全国卷高考复习平面向量(知识总结+题型)

第一部分 平面向量的概念及线性运算

1.向量的有关概念

名称 定义

备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向

量的长度(或称模)

平面向量是自由向量

零向量 长度为零的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a

|a |

平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向

量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较

大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算

定 义 法则(或几何意义) 运算律

加法

求两个向量和的运算

(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a .

(2)结合律： (a ＋b )＋c ＝

a ＋(

b ＋

c )

减法

求a 与b 的相反向量

－b 的和的 运算叫做

a 与

b 的差

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a

的积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |；

(2)当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0

λ(μa )＝λμa ；

(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；

λ(a ＋b )＝λa ＋λb

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa .

【基础练习】

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)零向量与任意向量平行.( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( )

(3)向量AB →与向量CD →

是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上.( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立.( ) (5)在△ABC 中，D 是BC 中点，则AD →＝12

(AC →＋AB →

).( )

2.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB →与BA →

相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①

B.③

C.①③

D.①②

3.(2017·枣庄模拟)设D 为△ABC 所在平面内一点，AD →＝－13AB →＋43AC →，若BC →＝λDC →

(λ∈R )，

则λ＝( ) A.2

B.3

C.－2

D.－3

4.(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.

5.(必修4P92A12改编)已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →

＝______，BC →

＝________(用a ，b 表示).

6.(2017·嘉兴七校联考)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC ，若DE

→＝λ1AB →＋λ2AC →

(λ1，λ2为实数)，则λ1＝________，λ2＝________. 考点一 平面向量的概念

【例1】 下列命题中，不正确的是________(填序号). ①若|a |＝|b |，则a ＝b ；

②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC →

”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件；

③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c .

【训练1】 下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

解析 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a 与b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小. 答案 ③

考点二 平面向量的线性运算

【例2】 (2017·潍坊模拟)在△ABC 中，P ，Q 分别是AB ，BC 的三等分点，且AP ＝1

3AB ，BQ ＝

13

BC .若AB →＝a ，AC →＝b ，则PQ →

＝( ) A.13a ＋1

3b B.－13a ＋13b

C.13a －1

3

b

D.－13a －13

b

【训练2】 (1)如图，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个靠近B 点的三等分点，那么EF →

等于( ) A.12AB →－13AD → B.14AB →＋12AD →

C.13AB →＋12

DA →

D.12AB →－23

AD → 考点三 共线向量定理及其应用 【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.

(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →

＝3(a －b ).求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线.

【训练3】已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →

＝－3a ＋3b ，则( ) A.A ，B ，C 三点共线 B.A ，B ，D 三点共线 C.A ，C ，D 三点共线

D.B ，C ，D 三点共线

第二部分 平面向量基本定理与坐标表示

1.平面向量的基本定理

如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解. 3.平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则