高中数学必修四教学方案：《任意角和弧度制》
高中数学 第一课 任意角和弧度制教学设计 新人教A版必修4-新人教A版高一必修4数学教案
任意角和弧度制
三维目标1.知识与技能：
（1）了解正、负角与零角的相关定义；
（2）根据图形写出角及根据终边写出角的集合；
（3）了解弧度制；
2.过程与方法：
（1）培养学生数型转化的思想；
（2）训练学生思维活跃性，能够举一反三；
（3）培养学生思维的抽
3.情感、态度与价值观：
（1）增强学生观察生活中事物的规律能力；
（2）在老师的引导下建立数学模型，把数学运用到生活中去。
明确目标了解任意角的概念
重点难点重点：将0
0360
~
0范围内的角推广到任意角
难点：判断象限角
课型□讲授□习题□复习□讨论□其它
教学内容与教师活动设计学生活
动设计一．知识点：
1、任意角：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成
的图形．如右图，角 可以看作一条射线绕着端点O从起始位置OA按逆时针方向旋转
到终止位置OB所形成的,点O为角的顶点，射线OA是角的始边，射线OB是角的终边．
注意：(1)掌握角的概念应注意角的三要素：顶点、始边、终边．
(2)角可以是任意大小的．
2、角的分类
（1）正角：按逆时针方向旋转形成的角。
（2）负角：按顺时针方向旋转形成的角。
数学：《任意角及其度量》弧度制教案
5.1(2) 弧度制一、教学内容分析本节课的内容主要是学习角的一种新的度量.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难.本堂课首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是60进制，而弧度制却是十进制，其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单.在教学时，可通过弧度制与角度制对比来分析、说明应用弧度制的度量方法比应用角度制的度量方法更具有优越性.二、教学目标设计(1) 理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；(2) 了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；(3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题；(4) 在理解弧度制定义的基础上，领会弧度制定义的合理性；(5) 通过学习，理解并认识角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辩证统一的.三、教学重点及难点重点：理解弧度制引入的必要性，掌握定义，能熟练地进行角度制与弧度制的互化．难点：弧度制定义的理解．四、教学流程设计一、情景引入回顾：我们在平面几何中研究角的度量，当时是用度作为单位来度量角，1o的角是如何定义的？我们规定把周角的1360作为1度的角．把用度作为单位来度量角的制度叫做角度制.例：已知三角形中两个内角分别为6032'25''o ，4518'20''o，求它的另一个内角的大小. 在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？本节课就来尝试选择这种新单位． 二、学习新课 1、概念形成 弧度制的定义我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，如图1，弧»AB 的长等于半径r ，弧»AB 所对的圆心角AOB ∠就是1弧度的角，弧度制的单位符号是rad ，读作弧度．图1AOB ∠的弧度数1l r r r ===AOC ∠的弧度数22l rr r=== 提问：若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？若弧是一个整圆，则其圆心角的弧度数是多少？因为半圆的弧长l r π=，其圆心角的弧度数是l rr rππ==，同理，若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是22l rr rππ==． 在0o 到360o的角的弧度数lrα=必然适合不等式02απ≤≤，角的概念推广后，弧的概念也随之推广，任一正角的弧度数都是一个正数．如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长4l r π=，则这个圆心角的弧度数是44l rr rππ-=-=-，由此我们给出弧度制的定义：一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角α的弧度数的绝对值lrα=，其中l 是以角α作为圆心角时所对的弧长，是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制．提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小无关呢？（易证以角α为圆心角所对的弧长与其半径的比值，由α∠的大小来确定，与所取的半径大小无关，仅与角的大小有关．）因为lrα=，可以得到l r α=⋅，那弧长等于圆弧所对圆心角的弧度数的绝对值与半径的积，这个公式比采用角度制时相应公式180n rl π=要简单． 问题：试用角的弧度数表示扇形的面积公式.扇形面积公式：211||22S lr r α==. 2、角度制与弧度制的互化用“弧度”与“度”去度量每一个角时，除了零角以外，所得到的量数都是不同的，但它们既然是度量同一个角的结果，二者就可以相互换算．我们已经知道：若弧是一个整圆，它的圆心角是周角，其弧度数是2π，而在角度制里它是360o ，因此3602()rad π=o ，两边除以2，得180()rad π=o 若将等式两边同除以180，得1()0.01745()180rad rad π=≈o；同理，若将等式两边同除以π，得1801()57.3rad π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭oo（即5718'o ） 例1：把角6730'o化为弧度制.答：36730'67.567.5()1808rad ππ==⨯=o o. 例2：把角4()5rad π化为角度制. 答：44180()14455rad πππ=⨯=o . [说明]在进行角度制与弧度制互化时要抓住180π=o 这个关键． 下面请大家写出一些特殊角的弧度数．角度弧度按从左至右顺序其答案是：0、6π、45o 、3π、90o 、23π、34π、150o 、180o 、32π、360o．今后我们用弧度制表示角的时候，“弧度”二字或“rad ”通常省略不写，而只写相应的弧度数．例如：角3α=就表示α是3弧度的角，cos6π就表示6π弧度的角的余弦，即3coscos3062π==o ． 例3：计算下列各式的值(1) sin4π(2) tan1.5(精确到0.01)答：(1) 2sin4π=； （2）tan1.514.12≈.[说明]第（2）小题使用计算器计算，教师可提醒学生注意计算器的设置，需根据问题，选择角度制还是弧度制.3、角度制与弧度制的比较引进弧度制后，我们应将它与角度制进行比较，同学们应明确：① 弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制是以“度”为单位度量角的制度；②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）的大小，而1o 是圆的1360所对的圆心角的大小；③ 不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值． 4、角的集合与实数集R 之间的一一对应用弧度制来度量角，实际上是在角的集合与实数集R 之间建立这样的一一对应关系（如图2所示）．图2每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（角的弧度数等于这个实数）与它对应．[说明]以后我们将要学习的三角函数看成是以实数为自变量的函数，它的自变量的意义可以有多种解释，从而使三角函数的应用更加广泛，在数学与科学研究中普遍采用弧度制，这是重要的原因之一．例4：下列各角中哪几个是第二象限角？(1) 2006o(2) 1998-o(3) 2003π(4) 9 (5) 4- (6) 19995π-答：(1) 20065360206=⨯+o o o(2) 199********-=-⨯+ooo(3) 200321001πππ=⨯+ (4) 92(92)ππ=+- (5) 42(24)ππ-=-+-(6) 1999220055πππ-=-⨯+ 从而可知(2)、(4)、(5)所给的角在第二象限内.