章图与网络分析1.
一、树的概念及性质 例：已知有五个城市，要在它们之间架设电话线，要 求任何两个城市都可以互相通话（允许通过其它城市） ，并且电话线的根数最少。
v2
v3
v1
v5
v4
9
1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
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4 1 5
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1.树的定义 ：连通且不含圈的无向图称为树。 次为1的点称为树叶，次大于1的点称为分枝点，树的边称 为树枝。
v2 v4 v2 v1 v4
d1 j = min( d1i wij )
i
设任一点vi到任一点 vj都有一条弧，如果（vi, vj）不是弧，则添 22 加弧（vi, vj），令wij=+∞
迭代过程：
①初始条件： t=1,d1j(1)=w1j (j=1,2,…,n) ，如果 v1 与 vj间 无边，其最短路长记为+∞ ②t=2,3,…
3
悬挂边：悬挂点的关联边
定理1：图G=(V,E)中，所有点的次之和是边数 的两倍，即
Σd(v)=2q vV
定理2：任一图中，奇点的个数为偶数。
给定一个图G=(V,E)，一个点边的交错序列(vi1, ei1, vi2, ei2,…,vik-1,eik-1,vik)，如果满足eit=[vit,vit+1] (t=1,2,…,k1)，则称为一条联结vi1和vik的链，记为(vi1,vi2,…,vik)， 称点vi2, vi3,…,vik-1为链的中间点。
2．最小支撑树（最小树）
具有最小权的支撑树称为最小支撑树。
13
3．求最小支撑树的方法
（1）避圈法 在图中选一条权数最小的边，在以后的每步中，总从未被选 取的边中选一条权数最小的边，并使之与已选取的边不构成圈（ 权数相同时，任选一条），直到选够n-1条边为止。
3
2
4 1 5
企业运筹学--图与网络理论讲义
v2
v3
e6
e7 e9 v5
v4
e8
v6
图的概念 简单链
若链中所含的边均不相
同，则称为简单链； 若点均不相同，则称
v1
为初等链或通路。 除起点和终点外点均不
e1 e2 e3 e4 e5
相同的闭链，称为初 等回路或称为圈。
v2
v3
例如图中
1
,
e1
,
2
,
e2
,1
,
e3
,
e6
4
e7 e9 v5
是一条链，且是开链，也是简单 v4
v4
是一个圈。
e8
v6
图的概念 连通性
若一个图G的任意两点
之间均至少有一条通 路（初等链）连接起
v1
来，则称这个图G是 一个连通图，否则称
e1 e2 e3 e4
e5
作不连通图。
v2
v3
例如图中，v1和v6之间 没有通路，因此它不
是连通图，而如果去 掉v6，则构成一个连 通图。
e6
e7 e9 v5
v4
一个顶点，则称该边为 环；又若两上端点之间
v1
有多于一条边，则称为
多重边或平行边。
e1 e2 e3 e4 e5
例如图5－1的e8为环，e1， e2为两重边，e4，e5也是
v2
两重边。
含有多重边的图称作多重 图。
无环也无多重边的图称作 简单图。
v3
e6
e7 e9 v5
v4
e8
v6
图的概念 图的次
次 点v作为边的端点的次 数，记作d(v)，如图5－ 1中，d(v1)=5, d(v4)=6等
第六章-运筹学图与网络优化
9
6 3
3
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7
2
53
4 31
5
1
7
4
4
第3节 最短路问题
一、最短路的含义
赋权有向图D (V，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路，
即w(
P
)
min
wij 。
(vi，vj )P
定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w(P)
习题6-3：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2
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3 6
2
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8
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4
3
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4
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第3节 最短路问题
三、最短路问题的应用 ✓ 设备更新问题
第3节 最短路问题
例10：某工厂使用一台设备，每年年初工厂都要作出决定， 如果继续使用旧的，要付维修费；若购买一台新设备， 要付购买费。试制定一个5年的更新计划，使总支出最 少。已知设备在各年的购买费，及不同机器役龄时的 维修费如下表所示：
5
2
5 v6
v4
v7 8
习题6-2
2、
v2
2
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1
5
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5 v4 9
