向量的数量积 教学设计.doc
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的概念及其几何意义。
2. 学会计算平面向量的数量积，并能熟练运用数量积解决实际问题。
3. 掌握平面向量的数量积的性质，并能运用其性质进行向量运算。
二、教学重点：1. 平面向量的数量积的概念及其几何意义。
2. 平面向量的数量积的计算方法。
3. 平面向量的数量积的性质。
三、教学难点：1. 平面向量的数量积的计算方法。
2. 平面向量的数量积的性质的证明。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括平面向量的数量积的概念、计算方法、性质及其应用。
2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何运用向量的知识解决这些问题。
2. 讲解平面向量的数量积的概念（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的概念，并展示其几何意义。
3. 讲解平面向量的数量积的计算方法（15分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的计算方法，并给出一些例题进行讲解。
4. 练习平面向量的数量积的计算（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。
5. 讲解平面向量的数量积的性质（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的性质，并给出一些证明。
6. 练习平面向量的数量积的性质（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。
7. 应用平面向量的数量积解决实际问题（10分钟）教师给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的数量积解决这些问题。
8. 总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的数量积的重要性和应用价值。
9. 布置作业（5分钟）教师布置一些练习题，巩固学生对平面向量的数量积的理解和应用。
10. 课堂反馈（5分钟）教师通过课堂反馈了解学生对平面向量的数量积的掌握情况，为下一步的教学做好准备。
六、教学拓展：1. 教师通过PPT讲解平面向量的数量积与其他向量知识的联系，如向量的模、向量的加减法等。
6.2.4平面向量的数量积教学设计
一、导言在数学学科中，平面向量的数量积是一个基础且重要的概念。
它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
通过数量积，我们可以求解向量的夹角、计算向量的投影、判断向量的垂直性等，对于学生来说，深入理解平面向量的数量积至关重要。
本文将针对6.2.4平面向量的数量积教学设计进行全面评估和撰写。
二、教学设计评估1. 教学内容6.2.4平面向量的数量积是高中数学内容中的一个重要知识点，其教学内容应该包括向量的定义、数量积的定义、数量积的性质、数量积的计算公式等。
在教学中，可以引导学生从了解向量的定义开始，逐步引入数量积的概念，然后深入讲解数量积的性质和计算方法。
2. 教学方法针对6.2.4平面向量的数量积的教学方法，可以采用多种教学手段，如讲解、示范、实例分析、综合应用等。
通过讲解，可以向学生传授理论知识；通过示范，可以帮助学生更直观地理解数量积的计算过程；通过实例分析，可以让学生掌握数量积的应用技巧；通过综合应用，可以培养学生的数学建模能力。
3. 教学辅助手段在教学过程中，可以运用多种教学辅助手段，如PPT、多媒体课件、数学软件等。
这些辅助手段可以使教学内容更加生动形象，激发学生的学习兴趣，提高教学效果。
三、文章撰写1. 简洁明了地介绍平面向量的定义和数量积的概念以及其计算方法。
2. 从数量积的性质、几何意义等多个方面逐一展开，便于读者深入理解并丰富自己的知识储备。
3. 通过实例分析，引导读者掌握数量积的具体计算方法，并能够熟练应用于解决实际问题。
4. 总结归纳教学设计的重要内容，概括教学要点，便于读者在文章阅读结束时对所学知识进行回顾。
5. 结合教学设计，共享个人对平面向量的数量积的理解与观点，或结合实际问题和生活经验，使文章贴近读者生活，增强其实用性。
四、结语通过本次对6.2.4平面向量的数量积教学设计的全面评估和文章撰写，我相信学生们将能够更好地理解这一知识点，拓展数学思维，提高数学解决问题的能力。
新版高中数学《1.1.2 空间向量的数量积运算》教学设计
1.1.2空间向量的数量积运算 教学设计(人教A 版普通高中教科书数学选择性必修第一册第一章)一、教学目标1.了解空间向量夹角的概念及表示方法，掌握空间向量数量积的计算方法、几何意义、性质及运算律2.通过学习空间向量的数量积运算，培养学生数学运算的核心素养；通过投影向量概念的学习培养学生直观想象和逻辑推理的核心素养二、教学重难点1.重点：空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法2.难点：空间向量的数量积的几何意义，运算律的证明三、教学过程1.类比平面向量，探究空间向量数量积的相关概念和性质1.1两个非零空间向量的夹角问题1：类比平面向量中所学，如何定义空间向量的夹角？【预设的答案】空间向量是自由向量，可以将两个向量平移到共起点的位置（动态演示空间向量平移过程）【定义】已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA→ = a ，OB → = b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉. 规定：〈a ，b 〉∈[0，π].特别地：当〈a ，b 〉= π2时，a ⊥b .【互动练习】（1）〈a ，b 〉=〈b ，a 〉成立吗？（2）〈a ，b 〉= ，则称a 与b 互相垂直，记作 .（3）〈a ，b 〉= 0时,a 与b 方向 ; 〈a ，b 〉= π时,a 与b 方向 .1.2 两个非零空间向量的数量积【定义】已知两个非零向量a ，b ，则|a| |b| cos 〈a ，b 〉叫做a ，b 的数量积，记作a ·b . 即 a ·b = |a| |b| cos 〈a ，b 〉.规定：零向量与任意向量的数量积都等于零.问题2：根据上述定义我们不难发现，空间向量数量积的定义和平面向量数量积定义一致，那么空间向量数量积的性质是否与平面向量中的一致呢？【预设的答案】一致【互动练习】（1）两个向量的数量积是数量还是向量？（数量，它的大小与两个向量的长度及其夹角有关.）（2）0 ·a = （选择0还是0）. 零向量与任意向量的数量积为0.（3）对于两个非零向量a ，b ，a ⊥b ⟺ a ·b = （判断垂直关系）（4）a ·a ＝_____或|a |＝a ·a （求模长）（5）若a ，b 同向，则 a ·b ＝_______；若反向，则a ·b ＝_______.（6）|a ·b | ____ |a |·|b |（7）若θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝_______.【设计意图】平面向量中关于数量积的性质可以直接类比到空间向量中来，从学生的口中叙述出来，一是为了巩固，也能让学生体会空间向量数量积定义与平面向量数量积定义的相通之处.【例1】如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求值： (1)EF →·BA →；(2)EF →·BD →；(3)EF →·DC →.【解】(1)EF →·BA →＝12BD →·BA →＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12|BD →|2＝12.(3)EF ·DC →＝12BD →·DC →＝－12DB →·DC →＝－12×cos 60°＝－14.1.3 空间向量的数量积的几何意义问题3:在平面向量的学习中，我们学习了向量的投影.