平面一般力系的平衡和应用

∑M
A =0
−FB ⋅ 5 −1.5 ⋅ P − 3.5 ⋅ P2 = 0 1
P1 P2
解得
FAy = 50kN
FB = −31kN
FAx = 31kN
例： 已知： P, q, a, M = pa; 求： 支座A、B处的约束力. 解：取AB梁，画受力图.
∑ Fx = 0
∑M
FAx = 0 解得 FAm = 0
x
x q ⋅ dx l
v R
x d l
简化中心：A 简化中心 A点 1 l x 主矢 R′ = ∫0 qdx = ql l 2 x 1 l L = m A = ∫0 x qdx = ql 2 主矩 l 3 1 R′ = ql 简化最终结果 R= 2 1 2 ql L 3 2 d= = = l 1 R′ ql 3 2
(1)
解得
FAx=15kN
可否列下面的方程：
∑ Fix = 0 ∑ M A = 0 ∑ M = 0 B
FAx − FT cos30o = 0 FT sin30o ⋅ 6 + 4P2 − 3P = 0 1 − 6FAy + 3P + 2P2 = 0 1
（2）
又可否列下面的方程？
∑ M A = 0 ∑ M B = 0 ∑ MC = 0
物 超 体 静 系 定 的 平
2m
C
2m
A
B
衡 · · 静 定 和
第 三 节
解:取整体为研究 对象画受力图.
P =20kN, q = 4kN/m
q C
P
1m
物 超 体 静 系 定 的 平
∑mA(Fi) = 0 - 4 × 3 × 1.5 - 20 × 3 + 4 YB = 0 YB = 19.5 kN
o Fy = 0 FAy − P − F cos 60 = 0 ∑
解得 FAy = 300kN
∑M
解得
A
=0
MA − M − F 1 ⋅ l + F cos 60o ⋅ l + F sin 60o ⋅ 3l = 0
MA = −1188kN ⋅ m
例 已知： P = 4kN, P = 10kN, 尺寸如图； 1 2 求：BC杆受力及铰链A受力. y
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
∑ Fy = 0 ∑ M A = 0
∑ M A = 0 ∑ M B = 0
各力不得与投影轴垂直
A, B 两点连线不得与各力平行
衡 · · 静 定 和
第 三 节 物
组合梁ABC的支承与受力情况如图所示 已知 P = 的支承与受力情况如图所示.已知 组合梁 的支承与受力情况如图所示 30kN, Q = 20kN, θ = 45o.求支座 和C的约束反力 求支座A和 的约束反力 的约束反力. 求支座
A
= 0 FB ⋅ 4a − M − P ⋅ 2a − q ⋅ 2a ⋅ a = 0
3 1 FB = P + qa 4 2
P 3 FAy = + qa 4 2
Hale Waihona Puke Baidu
y x
解得
∑ Fy = 0 FAy − q ⋅ 2a − P + FB = 0
解得
思考：三角形分布载荷处理？ 思考：三角形分布载荷处理？
y
v R′ m A
第二节 平面一般力系的平衡 与应用
一、平面一般力系的平衡方程
平面任意力系平衡的充要条件是： 力系的主矢和对任意点的主矩都等于零。 r ′ 即 FR = 0 Mo = 0 FR′ = (∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2 M O = ∑ M O ( Fi ) 因为
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ M o = 0 平面一般力系平衡的解析条件是：所有各力在两个任选 的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意 一点的矩的代数和也等于零.
例 已知： AC=CB=l, F=10kN; kN; 求： 铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解） F y F x 解： 取AB梁，画受力图.
