导数的概念课件
合集下载
导数的概念ppt课件
解: y x x x,
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
y x x x
x
x
y' y x
1
x x
x x x x
1 ,当x 0时的值。 x 2x
例3 某质点沿直线运动,运动规律是s=5t2+6,求: (1)t=2的瞬时速度； (2) 求该质点的速度； (3)求该质点的加速度.
作业2：航天飞机发射后的一段时间内，第t秒 末 的高度h(t)＝30t2＋45t，其中h的单位是m， t的单位是s．
v在t0的瞬时速度
f (t0 t) t
f (t0 )
当t 0时
以平均加速度代替瞬时加速度，然后通过
取极限，从瞬时加速度的近似值过渡到瞬时加速
度的精确值。 其实函数在某一点处的瞬时变化 率---------导数。
导数的概念
一.导数的概念
函数 y f ( x)在区间（a, b)有定义， x0 （a, b)
(4) f(x) ＝ 1 ； x
并把A
叫做函数 y f (x)在点 x0处的导数 , 记为y x x0
y xx0 f ' ) ,当x 0
x
x
由定义求导数（三步法）
步骤:
(2) 算比值 y f ( x0 x) f ( x0 ) ;
(3) 求y
x x0
xy .在x x
x
0时
例1.求y=x2+2在点x=1处的导数
解： y [(1 x)2 2] (12 2) 2x (x)2
y 2x (x)2
2 x
x
x
y 2 x,当x 0时 x
y' |x1 2
变题.求y=x2+2在点x=a处的导数
例2.若f (x) (x 1)2 , 求f (2)和( f (2))
高等数学导数的概念教学ppt课件.ppt
h0
h
h0 h 0.
即 (C ) 0.
9
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例5 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解：(sin x) lim sin( x h) sin x
h0
h
h
lim cos( x
h0
h) sin 2 2h
cos
x.
2 即 (sin x) cos x.
定理2.1.2 凡可导函数都是连续函数.
证 设函数 f ( x)在点 x0可导, 即
lim y x0 x
f ( x0 )
有
lim y
x0
lim
x0
y x
x
f
(
x0
)
lim
x0
x
0
函数 f ( x)在点 x0连续 .
注意: 该定理的逆定理不成立.
15
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
例10 讨论函数 f ( x) x 在x 0处的可导性.
1.左导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
2.右导数:
f( x0 )
lim
x x0
f ( x) f ( x0 ) lim
x x0
x0
f ( x0 x) x
f ( x0 ) ;
定理2.1.1
函数 f ( x)在点x0 处可导 左导数 f( x0 ) 和右 导数 f( x0 )都存在且相等.
解: f (0 h) f (0) h ,
高等数学(第二版)上册课件：导数概念
右极限都存在且相等，因此有：
定理2.2 函数 f (x) 在点 x0 处可导
左导数 f(x0 )和右
导数 f(x0 ) 都存在且相等 .
例 2.1.4 讨论函数 f (x) x 在 x 0 处的可导性 .
解
lim f (0 h) f (0) lim h 1
h0
h
h h0
lim f (0 h) f (0) lim h 1
y x3 的切线方程.
解
设切点为 x0 , y0 曲线 y x3 在点 x0 , y0
处的切线斜率为 k1, 直线的斜率为 k2 则：
| k1
y
x x0
3x02 ,
k2
1 27
而 k1. k2 1, 得 x0 3 则切点为 3, 27 或 3, 27
切线方程为
27x y 54 0 或 27x y 54 0
从高速到低速，最后速度减为0 . 这个过程每一时刻的汽车
的速度都不相同，如何求某时刻 t0汽车的瞬时速度呢？
设汽车所经过的路程s是时间t的函数：s s t ，
任取接近于 t0 的时刻 t0 t ，则汽车在这段
时间内所经过的路程为
s s(t0 t) s(t0 )
而汽车在这段时间内的平均速度为
当自变量 x 在 x 0 处取得增量 x （点 x0 x 仍在该
邻域内），相应地函数取得增量 y f ( x0 x) f ( x0 )
.
如果 y 与 x 之比当 x 0 时的极限存在，
则称函数 y f ( x) 在点 x 0 处可导，并称这个极限值
即
f
(x0 )
lim
x0
f
解 当 x 由1变到 1 x 时，函数相应的增量为
导数的概念课件
03
通过求解能量和功率函数的导数，可以得到物体的能量守恒关
系。
05
导数的实际应用案例 分析
导数在经济学中的应用案例分析
边际分析和最优化问题
导数可以用来分析经济函数的边际变化，帮助决策者找到经 济活动的最优解。例如，在生产函数中，通过求导可以找到 生产要素的最佳组合。
弹性分析
复合函数的导数
复合函数的导数是内外函数导数的乘积
$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \times g'(x)$
举例
$(sin(x^2))' = cos(x^2) \times 2x$
03
导数在几何中的应用
导数在曲线切线中的应用
切线的斜率
导数可以用来表示曲线在某一点 的切线斜率，斜率越大，曲线在
THANKS
感谢观看
该点的变化率越大。
切线的方向
导数还可以用来确定曲线在某一 点的切线方向，即函数值增加或
减少最快的方向。
极值点与拐点
导数的符号可以用来判断函数在 某一点的极值点与拐点，当一阶 导数大于0时，函数在该点单调 递增；当一阶导数小于0时，函
数在该点单调递减。
导数在曲线长度中的应用
曲线长度的计算
通过利用导数求出曲线的斜率， 可以计算出曲线的长度，即曲线 与x轴围成的面积。
导数可以用来计算需求的弹性，即需求量对价格变动的敏感 程度。这可以帮助企业了解产品价格的变动对市场需求的影 响，从而制定更合理的定价策略。
导数在物理学中的应用案例分析
速度和加速度
在物理学中，导数被用来表示物体的 速度和加速度。例如，一个物体的位 移对时间的导数就是它的速度，速度 对时间的导数就是它的加速度。
导数的概念 课件
刻t0的速度．Δt越小， v 就越接近于时刻t0的速度，当Δt→0
时，这个平均速度的极限v＝ lim Δt→0
ΔS Δt
＝
lim
Δt→0
St0＋Δt－St0 Δt
就
是物体在时刻t0的速度即为________．
2．导数的概念．
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx
无限趋近0时，比值
Δx→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
＝
lim
Δx→0
Δy Δx
.我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的
导数．记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ lim Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
Δy Δx
＝
lim
Δx→0
3．对导数概念的理解 (1)“导数”是从现实生活中大量类似问题里，撇开一些 量的具体意义，单纯地抓住它们数量上的共性而提取出来的 一个概念，所以我们应很自然的理解这个概念的提出与其实 际意义． (2)某点导数即为函数在这点的变化率．某点导数概念包 含着两层含义：
∴y′＝ lim
Δx→0
1 x＋Δx＋
＝1 x2
x.
∴y′|x＝1＝12.
题型三 导数的应用 例3 某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，求 自运动开始到4s时，物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度． 分析 解答本题，可先求自运动开始到ts时的平均速度v(t) 及函数值的增量Δs，自变量的增量Δt，再利用公式求解即可．
解
自运动开始到ts时，物体运动的平均速度
－v
(t)＝
st t
＝3t＋2＋
4 t
，故前4秒物体的平均速度为
导数的概念课件人教新课标
就无限趋近于t=2时的瞬时速度。
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
所以：运动员在t=2时的瞬时速度是-13.1m/s 为了表述方便，我们用：
lim h(2 t) h(2) 13.1
t 0
t
表示：“当t=2， △t趋近于0时，平均速 v
度趋近于确定值-13.1”
瞬时速度
那么,运动员在某一时刻t0的瞬时速度?