说明：① 用弧度制表示终边重合的角的方法2()k k Z βπα=+∈；② 把一角化为2k πα+形式，其中,[0,2)k Z απ∈∈，从而可判断角所在的象限． ③ 在同一问题求解过程中，两种单位不能混用，如{|2k ααπ=+30,}k Z ∈o 写法不妥． 例5：填空(1) 在(4,4)ππ-内与587π-终边重合的角是___________. (2) 圆的弧长等于该圆内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数是___________. (3) 在扇形AOB 中，90AOB ∠=o，弧长为l ，则此扇形内切圆的面积是___________.答：(1)1621226,,,7777ππππ--；(3)24(3l π-. 三、巩固练习 练习5.1（2） 四、课堂小结 （1）弧度制的定义；（2）弧度制与角度制之间的互化（180()rad π=o）； （3）扇形弧长公式：||l r α=⋅，扇形面积公式：211||22S lr r α==； （4）掌握用弧度制表示终边重合的角；（5）理解弧度制的思想. 五、课后作业 练习册 P 13－15习题5.1 A 组 1.(2)，3，4，5，7 习题5.1 B 组 3，4六、教学设计说明1、 要使学生理解弧度制与引入弧度制的必要性.弧度制与角度制一样，只是度量角的一种方法，但由于学生有先入为主的想法，所以学起来有一定的困难. 首先必须清楚1弧度的概念，它与所在圆的半径大小无关.其次弧度制与角度制相比有一定的优点，一是在进位上角度制在度、分、秒上是六十进制，而弧度制却是十进制；其二在弧长和扇形的面积的表示上弧度制也比角度制简单. 在教学时，通过弧度制与角度制对比分析、说明应用弧度制的度量比应用角度制的度量方法具有优越性；2、 关于弧度制与角度制之间互化，教学时要抓住180π=o这个关键引导学生. 3、 教学应注意强调在同一式中，所采用的单位必须一致.。
苏教版高中数学必修四任意角、弧度教案
弧度制教学目的：巩固弧度制的理解，熟练掌握角度弧度的换算；掌握用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式．培养运用弧度制解决具体的问题的意识和能力 教学重点：运用弧度制解决具体的问题． 教学难点：运用弧度制解决具体的问题． 教学过程： 一、复习引入：1. 360︒=2π rad 180︒=π rad 。
2.初中学过的弧长公式、扇形面积公式：180rn l π=；3602R n S π=扇二、讲解新课：1．弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2．扇形面积公式 lR S 21= 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径 证：三、讲解范例：例1．求图中公路弯道处弧AB 的长l （精确到1m ）图中长度单位为：m 解：例2．已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形的中心角 是1弧度，求该扇形的面积 解：例3 计算4sin π和tan3π的值。
解：o R Sl例4 将下列各角化成0到π2的角加上)(2Z k k ∈π的形式⑴π319⑵ ο315- 解：例5 直径为20cm 的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴34π ⑵ ο165 解：例6 已知扇形周长为10cm ，面积为6cm2，求扇形中心角的弧度数． 解：班级 姓名 成绩1.圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变C.扇形的面积增大到原来的2倍D.扇形的圆心角增大到原来的2倍 2.时钟经过一小时，时针转过了( )A. 6π radB.－6π radC. 12πradD.－12πrad3.一个半径为R 的扇形，它的周长是4R ，则这个扇形所含弓形的面积是( )2222)1cos 1sin D.(1 21.1cos 1sin 21B. )1cos 1sin 2(21A R R C R R --4.圆的半径变为原来的21，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来 的 倍.5.若α＝－216°，l ＝7π，则ｒ＝ (其中扇形的圆心角为α，弧长为l ，半径为r ).6.在半径为π30的圆中，圆心角为周角的32的角所对圆弧的长为 .7.两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶2，则两个扇形周长的 比为( )A.1∶2B.1∶4C.1∶2D.1∶88.在半径为1的单位圆中，一条弦AB 的长度为3，则弦AB 所对圆心角α是( ) A.α＝3 B.α＜3 C.α＝32πD.α＝1209.时钟从6时50分走到10时40分，这时分针旋转了 弧度.10.已知扇形AOB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，则弦AB 的长等 于 cm.11.扇形的面积一定，问它的中心角α取何值时，扇形的周长L 最小?12.在时钟上，自零时刻到分针与时针第一次重合，分针所转过角的弧度数是多少?。
高中数学教案《任意角和弧度制》
教学计划：《任意角和弧度制》一、教学目标1.知识与技能：学生能够理解并掌握任意角的概念，熟悉角度制与弧度制的转换方法，掌握利用弧度制进行简单三角函数的计算。
2.过程与方法：通过直观演示和抽象概括，引导学生自主探究任意角与弧度制的定义及性质；通过例题解析和课堂练习，提高学生的逻辑思维能力和数学运算能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生严谨的科学态度和探究精神；通过学习任意角和弧度制，让学生体会到数学知识的连续性和统一性。
二、教学重点和难点●教学重点：任意角的概念，角度制与弧度制的转换，弧度制下三角函数的基本性质。
●教学难点：理解并接受弧度制作为角的另一种度量方式，以及利用弧度制进行三角函数的计算。
三、教学过程1. 引入新课（约5分钟）●情境导入：以生活中的实例（如钟表指针的转动、体操运动员的旋转动作）为例，引导学生思考角的度量不仅仅局限于0°到360°之间，从而引出任意角的概念。
●定义揭示：明确任意角的定义，包括正角、负角和零角，强调角的旋转方向和度量范围。
●激发兴趣：简述历史上角度制与弧度制的发展过程，引起学生对弧度制的好奇心。
2. 讲授新知（约15分钟）●弧度制介绍：详细介绍弧度制的定义，即弧长与半径的比值，强调弧度制在三角学和微积分中的重要性。
●转换方法：讲解角度制与弧度制之间的转换公式，并通过具体例子演示转换过程。
●性质探讨：引导学生探讨弧度制下三角函数的基本性质，如正弦、余弦和正切函数的周期性、奇偶性等。
3. 直观演示与操作（约10分钟）●单位圆与弧度制：利用多媒体或实物教具展示单位圆上的角度与弧度的对应关系，加深学生对弧度制的理解。
●互动操作：让学生在纸上绘制单位圆，并尝试用尺子量取特定弧长，计算对应的弧度值，以增强感性认识。
●小组讨论：组织学生讨论角度制与弧度制的优缺点，促进知识的内化和吸收。
4. 例题解析与练习（约15分钟）●例题解析：选取典型例题，如角度制与弧度制的转换、利用弧度制计算三角函数值等，进行详细解析，展示解题步骤和思路。
《任意角和弧度制》教案
《任意角和弧度制》教案篇一：人教A版高中数学必修四教案教案教学目标 1.理解任意角的概念.2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写.3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题. 导入新课复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题：1．初中所学角的概念.2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？°的角是如何定义的？弧长公式是什么？5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角?，点O是角的顶点，射线OA,OB分别是角?的终边、始边. 说明：在不引起混淆的前提下，“角?”或“??”可以简记为?． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30?,390?,?330?都是第一象限角；300?,?60?是第四象限角.（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90?,180?,270?等等.