抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

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抛物线焦点弦的性质及应用

抛物线焦点弦的性质及应用抛物线是一种具有特殊性质的二次曲线，它的焦点弦性质是指过焦点parabola. 抛物线上任意一点的切线与从焦点引出的该点的法线的交点，这些交点都在焦点所在的直线上。

抛物线焦点弦的性质和应用如下：1. 焦点弦与顶点：抛物线的焦点弦通过抛物线的顶点，且与抛物线的对称轴垂直相交。

2. 焦点弦的长度：焦点弦的长度等于抛物线焦点到对称轴的距离的两倍。

3. 焦点弦的切线方程：焦点弦的切线方程可由抛物线的切线方程推导得到，即通过抛物线上一点（x1，y1）的切线方程为y = mx + (1 - m²) a/4，其中m为切线的斜率，a为焦点到对称轴的距离。

4. 焦点弦的法线方程：焦点弦的法线方程可由切线方程得到，即过抛物线上一点（x1，y1）的法线方程为y = -x/m + (x1/m + y1)。

5. 焦点弦的性质应用：抛物线焦点弦的性质在物理学、工程学和几何学等领域有广泛的应用。

在物理学中，抛物线焦点弦的性质可以用于描述光线的反射和聚焦。

例如，在反射望远镜中，抛物面用于反射并聚焦光线，使观察者能够看到远处的物体。

在工程学中，抛物线焦点弦的性质可以用于设计抛物面反射器、喇叭等产品。

抛物面反射器可以将声音或者电磁波线聚焦在焦点处，以达到提高功率传输效果的目的。

类似地，喇叭的设计也借鉴了抛物线焦点弦的性质，使声音能够更好地聚焦并扩散。

在几何学中，抛物线焦点弦的性质可以用于求解问题。

例如，已知抛物线上一点的坐标和抛物线焦点的坐标，可以通过焦点弦性质来求解该点在抛物线上的位置。

另外，抛物线焦点弦的性质还可以进一步推广到三维空间中的抛物面。

三维空间中的抛物面也具有焦点弦的性质，可以用于描述反射、聚焦和求解问题等。

综上所述，抛物线焦点弦是抛物线特有的性质之一，它的性质和应用在物理学、工程学和几何学等领域有重要的应用。

深入理解和应用这些性质可以帮助我们更好地解决各种问题，并且进一步推广到更高维度的几何形状中。

(完整版)抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-=+=p p x AF ；②焦半径αcos 12||2+=+=pp x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90︒)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB ＝αsin 22p .证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p2，| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为 A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF |cos θ， ∴| AF |＝| RF |1－cos θ＝p1－cos θ同理，| BF |＝| RF |1＋cos θ＝p1＋cos θ∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos θ＋p 1＋cos θ＝2psin 2θ.S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p2·(| y 1|＋| y 1 |)∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 |∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p 4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p 44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin θ.2.求证：①2124p x x =；②212y y p =-；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p .当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==，成立；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.代入抛物线方程： 2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.(122111212111111222x x p p pp AF BF AA BB x x x x +++=+=+=+++()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++. 3.求证：=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.先证明：∠AMB ＝Rt ∠【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |，∴| MN |＝| AN |＝| BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝py 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p 2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22). ∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)24＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0 ∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法五】由下面证得∠DFC ＝90 ，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4∴∠2＋∠3＝12×180︒＝90︒∴∠AMB ＝Rt ∠. 接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝α，同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝β，而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180︒ ∴2(α＋β)＝180︒，即α＋β＝90︒，故∠DFC ＝90︒ 【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)由前知k AM ＝py 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p 2＝－y 2p ＝p y 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90︒.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90︒.【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝| RF || RC |，且∠DRF ＝∠FRC ＝90︒ ∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFR ＋∠RFC ＝90︒ ∴∠DFC ＝90︒4. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)图6与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p)，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0，故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切，同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)'x＝(2px )'x ，得2y ·y 'x＝2p ，y 'x ＝py，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝y 'x | y ＝y 1＝p y 1. 又k AM ＝py 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线.5. C ’A 、C ’B 分别是∠A ’AB 和∠B ’BA 的平分线. 【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA . 【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角α是直线AM 的倾斜角β的2倍即可，即α＝2β. 且M (－p 2，y 1＋y 22)图9∵tan α＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 222p －y 212p＝2py 1＋y 2. tan β＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p 2＝y 1－y 22·y 212p ＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝py 1. ∴tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝2py 11－(p y 1)2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2py 1＋y 2＝tan α ∴α＝2β，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .6. AC ’、A ’F 、y 轴三线共点，BC ’、B ’F 、y 轴三线共点【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2，易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ，故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点.∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形.图107. A 、O 、B ’三点共线，B 、O 、A ’三点共线. 【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1 y 212p＝2py 1，k OC ＝y 2 －p 2 ＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2p y 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法二】设AC 与x 轴交于点O '，∵AD ∥RF ∥BC∴| RO ' || AD |＝| CO ' || CA |＝| BF || AB |，| O 'F || AF |＝| CB || AB |，又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴| RO ' || AF |＝| O 'F || AF |∴| RO ' |＝| O 'F |，则O '与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O '，RF ∥BC ，| O 'F || CB |＝| AF || AB |，∴| O 'F |＝| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |＝1 1| AF |＋1| BF |＝p2【见⑵证】∴O '与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，∵－p 2·y 1－x 1 y 2＝－p 2·y 1－y 212p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p ＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：图118. 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，θ为直线AB 的倾斜角. 则cos θ＝m －nm ＋n ；【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t ∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos θ＝cos ∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 .则E 的坐标为( p2＋x 1 2，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝ p2＋x 1 2＝12| AF |故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |＝12| AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p 2，y 2)，D (－p 2，y 1)，M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p ，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q '，则Q ' ( －p 2＋y 21＋y 224p 2，y 1＋y 22)∵ －p 2＋y 21＋y 224p 2＝－2p 2＋y 21＋y 22 8p ＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 228p ＝ ⎝⎛⎭⎫y 1＋y 222 2p∴点Q ' 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.图16。

抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y 2＝2px （p ＞0）焦点F 的弦两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,倾斜角为α,中点为C(x 0,y 0), 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A ’、B ’、C ’. 1.求证：①焦半径αcos 12||1-=+=p p x AF ；②焦半径αcos 12||2+=+=pp x BF ; ③1| AF |＋1| BF |＝2p ； ④弦长| AB |＝x 1＋x 2＋p =α2sin 2p ；特别地，当x 1=x 2(α=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p ；⑤△AOB 的面积S △OAB＝αsin 22p . 证明：根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x 1＋p 2，| BF |＝| BC |＝x 2＋p2，| AB |＝| AF |＋| BF |＝x 1＋x 2＋p如图2，过A 、B 引x 轴的垂线AA 1、BB 1，垂足为A 1、B 1，那么| RF |＝| AD |－| FA 1 |＝| AF |－| AF|cos，∴| AF |＝| RF |1－cos ＝p1－cos同理，| BF |＝| RF |1＋cos ＝p1＋cos∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝p 1－cos ＋p 1＋cos ＝2psin2 .S △OAB ＝S △OAF ＋S △OBF ＝12| OF || y 1 |＋12| OF || y 1 |＝12·p2·(| y 1 |＋| y 1 |)CDB (x 2，y 2) R A (x 1，y 1)xy O θA 1B 1 F 图2∵y 1y 2＝－p 2，则y 1、y 2异号，因此，| y 1 |＋| y 1 |＝| y 1－y 2 | ∴S △OAB ＝p 4| y 1－y 2 |＝p4(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝p44m 2p 2＋4p 2＝p 221＋m 2＝p 22sin.2.求证：①2124p x x =；②212y y p =-；③ 1| AF |＋1| BF |＝2p .当AB ⊥x 轴时，有 AF BF p ==，成立；当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：2p y k x ⎛⎫=-⎪⎝⎭.代入抛物线方程： 2222p k x px ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.化简得：()()222222014p k x p k x k -++=∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴1224k x x ⋅=.()12111212121111112224x x p p pAF BF AA BB x x x x x x +++=+=+=+++++ ()()121222121222424x x p x x p p p p p p x x p x x ++++===+++++. 3.求证：=∠=∠'''FB A B AC Rt ∠.先证明：∠AMB ＝Rt ∠DRA (x 1，y 1)xyOF N M xy C'CB'A'BO FK A【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图3，则△ADM ≌△ECM ，∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD | ∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD | ＝| BF |＋| AF |＝| AB |∴△ABE 为等腰三角形，又M 是AE 的中点， ∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠ 【证法二】取AB 的中点N ，连结MN ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |，∴| MN |＝| AN |＝|BN |∴△ABM 为直角三角形，AB 为斜边，故∠AMB ＝Rt ∠.【证法三】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p 2，y 1＋y 22).∴k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p2＝y 1－y 22·y 212p＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝p y 1，同理k BM ＝py 2 ∴k AM ·k BM ＝p y 1·p y 2＝p 2y 1y 2＝p 2－p 2＝－1∴BM ⊥AE ，即∠AMB ＝Rt ∠.【证法四】由已知得C (－p 2，y 2)、D (－p 2，y 1)，由此得M (－p2，y 1＋y 22).∴MA →＝(x 1＋p 2，y 1－y 22)，MB →＝(x 3＋p 2，y 2－y 12)∴MA →·MB →＝(x 1＋p 2)(x 2＋p 2)＋(y 1－y 2)(y 2－y 1)4＝x 1x 2＋p 2(x 1＋x 2)＋p 24－(y 1－y 2)24＝p 24＋p 2(y 212p ＋y 222p )＋p 24－y 21＋y 22－2y 1y 24＝p 22＋y 1y 22＝p 22＋－p 22＝0 ∴MA →⊥MB →，故∠AMB ＝Rt ∠. 【证法五】由下面证得∠DFC ＝90，连结FM ，则FM ＝DM .又AD ＝AF ，故△ADM ≌△AFM ，如图4 ∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4 ∴∠2＋∠3＝12×180＝90∴∠AMB ＝Rt ∠. 接着证明：∠DFC ＝Rt ∠【证法一】如图5，由于| AD |＝| AF |，AD ∥RF ，故可设∠AFD ＝∠ADF ＝∠DFR ＝，同理，设∠BFC ＝∠BCF ＝∠CFR ＝，而∠AFD ＋∠DFR ＋∠BFC ＋∠CFR ＝180∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠DFC ＝90【证法二】取CD 的中点M ，即M (－p 2，y 1＋y 22)图5CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xyOF ( p 2，0)CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy O FM G H D 1由前知k AM ＝p y 1，k CF ＝－y 2＋p 2＋p2＝－y 2p＝p y 1∴k AM ＝k CF ，AM ∥CF ，同理，BM ∥DF ∴∠DFC ＝∠AMB ＝90.【证法三】∵DF →＝(p ，－y 1)，CF →＝(p ，－y 2)，∴DF →·CF →＝p 2＋y 1y 2＝0 ∴DF →⊥CF →，故∠DFC ＝90.【证法四】由于| RF |2＝p 2＝－y 1y 2＝| DR |·| RC |，即| DR || RF |＝| RF || RC |，且∠DRF ＝∠FRC ＝90∴ △DRF ∽△FRC∴∠DFR ＝∠RCF ，而∠RCF ＋∠RFC ＝90∴∠DFR ＋∠RFC ＝90∴∠DFC ＝904. C ’A 、C ’B 是抛物线的切线【证法一】∵k AM ＝p y 1，AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)与抛物线方程y 2＝2px 联立消去x 得y －y 1＝p y 1(y 22p －y 212p)，整理得y 2－2y 1y ＋y 21＝0 可见△＝(2y 1)2－4y 21＝0，故直线AM 与抛物线y 2＝2px 相切，同理BM 也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y 2＝2px ，两边对x 求导，(y 2)x ＝(2px )x ，N 1N MxyOF图7M 1l CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy OFM 图8D 1得2y ·y x ＝2p ，y x ＝py，故抛物线y 2＝2px 在点A (x 1，y 1)处的切线的斜率为k 切＝yx| y ＝y 1＝p y 1.