苏科版九年级下册 二次函数压轴题题型简单复习总结之----求线段、周长、面积的最大值经典题型练习(无
苏教版九年级下册数学[《二次函数》全章复习与巩固—知识点整理及重点题型梳理](基础)
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苏教版九年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（基础）【学习目标】1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数.要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.要点二、二次函数的图象与性质1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①；②；③；④，其中；⑤.（以上式子a≠0）当(轴) (轴)(，)2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. (2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线.3.抛物线20()y ax bx c a =++≠中，,,a b c 的作用： (1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧.(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)：①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则.4.用待定系数法求二次函数的解析式： (1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. (2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.(可以看成的图象平移后所对应的函数.)(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式：（a≠0）.(由此得根与系数的关系：).要点诠释：求抛物线2y ax bx c =++（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．要点三、二次函数与一元二次方程的关系 函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点诠释：二次函数图象与x 轴的交点的个数由的值来确定.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.要点四、利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释：常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.【典型例题】类型一、求二次函数的解析式1．已知二次函数的图象经过原点及点11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，且图象与x 轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为____ ____． 【答案】 21133y x x =-+或2y x x =+． 【解析】 正确找出图象与x 轴的另一交点坐标是解题关键．由题意知另一交点为(1，0)或(-1，0)． 因此所求抛物线的解析式有两种． 设二次函数解析式为2y ax bx c =++．则有0,1114420c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪++=⎪⎩，或0,111,4420,c a b c a b c =⎧⎪⎪-=-+⎨⎪-+=⎪⎩解之13130a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，或1,1,0.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩因此所求二次函数解析式为21133y x x =-+或2y x x =+． 【点评] 此题容易出错漏解的错误．举一反三：【课程名称：二次函数复习357019 ：(1)-（2）问精讲】【变式】已知：抛物线y=x 2+bx+c 的对称轴为x=1，交x 轴于点A 、B(A 在B 的左侧)，且AB=4，交y 轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M 的坐标. 【答案】∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4) ∵对称轴x=1，且AB=4∴抛物线与x 轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)bb=-212c=-31b c 0⎧-=⎧⎪∴∴⎨⎨⎩⎪-+=⎩∴y=x 2-2x-3为所求,∵x=1时y=-4 ， ∴M(1，-4).类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图1所示，反比例函数ay x=与正比例函数y ＝(b+c)x 在同一坐标系中的大致图象可能是( )．【答案】B ；【解析】由2y ax bx c =++的图象开口向上得a ＞0，又02ba->，∴ b ＜0． 由抛物线与y 轴负半轴相交得c ＜0． ∵ a ＞0，∴ ay x=的图象在第一、三象限． ∵ b+c ＜0，∴ y ＝(b+c)x 的图象在第二、四象限． 同时满足ay x=和()y b c x =+图象的只有B ． 【点评】由图1得到a 、b 、c 的符号及其相互关系，去判断选项的正误.类型三、数形结合3．（2015•陕西模拟）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ．则： ①b=﹣2；②该二次函数图象与y 轴交于负半轴；③存在这样一个a ，使得M 、A 、C 三点在同一条直线上；④若a=1，则OA •OB=OC 2． 以上说法正确的有（ ）A ．