说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线.4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30?k?360??????k?Z?的形式；反之，所有形如30??k?360??k?Z?的角都与30?角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角?终边相同的角，连同角?在内，可构成一个集合S|?k?360?,k?Z?，即：任一与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同.例1在0与360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）?120；（2）640；（3）?95012?.?????解：（1）?120?240?360，所以，与?120角终边相同的角是240，它是第三象限角；（2）640?280?360，所以，与640角终边相同的角是280角，它是第四象限角；（3）?95012??12948??3?360，??????????所以，?95012?角终边相同的角是12948?角，它是第二象限角.??例 2 若??k?360??1575?,k?Z，试判断角?所在象限. 解：∵??k?360??1575?(k?5)?360??225?, (k?5)?Z ∴?与225终边相同，所以，?在第三象限.?例 3 写出下列各边相同的角的集合S，并把S中适合不等式?360720?的元素? 写出来：（1）60；（2）?21；（3）36314?．?????解：（1）S??|??60?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是60??1?360300?,60??0?360??60?,?60??1?360??420.??（2）S??|21?k?360,k?Z，??S中适合?360720?的元素是?21??0?36021?,?21??1?360??339?,?21??2?260??699???（3）S??|??36314??k?360,k?Z??S中适合?360720?的元素是363?14??2?360356?46?, 363?14??1?360??3?14?,?363?14??0?360??363?14.例4 写出第一象限角的集合M．分析：（1）在360内第一象限角可表示为090；（2）与0,90终边相同的角分别为0?k?360,90?k?360,(k?Z)；（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：????????M|k?360?90??k?360?,k?Z?．学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：P|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；N|90??k?360?180??k?360?,k?Z?；Q|270??k?360?360??k?360?,k?Z?．说明：区间角的集合的表示不唯一.例5写出y??x(x?0)所夹区域内的角的集合.??解：当?终边落在y?x(x?0)上时，角的集合为?|??45?k?360,k?Z；????当?终边落在y??x(x?0)上时，角的集合为?|45?k?360,k?Z；??所以，按逆时针方向旋转有集合：S??|?45?k?36045?k?360,k?Z．二、弧度制与弧长公式 1.角度制与弧度制的换算：∵360?=2?（rad），∴180?=? rad. ∴ 1?=?180rad???180 1rad??5718’.oSl2．弧长公式：l?r?. 由公式：?ln?r?l?r??.比公式l?简单. r1801lR，其中l是扇形弧长，R是圆的半径. 2弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积3．扇形面积公式 S?注意几点：1．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad”可以省略，如：3表示3rad ， sin?表示?rad角的正弦；2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住：3．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系.任意角的集合实数集R例6 把下列各角从度化为弧度：(1)252?；（2）1115；(3) 30；(4)67?30’. 解：(1)/71? （2）? (3) ? (4) ? 56变式练习：把下列各角从度化为弧度：(1)22o30′；（2）-210o；(3)1200o. 解：(1) ?；（2）?18720?；(3)?. 63例7 把下列各角从弧度化为度：（1）?；(2) ；(3) 2；(4)35?. 4解：（1）108 o；(2)；(3)；(4)45o. 变式练习：把下列各角从弧度化为度：（1）?4?3?；（2）-；（3）.12310解：（1）15 o；（2）-240o；（3）54o.例8 知扇形的周长为8cm，圆心角?为2rad，，求该扇形的面积. 解：因为2R+2R=8,所以R=2,S=4. 课堂小结1．弧度制的定义；2．弧度制与角度制的转换与区别；3．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；篇二：(教案3)任意角和弧度制任意角教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
人教版高中数学必修四教案1.1 任意角和弧度制 弧度制(2)
一、教学目标重点：角度制与弧度制的互化；弧度制的运用. 难点：:弧度的概念及其与角度的关系.知识点：角度制与弧度制的互化公式；弧长公式；扇形面积公式. 能力点：建立角的集合与实数集R 之间的一一对应关系.教育点：使学生通过弧度制的学习，理解并认识角度制与弧度制是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.自主探究点：利用对应成比例关系得出结论.训练（应用）点：角度制与弧度制的互化换算，弧度制的运用. 考试点：掌握角度制与弧度制的换算，并熟练的进行换算操作. 易错点：角度与弧度的单位写法易错. 易混点：角度和弧度的转换易混 二、引入新课：【师生活动】：教师：我们学习了角的概念的推广知道角可以分为哪几类？学生回答 “正角”与“负角”“0角”教师：要描述一个角的大小，通常用什么表示呢？ 学生回答：是用度来表示的。
教师引出角度制的概念，那么1︒的角是如何定义的？学生：1︒的角可以理解为将圆周角分成360等份,每一等份的弧所对的圆心角就是1︒.它是一个定值,与所取圆的半径大小无关.有了它，可以计算弧长，公式为180n rl π=. 【设计意图】：温故而知新，引导学生切身感受角的弧度制引入的必要性. 三、探究新知: （一）弧度制的概念【师生活动】：教师：角除了以度为单位，还有分和秒，他们是六十进制的，计算不方便，角的度量是否也能用不同的单位制？学生分组讨论.教师引导：我们能用等于半径的弧所对的圆心角作为角的度量单位吗?这个弧度数是否与圆半径的大小有关?教师引导学生画出图形.在圆内作出AOB COD α∠=∠=当半径为1r 时,弧长1180n r AB π=(n α=︒) ,弧长与半径的比值为111180180n r AB n r r ππ==. 当半径为2r 时,弧长2180n r CD π=, 弧长与半径的比值为222180180n r CD n r r ππ==. 两比值相等.讨论结果:能.当圆心角一定时,它所对弧长与半径的比值是一定的,与半径大小无关.【设计意图】：学生亲手作图，感受角的弧度制与角度制是角的度量单位，都可以刻画角的大小，与角所在的圆半径无关。
[人版]高中数学必修四教学案
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第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法回忆-观察-讲解-归纳-推广.四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角.如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念.角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。
高中数学必修4弧度值教案
高中数学必修4弧度值教案
课题：弧度值
