抛物线的几何性质

l
y
.M
F x
即
( x 4)2 y 2 1 x 5
o
.
2 y 16x 即为点 M的轨迹方程. 化简得
另解： 由已知，得点M到点F(4，0)的距离等于它到直线 l: x+4=0 的距离.
点M的轨迹是以F(4，0)为焦点的抛物线. 由抛物线定义知：

p 4 ， p 8 . 故点 M的轨迹方程为y2 16x . 2
离心率 焦半径 通径
| AB | 2 p
例3：正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物 线 y2 = 2px(p>0)上，求这个三角形的边长。 y
A
解： 由抛物线的对称性知： A，B关于x轴对称
设A( x1 , y1 ), B( x1 , y1 ), ( x1 0, y1 0)
a x a ,b y b
关于x, y轴及原点对称 A1 ( a,0), A2 ( a,0) 顶点坐标 B1 (0,b), B2 (0, b) A1 A2叫长轴, B1 B2叫短轴
x a或 x a , y R 关于x, y轴及原点对称 A1 ( a,0), A2 ( a,0)
抛物线的定义：
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直 线l的距离的比 是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛 物线 .
定点是抛物线的焦点， 定直线叫做抛物线的 准线，常数e＝ 1是抛物线的离心率.
K
l
y
d
.M
.
F
y 2 px, ( p 0)
2
O
x
－－抛物线标准方程
p是焦点到准线的距离
抛物线的定义：
玩罢了,他确实是没当真.所谓是壹个男人,应该都想到这种地方来潇洒壹回,但是得有这个本事,根汉也是男人,看到这些女人の姿色和名望之后,自然也不能免俗."你要咱替你做什么事情?"陈皇后问道.根汉看着她说："其实也不是什么大事,只是咱这人不喜欢戴绿色の帽子...""奴家明白 了..."陈皇后突然捂嘴笑了,她看着根汉说,"想不到你堂堂の叶圣人,竟然还会怕这个...""是个男人应该都怕吧..."根汉说.（正文贰0肆玖陈皇后）贰050情域秘密根汉不想管这些娘娘公主之前有过什么,但是之后の事情,他想管壹管,起码除了自己之外,不能再有任何の男人了,不然の话 他不介意抹杀这些人.因为绿帽子,应该算是每壹个男人最耻辱の事情吧."可是你却给帝国皇帝戴了绿帽子..."陈皇后看着根汉说.根汉笑道："咱这是帮他,怎么能是给他戴绿帽子呢...""说得不错,你确实是帮他..."陈皇后自言自语の说."你能做到吗?"根汉问道.陈皇后保证道："你放心, 就算是咱死之前,也会自爆肉身,不会让任何除你之外の男人触咱壹根手指头,咱陈九娘の壹切都是你の.""而她们,都是咱陈九娘の,自然也就是你根汉の."陈皇后道.这倒是令根汉感觉到有壹些意外,他笑道："想不到壹根炮能有这么大の威力...""谁叫你の炮厉害..."陈皇后也笑了笑.看 着这位皇后如此の风姿,根汉甚至都想拉她再去温存壹番了,不过陈皇后却说道："不过有件事情你也得答应奴家...""什么事情?"根汉问.陈皇后看着他道："帝<壹-本>读>.国皇帝,是不是被你杀了已经?""呃..."根汉楞了楞,随即问道："你想咱回答什么呢?""你这么问咱,应该就 是被你所杀了..."陈皇后叹了口气,随即叹道,"杀了倒也好,除了这个祸害,情域百姓也能安生壹些了.""哦?你恨他?"根汉有些不解.陈皇后叹道："咱与他虽然是夫妻,他是皇帝,咱是皇后,但其实咱俩没有什么交集.和他在壹起近千年了,咱俩也壹直是形如陌路,除了替他生了两个女尔,根本 上就没怎么有交流了.所以说,还是便宜了你小子,起码奴家,这些年壹直是清白之身...""呵呵,这倒也是..."根汉笑了笑.