19光的衍射习题思考题

习题19

19-1．波长为nm 546的平行光垂直照射在缝宽为mm 437.0的单缝上，缝后有焦距为cm 40的凸透镜，求透镜焦平面上出现的衍射中央明纹的线宽度。 解：中央明纹的线宽即为两个暗纹之间的距离：

933

22546100.42 1.0100.43710

f x m a λ---⨯⨯⨯∆===⨯⨯。

19-2．在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光的第三极亮纹与波长'630nm λ=的单色光的第二级亮纹恰好重合，求此单色光的波长λ。 解：单缝衍射的明纹公式为：sin (21)

a k ϕ=+2

λ， 当'630nm λ=时，'2k =，未知单色光的波长为λ、3=k ，重合时ϕ角相同，所以有：

630sin (221)

(231)22nm a λϕ=⨯+=⨯+，得：5

6304507

nm nm λ=⨯=。

19-3．用波长1400nm λ=和2700nm λ=的混合光垂直照射单缝，在衍射图样中1λ的第1k 级明纹中心位置恰与2λ的第2k 级暗纹中心位置重合。求满足条件最小的1k 和2k 。 解：由1

1sin (21)

2

a k λθ=+，2

2

sin 22

a k λθ=，有：

122

121724

k k λλ+=

=， ∴12427k k +=，即：13k =，22k =。

19-4．在通常的环境中，人眼的瞳孔直径为mm 3。设人眼最敏感的光波长为nm 550=λ，人眼最小分辨角为多大？如果窗纱上两根细丝之间的距离为mm 0.2，人在多远处恰能分辨。

解：最小分辨角为：rad D 4

3

9102.210

31055022.122.1---⨯=⨯⨯⨯==λ

θ 如果窗纱上两根细丝之间的距离为2.0mm ，人在s 远处恰能分辨，则利用：

42.210l

rad s

θ-==⨯，当2l mm =时，9.1s m =。

19-5．波长为nm 500和nm 520的两种单色光同时垂直入射在光栅常数为cm 002.0的光栅上，紧靠光栅后用焦距为m 2的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光的第三级谱线之间的距离。

解：两种波长的第三谱线的位置分别为1x 、2x ，

由光栅公式：sin d k ϕλ=±，考虑到f

x

==ϕϕtan sin ，有：11f x k d λ=，22f x k d λ=，

所以：93125

2

32010610210

f x x x k m d λ---∆=-==⨯⨯⨯=⨯⨯。

19-6．波长600nm 的单色光垂直照射在光栅上，第二级明条纹出现在sin 0.20θ=处，第四级缺级。试求：

（1）光栅常数()a b +；

（2）光栅上狭缝可能的最小宽度a ；

（3）按上述选定的a 、b 值，在光屏上可能观察到的全部级数。

解：（1）由()sin a b k θλ+=式，对应于sin 0.20θ=处满足：

90.20()260010a b -+=⨯⨯，得：6() 6.010a b -+=⨯m ；

（2）因第四级缺级，故此须同时满足：()sin a b k θλ+=，sin a k θλ'=，

解得：k k b

a a '⨯='+=-6105.14

，取1='k ，得光栅狭缝的最小宽度为61.510m -⨯； （3）由()sin a b k θλ+=，()sin a b k θλ+=，当2

π

θ=，对应max k k =，

∴1010

6000100.610

6

max =⨯⨯=+=

--λ

b

a k 。 因4±，8±缺级，所以在︒︒<<-9090ϕ范围内实际呈现的全部级数为：

01235679k =±±±±±±±，，，，，，，共15条明条纹(10±=k 在90θ︒=±处看不到)。

19-7．用每毫米300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱．已知红谱线波长λR 在 0.63─0.76μm 范围内，蓝谱线波长λB 在0.43─0.49 μm 范围内．当光垂直入射到光栅时，发现在衍射角为24.46°处，红蓝两谱线同时出现． (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现？

(2) 在什么角度下只有红谱线出现？

答案： （1） ψ'=55.9° （2）ψ1 = 11.9°，ψ3 = 38.4° 解： ∵a +b = (1 / 300) mm = 3.33 μm (1) (a + b ) sin ψ =k λ ∴k λ= (a + b ) sin24.46°= 1.38 μm ∵λR =0.63─0.76 μm ；λB ＝0.43─0.49 μm 对于红光，取k =2 , 则 λR =0.69 μm 对于蓝光，取k =3, λB =0.46 μm 红光最大级次 k max = (a + b ) / λR =4.8,

取k max =4则红光的第4级与蓝光的第6级还会重合．设重合处的衍射角为ψ' , 则

()828.0/4sin =+='b a R λψ

∴ ψ'=55.9°

(2) 红光的第二、四级与蓝光重合，且最多只能看到四级，所以纯红光谱的第一、三级将出现．

()207.0/sin 1=+=b a R λψ ψ1 = 11.9°

()621.0/3sin 3=+=b a R λψ ψ3 = 38.4°

19-8．如能用一光栅在第一级光谱中分辨在波长间隔nm 18.0=∆λ，发射中心波长为nm 3.656=λ的红双线，则该光栅的总缝数至少为多少？ 解：根据光栅的分辨本领：

1kN λ

λ

∆=-，令1k =，有：

653.3

113646136470.18

N λ

λ

∆=

+=

+=+=（条）。