目标：学生能够掌握弧度值的概念，能够转换角度和弧度的关系
教学重点：弧度的定义，角度和弧度的转换
教学难点：角度和弧度的转换
教学准备：教材、黑板、粉笔、教学PPT
教学步骤：
一、导入（5分钟）
老师通过引导学生回顾之前学过的角度的概念，让学生思考什么是角度，并与圆相关联。
二、讲解（15分钟）
1. 弧度的定义：引导学生思考圆周角的度量方式，并介绍弧度的定义为圆周的长度等于半径的角。
2. 角度和弧度的关系：通过示意图和实际问题，让学生理解角度与弧度的转换关系。
三、练习（25分钟）
1. 让学生完成几道简单的练习题，巩固弧度的概念及与角度的转换。
2. 让学生通过实际问题应用角度和弧度的计算方法。
四、总结（5分钟）
老师带领学生总结本节课学到的知识点，并强调弧度值在数学中的重要性。
五、作业布置（5分钟）
布置作业，巩固学生对弧度值的理解和运用。
板书设计：
1. 弧度的定义：圆周的长度等于半径的角
2. 角度和弧度的关系：1弧度=180°
3. 角度和弧度的转换公式：θ(弧度)=θ(角度) × π/180
反思：
通过本节课的教学，学生对弧度值的概念有了更深入的认识，能够灵活运用角度和弧度的转换公式进行计算。
同时，本节课难度适中，但为了更好地巩固和理解弧度值的知识，可以设计更多场景化的问题，提高学生的实际运用能力。
高中数学必修4《任意角和弧度制》教案
高中数学必修4《任意角和弧度制》教案一、教学目标1. 理解任意角的概念，掌握任意角的几何性质；2. 理解弧度制的概念，掌握弧度制的基本用法；3. 掌握任意角的三角函数及其基本性质。
二、教学内容1. 任意角的定义和性质；2. 弧度制的概念和计算公式；3. 三角函数的定义、性质及其图象。
三、教学方法1. 归纳法、演示法、讨论法；2. 短片展示、综合练习。
四、教学步骤步骤一：导入新课1. 充分利用素材，抛出有关问题，启发学生思考，激发探究兴趣，从而引出新课。
2. 展示台湾百事可乐的广告，提问：“你们觉得这是哪种角度？”3. 解释任意角的概念，举一些例子，使学生了解不同角度的概念。
步骤二：学习任意角的定义和性质1. 任意角的定义和表示方法。
2. 讲解任意角的性质。
步骤三：学习弧度制的概念和计算公式1. 弧度的概念和推导过程。
2. 弧度与角度的换算公式及例题。
步骤四：学习三角函数的定义、性质及图象1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的定义和图象。
2. 三角函数的性质及相互关系。
步骤五：练习讲解1. 小组讨论，练习几何问题。
2. 练习弧度制的换算，解答相关问题。
3. 课后作业：巩固基础知识，拓展思维应用。
五、教学反思本节课的核心是任意角和弧度制，由于任意角和弧度制是高中数学必修课程，因此教学难度较大，需要遵循步步深入的原则，先从角度和任意角说起，再讲述弧度制及其换算公式，最后介绍三角函数及其相关性质。
在教学过程中，教师应运用多种教学方法，使学生更直观地理解这些概念和公式，同时也需要拓展学生的思维应用，使他们发现数学的应用价值，激发学生的学习兴趣。
高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制(第1课时)任意角教案(含解析)新人教A版必修4
高中数学第一章三角函数第1节任意角和弧度制（第1课时）任意角教案（含解析）新人教A版必修4[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P2～P5的内容，回答下列问题．(1)阅读教材P2“思考”的内容，你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25个小时，你应当如何将它校准？在你调整的过程中，分针转动的方向有什么区别？提示：当手表慢了5分钟时，通常将分针顺时针旋转进行调整；当手表快了1.25小时时，通常将分针逆时针旋转进行调整．故在调整的过程中两种情形分针的转动方向相反．(2)体操中有“转体720°”(即“转体2周”)，“转体1 080°”(即“转体3周”)这样的动作名称，而旋转的方向也有顺时针与逆时针的不同；又如图是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向．这样，OA 绕O旋转所成的角与O′B绕O′旋转所成的角就会有不同的方向．利用我们以前学过的0°～360°范围的角，还能描述以上现象吗？提示：要准确地描述这些现象，不仅要知道角形成的结果，而且要知道角形成的过程，即必须既要知道旋转量，又要知道旋转方向．故利用0°～360°范围的角，无法描述以上现象．(3)阅读教材P3“探究”的内容，请思考：对于直角坐标系内任一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么这些终边相同的角有什么关系？提示：不唯一．它们之间相差360°的整数倍，即相差k·360°(k∈Z)．2．归纳总结，核心必记(1)角的有关概念有关概念描述定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形图示其中O为顶点，OA为始边，OB为终边记法角α或∠α，或简记为α①②按角的终边位置(ⅰ)角的终边在第几象限，则此角称为第几象限角；(ⅱ)角的终边在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限．(3)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[问题思考](1)你能说出角的三要素吗？提示：角的三要素是顶点、终边、始边．(2)如果一个角的终边与其始边重合，这个角一定是零角吗？提示：不一定，零角的终边与始边重合，但终边与始边重合的角不一定是零角，如360°，－360°等．(3)一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大，这样说对吗？提示：不对，如果一条射线绕端点按顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小．(4)在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°，这种说法是否正确？提示：不正确，在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转的，故它形成的角为－90°.(5)当角的始边和终边确定后，这个角就被确定了吗？提示：不是的．虽然始、终边确定了，但旋转的方向和旋转量的大小并没有确定，所以角也就不能确定．(6)初中我们学过对顶角相等．依据现在的知识试判断一下图中角α，β是否相等？提示：不相等．角α为逆时针方向形成的角，α为正角；角β为顺时针方向形成的角，β为负角．[课前反思](1)角的概念：；(2)角的分类：；(3)终边相同的角： .终边相同的角及区域角的表示知识点1[思考1] 终边相同的角一定是相等的角吗？它们之间有什么关系？如何把这一类角表示出来？名师指津：不一定．相等的角的终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍．可以用集合{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}表示．[思考2] 区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，区域角如何表示？名师指津：区域角可以看作是某一范围内的终边相同角的集合．故可把区域的起始、终止边界表示出来，然后组成集合即可．讲一讲1．(1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．[尝试解答] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z }．∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°，31136≤k ＜61136. 故k ＝4,5,6，k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°.k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k ＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k ·360°，k ∈Z }，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k ·360°，k ∈Z }，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k ·180°，k ∈Z }．