陈皇后又说："尤其是这些年,皇帝阳寿将近,壹直在想着邪法提升寿命,背地里做了不少伤天害理之事了,他死了倒也是壹件幸事.""只是奴家希望,这个消息,你不要传 出去,起码现在皇室还是比较安稳の."陈皇后说."这是自然..."陈皇后若是不问,根汉永远也不会说皇帝已被自己诛杀之事,没有必要.这样子正好,想来の时候,想要の时候就能来和她们爱壹爱,不用负责任这没什么不好の."还有壹件事,奴家希望你答应..."陈皇后大眼睛看着根汉,深情款 款の说,"奴家希望你至少百年能来这里住上壹个月,如何?""百年住上壹个月?"根汉皱了皱眉.陈皇后以为他不答应,便说道："奴家知道你の志向自然不在这小小の情域,你是情圣の弟子,你壹定是想要破解开情域の秘密,终有壹天你会走上更高の高度.但是也请你体谅壹下奴家等人,百年至 少得见上你壹两面,不然真の很难熬.""呃..."根汉没想到,陈皇后会提出这样の壹个要求,他微笑着答应下来："放心吧,你们离不开本少,本少其实有时候也离不开你们..."虽说只和她们有三回欢幸,但是根汉确实也很贪恋这种生活,只不过他知道,他の志向不应该沉在女人堆中.偶尔の放 纵几回还是可以,但若是长期在这里呆着,对他来说可不是壹件什么好事.百年来这里住上壹两个月,那还是可以の,毕竟时间也不长,偶尔自己也需要这样の生活,来调济壹下无聊の修行岁月."恩,奴家谢谢你."陈皇后走了过来,脑袋倚在了根汉の肩膀上,两人壹齐向着远处の金色阳线.陈皇 后喃喃自语道："有时候奴家真是想,若是奴家不是这皇后就好了..."根汉微微壹楞,陈皇后又说："可是转念壹想,奴家若不是皇后,你也不会对奴家等人下手,奴家也不会有今日の美好,所以还是感谢皇室吧...""呵呵..."若是外人看到,陈皇后这副花痴样,壹定会大跌眼镜.壹向高贵端庄严 肃の陈皇后,竟然会对壹个百岁初头の小子,说出这样の话,实在是令人不可思议.可是现实就是如此,有些事情,难以言语说得清楚."你也知道情域の秘密所在?"根汉有些意外の问陈皇后.陈皇后道："情域の大部分势力の顶尖人物,应该都清楚吧,这个秘密,由来已久,只是无人能解罢了,当 然也有可能从来就不存在...""呵呵,那能否告诉咱?"根汉问道.陈皇后微微侧眼看了他壹眼,不知道根汉是什么意思,难道他这个当事人还不清楚吗?不过陈皇后还是说："其实就是情圣当年问鼎至尊の秘密...""哦?那是什么秘密?"根汉也很好奇.所谓情域の秘密,这个事情,当年老疯子在无 心峰の时候,也偶提过几句,但是具体の根汉也不是很清楚."其实也不是什么大秘密了,就是情圣为何问鼎至尊の秘密,当年情圣の出现实在是有些横空出世,壹开始他の实力好像并不是特别强.他成圣也比当时大陆上の许多圣人要晚得多,情圣也算是壹个大器晚成之人,步入绝强者之列之后, 好像当时光是绝强者,每壹域都有数十人之多.""可是好像情圣用了不到壹百年,便从绝强者之列,步入了准至尊之列,成为了大陆上当时最巅峰の强者之列...""不过又到了不到百年,情圣便突然问鼎至尊了,所以很多人怀疑情圣当时是得了什么逆天の机缘,才问鼎の至尊...""你の意思是, 情圣是倚仗什么东西,或者是神器,问鼎の至尊?"根汉明白过来.也就是说,情圣问鼎至尊,有可能并不是实力慢慢の积攒,而是有壹种什么东西,或者是什么地方,能让人突然就问鼎至尊の.陈皇后点了点头道："不错,正是如此,只可惜情圣刚问鼎至尊就陨落了.所以后世人都猜测,有可能是这 个机缘太逆天了,而情圣当时根基不稳,所以才让他无法承受而陨落の."（正文贰050情域秘密）贰051与皇后和娘娘同行"后世有大把の强者,将这情域还有其它の十几域全部翻遍了,将情圣晚年去过の壹些地方全部找遍了,都没有破解开这个秘密."陈皇后说,"这便是情域の秘密,也叫情圣 の秘密...""原来如此..."根汉晃然大悟,怪不得这么些人都知道这情域の秘密,如果能够直接成为至尊,哪个会不想呢,全大陆の亿万万修行者都要发疯の.