∑ Fx = 0
FAx + Fc cos 450 = 0
FAy + Fc sin 450 − F = 0
∑ Fy = 0
∑MA = 0
解得
Fc cos 450 ⋅ l − F ⋅ 2l = 0
FT sin30o ⋅ 6 − 4P2 − 3P = 0 1 − 6FAy + 3P + 2P2 = 0 1 FAx ⋅ AC − 3P − 4P2 = 0 1
（3）
能否从理论上保证三组方程求得的结果相同？
[例] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 例 求：A、B的支反力。 解：研究AB梁
P
A
超 体 静 系 定 的 平
Q
B θ C
XA YA
mA RC
2m 2m 2m 2m
衡 · · 静 定 和
第 三 节 物
∑Xi = 0 ∑Yi = 0
P = 30kN, Q = 20kN, θ = 45o
XA - 20 cos45o = 0
XA = 14.14 kN
YA - 30 - 20 sin45o + RC = 0 YA = 37.07 kN mA - 2×30 - 6×20sin45o +8RC = 0
[例] 已知：分布载荷 q=100N/m，a=1m。 例 求：AB的所受的力。 解：1、研究 梁，受力分析。 、研究AB梁 受力分析。 d
分布载荷处理方法
v y R′
mA x d
平面一般力系简化 简化中心：A 简化中心 A点
v R
dx l x
R′ = ∫0 qdx = ql l 1 M A ( Fi ) = ∫0 xqdx = ql 2 2 简化最终结果:合力 简化最终结果 合力 R = R′ = ql
衡 · · 静 定 和
第 三 节
q
三铰拱ABC的支承及荷载情况如图所示 已知 的支承及荷载情况如图所示.已知 三铰拱 的支承及荷载情况如图所示 P =20kN,均布荷载 = 4kN/m.求铰链支座 和 均布荷载q 求铰链支座A和 均布荷载 求铰链支座 B的约束反力 的约束反力. 的约束反力 P
1m
2m
2m
XA A YA
XB
B
YB
∑Yi = 0 YA - 20 + 19.5 = 0
YA = 0.5 kN
衡 · · 静 定 和
第 三 节
取BC为研究对象画受力图. ∑mC(Fi) = 0 XC
P =20kN, q = 4kN/m YC
C
P
1m
物 超 体 静 系 定 的 平
-1×20 + 2×19.5 + 3 XB = 0 XB = - 6.33 kN
解： 取AB 梁，画受力图.
x
∑ Fix = 0 FAy − P − P2 + FT sin300 = 0 ∑ Fiy = 0 1 ∑ M A = 0 FT sin 300 ⋅ 6 − 4P2 − 3P = 0 1
FT = 17.33kN
FAy = 5.33kN
FAx − FT cos300 = 0
FC = 28.28kN, FAx = −20kN, FAy = −10kN
尺寸如图； 例 已知： P = 10kN, P2 = 40kN, 1 求： 轴承A、B处的约束力. 解： 取起重机，画受力图. P1 P2
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
FAx + FB = 0
FAy − P − P2 = 0 1
例
已知： P = 100kN, M = 20kN ⋅ m,
F = 400kN, , m l = 1m; 求： 固定端A处约束力.