lim h(t0 t) h(t0 )
x0 x x0
同理可得 f '(6)=5
f (2) 3 说明在第2h附近，原油温度 大约以3 ℃/h的速度降落；
f '(6)=5
说明在第6h附近，原油温度 大约以5 ℃/h的速度上升；
t0
t
函数f (x)在x x0处的瞬时变化率怎样表 示？
导数的概念： 一般地，函数y = f (x) 在x = x0 处的瞬时变 化率是
我们称它为函数y = f (x)在x=x0 处的导数， 记作
即：
y |xx0
注意：
y |xx0
表示函数y关于自变量x在x0处 的导数。
定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数, 记作
时刻的瞬时速度。
那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
比如，t=2时的瞬时速度是多少？
我们先考察t=2附近的情况：
在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+△t，
△t是时间改变量，可以是正值， 也可以是负值，但不为0。
当△t<0时， 2+△t 在2之前； 当△t>0 时， 2+△t 在2之后。
计算区间[2+△t ，2]和区间[2，2 +△t ] 内的平均速度 v ，可以得到如下表格：
第三章 导数及其应用 3.1.2 导数的概念
导数的概念-课件-导数的概念
导数在现代数学中的地位和作用
基本概念
导数是现代数学的基本概念之一，是研究函数性质和解决实际问题的 重要工具。
数学分析
导数是数学分析的重要分支，是研究函数的可微性、可导性和连续性 的基础。
应用领域
导数的应用领域非常广泛，不仅限于数学和物理领域，还涉及到工程 学、经济学和计算机科学等多个领域。
数学建模
导数的应用发展
物理学
工程学
导数在物理学的各个分支中都有广泛的应 用，如力学、电磁学、热学等。
在机械工程、航空航天工程、土木工程等 领域，导数被用于优化设计、控制工程和 流体力学等方面。
经济学
计算机科学
导数在经济学中被用于研究经济系统的变 化率和最优决策问题。
在计算机图形学、数值分析和机器学习等 领域，导数被用于计算图像处理、数据拟 合和模型训练等方面。
高阶导数在研究函数的极值、拐 点、曲线的形状等方面有重要应 用。
微分学基本定理
微分学基本定理的内容
微分学基本定理是导数与微分之间的关系，即函数在某点的导数 等于该函数在该点的切线的斜率。
微分学基本定理的推导
通过极限的概念和性质，利用切线斜率的定义推导出微分学基本定 理。
微分学基本定理的应用
微分学基本定理是微分学的基础，在研究函数的增减性、极值、曲 线的形状等方面有重要应用。
复合函数求导法则
若$y = f(u)$和$u = g(x)$都可导， 则复合函数$y = f[g(x)]$的导数为 $(y)' = u' cdot (u)' = u' cdot v'$。
隐函数的导数
由显函数表示的隐函数求 导
若由显函数$F(x, y) = 0$表示的隐函数为$y = f(x)$，则通过求偏导数$frac{partial F}{partial x}$和$frac{partial F}{partial y}$ ，可以得到隐函数$y = f(x)$的导数。
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
高等数学导数的概念ppt课件.ppt
x0 处的右 (左) 导数, 记作
y
y x
o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2. 函数 是
在点 可导的充分必要条件 且
简写为 f (x0) 存在
f(x0 )
定理3. 函数 在点 处右 (左) 导数存在
在点 必 右 (左) 连续.
若函数
在开区间
内可导, 且
都存在 , 则称
在闭区间
上可导.
显然:
f
(0)
lim
x 0
sin x
x
0
0
1
ax 0
f
(0)
lim
x 0
x0
a
故 a 1 时
此时
在
都存在,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P49 5 , 7, 9
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题
1. 设
存在, 且
求
解: 因为
1 f (1 (x)) f (1)
lim
2 x0
(x)
在闭区间 [a , b] 上可导
与 f(b)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
练习：讨论下列函数在x=0时候的连 续性与可导性.
练习：习题2.1题8
f
x
xk
sin
1 x
,
x0
0, x 0.
若函数在x 0连续，则
lim f x lim xk sin 1 f 0 0,
x0
x0
x
必须满足 lim xk 0， k 0即可. x0
反例:
在 x = 0 处连续 , 但不可导. o
x
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5.1.2导数的概念及其意义课件(第一课时)
导数(瞬时变化率)为负，体现了下降的变化趋势. f (6) 5 表示在第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率为 5℃/h， 这说明在第 6 h 附近，原油温度大约以 5℃/h的速率上升.
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
1
lim (
)
x0 1 x
1.
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
fa =
lim
Δx →0
f a + Δx -
Δx
fa
=
lim
Δx →0
1a + Δx
Δx
1 a
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlim
Δx →
0
-
a
a
1 + Δx
x
x
x
所以 f (2) lim y lim (x 3) 3.
x x0
x0
同理可得 f (6) lim (x 5) 5. x 0
追问：f (2) 3 和 f (6) 5 在这个实际问题中的意义是什么？ 导数值的正负分别代表什么？
f (2) 3 表示在第 2 h 时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3℃/h的速率下降.