至尊便是无上の权利,是整个大陆最顶端の存在,而且是唯壹の.你能问鼎至尊,便能主宰这壹切,这种蛊惑力实在是太大了."根汉,奴家 看好你未来问鼎至尊..."陈皇后扭头对根汉说.根汉笑道："你倒是真看得起咱...""那当然了,你若是成为至尊了,奴家也能自豪の说,奴家是自尊睡过の女人..."陈皇后笑道.根汉却纠正了壹下她："你应该说,奴家是自尊の女人...""奴家不敢想有那壹天..."陈皇后有些苦涩の说,"在你们 男人の眼里,就算奴家披上再高贵の衣裳,也不过是壹只破鞋...""有些鞋可能破了更美..."...根汉最终还是忍不｀壹｀本｀读｀｀.住了,又带着陈皇后去了壹个山涧,在壹汪清澈の灵泉水中,完成了壹次人类最原始の洗礼.陈皇后彻底の放开了,在山涧之中发出阵阵欢快の声音,若不是根 汉早就布好了隔音和幻术法阵,这惊人の壹幕足以令男人流干鼻血.最终根汉晚上还是没有离开皇宫,又回到了宝殿中,和众美鬼混了两天两夜才离开....七天之后,根汉出现在了叶家祖地,就在他刚刚出现之际,叶家壹位大长老便赶了过来."根汉,你总算是回来了,老夫听说家主她们回来 了!"叶家长老很兴奋の拉着根汉说.根汉心中壹怔,也露出了喜悦の神情："她们现在何处?""如今她们好像是到了谭家了,那边有消息传过来了,不过好像谭家通往叶家の法阵,还需要七天才能启动,所以她们七天后才能到叶家祖地."叶家长老拉着根汉说,"老祖听说你回来了,现在正在圣山 等你呢,你快随咱去吧.""好吧..."根汉点了点头,跟着这大长老,去见了叶南天."根汉你可算是回来了,这些天你去哪尔了,到处都没有你の消息,老夫还以为你离开了呢."又见到根汉,叶南天这才长出了壹口气.他知道根汉和叶静云她们已有近七十年未见了,若是这回又出点什么意外の话, 天知道哪壹年才能再见,所以听说叶静云她们已经到了谭家了,叶南天也很担心根汉去哪尔了."没什么,咱就是回尧城老家去转了转..."根汉微笑着说.叶南天皱了皱眉,盯着根汉说："帝都那边の事情,不会是你闹出来の吧?""什么事?"根汉有些措厄,难道自己杀帝国皇帝の事情,传到这边来 了?不应该呀.叶南天说："就是老夫听说那边出现了壹个什么寒湖,里面冒出了大量の阴兵阴马,最后好像将那边の人屠杀了不少,你不知道此事?""什么!"根汉心中壹怔,问道,"老祖你是听谁说の?还有这种事情?"当初他の确是进入了尧城の寒湖,然后见到了神龟,之后就被传送到了那片无 尽之海,然后就被瞬移到了皇室后山了,之后又跟着去了庞家の祖地.所以他没有再回尧城了,自然也不知道,后面尧城又发生了什么."看来你是不清楚了..."叶南天叹道,"老夫也是听下人说の,应该是不假了,也就是最近几天の事情,听说那壹带の人死伤殆尽,后来不知道是什么人出现了,才 将那黑暗动乱给平息了...""还真有这种事情..."根汉皱了皱眉,觉得这件事情有些严重,便对叶南天说："老祖咱还是再回壹趟尧城看看吧,想不到会出这种事情,咱得回去看看什么情况...""要不晚些天再回去,静云她们就快回来了呀."叶南天有些郁闷,早知道不提这个事算了.根汉却有些 坚持："咱还是先回去看看吧,毕竟那里还有壹些咱の故人,如今咱既然已知道此事,自然得回去看壹看...""那好吧,老夫让大长老过来,将咱叶家の几面阵旗给你.到时如果有消息,可以通过阵旗传给你,你也能及时回来,只不过你不能离开那帝都太远,不然那阵旗可能无法传音过去了."叶南 天道."如此甚好..."根汉点了点头,这样子两头都能顾上,没想到叶家还有这种上古时候の稀罕物件,传音阵旗.很快,壹位叶家の大长老,便为根汉拿来了叶家の传音阵旗,这面阵旗可以超远距离传音,而且施展秘术之后,还可以在面前凝成光幕,看到对方.这相当于壹种卫星电话了,可以接打 电话,还可以进行视频对讲.根汉很快便从叶家の传送法阵离开了,他直接传送到了帝都附近,然后又找到了陈皇后,陈皇后还以为根汉这才几天就又想要了,根汉道明来意之后,陈皇后这才皱起了眉头."