q = 20 kN
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 = q × 3l = 30kN 2 ∑ Fx = 0 FAx + F1 − F sin 600 = 0 解得 FAx = 316.4kN
超 体 静 系 定 的 平
2m 2m 2m 2m
P
A B θ
Q
C
衡 · · 静 定 和
第 三 节 物
BC杆
P = 30kN, Q = 20kN, θ = 45o Q
θ C RC
2m 2m
∑mB(Fi) = 0
o
B XB YB
- 2×20sin45 +4RC = 0 RC = 7.07 kN 整体分析
三矩式
A, B, C 三个取矩点，不得共线
衡 · · 静 定 和
第
解题前须知： 解题前须知：
三 节 物 超 体 静 系 定 的 平
(b)建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的，并非一定 建立投影方程时，投影轴的选取原则上是任意的， 建立投影方程时 取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。 取水平或铅垂方向，应根据具体问题从解题方便入手去考虑。 (c)建立力矩方程时，矩心的选取也应从解题方便的角度加以考 建立力矩方程时， 建立力矩方程时 虑。 (d)求解未知量。 求解未知量。 求解未知量 ①根据求解的问题，恰当的选取研究对象：要使所取物体上既包含 根据求解的问题，恰当的选取研究对象： 已知条件，又包含待求的未知量。 已知条件，又包含待求的未知量。 ②对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。 对选取的研究对象进行受力分析，正确地画出受力图。 ③建立平衡方程式，求解未知量： 建立平衡方程式，求解未知量： (a)根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、平 根据所研究的力系选择平衡方程式的类别（如汇交力系、 根据所研究的力系选择平衡方程式的类别 行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。 行力系、任意力系等）和形式（如基本式、二矩式、三矩式等等）。
[例] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？ 例 解：①选AB梁研究 ②画受力图
由∑ m A ( Fi ) = 0
∑X =0 X =0 A ∑Y = 0
2P − P ⋅ 2 a + N B ⋅3a = 0 , ∴ N B = 3
解除约束
YB + N B − P = 0,
P ∴Y A = 3
P
B θ
超 体 静 系 定 的 平
∑mA(Fi) = 0
mA = 31.72 kN.m
A
Q
C
XA YA
mA RC
2m 2m 2m 2m
衡 · · 静 定 和
第 三 节 物
两个构件，未知数 － 分布问题的解法 分布问题的解法： 两个构件，未知数3－1分布问题的解法：
超 体 静 系 定 的 平
（1）选择只有一个外界约束力的构件分析， ）选择只有一个外界约束力的构件分析， 对构件B与构件 连接的点取矩， 与构件A连接的点取矩 对构件 与构件 连接的点取矩，列力矩平 衡方程。可以解出该外界约束力。（ 。（如果需 衡方程。可以解出该外界约束力。（如果需 要求解两构件间作用力， 要求解两构件间作用力，则可以再列两个力 的平衡方程。） 的平衡方程。） （2）整体分析，可以列三个方程，正好可 ）整体分析，可以列三个方程， 以解出三个未知数。 以解出三个未知数。
由∑ Fx = 0, X A = 0
∑mA(F )=0 ;
∑F
解得：
y
=0
a RB ⋅a+q⋅a⋅ +m−P⋅2a=0 2 ∴Y A + RB − qa − P = 0
qa m 20×0.8 16 RB =− − +2P =− − + 2×20=12(kN) 2 a 2 0.8 YA = P + qa − RB =20+20×0.8−12=24(kN)
整体分析：
∑Xi = 0 4×3+XA+XB = 0
XB
B
XA = - 5.67 kN
YB
二、平面平行力系的平衡方程
∑ Fx = 0
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
0 + 0 + 0 +L = 0
F1 cos θ − F2 cos θ + F3 cos θ + L = 0
F1 sin θ − F2 sin θ + F3 sin θ + L = 0
l
M A ( Fi ) 1 ql 2 1 d= = = l R′ 2 ql 2
图示简支梁上作用一分布载荷 简支梁上作用一分布载荷， 例 图示简支梁上作用一分布载荷，其单位长度上受力的大小称 载荷集度(单位为牛顿 单位为牛顿/米 ，其左端的集度为零， 为载荷集度 单位为牛顿 米)，其左端的集度为零，右端集度为 q 。载荷的长度为 l，载荷的方向垂直向下。求支承处对梁的约束 ，载荷的方向垂直向下。 力。 首先在 O 点建立坐标系 第二步作受力分析 • 主动力为分布载荷（忽略重 主动力为分布载荷（ ），且为一 且为一平行力系 力），且为一平行力系 • 约束反力： 约束反力： O 为固定铰支座，A 为活动铰 为固定铰支座， 支座。 支座。 • 画出其反力
平面一般力系的平衡方程：
平面一般力系平衡方程的三种形式： ∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 一般式 M =0 ∑ A 二矩式
∑ Fx = 0 ∑ M A = 0 ∑ M = 0 B
A, B 两个取矩点连线，不得与投影轴垂直
∑ M A = 0 ∑ M B = 0 ∑ M = 0 C