=
-
1 a2
归纳提升
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤:
(1)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
(2)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
导数(瞬时变化率)为正，体现了上升的变化趋势.
1
lim (
)
x0 1 x
1.
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
追问：对于f ( x) 1 ,你能求f a a R且a 0吗？
x
fa =
lim
Δx →0
f a + Δx -
Δx
fa
=
lim
Δx →0
1a + Δx
Δx
1 a
=
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱlim
Δx →
0
-
a
a
1 + Δx
x
x
x
所以 f (2) lim y lim (x 3) 3.
x x0
x0
同理可得 f (6) lim (x 5) 5. x 0
追问：f (2) 3 和 f (6) 5 在这个实际问题中的意义是什么？ 导数值的正负分别代表什么？
f (2) 3 表示在第 2 h 时，原油温度的瞬时变化率为－3℃/h. 这 说明在第 2 h 附近，原油温度大约以 3℃/h的速率下降.
=
-
1 a2
归纳提升
求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤:
(1)求平均变化率 y f (x 0 x) f (x0 ) ;
x
x
(2)取极限，得导数f
(
x0
)
lim
x0
y x
.
例3.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为
导数的概念 课件
A．物体5 s内共走过42 m B．物体每5 s钟运动42 m C．物体开始运动到第5 s运动的平均速度是42 m/s D．物体以t＝5 s时的瞬时速度运动的话，每经过一秒， 物体运动的路程为42 m
由导数的定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格 按以下三个步骤进行：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
解析：
f′(1)＝ lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝
lim
Δx→0
1＋ΔΔxx2－1＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
同理可得f′(3)＝6.
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移
为Δs，那么 lim Δt→0
Δs Δt
为(
B
)
A．从时间t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．时间为t时该物体的瞬时速度
变化率与导数 导数的概念
基础梳理
1. 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义：
一般地，lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
，我们称它为函数y＝
f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即y′|x＝x0＝f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
C．当时间为Δt 时该物体的速度
D．从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
2.Biblioteka 设函数f(x)在x0处可导，则
lim
Δx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝(
C
)
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f(－x0)
3．一物体运动满足方程s＝4t2＋2t－3且s′(5)＝42(m/s)， 其实际意义是( D )
由导数的定义求导数，是求导数的基本方法，必须严格 按以下三个步骤进行：
(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
解析：
f′(1)＝ lim Δx→0
f1＋ΔΔxx－f1＝
lim
Δx→0
1＋ΔΔxx2－1＝Δlixm→0
(2＋Δx)＝2.
同理可得f′(3)＝6.
1．一直线运动的物体，从时间t到t＋Δt时，物体的位移
为Δs，那么 lim Δt→0
Δs Δt
为(
B
)
A．从时间t到t＋Δt时，物体的平均速度
B．时间为t时该物体的瞬时速度
变化率与导数 导数的概念
基础梳理
1. 函数f(x)在x＝x0处的瞬时变化率定义：
一般地，lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
，我们称它为函数y＝
f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，
即y′|x＝x0＝f′(x0)＝Δlixm→0
fx0＋Δx－fx0 Δx
C．当时间为Δt 时该物体的速度
D．从时间t到t＋Δt时位移的平均变化率
2.Biblioteka 设函数f(x)在x0处可导，则
lim
Δx→0
fx0－Δx－fx0 Δx
＝(
C
)
A．f′(x0)
B．f′(－x0)
C．－f′(x0)
D．－f(－x0)
3．一物体运动满足方程s＝4t2＋2t－3且s′(5)＝42(m/s)， 其实际意义是( D )
高数课件-导数的概念
率
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
导数的四则运算规则
