逆矩阵的运算

11.5逆矩阵

11.5.1逆矩阵的概念

在前面，我们看到矩阵的运算性形式上有些类似于数的地方。比如零矩阵n m O ⨯在矩阵的加法中与数0在数的加法中有类似的性质：n m n m n m A O A ⨯⨯⨯=+；单位矩阵n I 在矩阵的乘法中与数1在数的乘法中有类似的性质：n m n n m A I A ⨯⨯=，n m n m m A A I ⨯⨯=。

而在数的乘法中，对于任何一个数0≠a 有所谓它的倒数1

-a

存在，适合

111==--a a aa 。下面我们在矩阵的范围中引进起到类似作用的所谓逆矩阵的概念。

定义11.17 对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得

I BA AB == 则称矩阵A 为可逆矩阵，而称矩阵B 为A 的逆矩阵。

如果A 可逆，则A 的逆矩阵是唯一的。事实上，如果B 和C 都是A 的逆矩阵，则有

I BA AB ==，I CA AC ==

那么

C IC C BA AC B BI B =====)()(

即 C B =。

我们把矩阵A 唯一的逆矩阵记作1

-A ，读作A 的逆。注意，1

-A 不能读作A 的负一次方，同时由于我们没有定义过矩阵的除法，1

-A 也不能看作

A

1。 1．伴随矩阵求逆法

定义11.18 若n 阶矩阵A 的行列式0≠A ，则称矩阵A 为非奇异的或非退化的。

定理11.11 n 阶矩阵()

ij a A =为可逆的充分必要条件是A 为非奇异的，而且

*

-=

A A

A 11 （11.17） 其中

⎪⎪

⎪⎪

⎪

⎭

⎫

⎝⎛=*nn n n n n A A A A A A A A A A 2122212

12111 （11.18）

称为A 的伴随矩阵，ij A 是A 中元素ij a 的代数余子式。

例1 求矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=523012101A 的逆矩阵。

课堂练习: 1 (2)

定理11.12 若A 是n 阶矩阵，且存在n 阶矩阵B 使得n I AB =，则A 必为可逆矩阵，且1-=A B 。

证：由n I AB =，得到1===n I B A AB ，从而0≠A ，由定理11.11知A 必为

可逆矩阵；将等式n I AB =两边左乘以A 的逆矩阵1-A ，得到1

-=A B 。证毕。

2．逆矩阵的性质

(1) 可逆矩阵A 的逆矩阵1-A 是可逆矩阵，且A A =--1

1)

(。

证：若A 可逆，则有1-A 存在，使得I A A =-1。由定理11.12可知，A A =--1

1)

(。

(2) 同阶可逆矩阵A 、B 的乘积AB 是可逆矩阵，且111

)(---=A B AB 。

证：因为A 、B 可逆，故1-A 、1

-B 存在。

由I AIA A

BB A A B AB ===-----11

1

1

1

)())((及定理11.12得111)(---=A B AB 。

(3) 可逆矩阵A 与非零数k 的乘积kA 是可逆矩阵，且1

1

1)

(--=

A k

kA 。 证：因为A 可逆，所以0≠A 。而A k kA n

=，故0≠kA 。所以kA 是可逆矩阵。 又因I AA

AA k

k A k

kA ==⋅=---1

11

))(1()1)((，由定理11.12可知，1

11)(--=

A k

kA 。

(4) 可逆矩阵A 的转置矩阵A '是可逆矩阵，且)()(11

'='--A A 。

证：因A 可逆，故0≠='A A ，从而A '是可逆矩阵。由I

I A A A A ='='=''--)()(1

1及定理11.12可知，)()

(11

'='--A A 。

(5) 若A 可逆，则有1

1

--=A A 。

证：因为A 可逆，所以有1-A 存在。而111===--I A A AA ，故有1

1

--=A A

。

（6）可逆矩阵A 的伴随矩阵*A 是可逆矩阵，且*--*=)()(11

A A 。

证：因为A 可逆，所以0≠A 。 又因1-*=A A A ，有01

1

1

≠===---*

n n n

A

A

A A

A A ，故*A 是可逆矩阵。

由于1-*=A A A ，A A A A

A 1

111

1)()(----*

-==，所以

I AA A A

A A A A A A ===----**-11

11

1)(

由定理11.12可知，*--*=)()

(11

A A 。

注意，同阶可逆矩阵A 与B 的和差B A ±不一定是可逆矩阵，即使可逆，也不一定有

111)(---±=±B A B A 成立。

例如，⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=1001A ，⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=1001B 都可逆，但B A ±不可逆。 例２ 设矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=101020101A ，矩阵X 满足X A I AX +=+2，求矩阵X 。

解：由X A I AX +=+2

得，I A X AX -=-2

，即))(()(I A I A X I A +-=-

计算，得⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=-001010100I A ，01≠-=-I A ，故I A -可逆。 因此，有I A X +=。

计算得⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛=20

1030

102X 课堂练习: p147.1.(2)(4)

小结:

本次课的重点是你矩阵的定义和伴随矩阵求逆法，尤其要记住下列公式：

*

-=

A A

A 11 并要弄清楚*A 的构造。