又k AM ＝py 1，∴k 切＝k AM ，即AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A (x 1，y 1)的切线方程为y 1y ＝p (x ＋x 1)，把M (－p 2，y 1＋y 22)代入左边＝y 1·y 1＋y 22＝y 21＋y 1y 22＝2px 1－p 22＝px 1－p 22，右边＝p (－p 2＋x 1)＝－p 22＋px 1，左边＝右边，可见，过点A 的切线经过点M ，即AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线.5. C ’A 、C ’B 分别是∠A ’AB 和∠B ’BA 的平分线.【证法一】延长AM 交BC 的延长线于E ，如图9，则△ADM ≌△ECM ，有AD ∥BC ，AB ＝BE ， ∴∠DAM ＝∠AEB ＝∠BAM ，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA . 【证法二】由图9可知只须证明直线AB 的倾斜角是直线AM 的倾斜角的2倍即可，即＝2. 且M (－p 2，y 1＋y 22)CDB (x 2，y 2) R A (x 1，y 1)xyO FNM图9∵tan ＝k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝y 2－y 1 y 222p －y 212p ＝2py 1＋y 2. tan ＝k AM ＝y 1－y 1＋y 22x 1＋p2＝y 1－y 22·y 212p＋p ＝p (y 1－y 2)y 21＋p 2＝p (y 1－－p 2y 1)y 21＋p 2＝py 1. ∴tan 2＝2tan1－tan 2＝2py 11－(p y 1)2＝2py 1y 22－p 2＝2py 1y 22＋y 1y 2＝2py 1＋y 2＝tan∴＝2，即AM 平分∠DAB ，同理BM 平分∠CBA .6. AC ’、A ’F 、y 轴三线共点，BC ’、B ’F 、y 轴三线共点【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G 1，由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF ，故AG 1也是DF 边上的中线， ∴G 1是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D 1，DF 与y 轴相交于点G 2，易知，| DD 1 |＝| OF |，DD 1∥OF ，故△DD 1G 2≌△FOG 2∴| DG 2 |＝| FG 2 |，则G 2也是DF 的中点. ∴G 1与G 2重合（设为点G ），则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.【证法二】AM 的直线方程为y －y 1＝p y 1(x －y 212p)，令x ＝0得AM 与y 轴交于点G 1(0，y 12)，又DF 的直线方程为y ＝－y 1p (x －p 2)，令x ＝0得DF 与y 轴交于点G 2(0，y 12)CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy O FM 图10G H D 1∴AM 、DF 与y 轴的相交同一点G (0，y 12)，则AM 、DF 、y 轴三线共点，同理BM 、CF 、y 轴也三线共点H ．由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形. 7. A 、O 、B ’三点共线，B 、O 、A ’三点共线.【证法一】如图11，k OA ＝y 1x 1＝y 1 y 212p＝2py 1，k OC ＝y 2 －p 2＝－2y 2p ＝－2py 2p 2＝－2py 2－y 1y 2＝2p y 1∴k OA ＝k OC ，则A 、O 、C 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线. 【证法二】设AC 与x 轴交于点O，∵AD ∥RF ∥BC∴| RO || AD |＝| CO || CA |＝| BF || AB |，| O F || AF |＝| CB || AB |，又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴| RO || AF |＝| O F || AF |∴| RO|＝| OF |，则O 与O 重合，即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法三】设AC 与x 轴交于点O，RF ∥BC ，| O F || CB |＝| AF || AB |，∴| O F |＝| CB |·| AF || AB |＝| BF |·| AF || AF |＋| BF |＝1 1| AF |＋1| BF |＝p2【见⑵证】∴O 与O 重合，则即C 、O 、A 三点共线，同理D 、O 、B 三点也共线.【证法四】∵OC →＝(－p 2，y 2)，OA →＝(x 1，y 1)，CDB (x 2，y 2)R A (x 1，y 1)xy OF 图11∵－p2·y 1－x 1 y 2＝－p2·y 1－y 212p y 2＝－py 12－y 1y 2y 12p ＝－py 12＋p 2y 12p＝0∴OC →∥OA →，且都以O 为端点∴A 、O 、C 三点共线，同理B 、O 、D 三点共线.【推广】过定点P (m ，0)的直线与抛物线y 2＝2px （p ＞0）相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线l ：x ＝－m 的垂线，垂足分别为M 、N ，则A 、O 、N 三点共线，B 、O 、M 三点也共线，如下图：OyNMBAPx Oy NM BAP x8. 若| AF |：| BF |＝m ：n ，点A 在第一象限，为直线AB 的倾斜角. 则cos＝m －n m ＋n；【证明】如图14，过A 、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D ，C ，过B 作BE ⊥AD于E ，设| AF |＝mt ，| AF |＝nt ，则| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD |－| BC |＝(m －n )t∴在Rt △ABE 中，cos ∠BAE ＝| AE || AB |＝ (m －n )t (m ＋n )t ＝m －nm ＋n∴cos＝cos ∠BAE ＝m －nm ＋n.【例6】设经过抛物线y 2＝2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ，且| AF |：| BF |＝3：1，则直线AB 的倾斜角的大小为 . 【答案】60或120.C DB R Axy OEF 图14l则E 的坐标为( p2＋x 12，y 12)，则点E 到y 轴的距离为d ＝ p2＋x 12＝12| AF |故以AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15，设M 是AB 的中点，作MN ⊥准线l 于N ，则| MN |＝12(| AD |＋| BC |)＝12(| AF |＋| BF |)＝12| AB |则圆心M 到l 的距离| MN |＝12| AB |，故以AB 为直径的圆与准线相切. 10. MN 交抛物线于点Q ，则Q 是MN 的中点.【证明】设A (y 212p ，y 1)，B (y 222p ，y 1)，则C (－p 2，y 2)，D (－p 2，y 1)，图16xy M'A'MOFAxy C'CB'A'BO FK Axy C'CB'A'BO FK A精品----精品 M (－p 2，y 1＋y 22)，N (y 21＋y 224p ，y 1＋y 22)，设MN 的中点为Q ，则Q ( －p 2＋y 21＋y 224p 2，y 1＋y 22)∵ －p 2＋y 21＋y 224p 2＝－2p 2＋y 21＋y 22 8p ＝ 2y 1y 2＋y 21＋y 22 8p ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1＋y 222 2p∴点Q 在抛物线y 2＝2px 上，即Q 是MN 的中点.。