加法规则：导数相加等于导数之和
乘法规则：导数相乘等于导数之积
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
减法规则：导数相减等于导数之差
除法规则：导数相除等于导数之商
复合函数的导数计算
复合函数的定 义：由两个或 多个函数组成
的函数
复合函数的导 数计算方法：
链式法则
链式法则：将 复合函数分解 为多个简单函 数，分别计算 导数，然后将
导数的性质定理
导数的定义：导数是函数在某一点的切线斜率 导数的性质：导数是连续的，可导函数在定义域内处处可导 导数的公式：导数的基本公式包括导数的四则运算、复合函数求导公式、隐函数求导公式等 导数的应用：导数在微积分、函数极限、函数极值、函数凹凸性等方面有广泛应用
感谢观看
汇报人：
导数的定理与公式
导数的定义：导数是函数在某一点 的切线斜率
导数的基本定理
导数的公式：导数公式包括基本导 数公式、复合函数导数公式、隐函 数导数公式等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
导数的性质：导数是函数在某一点 的极限值
导数的应用：导数在微积分、函数 分析、=lim(h>0)(f(x+h)-f(x))/h
导数的推导公式
导数的定义：函数在某一点的导数是该函数在该
01
点附近曲线的切线斜率 导数的基本公式：f'(x)=lim(h->0) [f(x+h)-
02
f(x)]/h 导数的四则运算法则：f'(x)=f(x)+g'(x)，
03
f'(x)=f(x)-g'(x)，f'(x)=f(x)*g'(x)，f'(x)=f(x)/g'(x) 04 导数的复合函数公式：f'(g(x))=f'(g(x))*g'(x)
《导数的概念及应用》课件
以判断函数的单调性。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
极值与导数的关系
总结词
导数的零点通常是函数的极值点，但需 满足一定的条件。在极值点处，导数的 符号发生变化。
VS
详细描述
如果一个函数在某一点的导数为零，且在 这一点的一阶导数存在，那么这个点可能 是函数的极值点。为了确定这一点是否为 极值点，需要检查该点两侧的导数符号是 否发生变化。如果导数的符号在这一点从 正变为负或从负变为正，则该点为极值点 。
曲线的凹凸性与导数的关系
总结词
二阶导数可以判断曲线的凹凸性。二阶导数 大于零的区间内，曲线是凹的；二阶导数小 于零的区间内，曲线是凸的。
详细描述
二阶导数描述了函数值随自变量变化的加速 度。当二阶导数大于零时，表示函数在该区 间内单调递增；当二阶导数小于零时，表示 函数在该区间内单调递减。因此，通过分析 二阶导数的正负，可以判断曲线的凹凸性。
详细描述
在流体动力学中，导数可以用来描述流体速度和压强的变化规律，以及流体流动的稳定性分析。在结构分析中， 导数可以用来计算结构的应力和应变，评估结构的强度和稳定性。在控制理论中，导数可以用来分析系统的动态 响应和稳定性，优化系统的性能和稳定性。
THANKS
感谢观看
极值的概念
函数在某点的极值表示该点附近函数值的大小变化情 况，极值可以是极大值或极小值。
导数与极值的关系
函数在极值点的导数等于零，通过求导可以找到极值 点。
极值问题的求解方法
利用导数等于零的条件，结合函数单调性判断，确定 极值点并计算出极值。
曲线的长度计算
曲线长度的概念
01
曲线长度表示曲线本身的长度，是几何学中的一个基本概念。
导数的几何意义
总结词
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线斜率。
导数概念课件
02
导数的性质
函数单调性与导数的关系
总结词
函数单调性与导数正负有关
详细描述
如果函数在某区间的导数大于0，则函数在此区间单调递增；如果导数小于0， 则函数在此区间单调递减。
极值与导数的关系
总结词
极值点导数为0或不存在
详细描述
函数在极值点处的导数为0或不存在，即一阶导数为0或不可导点。
曲线的切线与导数的关系
导数概念ppt课件
• 导数的基本概念 • 导数的性质 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的历史与发展
01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是描述函数在某一点附近的变化 率的重要工具 斜率，它描述了函数在该点附近的局 部变化趋势。通过求导，可以找到函 数值随自变量变化的速率和方向。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，它 反映了函数图像在该点的切线状 态。
详细描述
在几何上，导数表示函数图像在 某一点的切线斜率。这个切线与x 轴的夹角即为该点的导数值，表 示函数在该点附近的变化趋势。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义在于描述物理量随时间或空间的变化率。
详细描述
在物理学中，许多物理量都可以表示为函数形式，如速度、加速度、密度等。导 数可以帮助我们理解这些物理量如何随时间或空间变化，从而揭示物理现象的本 质。例如，速度是位移函数的导数，加速度是速度函数的导数等。
对于两个函数的乘积，其导数 为第一个函数的导数乘以第二 个函数加上第一个函数乘以第 二个函数的导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导，则 $(uv)' = u'v + uv'$。
对于两个函数的商，其导数为 被除函数的导数除以除函数的 导数。即，若 $u(x)$ 和 $v(x)$ 可导且 $v(x) neq 0$， 则 $frac{u'}{v'} = frac{u'v}{uv'}$。
3.1 导数的概念 课件 (共21张PPT)《高等数学》(高教版).ppt
(2)若极限 点 处的右导数，记作
,即：
存在，则称其为函数 在
定理1 函数
在点 处可导的充分必要条件是
在点 处的左导数和右导数都存在且相等，即
．
例1 讨论函数
在 处的连续性和可导性．
解:因为
又
，所以函数
在 处的连续.