类似地，在空间，向量a 向向量b 的投影有什么意义？【预设的答案】将两空间向量平移至同一平面，转化为平面向量问题，找出投影向量.在空间中，由于向量a 与向量b 是自由向量，将向量a 与向量b 平移到同一平面内α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量：||cos ,b c a a b b=<>追问: 空间中，向量a 能否向一条直线l 作投影？向量a 能否向一个平面β作投影？图1动态演示向量a 向向量b 投影注：图3中向量a 与投影向量的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角【设计意图】投影向量概念的提出是为了让学生体会空间向量数量积的几何意义；另外，空间向量向直线投影、向平面投影也为后续学生对空间向量与空间角间的关系形成初步认识.1.4 空间向量的数量积的运算律问题4: 类比平面向量数量积的运算律，空间向量数量积满足哪些运算律？【预设的答案】结合律；交换律；分配律数乘向量与向量数量积的结合律(λa )·b ＝λ(a ·b ), λ∈R 交换律a ·b ＝b ·a 分配律a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c追问：你能否证明上述运算律？【教师分析】证明前两条运算律，可以将向量a 与向量b 平移至同一个平面当中，则证明过程与平面向量中的证明方法无异；证明分配律时则涉及到三个不共面的向量.分配律的证明：,,OA a OB b BC c ===令, 'OC OA OC 向投影，投影向量为,OC OA θ记与的夹角为()OA OB BC OA OC ∴=⋅+=⋅左边||||cos OA OC θ=|||'|OA OC ='OB OA OB 向投影，投影向量为,1OB OAθ记与的夹角为 ''BC OA B C 同理，向投影，投影向量为,2BC OAθ记与的夹角为 OA OB OA BC ∴=⋅+⋅右边12||||cos ||||cos OA OB OA BC θθ=+|||'||||''|OA OB OA B C =+ ||(|'||''|)OA OB B C =+|||'|OA OC ==左边图2动态演示向量a 向直线l 投影 图3 动态演示向量a 向平面β投影2. 对比思考，深入了解思考问题1: 对于三个均不为0的数a ，b ，c ，若ab=ac ，则b=c.对于非零向量a ，b ，c ，由a ·b ＝a ·c ，能得到b ＝c 吗？分析：由a ·b ＝a ·c ，有a·(b －c )＝0. 从而有b ＝c 或a ⊥(b －c ).追问：能否从几何意义的角度举出反例？思考问题2: 向量有除法吗？分析：向量没有除法. 追问：ak 的结果唯一吗？ 思考问题3: 向量数量积满足结合律吗？分析：两个向量的数量积为一个实数，(a ·b )c 和a (b ·c )分别表示与向量c 和向量a 共线的向量，它们不一定相等.向量的数量积运算没有结合律！【设计意图】通过三个问题的思考 ，与数字运算进行对比，深刻体会向量运算与数字运算的区别所在；学会用数形结合的思想解决问题，了解向量是与几何密切相关的工具.四、课堂小结（1）空间向量夹角的定义及范围；（2）空间向量数量积运算的定义、性质及几何意义；（3）空间向量数量积运算的运算律及简单计算.五、课后思考【变式训练1】例1条件不变,如何求AB →·CD →的值?【解】AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝|AB →||AD →|cos 〈AB →，AD →〉－|AB →||AC →|cos 〈AB →，AC →〉＝cos 60°－cos 60°＝0.【设计意图】感受向量数量积的逆用，数量积运算的结果可以推导出夹角及位置关系. 思考：（1）能否利用空间向量的数量积证明空间中两条直线垂直？（2）能否利用空间向量的数量积求出空间中异面直线所成角？（3）能否利用空间向量的数量积解决更多的立体几何中的问题？。
向量的数量积教学设计
向量的数量积教学设计向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述空间中的任何一个物理量，例如力、速度、加速度等。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，本篇文章将从定义、性质、应用等方面对向量的数量积进行详细介绍。
一、定义向量的数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积再求和的结果。
假设有两个向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示向量A和B之间的夹角。
二、性质1.数量积具有交换律，即A·B=B·A。
2.数量积具有分配律，即(A+B)·C=A·C+B·C。
3.数量积具有结合律，即k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数。
4.若向量A与向量B的数量积为0，则称A与B垂直或正交。
5.若向量A与向量B的夹角为锐角，则它们的数量积为正数；若夹角为钝角，则数量积为负数。
三、应用1.求向量的模长利用向量的数量积可以求向量的模长，|A|=√(A·A)。
2.求向量的夹角利用向量的数量积还可以求向量之间的夹角，cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中θ为夹角。
3.求向量的投影利用向量的数量积和向量的模长可以求出一个向量在另一个向量上的投影，投影的大小为|A|cosθ，方向与另一个向量相同。
4.判断向量之间的关系利用向量的数量积可以判断两个向量之间的关系，若A·B>0，则向量A和向量B同向；若A·B<0，则向量A和向量B反向；若A·B=0，则向量A和向量B垂直或正交。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，它具有重要的应用价值。
无论是在物理学、工程学、计算机科学等领域，都有着广泛的应用。
因此，学习向量的数量积是非常有必要的。
向量的数量积与向量积教案
向量的数量积与向量积教案一、引言在学习向量的时候，除了了解向量的基本概念和运算法则，还需要掌握向量的数量积与向量积两种特殊的运算方式。
本教案将详细介绍向量的数量积与向量积的概念、性质及其在几何和物理问题中的应用。
二、向量的数量积1. 概念向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
设有向量a、b，则a与b的数量积记作a·b，计算公式为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b + c) = a·b + a·c（3）数量积的零向量：若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个是零向量。
（4）平行性判别：a·b = |a|·|b| 当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）工作与力的夹角：设有一个施力向量F和一个位移向量d，则功W等于F·d。
（2）向量的投影：设向量a与b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|·cosθ。
三、向量的向量积1. 概念向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的积。
设有向量a、b，则a与b的向量积记作a×b，计算公式为：|a×b| = |a|·|b|·sinθ其中，|a×b|表示a与b的向量积的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）反交换律：a×b = -b×a（2）分配律：a×(b + c) = a×b + a×c（3）叉乘的零向量：若a×b = 0，则a与b平行或其中一个是零向量。