抛物线焦点弦性质及推导过程

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一种二次曲线，具有许多重要的性质。

其中一个重要的性质是焦点弦性质。

接下来，我将介绍焦点弦性质的定义、推导过程以及将该性质应用于实际问题的例子。

1.焦点弦性质的定义：考虑一个抛物线和其焦点上的两个点A和B，连接AB，然后过抛物线上的其他点C，将CA和CB分别延长，与抛物线相交于D和E。

焦点弦性质指出，点D和E的中点M一定位于直线AB上。

2.推导过程：首先，我们需要了解抛物线的标准方程是什么。

假设抛物线的焦点位于原点上方，其焦半径为p。

那么，抛物线的标准方程为y² = 4px。

接下来，设焦点F的坐标为 (0, p)，则点A的坐标为 (a, 2ap)，点B的坐标为 (-a, 2ap)。

由于点C(x,y)位于抛物线上，我们可以将其坐标带入抛物线的方程中得到：y² = 4px(x,y)²=4p(x,y)x² + y² = 4px我们知道直线CA的方程为 y - 2ap = (x - a)(2ap - a)。

以此类推，直线CB的方程为 y - 2ap = (x + a)(2ap + a)。

将以上两个直线方程与抛物线方程联立，我们可以求出点D和点E的坐标。

设点D的坐标为(x₁,y₁)和点E的坐标为(x₂,y₂)。

即有：x₁² + y₁² = 4px₁x₂² + y₂² = 4px₂求解出x₁和x₂，我们可以得到点D和点E的坐标。

然后，我们将点D和点E的坐标带入直线AB的方程中：y - 2ap = (x - a)(2ap - a)y - 2ap = (x + a)(2ap + a)联立以上两个方程，我们可以求解出直线AB的方程。

最后，我们求出点M的坐标，并将其带入直线AB的方程中：y - 2ap = (x - a)(2ap - a)若点M的坐标满足该方程，则说明点M位于直线AB上，证明了焦点弦性质。

抛物线焦点弦的八大结论推导过程

抛物线焦点弦的八大结论推导过程抛物线焦点弦是一个重要研究课题，它可以帮助我们理解抛物线的切线、焦点、双曲线、点到弦距离等微积分概念。

抛物线焦点弦推导过程通常被认为是一个好方向，它具有很多有益的特点，例如微积分知识的运用。

该过程包括以下步骤：一、首先，要确定抛物线的方程，它可以是一元二次方程，也可以是一般的双曲线方程。

二、然后，求解出抛物线的焦点和弦长，可以利用不同的函数求解方法来求解，或者可以利用几何的推导原理。

三、然后，可以运用微积分来求解抛物线的切线，可以利用极限的方法来求解抛物线的切线，同时也可以利用微分形式来求解抛物线的切线。

四、然后，可以利用数学分析的方法，用一元二次型或者双曲线型去绘制抛物线的切线，来求解抛物线焦点弦。

五、接着可以利用微积分中的定义来计算抛物线焦点弦的弧长，可以利用定积分的方法来计算抛物线弦的长度。

六、然后，利用向量的知识来求解抛物线焦点弦的方向，即利用向量的几何性质，推导出抛物线焦点弦的方向。

七、最后，可以利用抛物线焦点弦的方向和弦长，来进一步检验焦点弦是否符合抛物线的法则。

八、完成全部推导后，可以得到抛物线焦点弦的八个结论：1）抛物线的焦点和弦长可以用一元二次方程或者双曲线函数来求解。

2）抛物线的切线可以通过极限的方法和微分来求解。

3）焦点弦的长度可以通过定积分的方法来求解。

4）焦点弦的方向可以通过向量的几何性质来求解。

5）焦点弦的长度与抛物线的焦点和切线总是垂直。

6）距离抛物线在不同点上的距离是固定的，与抛物线的焦点和弦长相关。

7）抛物线在每个焦点点处均有弦，其长度总是相等的。

8）抛物线的弦长和焦点会满足正弦和余弦函数方程的要求。

(完整版)抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点结论1：p x x AB ++=21p x x px p x BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证: (1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(p x y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得0cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-=由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot1pp y y AB =+=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小p p2sin 21sin 22≥∴≤θθ ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p p p AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P Py y x x p y x p y x ==∴== 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111AB BFAF BB AA MM =+=+=故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF FM ⋅=21（4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 111FB A ∆为直角三角形， M 1 是斜边A 1 B 1 的中点111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 AM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴ 又B AM︒=∠∴90FB A 11 所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AABFAF ==+=+=结论9：（1）、A O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p p y y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -=所以122222oB oA k p y y ppk =-=-=所以三点共线。

抛物线的焦点弦性质

法二：由题知AB不与x轴平行 p 设AB方程为x my ，（m R） 2 y 2 2 px p 2 p y 2 p (my ) 2 x my 2 y
即：y 2 pmy p 0
2 2
A
y1 y2 p （定值）
2
O
F B
1 当AB x轴时，
O B
F
x
20 AB斜率存在时设为k，（k 0）
2
y p 2 py 2 消元得y 2 （ p ）即y p2 0 k 2 k 2 2 2 y1 y1 p 2 y1 y2 - p ；x1 x2 2 p 2 p 4
p 则直线AB方程为y=k（x- ）代入抛物线方程y2 2 px 2
1 同理， k
以代k得B(2pk2, -2pk) .
1 2 x p ( k ) 0 k2 y p( 1 k ) 0 k
1 1 2 k 2 (k ) 2 k k
2
x0 y0 2 ( ) 2 p p
即 y02 = px0-2p2，
2 px y1 2 px1 y1 y2 2 px 2 px1 y y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 2 px 4 p 2 y1 2 px1 , y1 y2 4 p2 y y1 y2 y1 y2
2 p | y1 y2 | 4 p2
当且仅当|y1|=|y2|=2p时，等号成立.
例3. A、B是抛物线 y2 = 2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB， (5)求O在AB上的射影M轨迹方程. y (5)法一：设M(x3, y3), 则 kOM 3 x3 x

抛物线焦点弦性质2

2
y A F B x
联想 : 在同样的条件下，注意到 y1 y2 p 2 , 那么x1 x2 ________?
O 2 变题1 : 过抛物线y 2 px( p 0)焦点 F的直线，交抛物线于点A( x1 , y1 )、
p B( x2 , y2 ), 则有x1 x2 . 4
顶点
焦半径
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p x0 2
（0,0）
p y0 2
（0,0）
p y0 2
p ( y1 y2 )
焦点弦的长度
p x1 x2
p ( x1 x2 )
p y1 y2
二、抛物线的焦点弦：
如图所示，弦AB过抛物线y 2 px( p 0)的焦点F，
y12 2 px1 y1 y2 2 px1 2 px 2 px ∴ y ∴ y y1 y1 y2 y1 y2 y1 y2 y1 y2
2 px 4 p2 ∵ y12 2 px1 , y1 y2 4 p2 ∴ y y1 y2 y1 y2 2p ∴ y ( x 2 p) ∴ AB 过定点（2p,0）. y1 y2
p2 A、 4
B、 p 2
p2 C、－ 4
D、 p 2
思考题: 3、、B 是抛物线 y 2 2 px( p 0) 上的两点,满足 A OA OB ( O 为坐标原点). 求证:⑴ A 、B 两点的横坐标之积,纵坐标之积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
设 A（x1,y1），B（x2,y2），中点 P（x0,y0） y y ⑴ kOA 1 , kOB 2 ∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1∴ x1x2+y1y2=0 x1 x2

抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程

抛物线的焦点弦经典性质及其证明过程抛物线所示的是具有经典性质的几何图形，其定义为一个特别的二次函数：当其焦点在原点上时，抛物线形式为y = ax2；当其焦点在非原点处时，抛物线形式为 y = a(x - h)\pt2 + k，其中h是抛物线的焦点的横坐标位置，k是焦点的纵坐标位置，a是抛物线的斜率系数。

抛物线具有许多经典性质，最为重要的是焦点弦性质，它是抛物线的几何和数学基础。

焦点弦的定义是连接抛物线上任意两点的直线都与焦点构成直角，或者说从焦点连接到抛物线上任意点都构成直角三角形。

证明抛物线经典性质焦点弦证明：抛物线具有经典性质焦点弦可以应用三角函数定理证明。

设点P(x,y)位于抛物线上，则有 y = a(x - h)² + k；设F为抛物线的焦点，则有 F (h,k) ；∠FPQ 为钝角，则有：tan∠FPQ = /FP/ \cos∠FPQ/PQ/即 /FP/\ G(x-h, y-k)/PQ/由已知：FP：((h - x), (k - y))PQ：((x' - x), (y' - y))可得：/(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)\tan∠FPQ = ----------------------/(x'-x)²+(y'-y)²\\式子两边同乘以(x'-x)²+(y’-y)²即 /(h-x)(y'-y)-(k-y)(x'-x)(x'-x)²+(y'-y)²\t an∠FPQ = ------------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²)²\\即/(h-x)y'+(k-y)x'-(h-x)y-(k-y)x\tan∠FPQ = -----------------------------------/ (x'-x)²+(y'-y)²\\将已知带入即可得tan∠FPQ = 0即点F、P、Q三点构成的三角形为钝角，即证明了抛物线具有经典性质的焦点弦性质。

抛物线焦点弦的性质-最新年精选文档

抛物线焦点弦的性质抛物线是离心率为1的圆锥曲线.由于其离心率的特殊性,使抛物线的焦点弦尽管位置千变万化,但“动中有静”，许多性质不会因焦点弦位置的改变而改变。

如图，抛物线y2=2px(p>0)中，A（x1y1）、B（x2,y2）为过焦点F的弦,设,则：xy=•y1y2=-p2这个题堪称抛物线焦点弦问题的“母亲题”,许多与抛物线焦点弦有关的结论都由此而得,从而使抛物线焦点弦的性质绚丽多彩。

下面以此为基础研究抛物线焦点弦的其它性质，希望能起到抛砖引玉的作用。

命题证明：设直线AB的方程为：my=x-由方程组y2=2pxmy=x-得：y2-2pmy-p2=0，其中△=4p2(1+m2)>0∴y1y2=-p2, x1x2==(y1+y2=2pm，x1+x2=2pm2+p)性质1.kOA×kOB=-4( kOA，kOB分别表示直线OA,OB的斜率) 证明: kOA×kOB=×==-4性质2. •=-P2证明: •=x1x2+y1y2=-p2=-p2性质3.+=.证明: +证明: |AB|=FA+FB=(x1+)+(x2+)=x1+x2+p设直线AB的方程为my=x-(1)当θ≠90°时,m≠0,tanθ=?圯cot=m?圯csc2θ=1+m2?圯sin2θ=(2)当时θ=90°时m=0,sin2θ=1=综上: sin2θ=∴|AB|=x1+x2+p=(2pm2+p)+p=2p(1+m2)=性质5. 以焦点弦AB为直径的圆与抛物线y2=2px(p>0) 的准线x=-相切.证明:焦点弦AB的中点C的横坐标为,点C到准线点x=-的距离为:d=-(-)==|AB|, 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

性质6.设弦AB的倾斜角为θ ,则S△AOB=证明:由性质4知:|AB|= 又直线AB的方程为:my=x- ,而坐标原点O到直线AB的距离 d==∴S△AOB=|AB|×d=××=数学题千姿百态,变化万千，在浩瀚的数学题海中,有许多问题追根溯源,如出一辙,“一母所生”。

过抛物线焦点弦的性质及其应用

过抛物线焦点弦的性质及其应用过抛物线焦点的弦是每年高考的热点内容，能够迅速准确的将其解出，是同学们的共同愿望，本文从课本出发，引入两个重要公式，希望对大家有所帮助。

公式一、设AB 是过抛物线y 2=2px 的焦点的弦，若A （x A ,y A ）,B(x B ,y则｜AB ｜＝x A +x B +p|AF |= x A +2p|BF|= x B +2p 所以｜AB ｜＝｜AF|＋|BF|＝x A +x B +p例1、过抛物线y 2=4x 的焦点F 做直线l 与抛物线交于P （x 1,y 1），Q(x 2，y 2)两点，x 1+x 2=6,则｜PQ ｜＝＿＿＿＿＿（2007年广东高考模拟）解：由题可得p=2 ,代入公式一得｜PQ|=x 1+x 2+p=6+2=8公式二、设AB 是过抛物线y 2=2px 的焦点F 的弦，弦AB的倾斜角为θ，则（i ）θcos 1p |FA |-=θc o s 1p |FB |+=(ii)|证明：在Rt △AFD ∵||||cos AF FD ==θ∴θθcos 2cos 2pp x x A A +=- 即 θθcos 1)cos 1(2-+=px A∴ϑϑθθcos 1cos 1)cos 1(2}cos 1(22||-=--++=+=p pp p AF x A 同理可得 θcos 1||+=pFBϑϑϑϑϑϑϑϑsin cos 22212)cos 1)(cos 1()cos 1()cos 1(cos 1cos 1||||||p p p p pp FB FA AB =-=-+++-=-++=+=例2、抛物线y 2=4x 焦点弦被焦点分成长是m 和n 两部分，则m 和n 的关系是（）A 、m+n=mnB 、m+n=4C 、mn=4D 、无法确定解：由已知得p=2，代入公式二可得 ϑcos 12-=m ϑcos 12+=n则m+n=ϑsin24mn=ϑϑϑsin 24)cos 1)(cos 1(4=-+ 所以m+n=mn 故选A例3、如图所示，设O 为抛物线的顶点，F 为焦点且PQ 为过点F 的弦，已知｜OF ｜＝a ,|PQ|=b ，求△OPQ 的面积。