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v3
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法
赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
图与网络分析 胡运权 第四版 运筹学PPT课件
4
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
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V3
5
4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
2
6
v1
v2
v3
1 [1,v1]10
5
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3
v4
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v5
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5
2
3
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v6
v7
4
[3,v1]
v8 8
考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
20
45
3
4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
5
4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
5
4
■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
3.关联与相邻
❖关联（边与点的关系）：若e是v1、v2两点间
的边，记e=[v1，v2 ]，称v1、v2 与e关联。
v1
e
v2
❖相邻（有公共边，称点v1与v2相邻；
边e1与e2 有公共点，称边e1与e2相邻。
e1
V2
V1
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V3
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4. 链、圈与连通图
■链:由图G中的某些点与边相间构成的序列 {V1,e1,V2,e2, ……,Vk,ek},若满足 ei=[Vi, Vi ],则称此
（4）A={v1,v2,v4}
[0,v1]
[2,v1]
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1 [1,v1]10
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v6
v7
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[3,v1]
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考虑边（v1,v6),(v2,v3),(v2,v5),(v4,v7)
计算min { 0+3, 2+6, 2+5, 1+2}=min {3,8,7,3}=3
70
费用、容量等），则称这样 1
4
的图为网络图。
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4.2 最小支撑树问题
C1 根
C2
C3
C4
叶
❖树：无圈的连通图，记为T。
8
❖树的性质
■ 树中任意两个节点间有 且只有一条链。
2
3
1
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4
■ 在树中任意去掉一条边， 1
则不连通。
2
3
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■如果树T有m个结点，则 边的个数为m-1。
网络优化图及网络(运筹学)
详细描述
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
2024版清华大学运筹学课件(完整课件)
其他存储问题
多品种存储问题
研究多种物资同时存储时的优化策略，如联合订货、分类管理等。
有限期存储问题
考虑物资具有有限保质期的情况，研究如何在有限时间内合理安排进货和 销售计划。
带有约束条件的存储问题
研究在资金、仓库容量等约束条件下如何制定最优存储策略的问题。
THANKS
感谢观看
最大流可以增加。
Ford-Fulkerson算法
02
通过不断寻找增广路并增加流量来求解网络最大流问题。
Edmonds-Karp算法
03
在Ford-Fulkerson算法的基础上，使用BFS寻找增广路，
可以保证算法的时间复杂度为多项式级别。
最小费用最大流问题
01
最小费用流的定义
02
消圈定理
03
SPFA算法
运筹学的发展
战后，运筹学逐渐应用于经济、 管理、工程等领域，发展出线性 规划、整数规划、动态规划等分 支。
运筹学的研究对象与特点
研究对象
运筹学的研究对象主要是各种系统的优化问题，如生产、运输、库存、财务等系统的优 化。
特点