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k ·360°，k ∈Z }∪{β|β＝315°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }．③终边在直线y ＝x 上的角的集合为{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{β|β＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{β|β＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．(3)终边落在OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝135°＋k ·360°，k ∈Z }，终边落在OB 位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k ·360°，k ∈Z }．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．类题·通法(1)在0°～360°范围内找与给定角终边相同的角的方法①把任意角化为α＋k·360°(k∈Z且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．②要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值．(2)区域角的写法可分三步①按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；②由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角；③用不等式表示区域内的角，组成集合．练一练1．已知角α＝2 018°.(1)把α改写成k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ<720°.解：(1)由2 018°除以360°，得商为5，余数为218°，∴取k＝5，β＝218°，α＝5×360°＋218°.(2)与2 018°角终边相同的角为k·360°＋2 018°(k∈Z)．令－360°≤k·360°＋2 018°<720°，k∈Z，∴k取－6，－5，－4，将k的值代入k·360°＋2 018°中，得角θ的值为－142°，218°，578°.象限角的判断知识点2[思考1] 若α为第一象限角，则α的顶点、始边、终边各有什么特点？提示：若α为第一象限角，则α的顶点为坐标原点、始边与x轴的正半轴重合，终边处在第一象限．[思考2] 如何判定象限角？提示：(1)根据图形判定；(2)根据终边相同的角的概念判定．讲一讲2．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.[尝试解答] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角．(2)由图②可知：855°是第二象限角．(3)由图③可知：－510°是第三象限角．类题·通法给定角α所处象限的判定方法法一：第一步，将α写成α＝k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式．第二步，判断β的终边所在的象限．第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．法二：在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．练一练2．(1)已知下列各角：①－120°；②－240°；③180°；④495°.其中是第二象限角的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④(2)若β是第四象限角，则180°－β是第________象限角．解析：(1)－120°角是第三象限角；－240°角是第二象限角；180°角不在任何一个象限内；495°＝360°＋135°，所以495°角是第二象限角．(2)因为β是第四象限角，所以取β＝－20°，则180°－β＝200°，为第三象限角． 答案：(1)D (2)三知识点3nα或αn 所在象限的判定 讲一讲3．若α是第二象限角，则2α，α2分别是第几象限的角？ [尝试解答] (1)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上．(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )． 法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角；②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )， 即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． 法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角． 类题·通法(1)nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．(2)αn 所在象限的判断方法已知角α所在象限，要确定角αn 所在象限，有两种方法：①用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n 除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．②作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.α的终边在第几象限，则标号为几的区域，就是αn 的终边所落在的区域．如此，αn所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．练一练 3．若角α是第一象限角，则－α，2α，α3分别是第几象限角？ 解：∵α是第一象限角，∴k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )．(1)－k ·360°－90°<－α<－k ·360°(k ∈Z )，∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．(2)2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二象限角或终边落在y 轴非负半轴上的角．(3)法一(分类讨论)：k ·120°<α3<k ·120°＋30°(k ∈Z )． 当k ＝3n (n ∈Z )时， n ·360°<α3<n ·360°＋30°，∴α3是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°<α3<n ·360°＋150°，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°<α3<n ·360°＋270°，∴α3是第三象限角． 综上可知，α3是第一、第二或第三象限角． 法二(几何法)：如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的正向的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3角的终边落在的区域，故α3为第一、第二或第三象限角．[课堂归纳·感悟提升]1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示，难点是nα及αn 所在象限的判定．2．本节课要重点掌握以下规律方法(1)求终边相同的角及区域角的表示，见讲1；(2)象限角及nα、αn所处象限的判断，见讲2和讲3.3．本节课的易错点有以下几点(1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成的角为负角．(2)把任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可以用除法．(3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角，再写出0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上k·360°，得到所求．