（4）垂直性判别：a与b的向量积为零当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）面积计算：设有两个向量a和b，它们的向量积|a×b|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积。
49 向量的数量积 第2课时 向量的向量积 教案
6.2.4 向量的数量积第2课时向量的向量积本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节内容教材共分为两课时,其中第一课时主要研究数量积的概念,第二课时主要研究数量积的运算律,本节课是第二课时，本节课主要学习平面向量的数量积的运算律及其运用。
向量的数量积是继向量的线性运算(加法、减法、向量的数乘)后的又一种新的运算,它的内容很丰富。
包括定义、几何意义、性质与运算律,而且在物理和几何中具有广泛的应用。
向量数量积是代数、几何与三角的结合点,很好地体现了数形结合的数学思想。
但它与向量的线性运算有着本质的区别,运算结果是一个数量。
A.掌握数量积的运算律；B.利用数量积的运算律进行化简、求值；1.教学重点：数量积的运算律；2.教学难点：利用数量积的运算律化简、求值。
教学方法：以学生为主探究式学习合作学习教学工具：多媒体课件相关资料教学过程多媒体一、复习回顾，温故知新 1.向量的数乘的运算律【答案】设a 、b 为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：（1） a a )()(λμμλ=（2）a a a μλμλ+=+)(（3）b a b a λλλ+=+)(2.平面向量的数量积定义：θcos ||||b a b a =⋅平面向量的数量积的结果是数量。
二、探索新知1.平面向量数量积的运算律探究：类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？你能证明吗？平面向量数量积的运算律证明：（1）因为θcos ||||b a b a =⋅，θcos ||||a b a b =⋅所以，a b b a ⋅=⋅。
（2）当的夹角与的夹角、与时，b a b a λλ0>一样。
因为)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ，)(cos ||||cos ||||)(b a b a b a b a ⋅===⋅λθλθλλ同理，当)()()(0b a b a b a λλλλ⋅=⋅=⋅<时，成立。
93平面向量的数量积(教案).docx
§9.3平面向量的数量积一、学习要求：1、能理解两向量夹角的定义；2、理解向量数量积的涵义，掌握它们的基木运算法则；3、会求向量的数量积。
二、学习重点、难点重点：两向量夹角的定义，向量数量积的涵义、运算及性质。
难点：求向量的数量积。
三、学时安排共三学时第一学时：平面向量的数量积能理解两向量夹角的定义；理解向量数量积的涵义，掌握它们的基木运算法贝施会求向量的数量积。
第二学时：平而向量数量积的坐标表示掌握平面向量数量积的坐标表示，通过所给向量的坐标会求平面向量的数量积，通过所给向量的数量积会求向量的坐标。
第三学吋：平面向量的夹角熟悉平面向量所成角的计算公式的推导以及夹角的范围，会求平面向量的夹角，能应用向量数量积与向量所成角的计算公式解决实际问题。
四、学习过程第一学时(-)课前尝试1、学法指导：(1)复习平而向量的直角坐标以及向量的加、减法、数乘的坐标表示；(2)详细阅读P117〜P120的内容，掌握向量数量积的基本运算法则，会求向量的数量积。
2、尝试练习(1)_______________________________ 已知Q=(—・习0=(2~3), Q)a+b= _____________________________________ ®a-b= ______ ®2a+3b=_(2)你会求下列向量的数量积吗？试一试，做一做。
⑤ cz = 0,Z? = (%,>'),求 d ・b思考：通过(2)的求解，你发现了什么性质？(-)课堂探究1、探究问题：初中物理中对功的描述是这样的：一个物体在大小为F 的力的作用下，发生 了大小为s 的位移，则F 对物体位移做了多少功？ 如图(1) ___________________ ,思考：在匸和间有一个角〃，这个角〃与这两个向量Z 间有什么关系?2、知识链接：(1) 平而向量所成的角给定两个非零向量方Z,平移使它们的始点到同一点，以表示向量的线段所i i —♦ A在直线为始边的角，叫做向量d ，〃所成的角。
〖2021年整理〗《向量的数量积 》优秀教案
第九章平面向量第节向量的数量积与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母式的运算还有集合的运算．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．课程目标学科素养1通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义2掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式3会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明a数学抽象: 通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念b数学运算: 利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明1教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式2教学难点：理解平面向量数量积的概念及其几何意义多媒体调试、讲义分发。
如图，一个物体在力F的作用下产生位移，且力F与位移的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F|||co θ功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与的“数量积”一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么呢？问题情景中涉及F与的夹角你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？1向量的夹角1定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB＝θ0≤θ≤π叫做向量a与b的夹角2显然，当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向如果a与b的夹角是错误!，我们说a与b垂直，记作a⊥b2向量的数量积及其几何意义错误!1定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|co θ叫做向量a与b的数量积或内积，记作a·b，即a·b＝|a||b|co θ规定：零向量与任一向量的数量积为02投影如图，设a，b是两个非零向量，错误!＝a，错误!＝b，我们考虑如下变换：过错误!的起点A和终点B，分别作错误!所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1得到错误!，我们称上述变换为向量a向向量b投影，错误!叫做向量a在向量b上的投影向量3向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则1a·e＝e·a＝|a|coθ2a⊥b⇔a·b＝03当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝错误!