由于
，所以函数
在 处不可导．
例2 讨论函数
解:因为 连续.
又因为 处不可导．
在 处的连续性和可导性．
在点
分析:设函数
在点 处可导，则
故函数
在点 处一定连续．
随堂练习
1、设 解:
，判断 在点 函数
处的连续性与可导性. 在 处连续.
函数 在 处不可导.
2、若函数
处处可导，求 的值.
解: 函数 在 处可导，则在
处处可导.由于函数
可导必连续.得
再根据函数在 处可导，
则左右导数存在且相等.
故
时，
函数 在点
或 ，即
函数
在点 处的导数就是导函数 在点 处的函数值
，即
注：若函数
在区间
在区间 上不可导.
内有一点处不可导，则称函数
由导数的定义可知，求函数
个步骤：
(1)求增量
；
(2)算比值
；
(3)取极限
例1 求函数
的导数．
解：
常量函数的导数为
的导数可分为以下三 ．
例6 求函数 解：
的导数．
例7 求函数 解：
,所以函数
在 处的
，所以函数
在
从图形上看，曲线 线．这也说明函数 原点外，处处可导.因 连续.
在原点O处具有垂直于 轴的切
高教社2024高等数学第五版教学课件-2.1 导数的概念
第二章 导数与微分
第一节 导数的概念
一、变化率问题的两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度问题
对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且速度 =
路程
，即 = . 对于变速直
时间
线运动，物体在不同时刻的速度不全相同. 设物体从某一时刻开始到时刻，所走过的路程为，
则是的函数，即 = ().从时刻0 到时刻0 + ，物体运动的路程为 = (0 + ) − (0 )，
例1
解
用定义求函数 = 2 在 = 1, = 2处的导数.
当由1变化到1 + 时，函数相应的改变量
= (1 + )2 − 12 = 2 ⋅ + ()2 ，
→0
从而 ′ (1) =
= 2 +
= (2 + ) = 2
解
设函数() = ( > 0, ≠ 1)，求 ′ ().
① 计算函数的改变量
= ( + ) − () = ( + ) − =
y
② 计算比值
x
log
1+
1
= 1 +
y
1
1
1 +
→0
y f (x)
由 第 二 个 实 例 可 知 ， 函 数 = () 在
= 0 处的导数就是它所表示的曲线在
y
点 (0 , 0 ) 处 的 切 线 的 斜 率 ， 即
∆
(0 , 0 )
第一节 导数的概念
一、变化率问题的两个实例
1．变速直线运动的瞬时速度问题
对于匀速直线运动，物体在任何时刻的速度都相同，且速度 =
路程
，即 = . 对于变速直
时间
线运动，物体在不同时刻的速度不全相同. 设物体从某一时刻开始到时刻，所走过的路程为，
则是的函数，即 = ().从时刻0 到时刻0 + ，物体运动的路程为 = (0 + ) − (0 )，
例1
解
用定义求函数 = 2 在 = 1, = 2处的导数.
当由1变化到1 + 时，函数相应的改变量
= (1 + )2 − 12 = 2 ⋅ + ()2 ，
→0
从而 ′ (1) =
= 2 +
= (2 + ) = 2
解
设函数() = ( > 0, ≠ 1)，求 ′ ().
① 计算函数的改变量
= ( + ) − () = ( + ) − =
y
② 计算比值
x
log
1+
1
= 1 +
y
1
1
1 +
→0
y f (x)
由 第 二 个 实 例 可 知 ， 函 数 = () 在
= 0 处的导数就是它所表示的曲线在
y
点 (0 , 0 ) 处 的 切 线 的 斜 率 ， 即
∆
(0 , 0 )
(-人教A版)导数的概念课件-(共28张)
[随堂训练]
1．已知函数 y＝f(x)＝x2－1，则当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2.1)－f(2)＝(2.12－1)－(22－1)＝4.41－4＝0.41.