课下能力提升(一)[学业水平达标练]题组1 终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是( )A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}解析：选C 由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k ∈Z}．2．若A＝{α|α＝k·360°，k∈Z}，B＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，C＝{α|α＝k·90°，k∈Z}，则下列关系中正确的是( )A．A＝B＝C B．A＝B∩CC．A∪B＝C D．A⊆B⊆C解析：选D ∵90°∈C,90°∉B,90°∉A，∴选项A，C错误；又∵180°∈C,180°∈B,180°∉A，∴选项B错误．故选D.3．若α＝n·360°＋θ，β＝m·360°－θ，m，n∈Z，则α，β终边的位置关系是( )A．重合 B．关于原点对称C．关于x轴对称 D．关于y轴对称解析：选C 由α＝n·360°＋θ，n∈Z可知α与θ是终边相同的角，由β＝m·360°－θ，m∈Z可知β与－θ是终边相同的角．因为θ与－θ两角终边关于x轴对称，所以α与β两角终边关于x轴对称．4.已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α∈________.解析：在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角α满足30°<α<150°或210°<α<330°，所以所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°＋30°<α<k·360°＋150°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°<α<k·360°＋330°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°<α<2k·180°＋150°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°<α<(2k＋1)·180°＋150°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}．答案：{α|n·180°＋30°<α<n·180°＋150°，n∈Z}5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－45°，135°.题组2 象限角的判断6．－1 120°角所在象限是( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D 由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7．下列叙述正确的是( )A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：选B 90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A 错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C 错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D 错．8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：选B ∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.题组3 nα或αn 所在象限的判定9．已知角2α的终边在x 轴上方，那么α是( )A ．第一象限角B ．第一或第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第四象限角解析：选C 由条件知k ·360°<2α<k ·360°＋180°，(k ∈Z )，∴k ·180°<α<k ·180°＋90°(k ∈Z )，当k 为偶数时，α在第一象限，当k 为奇数时，α在第三象限．10.若角α是第三象限角，则角α2的终边所在的区域是如图所示的区域(不含边界)( )A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦解析：选A ∵α是第三象限角，∴k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°(k ∈Z )，∴k ·180°＋90°<α2<k ·180°＋135°(k ∈Z )． 当k ＝2n (n ∈Z )时，n ·360°＋90°<α2<n ·360°＋135°，对应区域③；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋270°<α2<n ·360°＋315°，对应区域⑦.∴角α2的终边所在的区域为③⑦. [能力提升综合练]1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( )A ．{α|α为锐角}B ．{α|α小于90°}C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对解析：选D 小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A ∩B 是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2．下列叙述正确的是( )A ．第一或第二象限的角都可作为三角形的内角B ．始边相同而终边不同的角一定不相等C ．若α是第一象限角，则2α是第二象限角D ．钝角比第三象限角小解析：选B －330°角是第一象限角，但不能作为三角形的内角，故A 错；若α是第一象限角，则k ·360°<α<k ·360°＋90°(k ∈Z )，所以2k ·360°<2α<2k ·360°＋180°(k ∈Z )，所以2α不一定是第二象限角，故C 错；－135°是第三象限角，135°是钝角，而135°>－135°，故D 错．3．终边与坐标轴重合的角的集合是( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }解析：选C 终边在x 轴上的角的集合M ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，终边在y 轴上的角的集合P ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }，则终边与坐标轴重合的角的集合S ＝M ∪P ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }＝{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·90°，n ∈Z }，故选C.4．角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为( )A ．α＋β＝k ·360°，k ∈ZB ．α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈ZC ．α－β＝k ·360°＋180°，k ∈ZD ．α－β＝k ·360°，k ∈Z解析：选B 法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y 轴对称，∴β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z ，即α＋β＝k ·360°＋180°，k ∈Z .5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是________度，分针所转成的角度是________度．解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －606．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________.解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边，∴5α＝k·360°＋α，k∈Z.得 4α＝k·360°，当k＝3时，α＝270°.答案：270°7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}；(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z.∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k＝－2，得α－β＝－50°.②由①②，得α＝15°，β＝65°.。