错误!4|a·b|≤|a|·|b|4平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律与运算性质与实数的运算律及运算性质类似，可类比记忆类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab＝ba a·b＝b·a正确结合律abc＝abc a·bc＝ab·c错误分配律a＋bc＝ac＋bc a＋b·c＝a·c＋b·c正确消去律ab＝bcb≠0⇒a＝c a·b＝b·cb≠0⇒a＝c错误题型一求向量的夹角【例1】已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？解如图所示，作错误!＝a，错误!＝b，且∠AOB＝60°以错误!，错误!为邻边作平行四边形OACB，则错误!＝a＋b，错误!＝a－b因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以错误!与错误!的夹角为30°，错误!与错误!的夹角为60°即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°规律方法求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出题型二向量数量积的几何意义【例2】已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120211求a·b；2求a在b上的投影解1a·b＝|a||b|co θ＝5×4×co 12021－10；2a在b上的投影为|a|·co θ＝错误!＝错误!＝－错误!【变式】在例题题设不变的情况下，求b在a上的投影解b在a上的投影为|b|co θ＝错误!＝错误!＝－2题型三求向量的数量积【例3】已知正三角形ABC的边长为1，求：1错误!·错误!；2错误!·错误!；3错误!·错误!解1∵错误!与错误!的夹角为60°∴错误!·错误!＝|错误!||错误!|co 60°＝1×1×错误!＝错误!2∵错误!与错误!的夹角为12021∴错误!·错误!＝|错误!||错误!|co 120211×1×错误!＝－错误!3∵错误!与错误!的夹角为60°，∴错误!·错误!＝|错误!||错误!|co 60°＝1×1×错误!＝错误!规律方法求平面向量数量积的两个方法1定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a||b|co θ运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件2几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a·b题型四向量数量积的运算性质【例4】对于任意向量a，b，c，下列说法中正确的是A|a·b|＝|a||b| B|a＋b|＝|a|＋|b|C a·bc＝ab·c D|a|＝错误!解析因为a·b＝|a||b|co θ，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为a·bc是向量，其方向与向量c相同，ab·c是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|co 0＝|a|2，所以|a|＝错误!，所以D正确答案D题型五求向量的模与夹角【例5】1已知|a|＝|b|＝5，向量a与b的夹角θ为错误!求|a＋b|，|a－b|解a·b＝|a||b|co θ＝5×5×错误!＝错误!|a＋b|＝错误!＝错误!＝错误!＝5错误!|a－b|＝错误!＝错误!＝错误!＝52设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝错误!，则a，b的夹角为解析设a与b的夹角为θ，由题意得3a－2b2＝7，∴9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，又|a|＝|b|＝1，∴a·b＝错误!，∴|a||b|co θ＝错误!，即co θ＝错误!又θ∈[0，π]，∴a，b的夹角为错误!答案A规律方法求向量夹角的基本步骤及注意事项1、步骤：2、求向量的模的常见思路及方法1求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方2a·a＝a2＝|a|2或|a|＝错误!，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化中，若∠C＝90°，AC＝错误!，则错误!·错误!的值等于A－2 C－2错误!解析错误!·错误!＝|错误!||错误!|co ∠ABC＝2×错误!×co 45°＝2答案B2已知|a|＝8，|b|＝4，a与b的夹角为12021则向量b在a方向上的投影为B－4 D－2解析向量b在a方向上的投影为|b|co θ＝4×co 12021－2答案D3已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为解析∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×co 60°＋16×12＝12，∴|a－4b|＝2错误!答案B4已知|a|＝1，|b|＝错误!，且a＋b与a垂直，则a与b的夹角是________解析∵a＋b·a＝a2＋a·b＝0，∴a·b＝－a2＝－1，设a与b的夹角为θ，∴co θ＝错误!＝错误!＝－错误!，又θ∈[0，π]，∴θ＝错误!答案错误!1通过平面向量数量积的概念及其几何意义提升数学抽象素养通过计算平面向量的数量积培养数学运算素养2两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆。
教学设计4:3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.3 空间向量的数量积运算一、课题：空间向量的数量积二、教学目标：1．巩固空间向量数量积的概念；2．熟练应用空间向量数量积解决立体几何中的一些简单问题。
三、教学重、难点：应用空间向量数量积解决问题． 四、教学过程： （一）复习：1．空间向量夹角的概念和范围； 2．空间向量数量积的概念；3．向量AB 在e 方向上的射影：|||||cos ,|A B AB AB e ''=⋅<>． （二）新课讲解：例1．已知线段,AB BD 在平面α内，BD AB ⊥，线段AC α⊥，若,,AB a BD b AC c ===， 求,C D 间的距离．例2．已知平行六面体ABCD A B C D ''''-中，4,3,5,90AB AD AA BAD '===∠=， 60BAA DAA ''∠=∠=，求AC '的长．例3．已知S 是边长为1的正三角形所在平面外一点，且1SA SB SC ===，,M N 分别是AB ，SC 的中点，求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值．例4．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11AC 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求：长方体的高1BB ．五、课堂练习：课本第35页第1、5题． 六、课堂小结：空间向量数量积的应用． 七、补充作业：1．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中的真命题是( )．A ．若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a ，点E 、F 、G分别是AB 、AD 、DC 的中点，则下列向量的数量积等于a 2的是 ( )． A ．2BA →·AC → B ．2AD →·DB → C ．2FG →·AC → D ．2EF →·CB →3．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为 ( )．A.12B.22 C ．－12D ．0 4．已知a ，b 是空间两个向量，若|a |＝2，|b |＝2，|a －b |＝7，则cos 〈a ，b 〉＝________． 