答案：B
2．若函数 f(x)＝2x2 的图象上有点 P(1,2)及邻近点 Q(1＋Δx,2＋Δy)，则 liΔmx→0 ΔΔxy等
(3)h′(1)＝liΔmt→0 ΔΔht ＝liΔmt→0 h1＋ΔΔtt－h1＝liΔmt→0[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120，即 第 1 s 末高度的瞬时变化率为 120 m/s. 它说明在第 1 s 末附近，航天飞机的高度大约以 120 m/s 的速度增加．
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心， 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人， 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们， 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了决定的时候， 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志， 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。公共的利益，人 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。意志 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即使遇到了不幸的 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从，不论程度如何， 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
5.1.2导数的概念及几何意义课件(人教版)
4
巩固练习．求函数 y＝x－x在 x＝2 处的导数．
解： (导数定义法)：
4
4
Δy＝(2＋Δx)－
－2－2
2＋Δx
2Δx
＝Δx＋
，
2＋Δx
2Δx
Δx＋
2＋Δx
Δy
2
＝
＝1＋
，
Δx
Δx
2＋Δx
2
Δy
∴lim
＝lim 1＋2＋Δx＝2，
Δx→0 Δx
Δx→0
从而 y′|x＝2＝2.
y
y
量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我们把比值
，即 x ＝
x
f（x 0＋Δx）－f（x 0）
______________________叫做函数y＝f(x)从x
0到x0＋Δx的平均变
Δx
化率．
2．函数在x＝x0处的导数
y
y
如果当Δx→0时，平均变化率 x 无限趋近于一个确定的值，即 x 有
曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至
可以有无穷多个．与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的
切线．
例 1.
已知函数 f(x)＝2x2＋4x，则 f′(3)＝________.
解析：
(1)Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)
＝12Δx＋2(Δx)2＋4Δx
1
＝3liΔxm→0
Δx
1
＝3li m [3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，
Δx→0
y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在P(3,9)处的切线的斜率等于9.
导数的概念课件
导数的物理性质
速度与加速度
在物理中，导数可以表示速度和加速度。例如，物体运动的瞬时速度是位移函数 的导数；物体运动的瞬时加速度是速度函数的导数。
斜率与加速度
在工程学中，斜率可以表示物体的加速度。例如，在电路中，电流的变化率可以 表示为电压函数的导数；在机械系统中，速度的变化率可以表示为力函数的导数 。
利用导数研究函数的曲率
总结词
描述函数曲线的弯曲程度
详细描述
导数的二阶导数可以用来描述函数的曲率。二阶导数越大， 表示函数曲线在该点越弯曲；二阶导数越小，表示函数曲线 在该点越平坦。通过计算二阶导数，可以了解函数曲线的弯 曲程度。
04
导数在实际生活中的应用
导数在经济学中的应用
总结词
导数在经济学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解经济现象的变化率和优化经济决 策。
链式法则
商的导数公式
若$u(x)$和$v(x)$在某点可导，且 $v(x) neq 0$，则$frac{u'(x)}{v'(x)}$ 存在。
若$u(x)$在某点可导，$f$是常数，则 复合函数$f(u(x))$在同一点也可导， 且$(f circ u)' = f' times u'$。
导数的几何性质
导数在数学分析、函数研究、优化问题、经济学等领域中 有着广泛的应用，是解决许多问题的重要工具。
导数的发展趋势与未来展望
发展趋势
随着科学技术的发展，导数在各个领域的应 用越来越广泛，如物理学、工程学、经济学 等。同时，对导数本身的研究也在不断深入 ，如对高阶导数、复合导数、变分法等的研 究。
未来展望
导数的起源与早期发展
起源
导数起源于17世纪，最初是为了解决 物理学和几何学中的问题，如速度和 切线斜率等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x) x
f
(x0 )
导数的概念
瞬时变化率与导数是同一个概念的两个名称.
2021/3/11
导数的概念
15
2021/3/11
导数的概念
16
深化概念 理解内涵
8
f (x0 ), f (x0 ), y |xx0 ，这三个符号分别是什 么意思？
9 计算课本第6页的例1.
