离散数学作业5[答案]
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离散数学作业 5
离散数学图论部分形成性考核书面作业
本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。
要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。
一、填空题
1．已知图G 中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G 的边数是 15 ．
2．设给定图G (如右由图所示)，则图G 的点割集是 {f ，c} ．
3．设G 是一个图，结点集合为V ，边集合为E ，则 G 的结点 度数 等于边数的两倍．
4．无向图G 存在欧拉回路，当且仅当G 连通且 所有结点的度数全为偶数． 5．设G=
6．若图G=
7．设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当 n 为奇数 时，K n 中存在欧拉回路．
8．结点数v 与边数e 满足 e=v -1 关系的无向连通图就是树．
9．设图G 是有6个结点的连通图，结点的总度数为18，则可从G 中删去 4 条边后使之变成树．
10．设正则5叉树的树叶数为17，则分支数为i = 4 ．
二、判断说明题（判断下列各题，并说明理由．）
姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名：
1．如果图G是无向图，且其结点度数均为偶数，则图G存在一条欧拉回路．．
不正确，图G是无向图，当且仅当G是连通，且所有结点度数均为偶数，这里不能确定图G是否是连通的。
2．如下图所示的图G存在一条欧拉回路．
14．错误．
因为图G为中包含度数为奇数的结点．
3．如下图所示的图G不是欧拉图而是汉密尔顿图．
G
解：错，既不是欧拉图也不是汉密尔顿图，欧拉图要求所有结点度数均为偶数，这里结点bd各有三个节点；汉密尔顿图要求每一对结点度数之和大于等于总结点数，这里不满足。
4．设G是一个有7个结点16条边的连通图，则G为平面图．
错，没有提到面
5．设G是一个连通平面图，且有6个结点11条边，则G有7个面．
对，由欧拉定理得到：结点-边+面=2 ，即为连通平面图，这里6-11+7=2
三、计算题
1．设G=
(1) 给出G的图形表示；(2) 写出其邻接矩阵；
(3) 求出每个结点的度数；(4) 画出其补图的图形．
解：（1）G的图形如图十二
（2）邻接矩阵： 图十二
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0110010110110110110000100 （3）v 1，v 2，v 3，v 4，v 5结点的度数依次为1，2，4，3， 2 （4）补图如图十三：
2．图G =
（1）画出G 的图形； （2）写出G 的邻接矩阵； （3）求出G 权最小的生成树及其权值． 解：（1）G 的图形表示如图十四：
图十四 （2）邻接矩阵：
⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111110110110011100110110 （3）粗线表示最小的生成树，如图十五
如图十五 最小的生成树的权为1+1+2+3=7：
3．已知带权图G 如右图所示．
(1) 求图G 的最小生成树； (2)计算该生成树的权值． /p-56351772.html
4．设有一组权为2, 3, 5, 7, 17, 31，试画出相应的最优二叉树，计算该最优二叉树的权．
/p-56351772.html
四、证明题
1．设G 是一个n 阶无向简单图，n 是大于等于3的奇数．证明图G 与它的补图G 中的奇数度顶点个数相等．
/p-56351772.html
2．设连通图G 有k 个奇数度的结点，证明在图G 中至少要添加2
k
条边才能使其成为欧拉图．
证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k 是偶数．
又根据定理4.1.1的推论，图G 是欧拉图的充分必要条件是图G 不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图．
故最少要加2
k
条边到图G 才能使其成为欧拉图．