倍长中线模型巩固练习

倍长中线模型巩固练习（提优）

1. 如图，△ABC为等边三角形，BD＝DE，∠BDE＝120º，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG.下列结论：①CG＝DE；②若DE∥BC，则△ABH∽

△GBD；③在②的条件下，若CE⊥BC，则.其中正确的有（）

A.①②③都正确

B.只有①②正确

C.只有②③正确

D.只有①③正确

【解答】A

【解析】①∵点F是EC的中点，∴CF＝EF，

在△CFG和△EFD中，，∴△CFG≌△EFD（SAS），

∴CG＝DE，故本选项正确；

②∵DE∥BC，∠BDE＝120º，∴∠GBD＝60º（两直线平行，同旁内角互补），

∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60º，AB＝AC，

∴∠ABD＝∠ABC＋∠GBD＝120º，∠ACG＝180º-∠ACB＝120º，∴∠ABD＝∠ACG

又∵CG＝DE，DB＝DE，∴BD＝CG，

在△ABD与△ACG中，，∴△ABD＝△ACG（SAS），

∴AD＝AG，∠BAD＝∠CAG，∴∠DAG＝60º，∴△ADG是等边三角形，

∴∠ADG＝60º，∴∠BDG＝∠BDH＋∠ADG＝∠BDH＋60º，

又∵∠AHB＝∠BDH＋∠GBD＝∠BDH＋60º，∴∠AHB＝∠GDB（等量代换），

∴∠ABH＝∠GBD，∴△ABH△GBD，故本选项正确；

③如图所示，过点D作DQ⊥BC于点Q，

∵EC⊥BC，∴D//CE.

又∵DE∥BC，∴四边形DECQ是矩形，∴CQ＝DE.

∵BD＝DE，DE＝CG，∴CQ＝CG，

设，则在Rt△BDQ中，由特殊角的三角函数值求得，

在Rt△GQD中，由勾股定理求得，

由②知△ADG是等边三角形，则AD＝GD，

，即，故本选项正确；

综上所述，正确的结论是①②③.

2. 小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围.

小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，构造△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决

请回答：（1）小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：（用字母表示），

（2）AD的取值范围是；

（3）小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造.

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在正方形ABCD中，E为AB边的中点G、F分别为AD，BC边上的点，若AG＝2，BF＝4，∠GEF＝90º，求GF的长.

【解答】（1）SAS；（2）1＜AD＜6；（3）GF＝6

【解析】（1）在△BED与△CAD中，，∴△BED≌△CAD（SAS）；（2）∵△BED＝△CAD，∴BE＝AC＝5，

∵AB＝7，∴2＜AE＜12，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6.

（3）延长GE交CB的延长线于点M，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CM，∴∠AGE＝∠M，

在△AEG和△BEM中，，∴△AEG≌△BEM（AAS），∴GE＝EM，AG＝BM＝2，

∵EF⊥MG，∴FG＝FM，

∵BF＝4，∴MF＝BF＋BM＝2＋4＝6，∴GF＝FM＝6.

3. 如图1，在△ABC中，点D是BC的中点，延长AD到点G，使DG＝AD，连接CG，可以得到△ABD＝△GCD，这种作辅助线的方法我们通常叫做“倍长中线法”

如图2，在△ABC中，点D是BC的中点点E是AB上一点，连接ED，小明由图1中作辅助线的方法想到：延长ED到点G，使DG＝ED，连接CG.

（1）请直接写出线段BE和CG的关系：；（2）如图3，若∠A＝90º，过点D作DF⊥DE交AC于点F，连接EF，已知BE＝3，，其它条件不变，求EF的长.

【解答】（1）BE＝CG；（2）EF＝

【解析】（1）∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，

在△EBD和△GCD中，，∴△EBD≌△GCD（SAS），∴BE＝CG；（2）连接GF，如图所示：

由（1）知△EBD≌△GCD，∴∠B＝∠GCD，BE＝CG＝3，

又∵∠A＝90º，∴∠B＋∠BCA＝90º，

∴∠GCD＋∠BCA＝90º，即∠GCF＝90º，

∵CG＝3，，，

∵DF⊥DE，且DE＝DG，∴EF＝FG＝.

4. 自主学习，学以致用

先阅读，再回答问题：如图1，已知△ABC中，AD为中线。延长AD至E，使DE＝AD.在△ABD和△ECD中，AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，所以，△ABD≌△ECD（SAS），进一步可得到AB＝CE，AB∥CE等结论.

在已知三角形的中线时，我们经常用“倍长中线”的辅助线来构造全等三角形，并进一步解决一些相关的计算或证明题。

解决问题：如图2，在△ABC中，AD是三角形的中线，F为AD上一点，且BF＝AC，连结并延长BF交AC于点E，求证：AE＝EF.

【解答】见解析

【解析】证明：延长AD至点G，使得DF＝DG，连接CG，如图所示：

∵AD是中线，∴BD＝DC，

在△BDF和△CDG中，，∴△BDF＝△CDG，

∴BF＝CG，∠BFD＝∠G，

∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AFE＝∠G，

∵BF＝CG，BF＝AC，∴CG＝AC，∴∠G＝∠CAF，

∴∠AFE＝∠CAF，∴AE＝EF.

5. 定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A逆时针旋转a（0º＜＜180º）并延长一倍得到AB'，把AC绕点A顺时针旋转并延长一倍得到AC’，连接B’C’.当时，称△AB’C’是△ABC的“倍旋三角形”，△AB’C’边B’C’上的中线AD叫做△ABC的“倍旋中线”.

特例感知：

（1）如图1，当∠BAC＝90º，BC＝4时，则“倍旋中线”AD长为；如图2，当△AB’C’为等边三角形时，“倍旋中线”AD与BC的数量关系为；

猜想论证：

（2）在图3中，当△ABC为任意三角形时，猜想“倍旋中线”AD与BC的数量关系，并给予证明.