运筹学具有多学科交叉性，涉及数学、计算机科学、经济学等多个学科；强调系统性和 整体性，关注整体最优而非局部最优；注重定量分析和数学建模，通过数学模型描述和
整数规划问题的分类
根据整数变量的取值范围，可分为纯整数规划、混合 整数规划和0-1整数规划。
整数规划问题的数学模型
整数规划问题的数学模型与线性规划问题类似， 但需要加入整数约束条件。
分枝定界法
分枝定界法的基本思想
将原问题分解为若干个子问题，每个子问题对应原问题的 一个子集，通过求解子问题的最优解来逼近原问题的最优 解。
运筹学图与网络模型以及最小费用最大流
4. 对上述弧的集合中的每一条弧，计算 sij=li+cij 。在所有的 sij中， 找到其值为最小的弧。不妨设此弧为（Vc,Vd），则给此弧的终 点以双标号（scd,c）,返回步骤2。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
3
v6
v1
5 2 v4 5
21
31
5
v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
把所有弧的权数计算如下表：
1
2
3
4
5
6
1
16
22
30
41
59
2
16
22
30
41
3Leabharlann 172331
4
17
23
5
18
6
最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
59
22
30 41
23
v1
16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
v6
22
23
31
v2 v1
v4 v3
v5
最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
最短路问题
(P233)例1 求下图中v1到v6的最短路 v2
7
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v6
v1
5 2 v4 5
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v3
v5
解：采用Dijkstra算法，可解得最短路径为v1 v3 v4 v6
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v6
把所有弧的权数计算如下表：
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最短路问题
(继上页) 把权数赋到图中，再用Dijkstra算法求最短路。
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16
v2 16 v3 17 v4 17 v5 18
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v2 v1
v4 v3
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最短路问题
最短路的Dijkstra算法(双标号法）的步骤：
1.给出点V1以标号(0,s) 2.找出已标号的点的集合I，没标号的点的集合J以及弧的集合
{(vi , v j ) | vi I , v j J}
3. 如果上述弧的集合是空集，则计算结束。如果vt已标号（lt,kt）， 则 vs到vt的距离为lt，而从 vs到vt的最短路径，则可以从kt 反向 追踪到起点vs 而得到。如果vt 未标号，则可以断言不存在从 vs 到vt的有向路。如果上述的弧的集合不是空集，则转下一步。
运筹学―第八章 图与网络分析PPT课件
12
二、 图的生成树 定义10 设图 K(V,E1)是图G=(V , E )的一支撑子图， 如果图 K(V,E1) 是一个树,那么称K 是G 的一个生 成树（支撑树），或简称为图G的树。
作G=(V，E)，连接点的边记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。
如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，
记作D=(V, A)，其中V表示有向图D的点集合，A表示有向
图D的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧，记作(vi , vj)。
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }，
e1 {v1,v2} e2 {v1,v2}
v6
e3 {v2,v3} e4 {v3,v4}
e9
e5 {v1,v3} e6 {v3,v5}
e7 {v3,v5} e8 {v5,v6}
e9 {v6,v6} e10{v1,v6}
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图8—2
3
如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记
第八章 图与网络分析
第一节 图与网络的基本知识 一、 图与网络的基本概念
A
C
D
A
C
D
B 图8—1（a）
B 图8—1（b）
1
整体概述
概述一
点击此处输入
相关文本内容
概述二
点击此处输入
相关文本内容
概述三
点击此处输入
相关文本内容
2
定义1 一个图是由点集 Vvj和 V 中元素的无序对的一
个集合 E {ek}构成的二元组，记为G=(V，E)，其中V中的