解析 将|a －b |＝7化为(a －b )2＝7，求得a ·b ＝12，再由a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉求得cos 〈a ，b 〉＝18.5．已知空间向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，|a |＝3，|b |＝1，|c |＝4，则a·b ＋b·c ＋c·a 的值为________．6．已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中点．求下列向量的数量积： (1)BC →·ED 1→；(2)BF →·AB 1→答 案例1．【答案】解：（方法一）连结AD ， ∵,AC AD αα⊥⊂，∴AC AD ⊥，在ABD ∆中∵BD AB ⊥， ∴22222AD AB BD a b =+=+，在ACD ∆中∵AC AD ⊥，所以，CD（方法二）：22||()CD CA AB BD =++222||||||222CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++⋅+⋅+⋅又∵,,AC AB BD ααα⊥⊂⊂，∴,AC BD AC AB ⊥⊥，又∵AB BD ⊥，∴BD AB ⊥，∴0,0,0CA AB AB BD CA BD ⋅=⋅=⋅=，∴2||CD =222222||||||CA AB BD a b c =++=++，所以，||CD例2.【答案】解：22||()AC AB AD AA ''=++222||||||222AB AD AA AB AD AB AA AD AA '''=+++⋅+⋅+⋅222435243cos90245cos60235cos60=+++⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯169250201585=+++++=所以，||85AC '=例3．【解析】要求异面直线SM 与BN 所成角的余弦值，只要求SM 与BN 所成的角的余弦值，因此就要求SM BN ⋅以及||||SM BN ⋅，然后再用向量夹角公式求解．【答案】解：设SA a =，SB b =，SC c =，∴12a b b c a c ⋅=⋅=⋅=，∵1()()2SM BN SA SB SN SB ⋅=+⋅-11()()22a b c b =+⋅- 2111()222a c a b b c b =⋅-⋅+⋅-1111111(1)2222222=⨯-+⨯-=-∴12cos ,3||||3SM BN SM BN SM BN -⋅<>===-⋅， 所以，异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为23．【说明】设出空间的一个基底后，求数量积SM BN ⋅的时候目标就更加明确了，只要将SM与BN 都化为用基向量表示就可以了。
空间向量的数量积运算》教学设计
空间向量的数量积运算》教学设计教学设计3.1.3 空间向量的数量积运算整体设计本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。
传统的解立体几何题需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。
用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
课时分配：1课时教学目标知识与技能：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法：1.运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义。
情感、态度与价值观：1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2.培养学生空间向量的应用意识。
重点难点教学重点：1.空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用。
教学难点：1.空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2.空间向量的数量积运算及其几何应用和理解。
教学过程引入新课提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝FC′，如何确定BE，FD的夹角？活动设计：教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式。
设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。
2023高中数学平面向量的数量积教案范文
2023高中数学平面向量的数量积教案范文2020高中数学平面向量的数量积教案范文一一、教学内容分析1、教学主要内容(1)平面向量数量积及其几何意义(2)用平面向量处理有关长度、角度、直垂问题2、教材编写特点本节是必修4第二章第3节的内容，在教材中起到层上启下的作用。
3、教学内容的核心教学思想用数量积求夹角，距离及平面向量数量积的坐标运算，渗透化归思想以及数形结合思想。
4、我的思考本节数学的目标为让学生掌握平面向量数量积的定义，及应用平面向量数量积的定义处理相关夹角距离及垂直的问题。
因此，让学生们学会把数学问题转化到图形中，及能在图形中把图形转化成相关的数学问题尤其重要。
二、学生分析1、在学平面向量的数量积之前，学习已经认识并会找向量的夹角，及用坐标表示向量的知识。
因此，对于a·b=∣b∣︳a︴cosθ(θ=)，容易进行相应的简单计算，但对于理解这个式子上存在一定的问题，因此，需把a·b=∣a∣∣b∣ cosθ转化到图形a·b=∣OM∣·∣OB∣=∣b∣cosθ∣a∣即a·b=∣a∣∣b∣cosθ理解并记忆。
对于cosθ= ，等的变形应用，同学们甚感兴趣。
2、我的思考对于基础薄弱的学生而言，学习本节知识，在处理例题成练习上，计算量不易过大。
三、学习目标1、知识与技能(1)掌握平面向量数量积及其几何意义。
(2)平面向量数量积的应用。
2、过程与方法通过学生小组探究学习，讨论并得出结论。
3、情感态度与价值观培养学生运算推理的能力。
四、教学活动内容师生互动设计意图时间 1、课题引入师：请同学请回忆我们所学过的相关同里的运算。
生：加法、减法，数乘师：这些运算所得的结果是数还是向量。
生：向量。
师：今天我们来学习一种有关向量的新的运输，数里积(板书课题) 由旧知引出新知，让学生知道我们学习是层层深入，知识永不止境，从而把学生引入到新的课程学习中来。
3min 2、平面向里的数量积定义师：平面向星数量积(内积或点积)的定义：已知两个非零向星a·b，它们的夹角是θ，则数量∣a∣·∣b∣cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即a·b=∣a∣∣b∣cosθ，注：①a·b≠a×b≠ab②O与任何向量的数里积为O。
教学设计2：6.2.4 向量的数量积
