鸡兔同笼

第十讲：鸡兔同笼

1、定义：

鸡兔同笼是指鸡与兔在同一个笼中，已知鸡与兔的总头数，和鸡与兔的总足数，求鸡和兔各有多少只的应用题。

已知条件：（1）鸡和兔的总头数；（2）鸡和兔的总腿数

问题：求鸡和兔各自的数量

引申：鸡兔同笼不一定是指鸡和兔，也不一定是头和腿，所以我们可以将鸡兔同笼问题引申为在一个整体中有两种对象（例如一个班级中的男生女生，一个储钱罐中的两种硬币，租的大船和小船等），总头数引申为两种对象的总数量，总腿数是两种对象的某种特性，最后让求这两种对象各自的数量。

2、解题方法：画图法、假设法、口哨法。

鸡兔同笼问题也叫做简换问题。解答时，一般采用假设法，即假定全部只数都是鸡或者都是兔，算出假定情况下的足数和实际的足数和、足数差，然后推算出鸡和兔的只数。

3、例题解析

例题1

鸡兔同笼，共有8个头，26条腿，问鸡和兔各有几只？

分析：鸡有2只脚，兔有4只脚，如果兔子抬起两只脚，那么鸡和兔都是两只脚，则一共有脚8×2＝16（只），比实际少了26－16＝10（只）。为什么会少10只？因为每只兔子少算了2只脚，一共少算了10只脚，所以兔子有10÷2＝5（只）。知道兔子数量，就容易求出鸡的只数了。

方法一：画图法

方法二：假设法

假设全是鸡

共有脚（假设情况）：8×2=16（只）

比实际少：26-16=10（只）

注：这里思考一下少10只的原因是什么？

我们可以想到是因为把兔子假设成鸡，因此少的这10只腿就是兔子的腿

每只鸡比每只兔子少（4-2）=2只脚，因此一共有10÷2=5（只）兔子被设想成鸡。

说明设想中的“鸡”，有5只是兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）。

方法三：口哨法

前提：鸡和兔子都是训练有素，每吹一次口哨，这8个动物就各自抬起一条腿第一次吹口哨：8个动物抬起8条腿，剩余26-8=18（条）腿

第二次吹口哨：8个动物再抬起8条腿，剩余18-8=10（条）腿，

此时鸡已经没有腿可以抬起来，所以剩下的10条腿是兔子的腿，每只兔子剩两条，所以一共有10÷2=5（只）兔子

8-5=3（只），鸡有3只。

例题2

阿奇的存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数为19元。这两种硬币各有多少枚？

分析：本题中5角和1元的硬币可以分别看作是鸡和兔，25枚可以看作是25个头，19元=190角，所以190角可以看作是腿的总数。我们按照假设法来做这道题。

解：假设储钱罐里的所有硬币都是5角的硬币

（1）共有硬币：25×5=125（角）

（2）比实际少：190-125=65（角）

注意：少了65角的原因是将1元硬币假设为5角硬币了，所以每个1元硬币少了5角，一共少了65角，所以1元硬币有65÷5=13（枚）

（3）用总的硬币数减去1元硬币数就是5角硬币数了，也就是：

25-13=12（枚），5角硬币有12枚。

4、总结

画图法、假设法以及口哨法都需要掌握，但是最常用的是假设法，所以一定要多练习假设法。

假设法有以下几个步骤：

（1）将两种对象假设为同一种对象；

（2）算出假定情况下的数量，与实际的数量比较，求出差值；

（3）找出差值的原因，然后算出引起差值的对象的数量；

（4）算出另一种的数量。