《任意角和弧度制》(第一课时)教学设计
《任意角和弧度制》（第一课时）教学设计《任意角和弧度制》（第一课时）教学设计《任意角和弧度制》（第一课时）教学设计一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360度的角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法通过创设情境：转体720度角，逆（顺）时针旋转、角有大于360、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点:理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点:终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想[创设情境]思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0～360之间，它是如何定义的呢？这正是我们这节课要研究的主要内容任意角.[探究新知]初中时，我们已学习了0～360[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a。
《任意角和弧度制》高二数学必修四教案
《任意角和弧度制》高二数学必修四教案自己整理的《任意角和弧度制》高二数学必修四教案相关文档，希望能对大家有所帮助，谢谢阅读！教案[1]教学准备教学目标第一，知识和技能(1)理解和掌握弧系的定义；(2)了解弧系定义的合理性；(3)掌握并应用弧系表示的弧长公式和扇面积公式；(4)熟练转换角系和弧系；(5)角的集合和实数的集合是一一对应的。
(6)通过对弧系的学习，学生可以理解和认识到，角系和弧系都是对角线测量方法，它们是辩证统一的，而不是孤立碎片的。
二、流程和方法创设情境，介绍弧系测角，理解掌握弧系定义，理解定义的合理性。
根据弧系的定义，推导并使用弧长公式和扇形面积公式。
用具体例子学习角系和弧系的相互转换，正确使用计算器。
第三，形态和价值通过本节的学习，学生可以掌握测量角度的另一个单位系统——圆弧系统，并理解和认识到，角系统和圆弧系统都是对角线测量方法，是辩证统一的，而不是孤立分离的。
角的概念推广后，在弧系下，建立了角集合与实数集合的一一对应关系，即每个角都有一个实数(即这个角的弧度数)，依次每个实数也有一个与之对应的角(即弧度数等于这个实数的角)，为下一节学习三角函数做好了准备教学重点和难点Focus :理解并掌握弧线系统的定义；精通角系与弧系的转换；电弧系统的应用。
难点：了解arc系统的定义和应用。
教学工具投影仪等教学过程首先，创设情境，引入新课程老师：有人问：海口到三亚距离250公里左右的时候，别人回答160英里左右。
哪个答案正确？(称为1英里=1.6公里)很明显，两个答案都是对的，但是为什么会有不同的价值观呢？这是因为使用的测量系统不同，一个是公里系统，另一个是英里系统。
它们的长度单位是不一样的，但是可以在它们之间换算：1英里=1.6公里。
在角度的测量中，有一个类似的情况，一个是我们不再熟悉的角度系统，另一个是我们将在这个类中研究的角度测量系统——圆弧系统。
第二，解释新课1.角度系统：把一个圆分成360个部分，每个部分叫1度，所以一周等于360度，直角等于180度，直角等于90度，以此类推。
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案
高二数学必修四《任意角和弧度制》教案教学目标•了解任意角的概念•掌握角度和弧度之间的换算关系•理解任意角的三角函数定义•能够求解给定任意角的三角函数值•能够应用任意角的三角函数解决相关问题教学准备•教材：《高中数学必修四》•教辅资料：《高二数学必修四导学案》、《高二数学必修四课后习题精选》•工具：投影仪、黑板、彩色粉笔教学内容和步骤第一节：引入任意角的概念（15分钟）1.引入：通过一个例子引导学生思考角是什么，并介绍角的常用表示方法。
–例子：一个人站在原地，从开始向东边走了一段距离，然后又向南边走了一段距离，最后按照顺时针方向转了一个角度，最后停在了某个位置上。
请问，这个人所走过的路径可以用什么来描述？2.概念解释：引导学生理解角的概念。
–角度：以一段线段的端点为顶点，将线段旋转形成的图形。
–角的表示：使用小写字母加上顶角符号“∠”表示角，例如∠ABC。
3.讨论：与学生一起讨论不同角的分类和性质，并引入本节课的重点——任意角。
第二节：任意角的弧度制（20分钟）1.导入：引导学生回顾整周角的概念，然后扩展到任意角的概念。
2.弧度制介绍：–弧度：从原点出发，逆时针转一周，形成弧长等于半径的角度被定义为1弧度。
–弧度制的计算：弧长（s）等于半径（r）乘以角度（θ），公式为：s = rθ。
–弧度转角度：角度（θ）等于弧长（s）除以半径（r），公式为：θ = s/r。
3.实例演示：通过实例计算角度和弧度互相转换的问题，加深学生对弧度制的理解。
4.练习：让学生在课堂上完成一些练习题，巩固弧度制的计算方法。
第三节：任意角的三角函数（30分钟）1.回顾：复习学生已经学过的整数角的三角函数定义和图像。
2.任意角的三角函数定义：–以点P(x, y)为单位圆上的点，作从圆心O到该点的线段OP，与x轴正半轴的夹角为θ，那么点P的坐标(x, y)分别对应于角度θ的三角函数值。
–定义正弦函数：sinθ = y。
–定义余弦函数：cosθ = x。
1.1《任意角和弧度制》教案(新人教必修4)
4-1.1.1任意角（1）教学目标：要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。
教学重点：理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义教学难点：“旋转”定义角课标要求：了解任意角的概念教学过程：一、引入同学们在初中时，曾初步接触过三角函数，那时的运用仅限于计算一些特殊的三角函数值、研究一些三角形中简单的边角关系等。
三角函数也是高中数学的一个重要内容，在今后的学习中大家会发现三角学有着极其丰富的内容，它能够简单地解决许多数学问题，在中学数学中有着非常广泛的应用。
二、新课1．回忆：初中是任何定义角的？（从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它的弊端在于“狭隘”师：初中时，我们已学习了0○～360○角的概念，它是如何定义的呢？生：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
师：如图1，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆Array时针方向旋转到终止位置OB，就形成角α。
旋转开始时的射线OA叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点O叫做叫α的顶点。
师：在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720o”（即转体2周），“转体1080o”（即转体3周）；再如时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？如果慢了5分钟，又该如何校正？生：逆时针旋转300；顺时针旋转300.师：（1）用扳手拧螺母；（2）跳水运动员身体旋转．说明旋转第二周、第三周……，则形成了更大范围内的角，这些角显然超出了我们已有的认识范围。
本节课将在已掌握～角的范围基础上，重新给出角的定义，并研究这些角的分类及记法．2.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向旋转到另一位置OB，就形成了角α。
其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，O叫角α的顶点。
1任意角和弧度制一等奖创新教学设计
1任意角和弧度制一等奖创新教学设计标题：任意角和弧度制教学设计一、教学设计背景和目标任意角和弧度制是高中数学中的重要内容，也是学生理解三角函数的基础。
通过本次教学设计，旨在帮助学生理解和运用任意角和弧度制的概念，掌握其在三角函数中的作用和应用，提高学生的数学思维能力和运算能力。
二、教学内容和教学重点1.任意角的概念和性质2.弧度制的引入和计算方法3.弧度和角度之间的转换4.任意角的三角函数三、教学步骤和方法1.导入阶段（10分钟）通过引入一个实际问题，如航天器发射的角度选择或者射箭运动员射出的角度问题，激发学生对任意角概念的兴趣和认识。