6.2.4 向量的数量积一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ图1功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<时cos θ>0,从而a ·b >0;当<θ≤π时,cos θ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bc a =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b )c =a (b ·c );但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).2π2π⇒③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cos θ.2°a ⊥b a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=.4°cos θ=. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程⇔a a •||||b a b a •中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.（三）应用示例思路1例1 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1, ||=,求·+·+的值. 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB =90°,从而sin ∠ABC =,sin ∠BAC =.∴∠ABC =60°,∠BAC =30°. ∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.故·+·+·=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b =|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k =±. 也就是说,当k =±时,a +k b 与a -k b 互相垂直. AB BC CA 3AB BC BC CA CA AB AB BC CA BC BC CA AB 2321AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB 33AB BC 4343点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+++=0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB =CD ,且BC =DA ,∴ABCD 是平行四边形.故=,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即⊥.综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD ,若=a ,=b ,则=a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.AB BC CD DA AB BC CD DA AB CD -AB BC AB CB CA DB DB ||||)(b a b b a b --•∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=|b |2-|b |2=|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×()|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉= 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-. 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m ,n ∈R ),已知|a |=2,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m ,n 的值. 解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n .∴n =-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·()=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m .①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②得2m 2=12,即m 2=6.∴m =±.故m =±,n =-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业 2121-23-21-,||||)(b a b b a b --•2323||3||||2-=•b b b 65π221-66。
教案高中数学向量数量积
教案高中数学向量数量积
教学目标：
1. 了解向量数量积的定义和性质；
2. 掌握向量数量积的计算方法；
3. 能够运用向量数量积解决实际问题。
教学重点：
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的计算方法；
3. 向量数量积的性质。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师引入向量数量积的概念，并与学生讨论向量数量积在实际生活中的应用。
二、讲解（20分钟）
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的计算方法；
3. 向量数量积的性质。
三、练习（25分钟）
1. 练习向量数量积的计算方法；
2. 解决一些实际问题。
四、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调向量数量积在解决实际问题中的应用。
五、作业布置（5分钟）
布置相关作业，巩固学生对向量数量积的理解和应用。
教学手段：
1. 多媒体课件；
2. 教学实例；
3. 练习题；
4. 白板和彩色笔。
教学评价：
1. 学生课堂表现；
2. 课堂练习成绩；
3. 作业完成情况。
平面向量的数量积教案(新人教必修
平面向量的数量积教案（新人教必修）第一章：向量的概念回顾1.1 向量的定义介绍向量的概念，包括大小和方向。
通过图形和实例说明向量的表示方法，如箭头和坐标表示。
1.2 向量的长度和方向向量的长度（模长）的定义和计算方法。
向量的方向及其表示方法。
1.3 向量的加法和减法向量的加法和减法运算规则。
通过图形和实例说明向量的加法和减法。
第二章：向量的数量积2.1 数量积的定义向量的数量积（点积）的定义和性质。
数量积的计算公式：a·b = |a||b|cosθ。
2.2 数量积的性质和运算规则数量积的交换律、结合律和分配律。
数量积与向量长度的关系。
2.3 数量积的应用利用数量积判断两个向量的夹角。
利用数量积解决向量垂直和平方等问题。
第三章：向量的数量积的坐标表示3.1 坐标系中的向量二维和三维坐标系中的向量表示。
向量的坐标运算规则。
3.2 数量积的坐标表示向量的数量积的坐标表示公式：a·b = x1y1 + x2y2。
利用坐标表示进行数量积的计算。
3.3 数量积的坐标运算利用坐标表示进行向量的加法、减法和数量积的运算。
坐标系中向量的夹角和垂直问题。
第四章：向量的数量积的性质和应用4.1 数量积的性质数量积的奇偶性、对称性和守恒性。
数量积与向量垂直的性质。
4.2 数量积的应用利用数量积解决向量平行和共线问题。
利用数量积解决向量投影和夹角问题。
第五章：向量的数量积的综合应用5.1 数量积与线性方程组利用数量积解决线性方程组的解的存在性。
利用数量积判断线性方程组的解的情况。
5.2 数量积与几何图形利用数量积解决几何图形中的问题，如三角形、四边形等。
利用数量积判断几何图形的特点和性质。
5.3 数量积与物理应用利用数量积解决力学中的问题，如力的合成和分解。
利用数量积解决电磁学中的问题，如电场和磁场的合成。
第六章：向量的数量积的进一步应用6.1 投影向量介绍投影向量的概念和计算方法。
利用数量积计算向量的投影向量。
6.2.4向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