抛物线焦点弦经典性质

抛物线10条
焦点弦
通过焦点的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的焦点弦。
y
A (x1, y1)
F
O
x
B (x2, y2)
过抛物线 y2 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x1, y1) 、B (x2 , y2 ) 两点
性质3：过焦点的弦中通径长最小
y
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜
C
B
＝｜AD｜＋｜BC｜ =2｜EH｜
H
E
OF
x
D
A
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且
EH⊥l，因而圆E和准线l相切．
2
2
2 2 sin 2
2 s in
S2 OAB
P3
AB 8
性质6：以焦点弦AB为直径的圆和抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识
y
C
B
来证比较简捷．
H
E
OF
x
D
A
证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准
线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
证明：sin 2 1 2 p 2 p sin 2
AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
性质 4：
S2 OAB
p3 (定值)
AB 8
S OAB
S OBF
S0AF
1 2
OFBFsin源自1 2OFAF
sin
1 OF AF BF sin 1 OF AB sin 1 p 2 p sin p 2

（完整版）抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

有关抛物线焦点弦问题的探讨过抛物线px y 22=(p>0)的焦点F 作一条直线L 和此抛物线相交于A ),(11y x 、B ),(22y x 两点两点结论1：px x AB ++=21p x x px px BF AF AB ++=+++=+=2121)2()2( 结论2：若直线L 的倾斜角为θ，则弦长θ2sin 2pAB =证:(1)若2πθ= 时,直线L 的斜率不存在，此时AB 为抛物线的通径,结论得证∴=∴p AB 2(2)若2πθ≠时,设直线L 的方程为：θtan )2(px y -=即2cot py x +⋅=θ 代入抛物线方程得cot 222=-⋅-p py y θ由韦达定理θcot 2,21221p y y p y y =+-= 由弦长公式得θθθ22212sin 2)cot 1(2cot 1p p y y AB =+=-+= 结论3：过焦点的弦中通径长最小p p 2sin 21sin 22≥∴≤θθΘ∴AB 的最小值为p 2,即过焦点的弦长中通径长最短. 结论4： )(832为定值p AB S oAB =∆()8sin 2sin sin 2221sin 21sin 21sin 21sin 2132220P AB S p pp AB OF BF AF OF AF OF BF OF S S S OAB AF OBF OAB =∴=⋅⋅⋅=⋅⋅=+⋅=⋅⋅+⋅⋅=+=∆∆∆∆θθθθθϑθ结论5： (1) 221p y y -= (2) x 1x 2=42p证44)(,2,22222121222211P P y y x x p y x p yx ==∴==Θ 结论6：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切证：设M 为AB 的中点，过A 点作准线的垂线AA 1，过B 点作准线的垂线BB 1，过M 点作准线的垂线MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知 222111ABBF AF BBAA MM =+=+=故结论得证故结论得证结论7：连接A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥B 1FFA A FO A FO A F AA OF AA AFA F AA AF AA 11111111//,∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=ΘΘ 同理︒=∠∴∠=∠901111FB A FB B FO B ∴A 1F ⊥B 1 F 结论8：（1）AM 1⊥BM 1 （2）M 1F ⊥AB （3）BF AF F M ⋅=21 （4）设AM 1 与A 1F 相交于H ，M 1B 与 FB 1相交于Q 则M 1，Q ，F ，H 四点共圆（5）2121214M M B M AM =+证：由结论（6）知M 1 在以AB 为直径的圆上∴ AM 1⊥BM 1Θ11FB A ∆为直角三角形，为直角三角形，M 1 是斜边A 1 B 1 的中点的中点 111111111AFA F AA F A M FA M F M M A ∠=∠∠=∠∴=∴Θ︒=∠=∠+∠9011111M AA M FA F AA Θ ︒=∠+∠∴90111FM A AFA∴M 1F ⊥ABBF AF F M ⋅=∴21 ΘAM 1⊥BM 1 F B F A 90111⊥︒=∠∴Θ又B AM︒=∠∴90FB A 11所以M 1，Q ，F,H 四点共圆，22121AB B M AM =+()()()2121211242MM MM BB AA BFAF ==+=+=结论9：（1）、A O 、B 1 三点共线（2）B ，O ，A 1 三点共线（3）设直线AO 与抛物线的准线的交点为B 1，则BB 1平行于X 轴（4）设直线BO 与抛物线的准线的交点为A 1，则AA 1平行于X 轴证：因为p y p y k y p py y x y k oB oA 2212111122,221-=-====，而221p y y -= 所以122222oB oAk p y y p p k =-=-=所以三点共线。

