多面体外接球半径常见的5种求法(柯建华).pdf

例 2 已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为 4，体积为 16，则这个球
的表面积是（ ）
A.16
B. 20
C. 24
D. 32
解：设正四棱柱的底面边长为 x ，外接球的半径为 R ，则有 4x2 = 16 ，解得 x = 2 .
∴ 2R = 22 + 22 + 42 = 2 6 , R = 6 .∴这个球的表面积是 4 R2 = 24 .选 C.
( ) ( ) ( ) 设其外接球的半径为 R ，则有(2R)2 =
2
3+
2
3+
3 2 = 9 .∴ R2 = 9 .
4
故其外接球的表面积 S = 4 R2 = 9 .
小结：一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为 a、b、c ，
则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥
多面体外接球半径常见的 5 种求法
如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内
接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一
个重点，也是高考考查的一个热点.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知
识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间
圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.这种等价转化的数学思想方法
值得我们学习.
方法五：确定球心位置法
例 5 在矩形 ABCD 中， AB = 4, BC = 3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角
B − AC − D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积为
A. 125
12
B. 125
的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用.
知识回顾：
1、球心到截面的距离 d 与球半径 R 及截面的半径 r 有以下关系
2、球面被经过球心的平面截得的圆叫
．被不经过球心的平面截得
的圆叫
3、球的表面积表面积 S＝
；球的体积 V＝
4、球心一定在过多边形（顶点均在球面上）外接圆圆心且垂直此多边形所在
3
∴ ASC是以AC为斜边的Rt .
∴ AC = 1是外接圆的半径，也是外接球的半径.故V 球 = 4 .
2
3
小结：根据题意，我们可以选择最佳角度找出含有正棱锥特征元素的外接球的
一个轴截面圆，于是该圆的半径就是所求的外接球的半径.本题提供的这种思路是探
求正棱锥外接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的一个轴截面
9
C. 125
6
D. 125
3
D
AO
C
图4 B
解：设矩形对角线的交点为O ，则由矩形对角线互相平分，可知 OA = OB = OC = OD .
∴点 O 到四面体的四个顶点 A、B、C、D 的距离相等，即点O 为四面体的外接球的球
心，如图 2 所示.∴外接球的半径 R = OA = 5 .故V 球 = 4 R3 = 125 .选 C.
2
3
6
小结：若四面体或三棱锥的一条棱所对的两个顶角都是直角，则利用直角三角
形知识可知：四面体外接球的球心就是这条棱的中心，球的半径等于此棱长度的一
半。
4
【练习巩固】
【参考答案】 练习 1 【补形法】
5
【轴截面法】 练习 2 【补形法】
6
【轴截面法】 练习 3 【补形法】
7
来自百度文库
的外接球的直径.设其外接球的半径为 R ，则有 2R = a2 + b2 + c2 .
2
PA、PB、PC 两两垂直采用补形法
方法四：寻求轴截面圆半径法
例 4 正四棱锥 S − ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，点 S、A、B、C、D 都在
同一球面上，则此球的体积为
.
S
D
C
O1 A 图3 B
解 设正四棱锥的底面中心为O1 ，外接球的球心为O ，如图 3 所示. ∴由球的截面的性质，可得 OO1 ⊥ 平面ABCD . 又 SO1 ⊥ 平面ABCD ，∴球心 O 必在 SO1 所在的直线上.
∴ ASC 的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径. 在 ASC 中，由 SA = SC = 2，AC = 2，得 SA2 + SC2 = AC2 .
小结：本题是运用“正四棱柱体（包括正方体、长方体）对角线的长等于其外
接球的直径”这一性质来求解的.
方法三：补形法
例 3：若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 3 ，则其外接球的表面积
是.
解：据题意可知，该三棱锥的三条侧棱两两垂直，∴把这个三棱锥可以补成一
个棱长为 3 的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.
2
2
∴外接球的半径 R = r2 + d 2 = 1.V 球 = 4 .
3
小结：本题是运用公式 R2 = r2 + d2 求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公
1
式.（R-球的半径；d-球心到球截面圆的距离，注意球截面圆通常是顶点在球上多边
形的外接圆；r-顶点在球上多边形的外接圆的半径）
方法二：多面体几何性质法
平面的垂线上
方法一：公式法
例 1 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点
都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为３，则这个球的体积
8
为
.
解
设正六棱柱的底面边长为
x
，高为 h
，则有
9 8
=
6 6
x
= 3, 3 4
x2
h,
x
h
= =
1, 2 3．
∴正六棱柱的底面圆的半径 r = 1 ，球心到底面的距离 d = 3 .