二、 图的生成树 定义10 设图 K(V,E1)是图G=(V , E )的一支撑子图， 如果图 K(V,E1) 是一个树,那么称K 是G 的一个生 成树（支撑树），或简称为图G的树。
作G=(V，E)，连接点的边记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。
如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，
记作D=(V, A)，其中V表示有向图D的点集合，A表示有向
图D的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧，记作(vi , vj)。
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }，
e1 {v1,v2} e2 {v1,v2}
v6
e3 {v2,v3} e4 {v3,v4}
e9
e5 {v1,v3} e6 {v3,v5}
e7 {v3,v5} e8 {v5,v6}
e9 {v6,v6} e10{v1,v6}
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图8—2
3
如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记
第八章 图与网络分析
第一节 图与网络的基本知识 一、 图与网络的基本概念
A
C
D
A
C
D
B 图8—1（a）
B 图8—1（b）
1
整体概述
概述一
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概述二
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相关文本内容
概述三
点击此处输入
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2
定义1 一个图是由点集 Vvj和 V 中元素的无序对的一
个集合 E {ek}构成的二元组，记为G=(V，E)，其中V中的
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运筹学教程
复习
第一节 图与网络的基本知识
图的基本概念 图论是专门研究图的理论的一门数学分 支，主要研究点和边之间的几何关系。
1
运筹学教程
图的基本概念
矩阵表示 含元素的个数 边 多 重 图 图 简 单 图
G=（V，E）
子图 点的次
点边关系
连通图 生成子图
树
2
运筹学教程
第二节
主要内容 一、树的概念以及性质
11
运筹学教程
g
d e f b a 图3 e
h
g d
f b a 图4 g d f d e f b 图5
h
c
b
c
d
b 图6
c
图7
a
图8
12
运筹学教程
二、图的生成树
定义15 如果图T是G的一个生成子图，而且T又是一棵 树，则称图T为一棵生成树（支撑树）。 子图定义：设G=（V，E）和G1=（V1，E1）。 如果V1 V， E1 E，且E1边仅与V1中的顶点相关 联，则称G1为G的子图； 生成子图定义：如果G1 =（ V1，E1 ）是G=（V，E） 子图，并且V1 = V，则称G1为G的生成子图。
13
运筹学教程
生成树与子图、生成子图的关系
一个子图与生成树的区别是：子图与原图相比少 边又少点，生成树与原图相比少边不少点。 一个生成子图与生成树的区别是：生成子图可能 含有圈，生成树无圈。 图中属于生成树的边为树枝，不在生成树中的边 为弦。
14
运筹学教程
练习1：找出图G的子图，生成子图，生成树
B C D
N
w2 v3
E F
生产经理 车间主任
人力经理
招聘人员
销售经理
销售代表 4
运筹学教程
定义14（树）:一个无圈的连 通无向图称为树。 树中次为1的点为树叶；次大 于1的点为分枝点。 树实际上是连通图，但没 有圈。由所有节点(n)和 相应的边(n-1)组成。
v2
d(v1)=1;v1树叶 v1 d(v2)=1;v2树叶 e
v1
圈1
v2
圈2 圈3
v6
圈6
v7
v3
圈4
圈5
v5
v4
24
运筹学教程
练习2：分别使用深探法、广探法、破圈法 找出下图的一个生成树
25
运筹学教程
使用深探法找出下图的一个生成树
1 0 4 2
3
26
运筹学教程
使用广探法找出下图的一个生成树
１ ０ １ ２
１
27
运筹学教程
使用破圈法找出下图的一个生成树
v1 v2 v3
b a
v1
h
v4
v2
d
e
v4
v3
b c c
v5
图5
v5
树
图6
树
8
运筹学教程
g
v1 v4 v2
d
v1
e f
v2
d
v4
f
v3
a
v3
b
v5
图7
v5
图8
树
树
9
运筹学教程
树的性质：
1、 在图中任意两点之间必有一条而且只有 一条链。
2
、
在图中划去一条边，则图不连通。
3 、 在图中不相邻的两个顶点之间加一条边， 可得一个且仅得一个圈。 4
、
图中边数有m=n-1（n为顶点数）
10
运筹学教程
定理6 : 图T=(V,E),点数=n;边数=m；下列关于树的说法等价。 （1） T是一棵树； （2） T无圈，且m=n-1； （3） T连通，且m=n-1； （4） T无圈，但任加一新边得到唯一一个圈； （5） T连通，但任舍去一边就不连通； （6） T任意两点，有唯一链相连。
v3
d
f
d(v3)=1;
v4 d(v4)=4;v4分枝点 b v3树叶
v5 d(v5)=1;v5树叶
5
运筹学教程