完整版抛物线的性质归纳及证明

抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦性质及证明y 2= 2px (p >0)焦点F 的弦两端点为 A(x 1, y 1), B(x 2, y 2),倾斜角为，中点为时，弦长|AB|最短，称为通径，长为鸟卩：⑤^ AOB 的面积S ^OAB =2sin证明：根据抛物线的定义，I AF |= I AD |= x i + p , I BF |= I BC |= X 2+号,| AB |= | AF 1+ | BF |= X 1 + X 2+P如图2,过A 、B 引X 轴的垂线AA i 、BB I ，垂足为A i 、B i ,那么 I RF |= | AD I —I FA 1 |= | AF |- | AF |cos ,•j AF = 1—o^=1—cos同理，I BF |=I RF I=―p—1 + cos 1 + cos•j AB =I AF I+ I BF=血 + 1 + cos = sin 2S5 = SS AF + &OBF = 2| OF II y i |+1OF || y i | =舟-p - (I y i1+1 y i I)■ yi y 2=—P 2,贝y y i 、y 2异号，因此，I y i |+ | y i |= | y i — y 2 |C(x o ,y 0), 1.求证: 分别过A 、B 、C 作抛物线准线的垂线，垂足为 A'、B'、C . ①焦半径I AF I X i 当一p —:②焦半径|BF I X 2占 2 1 cos2 ③备 +帀十厂p ；④弦长I AB| = X i + X 2+ p =—；特别地，| AF | | BF 丨 psin 2_p_1 cos当 x i =X 2( =90 )过抛物线2p二SgAB = p| y i —y2 | =艸(y i + y2)2—4y i y2 =哲4m2p2+4p2=^p/ i+m2=2Sn32.求证：①XX2 P:②yy4当AB丄x轴时，有AF BF P,成立;当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为: •代入抛物线方程:k2X22 2PX.化简得: k2x2k22•••方程(1 )之二根为k2AF BFX1 X2 p 2P PX1 4 2 1X2X1 , X2, •-X1X2X1 X2BB1X13.求证：AC'BX2X2 X1X2P1 X2X1 X2 p2A'FB' Rt / .则先证明：/ AMB = Rt /•••△ ABE 为等腰三角形，又 M 是AE 的中点,••• BM 丄 AE ,即/ AMB = Rt / 【证法二】取 AB 的中点N ，连结MN ，则 | MN |= 2(| AD 汁 I BC |)= 2(1 AF |+ | BF |)=弓 AB |,A | MN |= | AN |= | BN |=齐瞪+i +臭沁4P!+ 迤=P!+» = 0•••MA 丄1M B ，故/ AMB = Rt / .【证法五】由下面证得/ DFC = 90，连结FM ，贝U FM = DM .又 AD = AF ，故△ ADMAFM ，如图 4•••/ 1 = / 2，同理/ 3 =/ 4•••△ ABM 为直角三角形，AB 为斜边,AMB = Rt / .【证法三】由已知得 C(— 2, y 2)、D( — 2, y i ).由此得M (—2,宁). --k AM =y i + y 2y i - 2 y i — y 2 p(y 1 — y 2) -P 2p(yi —=) y 1 X 1 + Py 2+p 22- S + p2 2卫=卫一=4 =— 1y 2+p 2 y ,，同理k BM =y • I_p --kAM - kBM = • P2,p p 2 (y 1 — y 2)2=X 1X 2 + 2(X 1 + X 2)+ 4 — —•••/ 2+/ 3 = 2X 180 = 90 •••/ AMB = Rt / .接着证明：/ DFC = Rt /【证法一】如图5,由于I AD |= | AF |, AD // RF,同理，设/ BFC =/ BCF = / CFR =, 而/ AFD + / DFR + /BFC +/ CFR = 180故可设/ AFD =/ ADF =/ DFR =••• 2( + ) = 180，即 + = 90，故/ DFC = 90 【证法二】取CD的中点M，即M（—2,豊产）由前知k AM=弗k cF =^—」—Ry i••• k AM = k CF, AM // CF，同理, BM // D F•••/ DFC =/ AMB = 90 .【证法三】••• "DF = (p, —y1), "C F=(P, -y2),• - DF • CF = p2+ y i y2 = 0•••"D F丄"C F，故/ DFC = 90 .【证法四】由于I RF 2= p2=—y i y2= I DR I - I RC |,即IR-j，且/ DRF = / FRC = 90••• △ DRF F RC•••/DFR = / RCF，而/ RCF+/ RFC = 90•••/ DFR + / RFC= 90•••/ DFC = 904. C ' A、C' B是抛物线的切线【证法一】••• k AM=y1,AM的直线方程为y- y1=y^与抛物线方程y2= 2px联立消去x得2 2y—y i=y i(2p―2p)，整理得y2—2y i y+ y2= 0可见△= (2y i)2—4y2= 0,故直线AM与抛物线y2= 2px相切,同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2= 2px,两边对x求导, 得2y • y x= 2p, y = p,故抛物线y2= 2px在点=yi = Py i(y2)x= (2p x)x,A(x i, y i)处的切线的斜率为k切=y x| y切线.又k AM =牛,• k切=K AM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的【证法三】•••过点A(x i, y i)的切线方程为y i y =p(x + x i)，把M(—号,左边=y i •呼=y^=沁』=px i —^2,2右边=p(—p + x i)=—p + px i，左边=右边，可见，过点A的切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.5. C'A、C'B分别是/ A 'AB和/ B 'BA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于E,如图9,则^ ADM ECM，有AD // BC, AB= BE,•••/ DAM = / AEB = / BAM ,即AM平分/ DAB,同理BM平分/ CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即=2.且M( - p，宁)「tan =k AB=x 2—i= y ¥y 2.2p —环，即AM 平分/ DAB ,同理 BM 平分/ CBA.【证法一】如图10，设AM 与DF 相交于点G i ,由以上证明知I AD |= I AF I , AM 平分/ DAF ，故AG i 也是 • G i 是DF 的中点.设AD 与y 轴交于点D i , DF 与y 轴相交于点易知，I DD i I = I OF I , DD i // OF ,故^ DD I G 2BA FOG 2 •••I DG 2 |= | FG 2 I ,则 G 2也是 DF 的中点.•- G i 与G 2重合（设为点 G ）,贝U AM 、DF 、线共点，y i + y 2y i —tan = k AM =x i + P—P 2=p(yiF=p y 2+p 2 =y i + P 2 = y i••• tan 2=2ta n_ 1 —tan 22 y i— y 2p(y i — y 2) = 2 = 2・ 2■+ p2py i 2py i 2py i 2pi—(P )2 y 2— p y 2+ yi y 2 屮 + y 2 (y i ) =tan6. AC ' A '、 y 轴三线共点，BC ' B '、y 轴三线共点同理BM 、CF 、y 轴也三线共点.G 2(0 ,DF 边上的中线,••• 0与0重合，则即 C 、0、A 三点共线，同理 D 、0、B 三点也共线.【证法四】••• 0C = (-p2^y 2), 0A =(x i , y i ),p p y 2py i y i y 2y i—2 - y i — x i y 2= — 2 - y i — y 2 =—牙一 2p 叫血=02 2p••• OC // OA ，且都以0为端点••• A 、0、C 三点共线，同理 B 、0、D 三点共线.【推广】过定点 P(m , 0)的直线与抛物线 y 2= 2px ( p > 0) 相交于点A 、B ，过A 、B 两点分别作直线I : x =- m 的垂线，垂足分别为 M 、N ，贝U A 、0、N 三点共线, B 、0、M三点也共线，如下图:7. A 、0、B '三点共线，B 、0、A '三点共线.=I C0 |= I BF I I 0F |= I CB I • I AD I = I CA I = I ABI ， I AF | = | AB |，又I AD |= I AF I ，I BC |= I BF |，A 罟古辭共线.【证法三】设 AC 与x 轴交于点0，RF // BC ，I0^= ^TZ-*，1 CB 1 1 AB 1=I AF |+ I BF 1= 丄= 2【见⑵证】 I AF I I BF I【证法一】如图11, k 0A =2p =2py ik 0C ==—p 22y 22py 22py 2 = 2p —y 1y 2 y 1--k oA = k oc , A 、0、C 三点共线,同理D 、 0、 B 三点也共线.【证法二】设 AC 与 x 轴交于点 0 ,••• AD // RF // BC••• I R0 I = I OF I ,贝U 0与0重合，即C 、0、A 三点共线，同理 D 、0、 B 三点也...* 0 F *= I CB • I AF I I BF I • I AF |I AB I于 E ，设 I AF |= mt , | AF |= nt ,则| AD |= I AF I , I BC |= I BF |, | AE |= | AD |- | BC | = (m —n)t•••在 Rt △ ABE 中, cos / BAE =仏口 =血皿吩 n/• cos = cos / BAE=m —nm + n【例6】设经过抛物线 y 2= 2px 的焦点F 的直线与抛物线相交于两点A 、B ,且I AF I ： I BF |= 3: 1,则直线AB 的倾斜角的大小为8.若I AF I ： I BF |= m : n , 点A 在第一象限,为直线AB 的倾斜角.则cosm + n【证明】如图14,过A 、B 分别作准线I 的垂线，垂足分别为 D ,C , 过B 作BE 丄ADI AB I (m + n)t m +n【答案】60或120 .9.以AF为直径的圆与y轴相切, 以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切；A' B'为直径的圆与焦点弦A'y -—C' / / 1■bK B' 'O4-/X.IIA'.C'.【说明】如图15,设E是AF的中点,AB相切.11同理以BF 为直径的圆与y 轴相切.【说明】如图15,设M 是AB 的中点，作 MN 丄准线I 于N ,则1 1 11 MN |= 1(| AD 汁丨 BC |)= 1(| AF |+ | BF |)=刁 AB |2 【证法二】AM 的直线方程为y — y i =十（x —稽）,令x = 0得AM 与y 轴交于点G i （0, y i ）,又DF 的直线方程为y =— W （x — p）,令x = 0得DF 与y 轴交于点p 2 ••• AM 、DF 与y 轴的相交同一点 G （0,罗），贝U AM 、DF 、8p y 1+ y 22 2pp 十X1 则E 的坐标为（勺一则点E 到y 轴的距离为故以AF 为直径的圆与 y 轴相切,1则圆心M 到I 的距离I MN | = 2| AB故以AB 为直径的圆与准线相切.10. MN 交抛物线于点 Q ,则Q 是MN 的中点.2 2【证明】设 A （21 , y 1）, B （22, y 1），则 C （-2,y i ),M(-2,导 N<y 24p y 2 设MN 的中点为 Q ，则 Q ( y 1 + y 2)2 )， -2 . y 1 + y 2—2 十 4p 2 2y轴三线共点,同理BM、CF、y轴也三线共点H .由以上证明还可以得四边形MHFG_ - 2p2+ y2+ y2 2y1y2+ y i + y28p•••点Q在抛物线y2= 2px上，即Q是MN的中点.12。