6.2.4向量的数量积(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)一、内容和内容解析本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明确概念[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a 与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a 在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律？能否证明一下？(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．它们的夹角为2π3，则向量a 在向量e 上的投影向量是______；向量e 在向量a 上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a ，b 满足|b |＝4|a |，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A ．π3 B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____. 因为与向量a 方向相同的单位向量为aa =14a ，所以向量e 在向量a 上的投影向量是|e |cos θaa=cos2π314a =－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a ·(2a ＋b )＝2a 2＋a ·b ＝0，即a ·b ＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力．课堂小结升华认知[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为135°，则m·n＝( )A．12 B．12 2C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．教师19：提出问题11．学生17：思考.教师20：布置课后练习学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。
3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。
对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。
（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。
3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。
六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。
高中数学必修4《平面向量的数量积》教案
⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案 ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼀】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学过程 1.平⾯向量数量积(内积)的定义：已知两个⾮零向量a与b，它们的夹⾓是θ， 则数量|a||b|cosq叫a与b的数量积，记作a×b，即有a×b = |a||b|cosq，(0≤θ≤π). 并规定0向量与任何向量的数量积为0. ×探究：1、向量数量积是⼀个向量还是⼀个数量?它的符号什么时候为正?什么时候为负? 2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别? (1)两个向量的数量积是⼀个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a×b;今后要学到两个向量的外积a×b，⽽a×b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能⽤“×”代替. (3)在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0;但是在数量积中，若a?0，且a×b=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0. ⾼中数学必修4《平⾯向量的数量积》教案【⼆】 教学准备 教学⽬标 1.掌握平⾯向量的数量积及其⼏何意义; 2.掌握平⾯向量数量积的重要性质及运算律; 3.了解⽤平⾯向量的数量积可以处理有关长度、⾓度和垂直的问题; 4.掌握向量垂直的条件. 教学重难点 教学重点：平⾯向量的数量积定义 教学难点：平⾯向量数量积的定义及运算律的理解和平⾯向量数量积的应⽤ 教学⼯具 投影仪 教学过程 ⼀、复习引⼊： 1.向量共线定理向量与⾮零向量共线的充要条件是：有且只有⼀个⾮零实数λ，使=λ 五，课堂⼩结 (1)请学⽣回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想⽅法有那些? (2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明⽩的地⽅，请向⽼师提出。
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2.3.1向量数量积的物理背景与定义
教材说明
平面向量数量积具有代数与几何的双重性质，因此所涉及的内容较为广泛，如方程、不等式等代数问题；夹角、距离、面积、平行、垂直等几何问题。
平面向量数量积是数学中知识与能力的载体，是数学上的一个重要工具之一，值得一提的是在教材的后续两章的学习中，对三角函数内容中某些问题的处理都是借助向量的数量积来解决的，这正体现了平面向量数量积的工具性，在解决代数与几何问题中都有着很强的实用性。
课型新授课
课时1课时（练习共2课时）
学情分析
在学习平面向量数量积之前，学生已学习了平面向量的概念、向量的线性运算及向量的基本定理与坐标表示等有关内容，这为过渡到本节的学习起了铺垫作用；在后继知识的学习中，是据此内容用向量代数方法进一步研究了平面图形的有关性质。
本节以力对物体做功作为背景，研究平面向量的数量积。
但是，学生作为初学者不清楚向量数量积是数量还是向量，寻找两向量的夹角又容易想当然，以及对运算律的理解和平面向量的数量积的灵活应用。
通过情景创设、探究和思考引导学生认知、理解并掌握相关的内容。
利用向量数量积运算讨论一些几何元素的位置关系、距离和角，这些刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量学生容易混淆。
利用数量积运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系解决问题，是学生学习本节内容的重点又是难点。
由向量的线性运算迁移、引申到向量的乘法运算这是个很自然的过渡，深入浅出、符合学生的认知规律，也有利于明确本节课的教学任务，激发学生的学习兴趣和求知欲望。
教学内容分析
教学的主要内容：以物体受力做功为背景引入数量积的概念，使向量数量积运算与物理知识联系起来；向量数量积与向量的长度及夹角的关系；进一步探究两个向量的夹角对数量积符号的影响及有关的性质、几何意义和运算律。
教材的编写的特点：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书·数学必修4》（Ｂ版）第二章、第3节第1课时。
它是平面向量的核心内容，向量的平行、垂直关系是向量间最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、距离又是向量的重要数量特征，向量的数量积恰好是解决问题的一个重要工具。
教学目标
知识与技能：
（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
（2）掌握向量数量积的性质和运算律，会进行平面向量数量积的运算；
（3）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个向量的垂直关系.