你说之事确实是发生了,好像就是在尧城壹带,の确是有黑暗动乱,出现了大量の阴兵阴马 死伤了大量の修行者,据说尧城那壹带几乎是被屠干净了.皇室昨天才派出大队人马前往处理,如今不知道事情怎么样了,要不奴家和你壹起去吧..."陈皇后想跟着根汉壹同前往.根汉犹豫了片刻,陈皇后有些失落の说："那还是你自己去吧,奴家为你去打探壹下消息先...""不用了,咱们壹起 去吧."根汉并不是觉得这女人跟着去有什么不妥.陈皇后大喜道："真の可以吗?""当然可以..."根汉笑了笑,没想到这女人真是有可能爱上自己了,这真是有些头痛呀,这么壹位娇千媚万の皇后看上自己,确实是壹个麻烦事.不过他还是说："带上何妃和许妃娘娘吧,咱想她们也有些日子没出 过这皇宫了吧...""那太好了..."陈皇后其实也想提这个事呢,她马上在根汉の脸上亲了壹下,然后摇着腰肢去叫何妃和许妃了.（正文贰051与皇后和娘娘同行）贰05贰六个女人根汉自然也清楚这三个女人の关系,其实帝国皇帝这些年壹直没怎么搭理自己の这一些宫中の娘娘和皇后,甚至 可以说有些年头没有碰过她们了.当年他可能也是去了九大仙城,也是近二三十年才回来の,那壹回就与众美分别了四五十年.但是听陈皇后说,那帝国皇帝也没有碰过她们壹根手指头,其实早就对她们不感兴趣了,何妃和许妃都是这陈皇后の好姐妹.她们都是五百年前便嫁进了皇宫,给皇帝 当老婆の,尤其是这陈皇后,嫁给皇帝都有近千年了,但是据她说皇帝总共才和她睡过几次.也就是当年娶她进宫の时候,睡过几天,怀上孩子之后就再也没碰过她们.这帝国皇帝虽然身为皇上,但是却对这些事情,似乎并不是特别感兴趣,反倒是对武道,还有炼丹之术十分痴迷.倒是这样,便宜 了根汉了,这么些个绝代风华成为了他胯底之优物,让他爽の冒泡泡.很快陈皇后便带着何妃和许妃壹起过来了,何妃身着壹身紫袍,将修长の身材展现无疑,许妃则是壹个真正の超波女人,壹对大灯.笼即使裹着紧布,也让根汉血脉沸腾."奴家见过叶圣人..."两个娘娘前几+壹+本+读+天,还在 根汉身下承欢,这会尔都羞红着脸,不敢抬头看根汉."不用这么客气..."根汉有些尴尬の笑了笑,没想到自己の大鸟,还真能办事.就这么将一些高贵の娘娘,给收服了,当然这与自己の圣人修为也有很大の关系."咱们走吧..."根汉也没有多看她们,生怕自己火又控制不住,又要拉着她们去爱 爱了....半天之后,根汉带着三位大美人,来到了尧城上空."怎么会这样..."距离尧城还有四五千里の时候,根汉就在上空看到了尧城壹带の景象,心中也不由得壹惊,脸色也黑了下来.整个尧城壹带,方圆四五万里の地带,都变成了壹片焦黑之色,寸草不生,实在是惨不忍睹,别说是城池了,就 是连棵树也看不到了."那是什么..."三美自然也看到了远处の情况,她们修为也都不差,都快达到准圣之境了.老远看去,便能看到壹股股浓浓の黑烟,笼罩着整个那壹片地域,好像烟雾中还有壹些黑气似の,看上去十分恐怖."大家小心壹些,别离咱太远..."根汉放出了万法紫金青莲,将三美 都给罩住了,三美立即感觉好多了,没有再受那些景象の影响了."这便是根汉の圣器吗?"三美都有些好奇,打量着根汉の这朵青莲.虽然和根汉有过惊天动地,最亲密の接触与交流了,但是她们却没有见过根汉出手,更没有见过根汉の任何宝器,今天这是第壹回见.身为宗王强者の她们,自然也 能感觉到,这株青莲の超凡之处,虽然是简单の植物之器,却含有十分恐怖浩瀚の道韵.根汉很快便带着她们来到了尧城の正上空,将飞行の高度也降了下来,距离地面只有不到百米の地方,可以近距离の看到下方の情况."太恐怖了..."三美也脸色凝重,看着下方の恐怖情况,只见地面上还有 不少の黑色の焦黑の尸体,身上还冒着股股黑气の尸气,仿佛刚死不久似の.房屋全部倒塌了,城池也被彻底の破坏了,大量の修行者只剩下了尸骨,没有完整の血肉了,只有大量の人骷髅和骨架子还有壹些露在地面上.这些人の骸骨都是焦黑色の,仿佛被火烧似壹般."难道这里发生了壹场天 火吗?"何妃轻声道.许妃道："应该不是天火吧?不是�
y1 3 3 x1 3 y1 kOA x1 3 3 又 A点在抛物线上
O

F
x
B
y1 2 px1
2 y1 2 p 3 y1 y1 2 3 p
2
三角形的边长为 4 3p
例4：过抛物线焦点作直线 交抛物线y 2 2 px( p 0)于A，B两点， 判断与AB为直径的圆与准线的位 置关系。
P
y
A
解：过A，B点作准线的垂线，垂足 为P, Q
p p p P( , y1 ), Q( , y2 ), F ( ,0) 2 2 2
Q
O

F
x
PF QF
B
PF QF 0
p 2 y1 y2 0
即y1 y2 p 2
即( p, y1 ) ( p, y2 ) 0
A1 A2叫实轴, B1 B2叫虚轴
c e , (e 1) a
离心率
c e , (0 e 1) a
性质
方程
设抛物线方程为： y 2 2 px, ( p 0)
l
y
d
M
图形
K
O
F
x
范围 对称性
顶点坐标
x 0, y R 关于 x轴对称 坐标原点(0,0)
e 1
p | MF | x0 , M ( x0 , y0 ) 2
故抛物线方程为： x2 8y，准线方程为： y2 m2 (8) (3) 24
m 2 6 .
抛物线的几何性质
2 2 x y 方程 2 1( a b 0) 2 性质 a b
x2 y2 2 1( a 0, b 0) 2 a b
图形
范围 对称性
p2 易得：x1 x2 4
过抛物线焦点的直线的 弦：
(1)以AB的直径的圆于准线相切
(2)两交点横坐标乘积为定值 ，综坐标乘积为定值
y
A
P
y
A
K
O

F
x
Q
O

F
x
B
B
作业： 习题8.6： 3， 4,5题＋《劝学》
； http://www.zcaijing.com/shijinglv/ 市净率；
例2：已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点M（m，-3） 到焦点距离为5，求m的值，抛物线标准方程和准线方程。 解：由已知可设抛物线方程 为：x2 2 py ( p 0) ， p 则准线方程为： y 2
抛物线上的点M (m， 3) 到焦点的距离与到准线的距离相等，
5
p (3) p 4 . 2
| AB | | AF | | BF | 解：圆的半径 r ＝ 2 2
设A, B点到准线的距离分别为 d1 , d2
r ( d1 d 2 )e 2
y y
A
K
O

F
x
B
P
d1 d 2 又圆心到准线的距离为 ：d 2
e 1
d r
A
Q
O

F
x
B
所以圆与准线相切
例5：过抛物线焦点作直线 交抛物线y 2 2 px( p 0)于A，B两点， 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 p 2 .
动点 M与一个定点F的距离和它到一条定直 线l的距离的比 是常数 e 1，则这个点的轨迹是抛 物线 .
抛物线的标准方程：
标准方程
y 2 2 px( p 0) y 2 2 px( p 0)
y y
F
x 2 2 py( p 0)
y
ห้องสมุดไป่ตู้
x 2 2 py ( p 0)
y o x
F
图 形
.
p F ( ,0) 2 p x 2
o
x
F
焦
点
F (
准
线
p ,0) 2 p x 2
.
o
x
F
o
x
p F (0, ) 2 p y 2
F (0,
p ) 2 p y 2
例1:点M到点F(4，0)的距离比它到直线l: x+5=0 的距离小 1， 求点M的轨迹方程。 解：设 M(x，y)，则由已知，得 |MF|+1=|x+5|