将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行 冷却和加热.如果在第x h时，原油的温度（单位：℃）为
实际生活 中，如何测 量物体运动 的瞬时速度 呢？
物理中 测量瞬时速 度所用到的 工作原理是 什么？
这里测 得的，真的 是瞬时速度 吗？
如何使 得平均速度 更接近瞬时 速度呢？
1
2
3
4
5
2021/3/11
导数的概念
8
“二分法”逼近函数零点
无限逼近思想
平均速度逼近瞬时速度
2021/3/11
导数的概念
y f (x) x2 7x 15 (0 x 8). 计算第 2 h 和第 6 h 时，原油温度的瞬时变化率.
2021/3/11
导数的概念
17
2021/3/11
导数的概念
18
课堂总结
10 为什么要研究平均变化率和导数？ 11 导数形成的过程是什么？你从中学到了什么方法？ 12 求导数的步骤是什么？
学生熟悉的知识
2021/3/11
瞬时变化率 平均变化率 瞬时速度
平均速度
导数的概念
导数的概念
平均速度无限逼近
3
教学目标
2021/3/11
1
会从数值逼近、几何直观感知、解析式抽象这三个角度认识导数的涵 义，应用导数定义求简单函数在某点处的导数，掌握求导数的基本步 骤.
2
经历从平均变化率到瞬时变化率的过渡，感知“无限逼近”的思想， 在实验观察、归纳抽象的过程中建构导数概念，在解释应用与拓展的 过程中领悟数学发现的完整过程.
22
2021/3/11
导数的概念
19
2021/3/11
导数的概念
20
f (x0 )
lim
x0
f
(x0
Δx) x
f
(x0 )
导数的概念
具体问题
瞬时速度 无限逼近 平均速度
抽象
数学问题
2021/3/11
瞬时变化率
平均变化率
无限逼近
导数
导数的概念
21
THANKS !
谢谢聆听
2021/3/11
导数的概念
导数的概念
2021/3/11
导数的概念
1
教学内容分析
导数与函数
导数与微积分
导数以更一般 的方法简化了许多 与函数相关的问题， 比如单调性、不等 式的证明等.
导数为微积分 的发展提供了方法 和工具，从而使得 它在其他学科领域 也有了广泛的应用.
2021/3/11
导数的概念
2
教学内容分析
已完成的学习内容
2021/3/11
导数的概念
5
教学方法
2021/3/11
教师问题引导 学生自主探究
学生自主归纳
导数的概念
6
教学过程
自主探究 形成概念
梳理知识 课堂小结
2
4
1
3
5
回顾复习 实例研究
概括提升 理解内涵
布置作业 课后反思
2021/3/11
导数的概念
7
回顾复习 实例探究
计算高台 跳水运动员 在0 t 69 的 平均速度45.
瞬时变化率是一个唯一确定的值.
2021/3/11
导数的概念
14
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率
lim f (x0 Δx) f (x0 ) .
x0
x
称为函数 y = f (x) 在 x = x0 处的导数
记作 f ( x0 ) 或 y |xx0
即f
(
x0
)
lim
x0
f
( x0
3
经历数学发现过程、感受数学研究方法，提升数学学习兴趣和信念.
导数的概念
4
教学重点、难点
重点
会从数值逼近、在充分经历导数概念的建立 过程中，体会逼近的数学思想，理解导数的 思想及其内涵.
难点
引导学生根据生活中具体的实例，结合已有 的知识经验，通过“逼近”的方法，由特殊 到一般，用类比的方法抽象出导数的概念.
9
2021/3/11
导数的概念
10
提出问题 自主探究
y f (x)
s
y
t
x
平均速度
平均变化率
2021/3/11
导数的概念
11
6 实验活动1
计算（1）f (x) x，（2）f (x) x2，（3）f (x) x 这三个
函数从0到1的平均变化率.
y f (x2 ) f (x1) 1
x
x2 x1
பைடு நூலகம்C2
C1
y
C3
2021/3/11
O1
导数的概念
x
12
7 实验活动2
已知函数 f (x) x2，计算 f (x) 在下列区间上的平均 变化率.
2021/3/11
导数的概念
13
lim f (1 x) f (1) 2
x0
x
当x 1, x逼近0时， 平均变化率逼近一个确 定的值 2.