2021年高考数学专题复习：空间几何体表面积与体积的求解策略

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空间几何体表面积与体积的求解策略

【知识梳理】

1．多面体的面积和体积公式

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

3.旋转体的表面积和体积公式

=球S 42R π =圆柱V h r 2π =圆锥V h r 23

1

π

=圆台V 31)S S S S '+'+（ h =球V 33

4

R π

名称 侧面积(S 侧) 全面积(S 全) 体 积(V ) 棱 柱 棱柱 各侧面的面积和 侧面积＋2⨯上底

面积

V ＝底面积⨯高

直棱柱 底面周长⨯侧棱长 棱 锥

棱锥 各侧面积之和

侧面积＋底面积

V ＝

3

1

⨯底面积⨯高 正棱锥

2

1

⨯n 边长⨯斜高 棱 台

棱台 各侧面面积之和

侧面积＋上底面积＋下底面积

V ＝3

1)S S S S '+'+

（⨯

高

正棱台

2

1

⨯n (上底边长＋下底边长)⨯斜高

【典例分析】

题型一由三视图求几何体的面积、体积

例题1 (1)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

（2）某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，该三棱锥的表面积是____________

跟踪练习1 一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的表面积为_______、体积为_________.原几何体的体积为__________.

2

题型二利用割补法求几何体的体积

例题2

如图所示，已知多面体ABCDEFG中，AB，AC，AD两两互相垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB＝AD＝DG＝2，AC＝EF＝1，则该多面体的体积为________．

跟踪练习2如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，DE，则几何体EFC1－DBC的体积为()

3

A.66

B. 68

C.70 D .72

题型三多面体与球的切、接问题

例题3 (1)在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA

＝2

3，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是()

A．12

B．32π C．36πD．48π

(2)如图，一个几何体的三视图中正(主)视图和侧(左)视图为边长为2，锐角为60°的菱形，俯视图为正方形，则此几何体的内切球表面积为()

4

5

A ．2π

B ．3π

C ．4π

D ．8π

跟踪练习3

(1) 已知底面边长为1，侧棱长为2

的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )

324A.

B.4

C.2

D.33ππ

π π

(2) 一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为_______.

【专项训练】

一、选择题

1.将一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加 ( ) A ．6a 2

B ．12a 2

C ．18a 2

D ．24a 2

2.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，三棱锥D 1－AB 1C 的表面积与正方体的表面积的比为( )

A ．

B ．

C ．

D ．

3.某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可知该几何体的体积为 ( )

A ．π

B ．π

C ．π－π

D ．π＋π

4.已知三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()

A ．B．2C ．D．3

5.某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )

A．4 B．14

3

C．

16

3

D．6

6．一个斜三棱柱，底面是边长为5的正三角形，侧棱长为4，侧棱与底面三角形两边所成的角都是60°，则这个斜三棱柱的侧面积是( )

6

7

A ．40

B ．20（

1+3）

C ．30（1+3）

D ．303 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.

72

B ．2

C ．

52

D ．3

8.某零件的正(主)视图与侧(左)视图均是如图所示的图形(实线组成半径为2 cm 的半圆，虚线是等腰三角形的两腰)，俯视图是一个半径为2 cm 的圆(包括圆心)，则该零件的体积是( )

A ．

34cm 3π B ．38

cm 3

π C ．4πcm 3 D ．

320

cm 3

π 二、填空题

9.如图是某几何体的三视图(单位：m)，则其表面积为_____m 2.

10.已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是_________

11.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为.

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