例：判断下列图形是否为树
v1
v1
e1
e1
e2
v2
图1
v2
e3
图2
v3
树
6
运筹学教程
v1
g h e d f b a c
v1 v4 v2
g d
v2 v3
f
v4
v3
b
v5
图3 图4
v5
树
7
运筹学教程
v3
e4
v1
v4
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v2
e6
e2
v3
v5
e8 图G
v4
图3
v5
生成子图； 生成树； 树枝e2,e3,e5,e6; 弦e1,e4,e7,e8
17
运筹学教程
定理7图G有生成树的充分必要条件为图G是连通图。 生成树的求解方法： （1）深探法 步骤： a.在点集V中任取一点v,给v标号0； b.如果某点u已经得到标号i,检查一端点为u的各边， 另一端是否已经标号。如果有（u,w）边的w点未标 号，则给w以标号i+1,记下边（u,w）。令w代替u,继 续重复。 如果有（u,w）边的w已经标号，则退到标号i-1的r 点, 令r代替u,继续重复。
圈 ３
圈1
圈 ２
圈 ４
28
运筹学教程
三、最小生成树
定义16： 在赋权图G中，一棵生成树所有树枝上权的和， 称为生成树的权。 具有最小权的生成树，称为最小生成树或最小树 或最小支撑树。 最小树的应用：设计长度最小的公路网把若干城 市联系起来；设计用料最省的电话线网把有关单 位联系起来。 求最小树的方法有避圈法和破圈法。
21
运筹学教程
B
0 1
1
2 1 2 1 3
2
3
4
3 2
2
A
22
运筹学教程
0 1 2
1 0 1 1 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2
2
1 3
3
4
2
1
3
3
3
4
图的生成树不唯一
23
运筹学教程
（3）破圈法(深探法和广探法核心是避免成圈) 步骤：从图G任取一个圈,从圈中任舍弃一条边, 将此圈破掉。重复以上步骤直至无圈为止。
18
运筹学教程
u已经得到标号,检查一端点为u的各边，另一端w是否 已经标号，有（u,w）边的w已经标号，则退到标号i1的r点, 令r代替u,继续重复。
1 8 10 0 9 5 r=5-1;r代替u 13 11 12 6 4
19
2 7
3
运筹学教程
1
8 10 0 9 5 13 11 12 6 7
2 .0 .1 3 .2 .3 .4 .6 .5
v1
e3 e4
e1 e5 e7
e2
v2
e6
v3
e3
v1
e4
e1 e5
v2
e6
v4
v5
e8
图G 图1
v4
e8
e7
v5
子图
15
运筹学教程
v1
e3 e4
e1 e5 e7
e2
v2
e6
v3
e3
v1
e4
e1
v2
e6
e2
v3
v4
v5
e8
图G
v4
e8 图2
v5
生成子图
16
运筹学教程
v1
e3
e1
e5
e2
v2
e6 e3
4
原则：不能成圈 原则：不能成圈
原则：不能成圈
.9
Hale Waihona Puke .8.7 .10 .11
.12
20
.13
运筹学教程
（2）广探法 步骤： a.在点集V中任取一点v,给v标号0； b.令所有标号i的点集为Vi,检查[Vi,V\Vi]中的边端点是 否已经标号，对所有的未标号的点均标号i+1,记下这 些边。 c.对标号i+1的点继续重复步骤b，直至全部点得到标号
树
二、图的生成树：深探法、广探法和破圈法
三、最小生成树：避圈法和破圈法
四、根树及其应用
3
运筹学教程
一、树的概念以及性质
树是一类极其简单而很有用的图。 多级辐射制的电信网络、家谱、分类学、管 理组织结构等都是典型的树图。
乒乓球单打比赛抽签后，用图 表示相遇情况 某企业的组织结构 图
总经理
V v1
A
w1 v2
复习
第一节 图与网络的基本知识
图的基本概念 图论是专门研究图的理论的一门数学分 支，主要研究点和边之间的几何关系。
1
运筹学教程
图的基本概念
矩阵表示 含元素的个数 边 多 重 图 图 简 单 图
G=（V，E）
子图 点的次
点边关系
连通图 生成子图
树
2
运筹学教程
第二节
主要内容 一、树的概念以及性质
11
运筹学教程
g
d e f b a 图3 e
h
g d
f b a 图4 g d f d e f b 图5
h
c
b
c
d
b 图6
c
图7
a
图8
12
运筹学教程
二、图的生成树
定义15 如果图T是G的一个生成子图，而且T又是一棵 树，则称图T为一棵生成树（支撑树）。 子图定义：设G=（V，E）和G1=（V1，E1）。 如果V1 V， E1 E，且E1边仅与V1中的顶点相关 联，则称G1为G的子图； 生成子图定义：如果G1 =（ V1，E1 ）是G=（V，E） 子图，并且V1 = V，则称G1为G的生成子图。
13
运筹学教程
生成树与子图、生成子图的关系
一个子图与生成树的区别是：子图与原图相比少 边又少点，生成树与原图相比少边不少点。 一个生成子图与生成树的区别是：生成子图可能 含有圈，生成树无圈。 图中属于生成树的边为树枝，不在生成树中的边 为弦。
14
运筹学教程
练习1：找出图G的子图，生成子图，生成树
B C D
N
w2 v3
E F
生产经理 车间主任
人力经理
招聘人员
销售经理
销售代表 4
运筹学教程
定义14（树）:一个无圈的连 通无向图称为树。 树中次为1的点为树叶；次大 于1的点为分枝点。 树实际上是连通图，但没 有圈。由所有节点(n)和 相应的边(n-1)组成。
v2
d(v1)=1;v1树叶 v1 d(v2)=1;v2树叶 e
v1
圈1
v2
圈2 圈3
v6