抛物线焦点弦性质很全

五、 CFD 900
CFO FCA AFC DFO FDB BFD CFO DFO AFC BFD 即有CFD AFC BFD
CFD 900
六、抛物线的焦点三角形的面积公式
S AOB
p2
2sin
S AOB
SAOF
SBOF
1 2
OF
y1
1 OF 2
y2
1 2 OF y1 y2
kMA kMB
2 py1 y12 p2
2 py2 y22 p2
kMA kMB
2 py1 y12 y1 y2
2 py2 y22 y1 y2
0
kMA kMB
MA, MB的倾斜角互补，即 AMF BMF
设：x my p ，代入y2 2 px可得
F
2
y1 y2 2 pm, y1 y2 p2
y1 y2 y1 y2 2 4 y1 y2 2 p m2 1
又k AB
tan
1 m
, 则m
1
tan
y1 y2 2 p
1
tan 2
1
2p
sin
SAOB
1 2
OF
y1 y2
1 p 2p
（1）若焦点在 x轴上，则 x1x2
p2 4
, y1 y2
p2
（2）若焦点在 y轴上，则 y1 y2
p2 4
, x1x2
p2
四、以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线
证明：
MM1
1 2 ( AA1
BB1 )
1 ( AF BF ) 2
1 AB 2
即有：AM1B 900
引申：以焦半径为直径的圆与y轴相切（学生完成）
2 2 sin

抛物线焦点弦性质及推导过程

抛物线焦点弦性质及推导过程抛物线是一个非常常见的二次曲线，其方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数，a不等于0。

抛物线的焦点是一个特殊的点，它在抛物线的对称轴上，距离抛物线顶点的距离与到抛物线焦点的距离相等。

在本文中，我们将研究抛物线焦点的弦性质及其推导过程。

首先，我们来定义抛物线的焦点和顶点，并给出抛物线方程的标准形式。

我们可以通过完成平方的方式将一般形式的抛物线方程转化为标准形式的方程。

标准形式的抛物线方程为：y=a(x-h)^2+k其中(h,k)是抛物线的顶点，a决定了抛物线的开口方向和形状。

焦点的坐标为：F(h,k+p)其中p是焦距，p=1/(4a)。

现在，我们来研究抛物线焦点的弦性质。

假设抛物线上有两个不同的点P(x1,y1)和Q(x2,y2)，我们要证明直线PQ的中垂线经过焦点F。

首先，我们计算点P和点Q到焦点F的距离。

根据平面几何的距离公式，点P和点Q到焦点F的距离分别为：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)根据抛物线的定义，点P和点Q到抛物线的顶点的距离应该相等。

所以我们有：d1=√((x1-h)^2+(y1-k+p)^2)=√((x1-h)^2+(y1-k-p)^2)d2=√((x2-h)^2+(y2-k+p)^2)=√((x2-h)^2+(y2-k-p)^2)将这两个等式相减，我们得到：(d1)^2-(d2)^2=[(x1-h)^2+(y1-k+p)^2]-[(x2-h)^2+(y2-k-p)^2]=(x1-h)^2+(y1-k+p)^2-(x2-h)^2-(y2-k-p)^2=(x1^2-2x1h+h^2)+(y1^2-2y1k+2y1p+p^2)-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+h^2+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-(x2^2-2x2h+h^2)-(y2^2-2y2k-2y2p+p^2)=x1^2-2x1h+y1^2-2y1k+2y1p+p^2-x2^2+2x2h+y2^2-2y2k-2y2p+p^2 =x1^2-2x1h+x2^2-2x2h+y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p=(x1^2+x2^2-2x1h-2x2h)+(y1^2-2y1k-2y2k+2y1p-2y2p)=x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2+2(y1p-y2p)=(x1^2+x2^2-2(x1+x2)h+(y1-y2)^2)+2(y1p-y2p)我们知道，抛物线都满足方程y=a(x-h)^2+k。