①②③④B ．②③④C ．①②④D ．①②③ 【思路点拨】①二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），因而将M 、N 两点坐标代入即可消去a 、c 解得b 值．②根据图象的特点及与直线MN 比较，可知当﹣1＜x ＜1时，二次函数图象在直线MN 的下方． ③同②理．④当y=0时利用根与系数的关系，可得到OA •OB 的值，当x=0时，可得到OC 的值．通过c 建立等量关系求证． 【答案】C ；【解析】①∵二次函数y=ax 2+bx+c （a ＞0）经过点M （﹣1，2）和点N （1，﹣2），∴，解得b=﹣2．故该选项正确．②方法一：∵二次函数y=ax2+bx+c，a＞0∴该二次函数图象开口向上∵点M（﹣1，2）和点N（1，﹣2），∴直线MN的解析式为y﹣2=，即y=﹣2x，根据抛物线的图象的特点必然是当﹣1＜x＜1时，二次函数图象在y=﹣2x的下方，∴该二次函数图象与y轴交于负半轴；方法二：由①可得b=﹣2，a+c=0，即c=﹣a＜0，所以二次函数图象与y轴交于负半轴．故该选项正确．③根据抛物线图象的特点，M、A、C三点不可能在同一条直线上．故该选项错误．④当a=1时，c=﹣1，∴该抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣1当y=0时，0=x2﹣2x+c，利用根与系数的关系可得x1•x2=c，即OA•OB=|c|，当x=0时，y=c，即OC=|c|=1=OC2，∴若a=1，则OA•OB=OC2，故该选项正确．总上所述①②④正确．故选C．【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点较多，熟练掌握所学函数的图象性质及特点对于解题很重要；同时也要灵活应对知识点彼此之间的联系．类型四、函数与方程4．（2016•台湾）如图，坐标平面上，二次函数y=﹣x2+4x﹣k的图形与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，且k＞0．若△ABC与△ABD的面积比为1：4，则k值为何？（）A．1 B．C．D．【思路点拨】求出顶点和C的坐标，由三角形的面积关系得出关于k的方程，解方程即可．【答案】D．【解析】解：∵y=﹣x2+4x﹣k=﹣（x﹣2）2+4﹣k，∴顶点D（2，4﹣k），C（0，﹣k），∴OC=k，∵△ABC的面积=AB•OC=AB•k，△ABD的面积=AB（4﹣k），△ABC与△ABD的面积比为1：4，∴k=（4﹣k），解得：k=．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点、抛物线的顶点式；根据三角形的面积关系得出方程是解决问题的关键． 举一反三：【变式1】无论x 为何实数，二次函数的图象永远在x 轴的下方的条件是( )A ．B ．C ．D ．【答案】二次函数的图象与x 轴无交点，则说明y=0时，方程无解，即．又图象永远在x 轴下方，则． 答案：B【变式2】对于二次函数，我们把使函数值等于0的实数x 叫做这个函数的零点，则二次函数(m 为实数)的零点的个数是( )A ．1B ．2C ．0D ．不能确定 【答案】当y=0时，，，即二次函数的零点个数是2． 故选B.类型五、分类讨论5．已知点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上．(1)用含a 的代数式表示b ；(2)如果该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标． 【思路点拨】(1)将A(1，1)代入函数解析式．(2)由△＝b 2-4ac ＝0求出a ． 【答案与解析】(1)因为点A(1，1)在二次函数22y x ax b =-+的图象上，所以1＝1-2a+b ，所以b ＝2a ． (2)根据题意，方程220x ax b -+=有两个相等的实数根，所以2244480a b a a -=-=， 解得a ＝0或a ＝2．当a ＝0时，y ＝x 2，这个二次函数的图象的顶点坐标是(0，0)． 当a ＝2时，2244(2)y x x x =-+=-，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2，0)．所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0，0)或(2，0)．【点评】二次函数2y ax b c =++(0)a ≠的图象与x 轴只有一个交点时，方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根，所以240b ac =-=△．类型六、二次函数与实际问题6．（2015•黄陂区校级模拟）进价为每件40元的某商品，售价为每件50元时，每星期可卖出500件，市场调查反映：如果每件的售价每降价1元，每星期可多卖出100件，但售价不能低于每件42元，且每星期至少要销售800件．设每件降价x 元 （x 为正整数），每星期的利润为y 元． （1）求y 与x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；（2）若某星期的利润为5600元，此利润是否是该星期的最大利润？说明理由． （3）直接写出售价为多少时，每星期的利润不低于5000元？ 【思路点拨】（1）根据利润y=每件利润×销售量，每件利润=50﹣40﹣x ，销售量=500+100x ，而售价50﹣x≥42，销售量=500+100x≥800，列不等式组求x 的取值范围；（2）根据（1）的关系式配方后确定最大利润，与5600比较后即可发现是否为最大利润； （3）设当y=5000时x 有两个解，可推出0≤x≤5时，y≥5000． 【答案与解析】解：（1）依题意，得y=（50﹣40﹣x ）•（500+100x ）=﹣100x 2+500x+5000，∵，∴3≤x≤8；（2）y=﹣100x 2+500x+5000=﹣100（x ﹣）+5625，∵5600＜5625，∴5600不是最大利润．（3）当y=5000时，y=﹣100x 2+500x+5000=5000，解得x 1=0，x 2=5，故当0≤x≤5时，y≥5000，即当售价在不小于45元且不大于50元时，月利润不低于5000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用．一般求最值问题，大多是建立二次函数关系，从而借助二次函数解决实际问题．。
2020—2021年新苏科版(新课标)九年级数学下册《二次函数》经典考点归类复习及答案解析.docx
苏科版（新课标）九年级下册《二次函数综合题》归类复习1．图像与性质：例1．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x 轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M 的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G （，3）．在△AOB沿x 轴向右平移的过程中．分二种情况：①当0＜m ≤时；②当＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．解：（1）由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则，解得．故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）①当MA=MB时，M（0，0）；②当AB=AM时，M（0，﹣3）；③当AB=BM时，M（0，3+3）或M（0，3﹣3）．所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3）、（0，3﹣3）．（3）平移后的三角形记为△PEF．设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．则直线AB的解析式为y=﹣x+3．△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，易得直线EF 的解析式为y=﹣x+3+m．设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则，解得．则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．连结BE，直线BE交AC于G，则G （，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．①当0＜m ≤时，如图1所示．设PE交AB于K，EF交AC于M．则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，联立，解得，即点M（3﹣m，2m）。
压轴题二：二次函数中的周长问题
九年级数学压轴题库（二） 二次函数中的周长问题知识点：1. 在直线l 上求作一点P ，使得PA+PB 最短.2. 在直线l 上求作一点P ，使得 |PA-PB| 最长.例1 已知：抛物线()20y a x b xc a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得PBC △的周长最小．请求出点P 的坐标． （3）已知在对称轴上存在一点Q ，使得|QB-QC|的长最大．请求出点Q 的坐标．（4）若点D 是线段O C 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作DE P C ∥交x 轴于点E ．连接P D 、P E ．设C D 的长为m ，PDE △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．A CxyBOA' P l A BPl A BlABPBlA BBPA'例2 已知：抛物线t ax ax y ++=42与x 轴的一个交点为A （－1，0）。
（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧。
问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。
例3 已知抛物线y=x2+(2n-1)x+n2-1 (n为常数).(1)当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，求出它所对应的函数关系式；(2)设A是(1)所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D，再作AB⊥x轴于B，DC⊥x轴于C.①当BC=1时，求矩形ABCD的周长；②试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A 点的坐标；如果不存在，请说明理由.例4 如图，直角坐标系中，A（-2，0），B（8，0），以AB为直径作半⊙P交y轴于M，以AB为一边作正方形ABCD．（1）直接写出C、M两点的坐标．（2）连CM，试判断直线CM是否与⊙P相切？说明你的理由．（3）在x轴上是否存在一点Q，使△QMC周长最小？若存在，求出Q坐标及最小周长；若不存在，请说明理由．例1例2例3学习必备欢迎下载例4。
苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数（定稿）
苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数（定稿）第一篇：苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数（定稿）苏教版九年级数学下册第六章知识点归纳：二次函数一、定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax2+bx+c(ane;0)，则称y为x的二次函数。
二、二次函数的三种表达式一般式：y=ax2+bx+c(ane;0)顶点式：y=a(x-h)2+k(ane;0)，此时抛物线的顶点坐标为P(h，k)交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(ane;0)仅用于函数图像与x轴有两个交点时，x1、x2为交点的横坐标，所以两交点的坐标分别为A(x1，0)和 B(x2，0))，对称轴所在的直线为x= 注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-，k=;x1, x2=;x1+x2=-三、二次函数的图像从图像可以看出，二次函数的图像是一条抛物线，属于轴对称图形。
四、抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形，对称轴为直线x =-，对称轴与抛物线唯一的交点是抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-，)。
当x=-时，y最值=，当agt;0时，函数y有最小值;当alt;0时，函数y有最大值。
当-=0时，P在y轴上(即交点的横坐标为0);当Delta;= b2-4ac=0时，P在x轴上(即函数与x轴只有一个交点)。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小(即形状)。
当agt;0时，抛物线开口向上;当alt;0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
对于两个抛物线，若形状相同，开口方向相同，则a相等;若形状相同，开口方向相反，则a互为相反数。
4.二次项系数a和一次项系数b共同决定对称轴的位置，四字口诀为“左同右异”，即：当对称轴在y轴左边时，a与b同号(即abgt;0);当对称轴在y轴右边时，a与b 异号(即ablt;0)。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(线段周长问题)(含简单答案)
(2)点P在直线 下方的抛物线上，连接 交 于点 ，过点 作 轴的垂线 ，垂线 交 于点 ， 垂线 ，求证 ；当 最大时，求点P的坐标及 的最大值；
(3)在(2)的条件下，在 上是否存在点 ，使 是直角三角形，若存在，请直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知抛物线与 轴交于点 ， ，与 轴交于点 ．
(3)若直线 与线段 交于点 （不与点 ， 重合），则是否存在这样的直线 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
(1)求该抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点 是抛物线的对称轴与直线 的交点，点 是抛物线的顶点，求 的长；
(3) 或
13．(1)二次函数的解析式为 ；
(3)点P的坐标为 或 ．
14．(1)
(2) ，或
(3)
15．(1)抛物线的函数关系式为 ；直线 的函数关系式为 ；
(2) 面积的最大值为 ；
(3)点M的坐标为 ．
16．(1) ，
(2)
(3)最大值为4，此时
17．(1) ，
(2)
(3) 或 或
18．(1)
11．已知：抛物线 经过 三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P为直线 上方抛物线上任意一点，连接 ， 交直线 于点E，设 ，求当k取最大值时点P的坐标，并求此时k的值．
(3)如图2，点Q为抛物线对称轴与x轴的交点，点C关于x轴的对称点为点D．求 的周长及 的值．
12．如图，抛物线 交 轴于 ， 两点（点 在 的右边），与 轴交于点 ，连接 ， ．点 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 的横坐标为 ，过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ．
九年级二次函数专题复习二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值课件
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B和点C的坐标分别为 (3,0),(0,-3),抛物线的对称轴为x=1,D为抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式; (2)点E为线段BC上一动点,过点E作x轴的垂线,与抛物线交于点F,求四边形ACFB面积的最 大值,以及此时点E的坐标.
练习反馈：
3.如图,已知抛物线y=-x2+mx+3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点B的坐标为(3,0). (1)求m的值及抛物线的顶点坐标. (2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点,当PA+PC的值最小时,求点P的坐标.
练习反馈：
4.二次函数y=- x2+bx+c的图象与直线y=- x+1相交于A,B两点(如图),A点在y轴上,过点B
练习反馈：
10.如图,已知抛物线经过两点A(-3,0),B(0,3),且其对称轴为直线x=-1. (1)求此抛物线的解析式. (2)若点P是抛物线上点A与点B之间的动点(不包括点A,点B),求△PAB的面积的最大值, 并求出此时点P的坐标.
练习反馈：
9.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＜0)与x轴交于A，B两 点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线 的另一个交点为D，且CD＝4AC. (1)直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式(其中k，b用含a的式子表示)； (2)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；
二次函数专题复习 二次函数中几何图形线段、周长、面积的最值
类型一 线段最值问题
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1.(综合与探究）如图,直线y=-x+4交x轴于点A,交y轴于点C,抛物线y= x2+bx+c经过点A,
苏科版九年级下册数学：二次函数复习
五. 延问精练，课后固学
1.交流展示课前练习中的1,3两题
2.课堂小结 请大家谈谈本节课的收获 从知识、方法、思想等方面进行反思.
三.追问互助，合作深学
问题3：
变式1：设抛物线与ｙ轴交于点Ｄ,你能求出 △BCD的面积吗?
三.追问互助，合作深学
问题3：
变式2：在抛物线上是否存在点M(不与点C重合) ，使得△ABM的面积等于△ABC的面积。
四.查问测效，即时补学
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A(1,-2)、
变式1： 若C(2, y1)，D（6，y2）也是抛物线上的两点 ，则y1 ___ y2
变式2：若E(-2, y1)，F（4，y2）也是抛物线上的两点 ，则y1 ___ y2 (填 , 或 );
三.追问互助，合作深学
问题3：设该函数的图像与x轴交点为A,B,顶点
为C,求△ABC的面积（A在B的左边）
一.概问引标，课前先学
见学案相关内容
（请同学们课前完成，各学习小组讨论交流 解决问题过程中所涉及的知识点）
欢迎光临，敬请指导
初中数学 七年级(下册)
二次函数复习 (1)
目标引领
1.会通过配方法确定抛物线的开口方向、 对称轴、顶点坐标和最值； 2.会用二次函数的性质解决简单的数学问 题； 3.能运用待定系数法求二次函数的解析式； 4.能用二次函数的图像和性质解决简单的 综合性问题。
苏科版九年级数学下册二次函数期末解答题专项复习【含答案】
苏科版九年级数学下册二次函数期末解答题专项复习1.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x …－2 －1 0 1 2 …y … 5 0 －3 －4 －3 …（1）求该二次函数的表达式；（2）该二次函数图像关于x 轴对称的图像所对应的函数表达式；2.已知二次函数y＝(x－m)(x＋m＋4)，其中m为常数．（1）求证：不论m为何值，该二次函数的图像与x轴有公共点．（2）若A(－1，a)和B(n，b)是该二次函数图像上的两个点，请判断a、b的大小关系．3.如图，已知抛物线与x轴交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与轴交于点B(0，3). (1)求抛物线的解析式; (2)设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积;(3)△AOB与△DBE是否相似?如果相似，请给以证明:如果不相似，请说明理由.4.若二次函数21y ax bx =++的图像经过点(1，0)和(2，1) (1)求a ，b 的值; (2)写出该二次函数的对称轴和顶点坐标.5.如图，二次函数y ＝ax 2－8ax ＋c （a ＜0）的图像与x 、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，顶点为D ，一次函数y ＝－mx +c 的图像过 A 、B 两点，且sin ∠OAB ＝35，BD 平分∠ABY （Y 在点B 上方）． （1）求m 的值；（2）求二次函数的表达式．6.二次函数y = ax 2 + bx + c 的图象的一部分如图所示.已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1） （1）试求a ，b 所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的54倍时，求a 的值:（3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形?若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由.By O ADxY7.（1）已知二次函数2=+的图像经过点（-2，8）和点（-1，5），求该二次函数y ax c表达式．（2）已知某二次函数的图像与x轴交于点（1，0）和点（-3，0），且经过点（0，3），求该二次函数表达式．8.已知二次函数的图像以()2,5B-.A-为顶点，且过点()1,4(1)求该函数的关系式;(2)求该函数图像与坐标轴的交点坐标;(3)将函数图像向左平移几个单位，该函数图像恰好经过原点.9.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，－3）．（1）求此二次函数的表达式；（2）结合函数图象，直接写出当y＞－3时，x的取值范围．10.有这样一个问题：探究函数1(1)(2)(3)2y x x x x =---+的性质．（1）先从简单情况开始探究： ① 当函数为1(1)2y x x =-+时，y 随x 增大而 （填“增大”或“减小”）； ② 当函数为1(1)(2)2y x x x =--+时，它的图象与直线y x =的交点坐标为 ；（2）当函数为1(1)(2)(3)y x x x x =---+时，下表为其y 与x 的几组对应值．出的点，画出该函数的图象；②根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质： ．11.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2443=-++的顶点为A．y mx mx m（1）求点A的坐标；（2）将线段OA沿x轴向右平移2个单位得到线段O A''．①直接写出点O'和A'的坐标；②若抛物线2443=-++与四边形AOO A''有且只有两个公共点，结合函数的图象，y mx mx m求m的取值范围．12.某商品的进价为每个3元、已知该商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系216=++，其图像如图所示.y ax x c(1)求a、c的值;(2)销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(3)销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元?13.如图，二次函数的图像与x 轴相交于A （－3，0）、B(1，0)两点，与y 轴相交于点C (0，3)，点C 、D 是二次函数图像上的一对对称点，一次函数的图像过点B 、D ． (1)D 点坐标（ ， ）； (2)求二次函数的解析式；(3)若把二次函数向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 直接写出平移后的解析式；(4)根据图像直接写出使一次函数值小于二次函数值 的x 的取值范围．14.对于二次函数342+-=x x y 和一次函数1+-=x y ，我们把)1)(1()34(2+--++-=x t x x t y 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图像记作抛物线E ．现有点A （1，0）和抛物线E 上的点B （2，n ），请完成下列任务： 【尝试】⑴判断点A 是否在抛物线E 上；⑵求n 的值．【发现】通过（1）和（2）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，请你求出定点的坐标．【应用】二次函数5832-+-=x x y 是二次函数342+-=x x y 和一次函数1+-=x y 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由．15.已知：关于x 的一元二次方程：x 2-6x+m=0 （1）当m=0时，求原方程的解：（2）若方程有一个实数根为3-5，求方程另一根及m 的值。
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二次函数压轴题型简单总结一
求线段、周长或面积的最大值，求动点坐标（利用三角函数、二次函数顶点式、中点弦性质、铅锤法求面积等知识点）
1、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，已知点A（﹣
3，0），B（0，3），C（1，0）．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE 的周长最大，求出此时P点的坐标．
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4），点A、B在x轴上，并且OA＝OC＝4OB，
动点P在过A、B、C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得△P AC的面积最大？若存在，求出P点坐标及△P AC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
3、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与y轴交于点A，与x轴交于点B．抛物线
y＝﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）点A，B的坐标分别是A，B；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一动点（点P在AC上方），作PD平行于y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积．
4、如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A，B两点，交y轴交于点C，抛物线的对称轴交x
轴于点D，直线BC经过B，C两点，已知A（﹣1，0），B（4，0）
（1）求抛物线和直线BC的函数解析式；
（2）点F是线段BC上方抛物线上一个动点，过点F作x轴的垂线与直线BC相交于点E，交x轴于点M．
①当点F运动到什么位置时，线段FE有最大值，请求出线段FE的最大值及F点坐标；
②当点F运动到什么位置时，四边形CDBF有最大面积？求出四边形CDBF的最大面积
及此时E点的坐标；
5、如图，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y
轴相交于点C，其对称轴与x轴相交于点D，作直线BC．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点P为抛物线对称轴上的一个动点．
①如图①，若点P为抛物线的顶点，求△PBC的面积．
②是否存在点P使△PBC的面积为6？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
6、如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、C（1，
0），与y轴交于点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为点F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．
①过点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标；
7、如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛
物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角
三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8、在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），C
（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD 的面积最大时，求点P的坐标；
9、如图，二次函数y＝ax2﹣2ax+c的图象交x轴于A、B两点（其中点A在点B的左侧），
交y轴正半轴于点C，且OB＝3OA，点D在该函数的第一象限内的图象上．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若△BDC的最大面积为平方单位，求点D的坐标及二次函数的关系式；
10、如图1，抛物线与y＝﹣与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，连接AC、BC，点D是线段AB上一点，且AD＝CA，连接CD．
（1）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，在线段BC上有一动点Q，连接PC、PD、PQ，当△PCD面积最大时，求PQ+CQ的最小值；
11、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝kx﹣与抛物线y＝ax2+bx+交于点A、C，与y
轴交于点B，点A的坐标为（2，0），点C的横坐标为﹣8．
（1）请直接写出直线和抛物线的解析式；
（2）点D是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点A、C重合），作DE⊥AC于点E．设点D的横坐标为m．求DE的长关于m的函数解析式，并写出DE长的最大值；
12、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），
过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C．
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图1，点M是第一象限中BC上方抛物线上的一个动点，过点作MH⊥BC于点H，作ME⊥x轴于点E，交BC于点F，在点M运动的过程中，△MFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
13、如图，抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与x轴交于A、B两点，抛物线上另有一点
C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段OC的长度；
（2）设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14、已知：抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，2）
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为第一象限抛物线上一点，是否存在使△PBC面积最大的点P？若不存在，请说明理由；若存在，求出点P的坐标；
15、如图1，抛物线C1：y＝x2﹣ax与C2＝﹣x2+bx相交于点O、C，C1与C2分别交x轴于
点B、A，且B为线段AO的中点．
（1）点A的坐标为（，），点B的坐标为（，），的值为；
（2）若OC⊥AC，求△OAC的面积；
（3）在（2）的条件下，设抛物线C2的对称轴为l，顶点为M（如图2），点E在抛物线C2上点O与点M之间运动，四边形OBCE的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值和点E的坐标；若不存在，请说明理由．
16、如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y
轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
17、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点
（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．
（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a 的式子表示）．
（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；
18、如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐
标为（﹣1，0），与y轴交于点C（0，2），直线CD：y＝﹣x+2与x轴交于点D．动点M 在抛物线上运动，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，交直线CD于点N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；
若不存在，请说明理由；。