向量的数量积 教学设计.doc

2.3.1向量数量积的物理背景与定义

教材说明

平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题；夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。

平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。

课型新授课

课时1课时（练习共2课时）

学情分析

在学习平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用；在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。

本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。

教学内容分析

教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。

教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（Ｂ版）第二章、第3节第1课时。它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。

教学目标

知识与技能：

（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；

（2）掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；

（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.

过程与方法：

通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想

情感态度与价值观：

通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯

教学重点和难点

重点：平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用.

难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。

教学策略选择与设计

《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。

教学资源与手段

资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。

手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。

教学环节教学过程师生活动设计意图

情景引入1、给出有关材料并提出问题

问题1：θ表示一个么角？

（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生

位移S，那么力F所做的功：cos

W F Sθ

=

u r u r

。

（2）这个公式有什么特点？请完成下列填

空：

①W（功）是量，②F（力）是量，

③S（位移）是量，④θ是。

（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”

吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的

乘积

提问

学生易答：表示

力F的方向与

位移s的方向的

夹角

创设学生熟悉的

问题情景，将学

生自然的带入到

课堂的教学内容

中来。

探究问题，形成定义。（1）探究两个向量的夹角的定义。

问题2：你能指出下列图中两向量的夹角

吗？

问题3：对于两个非零向量,a b

r r

，你能给

出它们夹角的定义吗？

①②③学生容易

得到，④学生可

能会出现两种答

案，教师给予指

导

学生思考回

答，教师予以补

充，关键是点出

两向量起点相

同，并给出夹角

符号,a b

r r

对于易错点加以

强调。

S

F

探究问题，形成定义。

问题4：思考向量夹角的范围

问题5：θ

cos

F表示什么？

（2）探究向量b

r

在a

r

方向上的投影

问题6：对于两个非零向量,a b

r r

，向量b

r

在

向量a

r

方向上的投影为什么？你能从图中

作出b

r

在a

r

方向上的投影吗？

有了问题2的铺

垫，学生容易得

出0≤,a b

r r

≤π，

教师强调同向

时为0，反向时

为π.

教师补充：

（1）当,a b

r r

=

2

π

时，向量a

r

与

向量b

r

互相垂

直，记作a b

⊥

r r

.

（2）在讨论垂直

问题时规定：零

向量与任一向量

垂直.

生答：力F在位

移方向上的分量

师补充：我们把

θ

cos

F称为力F

在位移S方向上

的投影

师生共作向量b

r

在a

r

方向上的投

影图象。

通过提问，由学

生自己生成定

义，印象更为深

刻。

由师生合作共同

完成，拉近师生

距离，增进师生

感情。

θ

s

F