千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第99炼归纳推理与类比推理

第99炼 归纳推理与类比推理

一、基础知识： （一）归纳推理：

1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理

2、处理归纳推理的常见思路：

（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律

（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）

（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型：

（1）函数的迭代：设f 是D D →的函数，对任意x D ∈，记

()()()()()()()()()()()

()0121,,,

n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +⎡⎤====⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则称函数

(

)

()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其()()n f x 通常具备某些特征

（特征与n ）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到()

()n f

x 的通式

（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。

（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列。例如：34a 表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 （二）类比推理：

1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）

2、常见的类比类型及处理方法：

（1）运算的类比：通常是运算级数相对应： ① 加法↔乘法，

② 数乘（系数与项的乘法）↔指数幂 ③ 减法↔除法

（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：

代数中的平方差公式：()()2

2

a b a b a b -=+-，和差完全平方公式：

()

2

222a b a ab b ±=±+ 均可推广到向量数量积中：()()

22

a b a b a b -=+-，

(

)

2

2

2

2a b

a a

b b ±=±⋅+

②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）

（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设{}n a 为等差数列，公差为d ；{}n b 为等比数列，公比为q ，则 ① 递推公式：1

1n n n n

b a a d q b ++-=↔

= ② 通项公式：()1

111n n n a a n d b b q

-=+-↔=⋅

③ 双项性质：m n p q m n p q m n p q a a a a m n p q b b b b +=+⇔+=+↔+=+⇔= ④ 等间隔取项，在数列{}n a ，{}n b 中等间隔的取项： 则12,,

,m k k k a a a 成等差数列12,,,

m k k k b b b ↔ 成等比数列

（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如：

①位置关系：平面中的线的关系↔空间中的面的关系，线所成的角↔线面角或二面角，

②度量：线段长度↔图形的面积，图形面积↔几何体体积，点到线的距离↔点到平面距离

③衍生图形：内切圆↔内切球，外接圆↔外接球，面对角线↔体对角线

（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标(),x y ↔空间直角坐标系坐标

(),,x y z ，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如：

① 线段中点坐标公式：

平面：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 中点1212,22x x y y M ++⎛⎫

⎪⎝⎭

空间：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,2

22x x y y z z M +++⎛⎫

⎪⎝⎭

② 两点间距离公式：

平面：设()()1122,,,A x y B x y ，则()

()2

2

1212AB x x y y =

-+-

空间：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则()()()2

22

121212AB x x y y z z =-+-+-

3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题：

例1：已知()x x f x e =

，定义()()()()()()'''

1211,,,n n f x f x f x f x f x f x +===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，

经计算()()()123123,,,,x x x

x x x

f x f x f x e e e

---=== 照此规律，则()20151f =（ ） A. 2015- B. 2015 C. 2014e D. 2014

e

-

思路：由定义可知：()n f x 即为()1n f x -的导函数，通过所给例子的结果可以推断出

()()

1n

n x x n f x e -=-，从而()20152015x

x f x e -=，所以()20152014

1f e

= 答案：C

例2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ）