经典二次函数和实际应用题解法

二次函数运用题

一：知识点

利润问题：总利润=总售价–总成本

总利润=每件商品的利润×销售数量

二：例题讲解

1、（2009年内蒙古包头）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．

2、(2010年聊城冠县实验中学二模)某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是________________

3、用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少?

4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件．（1）若每件降价x元，每天盈利y元，求y与x的关系式．（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？

5、某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．求：

（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．

（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．

（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？

6、某商店经营一批进价每件为2元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价3元销售，日销售量为18件，如果单价每提高1元，日销售量就减少2件．设销售单价为x（元），日销售量为y（件）．（1）写出日销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）设日销售的毛利润（毛利润=销售总额-总进价）为P（元），求出毛利润P（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（3）在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于x的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；

（4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？

7、（08凉州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．

（1）设x 到后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x 之间的函数关系式．

（2）若存放x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出P 与x 之间的函数关系式．

（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？ （利润＝销售总额－收购成本－各种费用） 8、（09湖南长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量

y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．

（1）求月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？

（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？

9、（09成都）大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元／件．销售结束后，得知日销售量P(件)与销售时间x(天)之间有如下关系：P=-2x+80(1≤x≤30，且x 为整数)；又知前20天的销售价格1Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：11

Q 302

x =

+ (1≤x≤20，且x 为整数)，后10天的销售价格2Q (元/件)与销售时间x(天)之间有如下关系：2Q =45(21≤x≤30，且x 为整数)．

(1)试写出该商店前20天的日销售利润1R (元)和后l0天的日销售利润2R (元)分别与销售时间x(天)

之

间的函数关系式；

(2)请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大?并求出这个最大利润． 注：销售利润＝销售收入一购进成本．

10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量m

未来40天内，前20天每天的价格y 1

（元/件）与时间t （天）的函数关系式为25t 4

y 1+=（20t 1≤≤且t 为整数），后20天每天的价格y 2（元/件）与时间t （天）的函数关系式为40t 2

1

y 2+-

=（40t 21≤≤且t 为整数）。下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：

（1）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m （件）与t （天）之间的关系式；

（2）请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

（3）在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a 元利润（a<4）给希望工程。公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t （天）的增大而增大，求a 的取值范围。

11、(2010年重庆)今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，

进入5 2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克,且y 与周数x 的变化情况满足二次函数c bx x y ++-

=2

20

1． （1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y 与x 所满足的函数关系式，并求出5月份y 与x 所满足的二次函数关系式； （2）若4月份此种蔬菜的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为2.14

1

+=x m ，5月份的进价m （元/千克）与周数x 所满足的函数关系为25

1

+-

=x m ．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？

（3）若5月的第2周共销售100吨此种蔬菜．从5月的第3周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第2周销量的基础上每周减少%a ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运2吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨%8.0a ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第2周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出a 的整数值．

（参考数据：1369372=，1444382=，1521392=，1600402=，1681412

=）

【答案】．解：（1）4月份y 与x 满足的函数关系式为8.12.0+=x y .