过程与方法：
通过向量的线性运算及多项式乘法运算的对照，强化学生的类比思想
情感态度与价值观：
通过数量积的性质、运算律的灵活应用，发展学生从特殊到一般的认知能力，培养学生学习的主动性和合作交流的学习习惯
教学重点和难点
重点：平面向量的数量积的概念和性质；用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角；平面向量数量积的运算律的探究及应用.
难点：难点是平面向量的数量积的定义及对运算律的探究、理解；平面向量数量积的灵活应用。
教学策略选择与设计
《高中数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”，转变学生的学习方式，激发学生的学习积极性，让学生乐于参与到探索性和创造性的学习活动中来，这是新课程数学教学的基本要求。
《高中数学课程标准》还明确提出了提高学生的知识与技能、重视学生的学习过程与方法，培养学生的情感态度、价值观的三维目标。
为此，结合本节课的教学内容，教学中注重过程、方法，注重引导学生自觉去看书，不断提出问题，研究问题，并解决问题。
重视在师生，生生互动、交流的过程中渗透情感态度与价值观。
教学资源与手段
资源：三角板，彩粉笔，电脑，多媒体。
手段：通过师生互动，共同探讨生成新知，更加有助于学生探究能力的培养。
教学环节教学过程师生活动设计意图
情景引入1、给出有关材料并提出问题
问题1：θ表示一个么角？
（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生
位移S，那么力F所做的功：cos
W F Sθ
=
u r u r。
（2）这个公式有什么特点？请完成下列填
空：
①W（功）是量，②F（力）是量，
③S（位移）是量，④θ是。
（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”
吗?答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的
乘积
提问
学生易答：表示
力F的方向与
位移s的方向的
夹角
创设学生熟悉的
问题情景，将学
生自然的带入到
课堂的教学内容
中来。
探究问题，形成定义。
（1）探究两个向量的夹角的定义。
问题2：你能指出下列图中两向量的夹角
吗？
问题3：对于两个非零向量,a b
r r
，你能给
出它们夹角的定义吗？
①②③学生容易
得到，④学生可
能会出现两种答
案，教师给予指
导
学生思考回
答，教师予以补
充，关键是点出
两向量起点相
同，并给出夹角
符号,a b
r r
对于易错点加以
强调。
S
F
探究问题，形成定义。
问题4：思考向量夹角的范围
问题5：θ
cos
F表示什么？
（2）探究向量b
r
在a
r
方向上的投影
问题6：对于两个非零向量,a b
r r
，向量b
r
在
向量a
r
方向上的投影为什么？你能从图中
作出b
r
在a
r
方向上的投影吗？
有了问题2的铺
垫，学生容易得
出0≤,a b
r r
≤π，
教师强调同向
时为0，反向时
为π.
教师补充：
（1）当,a b
r r
=
2
π
时，向量a
r
与
向量b
r
互相垂
直，记作a b
⊥
r r
.
（2）在讨论垂直
问题时规定：零
向量与任一向量
垂直.
生答：力F在位
移方向上的分量
师补充：我们把
θ
cos
F称为力F
在位移S方向上
的投影
师生共作向量b
r
在a
r
方向上的投
影图象。
通过提问，由学
生自己生成定
义，印象更为深
刻。
由师生合作共同
完成，拉近师生
距离，增进师生
感情。
θ
s
F
探究问题，形成定义。
（3）探究a
r
与b
r
的数量积.
问题7：F（力）是量， S（位移）是量，
W（功）是量
定义：
cos
a b ab
r r r r
叫做a
r
与b
r
的数量积（或内积），
记作：a b⋅
r r
.
即：a b⋅
r r
=cos
a b ab
r r r r。
（板书三）
问题8：向量数量积的运算与线性运算的结果
有什么不同?
若,a b
r r
是非零向量，设夹角为θ，完成下表：
夹角
θ的
范围
2
π
θ
≤<
2
π
θ=π
θ
π
≤
<
2
a b⋅
r r
的符
号
问题9：根据投影的概念，数量积a b⋅
r r
=a b
r r
cos,a b
r r
的几何意义如何？（板书四）
对上述物理意义
下的“功”概念
进行抽象，将公
式中的力与位移
推广到一般向量
a
r
与b
r。
怎么来规定
cos
a b ab
r r r r
的
含义?
教师强调记法，
a b⋅
r r
中的“⋅”不
可少，不可写成
a b
⨯
r r
.
学生回答。
学生自己动手完
成表格。
以上两个环节都
是从物理模型中
抽象出我们要研
究的概念，通过
具体问题引领学
生得到精确定
义，且由形到数
的研究方法符合
认知规律。
由于
课标中明确要求
“体会平面向量
的数量积与向量
投影的关系”，
因此我舍弃B版
教材中向量在轴
上的正射影和向
量在轴上的数量
两个概念，而选
用其他版本的投
影的概念。
通过此问题不仅
使学生认识到数
量积的结果与线
性运算的结果有
着本质的不同，
而且认识到向量
的夹角是决定数
量积结果的重要
因素，为下面更
好地理解数量积
的性质作好铺
垫。
通过此问题让学
生从“形”的角
度重新认识数量
积的概念，从中
体会数量积与向
量投影的关系。