圈6
v7
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圈4
圈5
v5
v4
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运筹学教程
练习2：分别使用深探法、广探法、破圈法 找出下图的一个生成树
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运筹学教程
使用深探法找出下图的一个生成树
1 0 4 2
3
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运筹学教程
使用广探法找出下图的一个生成树
１ ０ １ ２
１
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运筹学教程
使用破圈法找出下图的一个生成树
v1 v2 v3
b a
v1
h
v4
v2
d
e
v4
v3
b c c
v5
图5
v5
树
图6
树
8
运筹学教程
g
v1 v4 v2
d
v1
e f
v2
d
v4
f
v3
a
v3
b
v5
图7
v5
图8
树
树
9
运筹学教程
树的性质：
1、 在图中任意两点之间必有一条而且只有 一条链。
2
、
在图中划去一条边，则图不连通。
3 、 在图中不相邻的两个顶点之间加一条边， 可得一个且仅得一个圈。 4
、
图中边数有m=n-1（n为顶点数）
10
运筹学教程
定理6 : 图T=(V,E),点数=n;边数=m；下列关于树的说法等价。 （1） T是一棵树； （2） T无圈，且m=n-1； （3） T连通，且m=n-1； （4） T无圈，但任加一新边得到唯一一个圈； （5） T连通，但任舍去一边就不连通； （6） T任意两点，有唯一链相连。
v3
d
f
d(v3)=1;
v4 d(v4)=4;v4分枝点 b v3树叶
v5 d(v5)=1;v5树叶
5
运筹学教程
例：判断下列图形是否为树
v1
v1
e1
e1
e2
v2
图1
v2
e3
图2
v3
树
6
运筹学教程
v1
g h e d f b a c
v1 v4 v2
g d
v2 v3
f
v4
v3
b
v5
图3 图4
v5
树
7
运筹学教程
v3
e4
v1
v4
e7
e5
v2
e6
e2
v3
v5
e8 图G
v4
图3
v5
生成子图； 生成树； 树枝e2,e3,e5,e6; 弦e1,e4,e7,e8
17
运筹学教程
定理7图G有生成树的充分必要条件为图G是连通图。 生成树的求解方法： （1）深探法 步骤： a.在点集V中任取一点v,给v标号0； b.如果某点u已经得到标号i,检查一端点为u的各边， 另一端是否已经标号。如果有（u,w）边的w点未标 号，则给w以标号i+1,记下边（u,w）。令w代替u,继 续重复。 如果有（u,w）边的w已经标号，则退到标号i-1的r 点, 令r代替u,继续重复。
圈 ３
圈1
圈 ２
圈 ４
28
运筹学教程
三、最小生成树
定义16： 在赋权图G中，一棵生成树所有树枝上权的和， 称为生成树的权。 具有最小权的生成树，称为最小生成树或最小树 或最小支撑树。 最小树的应用：设计长度最小的公路网把若干城 市联系起来；设计用料最省的电话线网把有关单 位联系起来。 求最小树的方法有避圈法和破圈法。
21
运筹学教程
B
0 1
1
2 1 2 1 3
2
3
4
3 2
2
A
22
运筹学教程
0 1 2
1 0 1 1 1 2 2 2 3 2 2 1 2 2
2
1 3
3
4
2
1
3
3
3
4
图的生成树不唯一
23
运筹学教程
（3）破圈法(深探法和广探法核心是避免成圈) 步骤：从图G任取一个圈,从圈中任舍弃一条边, 将此圈破掉。重复以上步骤直至无圈为止。
18
运筹学教程
u已经得到标号,检查一端点为u的各边，另一端w是否 已经标号，有（u,w）边的w已经标号，则退到标号i1的r点, 令r代替u,继续重复。
1 8 10 0 9 5 r=5-1;r代替u 13 11 12 6 4
19
2 7
3
运筹学教程
1
8 10 0 9 5 13 11 12 6 7
2 .0 .1 3 .2 .3 .4 .6 .5
v1
e3 e4
e1 e5 e7
e2
v2
e6
v3
e3
v1
e4
e1 e5
v2
e6
v4
v5
e8
图G 图1
v4
e8
e7
v5
子图
15
运筹学教程
v1
e3 e4
e1 e5 e7
e2
v2
e6
v3
e3
v1
e4
e1
v2
e6
e2
v3
v4
v5
e8
图G
v4
e8 图2
v5
生成子图
16
运筹学教程
v1
e3
e1
e5
e2
v2
e6 e3
4
原则：不能成圈 原则：不能成圈
原则：不能成圈
.9
Hale Waihona Puke .8.7 .10 .11
.12
20
.13
运筹学教程
（2）广探法 步骤： a.在点集V中任取一点v,给v标号0； b.令所有标号i的点集为Vi,检查[Vi,V\Vi]中的边端点是 否已经标号，对所有的未标号的点均标号i+1,记下这 些边。 c.对标号i+1的点继续重复步骤b，直至全部点得到标号
树
二、图的生成树：深探法、广探法和破圈法
三、最小生成树：避圈法和破圈法
四、根树及其应用
3
运筹学教程
一、树的概念以及性质
树是一类极其简单而很有用的图。 多级辐射制的电信网络、家谱、分类学、管 理组织结构等都是典型的树图。
乒乓球单打比赛抽签后，用图 表示相遇情况 某企业的组织结构 图
总经理
V v1
A
w1 v2