通过讨论和提问，引导学生思考角度的概念和意义。
简要介绍角度的定义和常见的角的单位。
2.知识探究阶段（30分钟）通过教师讲解和示范，介绍任意角的概念和性质，如正角、负角、终边、方向角等。
通过实例讲解，让学生可以直观地理解和运用这些概念。
引导学生进行小组合作，自主探究任意角的性质和特点，提高学生的自学能力和合作能力。
3.弧度制的引入和探究（30分钟）通过展示一个圆弧和扇形的实例，引入弧度的概念。
进行弧长和半径之间的关系探究，引导学生发现并总结弧度的定义和计算方法。
通过实例计算，加深学生对弧度的理解和熟练运用。
4.弧度和角度的转换（20分钟）通过实例引导学生发现弧度和角度之间的转换关系。
教师通过简单明了的解释和计算方法，帮助学生掌握弧度和角度之间的转换技巧。
通过练习题的训练，提高学生的运算能力和应用能力。
5.任意角的三角函数（30分钟）通过实例和图像的展示，引导学生认识和理解任意角的三角函数。
通过示例的计算，提高学生对任意角三角函数的掌握和运用。
通过练习题的训练，提高学生的运算能力和解题能力。
四、教学评估和拓展1.教学评估：利用教学设计中的示例和练习题，对学生进行实时的个别评估，了解学生对任意角和弧度制的理解和掌握情况。
通过课堂讨论和解题过程的引导，发现和纠正学生的错误，提高学生对知识的准确掌握。
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高中数学必修四教学方案：《任意角和弧度制》高中数学必修四教学方案：《任意角和弧度制》数学起源于人类早期的生产活动，古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识，并能应用实际问题。
从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明，但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献。
下面跟着一起来看看吧。
教学准备
教学目标
1、知识与技能
（1）推广角的概念、引入大于角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；（4）掌握所有与角终边相同的角（包括角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.
2、过程与方法
通过创设情境：转体，逆（顺）时针旋转，角有大于角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.
3、情态与价值
通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示
方法，学会运用运动变化的观点认识事物.
教学重难点
重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
难点: 终边相同的角的表示.
教学工具
投影仪等.
教学过程
【创设情境】
思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的?假如你的手表快了1.25 小时，你应当如何将它校准?当时间校准以后，分针转了多少度?
[取出一个钟表，实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上，这就是说角已不仅仅局限于之间，这正是我们这节课要研究的主要内容任意角.
【探究新知】
1.初中时，我们已学习了角的概念，它是如何定义的呢?
[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1.1-1，一条射线由原来的位置，绕着它的端点o按逆时针方向旋转到终止位置OB，就形成角a.旋转开始时的射线叫做角的始边，OB叫终边，射线的端点o叫做叫a的顶点.
2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：转体（即转体2周），转体（即转体3周）等，都是遇到大于的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中大于的角
或按不同方向旋转而成的角的例子，这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?
[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角，这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角（positive angle），按顺时针方向旋转所形成的角叫负角（negativeangle）.如果一条射线没有做任何旋转，我们称它形成了一个零角（zero angle）.
8.学习小结
（1）你知道角是如何推广的吗?
（2）象限角是如何定义的呢?
（3）你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直线上的角的集合.
五、评价设计
1.作业：习题1.1 A组第1，2，3题.
2.多举出一些日常生活中的大于的角和负角的例子，熟练掌握他们的表示，
进一步理解具有相同终边的角的特点.
课后小结
（1）你知道角是如何推广的吗?
（2）象限角是如何定义的呢?
（3）你熟练掌握具有相同终边角的表示了吗?会写终边落在x轴、y轴、直线上的角的集合.
课后习题
作业：
1、习题1.1 A组第1，2，3题.
2.多举出一些日常生活中的大于的角和负角的例子，熟练掌握他们的表示，
进一步理解具有相同终边的角的特点.
板书
略高中数学必修4《任意角和弧度制》教案【二】教学准备
教学目标
一、知识与技能
（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.（6）使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.
二、过程与方法
创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.
三、情态与价值
通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反
过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备
教学重难点
重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.
教学工具
投影仪等
教学过程
一、创设情境，引入新课
师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.
在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生，另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.
二、讲解新课
1.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.
弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本，自行解决上述问题.
2.弧度制的定义
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）.
（师生共同活动）探究:如图，半径为的圆的圆心与原点重合，角的终边与轴的正半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点.请完成表格.
我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.
四、课堂小结
度数与弧度数的换算也可借助计算器《中学数学用表》进行；在具体运算时，弧度二字和单位符号rad可以省略如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
五、作业布置
作业：习题1.1 A组第7，8，9题.
课后小结
度数与弧度数的换算也可借助计算器《中学数学用表》进行；在具体运算时，弧度二字和单位符号rad可以省略如：3表示3rad sinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合
与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
课后习题
作业：习题1.1 A组第7，8，9题.
板书。